Как найти производную простой пример - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Простое объяснение принципов решения производных и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения производных

Производная функции есть предел отношения приращения этой функции к приращению её аргумента при стремлении последнего к нулю, при условии существования данного предела.

Для вычисления производных вам потребуется таблица производных. Кроме того, существуют формулы для нахождения сложных производных.

Процесс нахождения производный называется дифференцированием.

Таблица простых производных

Формулы сложных производных

– производная суммы (разницы).

– производная произведения.

$(frac{u(x)}{v(x)})' = frac{u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)}{v^2(x)}$ – производная частного.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решений производных

Задача

Найти производную функции

Решение

Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:

Ответ

Задание

Найти производную функции

Решение

Обозначим , где . Тогда, согласно правила вычисления производной сложной функции, получим:

Ответ

Задача

Найти производную функции при .

Решение

$y' = x^{frac{1}{2}} = frac{1}{2}x^{frac{1}{2}-1} = frac{1}{2}x^{-frac{1}{2}} = frac{1}{2sqrt{x}}$ .
$y'(4) = frac{1}{2sqrt{4}} = frac{1}{4}$ .

Ответ

$y'(4) = frac{1}{4}$ .

Задача

Найти производную функции .

Решение

.
После приведения подобных членов получаем:
.

Ответ

y’=x^3·cos(x)+6·x·cos(x)-6·cos(x)+6·sin(x).

Задача

Найти производную функции $y = sqrt{{sin}^2 x + 3{cos}^3 4x}$ .

Решение

В этом примере квадратный корень извлекается из суммы ${sin}^2 x + 3{cos}^3 4x$ . Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:
$y' = frac{1}{2sqrt{{sin}^2 x + 3{cos}^3 4x}}[2sin xcos x + 3cdot3{cos}^2 4xcdot(-sin 4x)cdot4]$ .

Ответ

$y' = frac{1}{2sqrt{{sin}^2 x + 3{cos}^3 4x}}[2sin xcos x + 3cdot3{cos}^2 4xcdot(-sin 4x)cdot4]$ .

Задача

Найти производную функции $y = frac{3cosec x - 2sin x}{5{cos}^5 x} - frac{16}{5}ctg{2x}$ .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
$(frac{3cosec x - 2sin x}{5{cos}^5 x})' = frac{1}{5}frac{(3cosec x - 2sin x)'{cos}^5 x - ({cos}^5 x)'(3cosec x - 2sin x)}{{cos}^{10} x} =$
$frac{(-3cosec xctg x - 2cos x)cdot{cos}^5 x - (-5{cos}^4 x)sin x)cdot(3cosec-2sin x)}{{cos}^{10} x}$ .
Применяя правила дифференцирования котангенса, получаем:
$(frac{16}{5}ctg{2x})' = -frac{16}{5}(-frac{1}{{sin}^2 2x}cdot2) = frac{32}{5}frac{1}{{sin}^2 2x}$ .
Учитывая, что $cosec x = frac{1}{sin x}$ и $ctg x = frac{cos x}{sin x}$ , после упрощения получим:
$y' = frac{1}{{sin}^2 xcdot{cos}^6 x}$ .

Ответ

$y' = frac{1}{{sin}^2 xcdot{cos}^6 x}$ .

Задача

Найти производную функции $y = frac{a^2 - x^2}{a^2 + x^2}, a = const$ .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
$y' = frac{(a^2 - x^2)'(a^2 + x^2) - (a^2 + x^2)'(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = frac{-2x(a^2 + x^2) - 2x(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = -frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}$ .

Ответ

$y' = -frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}$ .

Задача

Найти производную функции $y = frac{1}{sqrt{1 + x^2}}$ .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
$y' = frac{x'sqrt{1 + x^2} - (sqrt{1 + x^2})'x}{(sqrt{1 + x^2})^2} = frac{1cdotsqrt{1 + x^2} - frac{1}{2sqrt{1 + x^2}}cdot2xcdot x}{1 + x^2} = frac{1}{sqrt{(1 + x^2)^3}}$ .

Ответ

$y' = frac{1}{sqrt{(1 + x^2)^3}}$ .

