Как найти промежутки на которых непрерывная функция

Содержание:

Непрерывность функций и точки разрыва

Непрерывность функции

Определение: Функция

• — она определена в этой точке и ее некоторой -окрестности;
• — существуют конечные лево- и правосторонние пределы от функции в этой точке и они равны между собой, т.е.

— предел функции в точке равен значению функции в исследуемой точке, т.е.

Пример:

Найти область непрерывности функции

Решение:

Данная функция непрерывна так как в каждой точке указанного интервала функция определена, в каждой точке существуют конечные и равные лево- и правосторонние пределы, а предел функции в каждой точке равен значению функции в этой точке.

Замечание: Всякая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Точки разрыва

Определение: Точки, в которых не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции, называются точками разрыва. Различают точки разрыва первого и второго родов.

Определение: Точкой разрыва I рода называется точка, в которой нарушается условие равенства лево- и правостороннего пределов, т.е.

Пример:

Доказать, что функция в точке имеет разрыв первого рода.

Решение:

Нарисуем график функции в окрестности нуля (Рис. 64): Рис. 64. График функции Область определения функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Следовательно, в изучаемой точке данная функция терпит разрыв первого рода.

Замечание: По поводу точки разрыва I рода иначе говорят, что в этой точке функция испытывает конечный скачок (на Рис. 64 скачок равен 1).

Определение: Точка, подозрительная на разрыв, называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке левосторонний предел равен правостороннему.

Пример:

Доказать, что функция имеет в точке устранимый разрыв.

Решение:

В точке функция имеет неопределенность поэтому эта точка является точкой, подозрительной на разрыв. Вычислив в этой точке лево- и правосторонний пределы убеждаемся, что данная точка является точкой устранимого разрыва.

Определение: Все остальные точки разрыва называются точками разрыва II рода.

Замечание: Для точек разрыва второго рода характерен тот факт, что хотя бы

один из односторонних пределов равен т.е. в такой точке функция терпит бесконечный разрыв.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка

является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний предел конечен, а правосторонний предел бесконечен, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний и правосторонний пределы бесконечены, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Операции над непрерывными функциями

Теорема: Сумма (разность) непрерывных функций есть непрерывная функция.

Доказательство: Докажем приведенную теорему для суммы двух функций которые определены в некоторой -окрестности точки в которой лево- и правосторонние пределы равны между собой. Так как функции непрерывны в некоторой -окрестности точки то выполняются равенства: В силу того, что существуют конечные пределы обеих функций, то по теореме о пределе суммы двух функций имеем, что Аналогично теорема доказывается для суммы (разности) любого конечного числа непрерывных функций. Нижеприведенные теоремы доказываются так же, как и теорема.

Теорема: Произведение непрерывных функций есть непрерывная функция.

Теорема: Частное двух непрерывных функций при условии, что во всех точках общей области определения функция , есть непрерывная функция.

Теорема: Сложная функция от непрерывных функций есть непрерывная функция.

• Заказать решение задач по высшей математике

Схема исследования функции на непрерывность

Исследование функции на непрерывность проводят по следующей схеме:

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Согласно схеме исследования функции на непрерывность имеем:

Рис. 65. Поведение графика функции в малой окрестности точки разрыва второго рода

Из рисунка видно, что график функции —неограниченно приближается к вертикальной прямой нигде не пересекая эту прямую.

Свойства непрерывных функций на отрезке (a; b)

Свойства непрерывных функций на отрезке .

Определение: Замкнутый интервал будем называть сегментом.

Приведем без доказательства свойства непрерывных функций на сегменте .

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте , то она достигает своего наименьшего () и наибольшего () значения либо во внутренних точках сегмента, либо на его концах.

Пример:

Привести примеры графиков функций, удовлетворяющих условиям теорем(см. Рис. 66).

Рис. 66. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

Решение:

На графике а) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений на концах сегмента На графике б) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значения во внутренних точках сегмента На графике в) функция достигает своего наименьшего значения на левом конце сегмента а наибольшего значения во внутренней точке сегмента

Тб. Если функция непрерывна на сегменте и достигает своего наименьшего () и наибольшего () значений, то для любого вещественного числа С, удовлетворяющего неравенству , найдется хотя бы одна точка такая, что .

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям Тб (см. Рис. 67).

Рис. 67. Графики функций, удовлетворяющих условиям Тб.

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте и на его концах принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка такая, что.

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы(см. Рис. 68).

Рис. 68. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

На графике а) существует единственная точка, в которой выполняются условия теоремы. На графиках б) и в) таких точек две и четыре, соответственно. Однако в случаях б) и в) для удовлетворения условий теоремы надо разбивать сегмент на отдельные отрезки.

Непрерывность функции и точки разрыва

Определение
6.4.

Функция f(x) называется непрерывной на
интервале (a,b), если
она непрерывна в каждой точке этого
интервала. Обозначают f(x)∈C(a,b).

Определение
6.5.

Функция f(x) называется непрерывной
на полуинтервале [a,b), (или (a,b]), если
она непрерывна на интервале (a,b) и
непрерывна справа в точке a (или
непрерывна слева в
точке b). Пишутf(x)∈C[a,b) (или f(x)∈C(a,b]).

Определение
6.6.

Функция f(x) называется непрерывной
на отрезке [a,b], если
она непрерывна на интервале (a,b),непрерывна
справа в точке a и
непрерывна слева в точке b. Обозначают f(x)∈C[a,b].

