Как найти производные следующих функций

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Производная функции

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.

Как найти?

Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования:

1. Вынос константы за знак производной: $$ (Cu)’ = C(u)’ $$
2. Производная суммы/разности функций: $$ (u pm v)’ = (u)’ pm (v)’ $$
3. Производная произведения двух функций: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$
4. Производная дроби: $$ bigg (frac{u}{v} bigg )’ = frac{u’v — uv’}{v^2} $$
5. Производная сложной функции: $$ ( f(g(x)) )’ = f'(g(x)) cdot g'(x) $$

Примеры решения

Пример 1

Найти производную функции $ y = x^3 — 2x^2 + 7x — 1 $

Решение

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных: $$ y’ = (x^3 — 2x^2 + 7x — 1)’ = (x^3)’ — (2x^2)’ + (7x)’ — (1)’ = $$ Используя правило производной степенной функции $ (x^p)’ = px^{p-1} $ имеем: $$ y’ = 3x^{3-1} — 2 cdot 2 x^{2-1} + 7 — 0 = 3x^2 — 4x + 7 $$ Так же было учтено, что производная от константы равна нулю. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y’ = 3x^2 — 4x + 7 $$

Пример 2

Найти производную функции $ y = sin x — ln 3x $

Решение

По правилу производной разности: $$ y’ = (sin x — ln 3x)’ = (sin x)’ — (ln 3x)’ = $$ По таблице интегрирования находим: $$ (sin x)’ = cos x $$ $$ (ln x)’ = frac{1}{x} $$ С учетом того, что аргумент натурального логарифма отличен от $ x $, то нужно домножить ещё на производную самого аргумента: $$ y’ = (sin x)’ — (ln 3x)’ = cos x — frac{1}{3x} cdot (3x)’ = $$ После упрощения получаем: $$ = cos x — frac{1}{3x} cdot 3 = cos x — frac{1}{x} $$

Ответ

$$ y’ = cos x — frac{1}{x} $$

Пример 3

Найти производную функции $ y = (3x-1) cdot 5^x $

Решение

В данном примере стоит произведение двух функций, а производная произведения находится по формуле номер 3: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$ $$ y’ = ( (3x-1) cdot 5^x )’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = $$ Производная первой функции вычисляется как разность фунций: $$ (3x-1)’ = (3x)’ — (1)’ = 3(x)’ — (1)’ = 3 $$ Вторая функция является показательной, производная которой находится по формуле: $ (a^x)’ = a^x ln a $: $$ (5^x)’ = 5^x ln 5 $$ Продолжаем решение с учетом найденных производных: $$ y’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = 3 cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$

Ответ

$$ y’ = 3cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$

Пример 4

Найти производную функции $ y = frac{ln x}{sqrt{x}} $

Решение

Производную дроби найдем по четвертой формуле. Положим $ u = ln x $ и $ v = sqrt{x} $. Тогда их производные по таблице основных элементарных функций равны: $$ u’ = (ln x)’ = frac{1}{x} $$ $$ v’ = (sqrt{x})’ = frac{1}{2sqrt{x}} $$ Используя формулу №4 получаем: $$ y’ = bigg ( frac{ln x}{sqrt{x}} bigg )’ = frac{ frac{1}{x} cdot sqrt{x} — ln x cdot frac{1}{2sqrt{x}} }{x} = $$ Выносим множитель $ frac{1}{2sqrt{x}} $ в числителе за скобку: $$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$

Ответ

$$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$

Пример 5

Найти производную функции $ y = ln sin 3x $

Решение

Данная функция является сложной, потому производную будем брать по цепочке. Сначала от внешней функции, затем от внутренней. При этом выполняя их перемножение. $$ y’ = (ln sin 3x )’ = frac{1}{sin 3x} cdot (sin 3x)’ = $$ Заметим, что аргумент синуса отличен от $ x $, поэтому тоже является сложной функцией: $$ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot (3x)’ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot 3 $$ Учитывая определение котангенса $ ctg x = frac{cos 3x}{sin 3x} $ перепишем полученную производную в удобном компактном виде: $$ y’ = 3ctg 3x $$

Ответ

$$ y’ = 3ctg 3x $$

План урока:

Производные некоторых элементарных функций

Основные правила дифференцирования

Производная сложной функции

Производные некоторых элементарных функций

Ранее мы для вычисления производных использовали ее определение. То есть каждый раз мы давали функции некоторое приращение ∆х, потом находили соответствующую ему величину ∆у, далее составляли отношение ∆у/∆х, после чего находили предел этого отношения при ∆х →0. Выполнение такого алгоритма довольно трудоемко. Поэтому на практике используются специальные формулы для вычисления производных.

