Что такое функция и что такое сложная функция ?
Функция $gleft(tright)=3cdot t-1$ — это правило отображения $t$ — чисел в значения функции $gleft(.right)$ по указанному правилу.
Например: числу $t=2$ соответствует значение $gleft(2right)=3cdot 2-1=5$. «2» отображается в «5».
Еще: $t=0$ отображается в $-1$, т.е. $gleft(0right)=-1$ ; говорят: функция $g$ в точке $0$ принимает значение $-1$.
Именно все такие пары соответствий $left(2;5right)$ , $left(0;-1right)$ , $left(4;11right)$ … все прочие «делают» функцию.
«Я знаю кто он, если я знаю на что он способен, что и как он делает». Функция: аргумент —> значение
$gleft(tright)$ переводит значения аргументов в значения функции. Имя аргумента » $t$ » здесь не важно, важно правило: $3cdot t-1$ !
Другая функция, $fleft(zright)=z^2$ переводит, отображает 5 —> 25, -1 —> 1. т.е. $fleft(5right)=25$ $fleft(-1right)=1$
- Ключевые термины: функция имя аргумент правило вычисления значения
- $gleft(tright)$ $gleft(tright)=3cdot t-1$ $g$ $t$ $3cdot t-1$
- $fleft(zright)$ $fleft(zright)=z^2$ $f$ $z$ $z^2$
Сложная функция $fleft(gleft(xright)right)=left(3x-1right)^2$ комбинированная из двух: $f$ и $g$
для $x=2$ функция $fleft(gleft(2right)right)=fleft(5right)=25$, значение по правилу такое же $left(3cdot 2-1right)^2=25$
для $x=0$ функция $fleft(gleft(0right)right)=fleft(-1right)=1$, также и значение по правилу $left(3cdot -1-1right)^2=1$
-
термины $fleft(gleft(xright)right)$ $x$ — аргумент функции $g$. $gleft(xright)$ — аргумент функции $f$.
-
$f$ — внешняя функция, $g$ — внутренняя функция. правило сложной функции $left(3x-1right)^2$
-
$fleft(gleft(xright)right)=fleft(3x-1right)=left(3x-1right)^2=left(gleft(xright)right)^2$ … $x$ (по правилу $g$ ) —> $left(3x-1right)$ (по правилу $f$) —> $left(3x-1right)^2$
Пример 1: Найти производную сложной функций $left(left(3x-1right)^2right)’$
-
Сложная функция: внутреняя $gleft(xright)=left(3x-1right)^2$ и внешняя $fleft(gright)=left(gleft(xright)right)^2$ — квадрат от аргумента, от внутренней
-
Метод Замены: Введем новую переменную $X=3x-1$ … «внутренняя функция стала переменной от $x$ «
-
Итак, зависимости: $fleft(Xright)=left(Xright)^2$, $X=3x-1$ . C какой скоростью изменяется $f$ при изменении $x$ ?
-
выражение $left(Xright)^2$ при изменениях $X$ изменяется со скоростью $left(left(Xright)^2right)’=2cdot X=2cdot (3x-1)$
-
переменная $X$ при изменениях аргумента $x$ изменяется со скоростью $left(Xright)’=left(3x-1right)’=3$
-
тогда, «комбинация двух изменений»: $left(Xright)^2$ при изменениях $x$ меняется по умножения скоростей $2cdot (3x-1)cdot 3$
-
иллюстрация правила умножения: Проследим за всеми взаимными изменениями
-
$bigtriangleup left(X^2right)approx left(X^2right)’cdot bigtriangleup X=left[2Xright]cdot bigtriangleup X$ $bigtriangleup Xapprox left(X’right)cdot bigtriangleup x=left(3x-1right)’bigtriangleup x$
-
комбинированная скорость $f’left(xright)approx frac{bigtriangleup left(X^2right)}{bigtriangleup x}=frac{bigtriangleup left(X^2right)}{bigtriangleup X}cdot frac{bigtriangleup left(Xright)}{bigtriangleup x}approx left[2Xright]cdot left(X’right)=left[2cdot left(3x-1right)right]cdot left(3right)$ — умножение скоростей
Решение: Оформим записи о дифференцировании сложной функции через равенства — действия шаг за шагом:
$left(left(3x-1right)^2right)’=left(X^2right)’cdot X’=2Xcdot X’=2left(3x-1right)cdot left(3x-1right)’=2left(3x-1right)cdot 3=18x-6$. Или, короче:
$left(left(3x-1right)^2right)’=2left(3x-1right)cdot left(3x-1right)’=2left(3x-1right)cdot 3=18x-6$ (замена $X=3x-1$ в воображении)
Хорошие вопросы: Производная Чего? в этом случае «квадрата». Что есть внешняя и что есть внутренняя функции?