Теорема
6.7. 

Каждая
основная элементарная функция непрерывна
в области определения.

Д
о к а з а т е л ь с т в о.

Доказательство
следует из  теоремы
6.4 и  определений
6.4-6.6.

■

6.4. Свойства
функций, непрерывных на отрезке

Свойство
6.1. 

Функция,
непрерывная на отрезке, ограничена на
нём.

Свойство
6.2. 

Функция f(x), непрерывная
на отрезке [a,b], принимает
на нем наибольшее и наименьшее значения,
т.е. существуют такие
точки ξ η отрезка [a,b], что f(ξ)=m, f(η)=M, и
для всех точек x этого
отрезка выполняются неравенства m≤f(x)≤M.

Свойство
6.3. 

Если
функция f(x) непрерывна
на отрезке [a,b] и f(a)=A, f(b)=B, причем A≠B, то
для любогоC такого,
что A<C<B, найдется
точка ξ∈(a,b) такая,
что f(ξ)=C.

Как
следствие из  свойства
6.3 получаем:
если функция f(x) непрерывна
на отрезке [a,b] и
принимает на его концах значения разных
знаков, то найдётся такая
точка ξ∈(a,b), что f(ξ)=0, Точка ξ в
которойf(ξ)=0, называется нулём
функции f(x).

Теорема
6.8. 

Пусть
функция y=f(x) строго
монотонна (возрастает или убывает) и
непрерывна на отрезке [a,b].Тогда
обратная функция x=f−1(y) определена,
строго монотонна (возрастает или убывает)
и непрерывна на соответствующем отрезке
оси Oy.

6.5.
Точки разрыва функций и их классификация

Согласно  определению
6.1 для
функции f(x), непрерывной
в точке x0, должны
выполняться три условия непрерывности:

1)
функция определена в точке x0 (∃f(x0));

2)
функция имеет конечный предел
при x→x0 (∃ конечный предел limx→x0f(x));

3)
предел функции при x→x0 равен
значению функции в самой
точке x0 (limx→x0f(x)=f(x0)).

Определение
6.7.

Точка x0 называется точкой
разрыва функции f(x), а
сама функция разрывной в
точке x0, если
она не является непрерывной в этой
точке, т.е. нарушено хотя бы одно из
указанных выше условий: либоx0∉Df, либо
не существует конечного
предела limx→x0f(x), либо limx→x0f(x)≠f(x0).

Рассмотрим
функции, заданные графически на рис.
6.5.
Для всех этих функций x0 —
точка разрыва.

Таблица 

Рис. 6.5a

Рис. 6.5b

Рис. 6.5c

В
первом случае (рис.
6.5, а)
не выполнено условие 1, так как в
точке x0 функция
не определена.

Во
втором случае (рис.
6.5, б)
нарушено ксловие 2, так как
предел limx→x0f(x) не
существует.

В
третьем случае (рис.
6.5, в)
не выполнено условие 3, так
как limx→∞f(x)=A≠f(x0).

Определение
6.8.

Пусть x0 —
точка разрыва функции f(x). Точка x0 называется точкой
разрыва первого рода, если функция имеет
в этой точке пределы справа и слева,
т.е.

limx→x+0f(x)=f(x+0)≠∞    и    limx→x−0f(x)=f(x−0)≠∞.

В
этом случае
либо f(x+0)≠f(x−0), либо f(x+0)=f(x−0)≠f(x0), причем f(x) может
быть и не определена в точке x0.

Разность f(x+0)−f(x−0) называют скачком функции f(x) в
точке x0.

Определение
6.9.

Точка
разрыва первого рода x0, в
которой f(x+0)=f(x−0), называется точкой
устранимого разрыва.

Рассмотрим
функцию f(x)=xsin1x, для
которой x=0 есть
точка разрыва, так как функция не
определена в этой точке. Односторонние
пределы функции в этой точке конечны и
равны,
посколькуf(+0)=limx→+0xsin1x=0, f(−0)=limx→−0xsin1x=0. Следовательно, x=0 —
точка устранимого разрыва.
Полагая f(0)=f(+0)=f(−0)=0, получим
функцию, непрерывную в точке x=0:

ϕ(x)=⎧⎩⎨xsin1x,          0,x≠0;x=0.

Тем
самым мы доопределили по непрерывности
данную функцию f(x).

Определение
6.10.

Точка
разрыва x0, не
являющаяся точкой разрыва первого рода,
называется точкой
разрыва второго рода. В этом случае хотя
бы один из односторонних пределов
функции в точке x0 не
существует или равен бесконечности.

Замечание
6.2.

Принимая
во внимание  замечание
6.1 и  определение
6.7,
подчеркнем еще раз: для того, чтобы
функция f(x) балы
непрерывной в точке x0 необходимо
и достаточно вполнение условий:

1)
функция f(x) определена
в точке x0 (∃ f(x0));

2)
cуществуют конечные односторонние
пределы функции в этой
точке(∃f(x+0)≠∞, ∃f(x−0)≠∞);

3)
односторонние пределы функции в
точке x0 равны
значению функции в этой
точке(f(x+0)=f(x−0)=f(x0)).

Поэтому
при исследовании функции на непрерывность
и определении точек разрыва функции
рекомендуется придерживаться следующей
схемы.

1
Найти область определения функции.

2
Указать промежутки области определения
функции, на которых функция непрерывна.