Нам известно несколько основных функций, которые в математике чаще называют элементарными. Например, элементарными являются линейная функция, степенная, показательная, логарифмическая. Также существует несколько различных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс), которые тоже считаются элементарными. Попытаемся вычислить для них производные.

Начнем с линейной функции. В общем случае она выглядит так:

где k и b – некоторые постоянные числа.

Выберем произвольную точку х₀ и дадим ей приращение ∆х, в результате чего мы придем в новую точку (х₀ + ∆х). Вычислим значения линейной функции в этих двух точках:

Теперь мы можем найти приращение функции ∆у:

Находим отношение ∆у/∆х:

Получилось, что это отношение не зависит ни от приращения ∆х, ни от выбора исходной точки х₀. Естественно, что предел этого отношения при ∆х→0 (то есть производная) также будет равен k:

Задание. Вычислите производную функции у = 4х + 9.

Обратите внимание, что в рассмотренном примере запись у′ = 4 означает функцию. Просто при любом значении х она принимает одно и то же значение, равное 4. График производной функции будет выглядеть так:

Рассмотрим два особых частных случая линейной функции. Пусть k = 1 и b = 0, тогда она примет вид у = х. Её производная тогда будет равна 1:

Теперь предположим, что коэффициент k = 0. Тогда функция примет вид

где С – некоторое постоянное число, то есть константа (большая буква Св таких случаях используется из-за латинского термина constanta). Производная такой функции будет равна нулю:

Задание. Найдите вторую производную функции у = 9х + 2.

Решение. Сначала вычислим первую производную:

Очень легко объяснить, почему производная константы равна нулю. Представим себе, что закон движения некоторого тела выглядит как s(t) = C, например, s(t) = 5. Это значит, что тело в любой момент времени находится в точке, находящейся в 5 метрах от какого-то начала отсчета. То есть тело находится в одной и той же точке, а это значит, что оно не двигается. Тогда его скорость равна нулю. Но производная – это и есть скорость, значит, она также равна нулю.

Далее вычислим производную для функции у = 1/х. Выберем некоторую точку х₀ и дадим ей приращение ∆х. В результате имеем две точки с координатами х₀ и (х₀ + ∆х). Вычислим значение функции в каждой из них:

Осталось найти предел данного отношения при ∆х→0. Ясно, что при этом множитель х₀ + ∆х будет стремится к х₀, то есть

Задание. Вычислите производные функции

Обратите внимание, что производная функции у = 1/х оказывается отрицательной при любом значении х (кроме нуля, для которого производную посчитать нельзя, так как получится деление на ноль). Это должно означать, что функция убывает в каждой своей точке, а любая касательная к ней образует с осью Ох тупой угол наклона. И это действительно так:

Мы разобрали несколько простейших примеров того, как находить формулы производных. Для этого используется понятие предела функции. Для вывода всех подобных формул требуется хорошо знать тему вычисления пределов, которая не изучается детально в школе. Поэтому мы просто дадим следующие формулы без доказательств.

Начнем со степенной функции у = хⁿ, где n– некоторое постоянное число. Её производная вычисляется по формуле:

Приведем примеры использования этой формулы:

Задание. Найдите производную функции у = х⁶ в точке х₀ = 10.

Задание. Движение самолета при разгоне описывается законом движения s(t) = t³. Найдите его скорость через 5 секунд после начала разгона.

Решение. Скорость самолета в любой момент времени равна производнойs′(t). Найдем её:

Заметим, что используемая нами формула работает и в том случае, если показатель степени является отрицательным или дробным числом. Действительно, ранее мы вывели формулу

По определению отрицательной степени мы можем записать, что

Задание. Вычислите производную функции

Задание. Определите, в какой точке необходимо провести касательную к графику функции

чтобы она образовывала с осью Ох угол в 45°?