Задача

Найти производную функции .

Решение

Дифференцирование можно произвести в два этапа: вначале продифференцировать степень функции арксинус, а затем произвести дифференцирование самого арксинуса, перемножив результаты:
$y' = 2arcsin xcdotfrac{1}{sqrt{1 - x^2}}$ .

Ответ

$y' = 2arcsin xcdotfrac{1}{sqrt{1 - x^2}}$ .

Задача

Найти производную функции $y = e^{sqrt{sin x}}$ .

Решение

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием , производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
$y' = e^{sqrt{sin x}}cdotfrac{1}{2sqrt{sin x}}cdotcos x$ .

Ответ

$y' = e^{sqrt{sin x}}cdotfrac{1}{2sqrt{sin x}}cdotcos x$ .

Источник

План урока:

Производные некоторых элементарных функций

Основные правила дифференцирования

Производная сложной функции

Производные некоторых элементарных функций

Ранее мы для вычисления производных использовали ее определение. То есть каждый раз мы давали функции некоторое приращение ∆х, потом находили соответствующую ему величину ∆у, далее составляли отношение ∆у/∆х, после чего находили предел этого отношения при ∆х →0. Выполнение такого алгоритма довольно трудоемко. Поэтому на практике используются специальные формулы для вычисления производных.

Нам известно несколько основных функций, которые в математике чаще называют элементарными. Например, элементарными являются линейная функция, степенная, показательная, логарифмическая. Также существует несколько различных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс), которые тоже считаются элементарными. Попытаемся вычислить для них производные.

Начнем с линейной функции. В общем случае она выглядит так:

1ytu

где k и b – некоторые постоянные числа.

Выберем произвольную точку х₀ и дадим ей приращение ∆х, в результате чего мы придем в новую точку (х₀ + ∆х). Вычислим значения линейной функции в этих двух точках:

2yuyui

Теперь мы можем найти приращение функции ∆у:

3mjkh

Находим отношение ∆у/∆х:

4hgfhf

Получилось, что это отношение не зависит ни от приращения ∆х, ни от выбора исходной точки х₀. Естественно, что предел этого отношения при ∆х→0 (то есть производная) также будет равен k:

5gdfg

Задание. Вычислите производную функции у = 4х + 9.

6hfgh

Обратите внимание, что в рассмотренном примере запись у′ = 4 означает функцию. Просто при любом значении х она принимает одно и то же значение, равное 4. График производной функции будет выглядеть так:

7jghj

Рассмотрим два особых частных случая линейной функции. Пусть k = 1 и b = 0, тогда она примет вид у = х. Её производная тогда будет равна 1:

8jhghj

Теперь предположим, что коэффициент k = 0. Тогда функция примет вид

9hgfgh

где С – некоторое постоянное число, то есть константа (большая буква Св таких случаях используется из-за латинского термина constanta). Производная такой функции будет равна нулю:

10hfgh

Задание. Найдите вторую производную функции у = 9х + 2.

Решение. Сначала вычислим первую производную:

11hgyut

Очень легко объяснить, почему производная константы равна нулю. Представим себе, что закон движения некоторого тела выглядит как s(t) = C, например, s(t) = 5. Это значит, что тело в любой момент времени находится в точке, находящейся в 5 метрах от какого-то начала отсчета. То есть тело находится в одной и той же точке, а это значит, что оно не двигается. Тогда его скорость равна нулю. Но производная – это и есть скорость, значит, она также равна нулю.

Далее вычислим производную для функции у = 1/х. Выберем некоторую точку х₀ и дадим ей приращение ∆х. В результате имеем две точки с координатами х₀ и (х₀ + ∆х). Вычислим значение функции в каждой из них:

Осталось найти предел данного отношения при ∆х→0. Ясно, что при этом множитель х₀ + ∆х будет стремится к х₀, то есть

Задание. Вычислите производные функции

14nghjg

Обратите внимание, что производная функции у = 1/х оказывается отрицательной при любом значении х (кроме нуля, для которого производную посчитать нельзя, так как получится деление на ноль). Это должно означать, что функция убывает в каждой своей точке, а любая касательная к ней образует с осью Ох тупой угол наклона. И это действительно так:

15fghf

Мы разобрали несколько простейших примеров того, как находить формулы производных. Для этого используется понятие предела функции. Для вывода всех подобных формул требуется хорошо знать тему вычисления пределов, которая не изучается детально в школе. Поэтому мы просто дадим следующие формулы без доказательств.

Начнем со степенной функции у = хⁿ, где n– некоторое постоянное число. Её производная вычисляется по формуле:

16hgfjh

Приведем примеры использования этой формулы:

17hfgh

Задание. Найдите производную функции у = х⁶ в точке х₀ = 10.

18jghjg

Задание. Движение самолета при разгоне описывается законом движения s(t) = t³. Найдите его скорость через 5 секунд после начала разгона.

Решение. Скорость самолета в любой момент времени равна производнойs′(t). Найдем её:

19jhghj

Заметим, что используемая нами формула работает и в том случае, если показатель степени является отрицательным или дробным числом. Действительно, ранее мы вывели формулу

20htyu

По определению отрицательной степени мы можем записать, что

21fgh

Задание. Вычислите производную функции

22gdfg

Задание. Определите, в какой точке необходимо провести касательную к графику функции

24gfgh

чтобы она образовывала с осью Ох угол в 45°?

Решение. Тангенс угла наклона касательной равен производной. Известно, что tg 45° = 1. Значит, нам надо найти такую точку х₀, в которой значение производной квадратного корня будет равно единице. Производная вычисляется по формуле:

25hfgj

26hfgh

Ответ: х₀ = 0,25.

Далее изучим формулы производных для тригонометрических функций. Они выглядят так:

27hhj

Рассмотрим несколько примеров использования этих формул.

Задание. Найдите производную функции у = cosx в точке х₀ = π.

Решение. Мы знаем, что

28hfgh

Задание. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику у = sinx в начале координат.

Решение. Производная синуса вычисляется по формуле:

29hgj

Получается, что тангенс угла наклона также равен единице. Это значит, что сам угол равен 45°. Построение показывает, что это действительно так:

30hfgh

Задание. Найдите производную функции у = tgx в точке х₀ = π/6.

Решение. Для тангенса используется формула:

31gfgh

Далее рассмотрим показательную и логарифмическую функцию. Их производные рассчитываются по следующим формулам:

32gdfh

Обратите внимание, что в этих формулах появился натуральный логарифм, то есть логарифм, основанием которого является число е. Именно из-за наличия натурального логарифма в формулах дифференцирования он играет особо важную роль в математике и имеет отдельное обозначение. Вычислим несколько производных с помощью приведенных формул:

33hfgh

Напомним, что справедлива формула

34gfgh

Стоит обратить внимание, что функции у = е^х при дифференцировании не меняется. Эта особенность функции также имеет огромное значение в математическом анализе.

Задание. Найдите угол наклона касательных, проведенных к графику у = е^х в точке (0; 1) и к графику у = lnx в точке (1; 0).

Решение. Используем формулы производных:

35hghj

Получили, что тангенс наклона касательной равен 1. Из этого следует, что угол наклона касательной равен 45°. Далее найдем производную натурального логарифма при х = 1:

36hfgh

Производная снова равна 1, значит, угол наклона также составит 45°, что подтверждается рисунком:

37hfgh

Ответ: 45°.

Задание. Вычислите производную функции у = 2^х при х₀ = 3.

Решение. Используем формулу

38hfgh

Сведем использованные нами равенства в одну таблицу производных основных функций:

39jghj

Основные правила дифференцирования

До этого мы рассматривали довольно простые, то есть стандартные функции, для каждой из которых производную можно узнать из справочника или таблицы. Но что делать, если нам потребовалось продифференцировать функцию, которая состоит из нескольких основных? Например, что делать с функциями у = 5х² + 6х – 3 или у = x•sinx?

Все более сложные функции можно получить из нескольких простых, комбинируя их. Так, функция у = х³ + х² получается сложением функций у = х³ и у = х², а функция у = (lnx)•(cosx) – произведением функций у = lnx и у = сosx.

Есть несколько правил, которые позволяют находить производные в таких случаях. Мы не будем их доказывать, а просто дадим их формулировки. Также будем нумеровать правила. Первое из них помогает находить производную сумму функций.

40jghyu

В данном случае u и v – это просто обозначение каких-то произвольных функций. Рассмотрим пример. Пусть надо найти производную функции

41gfhhk

Правило работает и в том случае, если сумма представляет собой сумму не двух, а большего числа слагаемых:

42ggh

Следующее правило позволяет выносить постоянный множитель за знак производной:

43hfgh

Покажем использование этого правила:

44hfgh

Действительно, зная эти формулы и первые два правила вычисления производных, мы можем записать, что

45hfgh

Задание. Вычислите значение производной функции у = 9х³ + 7х² – 25х + 7 в точке х₀ = 1.

Решение. Пользуясь правилами дифференцирования, находим производную:

46hfghf

Несколько сложнее обстоит дело с дифференцированием функций, получающихся при перемножении простых функций. В таких случаях используется следующее правило:

47hfgh

Предположим, надо найти производную для функции у = х²•sinx. Её можно представить как произведение u•v, где

48hhj

Примечание. В последнем случае мы в конце примера использовали формулу косинуса двойного угла:

49hfgh

Заметим, что иногда одно и то же задание с производной можно решить по-разному, используя или не используя правило для вычисления производной произведения функций.

Задание. Найдите производную функции у = х²•(3х + х³). Вычислите ее значение при х = 1.

Решение. Функция у представляет собой произведение более простых функций u•v, где

50hfgh

Задание. Продифференцируйте функцию

51gdfg

Решение. Здесь перед нами функция, которая представляет собой произведение сразу трех множителей. Что делать в таком случае? Надо всего лишь добавить скобки и их помощью оставить только два множителя (один их них окажется «сложным»):

52hfgh

Довольно сложно выглядит формула для поиска производной дроби:

54dfg

Например, пусть надо найти производную функции

55gfdfh

С помощью данного правила можно доказать некоторые равенства. Так, ранее мы уже записали (без доказательства) формулы производных тригонометрических функций:

56hfgh

Оказывается, формула для тангенса может быть выведена из формул для синуса и косинуса. Действительно, тангенс можно записать в виде дроби:

57hfgh

Задание. Найдите, в каких точках надо провести касательную к графику дробно-линейной функции

58hfgh

чтобы эта касательная образовала с осью Ох угол в 135°.

Решение. Угол будет равен 135° только тогда, когда значение производной будет равно (– 1) (так как tg 135° = – 1). Поэтому сначала найдем производную. В данном случае следует использовать правило 4, так как функция у явно записана как дробь:

59jghj

Получили два значения х. Построив график и проведя касательные, мы убедимся, что они действительно образуют с осью Ох угол 135°:

60jghj

Ответ: – 2 и 0.

Заметим, что иногда можно избавиться от необходимости использовать правило 4, если дифференцируемую функцию можно преобразовать. При этом часто помогает использование отрицательных степеней. Пусть надо продифференцировать функцию

61gdfg

Напрашивается решение использовать правило 4.И такой путь позволит получить правильное решение, хотя и будет несколько трудоемким. Однако можно преобразовать функцию:

62gghf

У нас получилось произведение, а потому можно использовать правило 3, которое представляется более простым:

63hfgh

Производная сложной функции

«Сконструировать» громоздкую функцию из нескольких простых можно не только с помощью арифметических действий. Например, возьмем функции

64gfgh

В обоих случаях мы получили некоторую функцию, продифференцировать которую с помощью уже известных нам правил не получится. Функции, сконструированные таким образом, называются сложными. Есть универсальная формула, позволяющая находить производную сложной функции:

65fghf

Посмотрим, как пользоваться эти правилом. Пусть надо вычислить производную функции

66jghj

Она сконструирована из функции у = e^x и у = sinx, причем вторая подставлена в первую. Это значит, что первую можно обозначить буквой u, а вторую – буквой v (если использовать обозначения в правиле 5):

67hfghf

Задание. Найдите у′, если у = sin 2x.

Решение. На этот раз в качестве исходной функции выступает

Убедиться в справедливости правила 5 можно на примере функции

69jghj

Её можно продифференцировать двумя разными способами. Сначала попробуем просто избавиться от квадрата в исходной функции, используя формулу квадрата суммы:

70hfghj

В результате оба способа вычисления производной дали одинаковый ответ.

Задание. Найдите производную сложной функции у = (2х + 5)¹⁰⁰⁰.

Решение. В данном случае мы рассматриваем комбинацию следующих функций:

71hfgh

Теперь мы умеем вычислять производные почти любых функций, которые можно записать с помощью элементарных функций и арифметических операций. При этом нам не надо использовать определение понятия производной и вычислять какие бы то ни было пределы. Достаточно знать производные основных функций и несколько (всего лишь 5) правил дифференцирования. Навыки дифференцирования функций пригодятся в будущем при решении практических задач, связанных с производными.

Источник

1. Вычисление производной функции

Правила дифференцирования

Дифференцирование сложной функции

Таблица производных

2. Приложение производной

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке (x₀;f(x₀)):

y=f(x₀)+f ‘(x₀)(x-x₀); f ‘(x₀) – угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона касательной).

Достаточные признаки монотонности функции:

если
f ‘(x)>0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f(x) возрастает на этом интервале.
если
f ‘(x)<0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f(x) убывает на этом интервале.

Необходимое условие экстремума: если x₀ – точка экстремума функции f(x) и производная f ’ существует в этой точке, то f ‘(x₀)=0.

Критические точки функции – внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует.

Достаточные условия экстремума:

если производная при переходе через точку
x₀ меняет свой знак с плюса на минус, то
x₀ – точка максимума.
если производная при переходе через точку x₀ меняет свой знак с минуса на плюс, то
x₀ – точка минимума.

3. Первообразная функции

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a, b), если для любого выполняется равенство F ‘(x)=f(x).

Если F(x) – первообразная для f(x) на промежутке (a, b), то любая первообразная может быть записана в виде F(x)+C, где C – некоторое действительное число.

Для вычисления первообразной рекомендуем пользоваться приведенной выше таблицей производных и приведенными ниже правилами.

Правила нахождения первообразных

Пример 1. Найти производную функции .

Решение:

Ответ: .

Пример 2. Найти , если .

Решение:

По правилу дифференцирования дроби имеем: .

Ответ:

Пример 3. Чему равен тангенс угла наклона касательной к графику функции у = х² + 2, в точке х_о = – 1.

Решение:

Тангенс угла наклона касательной к графику функции есть значение производной данной функции в точке х_о.

Ответ: – 2.

Пример 4. Найдите значение 3tg²t , если t – наименьший положительный корень уравнения .

Решение:

Очевидно, что наименьшее положительное решение полученного уравнения . Тогда .

Ответ: 1.

Пример 5. Укажите промежутки возрастания и убывания функции .

Решение:

Область определения функции: x>0.

На области определения найдём критические точки функции :

Критические точки: 0; 1.

На основании достаточного признака возрастания (убывания) функции имеем:

Ответ: на интервале (0; 1) функция убывает; на интервале возрастает.

Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=e^x+2-ex на промежутке [-2; 0].

Решение:

Функция y=e^x+2-ex на отрезке [-2; 0] непрерывна.

1) найдём критические точки, принадлежащие отрезку [-2; 0]:

2) найдём значения функции в критической точке и на концах данного отрезка:

3) выберем наибольшее и наименьшее из полученных значений:

наименьшее y|_x=-1=2e наибольшее y|_x=0=e².

Ответ:
наименьшее y|_x=-1=2e наибольшее y|_x=0=e².

Пример 7. Записать уравнение касательной к графику функции f(x)=x³, параллельной прямой y=3x+1,5.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке х₀ имеет вид:

Так как касательная параллельна прямой y=3x+1,5, то f ‘(x₀)=3 .

f ‘(x)=3x², следовательно, .

Ответ: .

Пример 8. Найдите какую-либо первообразную функции .

Решение:

Представим функцию в виде . Первообразная данной функции будет . Т.к. нужно найти какую-либо первообразную, то пусть это будет . Чтобы проверить правильность найденной первообразной, нужно от взять производную: .

Ответ: .

Пример 9. Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Решение:

Первообразная данной функции будет F(x)=-3ctgx-7cox-2sinx+C.

Так как график первообразной проходит через точку , то координаты этой точки являются корнями уравнения. Получаем: .

Ответ: F(x)=-3ctgx-7cox-2sinx+11.

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

Производная функции

1) Найти производную функции f(x)=2e^x+3x² .

2) Вычислите производную функции f(x)x•sinx.

3) Найти производную функции у = (3х – 1)(2 – х).

4) Вычислите производную функции y=9x²-cosx.

5) Найдите производную функции y=e^x-x⁷ .

6) Вычислить производную функции .

7) Найти f ‘(1), если f(x)=3x²-2x+1.

Найдите производную функции у = х²(3х⁵ – 2) в точке х₀ = – 1.

9) Вычислите , если f(x)=(2x-1)cosx.

10) Найдите f ‘(1), если f(x)=(3-x²)(x²+6).

11) Вычислите f ‘(1), если f(x)=(x⁴-3)(x²+2).

12) Найдите значение производной функции в точке х₀ = 0,5.

13) Найдите f ‘(4), если .

14) Найдите значение производной функции f(x)=3tgx+2ctgx при .

15) Найдите значение производной функции f(x)=2sinx при .

16) Найдите значение производной функции f(x)=1-3cosx при .

17) Определите промежутки возрастания и убывания функции .

18) Найдите максимум и минимум функции y=5x⁴-10x²+9.

19) Найти экстремумы функции у = – х³ + 6х² + 15х + 1.

20) Найдите точки экстремума функции у = – х³ – 3х² + 24х – 4 на промежутке .

21) Найдите наибольшее значение выражения 3х⁵ – 5х³ + 6 на отрезке [–2;2].

22) Написать уравнение касательной к параболе у = х² – 6х + 5 в точке пересечения её с осью ординат.

23) Найдите максимум функции .

24) Найдите экстремальные значения функции .

25) Исследуйте на максимум и минимум функцию у = 3х⁴ – 3х² + 2.

26) Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции в его точке с абсциссой х₀ = – 2.

27) Составьте уравнение касательной к графику функции у = х – 3х² в точке с абсциссой х₀ = 2.

28) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y=7x-5sinx в точке с абсциссой .

Найдите первообразные функций:

29) .

30) f(x)=-7sinx.

31) .

32) f(x)=1,2cosx.

33) f(x)=-7cosx.

34) f(x)=sinx-cosx.

35) .

36) .

37) .

Вычислите площадь фигур, ограниченных линиями:

38) .

39) .

40) .

41) .

Повышенный уровень

Производная функции

42) Найдите значение , если .

43) Найдите значение , если f(x)=sin⁴x-cos⁴x.

44) Найдите значение , если f(x)=cos²3x .

45) Найдите значение , если f(x)=sin4xcos4x.

46) Найдите значение , если .

47) Найдите значение , если .

48) Найдите значение , если f(x)=(1+sinx)².

49) При каком значении параметра а функция имеет минимум в точке x₀=1?

50) Решите уравнение f ‘(x)=0, если .

51) Найдите наименьшее целое значение функции у = 4^х – 5∙2^х + 3,25.

52) При каких значениях а функция убывает на всей числовой прямой?

53) На кривой у = 4х² – 6х + 3 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой у = 2х + 3.

54) Найти значение выражения tg2t, где t – наибольший отрицательный корень уравнения f ‘(x)=0, .

Первообразная

55) Найдите значение первообразной функции , график которой проходит через данную точку .

56) Найдите значение первообразной функции , график которой проходит через данную точку .

57) Найдите значение первообразной функции при , график которой проходит через данную точку .

Задача о площади криволинейной трапеции

58) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

59) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

60) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

Источник

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Источник