Как найти производную вектор функции онлайн - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Градиент функции

Градиент — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины u. Другими словами, направление градиента есть направление наибыстрейшего возрастания функции.

Назначение сервиса. Онлайн калькулятор используется для нахождения градиента функции нескольких переменных. (см. пример) При этом решаются следующие задачи:

нахождение частных производных функции, запись формулы градиента, вычисление наибольшой скорости возрастания функции в указанной точке;
вычисление градиента в точке A, нахождение производной в точке A по направлению вектора a;
нахождение полного дифференциала функции.

Шаг №1
Шаг №2
Видеоинструкция
Оформление Word

Решение со всеми исходными формулами сохраняется в формате Word.

Полный дифференциал для функции двух переменных:

Полный дифференциал для функции трех переменных равен сумме частных дифференциалов: d f(x,y,z)=d_xf(x,y,z)dx+d_yf(x,y,z)dy+d_zf(x,y,z)dz

Алгоритм нахождения градиента

Вычисление частных производных по формуле:
Вычисление частных производных в точке A.
Нахождение направляющих углов вектора a.
Вычисление производной в точке A по направлению вектора a по формуле;
Наибольшая скорость возрастания функции в указанной точке равна модулю градиента функции в этой точке.

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Источник

Формула производной по направлению

а) Дана функция z=z(x,y) , направляющий вектор l и точка А. Найти производную по направлению в точке.

Решение.Формула производной по направлению:

1) Находим частные производные:

2) Находим значение частных производных в точке A(-2; 0):

Частные производные можно найти с помощью калькулятора частные производные.

3) Находим направляющие косинусы:

Направляющие косинусы, т.е. координаты нормированного (единичного) вектора можно найти с помощью калькулятора нормировки вектора.

4) Полученные значения частных производных и направляющих косинусов подставляем в формулу производной по направлению, получаем:

Следующий пример.

б) Дана функция z=z(x,y) , точка А и точка N.

Найти производную в точке A по направлению точки N.

Решение. Выполнение первых двух пунктов решения совпадает с примером 1, поэтому начинаем с пункта 3.

3) Находим координаты направляющего вектора l:

4) Находим направляющие косинусы:

5) Полученные значения частных производных и направляющих косинусов подставляем в формулу производной по направлению, получаем:

Второй способ найти производную функции по направлению см. градиент функции.

Источник

bold{mathrm{Basic}}

bold{alphabetagamma}

bold{mathrm{ABGamma}}

bold{sincos}

bold{gedivrightarrow}

bold{overline{x}spacemathbb{C}forall}

bold{sumspaceintspaceproduct}

bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}}

bold{H_{2}O}

square^{2}

x^{square}

sqrt{square}

nthroot[msquare]{square}

frac{msquare}{msquare}

log_{msquare}

theta

infty

int

frac{d}{dx}

ge	le	cdot	div	x^{circ}	(square)	\|square\|	(f:circ:g)	f(x)	ln	e^{square}
left(squareright)^{‘}	frac{partial}{partial x}	int_{msquare}^{msquare}	lim	sum	sin	cos	tan	cot	csc	sec

alpha	beta	gamma	delta	zeta	eta	theta	iota	kappa	lambda	mu
nu	xi	pi	rho	sigma	tau	upsilon	phi	chi	psi	omega

A	B	Gamma	Delta	E	Z	H	Theta	K	Lambda	M
N	Xi	Pi	P	Sigma	T	Upsilon	Phi	X	Psi	Omega

sin	cos	tan	cot	sec	csc	sinh	cosh	tanh	coth	sech
arcsin	arccos	arctan	arccot	arcsec	arccsc	arcsinh	arccosh	arctanh	arccoth	arcsech

begin{cases}square\squareend{cases}	begin{cases}square\square\squareend{cases}	=	ne	div	cdot	times	<	>	le	ge
(square)	[square]	▭:longdivision{▭}	times twostack{▭}{▭}	+ twostack{▭}{▭}	— twostack{▭}{▭}	square!	x^{circ}	rightarrow	lfloorsquarerfloor	lceilsquarerceil

overline{square}	vec{square}	in	forall	notin	exist	mathbb{R}	mathbb{C}	mathbb{N}	mathbb{Z}	emptyset
vee	wedge	neg	oplus	cap	cup	square^{c}	subset	subsete	superset	supersete

int	intint	intintint	int_{square}^{square}	int_{square}^{square}int_{square}^{square}	int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square}	sum	prod
lim	lim _{xto infty }	lim _{xto 0+}	lim _{xto 0-}	frac{d}{dx}	frac{d^2}{dx^2}	left(squareright)^{‘}	left(squareright)^{»}	frac{partial}{partial x}

(2times2)	(2times3)	(3times3)	(3times2)	(4times2)	(4times3)	(4times4)	(3times4)	(2times4)	(5times5)
(1times2)	(1times3)	(1times4)	(1times5)	(1times6)	(2times1)	(3times1)	(4times1)	(5times1)	(6times1)	(7times1)

mathrm{Радианы}	mathrm{Степени}	square!	(	)	%	mathrm{очистить}
arcsin	sin	sqrt{square}	7	8	9	div
arccos	cos	ln	4	5	6	times
arctan	tan	log	1	2	3	—
pi	e	x^{square}	0	.	bold{=}	+

Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ

Войдите, чтобы сохранять заметки

Войти

Номер Строки

Примеры

производное:от:f(x)=3-4x^2,:x=5
производное:от:f(x)=4^xln(x),:x=4
производное:от:f(x)=4sin(x)+2x^{x},:x=2
производное:от:f(x)=ln(x),:x=17
Показать больше

Описание

Найти производную функции в заданной точке

derivative-point-calculator

Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab

Advanced Math Solutions – Derivative Calculator, Implicit Differentiation

We’ve covered methods and rules to differentiate functions of the form y=f(x), where y is explicitly defined as…

Введите Задачу

Сохранить в блокнот!

Войти

Источник

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Производная функции по направлению

Как найти?

Постановка задачи

Найти производную функции $ u(x,y,z) $ в точке $ M (x_1,y_1,z_1) $ по направлению вектора $ overline{l} = (l_x,l_y,l_z) $

План решения

Если для функции $ u(x,y,z) $ существует производная в точке $ M(x_1,y_1,z_1) $, то значит в этой точке существует производная по любому направлению $ overline{l} $ и находится по формуле:

$$ frac{partial u}{partial l} = frac{partial u}{partial x} bigg |_M cdot cos alpha + frac{partial u}{partial y} bigg |_M cdot cos beta + frac{partial u}{partial z} bigg |_M cdot cos gamma $$

Находим частные производные первого порядка:
$$ frac{partial u}{partial x}; frac{partial u}{partial y}; frac{partial u}{partial z} $$
Вычисляем полученные производные в точке $ M(x_1,y_1,z_1) $:
$$ frac{partial u}{partial x} bigg |_{M(x_1,y_1,z_1)}; frac{partial u}{partial y} bigg |_{M(x_1,y_1,z_1)}; frac{partial u}{partial z} bigg |_{M(x_1,y_1,z_1)} $$
Получаем направляющие косинусы по формулам:
$$ cos alpha = frac{l_x}{|overline{l}|}; cos beta = frac{l_y}{|overline{l}|}; cos gamma = frac{l_z}{|overline{l}|} $$
Подставляем все полученные данные в формулу и записываем ответ

Примеры решений

Пример 1

Найти производную функции $ u = x+ln(z^2+y^2) $ в точке $ M (2,1,1) $ по направлению вектора $ overline{l} = (-2,1,-1) $

Решение

Находим частные производные первого порядка и вычисляем их начение в точке $ M $:

$$ frac{partial u}{partial x} = 1; frac{partial u}{partial x} bigg |_{M(2,1,1)} = 1 $$

$$ frac{partial u}{partial y} = frac{2y}{z^2+y^2}; frac{partial u}{partial y} bigg |_{M(2,1,1)}=1 $$

$$ frac{partial u}{partial z} = frac{2z}{z^2+y^2}; frac{partial u}{partial z} bigg |_{M(2,1,1)} = 1 $$

Вычисляем направляющие косинусы:

$$ cos alpha = frac{-2}{sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2}} = frac{-2}{sqrt{6}} $$

$$ cos beta = frac{1}{sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2}} = frac{1}{sqrt{6}} $$

$$ cos gamma = frac{-1}{sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2}} = — frac{1}{sqrt{6}} $$

Подставляем полученные частные производные в точке $ M $ и направляющие косинусы в формулу:

$$ frac{partial u}{partial l} = 1 cdot (-frac{2}{sqrt{6}}) + 1 cdot frac{1}{sqrt{6}} + 1 cdot (-frac{1}{sqrt{6}}) = -frac{2}{sqrt{6}} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ frac{partial u}{partial l} = -frac{2}{sqrt{6}} $$

Пример 2

Найти производную $ u = xy — frac{x}{z} $ в точке $ M(-4,3,-1) $ по направлению вектора $ overline{l} = (5,1,-1) $

Решение

Берем частные производные первого порядка от функции в точке $ M(-4,3,-1) $:

$$ frac{partial u}{partial x} = y — frac{1}{z}; frac{partial u}{partial x} bigg |_{M(-4,3,-1)} = 4 $$

$$ frac{partial u}{partial y} = x; frac{partial u}{partial y} bigg |_{M(-4,3,-1)} = -4 $$

$$ frac{partial u}{partial z} = frac{x}{z^2}; frac{partial u}{partial z} bigg |_{M(-4,3,-1)} = -4 $$

Вычисляем направляющие косинусы:

$$ cos alpha = frac{5}{sqrt{5^2+1^2+(-1)^2}} = frac{5}{sqrt{27}} $$

$$ cos beta = frac{1}{sqrt{5^2+1^2+(-1)^2}} = frac{1}{sqrt{27}} $$

$$ cos gamma = frac{-1}{sqrt{5^2+1^2+(-1)^2}} = frac{-1}{sqrt{27}} $$

По формуле производной по направлению получаем ответ:

$$ frac{partial u}{partial l} = 4 cdot frac{5}{sqrt{27}} + (-4) cdot frac{1}{sqrt{27}} + (-4) cdot frac{-1}{sqrt{27}} = frac{20}{sqrt{27}} $$

Ответ

$$ frac{partial u}{partial l} = frac{20}{sqrt{27}} $$

Источник

Пусть функция задана в виде параметрических уравнений (т.н. параметрическое задание функции):

причем

где
x(t),
y(t)
— дифференцируемые функции и
x‘(t)≠0.
Тогда производная
dydx

определяется по формуле:

, причем

где

— производная от параметрического уравнения
y(t)
по параметру t и

— производная от параметрического уравнения
x(t),
по параметру t.

Наш онлайн сервис найдет производную от параметрической функции с подробным решением. Пример подробного решения, выдаваемого нашим сервисом, можно посмотреть
здесь.

Источник