Решение. Тангенс угла наклона касательной равен производной. Известно, что tg 45° = 1. Значит, нам надо найти такую точку х₀, в которой значение производной квадратного корня будет равно единице. Производная вычисляется по формуле:

Ответ: х₀ = 0,25.

Далее изучим формулы производных для тригонометрических функций. Они выглядят так:

Рассмотрим несколько примеров использования этих формул.

Задание. Найдите производную функции у = cosx в точке х₀ = π.

Решение. Мы знаем, что

Задание. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику у = sinx в начале координат.

Решение. Производная синуса вычисляется по формуле:

Получается, что тангенс угла наклона также равен единице. Это значит, что сам угол равен 45°. Построение показывает, что это действительно так:

Задание. Найдите производную функции у = tgx в точке х₀ = π/6.

Решение. Для тангенса используется формула:

Далее рассмотрим показательную и логарифмическую функцию. Их производные рассчитываются по следующим формулам:

Обратите внимание, что в этих формулах появился натуральный логарифм, то есть логарифм, основанием которого является число е. Именно из-за наличия натурального логарифма в формулах дифференцирования он играет особо важную роль в математике и имеет отдельное обозначение. Вычислим несколько производных с помощью приведенных формул:

Напомним, что справедлива формула

Стоит обратить внимание, что функции у = е^х при дифференцировании не меняется. Эта особенность функции также имеет огромное значение в математическом анализе.

Задание. Найдите угол наклона касательных, проведенных к графику у = е^х в точке (0; 1) и к графику у = lnx в точке (1; 0).

Решение. Используем формулы производных:

Получили, что тангенс наклона касательной равен 1. Из этого следует, что угол наклона касательной равен 45°. Далее найдем производную натурального логарифма при х = 1:

Производная снова равна 1, значит, угол наклона также составит 45°, что подтверждается рисунком:

Ответ: 45°.

Задание. Вычислите производную функции у = 2^х при х₀ = 3.

Решение. Используем формулу

Сведем использованные нами равенства в одну таблицу производных основных функций:

Основные правила дифференцирования

До этого мы рассматривали довольно простые, то есть стандартные функции, для каждой из которых производную можно узнать из справочника или таблицы. Но что делать, если нам потребовалось продифференцировать функцию, которая состоит из нескольких основных? Например, что делать с функциями у = 5х² + 6х – 3 или у = x•sinx?

Все более сложные функции можно получить из нескольких простых, комбинируя их. Так, функция у = х³ + х² получается сложением функций у = х³ и у = х², а функция у = (lnx)•(cosx) – произведением функций у = lnx и у = сosx.

Есть несколько правил, которые позволяют находить производные в таких случаях. Мы не будем их доказывать, а просто дадим их формулировки. Также будем нумеровать правила. Первое из них помогает находить производную сумму функций.

В данном случае u и v – это просто обозначение каких-то произвольных функций. Рассмотрим пример. Пусть надо найти производную функции

Правило работает и в том случае, если сумма представляет собой сумму не двух, а большего числа слагаемых:

Следующее правило позволяет выносить постоянный множитель за знак производной:

Покажем использование этого правила:

Действительно, зная эти формулы и первые два правила вычисления производных, мы можем записать, что

Задание. Вычислите значение производной функции у = 9х³ + 7х² – 25х + 7 в точке х₀ = 1.

Решение. Пользуясь правилами дифференцирования, находим производную:

Несколько сложнее обстоит дело с дифференцированием функций, получающихся при перемножении простых функций. В таких случаях используется следующее правило:

Предположим, надо найти производную для функции у = х²•sinx. Её можно представить как произведение u•v, где

Примечание. В последнем случае мы в конце примера использовали формулу косинуса двойного угла:

Заметим, что иногда одно и то же задание с производной можно решить по-разному, используя или не используя правило для вычисления производной произведения функций.

Задание. Найдите производную функции у = х²•(3х + х³). Вычислите ее значение при х = 1.

