Производная синуса
| Определение |
| Производная синуса равна положительному косинусу одно и того же аргумента: $$ (sin x)’ = cos x $$ |
Если же аргумент синуса представляе собой функцию $ f(x) $, то производная синуса сложной функции находится по формуле: $$ (sin f(x))’ = cos f(x) cdot ( f(x) )’ = f'(x) cos f(x) $$
| Пример 1 |
| Найти производную синуса двойного угла: $ y = sin 2x $ |
| Решение |
|
Так как аргумент синуса представляет собой сложную функцию $ f(x)=2x $, то используем вторую формулу. Находим производную $ f(x) $: $$ f'(x) = (2x)’ = 2 $$ Теперь подставляем всё в формулу и записываем: $$ y’ = (sin 2x)’ = cos 2x cdot (2x)’ = 2cos 2x $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y’ = 2cos 2x $$ |
| Пример 2 |
| Чему равна производная синуса в квадрате? $ y = sin^2 x $ |
| Решение |
|
В этом примере синус представляет собой степенную функцию. Поэтому сначала берем производную по правилу: $ (x^p)’=px^{p-1} $, а затем производную от $ sin x $. Записываем: $$ y’=(sin^2 x)’ = 2sin^2 x cdot (sin x)’ = 2sin^2 x cdot cos x $$ |
| Ответ |
| $$ y’ = 2sin^2 x cos x $$ |
| Пример 3 |
| Найти производную синуса в кубе: $ y = sin^3 x $ |
| Решение |
|
Это задание полностью аналогичное предыдущему, только вместо квадрата стоит куб: $$ y’ = (sin^3 x)’ = 3sin^2 x cdot (sin x)’ = 3sin^2 x cdot cos x $$ |
| Ответ |
| $$ y’ = 3sin^2 x cos x $$ |
| Пример 4 |
| Чему равна производная сложной функции синус корень икс? $ y = sin sqrt{x} $ |
| Решение |
|
Формула производной квадратного корня: $$ (sqrt{x})’ = frac{1}{2sqrt{x}} $$ Возвращаемся к заданию и находим производную: $$ y’ = (sin sqrt{x})’ = cos sqrt{x} cdot (sqrt{x})’ = cos sqrt{x} cdot frac{1}{2sqrt{x}} = frac{cos sqrt{x}}{2sqrt{x}} $$ |
| Ответ |
| $$ y’ = frac{cos sqrt{x}}{2sqrt{x}} $$ |
F(x) = sin²x – сложная функция, поэтому её производная находится следующим способом:
f'(x) = (sin²x)’ = ((sin x)²)’ = 2sin x * (sin x)’ = 2sin x * cos x = sin 2x
Т.е. сначала мы находим производную функции u², где u = sin x (эта производная равна 2u), a затем умножаем её на производную функции u, где также u = sin x.
В общем виде это можно записать так:
f'(x) = (u²)’ * u’, где u = sin x
Отмена
Мирослав Кудрявин
Отвечено 22 сентября 2019
-
Комментариев (0)
Добавить
Отмена
$begingroup$
Question: Let $f(x) = sin^2x$. Use the definition of a derivative to find the derivative.
Definition: $f'(x) = lim_{hto 0} frac{f(x-h)-f(x)}{h}$
I have forgotten the trick to solving this one.
asked Dec 9, 2012 at 6:02
$endgroup$
$begingroup$
$$dfrac{sin^2(x+h) — sin^2(x)}h = left(sin(x+h) + sin(x) right) left(dfrac{sin(x+h) — sin(x)}h right)$$
Now recall that $sin(x)$ is continuous and that $displaystyle lim_{h to 0} dfrac{sin(x+h) — sin(x)}h = cos(x)$.
answered Dec 9, 2012 at 6:04
$endgroup$
1
$begingroup$
Applying $sin^2A-sin^2B=sin(A+B)sin(A-B),$
$sin^2(x+h)-sin^2x=sin(2x+h)sin h$
So, $$frac{d(sin^2x)}{dx}=lim_{hto 0}frac{sin(2x+h)sin h}h=lim_{hto 0}sin(2x+h)cdot lim_{hto 0}frac{sin h}h =sin 2x$$
answered Dec 9, 2012 at 6:03
$endgroup$
You must log in to answer this question.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Опубликовано 4 года назад по предмету
Алгебра
от алексей1996777
чему равна производная от синуса в квадрате !
-
Ответ
Ответ дан
Аккаунт удаленДумаю, что делается так.
sin²x = sin x * sin x
Воспользуемся соответствующим правилом дифференцирования:
(sin x * sin x)’ = (sin x)’ * sin x + sin x * (sin x)’ = cos x sin x + sin x cos x = 2sin x cos x
Самые новые вопросы
Математика — 3 года назад
Решите уравнения:
а) 15 4 ∕19 + x + 3 17∕19 = 21 2∕19;
б) 6,7x — 5,21 = 9,54
Информатика — 3 года назад
Помогите решить задачи на паскаль.1)
дан массив случайных чисел (количество элементов
вводите с клавиатуры). найти произведение всех элементов массива.2)
дан массив случайных чисел (количество элементов
вводите с клавиатуры). найти сумму четных элементов массива.3)
дан массив случайных чисел (количество элементов
вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива.4)
дан массив случайных чисел (количество элементов
вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива среди элементов,
кратных 3.
География — 3 года назад
Почему япония — лидер по выплавке стали?
Математика — 3 года назад
Чему равно: 1*(умножить)х? 0*х?
Русский язык — 3 года назад
В каком из предложений пропущена одна (только одна!) запятая?1.она снова умолкла, точно некий внутренний голос приказал ей замолчать и посмотрела в зал. 2.и он понял: вот что неожиданно пришло к нему, и теперь останется с ним, и уже никогда его не покинет. 3.и оба мы немножко удовлетворим свое любопытство.4.впрочем, он и сам только еле передвигал ноги, а тело его совсем застыло и было холодное, как камень. 5.по небу потянулись облака, и луна померкла.
Информация
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Я
предлагаю решить задачу способом,
который многим знаком. Методом умножения
внешней производной функции на
внутреннюю производную функцию. Не
забывайте, что это функция относится к
сложной функции. Математически это
выглядит так: у`=2
sinx
cosx =sin2x.
Производная
синуса от переменной x равна косинусу
по x.
Эта
функция сложная, потому что в нее входит
и степенная и тригонометрическая
функция. Решать задачу нужно поэтапно.
Вначале необходимо найти производную
от степенной функции, а затем
результат умножают на производную
тригонометрической функции. После
преобразования синуса двойного аргумента
получаем результат, то есть (sin^2x)’
= sin 2x. И еще один совет, для решения
подобных задач необходимо знать таблицу
производных значений.