Как найти производную с корнем в кубе - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Производная корня

Опубликовано 10.07.2021

Производная корня из x – это формула определения производной функции, выраженной корнем из x или производной корня из выражения относительно x. Все производные смотрите в таблице производных.

Формула производной квадратного корня

Давайте выведем с вами формулу для производной корня для простой функции, опираясь на формулу производной степени $(x^n)'=n cdot x^{n-1}$ :

$displaystyle (sqrt{x})'=(x^{frac{1}{2}})'= frac{1}{2}x^{frac{1}{2}-1}=frac{1}{2}=x^{-frac{1}{2}}=frac{1}{2 sqrt{x}}$ ,

То есть, получается, что формула производной корня: $displaystyle (sqrt{x})'=frac{1}{2 sqrt{x}}$ , где

Производная корня любой степени

Аналогично определим производную корня любой степени. Например, пусть нам нужно определить производную кубического корня иначе находим производную корня третьей степени из x.

Формула производной корня

Производная кубического корня

Определим производную корня кубического: $sqrt[3]{x^2}$ . Запишем этот корень как степень от . Получим $x^{frac{2}{3}}$ .

Находим производную:

$displaystyle (sqrt[3]{x^2})'=(x^{frac{2}{3}})'=frac{2}{3} cdot x^{frac{2}{3}-1}=frac{2}{3} cdot x^{-frac{1}{3}}$ или

$displaystyle (sqrt[3]{x^2})'=frac{2}{3 sqrt[3]{x}}$

Примеры нахождения производной корня

Пример 1

Найдите производную функции: при

Решение: находим производную функции: $displaystyle y'=frac{1}{2sqrt{x}}$ , теперь подставим данное значение . Получим $displaystyle y'(4)=frac{1}{2sqrt{4}}=frac{1}{4}$

Пример 2

Найдите производную функции . То есть нам нужно узнать, какова будет производная корня четвертой степени из x.

Решение: представим корень в виде степени. Получим $displaystyle sqrt[4]{x}=x^{frac{1}{4}}$ . Теперь легко можно найти производную, зная формулу производной степени.

$displaystyle f'(x)=(x^{frac{1}{4}})'=frac{1}{4} x^{frac{1}{4}-1}=frac{1}{4}x^{frac{-3}{4}}=frac{1}{4x^{frac{3}{4}}}=frac{1}{4 sqrt[4]{x^3}}$

Таким образом, теперь легко определять производную корня любой степени, просто представляя сам корень в виде степени и зная формулу производной степени.

( 5 оценок, среднее 4.2 из 5 )

Источник

См. также:

таблица производных простых функций

таблица производных логарифмических функций

таблица производных тригонометрических функций

Производная корня. Формулы для нахождения производной корня

Общий случай формулы производной корня произвольной степени — дробь, в числителе которой единица, а в знаменателе число, равное степени корня, для которого вычислялась производная, умноженная на корень такой же степени, подкоренное выражение которого — переменная в степени корня, для которого вычислялась производная, уменьшенной на единицу
Производная квадратного корня — является частным случаем предыдущей формулы. Производная квадратного корня из x — это дробь, числитель которого равен единице, а знаменатель — двойка, умноженная на квадратный корень х
Производная кубического корня, также частный случай общей формулы. Производная кубического корня — это единица, деленная на три кубических корня из икс квадрат.

Ниже приведены преобразования, поясняющие, почему формулы нахождения производной квадратного и кубического корня именно такие, как приведены на рисунке.

Разумеется, данные формулы можно вообще не запоминать, если принять во внимание, что извлечение корня производной степени — это то же самое, что возведение в степень дроби, знаменатель которой равен той же степени. Тогда нахождение производной корня сводится к применению формулы нахождения производной степени соответствующей дроби.

Производная переменной под квадратным корнем

( √x )’ = 1 / ( 2√x ) или 1/2 х^-1/2

Пояснение:

( √x )’ = ( х^1/2 )’

Квадратный корень — это точно то же самое действие, что и возведение в степень 1/2, значит для нахождения производной корня можно применить формулу из правила нахождения производной от переменной в произвольной степени:

( х^1/2 )’ = 1/2 х^-1/2 = 1 / (2√х)

Производная кубического корня (производная корня третьей степени)

Производная кубического корня находится точно по такому же принципу, что и квадратного.

Представим себе кубический корень как степень 1/3 и найдем производную по общим правилам дифференцирования. Краткую формулу можно посмотреть на картинке выше, а ниже расписано пояснение, почему именно так.

Степень -2/3 получается в следствие вычитания единицы из 1/3

Производная переменной под корнем произвольной степени

Данная формула пригодна для нахождения производной корня любой степени:

( ⁿ√x )’ = 1 / ( n ⁿ√x^n-1 )

В более удобном для глаза виде она представлена на картинке выше.

Здесь:

n — степень корня, для которой находится производная

x — переменная, для которой находится производная

2080.1947

Производная дроби |

Описание курса

| Нахождение экстремума функции

Источник

Производная кубического корня равна 1 в трехкратном увеличении основания, возведенного в степень 2/3. Это на случай, если база неизвестна.

Чтобы продемонстрировать вышесказанное, мы должны помнить, что кубический корень эквивалентен экспоненциальной функции, показатель степени которой равен 1/3. Итак, мы помним, что производная степени равна показателю степени, умноженному на основание, возведенное в степень минус 1.

С математической точки зрения это можно объяснить следующим образом:

Мы могли бы даже обобщить вышеизложенное для всех корней:

Возвращаясь к корню куба, если он повлияет на функцию, производная будет вычислена, следуя цепному правилу, следующим образом: f ‘(x) = ny^п-1Y ‘. То есть мы должны добавить к предыдущему вычислению производную функции, на которую влияет кубический корень.

