Как найти производную сложной тригонометрической функции

Простое объяснение принципов решения производных тригонометрических функций и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ №4

Вид занятия практическое занятие

Тема. Производные тригонометрических функций. Производная сложной
функции.

Цель:

·              
закрепить понятие “производная функции”,
вывести производные тригонометрических функции, применяя правила нахождения
производной по определению, сформировать понятие сложной функции, научить
вычислять производную сложной функции.

·              
выработать навыки воссоздавать
теоретический материал (воссоздавать в сокращенном виде), выделять в материале
главные положения;

·              
формировать умения разъяснять сущность
усвоенных правил, выводов и теоретических обобщений;

Литература

·                   
Ш.А.Алимов,
Ю.М.Колянин, М.В.Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И.Шабунин. Математика: алгебра и
начала математического анализа 10-11 класс: учебник для общеобразовательных
организаций: базовый и углубленный уровни/ Ш.А.Алимов и др./-3-е
изд.-М:Просвещение, 2016. -463с. (Глава VIII, §46)

·                   
Мордкович А.Г.
Алгебра и начала анализа. 10-11 классы.-В 2 ч. Ч.1 Учебник для учащихся
общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г.Мордкович. – 14-е изд.,
стер. – М.: Мнемозина, 2013.- 400с. (Глава 5, §28)

·                   
Н.
И. Шкиль, З. И. Слепкань, Е. С. Дубинчук .Алгебра и начала анализа :учебник для
11 класса общеобразовательных учебных заведений/Шкиль Н.И и др.;Пер. с укр.-К:
Зодіак-еко,  2003 .-400с. (Глава 1 §11-12)

СТРУКТУРА ЗАНЯТИЯ

Организационная
часть Приветствие, задание дежурным,
настрой группы на плодотворную работу. Проверка домашнего задания

Актуализация
опорных знаний и мотивация научной деятельности

путем фронтальной беседы
повторить понятие

• Производная функции.
• Процесс дифференцирования
• Правила дифференцирования

Вопрос
занятия

1.      обобщение теоретического
материала.

2.      практическая часть

Подведение
итогов: обобщение материала

Выдача
задачи для самостоятельной работы студентов

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2 (занятие №4)

Тема. Производные тригонометрических функций. Производная сложной
функции.

Актуализация опорных знаний:

1             
Что
называется производной функции в точке?

2             
.Что такое дифференцирование?

3             
Что значит вычислить производную по
алгоритму?

4             
Какие правила дифференцирования вы знаете?

·       
Производной данной
функции  по аргументу  называется
предел отношения приращения функции  к
приращению аргумента , когда .

·       
Операция нахождения производной от функции
 называется дифференцированием.

·       
Алгоритм нахождения производной по
определению:

ü  Придать x
приращение Δx и найти наращенное значение функции f(x + Δx).

ü  Найти приращение
функции Δy = f(x + Δx) – f(x).

ü  Составить
отношение  и найти
предел этого отношения при Δx→0.

·       
Основные правила дифференцирования
выражаются формулами:

1.   

·    

2.   

·    

3.    

·    

·       

Найдите производную функции (УСНО) (На первый взгляд
задания сложные, но после соответствующих преобразований задания становятся
проще):

                                                                                подсказка                            ответ

1) ;                                                       y=
x⁴-x³                                          y´=4x³—
3x²

2) ;                                           y=x⁴—1                                  y´=4x³

3) ;                                            y=1                                       y´=0

5) ;                                    y=x³-8                                  y´=3x²

6) .                                                             y
=                                 y´=

Построим
вывод формул производных тригонометрических функций:

Пример: Найти производную
функции по определению: .

Решение. Значению аргумента  соответствует значение функции , а значению  соответствует
значение функции .

Найдем приращение функции:

По определению производной имеем:

.

Пример: Найти производную
функции по определению:

Пример: Найти производную
функции по определению:

Пример: Найти производную
функции по определению:

Производная
сложной функции

Пример Постановка проблемной ситуации: найти
производную функции у=ln( cos x).

Мы имеем здесь
логарифмическую функцию, аргументом которой служит не независимая переменная х,
а функция  cosx этого переменного.

Как называются такого рода
функции?

[Такого рода функции называются сложными функциями или
функциями от функций.]

Умеем ли мы находить
производные сложных функций?

[Нет.]

Значит, с чем мы должны
сейчас познакомиться?

[С нахождением производной
сложных функций.]

Пусть y = f(u), а u=
u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x:
y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной
функцией.

Областью определения функции y
= f(u(x)) является либо вся область определения функции u=u(x)
либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из
области определения функции y= f(u).

Операция «функция от
функции» может проводиться не один раз, а любое число раз.

Установим правило
дифференцирования сложной функции.

Если  и u=u(x)
– дифференцируемые функции своих аргументов, то производная функции от функции
(или сложной функции) y=f(u(x)) существует и равна произведению
производной данной функции у по промежуточному аргументу u на
производной промежуточного аргумента и по независимой переменной х:

.

Если функцию y=f(x)
можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение
производной y’_x осуществляется последовательным применением
предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем y
‘_x= y ‘_u·u ‘_x . Применяя эту же
теорему для u‘_x получаем

y‘_x =  ‘_x· u‘_v·
v‘_x = f‘_u (u)·u‘_v
(v)·v‘_x (x).

Правило:

1                  
Чтобы найти производную сложной функции,
надо ее правильно прочитать;

2                  
Чтобы правильно прочитать функцию, надо
определить в ней порядок действий;

3                  
Функцию читаем в обратном порядку действий
направлении;

4                  
Производную находим по ходу чтения
функции.

Принцип дифференцирования сложной функции можно
образно назвать «принципом матрешки».

Нахождение производной сложной функции сравнимо с
извлечением матрешек. Сначала находится производная внешней функции
(открывается большая матрешка). Она умножается на производную более внутренней
функции (матрешка чуть меньше), которая, в свою очередь, умножается на производную
еще более внутренней функции (еще меньшая матрешка) и так далее (самая
маленькая матрешка). При нахождении производных функций, входящих в сложную
функцию, пользуются правилами дифференцирования и таблицей производных.

Пример: Функция у =ln(cos
x)
получается последовательным выполнением двух операций: взятия косинуса угла х
и нахождения от этого числа натурального логарифма:

.

Функция
читается так: логарифмическая
функция от тригонометрической функции.

Продифференцируем
функцию:  у =ln(cosx)=lnu,
u=cos x.

.

На
практике такое дифференцирование производится гораздо короче и проще, во всяком
случае, без введения записи и.

Искусство дифференцирования сложной функции
заключается в умении видеть в момент дифференцирования только одну функцию
(именно — дифференцируемую в данный момент), не замечая пока другие, откладывая
их видение до момента дифференцирования.

Будем
использовать при дифференцировании  дополненную таблицу производных.

.

Пример: Найти производную функции у = (x³ — 5х + 7)⁹.

Решение:   Обозначив в «уме»  u = х³ – 5x +7,    получим у = u⁹. Найдем:

и

По
формуле имеем

Пример.
Найти производную функции ;

1 способ:

2 способ: упростим выражение ,
таким образом, y´=-2sin2x

Пример.
Найти производную функции .

Это сложная степенная функция, аргумент которой
является сложной тригонометрической функцией.

Первый промежуточный аргумент ,
второй .

Так как , ,

,
то .

Пример.
Вычислить .

Решение. Функция
 является сложной. Ее можно записать в
виде цепочки суперпозиций элементарных функций , , ,
производные которых легко вычисляются: , , .
Следовательно,

.

Пример 3.
Вычислить .

Решение. Для
вычисления данной производной применяется формула дифференцирования частного:

Задание:
на скорость решить примеры (оценивается три первых работы (три студента, три
студентки)).

№	Девочки	Мальчики
1		1
2		2
3		3
4		4
5		5
6		6

Подведение
итогов:

·        
Преподаватель
предлагают продолжить фразу:

Сегодня на занятие я повторил(а)…

Сегодня на занятии я узнал(а)…

Мне
осталось непонятным…

Вопросы для самопроверки

1)     
Какая функция называется сложной?

2)     
Приведите пример сложной функции

3)     
Как найти производную сложной функции.

Задания
для самостоятельного решения

1.                
;

2.                
;

3.                
;

4.                
:

5.                
;

6.                
;

7.                
;

8.                
.

Краткие теоретические сведения

Если у есть функция от u: y=fu , где u  в свою очередь есть функция от аргумента x:  u=φ(x), т.е.  y  зависит от x  через промежуточный аргумент u, то y  называется сложной функцией  от  x: y=f(φx).

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:

y‘_x=y‘_u∙u^_x‘ (1)

Найдем производную сложной тригонометрической функции y=uⁿ, где u=φ(x) .Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции (1), получим:

(sinu)‘=cosu∙u‘ (2)

(cosu)’=-sinu∙u’ (3)

 (tgu)’=u‘/cos²u  (4)

(ctgu)’=-u‘/sin²u  (5)

Для нахождения производных функции применяются правила и формулы дифференцирования (Приложение Б).

Задание

1. Изучить методические указания к выполнению практической работы
2. Выполнить индивидуальное задание
3. Оформить отчет по практической работе

Пример выполнения задания

1 Найти производную функции: y=(1-sinx)/(1+sinx)

Решение.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного и формулой (2).

Рекомендуемая литература

1 Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учеб. Пособие для средних спец. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. – 6-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003. — 495с.

2  Дадаян А.А. Математика: Учебник. -2-е издание. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М.2006. – 552с. – (Профессиональное образование).

3 Пехлецкий И.Д. Математика: Учеб. для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / Игорь Дмитриевич Пехлецкий . – 2-е изд., стереотип. – М.: Издательский центр «Академия», 2003. – 304с.

4  Конспект лекций

5  Настоящая методическая разработка

Приложение А

Варианты индивидуальных заданий — смотри документ.

План урока:

Производные некоторых элементарных функций

Основные правила дифференцирования

Производная сложной функции

Производные некоторых элементарных функций

Ранее мы для вычисления производных использовали ее определение. То есть каждый раз мы давали функции некоторое приращение ∆х, потом находили соответствующую ему величину ∆у, далее составляли отношение ∆у/∆х, после чего находили предел этого отношения при ∆х →0. Выполнение такого алгоритма довольно трудоемко. Поэтому на практике используются специальные формулы для вычисления производных.

Нам известно несколько основных функций, которые в математике чаще называют элементарными. Например, элементарными являются линейная функция, степенная, показательная, логарифмическая. Также существует несколько различных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс), которые тоже считаются элементарными. Попытаемся вычислить для них производные.

Начнем с линейной функции. В общем случае она выглядит так:

где k и b – некоторые постоянные числа.

Выберем произвольную точку х₀ и дадим ей приращение ∆х, в результате чего мы придем в новую точку (х₀ + ∆х). Вычислим значения линейной функции в этих двух точках:

Теперь мы можем найти приращение функции ∆у:

Находим отношение ∆у/∆х:

Получилось, что это отношение не зависит ни от приращения ∆х, ни от выбора исходной точки х₀. Естественно, что предел этого отношения при ∆х→0 (то есть производная) также будет равен k:

Задание. Вычислите производную функции у = 4х + 9.

Обратите внимание, что в рассмотренном примере запись у′ = 4 означает функцию. Просто при любом значении х она принимает одно и то же значение, равное 4. График производной функции будет выглядеть так:

Рассмотрим два особых частных случая линейной функции. Пусть k = 1 и b = 0, тогда она примет вид у = х. Её производная тогда будет равна 1:

Теперь предположим, что коэффициент k = 0. Тогда функция примет вид

где С – некоторое постоянное число, то есть константа (большая буква Св таких случаях используется из-за латинского термина constanta). Производная такой функции будет равна нулю:

Задание. Найдите вторую производную функции у = 9х + 2.

Решение. Сначала вычислим первую производную:

Очень легко объяснить, почему производная константы равна нулю. Представим себе, что закон движения некоторого тела выглядит как s(t) = C, например, s(t) = 5. Это значит, что тело в любой момент времени находится в точке, находящейся в 5 метрах от какого-то начала отсчета. То есть тело находится в одной и той же точке, а это значит, что оно не двигается. Тогда его скорость равна нулю. Но производная – это и есть скорость, значит, она также равна нулю.

Далее вычислим производную для функции у = 1/х. Выберем некоторую точку х₀ и дадим ей приращение ∆х. В результате имеем две точки с координатами х₀ и (х₀ + ∆х). Вычислим значение функции в каждой из них:

Осталось найти предел данного отношения при ∆х→0. Ясно, что при этом множитель х₀ + ∆х будет стремится к х₀, то есть

Задание. Вычислите производные функции

Обратите внимание, что производная функции у = 1/х оказывается отрицательной при любом значении х (кроме нуля, для которого производную посчитать нельзя, так как получится деление на ноль). Это должно означать, что функция убывает в каждой своей точке, а любая касательная к ней образует с осью Ох тупой угол наклона. И это действительно так:

Мы разобрали несколько простейших примеров того, как находить формулы производных. Для этого используется понятие предела функции. Для вывода всех подобных формул требуется хорошо знать тему вычисления пределов, которая не изучается детально в школе. Поэтому мы просто дадим следующие формулы без доказательств.

Начнем со степенной функции у = хⁿ, где n– некоторое постоянное число. Её производная вычисляется по формуле:

Приведем примеры использования этой формулы:

Задание. Найдите производную функции у = х⁶ в точке х₀ = 10.

Задание. Движение самолета при разгоне описывается законом движения s(t) = t³. Найдите его скорость через 5 секунд после начала разгона.

Решение. Скорость самолета в любой момент времени равна производнойs′(t). Найдем её:

Заметим, что используемая нами формула работает и в том случае, если показатель степени является отрицательным или дробным числом. Действительно, ранее мы вывели формулу

По определению отрицательной степени мы можем записать, что

Задание. Вычислите производную функции

Задание. Определите, в какой точке необходимо провести касательную к графику функции

чтобы она образовывала с осью Ох угол в 45°?

Решение. Тангенс угла наклона касательной равен производной. Известно, что tg 45° = 1. Значит, нам надо найти такую точку х₀, в которой значение производной квадратного корня будет равно единице. Производная вычисляется по формуле:

Ответ: х₀ = 0,25.

Далее изучим формулы производных для тригонометрических функций. Они выглядят так:

Рассмотрим несколько примеров использования этих формул.

Задание. Найдите производную функции у = cosx в точке х₀ = π.

Решение. Мы знаем, что

Задание. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику у = sinx в начале координат.

Решение. Производная синуса вычисляется по формуле:

Получается, что тангенс угла наклона также равен единице. Это значит, что сам угол равен 45°. Построение показывает, что это действительно так:

Задание. Найдите производную функции у = tgx в точке х₀ = π/6.

Решение. Для тангенса используется формула:

Далее рассмотрим показательную и логарифмическую функцию. Их производные рассчитываются по следующим формулам:

Обратите внимание, что в этих формулах появился натуральный логарифм, то есть логарифм, основанием которого является число е. Именно из-за наличия натурального логарифма в формулах дифференцирования он играет особо важную роль в математике и имеет отдельное обозначение. Вычислим несколько производных с помощью приведенных формул:

Напомним, что справедлива формула

Стоит обратить внимание, что функции у = е^х при дифференцировании не меняется. Эта особенность функции также имеет огромное значение в математическом анализе.

Задание. Найдите угол наклона касательных, проведенных к графику у = е^х в точке (0; 1) и к графику у = lnx в точке (1; 0).

Решение. Используем формулы производных:

Получили, что тангенс наклона касательной равен 1. Из этого следует, что угол наклона касательной равен 45°. Далее найдем производную натурального логарифма при х = 1:

Производная снова равна 1, значит, угол наклона также составит 45°, что подтверждается рисунком:

Ответ: 45°.

Задание. Вычислите производную функции у = 2^х при х₀ = 3.

Решение. Используем формулу

Сведем использованные нами равенства в одну таблицу производных основных функций:

Основные правила дифференцирования

До этого мы рассматривали довольно простые, то есть стандартные функции, для каждой из которых производную можно узнать из справочника или таблицы. Но что делать, если нам потребовалось продифференцировать функцию, которая состоит из нескольких основных? Например, что делать с функциями у = 5х² + 6х – 3 или у = x•sinx?

Все более сложные функции можно получить из нескольких простых, комбинируя их. Так, функция у = х³ + х² получается сложением функций у = х³ и у = х², а функция у = (lnx)•(cosx) – произведением функций у = lnx и у = сosx.

Есть несколько правил, которые позволяют находить производные в таких случаях. Мы не будем их доказывать, а просто дадим их формулировки. Также будем нумеровать правила. Первое из них помогает находить производную сумму функций.

В данном случае u и v – это просто обозначение каких-то произвольных функций. Рассмотрим пример. Пусть надо найти производную функции

Правило работает и в том случае, если сумма представляет собой сумму не двух, а большего числа слагаемых:

Следующее правило позволяет выносить постоянный множитель за знак производной:

Покажем использование этого правила:

Действительно, зная эти формулы и первые два правила вычисления производных, мы можем записать, что

Задание. Вычислите значение производной функции у = 9х³ + 7х² – 25х + 7 в точке х₀ = 1.

Решение. Пользуясь правилами дифференцирования, находим производную:

Несколько сложнее обстоит дело с дифференцированием функций, получающихся при перемножении простых функций. В таких случаях используется следующее правило:

Предположим, надо найти производную для функции у = х²•sinx. Её можно представить как произведение u•v, где

Примечание. В последнем случае мы в конце примера использовали формулу косинуса двойного угла:

Заметим, что иногда одно и то же задание с производной можно решить по-разному, используя или не используя правило для вычисления производной произведения функций.

Задание. Найдите производную функции у = х²•(3х + х³). Вычислите ее значение при х = 1.

Решение. Функция у представляет собой произведение более простых функций u•v, где

Задание. Продифференцируйте функцию

Решение. Здесь перед нами функция, которая представляет собой произведение сразу трех множителей. Что делать в таком случае? Надо всего лишь добавить скобки и их помощью оставить только два множителя (один их них окажется «сложным»):

Довольно сложно выглядит формула для поиска производной дроби:

Например, пусть надо найти производную функции

С помощью данного правила можно доказать некоторые равенства. Так, ранее мы уже записали (без доказательства) формулы производных тригонометрических функций:

Оказывается, формула для тангенса может быть выведена из формул для синуса и косинуса. Действительно, тангенс можно записать в виде дроби:

Задание. Найдите, в каких точках надо провести касательную к графику дробно-линейной функции

чтобы эта касательная образовала с осью Ох угол в 135°.

Решение. Угол будет равен 135° только тогда, когда значение производной будет равно (– 1) (так как tg 135° = – 1). Поэтому сначала найдем производную. В данном случае следует использовать правило 4, так как функция у явно записана как дробь:

Получили два значения х. Построив график и проведя касательные, мы убедимся, что они действительно образуют с осью Ох угол 135°:

Ответ: – 2 и 0.

Заметим, что иногда можно избавиться от необходимости использовать правило 4, если дифференцируемую функцию можно преобразовать. При этом часто помогает использование отрицательных степеней. Пусть надо продифференцировать функцию

Напрашивается решение использовать правило 4.И такой путь позволит получить правильное решение, хотя и будет несколько трудоемким. Однако можно преобразовать функцию:

У нас получилось произведение, а потому можно использовать правило 3, которое представляется более простым:

Производная сложной функции

«Сконструировать» громоздкую функцию из нескольких простых можно не только с помощью арифметических действий. Например, возьмем функции

В обоих случаях мы получили некоторую функцию, продифференцировать которую с помощью уже известных нам правил не получится. Функции, сконструированные таким образом, называются сложными. Есть универсальная формула, позволяющая находить производную сложной функции:

Посмотрим, как пользоваться эти правилом. Пусть надо вычислить производную функции

Она сконструирована из функции у = e^x и у = sinx, причем вторая подставлена в первую. Это значит, что первую можно обозначить буквой u, а вторую – буквой v (если использовать обозначения в правиле 5):

Задание. Найдите у′, если у = sin 2x.

Решение. На этот раз в качестве исходной функции выступает

Убедиться в справедливости правила 5 можно на примере функции

Её можно продифференцировать двумя разными способами. Сначала попробуем просто избавиться от квадрата в исходной функции, используя формулу квадрата суммы:

В результате оба способа вычисления производной дали одинаковый ответ.

Задание. Найдите производную сложной функции у = (2х + 5)¹⁰⁰⁰.

Решение. В данном случае мы рассматриваем комбинацию следующих функций:

Теперь мы умеем вычислять производные почти любых функций, которые можно записать с помощью элементарных функций и арифметических операций. При этом нам не надо использовать определение понятия производной и вычислять какие бы то ни было пределы. Достаточно знать производные основных функций и несколько (всего лишь 5) правил дифференцирования. Навыки дифференцирования функций пригодятся в будущем при решении практических задач, связанных с производными.