Теорема: Производная Сложной Функции по аргументу $x$ равна умножению
производной внешней функции по внутренней на производной внутренней функции по $x$.
$left(fleft(gleft(xright)right)right)’=f_g’cdot g_x’$ Метод Замены: $left(fleft(gleft(xright)right)right)’=left(fleft(Xright)right)’=f_X’left(Xright)cdot X’$.
$X=gleft(xright)$ — внутреннее выражение. Доказательство через осмысление предела: $frac{bigtriangleup fleft(gleft(xright)right)}{bigtriangleup x}=frac{bigtriangleup fleft(gright)}{bigtriangleup g}cdot frac{bigtriangleup gleft(xright)}{bigtriangleup x}$
Таблица Основных Производных … $X$ большое — любое выражение от $x$
-
Степень: $left(X^nright)’=ncdot X^{n-1}cdot X’$ $left(X^3right)’=3X^2cdot X’$
-
Корень: $left(sqrt{X}right)’=left(X^{frac{1}{2}}right)’=frac{1}{2}cdot X^{-frac{1}{2}}cdot X’$ $left(sqrt[3]{X}right)’=left(X^{frac{1}{3}}right)’=frac{1}{3}cdot X^{-frac{2}{3}}cdot X’$
-
Тригонометрические: $left(sin Xright)’=cos Xcdot X’$ $left(cos Xright)’=-sin Xcdot X’$
-
Экспоненциальные: $left(e^Xright)’=e^Xcdot X’$ $left(a^Xright)’=a^Xcdot ln acdot X’$
-
Логарифмические: $left(ln Xright)’=frac{1}{X}cdot X’$ $left(log _aXright)’=left(frac{ln X}{ln a}right)’=frac{1}{Xcdot ln a}cdot X’$
Правила Дифференцирования:
-
производная суммы равна сумме производных: $left(A-B+Cright)’=A’-B’+C’$
-
правило производной от умножения: $left(Acdot Bright)’=A’cdot B+Acdot B’$
-
правило производной от деления: $left(frac{A}{B}right)’=frac{A’cdot B-Acdot B’}{B^2}$
-
производная сложной функции : $left(fleft(Xright)right)’=f’left(Xright)cdotleft(Xright)’$
Дифференцирование «сложных» функций, … … «как замена» и умножение на производную «замены»:
- Производная сложной функции … в аргументе функции выражение от $x$, называем «заменой» $X$ :
- $left(fleft(Xright)right)’=f’left(Xright)cdotleft(Xright)’$. В сложных функциях надо распознать и выделить внешнюю и внутреннюю функцию.
- Найти производную внешней функции и умножить на производную внутренней функции.
- f- внешняя функция, $X$ — внутренняя. $f’left(Xright)$ — производная в $X$ !
Пример 2: Найти производные «сложных» функций
В сложных функциях важно правильно распознать внешнюю и внутреннюю функцию. И, перемножить их производные.