Примеры производных кубического корня

Давайте посмотрим на несколько примеров того, как вычислить производную кубического корня:

Теперь давайте посмотрим на пример, который немного сложнее:

Вы поможете развитию сайта, поделившись страницей с друзьями

Источник

Как найти производную корня

В задачах по математическому анализу иногда требуется найти производную корня. В зависимости от условий задачи, производная от функции «корень квадратный» (кубический) находится непосредственно или путем преобразования «корня» в степенную функцию с дробным показателем.Вам понадобится

Перед тем как находить производную корня, обратите внимание на остальные функции, присутствующие в решаемом примере. Если в задаче имеется много подкоренных выражений, то воспользуйтесь следующим правилом нахождения производной квадратного корня:

(√х)’ = 1 / 2√х.

А для нахождения производной кубического корня примените формулу:

(³√х)’ = 1 / 3(³√х)²,

где через³√х обозначен кубический корень из х.

Если в примере, предназначенном для дифференцирования, встречается переменная в дробных степенях, то переведите обозначение корня в степенную функцию с соответствующим показателем. Для квадратного корня это будет степень ½, а для кубического корня – ⅓:

√х = х ^ ½,
³√х = x ^ ⅓,

где символ ^ обозначает возведение в степень.

Для нахождения производной степенной функции вообще и х^½, x^⅓, в частности, воспользуйтесь следующим правилом:

(х ^ n)’ = n * x^(n-1).

Для производной корня из этого соотношения вытекает:

(х^½)’ = ½ x ^ (-½) и
(x^⅓)’ = ⅓ x ^ (-⅔).

Продифференцировав все корни, внимательно посмотрите на остальные части примера. Если в ответе у вас получилось очень громоздкое выражение, то наверняка его можно упростить. Большинство школьных примеров составлено таким образом, чтобы в итоге получилось небольшое число или компактное выражение.

Во многих задачах на нахождение производной, корни (квадратные и кубические) встречаются вместе с другими функциями. Чтобы найти производную корня в этом случае, применяйте следующие правила:
• производная константы (постоянного числа, C) равняется нулю: C’ = 0;
• постоянный множитель выносится за знак производной: (k*f)’ = k * (f)’ (f – произвольная функция) ;
• производная суммы нескольких функций равняется сумме производных: (f + g)’ = (f)’ + (g)’;
• производная произведения двух функций равняется… нет, не произведению производных, а следующему выражению: (fg)’ = (f)’g + f (g)’;
• производная частного также равняется не частному производных, а находится согласно следующего правила: (f/g)’ = ((f)’g – f(g)’) / g².

Источник

Сообщения без ответов | Активные темы

Автор

Сообщение

Arina_Bunakova

Заголовок сообщения: производная кубического корня

Добавлено: 11 дек 2011, 17:45

Начинающий

Зарегистрирован:
11 дек 2011, 17:29
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, как решить вот это задание
Требуется вычислить значение производной:

f(t) = корень кубический, под корнем (20 — t в квадрате) при t = 4

Заранее спасибо.

Вернуться к началу

Arina_Bunakova	Заголовок сообщения: Re: производная кубического корня Добавлено: 11 дек 2011, 18:28
	СПасибо Вам
Вернуться к началу

Vadim Shlovikov	Заголовок сообщения: Re: производная кубического корня Добавлено: 11 дек 2011, 18:28
	[math]f(t)=sqrt[3]{20-t^2}=(20-t^2)^{frac{1}{3}}[/math] [math]f'(t)=frac{1}{3}(-2t)frac{1}{(20-t^2)^{frac{2}{3}}}=-frac{2t}{3(20-t^2)^{frac{2}{3}}}[/math] [math]f'(4)=-frac{2cdot4}{3(20-4^2)^{frac{2}{3}}}=-frac{8}{3cdot2cdot2^{frac{1}{3}}}=-frac{2^{frac{5}{3}}}{3}[/math]
Вернуться к началу

	За это сообщение пользователю Vadim Shlovikov «Спасибо» сказали: Arina_Bunakova, Sviatoslav

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Расписать извлечение кубического корня в форуме Алгебра	Chika	5	871	13 мар 2015, 20:23
Найти мат.ожидание кубического корня из случайной величины в форуме Математическая статистика и Эконометрика	Pan40	6	2636	04 ноя 2019, 17:45
Производная от корня из e в форуме Дифференциальное исчисление	slavapegaskin	2	636	08 окт 2016, 10:52
Корни кубического уравнения в форуме Алгебра	Avgust	5	731	17 июл 2013, 14:41
Решение кубического уравнения в форуме Алгебра	lunosvet	1	156	18 дек 2019, 18:05
Поиск коэффициентов кубического сплайна в форуме Численные методы	uiiiiiii	3	181	29 мар 2022, 04:09
Теорема Виета для кубического уравнения в форуме Алгебра	judokach	3	285	12 окт 2018, 20:06
Разложение кубического уравнения на множители в форуме Алгебра	TsaAst	37	668	13 май 2022, 19:50
Предел разности кубического и квадратного корней в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций	Nowiz	9	373	30 янв 2018, 00:19
Доказательство вещественности корней кубического уравнения в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	vyeujdyjherfvb	0	331	29 сен 2015, 19:33

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group

Вы можете создать форум бесплатно PHPBB3 на Getbb.Ru, Также возможно сделать готовый форум PHPBB2 на Mybb2.ru

Русская поддержка phpBB

Источник