15 мая 2014
Иногда в задаче 6 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.
На самом деле все просто. Скорость — это производная от расстояния, а ускорение — это производная скорости (или, что то же самое, вторая производная от расстояния). В этом коротком видео вы убедитесь, что такие задачи решаются ничуть не сложнее «классических» заданий 6.
Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах. Все дело в том, что они требуют понимать физический смысл производной функции. В данных задачах речь пойдет о функциях, выражающих расстояния.
Если $S=xleft( t right)$, то $v$ мы можем посчитать следующим образом:
[v={S}’={x}’left( t right)]
Точно так же мы можем посчитать и ускорение:
[a={v}’={{S}’}’={{x}’}’left( t right)]
Эти три формулы – все, что вам потребуется для решения таких примеров на физический смысл производной. Просто запомните, что $v$ — это производная от расстояния, а ускорение — это производная от скорости.
Давайте посмотрим, как это работает при решении реальных задач.
Пример № 1
Материальная точка движется по закону:
[xleft( t right)=-frac{1}{5}{{t}^{5}}+{{t}^{4}}-{{t}^{3}}+5t]
где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени $t=2c$.
Это означает, что у нас есть функция, задающая расстояние, а нужно посчитать скорость в момент времени $t=2c$. Другими словами, нам нужно найти $v$, т.е.
[v={S}’={x}’left( 2 right)]
Вот и все, что нам нужно было выяснить из условия: во-первых, как выглядит функция, а во-вторых, что от нас требуется найти.
Давайте решать. В первую очередь, посчитаем производную:
[{x}’left( t right)=-frac{1}{5}cdot 5{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5]
[{x}’left( t right)=-{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5]
Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим:
[{x}’left( 2 right)=-{{2}^{4}}+4cdot {{2}^{3}}-3cdot {{2}^{2}}+5=]
[=-16+32-12+5=9]
Вот и все, мы нашли окончательный ответ. Итого, скорость нашей материальной точки в момент времени $t=2c$ составит 9 м/с.
Пример № 2
Материальная точка движется по закону:
[xleft( t right)=frac{1}{3}{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}+19t-11]
где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 3 м/с?
Взгляните, в прошлый раз от нас требовалось найти $v$ в момент времени 2 с, а в этот раз от нас требуется найти тот самый момент, когда эта скорость будет равна 3 м/с. Можно сказать, что нам известно конечное значение, а по этому конечному значению нам требуется найти исходное.
В первую очередь, вновь ищем производную:
[{x}’left( t right)=frac{1}{3}cdot 3{{t}^{2}}-4cdot 2t+19]
[{x}’left( t right)={{t}^{2}}-8t+19]
От нас просят найти, в какой момент времени скорость будет равна 3 м/с. Составляем и решаем уравнение, чтобы найти физический смысл производной:
[{{t}^{2}}-8t+19=3]
[{{t}^{2}}-8t+16=0]
[{{left( t-4 right)}^{2}}=0]
[t-4=0]
[t=4]
Полученное число означает, что в момент времени 4 с $v$ материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.
Ключевые моменты
В заключении давайте еще раз пробежимся по самому главному моменту сегодняшней задачи, а именно, по правилу преобразования расстояние в скорость и ускорение. Итак, если нам в задаче прямо описан закон, прямо указывающий расстояние от материальной точки до точки отсчета, то через эту формулу мы можем найти любую мгновенную скорость (это просто производная). И более того, мы можем найти еще и ускорение. Ускорение, в свою очередь, равно производной от скорости, т.е. второй производной от расстояния. Такие задачи встречаются довольно редко, поэтому сегодня мы их не разбирали. Но если вы увидите в условии слово «ускорение», пусть оно вас не пугает, достаточно просто найти еще одну производную.
Надеюсь, этот урок поможет вам подготовиться к ЕГЭ по математике.
Смотрите также:
- Не допускайте таких ошибок, когда видите график производной в задаче 6 из ЕГЭ по математике!
- ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная и квадратичная функция с параметром
- Схема Бернулли. Примеры решения задач
- Комбинаторика в задаче B6: средний тест
- Как решать задачи про летающие камни?
- B4: счетчики на электричество
Применение производной в физике и технике
- Скорость и ускорение
- Физические величины как производные от других величин
- Примеры
п.1. Скорость и ускорение
Рассматривая физический смысл производной (см. §42 данного справочника), мы выяснили, что:
Производная функции (y=f(x)) в точке (x_0) равна скорости изменения функции в этой точке.
Например:
Рассмотрим прямолинейное равноускоренное движение.
Уравнение этого движения имеет вид: $$ x(t)=x_0+v_0t+frac{at^2}{2} $$ где (x(t)) — ккордината тела в произвольный момент времени (t, x_0) — начальная координата, (v_0) — начальная скорость, (a=const) — ускорение, действующее на тело.
Чтобы найти скорость тела из этого уравнения, нужно найти производную от координаты по времени: $$ v(t)=x'(t)=left(x_0+v_0t+frac{at^2}{2}right)’=0+v_0cdot 1+frac a2cdot 2t=v_0+at $$ Чтобы найти ускорение, нужно найти производную от скорости: $$ a(t)=v'(t)=x»(t)=(v_0+at)’=0+acdot 1=a=const $$
п.2. Физические величины как производные от других величин
Если рассматривать уравнение процесса (s=f(t)), его производной будет величина $$ f'(t)=lim_{triangle trightarrow 0}frac{triangle s}{triangle t} $$ Такие величины часто встречаются в различных разделах физики и техники.
Исходная величина (процесс)
Производная по времени
Координата (x(t))
Скорость (v(t)=x'(t))
Ускорение (a(t)=v'(t)=x»(t))
Угол поворота (varphi(t))
Угловая скорость (omega(t)=omega'(t))
Угловое ускорение (beta(t)=omega'(t)=varphi»(t))
Масса горючего ракеты (m(t))
Скорость расходования горючего (u(t)=m'(t))
Температура тела (T(t))
Скорость нагрева (v_T(t)=T'(t))
Заряд (q(t))
Сила тока (I(t)=q'(t))
Работа (A(t))
Мощность (N(t)=A'(t))
Магнитный поток (Ф(t))
ЭДС индукции (varepsilon(t)=-Ф'(t))
Число атомов радиоактивного вещества (N(t))
Скорость радиоактивного распада (I(t)=-N'(t))
Конечно же, в физике далеко не обязательно берут производную только по времени.
Например, для теплоты Q(T) теплоемкость равна C(T)=Q'(T), где T — температура.
А для процесса теплопереноса температура u(x,t) в точке с координатой x в момент времени t определяется уравнением теплопроводности: $$ frac{partial u(x,t)}{partial t}-a^2frac{partial^2 u(x,t)}{partial x^2}=f(x,t) $$ и производные берутся по времени (left(frac{partial u}{partial t}right)) и по координате (left(frac{partial u}{partial x}right)), причем по координате берется производная второго порядка (left(frac{partial^2 u}{partial x^2}right)).
Поэтому в физике для производных чаще используются обозначения Лейбница, в которых хорошо видна как функция, так и аргумент.
Например, для производных функции от одной переменной: (frac{partial varphi}{partial t}, frac{partial p}{partial V}, frac{partial Q}{partial T},…)
Для производных функций от многих переменных: (frac{partial u}{partial t}, frac{partial u}{partial x}, frac{partial u}{partial y}, frac{partial u}{partial z},…)
п.3. Примеры
Пример 1. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону (x(t)=t^2+t+1) (м). Найдите: 1) кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения; 2) силу, действующую на тело в это время.