A. $left(sin7xright)’=left(sin Xright)’=cos Xcdotleft(X’right)=cos7xcdotleft(7xright)’=7cos7x$
B. $left(sqrt{5cdot x^2-6}right)’=left(sqrt{X}right)’=frac{1}{2sqrt{X}}cdotleft(Xright)’=frac{1}{2sqrt{5cdot x^2-6}}cdotleft(5cdot x^2-6right)’=frac{10x}{2sqrt{5cdot x^2-6}}=frac{5x}{sqrt{5cdot x^2-6}}$
C. $left(e^{-5x}right)’=left(e^Xright)’=e^Xcdotleft(Xright)’=e^{-5x}cdotleft(-5xright)’=-5e^{-5x}$
D. $left(cossqrt{5cdot x^2-6}right)’=left(cos Xright)’=-sin Xcdotleft(Xright)’=-sinsqrt{5cdot x^2-6}cdotleft(sqrt{5cdot x^2-6}right)’=-frac{5xcdotsinsqrt{5cdot x^2-6}}{sqrt{5cdot x^2-6}}$
E. $left(log_3left(x^5-3x^2right)right)’=left(log_3Xright)’=left(frac{ln X}{ln3}right)’=frac{1}{ln3cdot X}cdotleft(Xright)’=frac{1}{ln3cdotleft(x^5-3x^2right)}cdotleft(x^5-3x^2right)’=frac{5x^4-6x}{ln3cdotleft(x^5-3x^2right)}$
Пример 3: Найти производную $left(sqrt{3x}cosleft(4x+1right)right)’$
-
перед нами произведение двух функций , возьмем производную от умножения по формуле
-
$left(fgright)’=f’g+fg’$ : $left(sqrt{3x}right)’cosleft(4x+1right)+sqrt{3x}left(cosleft(4x+1right)right)’$ .
-
функции , от которых предстоит взять производную, являются сложными …. производные сложных?
-
важно правильно распознать, какая функция будет внешней, а какая внутренней для каждой сложной функции.
-
$sqrt{3x}$ : внешняя функция — квадратный корень ; внутренняя — выражение под корнем $3x$ , берем производную:
-
$left(sqrt{3x}right)’=frac{1}{2}left(3xright)^{frac{1}{2}-1}cdotleft(3xright)’=frac{1}{2}left(3xright)^{-frac{1}{2}}cdot3=frac{3}{2sqrt{3x}}$
-
$cosleft(4x+1right)$ : внешняя функция — тригонометрическая cos ; внутренняя — аргумент косинуса $4x+1$
-
$left(cosleft(4x+1right)right)’=-sinleft(4x+1right)cdotleft(4x+1right)’=-sinleft(4x+1right)cdot4x’=-4sinleft(4x+1right)$
-
соберем все наши выкладки и получим производную исходного выражения:
-
$left(sqrt{3x}right)’cosleft(4x+1right)+sqrt{3x}left(cosleft(4x+1right)right)’=frac{3}{2sqrt{3x}}cosleft(4x+1right)-4sqrt{3x}sinleft(4x+1right)$
Иллюстационный пример: Учет сложности под разными функциями ….
Классная Интерактивная Доска:
Упражнения:
План урока:
Производные некоторых элементарных функций
Основные правила дифференцирования
Производная сложной функции
Производные некоторых элементарных функций
Ранее мы для вычисления производных использовали ее определение. То есть каждый раз мы давали функции некоторое приращение ∆х, потом находили соответствующую ему величину ∆у, далее составляли отношение ∆у/∆х, после чего находили предел этого отношения при ∆х →0. Выполнение такого алгоритма довольно трудоемко. Поэтому на практике используются специальные формулы для вычисления производных.
Нам известно несколько основных функций, которые в математике чаще называют элементарными. Например, элементарными являются линейная функция, степенная, показательная, логарифмическая. Также существует несколько различных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс), которые тоже считаются элементарными. Попытаемся вычислить для них производные.
Начнем с линейной функции. В общем случае она выглядит так:
где k и b – некоторые постоянные числа.
Выберем произвольную точку х0 и дадим ей приращение ∆х, в результате чего мы придем в новую точку (х0 + ∆х). Вычислим значения линейной функции в этих двух точках:
Теперь мы можем найти приращение функции ∆у:
Находим отношение ∆у/∆х:
Получилось, что это отношение не зависит ни от приращения ∆х, ни от выбора исходной точки х0. Естественно, что предел этого отношения при ∆х→0 (то есть производная) также будет равен k:
Задание. Вычислите производную функции у = 4х + 9.
Обратите внимание, что в рассмотренном примере запись у′ = 4 означает функцию. Просто при любом значении х она принимает одно и то же значение, равное 4. График производной функции будет выглядеть так:
Рассмотрим два особых частных случая линейной функции. Пусть k = 1 и b = 0, тогда она примет вид у = х. Её производная тогда будет равна 1:
Теперь предположим, что коэффициент k = 0. Тогда функция примет вид
где С – некоторое постоянное число, то есть константа (большая буква Св таких случаях используется из-за латинского термина constanta). Производная такой функции будет равна нулю:
Задание. Найдите вторую производную функции у = 9х + 2.
Решение. Сначала вычислим первую производную:
Очень легко объяснить, почему производная константы равна нулю. Представим себе, что закон движения некоторого тела выглядит как s(t) = C, например, s(t) = 5. Это значит, что тело в любой момент времени находится в точке, находящейся в 5 метрах от какого-то начала отсчета. То есть тело находится в одной и той же точке, а это значит, что оно не двигается. Тогда его скорость равна нулю. Но производная – это и есть скорость, значит, она также равна нулю.
Далее вычислим производную для функции у = 1/х. Выберем некоторую точку х0 и дадим ей приращение ∆х. В результате имеем две точки с координатами х0 и (х0 + ∆х). Вычислим значение функции в каждой из них:
Осталось найти предел данного отношения при ∆х→0. Ясно, что при этом множитель х0 + ∆х будет стремится к х0, то есть
Задание. Вычислите производные функции
Обратите внимание, что производная функции у = 1/х оказывается отрицательной при любом значении х (кроме нуля, для которого производную посчитать нельзя, так как получится деление на ноль). Это должно означать, что функция убывает в каждой своей точке, а любая касательная к ней образует с осью Ох тупой угол наклона. И это действительно так:
Мы разобрали несколько простейших примеров того, как находить формулы производных. Для этого используется понятие предела функции. Для вывода всех подобных формул требуется хорошо знать тему вычисления пределов, которая не изучается детально в школе. Поэтому мы просто дадим следующие формулы без доказательств.
Начнем со степенной функции у = хn, где n– некоторое постоянное число. Её производная вычисляется по формуле:
Приведем примеры использования этой формулы:
Задание. Найдите производную функции у = х6 в точке х0 = 10.
Задание. Движение самолета при разгоне описывается законом движения s(t) = t3. Найдите его скорость через 5 секунд после начала разгона.
Решение. Скорость самолета в любой момент времени равна производнойs′(t). Найдем её:
Заметим, что используемая нами формула работает и в том случае, если показатель степени является отрицательным или дробным числом. Действительно, ранее мы вывели формулу
По определению отрицательной степени мы можем записать, что
Задание. Вычислите производную функции
Задание. Определите, в какой точке необходимо провести касательную к графику функции
чтобы она образовывала с осью Ох угол в 45°?
Решение. Тангенс угла наклона касательной равен производной. Известно, что tg 45° = 1. Значит, нам надо найти такую точку х0, в которой значение производной квадратного корня будет равно единице. Производная вычисляется по формуле:
Ответ: х0 = 0,25.
Далее изучим формулы производных для тригонометрических функций. Они выглядят так:
Рассмотрим несколько примеров использования этих формул.
Задание. Найдите производную функции у = cosx в точке х0 = π.
Решение. Мы знаем, что
Задание. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику у = sinx в начале координат.
Решение. Производная синуса вычисляется по формуле:
Получается, что тангенс угла наклона также равен единице. Это значит, что сам угол равен 45°. Построение показывает, что это действительно так:
Задание. Найдите производную функции у = tgx в точке х0 = π/6.
Решение. Для тангенса используется формула:
Далее рассмотрим показательную и логарифмическую функцию. Их производные рассчитываются по следующим формулам:
Обратите внимание, что в этих формулах появился натуральный логарифм, то есть логарифм, основанием которого является число е. Именно из-за наличия натурального логарифма в формулах дифференцирования он играет особо важную роль в математике и имеет отдельное обозначение. Вычислим несколько производных с помощью приведенных формул:
Напомним, что справедлива формула
Стоит обратить внимание, что функции у = ех при дифференцировании не меняется. Эта особенность функции также имеет огромное значение в математическом анализе.
Задание. Найдите угол наклона касательных, проведенных к графику у = ех в точке (0; 1) и к графику у = lnx в точке (1; 0).
Решение. Используем формулы производных:
Получили, что тангенс наклона касательной равен 1. Из этого следует, что угол наклона касательной равен 45°. Далее найдем производную натурального логарифма при х = 1:
Производная снова равна 1, значит, угол наклона также составит 45°, что подтверждается рисунком:
Ответ: 45°.
Задание. Вычислите производную функции у = 2х при х0 = 3.
Решение. Используем формулу
Сведем использованные нами равенства в одну таблицу производных основных функций:
Основные правила дифференцирования
До этого мы рассматривали довольно простые, то есть стандартные функции, для каждой из которых производную можно узнать из справочника или таблицы. Но что делать, если нам потребовалось продифференцировать функцию, которая состоит из нескольких основных? Например, что делать с функциями у = 5х2 + 6х – 3 или у = x•sinx?
Все более сложные функции можно получить из нескольких простых, комбинируя их. Так, функция у = х3 + х2 получается сложением функций у = х3 и у = х2, а функция у = (lnx)•(cosx) – произведением функций у = lnx и у = сosx.
Есть несколько правил, которые позволяют находить производные в таких случаях. Мы не будем их доказывать, а просто дадим их формулировки. Также будем нумеровать правила. Первое из них помогает находить производную сумму функций.
В данном случае u и v – это просто обозначение каких-то произвольных функций. Рассмотрим пример. Пусть надо найти производную функции
Правило работает и в том случае, если сумма представляет собой сумму не двух, а большего числа слагаемых:
Следующее правило позволяет выносить постоянный множитель за знак производной:
Покажем использование этого правила:
Действительно, зная эти формулы и первые два правила вычисления производных, мы можем записать, что
Задание. Вычислите значение производной функции у = 9х3 + 7х2 – 25х + 7 в точке х0 = 1.
Решение. Пользуясь правилами дифференцирования, находим производную:
Несколько сложнее обстоит дело с дифференцированием функций, получающихся при перемножении простых функций. В таких случаях используется следующее правило:
Предположим, надо найти производную для функции у = х2•sinx. Её можно представить как произведение u•v, где
Примечание. В последнем случае мы в конце примера использовали формулу косинуса двойного угла:
Заметим, что иногда одно и то же задание с производной можно решить по-разному, используя или не используя правило для вычисления производной произведения функций.
Задание. Найдите производную функции у = х2•(3х + х3). Вычислите ее значение при х = 1.
Решение. Функция у представляет собой произведение более простых функций u•v, где
Задание. Продифференцируйте функцию
Решение. Здесь перед нами функция, которая представляет собой произведение сразу трех множителей. Что делать в таком случае? Надо всего лишь добавить скобки и их помощью оставить только два множителя (один их них окажется «сложным»):
Довольно сложно выглядит формула для поиска производной дроби:
Например, пусть надо найти производную функции
С помощью данного правила можно доказать некоторые равенства. Так, ранее мы уже записали (без доказательства) формулы производных тригонометрических функций:
Оказывается, формула для тангенса может быть выведена из формул для синуса и косинуса. Действительно, тангенс можно записать в виде дроби:
Задание. Найдите, в каких точках надо провести касательную к графику дробно-линейной функции
чтобы эта касательная образовала с осью Ох угол в 135°.
Решение. Угол будет равен 135° только тогда, когда значение производной будет равно (– 1) (так как tg 135° = – 1). Поэтому сначала найдем производную. В данном случае следует использовать правило 4, так как функция у явно записана как дробь:
Получили два значения х. Построив график и проведя касательные, мы убедимся, что они действительно образуют с осью Ох угол 135°:
Ответ: – 2 и 0.
Заметим, что иногда можно избавиться от необходимости использовать правило 4, если дифференцируемую функцию можно преобразовать. При этом часто помогает использование отрицательных степеней. Пусть надо продифференцировать функцию
Напрашивается решение использовать правило 4.И такой путь позволит получить правильное решение, хотя и будет несколько трудоемким. Однако можно преобразовать функцию:
У нас получилось произведение, а потому можно использовать правило 3, которое представляется более простым:
Производная сложной функции
«Сконструировать» громоздкую функцию из нескольких простых можно не только с помощью арифметических действий. Например, возьмем функции
В обоих случаях мы получили некоторую функцию, продифференцировать которую с помощью уже известных нам правил не получится. Функции, сконструированные таким образом, называются сложными. Есть универсальная формула, позволяющая находить производную сложной функции:
Посмотрим, как пользоваться эти правилом. Пусть надо вычислить производную функции
Она сконструирована из функции у = ex и у = sinx, причем вторая подставлена в первую. Это значит, что первую можно обозначить буквой u, а вторую – буквой v (если использовать обозначения в правиле 5):
Задание. Найдите у′, если у = sin 2x.
Решение. На этот раз в качестве исходной функции выступает
Убедиться в справедливости правила 5 можно на примере функции
Её можно продифференцировать двумя разными способами. Сначала попробуем просто избавиться от квадрата в исходной функции, используя формулу квадрата суммы:
В результате оба способа вычисления производной дали одинаковый ответ.
Задание. Найдите производную сложной функции у = (2х + 5)1000.
Решение. В данном случае мы рассматриваем комбинацию следующих функций:
Теперь мы умеем вычислять производные почти любых функций, которые можно записать с помощью элементарных функций и арифметических операций. При этом нам не надо использовать определение понятия производной и вычислять какие бы то ни было пределы. Достаточно знать производные основных функций и несколько (всего лишь 5) правил дифференцирования. Навыки дифференцирования функций пригодятся в будущем при решении практических задач, связанных с производными.
Данный калькулятор вычисляет производную функции и затем упрощает ее.
В поле функция введите математическое выражение с переменной x, в выражении используйте стандартные операции + сложение, — вычитание, / деление, * умножение, ^ — возведение в степень, а также математические функции. Полный синтаксис смотрите ниже.
Упрощение полученной производной может занять некоторое время, для сложных функций — весьма продолжительное. Если ждать до конца нет сил — нажмите кнопку остановить. У меня получался достаточно простой вариант уже после 10-15 секунд работы алгоритма упрощения.
Калькулятор производных
Производная функции
Допустимые операции: + — / * ^
Константы: pi
Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch
Показать детали вычисления
Показать шаги вычисления производной и упрощения формулы
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Синтаксис описания формул
В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + — сложение, — — вычитание, * — умножение, / — деление, ^ — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec— экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), logP — логарифм по основанию P, например log7(x) — логарифм по основанию 7, rootP — корень степени P, например root3(x) — кубический корень.
Таблица синтаксиса математических выражений
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Вычисление производной
Вычисление производной — дело нехитрое, достаточно знать несколько простых правил и формулы дифференцирования простых функций; сложнее в этом онлайн калькуляторе было сделать интерпретатор математических выражений и алгоритм упрощения полученного результата, но об этом как-нибудь в другой раз…
Правила дифференцирования
1) производная суммы:
2) производная произведения:
3) производная частного:
4) производная сложной функции равна произведению производных:
Таблица производных
Производная степенной функции:
Производная показательной функции:
Производная экспонециальной функции:
Производная логарифмической функции:
Производные тригонометрических функций:
,
,
,
Производные обратных тригонометрических функций:
,
,
,
Производные гиперболических функций: