Производные различных порядков от неявных функций
Щебетун Виктор
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Как найти первую и вторую производные параметрической функции
Параметрическое представление функциональной зависимости y от x для функции y = f(x) имеет вид:
Пусть функции x = x(t) и y = y(t) определены и непрерывны на интервале изменения параметра t. Продифференцируем данные функции.
Для нахождения первой производной необходимо разделить второе уравнение на первое:
Для нахождения второй производной:
Пример 1
Найти вторую производную параметрической функции
[left{begin{array}{l} {x=ln t} \ {y=3t^{2} } end{array}right. ]
Решение.
- Найдем первую производную по формуле:
- Найдем вторую производную
[y’_{x} =frac{y’_{t} }{x’_{t} } ]
[y’_{t} =left(t^{3} right)^{{‘} } =6t x’_{t} =left(ln tright)^{{‘} } =frac{1}{t} ]
[y’_{x} =frac{6t}{frac{1}{t} } =6t^{2} ]
[y»_{xx} =left(6t^{2} right)^{{‘} } =12t]
Что такое неявно заданная функция, и как ее найти
Определение
Если функция вида y=y(x) задана уравнением F(x;y(x)) = 0, то функция является неявно заданной.
Для нахождения дифференциала неявной функции необходимо выполнить следующие действия:
- Продифференцировать обе части уравнения по х.
- Поскольку у — дифференцируемая функция, для ее нахождения используется правило вычисления производной сложной функции.
- В правой части уравнения должно получится значение 0.
Примечание
Это значит перенести все слева направо и привести к уравнению вида F(x;y(x)) = 0
- Решить полученное уравнение относительно y`(x)
Пусть неявная функция у от x определяется равенством:
[frac{x^{2} }{a^{2} } +frac{y^{2} }{b^{2} } -1=0]
Дифференцируем по x все члены этого равенства:
[frac{2x}{a^{2} } +frac{2ydy}{b^{2} dx} =0]
[frac{dy}{dx} =-frac{b^{2} x}{a^{2} y} ]
Последнее равенство снова дифференцируем по х:
[frac{d^{2} y}{dx^{2} } =-frac{b^{2} (y-x)frac{dy}{dx} }{a^{2} y} ]
Заменим производную dy/dx ее выражением:
[frac{d^{2} y}{dx^{2} } =-frac{b^{2} (y+x)frac{b^{2} }{a^{2} } frac{x}{y} }{a^{2} y} ]
[frac{d^{2} y}{dx^{2} } =-frac{b^{2} left(a^{2} y^{2} +b^{2} x^{2} right)}{a^{4} y^{3} } ]
Поскольку $a^2y^2 + b^2x^2 = a^2b^2$, вторую производную можно представить в виде
[frac{d^{2} y}{dx^{2} } =frac{b^{4} }{a^{2} y^{3} } ]
Дифференцируя по х последнее равенство, найдем $frac{d^{3} y}{dx^{3} } $ и т. д.
«Производные различных порядков от неявных функций» 👇
Пример 2
Найти вторую производную неявно заданной функции
[2x^{3} -xy^{2} =4]
Решение.
- Перенесем все части выражения в левую часть, приравняем к нулю и продифференцируем:
- Выразим y`
- Повторно дифференцируем равенство
- Выполним замену y`
- Упростим
[left(2x^{3} -xy^{2} -4right)^{{‘} } =0]
[left(2x^{3} right)^{{‘} } -left(xy^{2} right)^{{‘} } -left(4right)^{{‘} } =0]
[6x^{2} -left(x’y^{2} +xleft(y^{2} right)^{{‘} } right)=0]
[6x^{2} -y^{2} -2xyy’=0]
[y’=frac{6x^{2} -y^{2} }{2xy} ]
[left(6x^{2} -y^{2} -2xyy’right)^{{‘} } =12x-2y-2left(xyright)^{{‘} } y’-2xyy’]
[12x-2y-2left(xyright)^{{‘} } y-2xyy’=12x-2y-2x’y’-2xy’-2xyy»]
[12x-2y-2x’y’-2xy’-2xyy»=12x-2y-2y’-2xy’-2xyy»]
[12x-2y-2frac{6x^{2} -y^{2} }{2xy} -2xfrac{6x^{2} -y^{2} }{2xy} -2xyy»=0]
[frac{12x^{2} y-2xy^{2} }{xy} -frac{6x^{2} -y^{2} }{xy} -frac{6x^{3} -y^{2} }{xy} -2xyy»=0]
[frac{12x^{2} y-2xy^{2} -6x^{2} +2y^{2} -6x^{3} }{xy} -2xyy»=0]
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 15.12.2022
Дифференцирование функции, заданной неявно
Известно, что функция
может быть задана неявно уравнением,
связывающим переменные
и
:
.
Например, уравнение
определяет функцию
,
при этомD
E
R.
Уравнение
выполняется только при
и задает точку
.
Уравнение
не определяет никакой функции наR,
так как оно не имеет действительных
корней, а значит, нельзя рассматривать
как функцию от
.
Итак, уравнение вида
не всегда задает функцию
.
Пусть уравнение
определяет
как некоторую функцию от
.
Если в это уравнение подставить вместо
у функцию
,
то получим тождество
.
Придадим
приращение
,
тогда значению аргумента будет
соответствовать значение функции
,
но с другой стороны
.
Разность
также равна нулю:
.
Как было показано выше, ее полное
приращение в этой точке можно представить
в виде
.
Разделим последнее равенство на
:
.
Откуда
.
Перейдя к пределу, получим формулу
вычисления производной функции, заданной
неявно:
.
Аналогично можно вычислить частные
производные неявной функции
переменных по всем ее аргументам.
Например, для функции
справедливо:
,
.
Пример. Вычислить производную
неявной функции, заданной уравнением
.
Решение.Обозначим левую часть
данного уравнения через
.
,
.
Следовательно,
.
Пример. Вычислить производную
неявной функции, заданной уравнением
.
Решение.Обозначим левую часть
данного уравнения через
.
,
.
Следовательно,
.
Пример. Найти частные производные
неявной функции
,
заданной уравнением
.
Решение.
,
,
.
Следовательно,
,
.
Частные производные и дифференциалы высших порядков
Частные производные высших порядков.
Пусть функция
имеет непрерывные частные производные
и
в точке
D(
).
Эти производные, в свою очередь,
являются функциями двух переменных
и
.
Будем называть
и
частными производными первого порядка.
Частные производные по
и по
от частных производных первого
порядка, если они существуют, называются
частными производными второго порядка
от функции
в точке
и обозначаются
,
,
,
(если
дифференцируется последовательно два
раза по
);
,
,
,
(если
дифференцируется сначала по
,
а затем по
);
,
,
,
(если
дифференцируется сначала по
,
а затем по
);
,
,
,
(если
дифференцируется последовательно два
раза по
).
Производные второго порядка можно снова
дифференцировать как по
,
так и по
.
В результате получим восемь частных
производных третьего порядка:
,
,
,
,
,
,
,
.
Аналогично, частная производная от
производной
-го
порядка называется частной производной
-го
порядка и обозначается
,
,
и т. д.
Частные производные высших порядков
функции
,
взятые по различным переменным,
например,
,
,
,
и т.д., называются смешанными производными.
Среди частных производных второго
порядка функции
имеются две смешанные производные
и
.
Возникает вопрос: зависит ли результат
дифференцирования функций нескольких
переменных от порядка дифференцирования
по разным переменным.
Справедлива следующая
Теорема. Если функция
и ее частные производные
,
,
и
определены и непрерывны в точке
и в некоторой ее окрестности, то
.
Замечание.Данная теорема, а также
все приведенные выше рассуждения имеют
место и для функции любого числа
переменных.
Пример. Найти частные производные
второго порядка функции
.
Решение.Функция определена и
непрерывна наR2.
Найдем частные производные первого
порядка
,
.
Они определены и непрерывны на R2.
Найдем частные производные второго
порядка
,
,
.
Дифференциалы высших порядков. Пусть
— функция двух независимых переменных
и
,
дифференцируемая в областиD(
).
Придавая
и
приращения
,
,
в любой точке
D
можно найти полный дифференциал
,
который называют дифференциалом
первого порядка функции
.
Дифференциал от дифференциала первого
порядка в любой точке
D
,
если он существует, называется
дифференциалом второго порядка и
обозначается
.
Найдем аналитическое выражение для
,
считая
и
постоянными:
.
Поступая аналогично, получаем аналитическое
выражение для дифференциала третьего
порядка
:
.
Замечание.Приведенные выше формулы
дифференциалов не обладают свойствами
инвариантности для сложных функций.
Пример. Найти
и
,
если
.
Решение.Используем формулу для
вычисления полного дифференциала
.
,
.
Для определения
вычислим предварительно частные
производные второго порядка:
,
,
.
Соседние файлы в папке Высшая математика
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Определение
Если независимая переменная $x$ и функция
$y$ связаны уравнением вида
$F(x,y)=0$, которое не разрешено относительно
$y$, то функция
$y$ называется неявной функцией переменной
$x$.
Пример
$$x^{2} sin y+x y-1=0$$
Всякую явно заданную функцию $y=f(x)$ можно записать в
неявном виде $y-f(x)=0$. Обратно сделать не всегда возможно.
Несмотря на то, что уравнение $F(x,y)=0$ не разрешимо
относительно $y$, оказывается возможным найти производную
от $y$ по
$x$. В этом случае необходимо
продифференцировать обе
части заданного уравнения, рассматривая функцию $y$ как
функцию от $x$, а затем из полученного уравнения найти
производную $y^{prime}$.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти вторую производную
$y^{prime prime}$ неявной функции
$x^2+xy^2=1$.
Решение. Продифференцируем левую и правую часть заданного равенства, при этом помним, что
$y$ является функцией переменной
$x$, поэтому производную от нее будем брать
как производную от сложной функции. В итоге получаем:
$$left(x^{2}+x y^{2}right)^{prime}=(1)^{prime}$$
$$left(x^{2}right)^{prime}+left(x y^{2}right)^{prime}=0$$
$$2 x+(x)^{prime} cdot y^{2}+x cdotleft(y^{2}right)^{prime}=0$$
$$2 x+1 cdot y^{2}+x cdot 2 y cdot y^{prime}=0 Rightarrow 2 x+y^{2}+2 x y cdot y^{prime}=0$$
Из полученного равенства выражаем $y^{prime}$:
$$2 x y cdot y^{prime}=-left(2 x+y^{2}right) Rightarrow y^{prime}=-frac{2 x+y^{2}}{2 x y}$$
Для нахождения второй производной продифференцируем равенство
$2 x+y^{2}+2 x y cdot y^{prime}=0$ еще раз:
$$begin{array}{c}
left(2 x+y^{2}+2 x y cdot y^{prime}right)^{prime}=(0)^{prime} \
(2 x)^{prime}+left(y^{2}right)^{prime}+left(2 x y cdot y^{prime}right)^{prime}=0 \
2(x)^{prime}+2 y cdot y^{prime}+2left(x y cdot y^{prime}right)^{prime}=0
end{array}$$
Подставив вместо $y^{prime}$ найденное выше выражение, получаем:
$$begin{array}{l}
2 cdot 1+2 yleft(-frac{2 x+y^{2}}{2 x y}right)+2left[(x y)^{prime} cdot y^{prime}+x y cdotleft(y^{prime}right)^{prime}right]=0 \
2-frac{2 x+y^{2}}{x}+2left[left{(x)^{prime} cdot y+x cdot(y)^{prime}right} cdot y^{prime}+x y cdot y^{prime prime}right]=0 \
frac{2 x-2 x-y^{2}}{x}+2left[left{1 cdot y+x cdot y^{prime}right} cdot y^{prime}+x y cdot y^{prime prime}right]=0 \
-frac{y^{2}}{x}+2left[left(y-frac{2 x^{2}+x y^{2}}{2 x y}right) cdotleft(-frac{2 x+y^{2}}{2 x y}right)+x y cdot y^{prime prime}right]=0 \
-frac{y^{2}}{x}+2left[frac{2 x y^{2}-2 x^{2}-x y^{2}}{2 x y} cdotleft(-frac{2 x+y^{2}}{2 x y}right)+x y cdot y^{prime prime}right]=0
end{array}$$
После упрощения получаем:
$$frac{4 x^{2}-3 y^{4}}{2 x y^{2}}+2 x y cdot y^{prime prime}=0$$
Из полученного равенства выражаем вторую производную $$y^{prime prime}(x)$$:
$$y^{prime prime}(x)=frac{3 y^{4}-4 x^{2}}{4 x^{2} y^{3}}$$
Ответ. $y^{prime prime}(x)=frac{3 y^{4}-4 x^{2}}{4 x^{2} y^{3}}$
Читать дальше: производная функции, заданной параметрически.