Решение. Функция у представляет собой произведение более простых функций u•v, где

Задание. Продифференцируйте функцию

Решение. Здесь перед нами функция, которая представляет собой произведение сразу трех множителей. Что делать в таком случае? Надо всего лишь добавить скобки и их помощью оставить только два множителя (один их них окажется «сложным»):

Довольно сложно выглядит формула для поиска производной дроби:

Например, пусть надо найти производную функции

С помощью данного правила можно доказать некоторые равенства. Так, ранее мы уже записали (без доказательства) формулы производных тригонометрических функций:

Оказывается, формула для тангенса может быть выведена из формул для синуса и косинуса. Действительно, тангенс можно записать в виде дроби:

Задание. Найдите, в каких точках надо провести касательную к графику дробно-линейной функции

чтобы эта касательная образовала с осью Ох угол в 135°.

Решение. Угол будет равен 135° только тогда, когда значение производной будет равно (– 1) (так как tg 135° = – 1). Поэтому сначала найдем производную. В данном случае следует использовать правило 4, так как функция у явно записана как дробь:

Получили два значения х. Построив график и проведя касательные, мы убедимся, что они действительно образуют с осью Ох угол 135°:

Ответ: – 2 и 0.

Заметим, что иногда можно избавиться от необходимости использовать правило 4, если дифференцируемую функцию можно преобразовать. При этом часто помогает использование отрицательных степеней. Пусть надо продифференцировать функцию

Напрашивается решение использовать правило 4.И такой путь позволит получить правильное решение, хотя и будет несколько трудоемким. Однако можно преобразовать функцию:

У нас получилось произведение, а потому можно использовать правило 3, которое представляется более простым:

Производная сложной функции

«Сконструировать» громоздкую функцию из нескольких простых можно не только с помощью арифметических действий. Например, возьмем функции

В обоих случаях мы получили некоторую функцию, продифференцировать которую с помощью уже известных нам правил не получится. Функции, сконструированные таким образом, называются сложными. Есть универсальная формула, позволяющая находить производную сложной функции:

Посмотрим, как пользоваться эти правилом. Пусть надо вычислить производную функции

Она сконструирована из функции у = e^x и у = sinx, причем вторая подставлена в первую. Это значит, что первую можно обозначить буквой u, а вторую – буквой v (если использовать обозначения в правиле 5):

Задание. Найдите у′, если у = sin 2x.

Решение. На этот раз в качестве исходной функции выступает

Убедиться в справедливости правила 5 можно на примере функции

Её можно продифференцировать двумя разными способами. Сначала попробуем просто избавиться от квадрата в исходной функции, используя формулу квадрата суммы:

В результате оба способа вычисления производной дали одинаковый ответ.

Задание. Найдите производную сложной функции у = (2х + 5)¹⁰⁰⁰.

Решение. В данном случае мы рассматриваем комбинацию следующих функций:

Теперь мы умеем вычислять производные почти любых функций, которые можно записать с помощью элементарных функций и арифметических операций. При этом нам не надо использовать определение понятия производной и вычислять какие бы то ни было пределы. Достаточно знать производные основных функций и несколько (всего лишь 5) правил дифференцирования. Навыки дифференцирования функций пригодятся в будущем при решении практических задач, связанных с производными.

Как
найти производную, как взять производную? На
данном уроке мы научимся находить
производные функций. Но перед изучением
данной страницы я настоятельно рекомендую
ознакомиться с методическим
материалом Горячие
формулы школьного курса математики.
Справочное пособие можно открыть или
закачать на страницеМатематические
формулы и таблицы.
Также оттуда нам потребуется  Таблица
производных, ее лучше
распечатать, к ней часто придется
обращаться, причем, не только сейчас,
но и в оффлайне.

Есть?
Приступим. У меня для Вас есть две
новости: хорошая и очень хорошая. Хорошая
новость состоит в следующем: чтобы
научиться находить производные совсем
не обязательно знать и понимать, что
такое производная. Если Вас интересует
теоретическое определение производной
функции, математический, физический,
геометрический смысл производной –
поищите в Интернете, информации море.
Наша же задача научиться
находить эти
самые производные. Очень хорошая новость
состоит в том, что научиться брать
производные не так сложно, существует
довольно чёткий алгоритм решения (и
объяснения) этого задания, интегралы или
пределы, например, освоить труднее.

Рекомендую
следующий порядок изучения темы: во-первых,
эта статья. Затем следует прочитать
важнейший урок Производная
сложной функции.
Эти два базовых занятия позволят поднять
Ваши навыки с полного нуля. Далее можно
будет ознакомиться с более сложными
производными в статье Сложные
производные. Логарифмическая производная.
Если планка окажется слишком высока,
то сначала прочитайте вещьПростейшие
типовые задачи с производной.
Помимо нового материала, на уроке
рассмотрены другие, более простые типы
производных, и есть прекрасная возможность
улучшить свою технику дифференцирования.
Кроме того, в контрольных работах почти
всегда встречаются задания на нахождение
производных функций, которые заданы
неявно или параметрически. Такой урок
тоже есть: Производные
неявных и параметрически заданных
функций.

Я попытаюсь в
доступной форме, шаг за шагом, научить
Вас находить производные функций. Вся
информация изложена подробно, простыми
словами.

Собственно, сразу
рассмотрим пример:

Пример 1

Найти
производную функции 

Решение: 

Это
простейший пример, пожалуйста, найдите
его в таблице производных элементарных
функций. Теперь посмотрим на решение и
проанализируем, что же произошло? А
произошла следующая вещь: у нас была
функция 
,
которая в результате решения превратилась
в функцию 
.

Говоря
совсем просто, для
того чтобы найти производную функции,
нужно по определенным правилам превратить
её в другую функцию.
Посмотрите еще раз на таблицу производных
– там функции превращаются в другие
функции. Единственным исключением
является экспоненциальная функция 
,
которая превращается сама в себя.Операция
нахождения производной
называется дифференцированием.

Обозначения: Производную
обозначают 
 или 

Вернемся
к нашей таблице производных. Из данной
таблицы желательно запомнить
наизусть: правила
дифференцирования и производные
некоторых элементарных функций, особенно:

производную
константы:

,
где 
 –
постоянное число;

производную
степенной функции:

, 
в частности: 
, 
, 
.

Зачем запоминать?
Данные знания являются элементарными
знаниями о производных. И если Вы не
сможете ответить преподавателю на
вопрос «Чему равна производная числа?»,
то учеба в ВУЗе может для Вас закончиться
(лично знаком с двумя реальными случаями
из жизни). Кроме того, это наиболее
распространенные формулы, которыми
приходится пользоваться практически
каждый раз, когда мы сталкиваемся с 
производными.

В реальности
простые табличные примеры – редкость,
обычно при нахождении производных
сначала используются правила
дифференцирования, а затем – таблица
производных элементарных функций.

В этой
связи переходим к рассмотрению правил
дифференцирования:

1)
Постоянное число можно (и нужно) вынести
за знак производной

,
где 
 –
постоянное число (константа)

Пример 2

Найти
производную функции 

Смотрим
в таблицу производных. Производная
косинуса там есть, но у нас 
.

Решаем:

Самое время
использовать правило, выносим постоянный
множитель за знак производной:

А теперь превращаем
наш косинус по таблице:

Ну и результат
желательно немного «причесать» – ставим
минус на первое место, заодно избавляясь
от скобок:

Готово.

2)
Производная суммы равна сумме производных

Пример 3

Найти
производную функции 

Решаем. Как Вы,
наверное, уже заметили, первое действие,
которое всегда выполняется при нахождении
производной, состоит в том, что мы
заключаем в скобки всё выражение и
ставим штрих справа вверху:

Применяем второе
правило:

Обратите
внимание, что для дифференцирования
все корни, степени нужно представить в
виде 
,
а если они находятся в знаменателе, то
переместить их вверх. Как это сделать
– рассмотрено в моих методических
материалах.

Теперь вспоминаем
о первом правиле дифференцирования –
постоянные множители (числа) выносим
за знак производной:

Обычно в ходе
решения эти два правила применяют
одновременно (чтобы не переписывать
лишний раз длинное выражение).

Все функции,
находящиеся под штрихами, являются
элементарными табличными функциями, с
помощью таблицы осуществляем превращение:

Можно всё оставить
в таком виде, так как штрихов больше
нет, и производная найдена. Тем не менее,
подобные выражения обычно упрощают:

Все
степени вида 
 желательно
снова представить в виде корней, степени
с отрицательными показателями – сбросить
в знаменатель. Хотя этого можно и не
делать, ошибкой не будет.

Пример 4

Найти
производную функции 

Попробуйте решить
данный пример самостоятельно (ответ в
конце урока)

3)
Производная произведения функций

Вроде
бы по аналогии напрашивается формула 
….,
но неожиданность состоит в том, что:

Я не буду объяснять,
почему именно так, наша задача научиться
решать производные, а не разбираться в
теории.

Пример 5

Найти
производную функции 

Здесь
у нас произведение двух функций, зависящих
от 
. 

Сначала
применяем наше странное правило, а затем
превращаем функции по таблице производных:

Сложно? Вовсе нет,
вполне доступно даже для чайника.

Пример 6

Найти
производную функции 

В
данной функции содержится сумма 
 и
произведение двух функций – 
квадратного трехчлена 
  и
логарифма 
.
Со школы мы помним, что умножение и
деление имеют приоритет перед сложением
и вычитанием.

Здесь
всё так же. СНАЧАЛА мы
используем правило дифференцирования
произведения:

Теперь
для скобки 
 используем
два первых правила:

В результате
применения правил дифференцирования
под штрихами у нас остались только
элементарные функции, по таблице
производных превращаем их в другие
функции:

Готово.

При
определенном опыте нахождения производных,
простые производные вроде 
 не
обязательно расписывать так подробно.
Вообще, они обычно решаются устно, и
сразу записывается, что 
.

Пример 7

Найти
производную функции 

Это пример для
самостоятельного решения (ответ в конце
урока)

4)
Производная частного функций

В
потолке открылся люк, не пугайся, это
глюк. 

А
вот это вот суровая действительность:

Пример 8

Найти
производную функции 

Чего
здесь только нет – сумма, разность,
произведение, дробь…. С чего бы начать?!
Есть сомнения, нет сомнений, но, В
ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для
начала рисуем скобочки и справа вверху
ставим штрих:

Теперь смотрим на
выражение в скобках, как бы его упростить?
В данном случае замечаем множитель,
который согласно первому правилу
целесообразно вынести за знак производной:

Заодно
избавляемся от скобок в числителе,
которые теперь не нужны. 

Вообще
говоря, постоянные множители при
нахождении производной можно и не
выносить, но в этом случае они будут
«путаться под ногами», что загромождает
и затрудняет решение.

Смотрим на наше
выражение в скобках. У нас есть сложение,
вычитание и деление. Со школы мы помним,
что деление выполняется в первую очередь.
И здесь – сначала применяем правило
дифференцирования частного:

Таким образом,
наша страшная производная свелась к
производным двух простых выражений.
Применяем первое и второе правило, здесь
это сделаем устно, надеюсь, Вы уже немного
освоились в производных:

Штрихов больше
нет, задание выполнено.

На
практике обычно (но не всегда) ответ
упрощают «школьными» методами:

Пример 9

Найти
производную функции 

Это пример для
самостоятельного решения (ответ в конце
урока).

Время от времени
встречаются хитрые задачки:

Пример 10

Найти
производную функции 

Смотрим
на данную функцию. Здесь снова дробь.
Однако перед тем как использовать
правило дифференцирования частного (а
его можно использовать), всегда имеет
смысл посмотреть, а нельзя ли упростить
саму дробь, или вообще избавиться от
нее?

Дело в том, что формула 
 достаточно
громоздка, и применять ее совсем не
хочется.

В
данном случае можно почленно поделить
числитель на знаменатель.

Преобразуем
функцию:

Ну вот, совсем
другое дело, теперь дифференцировать
просто и приятно:

Готово.

Пример 11

Найти
производную функции 

Здесь ситуация
похожа, превратим нашу дробь в произведение,
для этого поднимем экспоненту в числитель,
сменив у показателя знак:

Произведение
все-таки дифференцировать проще:

Пример 12

Найти
производную функции 

Это пример для
самостоятельного решения (ответ в конце
урока).

5)
Производная сложной функции

Данное
правило также встречается очень часто.
Но о нём рассказать можно очень много,
поэтому я создал отдельный урок на
тему Производная
сложной функции.

Желаю успехов!

Ответы:

Пример
4: 
.
В ходе решения данного примера следует
обратить внимание, на тот факт, что 
 и 
 –
постоянные числа, не важно чему они
равны, важно, что это — константы.
Поэтому 
 выносится
за знак производной, а
.

Пример
7: 

Пример
9: 

Пример
12: 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #

  08.02.20157.31 Mб91.rtf

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #