Как найти производную пятого порядка

Вычисления производной любого порядка

оксана николаевна кузнецова

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Пусть $y = uv$, где $u$ и $v$ — некоторые функции от переменной $х$, имеющие производные любого порядка. Тогда

Правая часть данных выражений похожа на разложение степеней бинома $(u + v)n$ по формуле Ньютона, вместо показателей степени стоят числа, определяющие порядок производных, а $u$ и $v$ можно рассматривать как производные 0-го порядка. Таким образом, общий вид $n$-й производной произведения двух функций:

Формула получила название формулы Лейбница для нахождения производных любого порядка.

Пример 1

Найти производную третьего порядка

[y(x)=5x^{2} ln x]

Решение.

1. Запишем производную по формуле Лейбница

[y^{(3)} (x)=left(5x^{2} right)^{(3)} ln x+C_{3}^{1} left(5x^{2} right){{‘} } {{‘} } ln x’+C_{3}^{2} left(5x^{2} right){{‘} } ln x»+5x^{2} ln x^{(3)} ]

2. Посчитаем коэффициенты при слагаемых

[C_{3}^{1} =frac{3!}{1!(3-1)!} =frac{3!}{2!} =frac{2!3}{2!} =3]

[C_{3}^{2} =frac{3!}{2!(3-2)!} =frac{3!}{2!} =frac{2!3}{2!} =3]

3. Найдем производные первого сомножителя

[left(5x^{2} right){{‘} } =10x]

[left(5x^{2} right){{‘} } {{‘} } =left(10xright){{‘} } =10]

[left(5x^{2} right){{‘} } {{‘} {‘} } =left(10right){{‘} } =1]

4. Найдем производные второго сомножителя

[ln x’=frac{1}{x} ]

[ln x»=left(frac{1}{x} right){{‘} } =-frac{1}{x^{2} } ]

[ln x»’=left(-frac{1}{x^{2} } right){{‘} } =frac{2}{x^{3} } ]

5. Подставим найденные значения в формулу Лейбница

[y^{(3)} (x)=1cdot ln x+3cdot 10cdot frac{1}{x} -3cdot 10xcdot frac{1}{x^{2} } +5x^{2} frac{2}{x^{3} } ]

6. Упростим выражение

[y^{(3)} (x)=ln x+frac{30}{x} -frac{30}{x} +frac{10}{x} =ln x+frac{10}{x} ]

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Пример 2

Найти производную четвертого порядка

[y(x)=e^{4x} sin 3x]

Решение.

1. Запишем производную по формуле Лейбница

[y^{(4)} (x)=left(e^{4x} right)^{(4)} sin 3x+C_{4}^{1} left(e^{4x} right)^{(3)} sin 3x’+C_{4}^{2} left(e^{4x} right)^{(2)} sin 3x»+C_{4}^{3} left(e^{4x} right){{‘} } sin 3x»’+e^{4x} sin 3x^{(4)} ]

2. Посчитаем коэффициенты при слагаемых

[C_{4}^{1} =frac{4!}{1!(4-1)!} =frac{4!}{3!} =frac{3!4}{3!} =4]

[C_{4}^{2} =frac{4!}{2!(4-2)!} =frac{4!}{2!2!} =frac{1cdot 2cdot 3cdot 4}{1cdot 2cdot 1cdot 2} =6]

[C_{4}^{3} =frac{4!}{3!(4-3)!} =frac{4!}{3!1!} =frac{3!4}{3!} =4]

3. Найдем производные первого сомножителя

[left(e^{4x} right){{‘} } =e^{4x} cdot 4x’=4e^{4x} ]

[left(e^{4x} right){{‘} } {{‘} } =left(4e^{4x} right){{‘} } =16e^{4x} ]

[left(e^{4x} right){{‘} } {{‘} } {{‘} } =left(16e^{4x} right){{‘} } =64e^{4x} ]

[left(e^{4x} right)^{(4)} =left(64e^{4x} right){{‘} } {{‘} } {{‘} } =256e^{4x} ]

4. Найдем производные второго сомножителя

[sin 3x’=cos 3xcdot 3x’=3cos 3x]

[sin 3x»=left(3cos 3xright){{‘} } =3left(-sin 3xright)cdot left(3xright){{‘} } =-9sin 3x]

[sin 3x»’=left(-9sin 3xright){{‘} } ^{} =-27cos 3x]

[sin 3x^{(4)} =left(-27cos 3xright){{‘} } =81sin 3x]

5. Подставим найденные значения в формулу Лейбница

[y^{(4)} (x)=256e^{4x} sin 3x+4cdot 64e^{4x} cdot 3cos 3x+6cdot 16e^{4x} cdot left(-9sin 3xright)+4cdot 4e^{4x} cdot left(-27cos 3xright)+e^{4x} cdot 81sin 3x]

6. Упростим

[y^{(4)} (x)=e^{4x} (336cos 3x-527sin 3x)]

«Вычисления производной любого порядка» 👇

Пример 3

Найти производную пятого порядка

[y(x)=x^{10} e^{x} ]

Решение.

1. Запишем производную по формуле Лейбница

[x^{10} {{‘} } =10x^{9} ]

2. Посчитаем коэффициенты при слагаемых

[C_{5}^{1} =frac{5!}{1!(5-1)!} =frac{4!5}{4!} =5]

[C_{5}^{2} =frac{5!}{2!(5-2)!} =frac{3!4cdot 5}{2!3!} =10]

[C_{5}^{3} =frac{5!}{3!(4-2)!} =frac{5!}{3!2!} =frac{1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5}{1cdot 2cdot 3cdot 1cdot 2} =10]

[C_{5}^{4} =frac{5!}{4!(5-4)!} =frac{5!}{4!} =frac{4!5}{4!} =5]

3. Производная любого порядка $ех$ равна $ех$
4. Найдем производные второго сомножителя

[x^{10}{{‘} } =10x^{9} ]

[x^{10}{{‘} }{{‘} } =left(10x^{9} right){{‘} } =90x^{8} ]

[x^{10}{{‘} }{{‘} }{{‘} } =left(90x^{8} right){{‘} } =720x^{7} ]

[x^{10}{(4)} =720x^{7} {{‘} } =5040x^{6} ]

[x^{10}{(5)} =5040x^{6} {{‘} } =30240x^{5} ]

5. Подставим найденные значения в формулу Лейбница

[y^{(5)} (x)=30240x^{5} e^{x} +5cdot 5040x^{6} e^{x} +10cdot 720x^{7} e^{x} +10cdot 90x^{8} e^{x} +5cdot 10x^{9} e^{x} +x^{10} e^{x} ]

6. Упростим

[y^{(5)} (x)=30240x^{5} e^{x} +25200x^{6} e^{x} +7200x^{7} e^{x} +900x^{8} e^{x} +50x^{9} e^{x} +x^{10} e^{x} =]

[y^{(5)} (x)=x^{5} e^{x} left(30240+25200x+7200x^{2} +900x^{3} +50x^{4} +x^{5} right)]

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 11.12.2022

Пусть
функция
дифференцируема в некотором интервале.
Тогда её производная
,
вообще говоря, зависит отх
, то есть
является функцией от х.
Следовательно, по отношению к ней снова
можно ставить вопрос о существовании
производной.

Определение.
Производная
от первой производной называется
производной
второго порядка или второй производной
и обозначается символом
или,
то есть

.

Пример
1. Найти
вторую производную от функции
.

Решение. Найдем
первую производную функции:

.

Находим вторую
производную как производную первой
производной:

.

Определение.
Производная
от второй производной называется
производной третьего порядка или третьей
производной и обозначается символом
или.

Определение.
Производной
n-ого
порядка функции

называется
первая производная от производной
(n-1)-го
порядка данной функции и обозначается
символом
или:

.

Определение.
Производные
порядка выше первого называются
высшими
производными.

Пример
2. Найти
производную четвертого порядка функции
.

Решение. Находим
последовательно первую, вторую, третью
и четвертую производные:

,

,,.

Пример
3.Найти
производную n-ого
порядка для функции
(k—const).

Решение. Имеем:

,

,,.

Пример
4. Найти
производную n-ого
порядка для функции
.

Решение. Имеем:

,

,

,

,

.

Замечание.
Аналогично можно получить формулу n-ой
производной функции
:

.

Пример
5. Найти
производную n-ого
порядка для степенной функции
, гдеи— любое вещественное число.

Решение.
Дифференцируя последовательно, получим:

,

,,

.

В
частном случае, когда
,
гдеm
– натуральное число, получим:

,

при.

Замечание.
При строгом выводе формулы для производной
n-ого
порядка следует применять метод
математической индукции.

Вторая
производная параметрически заданной
функции

Если
функция задана параметрически уравнениями
,
то для нахождения производной второго
порядка нужно продифференцировать
выражение для её первой производной,
как сложной функции независимой
переменной.

Так
как
,
то

,

и с учетом того,
что

,

получим

,
то есть

.

Аналогично можно найти третью
производную

.

Пример
7. Найти
вторую производную параметрически
заданной функции
,.

Решение.,

.

Формула Лейбница

Для
нахождения производной n-ого
порядка от произведения двух функций
большое практическое значение имеет
формула Лейбница.

Пусть
u
и
v
— некоторые
функции от переменной х,
имеющие производные любого порядка и
y=uv.
Выразим n-ую
производную
через производные функцийu
и
v.

Имеем последовательно

,

,

.

Легко подметить
аналогию между выражениями для второй
и третьей производных и разложением
бинома Ньютона соответственно во второй
и третьей степенях, но вместо показателей
степени стоят числа, определяющие
порядок производной, а сами функции
можно рассматривать как «производные
нулевого порядка». Учитывая это, получим
формулу Лейбница:

. (2)

Эту формулу
можно доказать методом математической
индукции.

Пример.
Найти пятую
производную функции
.

Решение.
Положим
и.
Найдем,,,,;.
Подставляя эти выражения в формулу
Лейбница при,
получим

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

• Механический смысл второй производной
• Вычисления производной любого порядка, формула Лейбница

Если функция $y=f(x)$ имеет производную в каждой точке
$x$ своей области определения, то ее производная
$f^{prime}(x)$ есть функция от
$x$. Функция
$y=f^{prime}(x)$, в свою очередь, может иметь производную, которую
называют производной второго порядка функции $y=f(x)$ (или второй
производной) и обозначают символом $f^{prime prime}(x)$. Таким образом

$f^{prime prime}(x)=frac{mathrm{d}^{2} y}{mathrm{d} x^{2}}=lim _{x rightarrow x_{0}} frac{f^{prime}(x)-f^{prime}left(x_{0}right)}{x-x_{0}}=left(f^{prime}(x)right)^{prime}$

Производные более высоких порядков определяются аналогично. То есть производная
$n$-го порядка функции
$f(x)$ есть первая производная от производной
$(n-1)$-го порядка этой функции:

$f^{(n)}(x)=frac{mathrm{d}^{n} y}{mathrm{d} x^{n}}=left(f^{(n-1)}(x)right)^{prime}$

Механический смысл второй производной

Вычисления производной любого порядка, формула Лейбница

Для вычисления производной любого порядка от произведения двух функций, минуя последовательное применение
формулы вычисления производной от произведения двух функций, применяется формула Лейбница:

$(u v)^{(n)}=u^{(n)} v+C_{n}^{1} u^{(n-1)} v^{prime}+C_{n}^{2} u^{(n-2)} v^{prime prime}+ldots+C_{n}^{n-1} u^{prime} v^{(n-1)}+u v^{(n)}$

где $C_{n}^{k}=frac{n !}{k !(n-k) !}$,
$n !=1 cdot 2 cdot ldots cdot n$ — факториал
натурального числа
$n$.

Читать дальше: таблица производных высших порядков.

Данный калькулятор вычисляет первую вторую и другие производные заданной функции.
В поле функция введите математическое выражение с переменной x, в выражении используйте стандартные операции + сложение, — вычитание, / деление, * умножение, ^ — возведение в степень, а также математические функции. Полный синтаксис смотрите ниже. Для сложных функций калькулятор может работать довольно долго, так как используется не очень оптимальный алгоритм упрощения.

Калькулятор производных второго и более порядка

Синтаксис описания формул

В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + — сложение, — — вычитание, * — умножение, / — деление, ^ — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec — экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), log__p — логарифм по основанию p, например log7(x) — логарифм по основанию 7, root__p — корень степени p, например root3(x) — кубический корень.

Пошаговый алгоритм вычисления одной производной, а также правила вычисления производных можно найти тут Производная функции.

Содержание:

1. Производные высших порядков
2. Производные высших порядков с примерами
3. Производные высших порядков сложных функций, обратных функций и функций, заданных параметрически

Производные высших порядков

Производная функции у = f (x) является также функцией:  у’= f’ (x).

Эта функция также может иметь производную. Эта новая производная называется второй производной функции у = f (x) или производной функции f (x) второго порядка и обозначается или  .
Производная второй производной, то есть функции называется третьей производной или производной третьего порядка и обозначается символом или . Так можно ввести производные четвертого, пятого и вообще n-го порядка, которые обозначают   .

Пример 1. Найти производную четвертого порядка функции .

Решение. Имеем:       

Пример 2. Найти производные n-го порядка от функций
а) y = e^x,     б) y = sin x,     в) y = cos x.
Решение.
а)
б) 

и по индукции   
в) аналогично находим

Производные высших порядков с примерами

Пусть функция имеет производную во всех точках некоторой окрестности точки Если функция в свою очередь имеет в точке производную то она называется второй производной функции в точке и обозначается или Таким образом, опуская обозначения аргумента, имеем

Аналогично определяются и производные более высоких порядков

где для удобства считается, что

Примеры:

1. Если то вообще, В частности, если то

2. Если Заметив, что получим

Вообще,

Аналогично,

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Теорема 1. Если функции имеют в точке производные порядка то любая их линейная комбинация и их произведение имеют в точке производные порядка причем

Все производные в формулах (11.5) и (11.6) берутся в точке биномиальные коэффициенты.

Символическая запись означает, что это выражение (см. среднюю часть формулы (11.6)) по своей структуре напоминает формулу бинома Ньютона

только вместо степеней берутся производные соответствующих порядков функций Формула (11.6) называется формулой Лейбница*).

Докажем формулы (11.5) и (11.6) методом математической индукции. В п. 10.5 формула (11.5) была доказана для

Пусть справедлива формула (11.5); покажем, что тогда будет справедлива и аналогичная формула для производной порядка

Формула (11.5) доказана; докажем формулу (11.6).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть справедлива формула (11.6) для производной порядка от произведения функций. Докажем, что тогда будет справедлива и аналогичная формула для производной порядка

Вспомнив, что (см. п. 2.4)

получим

Производные высших порядков сложных функций, обратных функций и функций, заданных параметрически

С помощью формулы производной сложной функции (см. п. 10.7) можно вычислять и производные высших порядков сложной функции. Пусть функция дважды дифференцируема в точке функция дважды дифференцируема в точке и имеет смысл сложная функция Вычислим вторую производную сложной функции (для простоты записи аргумент писать не будем):

Аналогично вычисляются и производные более высоких порядков. С помощью формул производных обратной функции (см. п. 10.6) и сложной функции (см. п. 10.7) можно вычислять производные высших порядков обратных функций. Вычислим, например, вторую производную. Пусть функция дважды дифференцируема в точке в ее окрестности непрерывна и строго монотонна, причем Тогда для второй производной имеем в точке

Рассмотрим теперь параметрическое задание функций. Пусть на некотором множестве задана пара функций

причем одна из них, например, строго монотонна на этом множестве и, следовательно, существует обратная функция

для которой является множеством значений.

Тогда функция называется параметрически заданной функцией (уравнениями (11.9)). Она определена на множестве значений функции

Если функции и дифференцируемы в точке функция непрерывна и строго монотонна в окрестности этой точки и то функция дифференцируема в точке причем

ибо

Аналогично вычисляются и производные высших порядков. Например, если функции (11.9) дважды дифференцируемы в точке и то

Выведенные здесь формулы не предназначены для запоминания. Достаточно усвоить метод их получения.