bold{mathrm{Basic}} | bold{alphabetagamma} | bold{mathrm{ABGamma}} | bold{sincos} | bold{gedivrightarrow} | bold{overline{x}spacemathbb{C}forall} | bold{sumspaceintspaceproduct} | bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}} | bold{H_{2}O} | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ
Подписаться
Войдите, чтобы сохранять заметки
Войти
Номер Строки
Примеры
-
frac{d}{dx}(frac{3x+9}{2-x})
-
frac{d^2}{dx^2}(frac{3x+9}{2-x})
-
(sin^2(theta))»
-
производное:от:f(x)=3-4x^2,::x=5
-
неявная:производная:frac{dy}{dx},:(x-y)^2=x+y-1
-
frac{partial}{partial ypartial x}(sin (x^2y^2))
-
frac{partial }{partial x}(sin (x^2y^2))
- Показать больше
Описание
Поэтапное дифференцирование функций
derivative-calculator
ru
Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab
High School Math Solutions – Derivative Calculator, the Chain Rule
In the previous posts we covered the basic derivative rules, trigonometric functions, logarithms and exponents…
Read More
Введите Задачу
Сохранить в блокнот!
Войти
Определение производной
Определение. Пусть функция ( y = f(x) ) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку ( x_0 ).
Дадим аргументу приращение ( Delta x ) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции
( Delta y ) (при переходе от точки ( x_0 ) к точке ( x_0 + Delta x ) ) и составим отношение
( frac{Delta y}{Delta x} ). Если существует предел этого отношения при ( Delta x rightarrow 0 ), то
указанный предел называют производной функции ( y=f(x) ) в точке ( x_0 ) и обозначают ( f'(x_0) ).
$$ lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x} = f'(x_0) $$
Для обозначения производной часто используют символ ( y’ ).
Отметим, что ( y’ = f(x) ) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией ( y = f(x) ), определенная во всех точках (x), в которых
существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции ( y = f(x) ).
Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции ( y = f(x) ) в точке с абсциссой ( x=a ) можно
провести касательную, непараллельную оси (y), то ( f(a) ) выражает угловой коэффициент касательной:
( k = f'(a) )
Поскольку ( k = tg(a) ), то верно равенство ( f'(a) = tg(a) ) .
А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция ( y = f(x) ) имеет
производную в конкретной точке ( x ):
$$ lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x} = f'(x) $$
Это означает, что около точки (x) выполняется приближенное равенство ( frac{Delta y}{Delta x} approx f'(x) ), т.е.
( Delta y approx f'(x) cdot Delta x ).
Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально»
приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке (x).
Например, для функции ( y = x^2 ) справедливо приближенное равенство ( Delta y approx 2x cdot Delta x ).
Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.
Сформулируем его.
Как найти производную функции у = f(x) ?
1. Зафиксировать значение ( x ), найти ( f(x) )
2. Дать аргументу ( x ) приращение ( Delta x ), перейти в новую точку ( x+ Delta x ), найти ( f(x+ Delta x) )
3. Найти приращение функции: ( Delta y = f(x + Delta x) — f(x) )
4. Составить отношение ( frac{Delta y}{Delta x} )
5. Вычислить $$ lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке (x).
Если функция (y=f(x)) имеет производную в точке (x), то ее называют дифференцируемой в точке (x). Процедуру нахождения производной
функции (y=f(x)) называют дифференцированием функции (y=f(x)).
Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.
Пусть функция (y=f(x)) дифференцируема в точке (x). Тогда к графику функции в точке ( M(x; ; f(x)) ) можно провести касательную,
причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен ( f'(x) ). Такой график не может «разрываться» в точке (M), т. е. функция
обязана быть непрерывной в точке (x).
Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция (y=f(x)) дифференцируема в точке (x), то
выполняется приближенное равенство ( Delta y approx f'(x) cdot Delta x ). Если в этом равенстве ( Delta x ) устремить к
нулю, то и ( Delta y ) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.
Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно. Например: функция ( y=|x|) непрерывна везде, в частности в точке (x=0), но касательная к графику
функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой
точке не существует производная.
Еще один пример. Функция ( y=sqrt[3]{x} ) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке (x=0).
И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке (x=0). Но в этой точке касательная совпадает с осью (y),
т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид (x=0). Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и
( f'(0) )
Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее
дифференцируемости?
Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси
абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она
перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.