1) Кинетическая энергия равна (E=frac{mv^2}{2})
Скорость тела: (v(t)=x'(t)=(t^2+t+1)’=2t+1)
Через 3 с: (v(3)=2cdot 3+1=7) (м/с)
Подставляем: (E=frac{6cdot 7^2}{2}=147) (Дж)
2) Сила по второму закону Ньютона: (F=ma)
Ускорение тела: (a(t)=v'(t)=(2t+1)’=2) (м/с^2)
Ускорение постоянно.
На тело действует постоянная сила: (F=6cdot 2=12) (Н)
Ответ: 147 Дж; 12 Н
Пример 2. Маховик вращается по закону (varphi (t)=4t-0,5t^2) (рад)
Найдите момент времени, в который маховик остановится.
Угловая скорость: (omega(t)=varphi ‘(t)=(4t-0,5t^2 )’=4-0,5cdot 2t=4-t)
В момент остановки угловая скорость равна 0. Решаем уравнение: $$ 4-t=0Rightarrow t=4 (c) $$ Ответ: 4 c
Пример 3. Ракету запустили вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. В какой момент времени и на какой высоте ракета достигнет наивысшей точки (g≈10м/с2)?
Выберем начало отсчета на земле ((y_0=0)), направим ось y вверх.
Начальная скорость направлена вверх, её проекция на ось положительна.
Ускорение свободного падения направлено вниз, его проекция отрицательна.
Уравнение движения: $$ y(t)=y_0+v_{0y}t+frac{g_y t^2}{2}=0+40t-frac{10t^2}{2}=40t-5t^2 $$ В верхней точке траектории ракета останавливается, её скорость равна 0.
Найдем скорость: $$ v(t)=y'(t)=40-5cdot 2t=40-10t $$ Найдем момент остановки в верхней точке: $$ 40-10t_0=0Rightarrow t_0=frac{40}{10}=4 (c) $$ Найдем высоту подъема в верхней точке: $$ H_{max}=y(t_0)=40cdot 4-5cdot 4^2=80 (м) $$ Ответ: 4 с, 80 м
Пример 4. Через поперечное сечение проводника проходит заряд (q(t)=ln(t+1)) (Кл). В какой момент времени сила тока в проводнике равна 0,1 А?
Сила тока: $$ I(t)=q'(t)=(ln(t+1))’=frac{1}{t+1} $$ По условию: $$ frac{1}{t_0+1}=0,1Rightarrow t_0+1=frac{1}{0,1}=10Rightarrow t_0=9 (c) $$ Ответ: 9 c
Пример 5. Колесо вращается так, что угол его поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот оно сделало за 8 с. Найдите угловую скорость через 48 с после начала вращения.
По условию угол поворота (varphi (t)=At^2)
Один оборот (2pi) радиан был сделан за 8 с. Получаем уравнение: (Acdot 8^2=2pi)
Находим коэффициент (A=frac{2pi}{8^2}=frac{pi}{32})
Уравнение движения (varphi(t)=frac{pi}{32}t^2) (рад)
Угловая скорость (omega(t)=varphi ‘(t)=left(frac{pi}{32}t^2right)’=frac{pi}{32}cdot 2t=frac{pi}{16}t) (рад/с)
Через 48 секунд (omega(48)=frac{pi}{16}cdot 48=3pi) рад/с — полтора оборота в секунду.
Ответ: (3pi) рад/с
Пример 6. Для нагревания 1 кг жидкости от 0°С до t°C необходимо (Q(t)=1,7t+at^2+bt^3) Дж теплоты.
Известно, что теплоемкость жидкости при температуре 100°С равна 1,71 Дж/К, а для нагревания 1 кг этой жидкости 0°С до 50°C требуется 85,025 Дж теплоты. Найдите коэффициенты a и b.
Теплоемкость: (C(t)=Q'(t)=1,7cdot 1+acdot 2t+bcdot 3t^2=1,7+2at+3bt^2)
По условию: begin{gather*} C(100)=1,7+2acdot 100+3bcdot 100^2-1,71\ 200a+30000b=0,01 end{gather*} Кроме того: begin{gather*} Q(50)=1,7cdot 50+acdot 50^2+bcdot 50^3=85,025\ 2500a+125000b=0,025 end{gather*} Получаем линейную систему: begin{gather*} begin{cases} 200a+30000b=0,01 |:2\ 2500a+125000b=0,025 |:25 end{cases} Rightarrow begin{cases} 100a+15000b=0,005\ 100a+5000b=0,001 end{cases} \ 15000b-5000b=0,005-0,001\ 10000b=0,004\ b=4cdot 10^{-3}cdot 10^{-4}=4cdot 10^{-7} left(frac{Дж}{K^3}right)\ a=frac{0,001-5000b}{100}=frac{10^{-3}-5cdot 10^3cdot 4cdot 10^{-7}}{100}=frac{10^{-3}-2cdot 10^{-3}}{100}=-frac{10^{-3}}{100}\ a=-10^{-5} left(frac{Дж}{K^2}right) end{gather*} Ответ: (a=-10^{-5}frac{Дж}{K^2}; b=4cdot 10^{-7}frac{Дж}{K^3})
Пример 7*. Лестница длиной 5 м стояла вертикально. Потом её нижний конец стали перемещать по полу с постоянной скоростью (v=2) м/с. С какой по абсолютной величине скоростью в зависимости от времени опускается верхний конец лестницы? Постройте график полученной функции.
 |
Лестница со стенами образует прямоугольный треугольник, для которого справедлива теорема Пифагора: $$ x^2(t)+y^2(t)=5^2 $$ Нижний конец движется с постоянной скоростью, его уравнение движения по полу: $$ x(t)=vt=2t $$ Отсюда получаем уравнение движения верхнего конца по стенке: begin{gather*} y^2(t)=25-x^2(t)=25-(2t)^2=25-4t^2\ y(t)=sqrt{25-4t^2} end{gather*} |
Время (tgeq 0) имеет ограничение сверху (25-4t^2geq 0Rightarrow t^2leq frac{25}{4}Rightarrow 0leq tleq 2,5 (с))
Скорость скольжения верхнего конца по стенке: begin{gather*} u_y(t)=y'(t)=left(sqrt{25-4t^2}right)’=frac{1}{2sqrt{25-4t^2}}cdot (25-4t^2)’=frac{-8t}{2sqrt{25-4t^2}}\ u_y(t)=-frac{4t}{sqrt{25-4t^2}} end{gather*} Знак «-» указывает на направление скорости вниз и связан с уменьшением координаты (y(t)) со временем. Абсолютная величина найденной скорости: begin{gather*} u(t)=|u_y(t)|=frac{4t}{sqrt{25-4t^2}} end{gather*} 1) ОДЗ: (0leq tleq 2,5)
2) Четность – нет, т.к. функция определена только на положительных t.
Периодичность – нет.
3) Асимптоты:
1. Вертикальная
Рассмотрим односторонние пределы begin{gather*} lim_{trightarrow +0}left(frac{4t}{sqrt{25-4t^2}}right)=frac05=0\ lim_{trightarrow 2,5-0}left(frac{4t}{sqrt{25-4t^2}}right)=frac{10}{0}=+infty end{gather*} При подходе к правой границе (t=2,5) слева функция стремится к (+infty).
В точке (t=2,5) – вертикальная асимптота.
2. Горизонтальных асимптот нет, т.к. ОДЗ ограничено интервалом.
3. Наклонных асимптот нет.
4) Первая производная begin{gather*} u'(t)=4cdotfrac{1cdotsqrt{25-4t^2}-tcdotfrac{-8t}{2sqrt{25-4t^2}}}{25-4t^2}=4cdotfrac{25-4t^2+8t^2}{2(25-4t^2)^{frac32}}=frac{2(4t^2+25)}{(25-4t^2)^{frac32}} end{gather*} (u'(t)gt 0) на всей ОДЗ, функция возрастает.
5) Вторая производная begin{gather*} u»(t)=frac{2(4t^2+25)}{(25-4t^2)^{frac32}}=2cdotfrac{8tcdot(25-4t^2)^{frac32}-(4t^2+25)cdot frac32sqrt{25-4t^2}cdot (-8t)}{(25-4t^3)}=\ =2cdotfrac{8tcdot(25-4t^2)+8tcdotfrac32cdot (4t^2+25)}{(25-4t^2)^{frac52}}=8tcdotfrac{50-8t^2+12t^2+75}{(25-4t^2)^{frac52}}=frac{8t(4t^2+25)}{(25-4t^2)^{frac52}} end{gather*} (u»(t)gt 0) на всей ОДЗ, функция выпуклая вниз.
6) Пересечение с осями
В начале координат: (t=0, u=0)
7) График
Ответ: (u(t)=frac{4t}{sqrt{25-4t^2}})
Пример 8. Под действием нагрузки деталь с поперечным сечением в виде прямоугольника площадью 17 см2 начинает деформироваться. Одна из сторон прямоугольника растет с постоянной скоростью 1 см/ч, а вторая – уменьшается со скоростью 0,5 см/ч. Найдите скорость изменения площади поперечного сечения через 45 мин после начала деформации, если известно, что в этот момент его площадь равна 20 см2.
Длина первой стороны в зависимости от времени: (a(t)=a_0+1cdot t) (см),
время – в часах.
Длина второй стороны: (b(t)=b_0-0,5cdot t).
Площадь в начальный момент: (S_0=a_0 b_0=17 (см^2))
Площадь в произвольный момент t: begin{gather*} S(t)=a(t)cdot b(t)=(a_0+t)(b_0-0,5t)=a_0 b_0+(-0,5a_0+b_0)t-0,5t^2=\ =17+(-0,5a_0+b_0)t-0,5t^2 end{gather*} По условию при (t=45 мин=frac34 ч): begin{gather*} Sleft(frac34right)=17+(-0,5a_0+b_0)cdotfrac34-0,5cdotleft(frac34right)^2=20\ (-0,5a_0+b_0)cdotfrac34=20-17+frac{9}{32}=3+frac{9}{32}\ (-0,5a_0+b_0)=frac43left(3+frac{9}{32}right)=4+frac38=4frac38 end{gather*} Получаем: begin{gather*} S(t)=17+4frac38t-0,5t^2 end{gather*} Скорость изменения площади: begin{gather*} S'(t)=0+4frac38cdot 1-0,5cdot 2t=4frac38-t end{gather*} Через 45 мин: begin{gather*} S’left(frac34right)=4frac38-frac34=3+frac{11}{8}-frac34=3+frac{11-6}{8}=3frac58=3,625 (см^2/ч) end{gather*} Ответ: 3,625 см2/ч
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №19. Решение задач с помощью производной.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
- механический смысл первой производной;
- механический смысл второй производных;
- скорость и ускорение.
Глоссарий по теме
Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S’(t).
Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.
Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается f
или 
Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается 
или f»’(x). Производную n-го порядка обозначают f(n) (x) или y(n).
Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть 
Первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S’; a=v’)
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Давайте вспомним механический смысл производной:
Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S'(t).
Пример 1. Точка движется прямолинейно по закону 
(S выражается в метрах, t – в секундах). Найти скорость движения через 3 секунды после начала движения.
Решение:
скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени, то есть 
.
Подставив в уравнение скорости t=3 с, получим v(3)=32+4∙3-1= 20 (м/с).
Ответ: 20 м/c.
Пример 2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол
Найдите:
а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6 с;
б) в какой момент времени маховик остановится?
Решение: а) Угловая скорость вращения маховика определяется по формуле ω=φ’. Тогда ω=(4t-0,2t2)=4-0,4t.