Производная неявной функции
Формула
Рассмотрим функцию y(x), которая записывается неявным способом в общем виде $ F(x,y(x)) = 0 $. Производная неявной функции находится двумя способами:
- Дифференцированием обеих частей уравнения
- С помощью использования готовой формулы $ y’ = — frac{F’_x}{F’_y} $
Как найти?
Способ 1
Не требуется приводить функцию к явному виду. Нужно сразу приступать к дифференцированию левой и правой части уравнения по $ x $. Стоит обратить внимание, что производная $ y’ $ вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции. Например, $ (y^2)’_x = 2yy’ $. После нахождения производной необходимо выразить $ y’ $ из полученного уравнения и разместить $ y’ $ в левой части.
Способ 2
Можно воспользоваться формулой, в которой используются в числителе и знаменателе частные производные неявной функции $ F(x,y(x)) = 0 $. Для нахождения числителя берем производную по $ x $, а для знаменателя производную по $ y $.
Вторую производную неявной функции можно найти с помощью повторного дифференцирования первой производной неявной функции.
Примеры решений
Рассмотрим практические примеры решений на вычисление производной неявно заданной функции.
| Пример 1 |
|
Найти производную неявной функции $ 3x^2y^2 -5x = 3y — 1 $ |
| Решение |
|
Воспользуемся способом №1. А именно продифференцируем левую и правую часть уравнения: $$ (3x^2y^2 -5x)’_x = (3y — 1)’_x $$ Не забываем при дифференцировании использовать формулу производной произведения функций: $$ (3x^2)’_x y^2 + 3x^2 (y^2)’_x — (5x)’_x = (3y)’_x — (1)’_x $$ $$ 6x y^2 + 3x^2 2yy’ — 5 = 3y’ $$ Далее выражаем y’ из уравнения: $$ 6x y^2 — 5 = 3y’ — 6x^2 yy’ $$ $$ 6x y^2 — 5 = y'(3-6x^2 y) $$ $$ y’ = frac{6x y^2 — 5}{3 — 6x^2y } $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y’ = frac{6x y^2 — 5}{3 — 6x^2y } $$ |
| Пример 2 |
|
Функция задана неявно, найти производную $ 3x^4 y^5 + e^{7x-4y} -4x^5 -2y^4 = 0 $ |
| Решение |
|
Воспользуемся способом №2. Находим частные производные функции $ F(x,y) = 0 $ Положим $ y $ постоянной и продифференцируем по $ x $: $$ F’_x = 12x^3 y^5 + e^{7x-4y} cdot 7 — 20x^4 $$ $$ F’_x = 12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} — 20x^4 $$ Считаем теперь $ x $ константой и дифференцируем по $ y $: $$ F’_y = 15x^4 y^4 + e^{7x-4y} cdot (-4) — 8y^3 $$ $$ F’_y = 15x^4 y^4 — 4e^{7x-4y} — 8y^3 $$ Подставляем теперь в формулу $ y’ = -frac{F’_x}{F’_y} $ и получаем: $$ y’ = -frac{12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} — 20x^4}{15x^4 y^4 — 4e^{7x-4y} — 8y^3} $$ |
| Ответ |
| $$ y’ = -frac{12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} — 20x^4}{15x^4 y^4 — 4e^{7x-4y} — 8y^3} $$ |