3
Выявить точки, в которых может быть
нарушена непрерывность функции.

4
Найти односторонние пределы функции в
каждой из указанных точек. Если функция
определена в них, то найти значения
функции в этих точках.

5
Сравнить в каждой такой точке односторонние
пределы и значение функции, если она
определена в этой точке, и установить
либо непрерывность, либо разрыв функции
в каждой из полученных точек.

6
В случае разрыва функции определить
тип точки разрыва.

6.6. Типовые
примеры

Задача
1.

Найти
односторонние пределы в точке x0=1 функции

f(x)={    x+1,3x+2,0≤x<1;1<x<3.

Р
е ш е н и е.

 Найдем
правый предел f(1+0) функции f(x) в
точке x0=1, т.е.
при x→1 и x>1. Имеем

f(1+0)=limx→1+0f(x)=limx→1+0(3x+2)=5.

Для
левого предела f(1−0) в
точке x0=1 (x→1,x<1) получим

f(1−0)=limx→1−0f(x)=limx→1−0(x+1)=2.

■

Задача
2.

Найти
точки разрыва функции f(x)=∣∣x∣∣x и
определить тип каждой точки разрыва.

Р
е ш е н и е.

 Точка x0=0 является
точкой разрыва функции, так как в ней
функция не определена. Найдем правый и
левый пределы функции в этой точке:

f(+0)=limx→+0|x|x=limx→+0xx=1;

f(−0)=limx→−0|x|x=limx→−0−xx=−1.

Односторонние
пределы конечны и различны, точка x0=0 —
точка разрыва первого рода. На графике
(рис. 6.6) виден конечный скачок функции
в точке x0=0, равный f(+0)−f(−0)=2.

■

Рис.
6.6

Рис.
6.7

Задача
3.

Найти
точки разрыва функции f(x)=sinxx и
определить тип каждой точки разрыва.

Р
е ш е н и е.

 В
точке x0=0 функция
не определена, т.е. x0 —
точка разрыва функции. Найдем правый и
левый пределы функции в этой точке:

f(+0)=limx→+0sinxx=1;

f(−0)=limx→−0sinxx=1.

Так
как односторонние пределы конечны и
равны, т.е. f(+0)=f(−0), то x0=0 —
точка устранимого разрыва данной функции
(рис. 6.7). Если
положить f(0)=1, то
разрыв можно устранить. Тем самым
первоначальную функцию доопределим по
непрерывности в точкеx0=0. Аналитически
новую функцию ϕ(x), непрерывную
на всей числовой оси, запишем в виде

ϕ(x)=⎧⎩⎨ sinxx,        1,x≠0;x=0.

■

Задача
4.

Исследовать
на непрерывность функцию

f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪ x3+2,2,1,x>0;x<0;x=0.

Р
е ш е н и е.

 Функции y1=x3+2 и y2=2 непрерывны
при любом x. Единственной
точкой, в которой функция f(x) может
иметь разрыв, является точка x=0. Вычислим
односторонние пределы функции f(x) в
этой точке:

f(+0)=limx→+0f(x)=limx→+0(x3+2)=2;

f(−0)=limx→−0f(x)=limx→−02=2.

Так
как f(0)=1≠f(+0)=f(−0)=2, то x=0 —
точка разрыва первого рода данной
функции (рис. 6.8).

■

Задача
5.

Исследовать
на непрерывность функцию f(x)=sin1x.

Р
е ш е н и е.

 Данная
функция непрерывна всюду, кроме
точки x0=0. Рассмотрим f(+0)=limx→+0sin1x. Так
как 1x→+∞ при x→+0 и
значения функции f(x) колеблются
между −1 и +1, не
приближаясь к какому-либо определенному
значению, то f(+0) не
существует. Аналогично, не существует
и f(−0). Следовательно, x=0 —
точка разрыва второго рода (рис. 3.11).

■

Задача
6.

Исследовать
на непрерывность функцию f(x)=xx2−4.

Р
е ш е н и е.

 Данная
рациональная функция непрерывна всюду,
кроме точек, где знаменатель обращается
в ноль. Следовательно, функция терпит
разрыв в точках x1=2 и x2=−2. Найдем
односторонние пределы данной функции
в этих точках:

f(2+0)=limx→2+0xx2−4=+∞;

f(2−0)=limx→2−0xx2−4=−∞;

f(−2+0)=limx→−2+0xx2−4=+∞,

f(−2−0)=limx→−2−0xx2−4=−∞.

Точки x1=2 и x2=−2 —
точки разрыва второго рода (рис. 6.9).

■

Рис.
6.8

Рис.
6.9

Рис.
6.10

Задача
7.

Исследовать
на непрерывность в
точке x0=0 функцию f(x)=∣∣sinx∣∣2x.

Р
е ш е н и е.

 В
точке x0=0 функция
не определена. Следовательно, x0=0 —
точка разрыва функции. Найдем односторонние
пределы функции в этой точке.
Если x→0 и x>0, то ∣∣sinx∣∣2x>0 иf(+0)=limx→+0∣∣sinx∣∣2x=12. Если x→0 и x<0, то ∣∣sinx∣∣2x<0 и f(−0)=limx→−0∣∣sinx∣∣2x=−12. Так
как односторонние пределы f(+0) и f(−0) конечны
и различны, то x0=0 —
точка разрыва первого рода, причем
скачок функции в этой точке
равен f(+0)−f(−0)=12−(−12)=1(рис.
6.10).

■

Задача
8.

Исследовать
на непрерывность функцию

f(x)={x2,2x−1,−1≤x<2;2≤x≤3.

Р
е ш е н и е.

 Функция f(x) определена
всюду на [−1,3], непрерывна
на полуинтервале [−1,2) и
на отрезке[2,3]. Единственной
точкой, в которой возможен разрыв
функции f(x) является
точка x0=2.Вычислим
односторонние пределы функции f(x) в
этой точке

f(2−0)=limx→2−0x2=4,

f(2+0)=limx→2+0(2x−1)=3.

Односторонние
пределы f(2−0) и f(2+0) конечны
и различны. Следовательно, x0=2 —
точка разрыва первого рода. Скачок
функции в точке x0=2 равенf(2+0)−f(2−0)=3−4=−1 (рис.
6.11).

■

Рис.
6.11

Рис.
6.12

Задача
9.

Найти
и исследовать точки разрыва
функции f(x)=sinxx2+2x.

Р
е ш е н и е.

 Точками
разрыва функции f(x) будут
точки x1=0 и x2=−2 в
которых функция f(x) не
определена (x2+2x=0). Исследуем
точку x1=0. При x→0 и x>0 функция sinx>0,sinxx(x+2)>0, f(+0)=limx→+0sinxx2+2x=limx→+0sinxx(x+2)=12. При x→0 и x<0 функция sinx<0,sinxx(x+2)>0, f(−0)=limx→−0sinxx2+2x=limx→−0sinxx(x+2)=12. Односторонние
пределы f(+0) иf(−0) в
точке x1=0 конечны
и равны. Следовательно, x1=0 —
точка устранимого разрыва. Разрыв
устраняется, если положить f(0)=12. Рассмотрим
точку x2=−2. Еслиx→−2 и x>−2, то sinx<0, x<0, x+2>0, sinxx(x+2)>0 иf(−2+0)=limx→−2+0sinxx(x+2)=+∞. Если x→−2 и x<−2, то sinx<0, x<0, x+2<0,sinxx(x+2)<0 и f(−2−0)=limx→−2−0sinxx(x+2)=−∞. Следовательно, x2=−2 —
точка разрыва второго рода (рис. 6.12).

■

Задача
10.

Исследовать
на непрерывность функцию f(x)=e1x+3.

Р
е ш е н и е.

 Данная
функция непрерывна всюде, кроме
точки x0=−3. Найдем
односторонние
пределыf(−3+0) и f(−3−0) Если x→−3 и x>−3, то x+3>0, 1x+3→+∞ иf(−3+0)=limx→−3+0e1x+3=+∞ Если x→−3 и x<−3, то x+3<0, 1x+3→−∞ иf(−3−0)=limx→−3−0e1x+3=0. Следовательно,
точка x0=−3 —
точка разрыва второго рода (рис. 6.13).

■

Рис.
6.13

Рис.
6.14

Задача
11.

Исследовать
на непрерывность функцию f(x)=12−21/x.

Р
е ш е н и е.

 Данная
функция непрерывна всюду, кроме
точек x1=0 и x2=1, так
как в точке x1=0 не
определена дробь 1x в
точке x2=1 знаменатель 2−21/x исходной
дроби равен нулю. Найдем односторонние
пределы данной функции в
точках x1 и x2 При x→0 и x>0 дробь 1x→+∞,21/x→+∞ и f(+0)=limx→+012−21/x=0. При x→0 и x<0 дробь 1x→−∞, 21/x→0 иf(−0)=limx→−012−21/x=12. Так
как в точке x1=0 односторонние
пределы f(+0)=0 иf(−0)=12 конечны
и различны, то x1 —
точка разрыва первого рода.
Найдем f(1+0) иf(1−0). При x→1 и x>1 дробь 1x<1, 21/x<2, разность 2−21/x→0, оставаясь
положительной.
Поэтому f(1+0)=limx→1+012−21/x=+∞. При x→1 и x<1 дробь 1x>1,21/x>2, разность 2−21/x→0, оставаясь
отрицательной,
иf(1−0)=limx→1−012−21/x=−∞. Следовательно, x2=1 —
точка разрыва второго рода (рис. 6.14).

■

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Непрерывность функции:

Непрерывные функции, точки разрыва и их классификация, действия над непрерывными функциями, свойства функций, непрерывных на сегменте.

Определение:

Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если:

• функция определена в точке x₀ и в некоторой ее окрестности, содержащей эту точку;
• функция имеет предел при х → x₀;
• предел функции при х → x₀ равен значению функции в точке x₀:
  (10.1)

Если в точке x₀ функция непрерывна, то точка x₀ называется точкой непрерывности функции.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию в точке х = 1.

Решение:

Чтобы доказать, что функция непрерывна в точке х = 1, необходимо проверить выполнение трех следующих условий (определение непрерывности):

Таким образом, доказано, что функция непрерывна в точке х = 1.

Замечание:

Формулу (10.1) можно записать в виде
(10.2)
так как . Это значит, что при нахождении предела непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции.

Введем понятие непрерывности функции в точке х₀ справа и слева.
Если, существует f(x) = f(x₀), то функция называется непрерывной в точке x₀ слева. Аналогично определяется непрерывность функции справа.

Так как ∆x = x-x₀, a ∆y = f(x)-(x₀), то условие (10.1) равносильно следующему:

Определение:

Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции
(10.3)

Пример:

Показать, что функция у = х³ непрерывна для любого значения аргумента х.

Решение:

Найдем приращение функции ∆y.

∆y= (x+∆x)³-x³ = x³+3x²∆x+3x∆x²+∆x³-x³ = 3x²∆x+3x∆x²+∆x³.

Используя теоремы о пределе суммы и произведения функции, получим
(3x²∆x 4- 3x∆x² + ∆x³) = 0.

Следовательно, функция у = х³ непрерывна при — ∞< х < ∞.

Точки разрыва функции и их классификация

Определение:

Точка х₀ называется точкой разрыва функции у = f(x), если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности.

Так, например, функция (рис. 89) терпит разрыв при х = 1. Эта функция не определена в точке х = 1, и не существует предела функции в этой точке.

Определение:

Точка разрыва x₀ функции у = f(x) называется точкой устранимого разрыва, если существуют оба односторонних предела в точке x₀ и они равны, т. е.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке x=-1 функция не определена, так как, выполнив подстановку, получаем неопределенность . В других точках дробь можно сократить на (1 + х), так как в них 1 + х ≠ 0. Легко видеть, что односторонние пределы слева и справа в точке х = — 1 равны между собой и их можно вычислить:

Таким образом, при x = -1 данная функция имеет устранимый разрыв.
Он будет устранен, если положить, что при x = -1 ⇒ у == 3.

Определение:

Если в точке x₀ односторонние пределы слева и справа существуют, но не равны, точка x₀ называется точкой разрыва I рода.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию
(рис. 90).

Решение: Вычислим односторонние пределы функции в точке ее разрыва х = 4.

Предел слева —.
Предел справа — .
Пределы слева и справа существуют, но не равны, следовательно, точка x = 4 для данной функции — точка разрыва I рода (точка скачка).

Определение:

Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода.

В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов. Функция , представленная на рис. 89, не имеет ни левого, ни правого конечного предела в точке х = 1. Следовательно, для данной функции x = 1 является точкой разрыва II рода.

Действия над непрерывными функциями

Теорема:

Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций. Если функции ϕ(x) и ψ(x) непрерывны в точке Хо, то их сумма и произведение также непрерывны в точке x₀. Если, кроме того, знаменатель в рассматриваемой точке не равен нулю, то частное непрерывных функций есть функция непрерывная.

Докажем непрерывность произведения.

Дано: непрерывность функций в точке x₀:
и

Доказать, что f(x) — ϕ(x) ∙ ψ(x) есть функция непрерывная в точке x₀, т. е. f(x) — f(x₀).

Доказательство:
f(x) = [ϕ(x) ∙ ψ(x)] = ϕ(x) ∙ ψ(x) = ϕ(x₀) ∙ ψ(x₀) = f(x₀).

Можно строго доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, для которых они определены.

Например, степенная у = xⁿ, показательная у = , тригонометрические у = sin х и у = cos х функции непрерывны на всей числовой оси (х ∈ R), логарифмическая функция непрерывна при х > 0, а тригонометрическая у = tg x непрерывна в каждом из интервалов и терпит разрыв II рода в точках (k = 0; ±1; ±2;…).

Теорема:

Непрерывность сложной функции. Если функция и = ϕ(x) непрерывна в точке x₀, а функция у = f(u) непрерывна в точке и₀ = ϕ(x₀), то сложная функция у = f [ϕ(x)] непрерывна в точке x₀.

Без доказательства.

В заключение этого раздела рассмотрим два предела, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Пример:

Вычислить

Решение:

Заметим, что при х → 0 числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида . Выполним преобразование

Так как данная логарифмическая функция непрерывна в окрестности точки х = 0, то можно перейти к пределу под знаком функции ( f(x)= f (x)).

но — второй замечательный предел.

Следовательно,
(10.4)

В частности, при а = е
(10.5)

Таким образом, у = ln( 1 + х) и у = х — эквивалентные бесконечно малые функции при х → 0.

Пример:

Вычислить

Решение:

Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида . Для нахождения предела сделаем замену переменной, положив — 1 = t. Тогда . При х → 0 также и t → 0.

Так как на основании результата, полученного в предыдущем примере, то
(10.6)

В частности, если а = е, имеем

т.е. у = — 1 и y = x — эквивалентные бесконечно малые функции при х → 0.

Свойства функций, непрерывных на сегменте

Определение:

Функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b], если она непрерывна во всех внутренних точках Этого сегмента, а на концах сегмента (в точках a и b) непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема:

Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b], то она достигает на этом сегменте своего наибольшего и(или) наименьшего значения.

Простым доказательством этой теоремы, является геометрическая иллюстрация функции у = f(x) на рисунке 91. Непрерывная на сегменте [α, b] функция достигает наименьшего своего значения в точке х = x₁= а, а наибольшего значения в точке х₂.

Следствие:

Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на этом сегменте.

Действительно, если по теореме 10.3 функция достигает на сегменте наибольшего M и наименьшего т значений, то имеет место неравенство m ≤ f(x) ≤ M для всех значений функции на рассматриваемом сегменте. Т. е. |f(x)| ≤ M и, следовательно, функция у = f(x) ограничена на сегменте [а, b].

Теорема:

Теорема Больцано-Коши. Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b] и на ее концах принимает значения разных знаков, то внутри этого сегмента найдется, по крайней мере, одна тонка С, в которой функция равна нулю.

Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: если точки графика функции у = f(x), соответствующие концам сегмента [a, b], лежат по разные стороны от оси ОХ, то этот график хотя бы в одной точке сегмента пересекает ось OX. На данном рисунке 92 это три точки x₁, x₂, x₃.

Теорема:

О промежуточных значениях функции. Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [α, b] и f(α) = A и f(b) = В, то для любого числа С, заключенного между A и B, найдется внутри этого сегмента такая точка с, что f(c) = С.

Из графика на рисунке 93 видно, что непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения.

Теорема:

О непрерывности обратной функции.) Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b] в возрастает (убывает) на этом сегменте, то обратная функция х = f⁻¹(y) на соответствующем сегменте оси OY существует и является также непрерывной возрастающей (убывающей) функцией.

Эту теорему мы принимаем без доказательства.

Решение на тему: Непрерывная функция

Пример:

Показать, что функция у = 4x² непрерывна в точке х = 2.

Решение:

Для этого необходимо показать, что в точке х = 2 выполняется все три условия непрерывности функции:

1) функция у = 4х² определена в точке х = 2 ⇒ f(2) = 16;
2) существует f(x) = 4x²= 16;
3) этот предел равен значению функции в точке х = 2

f(x) = f(2) = 16.

Пример:

Показать, что функция у = sin x непрерывна для любого значения аргумента х.

Решение:

Найдем приращение функции ∆y, используя формулы тригонометрических тождеств

Так как то при любом х имеем

Следовательно, функция у = sin x непрерывна при -∞ < х < ∞.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Эта функция (рис. 94) определена во всех точках сегмента [0,4] и ее значение при х = 3 ⇒ у = 2. Функция терпит разрыв, так как она не имеет предела при х → 3 :

Следовательно, точка х = 3, точка разрыва первого рода. При этом в граничных точках исследуемого сегмента [0,4], функция f(x) непрерывна справа (х = 0) и непрерывна слева (х = 4).

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке х = 5 функция не определена, т.к., выполнив подстановку, получаем неопределенность вида 0/0. Легко доказать, что

Следовательно, точка х = 5 точка устранимого разрыва.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке х = 0 функция (рис. 95) терпит разрыв, так как она не определена в этой точке. Пределы функции слева и справа от точки х = 0 равны ∞. Следовательно, точка х = 0 для данной функции является точкой разрыва второго

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке х = 0 функция терпит разрыв 1-го рода, так как односторонние пределы существуют в этой точке, но не равны:
предел слева
предел справа

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию .

Решение:

Функция определена для всех значений х, кроме x = 0.B этой точке она имеет разрыв. Точка х = 0 есть точка разрыва II рода, так как при х → 0 как справа, так и слева, функция , колеблясь между -1 и 1, не приближается ни к какому числовому значению. График ее приведен на рис. 96.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Функция не определена в точке х = 0. Точка х = 0 является точкой разрыва I рода, так как при х → 0 существуют пределы справа и слева:

Если доопределить функцию в точке х = 0, полагая f(0) = 1, то получим уже непрерывную функцию, определенную так:
f(х) =, если х ≠ 0; f(0) = 1.

Доопределив функцию в точке х = 0, мы устранили разрыв.

Непрерывность функций

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Тригонометрические выражения и их преобразования
102. Преобразование тригонометрических выражений
103. Комбинаторика
104. Вычислительная математика
105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
106. Прямая и плоскость
107. Линии и уравнения
108. Прямая линия
109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
110. Кривые второго порядка
111. Кривые и поверхности второго порядка
112. Числовые ряды
113. Степенные ряды
114. Ряды Фурье
115. Преобразование Фурье
116. Функциональные ряды
117. Функции многих переменных
118. Метод координат
119. Гармонический анализ
120. Вещественные числа
121. Предел последовательности
122. Аналитическая геометрия
123. Аналитическая геометрия на плоскости
124. Аналитическая геометрия в пространстве
125. Функции одной переменной
126. Высшая алгебра
127. Векторная алгебра
128. Векторный анализ
129. Векторы
130. Скалярное произведение векторов
131. Векторное произведение векторов
132. Смешанное произведение векторов
133. Операции над векторами
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат

Содержание:

1. Точки непрерывности и точки разрыва функции
2. Непрерывность элементарных функций. Свойства непрерывных функций
3. Непрерывность и разрывы функций
4. Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций
5. Разрывы функций и их классификация
6. Непрерывность функции на промежутке. Основные теоремы о непрерывных функциях

Точки непрерывности и точки разрыва функции

Важнейшим понятием математического анализа является непрерывность функции.

Определение 1. Функция , определенная в некоторой окрестности точки называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке существует и равен значению в этой точке: .

Рис. 1. Иллюстрация непрерывности функции в точке

Определение 1 содержит четыре условия непрерывности:

1) функция должна быть определена в некоторой окрестности точки ;

2) должны существовать конечные односторонние пределы и ;

3) эти пределы должны быть одинаковы;

4) эти пределы должны быть равны .

Определение 2. Если в точке нарушается хотя бы одно из условий непрерывности, то говорят, что эта точка есть точка разрыва функции Причем, если выполняется условие 2) и не выполняется хотя бы одно из оставшихся, то это точка разрыва первого рода. Если же условие 2) не выполняется, то это точка разрыва второго рода.

Например, функция (Рис- а) терпит разрыв первого рода в точке = 0, т.к. односторонние пределы существуют, но они не равны:

.

Заметим, что разность между конечными значениями правостороннего и левостороннего пределов называют скачком функции в точке. В данном случае величина скачка равна 2.

Функция (рис. 2, б) имеет разрыв второго рода в точке = 1, т.к. в этой точке не существуют конечные односторонние пределы:

Рис. 2. Иллюстрация точек разрыва а) первого рода и б) второго рода  

Непрерывность элементарных функций. Свойства непрерывных функций

Элементарные функции: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные им, а также их сумма, произведение, частное непрерывны при всяком , при котором они имеют определенное значение.

Обратим внимание на свойства непрерывных функций.

Теорема 1. Если функции и непрерывны в точке , то функции , а если, кроме того , то и , являются непрерывными в точке .

Теорема 2. Непрерывная функция от непрерывной функции является непрерывной функцией.

Определение 3. Функция, определенная на некотором отрезке и непрерывная в каждой его точке, называется непрерывной на отрезке.

Теорема 3. (Вейерштрасс). Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена.

Теорема 4. (Вейерштрасс). Всякая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке как наибольшее, так и наименьшее значение.

Теорема 5. (Коши). Непрерывная на отрезке функция, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое промежуточное.

Следствие из теоремы Коши. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке существует точка, в которой функция обращается в ноль.

Заметим, что последний факт полезен при нахождении корней уравнений точно или приближенно.

Эта лекция взята из раздела о предмете высшая математика, там вы найдёте другие лекци по всем темам высшей математики:

Другие темы которые вам помогут понять высшую математику:

Непрерывность и разрывы функций

Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции.

Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций

Понятие непрерывности функции тесно связано с ее пределом. Оно является характеристикой многих процессов, происходящих непрерывно: непрерывность времени, непрерывность изменения температуры, непрерывность роста дохода и др.

Пусть функция , с областью определения , определенная в точке , которой соответствует значение функции , и — произвольная точка из некоторой окрестности точки (рис. 14.1).

Рис. 14.1

Величина, на которую изменилось значение аргумента при переходе от точки в , называется приростом аргумента в точке :

а соответствующее изменение значения функции называют приростом функции в точке :

или

Приросты могут быть как положительными, так и отрицательными; например, на рис. 14.1 , при этом .

Функция называется непрерывной в точке , если в этой точке она определена и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малый прирост функции, а именно 

Заметим, что при определении непрерывности, в отличие от границы, функция в точке обязательно должна быть определена.

Покажем, что функция  непрерывна в каждой точке  области определения . Действительно, предоставим значению аргумента , прирост , тогда .

Найдем границу прироста функции при :

Поскольку — произвольная точка из , то функция непрерывная

Аналогично можно доказать непрерывность любой из основных элементарных функций

Теорема 14.1 (о непрерывности основных элементарных функций). Основные элементарные функции непрерывные в каждой точке своей области определения.

Доказательство осуществляется для каждой функции отдельно.

Теорема 14.2 (критерий непрерывности «языком границы»). Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда граница функции в этой точке равна значению функции в ней:

Доказательство. Справедливость (14.4) следует из определения непрерывности и свойств предела.

Необходимость. Исходя из (14.3), имеем:

Если обозначить , то при имеем, что .

Отсюда

Следовательно,

Достаточность. Пусть функция определена в точке и непрерывна в ней.
Тогда в соответствии с определением (14.4)

Таким образом, имеем два определения непрерывности функции в точке, Соответствующие формулам (14.3) и (14 .4):

Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Замечания. Если функция непрерывна в точке , то для вычисления предела функции в этой точке достаточно в выражение функции подставить вместо аргумента его пороговое значение, то есть осуществить предельный переход, в результате которого получим определенное число (а не неопределенность!). Формально это означает, что символ границы и символ функции можно переставлять, а именно:

Например, вычислим границу  в точке 

Теорема 14.3 (критерий непрерывности «языком односторонних границ»). Функция   непрерывна в точке тогда и только тогда, когда односторонние пределы в этой точке равны между собой и равны значению функции в ней:

Доказательство. Действительно, соотношение (14.7) базируется непосредственно на теореме существования конечного предела «языком односторонних границ» и определении непрерывности функции в точке (14.4):

Проверить в точке непрерывность функции:

Вычислим односторонние пределы этой функции:

то есть предел слева не равен пределу справа, следовательно, функция в точке является разрывной.

Рассмотрим далее две функции: и , который является непрерывными в точке .

Теорема 14.4 (о арифметические свойства непрерывных функций). Если функции   непрерывные в точке , то их сумма (разница), произведение, часть (если знаменатель в данной точке не равен нулю) является непрерывной функцией в точке .

Доказательство теоремы осуществляется на основе арифметических свойств предела. Покажем ее справедливость для доли функций.
Согласно (14.4)

Обозначим долю функций через , тогда по свойству предела доли

Предлагаем другие выводы теоремы доказать самостоятельно.

Относительно функций, образованных из основных элементарных функций с помощью суперпозиции, возникает вопрос, какой с точки зрения «непрерывности» будет составлена функция, если ее составляющие являются непрерывными функциями.

Теорема 14.5 (о непрерывности сложной функции). Если функция непрерывна при , а является непрерывной в точке , то составленная функция  непрерывна в точке .

Доказательство. Обозначим закон связи переменной с аргументом через , то есть . Учитывая непрерывность функции , а именно: , найдем границу , когда :

На основании арифметических свойств непрерывных функций, непрерывности сложной функции и теоремы 14.1 (о непрерывности основных элементарных функций) делаем вывод: все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области существования.

Теорема 14.6 (о непрерывности обратной функции). Если функция является определенной, возрастающей (или убывающей) и непрерывной на сегменте , то и обратная к ней функция или , является определенной, возрастающей ( или убывающей) и непрерывной на отрезке (или на отрезке , если функция убывающая) (рис. 14.2):

Рис. 14.2

Разрывы функций и их классификация

Если функция не является непрерывной в точке , то говорят, что в этой точке она имеет разрыв, а точка  называется точкой разрыва. Точки разрыва и сами разрывы классифицируются в зависимости от того, как нарушается критерий непрерывности (14.7):

Различают следующие случаи:
1. Существуют односторонние пределы (конечные), которые равны между собой но или не существует, тогда говорят, что является точкой устранимого разрыва .

Название разрыва «устранимый» связана с тем, что достаточно в той точке, где исследуется непрерывность функции, задать значение функции, которое бы равнялось значению односторонних границ, или изменить значение функции на значение предела в этой точке, то есть положить

Например, классический устранимый разрыв дает функция в точке (рис. 14.3). Поскольку , а

то есть

то для того чтобы функция была непрерывной, достаточно до определить функцию в точке следующим образом:

Рис. 14.3

2. Существуют конечные односторонние пределы, но , тогда называют точкой разрыва I рода.

3. Не существует хотя бы одного из односторонних пределов, или по крайней мере один из них бесконечен, тогда точка является точкой разрыва II рода.

Примером функции, имеющей разрыв второго рода, есть функция , поскольку она не имеет границы в нуле ни слева, ни справа.

Под исследованием на непрерывность функции в некоторой точке понимают установления факта непрерывности (если, конечно, имеет место), или типы разрыва в противном случае.

Если функция элементарная, то исследованию подлежат только точки, в которых функция не определена. При задании функции различными аналитическими выражениями на разных промежутках области существования исследование подлежат точки, которые являются пределами соответствующих промежутков.

Исследовать на непрерывность функцию

Областью определения функции является вся числовая ось, кроме (знаменатель равен нулю). Следовательно, на непрерывность функцию исследуем в точках и 

1) односторонние границы при :

Следовательно, точка — является точкой разрыва II-го рода;

2) односторонние границы при

В точке функция не существует, то есть 

Таким образом точка является точкой устранимого разрыва (рис. 14.4 а).

Исследуем на непрерывность функцию:

Имеем неэлементарную функцию, которую задано тремя формулами. На каждом из указанных промежутков функция непрерывна, как элементарная на области своего существования, следовательно, область определения этой функции . Необходимо рассмотреть точки стыковки элементарных функций различного вида, то есть точки и .

1. Односторонние границы при :

Таким образом, функция в точке  непрерывна.

2. Односторонние границы при :

Поскольку f, то функция в этой точке имеет разрыв І рода (рис. 14.4 б).

Рис. 14.4 б

Исследовать на непрерывность функцию

Область определения функции . В точке односторонние границы:

Рис. 14.4 в

Непрерывность функции на промежутке. Основные теоремы о непрерывных функциях

В теоретических исследованиях и на практике применяются теоремы, которые отражают свойства непрерывных функций не в отдельно взятой точке, а на множестве точек, то есть на промежутке.

Функцию  называют непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке интервала. Функцию называют непрерывной на отрезке , если она непрерывна на интервале и, кроме этого, непрерывная дело в точке и — слева в точке .

Сформулированные ниже теоремы примем без доказательства. Для лучшего понимания их содержания подадим в каждой теореме соответствующую геометрическую иллюстрацию, которая поможет, надеемся, осознать справедливость теорем на интуитивном уровне.

Сначала приведены определения. Если функция определена на множестве и существует такое значение , что для всех выполняется условие  , то число f называется наибольшим — , (наименьшим — ) значением функции на множестве .

Теорема 14.7 (о наименьшем и наибольшем значении непрерывной функции). Если функция  непрерывна на отрезке , то среди ее значений на этом отрезке существуют наименьшее и наибольшее (рис. 14.5). То есть для любых выполняется условие:

Если функция задан на интервале или , то она такие свойства может и не иметь.

Рис.14.5

Например, функция ни малейшего, ни наибольшего значений не имеет.

Для функции  на отрезке ; наименьшим является значение , а наибольшим — значение , которое она принимает на концах отрезка.

Функция на отрезке , достигает наименьшего значения , в точке , но не имеет большого значения, так как в точке она не определена.

Функция на отрезке достигает наименьшего значения в точке и наибольшего значения в точке .

Теорема 14.8 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке (рис. 14.5), то есть существуют такие числа и , выполняется неравенство:

Теорема 14.9 (о нуле непрерывной функции). Если непрерывна на отрезке и ее значения на концах данного отрезка имеют разные знаки, то между и существует хотя бы одна точка , где , то есть которая является нулем функции (рис. 14.6).

Рис. 14.6

Теорема 14.10 (о промежуточных значениях функции). Если функция непрерывна на отрезке  и ее наименьшим и наибольшим значениями являются, соответственно, и , а число , тогда на отрезке найдется хотя бы одна точка такая, что

Заметим, что все рассмотренные вопросы непрерывности функции являются по сути применением понятия границ к исследованию функций и построения их графиков.