Правила дифференцирования
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций»,
то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
Если (C) — постоянное число и ( f=f(x), ; g=g(x) ) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
$$ C’=0 $$
$$ x’=1 $$
$$ ( f+g)’=f’+g’ $$
$$ (fg)’=f’g + fg’ $$
$$ (Cf)’=Cf’ $$
$$ left(frac{f}{g} right) ‘ = frac{f’g-fg’}{g^2} $$
$$ left(frac{C}{g} right) ‘ = -frac{Cg’}{g^2} $$
Производная сложной функции:
$$ f’_x(g(x)) = f’_g cdot g’_x $$
Таблица производных некоторых функций
$$ left( frac{1}{x} right) ‘ = -frac{1}{x^2} $$
$$ ( sqrt{x} ) ‘ = frac{1}{2sqrt{x}} $$
$$ left( x^a right) ‘ = a x^{a-1} $$
$$ left( a^x right) ‘ = a^x cdot ln a $$
$$ left( e^x right) ‘ = e^x $$
$$ ( ln x )’ = frac{1}{x} $$
$$ ( log_a x )’ = frac{1}{xln a} $$
$$ ( sin x )’ = cos x $$
$$ ( cos x )’ = -sin x $$
$$ ( text{tg} x )’ = frac{1}{cos^2 x} $$
$$ ( text{ctg} x )’ = -frac{1}{sin^2 x} $$
$$ ( arcsin x )’ = frac{1}{sqrt{1-x^2}} $$
$$ ( arccos x )’ = frac{-1}{sqrt{1-x^2}} $$
$$ ( text{arctg} x )’ = frac{1}{1+x^2} $$
$$ ( text{arcctg} x )’ = frac{-1}{1+x^2} $$
Решение производных
Что такое производная и как её решить
В науке под производной имеют в виду скорость изменения чего-либо, например скорость движения материальной точки. Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к 0. Чтобы найти производную функции, необходимо ее продифференцировать.
Данный калькулятор решает задачи по вычислению производной как от элементарной, так и от сложной функции. Для решения задачи: введите функцию с переменной х, для которой нужно найти производную и за пару секунд получите результат.
Пример вычисления производной
Предположим перед нами стоит задача вычисления производной, как приведено на нижеследующей картинке:
Комбинация клавиш, которые нам необходимо использовать для вычислений на онлайн-калькуляторе выглядит следующим образом:
Данный онлайн калькулятор вычисляет производную функции. Программа не только вычисляет ответ, она производит пошаговое решение. Выбирается порядок дифференцирования.
Как пользоваться калькулятором для нахождения производных онлайн:
1. Введите математическое выражение с переменной x, в выражении используйте стандартные операции: + сложение, —
вычитание, / деление, * умножение, ^ — возведение в степень, а также математические функции.
2. Выберите порядок дифференцирования (решения производных от первого до пятого порядка включительно).
3. Нажмите кнопку — Вычислить производную.
4. Через несколько секунд внизу отобразится пошаговое решение производной с подробными комментариями.
При помощи нашего калькулятора вы можете найти производную онлайн как от элементарной функции, так и от сложной, не имеющей решения в аналитическом виде.
Калькулятор поможет найти производную функции онлайн.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.
- : x^a
модуль x: abs(x)
Для того, чтобы найти производную функции
нужно написать в строке: f[x], x. Если Вам требуется
найти производную n-го порядка, то следует написать: f[x], {x, n}. В
том случае, если Вам требуется найти частную производную функции напишите в окне гаджета: f[x, y, z,…,t], j, где
— интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по
некоторой переменной порядка n, то следует ввести: f[x, y, z,…,t], {j,
n}, где означает тоже, что и Выше.
Важно подчеркнуть, что калькулятор выдает пошаговое нахождение
производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу
выдаваемого ей ответа.
- Примеры
- x*E^x, x;
- x^3*E^x, {x,17};
- x^3*y^2*Sin[x+y], x;
- x^3*y^2*Sin[x+y], y,
- x/(x+y^4), {x,6}.
Данный калькулятор вычисляет производную функции и затем упрощает ее.
В поле функция введите математическое выражение с переменной x, в выражении используйте стандартные операции + сложение, — вычитание, / деление, * умножение, ^ — возведение в степень, а также математические функции. Полный синтаксис смотрите ниже.
Упрощение полученной производной может занять некоторое время, для сложных функций — весьма продолжительное. Если ждать до конца нет сил — нажмите кнопку остановить. У меня получался достаточно простой вариант уже после 10-15 секунд работы алгоритма упрощения.
Калькулятор производных
Производная функции
Допустимые операции: + — / * ^
Константы: pi
Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch
Показать детали вычисления
Показать шаги вычисления производной и упрощения формулы
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Синтаксис описания формул
В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + — сложение, — — вычитание, * — умножение, / — деление, ^ — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec— экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), logP — логарифм по основанию P, например log7(x) — логарифм по основанию 7, rootP — корень степени P, например root3(x) — кубический корень.
Таблица синтаксиса математических выражений
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Вычисление производной
Вычисление производной — дело нехитрое, достаточно знать несколько простых правил и формулы дифференцирования простых функций; сложнее в этом онлайн калькуляторе было сделать интерпретатор математических выражений и алгоритм упрощения полученного результата, но об этом как-нибудь в другой раз…
Правила дифференцирования
1) производная суммы:
2) производная произведения:
3) производная частного:
4) производная сложной функции равна произведению производных:
Таблица производных
Производная степенной функции:
Производная показательной функции:
Производная экспонециальной функции:
Производная логарифмической функции:
Производные тригонометрических функций:
,
,
,
Производные обратных тригонометрических функций:
,
,
,
Производные гиперболических функций: