Как найти производную сложной заданной функции

Производная сложной функции

Формула

Пусть есть функция $ y=f(g(x)) $, тогда производную сложной функции можно найти по формуле:

$$ y’=f'(g(x)) cdot g'(x) $$

Проще говоря, нахождение производной сложной функции выполняется «по цепочке». Сначала находим производную от внешней функции без изменения её аргумента и умножаем на производную аргумента. Если аргумент в свою очередь тоже является сложной функцией, то снова берем производную ещё и от него.

Рассмотрим на практике примеры решений производных сложных функций.

Примеры решений

Пример 1

Найти производную сложной функции: $ y = sqrt{x^2+1} $

Решение

Пользуемся формулой нахождения производной сложной функции. Сначала находим производную внешней функции без учета внутренней функции, а затем и производную от самой внутренней функции:  $$ y’=( sqrt{x^2+1} )’= $$ $$ =frac{1}{2sqrt{x^2+1}} cdot (x^2+1)’= $$ $$ =frac{1}{2sqrt{x^2+1}} cdot 2x = frac{x}{sqrt{x^2+1}} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y’=frac{x}{sqrt{x^2+1}} $$

Пример 2

Найти производную сложной функции: $ y = e^{4x+3} $

Решение

Видим экспоненту в задаче, поэтому берем значение производной для неё из таблицы, а затем вычисляем производную от аргумента: $$ y’=(e^{4x+3})’ = e^{4x+3} cdot (4x+3)’ = $$ $$ = e^{4x+3} cdot 4 = 4e^{4x+3} $$

Ответ

$$ y’ = 4e^{4x+3} $$

Пример 3

Найти производную сложной функции: $ y = arctan x^2 $

Решение

Зная значение производной арктангенса из таблицы, находим производную сложной функции: $$ y’ = (arctan x^2)’ = frac{1}{1+(x^2)^2} cdot (x^2)’ = $$ $$ = frac{1}{1+(x^2)^2} cdot 2x = frac{2x}{1+x^4} $$

Ответ

$$ y’ = frac{2x}{1+x^4} $$

Пример 4

Найти производную сложной функции: $ y = ln(x^3+2) $

Решение

Перед нами сложная функция, точнее натуральный логарифм от многочлена. Поэтому применим правило. Имеем: $$ y’ = (ln(x^3+2))’ = frac{1}{x^3+2} cdot (x^3+2)’ = $$ $$ = frac{1}{x^3+2} cdot 3x^2 = frac{3x^2}{x^3+2} $$

Ответ

$$ y’ = frac{3x^2}{x^3+2} $$

Пример 5

Найти производную от сложной функции: $ y = ln(sin^3x+ e^{cos x}) $

Решение

Сложную функцию представляет натуральный логарифм, аргументом которого является сумма двух функций, обе тоже сложные функции. Вспоминаем формулу и приступаем: $$ y’ = ( ln(sin^3x+e^{cos x}) )’ = $$ $$ =frac{1}{sin^3x+e^{cos x}} cdot (sin^3x+e^{cos x})’ = $$ Производная суммы функций равна сумме производных этих функций: $$ =frac{1}{sin^3x+e^{cos x}} cdot ( (sin^3x)’+(e^{cos x})’) = $$ Первая функция $ (sin^3x)’ $ — это производная от сложной функции: $$ (sin^3x)’ = 3sin^2x cdot (sin x)’ = 3sin^2x cos x $$ Вторая функция $ (e^{cos x})’ $ — это производная сложной функции: $$ (e^{cos x})’ = e^{cos x} cdot (cos x)’ = e^{cos x} cdot (-sin x) $$ Продолжаем нахождение производной исходной функции: $$ = frac{1}{sin^3x+e^{cos x}} cdot (3sin^2x cos x — e^{cos x} sin x) $$

Ответ

$$ y’ = frac{3sin^2x cos x — e^{cos x} sin x}{sin^3x+e^{cos x}} $$

   Раз ты зашел сюда, то уже, наверное, успел увидеть в учебнике эту формулу

((f(g(x)))’=f'(g(x))cdot g'(x))

и сделать вот такое лицо:

Друг, не переживай! На самом деле все просто до безобразия. Ты обязательно все поймешь. Только одна просьба – прочитай статью не торопясь, старайся понять каждый шаг. Я писал максимально просто и наглядно, но вникнуть в идею всё равно надо. И обязательно реши задания из статьи.

Содержание:

• Что такое сложная функция?
• 
  «Распаковка» сложной функции
• 
  Внутренняя и внешняя функция
• 
  Производная сложной функции. Примеры

Что такое сложная функция?

Представь, что ты переезжаешь в другую квартиру и поэтому собираешь вещи в большие коробки. Пусть надо собрать какие-нибудь мелкие предметы, например, школьные письменные принадлежности. Если просто скидать их в огромную коробку, то они затеряются среди других вещей. Чтобы этого избежать, ты сначала кладешь их, например, в пакет, который затем укладываешь в большую коробку, после чего ее запечатываешь. Этот «сложнейший» процесс представлен на схеме ниже:

Казалось бы, причем здесь математика? Да притом, что сложная функция формируется ТОЧНО ТАКИМ ЖЕ способом! Только «упаковываем» мы не тетради и ручки, а (x), при этом «пакетами» и «коробками» служат разные функции.

Например, возьмем x и «запакуем» его в функцию косинуса:

В результате получим, ясное дело, (cos⁡x). Это наш «пакет с вещами». А теперь кладем его в «коробку» — запаковываем, например, в кубическую функцию.

Что получится в итоге? Да, верно, будет «пакет с вещами в коробке», то есть «косинус икса в кубе».

Получившаяся конструкция и есть сложная функция. Она отличается от простой тем, что к одному иксу применяется НЕСКОЛЬКО «воздействий» (упаковок) подряд и получается как бы «функция от функции» — «упаковка в упаковке».

В школьном курсе видов этих самых «упаковок» совсем мало, всего четыре :

Давай теперь «упакуем» икс сначала в показательную функцию с основанием 7, а потом в тригонометрическую функцию тангенс. Получим:

(x → 7^x → tg⁡(7^x))

А теперь «упакуем» икс два раза в тригонометрические функции, сначала в синус, а потом в котангенс:

(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x ))

Просто, правда?

Напиши теперь сам функции, где икс:
   — сначала «упаковывается» в косинус, а потом в показательную функцию с основанием (3);
   — сначала в пятую степень, а затем в тангенс;
   — сначала в логарифм по основанию (4), затем в степень (-2). 

Ответы на это задание посмотри в конце статьи.

А можем ли мы «упаковать» икс не два, а три раза? Да, без проблем! И четыре, и пять, и двадцать пять раз. Вот, например, функция, в которой икс «упакован» (4) раза:

(y=5^{log_2⁡{sin⁡(x^4 )}})

Но такие формулы в школьной практике не встретятся (студентам повезло больше — у них может быть и посложнее☺).

«Распаковка» сложной функции

Посмотри на предыдущую функцию еще раз. Сможешь ли ты разобраться в последовательности «упаковки»? Во что икс запихнули сначала, во что потом и так далее до самого конца. То есть — какая функция вложена в какую? Возьми листок и запиши, как ты считаешь. Можно сделать это цепочкой со стрелками как мы писали выше или любым другим способом.

Сделал?

Теперь правильный ответ: сначала икс «упаковали» в (4)-ую степень, потом результат упаковали в синус, его в свою очередь поместили в логарифм по основанию (2), и в конце концов всю эту конструкцию засунули в степень пятерки.

То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.

Например, вот такая функция: (y=tg⁡(log_2⁡x )). Смотрим на икс – что с ним происходит сначала? Берется логарифм от него. А потом? Берется тангенс от результата. Вот и последовательность будет такая же:

(x → log_2⁡x → tg⁡(log_2⁡x ))

Еще пример: (y=cos⁡{(x^3 )}). Анализируем – сначала икс возвели в куб, а потом от результата взяли косинус. Значит, последовательность будет: (x → x^3 → cos⁡{(x^3 )}). Обрати внимание, функция вроде бы похожа на самую первую (там, где с картинками). Но это совсем другая функция: здесь в кубе икс (то есть (cos⁡{(x·x·x)})), а там в кубе косинус (x) (то есть, (cos⁡x·cos⁡x·cos⁡x)). Эта разница возникает из-за разных последовательностей «упаковки».

Последний пример (с важной информацией в нем): (y=sin⁡{(2x+5)}). Понятно, что здесь сначала сделали арифметические действия с иксом, потом от результата взяли синус: (x → 2x+5 → sin⁡{(2x+5)}). И это важный момент: несмотря на то, что арифметические действия функциями сами по себе не являются, здесь они тоже выступают как способ «упаковки». Давай немного углубимся в эту тонкость.

Как я уже говорил выше, в простых функциях икс «упаковывается» один раз, а в сложных — два и более. При этом любая комбинация простых функций (то есть их сумма, разность, умножение или деление) — тоже простая функция. Например, (x^7) – простая функция и (ctg x) — тоже. Значит и все их комбинации являются простыми функциями:

(x^7+ ctg x) — простая,
(x^7· ctg x) – простая,
(frac{x^7}{ctg x}) – простая и т.д.

Однако если к такой комбинации применить еще одну функцию – будет уже сложная функция, так как «упаковок» станет две. Смотри схему:

Хорошо, давай теперь сам. Напиши последовательность «заворачивания» функций:

   (y=cos{⁡(sin⁡x)})

   (y=5^{x^7})

   (y=arctg⁡{11^x})

   (y=log_2⁡(1+x))

Ответы опять в конце статьи.

Внутренняя и внешняя функции

Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.

И для того, чтобы двигаться дальше, нам будут нужны еще два понятия: внутренняя и внешняя функции. Это очень простая вещь, более того, на самом деле мы их уже разобрали выше: если вспомнить нашу аналогию в самом начале, то внутренняя функция — это «пакет», а внешняя – это «коробка». Т.е. то, во что икс «заворачивают» сначала – это внутренняя функция, а то, во что «заворачивают» внутреннюю – уже внешняя. Ну, понятно почему – она ж снаружи, значит внешняя.

Вот в этом примере: (y=tg⁡(log_2⁡x )), функция (log_2⁡x) – внутренняя, а  — внешняя.

А в этом: (y=cos⁡{(x^3+2x+1)}),   (x^3+2x+1) — внутренняя,  а  — внешняя.

Выполни последнюю практику анализа сложных функций, и перейдем, наконец, к тому, ради чего всё затевалось — будем находить производные сложных функций:

Заполни пропуски в таблице:

Производная сложной функции

Браво нам, мы всё ж таки добрались до «босса» этой темы – собственно, производной сложной функции, а конкретно, до той самой ужасной формулы из начала статьи.☺

((f(g(x)))’=f'(g(x))cdot g'(x))

Формула эта читается так:

И сразу смотри схему разбора «по словам» чтобы понимать, что к чему относится:

Надеюсь, термины «производная» и «произведение» затруднений не вызывают. «Сложную функцию» — мы уже разобрали. Загвоздка в «производной внешней функции по неизменной внутренней». Что это такое?

Ответ: это обычная производная внешней функции, при которой изменяется только внешняя функция, а внутренняя остается такой же. Все равно непонятно? Хорошо, давай на примере.

Пусть у нас есть функция (y=sin⁡(x^3 )). Понятно, что внутренняя функция здесь (x^3), а внешняя  . Найдем теперь производную внешней по неизменной внутренней.

Из таблицы производных мы знаем, что производная синуса икс есть косинус икс (табличные значения надо знать наизусть!):      (({sin⁡{x}})’=cos⁡{x}).

Тогда производная внешней функции по неизменной внутренней для нашего случая будет (cos⁡(x^3)). То есть, мы взяли ее как обычную производную синуса, а содержимое синуса (внутреннюю функцию) просто скопировали в полученную производную (косинус), ничего в ней не меняя.

Таким образом, на данный момент имеем:

Осталась «производная внутренней функции». Ну, это совсем легко – обычная производная от внутренней функции, при этом внешняя не влияет вообще никак. В нашем примере, производная от (x^3).

((x^3 )’=3x^2)

Все, теперь можем писать ответ:

Вот так. Давай еще один пример разберем.

Пусть надо найти производную функции (y=(sin⁡x )^3).

Анализируем. Последовательность «заворачивания» у нас такая: (x → sin⁡x → (sin⁡x )^3). Значит, в данном примере внутренняя функция это (sin⁡x), а внешняя .

Производная внешней по внутренней – это производная куба (содержимое куба при этом не меняется). Так как , а в нашем случае в куб «завернут» (sin⁡x), то производная внешней будет (3(sin⁡x)^2). То есть, имеем:

Ну, а производная внутренней – это просто производная синуса икс, то есть косинус икс.

В итоге, имеем:

(y’=((sin⁡x )^3 )’=3(sin⁡x )^2·(sin⁡x )’=3(sin⁡x )^2·cos⁡x)

Понятно?
Ладно, ладно, вот еще один пример с разбором. ☺

Пример. Найти производную сложной функции (y=ln(x^2-x)).

Разбираем вложенность функций: (x → x^2-x → ln⁡(x^2-x)).
Внутренняя: (x^2-x).            Внешняя: .  
Из таблицы производных знаем:.
То есть производная внешней по внутренней будет: (ln⁡(x^2-x)’=) (frac{1}{x^2-x}).
Производная внутренней: ((x^2-x)’= (x^2)’-(x)’=2x-1).
В итоге, согласно большой и страшной формуле имеем:

(y ‘=(ln⁡(x^2-x) )’=)(frac{1}{x^2-x})(·(2x-1))

Ну и напоследок можно немного «причесать» ответ, чтоб никто не докопался:

(y ‘=(ln⁡(x^2-x))’=)(frac{1}{x^2-x})(·(2x-1)=)(frac{2x-1}{x^2-x})

Готово.

Что, еще примеров желаешь? Легко.

Пример. Найти производную сложной функции (y=sin⁡{(cos⁡x)}).
Вложенность функций: (x → cos⁡x → sin⁡{(cos⁡x)})
Внутренняя: (cos⁡x)    Внешняя:
Производная внешней по внутренней: (sin{⁡(cos⁡x )}’=cos⁡{cos⁡x})
Производная внутренней: ((cos⁡x )’= -sin⁡x)
Имеем: (y’=(sin⁡{(cos⁡x)})’=cos⁡{cos⁡x}·(-sin⁡x )=-cos⁡{cos⁡x} ·sin⁡x)

Замечание: Обрати внимание, что заменить запись (cos⁡{cos⁡x}) на (cos^2⁡x) НЕЛЬЗЯ, так как (cos^2⁡x) — это комбинация простых функций (cos^ 2⁡x=cos⁡x·cos⁡x), а (cos⁡{cos⁡x}) – сложная функция: косинус от косинуса икс. Это абсолютно разные функции.

Еще пример с важным замечанием в нем.

Пример. Найти производную сложной функции (y=sqrt{x^6} )
Вложенность функций: (x → x^6 → sqrt{x^6})
Внутренняя: (x^6)      Внешняя:
Производная внешней по внутренней: (sqrt{x^6}’=)(frac{1}{2sqrt{x^6}})
Производная внутренней: ((x^6)’= 6x^5)
Имеем: ((sqrt{x^6})’=)(frac{1}{2sqrt{x^6}})(·6x^5)
И теперь упростим ответ. Вспомним свойство корня: (sqrt[b]{x^a} =x^{frac{a}{b}}). Тогда (sqrt{x^6}=x^{frac{6}{2}}=x^3). С учетом этого получаем:

(y’=( sqrt{x^6})’=)(frac{1}{2sqrt{x^6}})(·6x^5=)(frac{1}{2x^3})(·6x^5=)(frac{6x^5}{2x^3})(=3x^2)

Всё. А теперь, собственно, важное замечание:

Тот же самый ответ, но значительно меньшими усилиями мы могли бы получить, упростив исходную функцию сразу. Воспользуемся тем же свойством корня: (sqrt[b]{x^a} =x^{frac{a}{b}}). Тогда исходная функция приобретает вид: (y=sqrt{x^6}=x^{frac{6}{2}}=x^3). А производная куба это практически табличное значение! Готов ответ: (y’=(sqrt{x^6})’=(x^3 )’=3x^2). Немножко проще предыдущего решения, правда ☺? Поэтому прежде чем искать производную, посмотрите, можно ли исходную функцию упростить, чтоб решать было проще.

Давай рассмотрим пример, где эта идея нам сильно поможет.

Пример. Найти производную сложной функции (y=ln⁡(x^3)).
Можно, конечно, рассмотреть вложенность функций: (x → x^3 → ln⁡(x^3 )), разобрать на внутреннюю и внешнюю и так далее. Но можно вспомнить свойство логарифма: (log_a⁡{b^c}=c·log_a{⁡b}). И тогда функция получается (y=ln⁡(x^3 )=3ln⁡x). Отлично! Берем производную:

(y’=(ln⁡(x^3 ) )’=(3ln⁡x )’=3(ln⁡x )’=3·)(frac{1}{x}=frac{3}{x})

Вуаля!

Теперь задачка посложнее, для продвинутых. Решим пример с тройной вложенностью!

Пример. Найти производную сложной функции (y=3^{sin⁡(x^4+1)}).
Вложенность функций: (x → x^4+1 → sin⁡(x^4+1) → 3^{sin⁡(x^4+1)})
Внутренняя: (x^4+1)    Средняя:      Внешняя:
Сначала производная внешней по средней. Вспоминаем таблицу производных: . Значит, в нашем случае будет (3^{sin⁡(x^4+1)}·ln⁡3).
Хорошо, теперь производная средней по внутренней. По таблице: . Значит, мы получим, (sin⁡(x^4+1)’=cos⁡(x^4+1)).
И наконец, производная внутренней: ((x^4+1)’=(x^4 )’+(1)’=4x^3).
Отлично. Теперь собираем все вместе, перемножая отдельные производные:

((3^{sin⁡(x^4+1)})’=3^{sin⁡(x^4+1)} ·ln⁡3·cos⁡{(x^4+1)}·4x^3)

Готово. Да, это ответ. ☺

Ну, а что ты хотел, я сразу сказал – пример для продвинутых! А представь, что будет с четырехкратной или пятикратной вложенностью? ☺

Пример: Найти производную сложной функции (y=tg⁡(7^x)).

Разбираем вложенность функций: (x : → :7^x : → :tg⁡(7^x)).
Внутренняя: (7^x)       Внешняя: (tg⁡(7^x)).
Ищем производную самой внешней функции, внутреннюю при этом не трогаем.
Из таблицы производных знаем: .
То есть, в нашем случае производная внешней по внутренней будет:  (frac{1}{cos^2⁡(7^x)}).
Теперь ищем производную внутренней. Этой формулой мы уже пользовались, так что сразу пишем ответ: ((7^x)’=7^x·ln⁡7).
И перемножаем результаты:

(y’=tg⁡(7^x)’=)(frac{1}{cos^2⁡(7^x)}·7^x·ln⁡7)

И «причесываем»:   (y’=(tg⁡(7)^x))’=)(frac{1}{cos^2⁡(7^x )})( ·7^x·ln⁡7=)(frac{ln⁡7·7^x}{cos^2⁡(7^x)}).

Ну, теперь думаю всё понятно? И снова повторю – не пугайся сложных конструкций в ответах и промежуточных вычислениях. Они «на лицо ужасные», но зато добрые (в смысле простые) внутри. ☺ Пойми принцип и делай все последовательно.

Последний пример. Такие задания в разных вариациях весьма часто дают на контрольных и тестах. Он вроде как считается сложным. ☺ Хех, наивные учителя. ☺

Пример: Найти производную сложной функции (y=sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2}).

Казалось бы, опять у нас тройная вложенность функций:

(x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^2 → sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2}).

Но давай снова воспользуемся свойством корня (sqrt[b]{x^a} =x^{frac{a}{b}}) и преобразуем нашу функцию к виду:

(y=sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2}=(x^5+2x-5)^{frac{2}{3}})

Вот так. И теперь у нас вложенность двойная: (x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^{frac{2}{3}})
При этом функция осталась той же! Удобное свойство, однако. Стоит его запомнить, да? ☺ Ладно, поехали дальше.
Внутренняя функция: (x^5+2x-5).    Внешняя: .
Производная внешней по внутренней. По таблице производных общая формула производной степенной функции:   . Получаем:   . Тогда в нашем случае будет: (frac{2}{3}(x^5+2x-5)^{-frac{1}{3}}).
Производная внутренней: ((x^5+2x-5)’=5x^4+2).
Общий результат: (y ‘=(sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2})’=((x^5+2x-5)^{frac{2}{3}} )’=frac{2}{3}(x^5+2x-5)^{-frac{1}{3}}·(5x^4+2)).

В принципе, ответ найден. Но здесь можно сильно «причесать» результаты. Это может показаться сложным, но это не так, просто опять нагромождения символов большое и возникает такое ложное ощущение. На всякий случай помни: «не причесанный» ответ – тоже ответ. Поэтому если не поймешь дальнейших преобразований – не критично. Ладно, расческу в руки и вперед.
Вспоминаем свойство отрицательной степени (a^{-n}=)(frac{1}{a^n}). Получаем:

(y ‘=frac{2}{3}(x^5+2x-5)^{-frac{1}{3}}·(5x^4+2)=)(frac{2}{3})(·)(frac{1}{(x^5+2x-5)^{frac{1}{3}}})(·(5x^4+2))

А теперь применяем свойство корня (sqrt[b]{x^a} =x^{frac{a}{b}}) в обратную сторону. То есть, вот так (x^{frac{a}{b}}=sqrt[b]{x^a}). В результате имеем:

(y’=)(frac{2}{3})(frac{1}{(x^5+2x-5)^{frac{1}{3}}})(·(5x^4+2)=)(frac{2}{3})(frac{1}{sqrt[3]{x^5+2x-5}})(·(5x^4+2))

Ну, и перемножаем дроби.

(y’=)(frac{2}{3})(frac{1}{sqrt[3]{x^5+2x-5}})(·(5x^4+2)=)(frac{2(5x^4+2)}{3sqrt[3]{x^5+2x-5}})(=)(frac{10x^4+4}{3sqrt[3]{x^5+2x-5}})

ВСЁ!!! А теперь сам.

Найти производные функций:

a. (y=ctg⁡(x^7))
b. (y=e^{x^4+5x^3})
c. (y=sqrt{cos⁡x})
d. (y=log_5⁡{5^x})
e. (y=(tg⁡x)^3)
f. (y=sin⁡(ln⁡(x^2)))

Ответы ко всем заданиям (вперемежку).

(y=tg⁡(x^5))

(y=log^{-2}_{4}{⁡x})

(y=3^{cos⁡x})

(x → 1+x → log_2⁡{(1+x)} )

(x → 11^x → arctg⁡(11^x) )

(x → x^7 → 5^{x^7})

(x → sin⁡x → cos⁡(sin⁡x))

Сошлось? Красавчик!

Производная сложной функции.

Если
,
где,
т.е. еслизависит от
через посредство промежуточного
аргумента
,
то
называется сложной функцией от.

Определение
4.9.
Производная сложной функции равна
произведению её производной по
промежуточному аргументу на производную
этого аргумента по независимой переменной:

или

Так,
если
,
то формулы дифференцирования будут
иметь следующий вид:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Пример
№9:
Найти
производные следующих функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

Решение:

1. Полагая
   ,
   где,
   и применяя правило дифференцирования
   сложной функции, имеем:;
   ;

2. Полагая
   ,
   получим:

3. 

4. Полагаем
   :

Задания:
Найти
производные следующих функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. 

Производные показательных и логарифмических функций.

Общие
формулы и их частные виды:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

Для
дифференцирования логарифмической
функции с основанием
можно предварительно преобразовать её
в логарифмическую функцию с основаниемпо формуле

Пример
№10:
Найти
производные следующих функций:

1. ;

2. ;

3. .

Решение:

1. ;

2. ;

3. 
   .

Задания:
Найти
производные следующих функций:

1. ;

2. ;

3. 
   .

Производные высших порядков

Если
есть производная от функции,
то производная отназывается второй производной, или
производной второго порядка от
первоначальной функции,
и обозначается,
или,
или

Пример
№11:
Для данных функций найти производные
указанных порядков:

1. ,
   ;

2. ,
   
   ;

3. ,
   .

Решение:

1. Дифференцируя
   функцию
   ,
   получим:.
   Дифференцируя производную,
   получим:.
   Дифференцируя вторую производную,
   получим.

2. .
   Для нахождения следующих производных
   здесь полезно ввести отрицательный
   показатель степени.
   ,,,.

3. ,
   . При
   найдём
   .

Задания:

1. ,
   ; 2),.

Производные неявной функции.

Если
есть неявная функция от,
т.е. задана уравнением,
не разрешенным относительно,
то для нахождения производнойнужно продифференцировать пообе части равенства, помня, чтоесть функция от,
и затем разрешить полученное равенство
относительно искомой производной. Как
правило, она будет зависеть оти;.

Пример
№12:
Для данных неявных функций найти
производные указанного порядка:

1. 
   ,
   ;

2. 
   ,
   ;

3. 
   ,
   .

Решение:

1. Дифференцируем
   по
   обе части равенства, гдеесть функция от,
   получим:

2. Дифференцируя
   по
   ,
   получим:. Подставляя заданное значениев исходное уравнение, найдём два
   соответствующих ему значения:,. Поэтому прии производнаяимеет два значения:;.

3. Прологарифмируем
   обе части данного уравнения (по основанию
   ),
   затем дифференцируем по,
   рассматриваякак функцию:;;. Отсюда найдём.

Задания:

1. 
   ,
   ;

2. 
   ,
   ;

3. 
   ,
   .

Касательная и нормаль к плоской кривой. Угол между двумя кривыми.

Если
плоская кривая отнесена к прямоугольной
системе координат, то уравнения
касательной и нормали к ней в точке
имеют вид:
;
,

где
—
значение в точкепроизводнойиз уравнений кривой.

Направление
кривой в каждой её точке определяется
направлением касательной к ней в этой
точке. Угол между двумя пересекающимися
кривыми определяется как угол между
двумя прямыми, касательными к кривым в
точке их пересечения по формуле:

, где
и—
угловые коэффициенты касательных к
кривым в точке их пересечения,
т.е. частные значения в точкепроизводных отпоиз уравнений этих кривых:;.

Задания:
Составить уравнения касательной и
нормали:

1. к
   параболе
   в точке, где;

2. к
   окружности
   в точках пересечения её с осью.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

1. Найти производную функции $f'(х)$
2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
3. Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
4. Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
5. Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

1. Найти производную функции $f'(х)$
2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
3. Разложить производную функции на множители.
4. Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
5. Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Функция	Производная
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^{n-1}, n∈N$
${1}/{x}$	$-{1}/{x^2}$
${1}/x{^n}, n∈N$	$-{n}/{x^{n+1}}, n∈N$
$√^n{x}, n∈N$	${1}/{n√^n{x^{n-1}}, n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	${1}/{cos^2x}$
$ctgx$	$-{1}/{sin^2x}$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	${1}/{x}$
$log_{a}x$	${1}/{xlna}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

2. Производная произведения.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f^'(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)’}/{g^2(x)}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

Производная сложной функции.

Все примеры этого раздела опираются на таблицу производных и теорему о производной сложной функции, формулировка которой такова:

В примерах этого раздела все функции имеют вид $y=f(x)$ (т.е. рассматриваем лишь функции одной переменной $x$). Соответственно, во всех примерах производная $y’$ берётся по переменной $x$. Чтобы подчеркнуть то, что производная берётся по переменной $x$, часто вместо $y’$ пишут $y’_x$.

В примерах №1, №2 и №3 изложен подробный процесс нахождения производной сложных функций. Пример №4 предназначен для более полного понимания таблицы производных и с ним имеет смысл ознакомиться.

Желательно после изучения материала в примерах №1-3 перейти к самостоятельному решению примеров №5, №6 и №7. Примеры №5, №6 и №7 содержат краткое решение, чтобы читатель мог проверить правильность своего результата.

Пример №1

Найти производную функции $y=e^{cos{x}}$.

Решение

Так как $y=e^{cos{x}}$, то, соответственно, $y’=left(e^{cos x}right)’$. Открываем таблицу производных и видим, что формула №6 имеет нужную нам структуру:

$$left(e^uright)’=e^ucdot{u’}$$

Только в нашем случае вместо $u$ стоит $cos{x}$, т.е. $u=cos{x}$. Подставляя в табличную формулу $u=cos{x}$, получим:

Итак,

$$ y’=left( e^{cos x} right)’=e^{cos x}cdot (cos x)’ tag {1.1}$$

Первая часть работы сделана. Теперь нужно найти производную $(cos{x})’$. Вновь обращаемся к таблице производных, выбирая из неё формулу №10:

$$
left(cos{u}right)’=-sin{u}cdot{u’}
$$

Подставляя $u=x$ в данную формулу, имеем: $(cos{x})’=-sin{x}cdot{x’}$. Теперь продолжим равенство (1.1), дополнив его найденным результатом:

$$
y’=left( e^{cos x} right)’=e^{cos x}cdot (cos x)’=
e^{cos x}cdot (-sin xcdot x’) tag {1.2}
$$

Так как $x’=1$, то продолжим равенство (1.2):

$$
y’=left( e^{cos x} right)’=e^{cos x}cdot (cos x)’=
e^{cos x}cdot (-sin xcdot x’)=e^{cos x}cdot (-sin xcdot 1)=-sin xcdot e^{cos x} tag {1.3}
$$

Итак, из равенства (1.3) имеем: $y’=-sin xcdot e^{cos x}$. Естественно, что пояснения и промежуточные равенства обычно пропускают, записывая нахождение производной в одну строку, – как в равенстве (1.3). Итак, производная сложной функции найдена, осталось лишь записать ответ.

Ответ: $y’=-sin xcdot e^{cos x}$.

Пример №2

Найти производную функции $y=9arctg^{12}(4ln x)$.

Решение

Нам необходимо вычислить производную $y’=left(9arctg^{12}(4ln x) right)’$. Для начала отметим, что константу (т.е. число 9) можно вынести за знак производной:

$$
y’=left(9arctg^{12}(4ln x) right)’=9cdotleft(arctg^{12}(4ln x) right)’ tag {2.1}
$$

Теперь обратимся к выражению $left(arctg^{12}(4ln x) right)’$. Чтобы выбрать нужную формулу из таблицы производных было легче, я представлю рассматриваемое выражение в таком виде: $left(left(arctg(4ln x) right)^{12}right)’$. Теперь видно, что необходимо использовать формулу №2, т.е. $left(u^alpha right)’=alphacdot u^{alpha-1}cdot u’$. В эту формулу подставим $u=arctg(4ln x)$ и $alpha=12$:

$$
left(left(arctg(4ln x) right)^{12}right)’
=12cdotleft(arctg(4ln x) right)^{12-1}cdotleft(arctg(4ln x)right)’
=12cdotleft(arctg(4ln x) right)^{11}cdotleft(arctg(4ln x)right)’
$$

Дополняя равенство (2.1) полученным результатом, имеем:

$$
y’=left(9cdot arctg^{12}(4ln x) right)’=9cdotleft(arctg^{12}(4ln x) right)’=
108cdotleft(arctg(4 ln x) right)^{11}cdot (arctg(4ln{x}))’
tag {2.2}
$$

Примечание: показатьскрыть

Теперь нужно найти $(arctg(4ln x))’$. Используем формулу №19 таблицы производных, подставив в неё $u=4ln x$:

$$
(arctg(4ln x))’
=frac{1}{1+(4ln x)^2}cdot (4ln x)’
=frac{1}{1+16ln^2{x}}cdot (4ln x)’
$$

Равенство (2.2) теперь станет таким:

$$
y’=left(9cdot arctg^{12}(4ln x) right)’=9cdotleft(arctg^{12}(4ln x) right)’=\
=108cdotleft(arctg(4ln x) right)^{11}cdot (arctg(4ln x))’
=108cdot left(arctg(4ln x) right)^{11}cdot frac{1}{1+16cdot ln^2 x}cdot (4ln x)’
tag {2.3}
$$

Осталось найти $(4ln x)’$. Вынесем константу (т.е. 4) за знак производной: $(4cdot ln x)’=4cdot (ln x)’$. Для того, чтобы найти $(ln x)’$, используем формулу №8, подставив в нее $u=x$: $(ln x)’=frac{1}{x}cdot x’$. Так как $x’=1$, то получим:

$$(ln x)’=frac{1}{x}cdot x’=frac{1}{x}cdot 1=frac{1}{x}$$

Подставив полученный результат в формулу (2.3), получим:

$$
y’=left(9cdot arctg^{12}(4ln x) right)’=9cdotleft(arctg^{12}(4ln x) right)’=\
=108cdotleft(arctg(4ln x) right)^{11}cdot (arctg(4ln x))’=108cdot left(arctg(4ln x) right)^{11}cdot frac{1}{1+16cdot ln^2 x}cdot (4cdot ln x)’=\

=108cdot left(arctg(4ln x) right)^{11}cdot frac{1}{1+16cdot ln^2 x}cdot 4cdot frac{1}{x}
=frac{432arctg^{11}(4ln x)}{xcdot (1+16cdot ln^2 x)}.
$$

Напомню, что производная сложной функции чаще всего находится в одну строку, – как записано в последнем равенстве. Поэтому при оформлении типовых расчетов или контрольных работ вовсе не обязательно расписывать решение столь же подробно.

Ответ: $y’=frac{432arctg^{11}(4ln x)}{xcdot (1+16cdot ln^2 x)}$.

Пример №3

Найти $y’$ функции $y=sqrt[7]{sin^3(5cdot9^x)}$.

Решение

Для начала немного преобразим функцию $y$, выразив радикал (корень) в виде степени: $y=sqrt[7]{sin^3(5cdot9^x)}=left( sin(5cdot 9^x)right)^{frac{3}{7}}$. Теперь приступим к нахождению производной. Так как $y=left( sin(5cdot 9^x)right)^{frac{3}{7}}$, то:

$$
y’=left( left( sin(5cdot 9^x)right)^{frac{3}{7}}right)’
tag {3.1}
$$

Используем формулу №2 из таблицы производных, подставив в неё $u=sin(5cdot 9^x)$ и $alpha=frac{3}{7}$:

$$
left( left( sin(5cdot 9^x)right)^{frac{3}{7}}right)’=
frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)right)^{frac{3}{7}-1} (sin(5cdot 9^x))’=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)right)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))’
$$

Продолжим равенство (3.1), используя полученный результат:

$$
y’=left( left( sin(5cdot 9^x)right)^{frac{3}{7}}right)’=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)right)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))’
tag {3.2}
$$

Теперь нужно найти $(sin(5cdot 9^x))’$. Используем для этого формулу №9 из таблицы производных, подставив в неё $u=5cdot 9^x$:

$$
(sin(5cdot 9^x))’=cos(5cdot 9^x)cdot(5cdot 9^x)’
$$

Дополнив равенство (3.2) полученным результатом, имеем:

$$
y’=left( left( sin(5cdot 9^x)right)^{frac{3}{7}}right)’=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)right)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))’=\
=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)right)^{-frac{4}{7}} cos(5cdot 9^x)cdot(5cdot 9^x)’
tag {3.3}
$$

Осталось найти $(5cdot 9^x)’$. Для начала вынесем константу (число $5$) за знак производной, т.е. $(5cdot 9^x)’=5cdot (9^x)’$. Для нахождения производной $(9^x)’$ применим формулу №5 таблицы производных, подставив в неё $a=9$ и $u=x$: $(9^x)’=9^xcdot ln9cdot x’$. Так как $x’=1$, то $(9^x)’=9^xcdot ln9cdot x’=9^xcdot ln9$. Теперь можно продолжить равенство (3.3):

$$
y’=left( left( sin(5cdot 9^x)right)^{frac{3}{7}}right)’=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)right)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))’=\
=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)right)^{-frac{4}{7}} cos(5cdot 9^x)cdot(5cdot 9^x)’=
frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)right)^{-frac{4}{7}} cos(5cdot 9^x)cdot 5cdot 9^xcdot ln9=\
=frac{15cdot ln 9}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)right)^{-frac{4}{7}}cdot cos(5cdot 9^x)cdot 9^x.
$$

Можно вновь от степеней вернуться к радикалам (т.е. корням), записав $left( sin(5cdot 9^x)right)^{-frac{4}{7}}$ в виде $frac{1}{left( sin(5cdot 9^x)right)^{frac{4}{7}}}=frac{1}{sqrt[7]{sin^4(5cdot 9^x)}}$. Тогда производная будет записана в такой форме:

$$
y’=frac{15cdot ln 9}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)right)^{-frac{4}{7}}cdot cos(5cdot 9^x)cdot 9^x
=frac{15ln 9}{7}cdot frac{cos (5cdot 9^x)cdot 9^x}{sqrt[7]{sin^4(5cdot 9^x)}}.
$$

Ответ: $y’=frac{15ln 9}{7}cdot frac{cos (5cdot 9^x)cdot 9^x}{sqrt[7]{sin^4(5cdot 9^x)}}$.

Пример №4

Показать, что формулы №3 и №4 таблицы производных есть частный случай формулы №2 этой таблицы.

Решение

В формуле №2 таблицы производных записана производная функции $u^alpha$. Подставляя $alpha=-1$ в формулу №2, получим:

$$left(u^{-1}right)’=-1cdot u^{-1-1}cdot u’=-u^{-2}cdot u’tag {4.1}$$

Так как $u^{-1}=frac{1}{u}$ и $u^{-2}=frac{1}{u^2}$, то равенство (4.1) можно переписать так: $left( frac{1}{u} right)’=-frac{1}{u^2}cdot u’$. Это и есть формула №3 таблицы производных.

Вновь обратимся к формуле №2 таблицы производных. Подставим в неё $alpha=frac{1}{2}$:

$$left(u^{frac{1}{2}}right)’=frac{1}{2}cdot u^{frac{1}{2}-1}cdot u’=frac{1}{2}u^{-frac{1}{2}}cdot u’tag {4.2}
$$

Так как $u^{frac{1}{2}}=sqrt{u}$ и $u^{-frac{1}{2}}=frac{1}{u^{frac{1}{2}}}=frac{1}{sqrt{u}}$, то равенство (4.2) можно переписать в таком виде:

$$
(sqrt{u})’=frac{1}{2}cdot frac{1}{sqrt{u}}cdot u’=frac{1}{2sqrt{u}}cdot u’
$$

Полученное равенство $(sqrt{u})’=frac{1}{2sqrt{u}}cdot u’$ и есть формула №4 таблицы производных. Как видите, формулы №3 и №4 таблицы производных получаются из формулы №2 подстановкой соответствующего значения $alpha$.

Пример №5

Найти $y’$, если $y=arcsin{2^x}$.

Решение

Нахождение производной сложной функции в данном примере запишем без подробных пояснений, которые были даны в предыдущих задачах.

$$
y’
=left(arcsin{2^x}right)’
=frac{1}{sqrt{1-left(2^xright)^2}}cdotleft(2^xright)’
=frac{1}{sqrt{1-2^{2x}}}cdot{2^x}ln{2}
=frac{2^xln{2}}{sqrt{1-2^{2x}}}

$$

Ответ: $y’=frac{2^xln 2}{sqrt{1-2^{2x}}}$.

Пример №6

Найти $y’$, если $y=7lnsin^3{x}$.

Решение

Как и в предыдущем примере, нахождение производной сложной функции рассмотрим без подробностей. Желательно записать производную самостоятельно, лишь сверяясь с указанным ниже решением.

Сразу стоит отметить, что перед нахожденим производной функцию хорошо бы слегка упростить. Так как $lnsin^3{x}=3lnsin{x}$, то $y=21lnsin{x}$.

$$
y’
=left(21lnsin{x}right)’
=21cdotleft(lnsin{x}right)’
=21cdotfrac{1}{sin{x}}cdot(sin{x})’
=frac{21}{sin{x}}cdotcos{x}
=21ctg{x}.
$$

Ответ: $y’=21ctg x$.

Пример №7

Найти $y’$, если $y=frac{9}{tg^4(log_{2}(2cdotcos x))}$.

Решение