Как найти промежутки возрастания убывания функции онлайн - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Интервалы возрастания и убывания функции

С помощью данного сервиса можно найти интервалы возрастания и убывания функции в онлайн режиме с оформлением решения в Word.

Решение онлайн
Видеоинструкция

Исследование функции с помощью производной

Определение: Точка х₀ называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство: f(x₀)>f(x).

Определение: Точка х₀ называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство: f(x₀)<f(x).

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f′(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной

Найти производную функции f′(x).
Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если на промежутке f′(x)<0, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0, то на этом промежутке функция возрастает.
Если в окрестности критической точки f′(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.

С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.

Пример №1: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x³–3x².

Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3x²–6x.

Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x²–6x=0; 3x(x-2)=0 ;x = 0, x = 2

Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

`x`	(-∞, 0)	0	(0, 2)	2	(2, +∞)
`f′(x)`	+	0	—	0	+
`f(x)`	возрастает	max	убывает	min	возрастает

f(0) = 0³ – 3*0² = 0

f(2) = 2³ – 3*2² = -4

Ответ: Функция возрастает при x∈(-∞ ; 0)∪(2; +∞); функция убывает при x∈(0;2);

точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью второй производной

Найти производную f′(x).
Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f′(x)=0.
Найти вторую производную f″(x).
Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
Вычислить значения функции в точках экстремума.

Отсюда следует, что дважды дифференцируемая функция f(x) выпукла на отрезке [a, b], если вторая производная f»(x) ≥ 0 при всех х [a, b].

Все вычисления можно проделать в онлайн режиме.

Пример №2. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: f(x) = x² – 2x — 3.

Решение: Находим производную: f′(x) = 2x — 2.

Решая уравнение f′(x) = 0, получим стационарную точку х=1. Найдем теперь вторую производную: f″(x) = 2.

Так как вторая производная в стационарной точке положительна, f″(1) = 2 > 0, то при x = 1 функция имеет минимум: f_min = f(1) = -4.

Ответ: Точка минимума имеет координаты (1; -4).

Источник

Найти интервалы монотонности функции

Онлайн калькулятор поможет найти промежутки монотонности функции. Функция называется монотонной на промежутке, если она на этом промежутке или возрастает, или убывает.

Например для исследования функции f(x) на монотонность необходимо:
Найти f(x).
Найти нули производной.
На числовой оси отметить область определения f(x), нули производной и те точки, где производная не существует.
На каждом из полученных интервалов определить знак производной f(x) .
Сделать вывод о возрастании или убывании функции на каждом интервале.
Интервалы возрастания функции при: >0
Интервалы убывания функции при: <0

Синтаксис
основных функций:
x^a: x^a
|x|: abs(x)
√x: Sqrt[x]
ⁿ√x: x^(1/n)
a^x: a^x
log^ax: Log[a, x]
ln x: Log[x]
cos x: cos[x] или Cos[x]

sin x: sin[x] или Sin[x]
tg: tan[x] или Tan[x]
ctg: cot[x] или Cot[x]
sec x: sec[x] или Sec[x]
cosec x: csc[x] или Csc[x]
arccos x: ArcCos[x]
arcsin x: ArcSin[x]
arctg x: ArcTan[x]
arcctg x: ArcCot[x]
arcsec x: ArcSec[x]

arccosec x: ArcCsc[x]
ch x: cosh[x] или Cosh[x]
sh x: sinh[x] или Sinh[x]
th x: tanh[x] или Tanh[x]
cth x: coth[x] или Coth[x]
sech x: sech[x] или Sech[x]
cosech x: csch[x] или Csch[е]
areach x: ArcCosh[x]
areash x: ArcSinh[x]
areath x: ArcTanh[x]

areacth x: ArcCoth[x]
areasech x: ArcSech[x]
areacosech x: ArcCsch[x]
конъюнкция «И» ∧: &&
дизъюнкция «ИЛИ» ∨: ||
отрицание «НЕ» ¬: !
импликация =>
число π pi : Pi
число e: E
бесконечность ∞: Infinity, inf или oo

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Источник

bold{mathrm{Basic}}

bold{alphabetagamma}

bold{mathrm{ABGamma}}

bold{sincos}

bold{gedivrightarrow}

bold{overline{x}spacemathbb{C}forall}

bold{sumspaceintspaceproduct}

bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}}

bold{H_{2}O}

square^{2}

x^{square}

sqrt{square}

nthroot[msquare]{square}

frac{msquare}{msquare}

log_{msquare}

theta

infty

int

frac{d}{dx}

ge	le	cdot	div	x^{circ}	(square)	\|square\|	(f:circ:g)	f(x)	ln	e^{square}
left(squareright)^{‘}	frac{partial}{partial x}	int_{msquare}^{msquare}	lim	sum	sin	cos	tan	cot	csc	sec

alpha	beta	gamma	delta	zeta	eta	theta	iota	kappa	lambda	mu
nu	xi	pi	rho	sigma	tau	upsilon	phi	chi	psi	omega

A	B	Gamma	Delta	E	Z	H	Theta	K	Lambda	M
N	Xi	Pi	P	Sigma	T	Upsilon	Phi	X	Psi	Omega

sin	cos	tan	cot	sec	csc	sinh	cosh	tanh	coth	sech
arcsin	arccos	arctan	arccot	arcsec	arccsc	arcsinh	arccosh	arctanh	arccoth	arcsech

begin{cases}square\squareend{cases}	begin{cases}square\square\squareend{cases}	=	ne	div	cdot	times	<	>	le	ge
(square)	[square]	▭:longdivision{▭}	times twostack{▭}{▭}	+ twostack{▭}{▭}	— twostack{▭}{▭}	square!	x^{circ}	rightarrow	lfloorsquarerfloor	lceilsquarerceil

overline{square}	vec{square}	in	forall	notin	exist	mathbb{R}	mathbb{C}	mathbb{N}	mathbb{Z}	emptyset
vee	wedge	neg	oplus	cap	cup	square^{c}	subset	subsete	superset	supersete

int	intint	intintint	int_{square}^{square}	int_{square}^{square}int_{square}^{square}	int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square}	sum	prod
lim	lim _{xto infty }	lim _{xto 0+}	lim _{xto 0-}	frac{d}{dx}	frac{d^2}{dx^2}	left(squareright)^{‘}	left(squareright)^{»}	frac{partial}{partial x}

(2times2)	(2times3)	(3times3)	(3times2)	(4times2)	(4times3)	(4times4)	(3times4)	(2times4)	(5times5)
(1times2)	(1times3)	(1times4)	(1times5)	(1times6)	(2times1)	(3times1)	(4times1)	(5times1)	(6times1)	(7times1)

mathrm{Радианы}	mathrm{Степени}	square!	(	)	%	mathrm{очистить}
arcsin	sin	sqrt{square}	7	8	9	div
arccos	cos	ln	4	5	6	times
arctan	tan	log	1	2	3	—
pi	e	x^{square}	0	.	bold{=}	+

Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ

Войдите, чтобы сохранять заметки

Войти

Показать Этапы

Номер Строки

Примеры

монотонные:интервалы:y=frac{x^2+x+1}{x}
монотонные:интервалы:f(x)=x^3
монотонные:интервалы:f(x)=ln (x-5)
монотонные:интервалы:f(x)=frac{1}{x^2}
монотонные:интервалы:y=frac{x}{x^2-6x+8}
монотонные:интервалы:f(x)=sqrt{x+3}
монотонные:интервалы:f(x)=cos(2x+5)
монотонные:интервалы:f(x)=sin(3x)
Показать больше

Описание

Пошаговый поиск интервалов монотонности функции

function-monotone-intervals-calculator

Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab

Functions

A function basically relates an input to an output, there’s an input, a relationship and an output. For every input…

Введите Задачу

Сохранить в блокнот!

Войти

Источник

Подборка онлайн калькуляторов для полного исследования функции и построение графика.
Найти Область определения функции
Вычислить Четность функции
Периодичность функции
Вычисление точек пересечения графика с осью (нули функции)
Промежутки знакопостоянства
Асимптоты функции
Найти экстремумы функции
Точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости
Построить график функции

even – четная функция;
odd – нечетная функция;
neither even nor odd – функция общего вида;

Для нахождения интервалов на которых функция положительна используйте знак «>»
для интервалов на которых функция отрицательна используйте знак «<«.

Вам помог этот калькулятор?

Предложения и пожелания пишите на [email protected]

Поделитесь этим калькулятором на форуме или в сети!

Это помогает делать новые калькуляторы.

НЕТ

Источник

22:12

Калькулятор для исследования функций

Полное исследование функции и построение графика.

С помощью данных калькуляторов можно пошагово провести полное исследование функции, и построить график функции с асимптотами.

Для этого вставляем исследуемую функцию в каждый калькулятор, как показано в примере, и получаем ответ.

1. Находим область определения функции.

2. Выясняем, не является ли функция:

а) четной, нечетной • Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными (neither even nor odd), называются функциями общего вида.

б) периодической

3. Находим точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

Для того, чтобы найти точки пересечения с осью Ох выбираем знак «=», для нахождения интервалов на которых функция положительна — зак «>», для интервалов на которых функция отрицательна — знак «<«.

4. Находим вертикальные, наклонные, горизонтальные асимптоты графика функции.
5. Находим точки экстремума

6. Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

7. Построить график функции, используя все полученные результаты исследования.

Смотри также решенные примеры в авторском исполнении. В примере подробно изложена методика исследования функций.

Категория: Исследовать функцию,построить график | Просмотров: 470199 | | Теги: построить график, найти асимптоты, исследовать функцию, найти экстремумы функции | Рейтинг: 3.2/50

Источник