Подставляя t = 6 с, получим ω=4-0,4∙6=1,6 (рад/с).
б) В тот момент, когда маховик остановится, его скорость будет равна нулю (ω=0) . Поэтому 4-0,4t=0.. Отсюда t=10 c.
Ответ: угловая скорость маховика равна (рад/с); t=10 c.
Пример 3. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону S=3t2+2t-5. Найти кинетическую энергию тела 
через 3 с после начала движения.
Решение: найдём скорость движения тела в любой момент времени t.
v= S’=(3t2+2t-5)’=6t+2
Вычислим скорость тела в момент времени t=3. v(3)=6∙3+2=20 (м/с)..
Определим кинетическую энергию тела в момент времени t=3.
Ответ: Е=1200 Дж
Производная второго порядка. Производная n-го порядка.
Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.
Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается 
.
Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается y»’ или f»'(x) Производную n-го порядка обозначают f(n) (x) или y(n).
Примеры. Найдем производные четвёртого порядка для заданных функций:
1) f(x)= sin 2x
f'(x)=cos 2x∙(2x)’= 2cos 2x
f
(x)=-2sin2x∙(2x)’=-4sin 2x
f»'(x)= -4 cos 2x∙(2x)= -8 cos 2x
f(4)(x)= 8 sin2x∙(2x)’= 16 sin 2x
2) f(x)=23x
f’(x)=3∙ 23x ∙ln2
f
(x)= 9∙ 23x ∙ln22
f»'(x)= 27∙ 23x ∙ln32
f(4)(x)= 81∙ 23x ∙ln42
Механический смысл второй производной.
Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть 
Итак, первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S’; a=v’)
Пример 4. Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t2-3t+8. Найти скорость и ускорение точки в момент t=4 c.
Решение:
найдём скорость точки в любой момент времени t.
v=S’=(3t2-3t+8)’=6t-3.
Вычислим скорость в момент времени t=4 c.
v(4)=6∙4-3=21(м/с)
Найдём ускорение точки в любой момент времени t.
a= v’= (6t-3)’=6 и a(4)= 6 (м/с2) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.
Ответ: v=21(м/с); a= v’= 6 (м/с2).
Пример 5. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону S(t)=t3-3t2+5. Найти силу, действующую на тело в момент времени t=4 c.
Решение: сила, действующая на тело, находится по формуле F=ma.
Найдём скорость движения точки в любой момент времени t.
v=S’=(t3-3t2+5)’=3t2-6t.
Тогда v(4)=3∙42-6∙4=24 (м/с).
Найдём ускорение: a(t)=v’=(3t2-6t)’=6t-6.
Тогда a(4)= 6∙4-6= 18 (м/с2).
F=ma=3∙18= 54 Н
Ответ: F= 54 Н
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте
Напишите производную третьего порядка для функции:
f(x)= 3cos4x-5x3+3x2-8
_____________________
Решим данную задачу:
f’’’(x)=( 3cos4x-5x3+3x2-8)’’’=(((3cos4x-5x3+3x2-8)’)’)’=((-12sin4x-15x2+6x)’)’=(-48cos4x-30x)’=192sin4x-30.
Ответ: 192sin4x-30
№ 2. Тип задания: выделение цветом
Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t2+2t-7. Найти скорость и ускорение точки в момент t=6 c.
- v=38 м/с; a=6 м/с2
- v=38 м/с; a=5 м/с2
- v=32 м/с; a=6 м/с2
- v=32 м/с; a=5 м/с2
Решим данную задачу:
Воспользуемся механическим смыслом второй производной:
v= S’(t)=( 3t2+2t-7)’=6t+2.
Вычислим скорость в момент времени t=6 c.
v(6)=6∙6+2=38 (м/с)
Найдём ускорение точки в любой момент времени t.
a= v’= (6t+2)’=6 и a(6)= 6 (м/с2) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.
Ответ: v=38(м/с); a= v’= 6 (м/с2).
Верный ответ:
- v=38 м/с; a=6 м/с2
- v=38 м/с; a=5 м/с2
- v=32 м/с; a=6 м/с2
- v=32 м/с; a=5 м/с2
Ещё часть задач из раздела В8 ЕГЭ по математике связана
с физическим смыслом производной.
Напомним его.
Если положение точки при её движении задаётся функцией
S = f(t), где t – время движения, то
производная функции S есть мгновенная
скорость движения в момент времени t, v(t) = S‘(t).
Скорость – есть производная от пути по времени.
Уместно заметить, что
ускорение – это скорость изменения скорости тела, значит а(t) = v‘(t)= S»(t).
Ускорение – есть производная от скорости по времени,
или вторая производная от пути по времени.
Кстати, по аналогии вообще говорят о том, что
производная функции у = f(x) – скорость
изменения функции в точке х.
Решим
несколько задач уровня В8 из
Открытого банка задач для подготовки к ЕГЭ по математике на
использование физического смысла
производной.
Пример 1. Решим задание В8 (№ 119975).
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 6t2 – 48t + 17 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость
(в метрах в секунду) в момент времени t = 9c.
Решение.
1. Найдем
производную функции x(t) = 6t2 – 48t + 17 :
x‘(t) = 12t — 48
2. Найдем
значение производной в точке t = 9:
x‘(9) = 12×9 — 48
x‘(9) = 60.
Ответ: 60
м/с.
Пример 2. Решим задание В8 (№ 122875).
Материальная
точка движется прямолинейно по закону x(t) = — t4 +6t3 + 2t2+ 9t — 22 , где x — расстояние от точки отсчета
в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость
(в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.
Решение.
1. Найдем
производную функции x(t) = — t4 +6t3 + 2t2+ 9t — 22:
x‘(t) = -4t3 + 18t2+ 4t + 9
2. Найдем значение
производной в точке t = 3:
x‘(3) = -4×33
+ 18×32+
4×3 + 9
x‘(3) = 75.
Ответ: 75
м/с.
Пример 3. Решим задание В8 (№ 119978)
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 – 13t + 23 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент
времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
Решение.
Найдем
производную функции x(t) = 6t2 – 48t + 17
x‘(t) = 2t — 13
По условию,
скорость точки равна 3 м/с.
Получаем
уравнение:
x‘(t) = 2t – 13= 3, 2t = 16
Отсюда t = 8 с.
Ответ: 8
Пример 4. Аналогичное задание. Задание В8 (№123871)
Материальная
точка движется прямолинейно по закону x(t) = t3 — 6t2— 8t + 4, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в
секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее
скорость была равна 88 м/с?
Решение.
Найдем
производную функции x(t) = t3 — 6t2— 8t + 4:
x‘(t) = 3t2— 12t — 8
По условию,
скорость точки равна 88 м/с.
Получаем
уравнение:
x‘(t) = 3t2— 12t – 8 =88
Решим его:
3t2— 12t – 8 =88
3t2— 12t – 96 =0, разделим
обе части уравнения на 3,
t2— 4t – 32 =0
t1 = 8,
t2 = — 4 – не соответствует условию
задачи: время не может быть отрицательным.
Ответ: 8
Потренируйтесь
сами.
Задание B8
(№ 121761)
Материальная
точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 7t — 3 , где x —
расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в
секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в
секунду) в момент времени t = 10c.
Ответ: 27
м/с.
Задание
B8 (№ 121763)
Материальная
точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 2t — 14 , где x —
расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в
секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в
секунду) в момент времени t = 6с.
Ответ: 14
м/с.
Задание
B8 (№ 121765)
Материальная
точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 6t + 16, где x —
расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в
секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в
секунду) в момент времени t = 6с.
Ответ: 18
м/с.
Задание
B8 (№ 121769)
Материальная
точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,25t2 + 6t + 25, где x —
расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в
секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в
секунду) в момент времени t = 10с.
Ответ: 11
м/с.
Задание
B8 (№ 121771)
Материальная
точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 4t — 3, где x —
расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в
секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в
секунду) в момент времени t = 6с.
Ответ: 16
м/с.
Задание
B8 (№ 122877)
Материальная
точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t4 +t3 + 6t2— 5t — 30 , где x —
расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в
секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в
секунду) в момент времени t = 2c.
Ответ: 47
м/с.
Задание
B8 (№ 122879)
Материальная
точка движется прямолинейно по закону x(t) = — t4 +9t2+ 4t — 7 , где x —
расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в
секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в
секунду) в момент времени t = 2c.
Ответ: 8
м/с.
Задание
B8 (№ 123879)
Материальная
точка движется прямолинейно по закону x(t) = t3 — 3t2— 7t — 3, где x —
расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в
секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее
скорость была равна 2 м/с?
Ответ: 3
м/с.
7. Взаимосвязь функции и ее производной
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Связь производной со скоростью и ускорением тела
Если (x=x(t)) – уравнение, задающее движение точки, зависящее от времени, то:
(blacktriangleright) производная (x'(t)) задает скорость в момент времени (t);
(blacktriangleright) вторая производная (производная от производной) (x»(t)) задает ускорение в момент времени (t).
Задание
1
#740
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 7t^2 — 12t), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 1) с. Ответ дайте в метрах в секунду.
Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).
(x'(t) = 14t — 12), тогда в момент (t = 1) с:
(x'(1) = 14cdot 1 — 12 = 2) м/с.
Ответ: 2
Задание
2
#741
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 2t^2 — 8t), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 2) с. Ответ дайте в метрах в секунду.
Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).
(x'(t) = 4t — 
, тогда в момент (t = 2) с:
(x'(2) = 4cdot 2 — 8 = 0) м/с.
Ответ: 0
Задание
3
#742
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = t^2 + 2t + 3), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 1) с. Ответ дайте в метрах в секунду.
Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).
(x'(t) = 2t + 2), тогда в момент (t = 1) с:
(x'(1) = 2cdot 1 + 2 = 4) м/с.
Ответ: 4
Задание
4
#743
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 2t^3 — t^2 + 2t + 3), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 2) с. Ответ дайте в метрах в секунду.
Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).
(x'(t) = 6t^2 — 2t + 2), тогда в момент (t = 2) с:
(x'(2) = 6cdot 2^2 — 2cdot 2 + 2 = 22) м/с.
Ответ: 22
Задание
5
#744
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 7t^4 + 6t^3 + 5t^2 + 4t + 2016), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 0,5) с. Ответ дайте в метрах в секунду.
Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).
(x'(t) = 28t^3 + 18t^2 + 10t + 4), тогда в момент (t = 0,5) с:
(x'(0,5) = 28cdot dfrac{1}{8} + 18cdot dfrac{1}{4} + 10cdot dfrac{1}{2} + 4 = 3,5 + 4,5 + 5 + 4 = 17) м/с.
Ответ: 17
Задание
6
#745
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 3t^2 + 6t + 2), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени её скорость составляла (15) м/с? Ответ дайте в секундах.
Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).
(x'(t) = 6t + 6), тогда для момента (t), когда скорость материальной точки была равна (15) м/с, выполнено (6t + 6 = 15), откуда (t = 1,5) с.
Ответ: 1,5
Задание
7
#746
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = t^2 + 3t — 1), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени её скорость составляла (11) м/с? Ответ дайте в секундах.
Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).
(x'(t) = 2t + 3), тогда для момента (t), когда скорость материальной точки была равна (11) м/с, выполнено (2t + 3 = 11), откуда (t = 4) с.
Ответ: 4
УСТАЛ? Просто отдохни