Как найти промежутки знакопостоянства функции без графика

Свойства функции. Возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, нули, промежутки знакопостоянства.

теория по математике 📈 функции

Каждый из нас встречался с разными графиками, как на уроках, так и в жизни. Например, рассматривали, как изменяется температура воздуха в определенный период времени.

На рисунке видно, что температура воздуха была отрицательной с 0 часов до 6 часов, а также с 20 до 24 часов. Еще можем сказать, что температура повышалась до 14 часов, а затем понижалась. То есть по данному графику мы смогли определить некоторые свойства зависимости температуры воздуха от времени суток.

Остановимся подробнее на свойствах функций.

Нули функции

Нули функции – это значение аргумента, при которых функция обращается в нуль. Если смотреть нули функции на графике, то берем точки, где график пересекает ось х.

На рисунке он пересекает ось х при х=-1; х=4; х=6. Эти точки пересечения выделены красным цветом. Внимание!

Существует функция, которая не будет иметь нули функции. Это гипербола. Вспомним, что функция имеет

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

График функции у=k/x выглядит следующим образом: По данному рисунку видно, что нулей функции не существует. Как найти нули функции?

1. Для того чтобы найти нули функции, которая задана формулой, надо подставить вместо у число нуль и решить полученное уравнение.
2. Если график функции дан на рисунке, то ищем точки пересечения графика с осью х.

Рассмотрим примеры нахождения нулей функции. Пример №1. Найти нули функции (если они существуют):

а) Для нахождения нулей функции необходимо в данную формулу вместо у подставить число 0, так как координаты точки пересечения графика с осью х (х;0). Нам нужно найти значение х. Получаем 0 = –11х +12. Решаем уравнение. Переносим слагаемое, содержащее переменную, в левую часть, меняя знак на противоположный: 11х=22

Находим х, разделив 22 на 11: х=22:11

Таким образом, мы нашли нуль функции: х=2

б) Аналогично во втором случае. Подставляем вместо у число 0 и решаем уравнение вида 0=(х + 76)(х – 95). Вспомним, что произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. Таким образом, так как у нас два множителя, составляем два уравнения: х + 76 = 0 и х – 95 = 0. Решаем каждое, перенося числа 76 и -95 в правую часть, меняя знаки на противоположные. Получаем х = – 76 и х = 95. Значит, нули функции это числа (-76) и 95.

в) в третьем случае: если вместо у подставить 0, то получится 0 = – 46/х, где для нахождения значения х нужно будет -46 разделить на нуль, что сделать невозможно. Значит, нулей функции в этом случае нет.

Пример №2. Найти нули функции у=f(x) по заданному графику.

Находим точки пересечения графика с осью х и выписываем значения х в этих точках. Это (-4,9); (-1,2); 2,2 и 5,7. У нас на рисунке точки пересечения выделены красным цветом.

Промежутки знакопостоянства

Промежутки, где функция сохраняет знак (то есть значение y либо положительное на этом промежутке, либо отрицательное), называется промежутками знакопостоянства.

Рассмотрим по нашему рисунку, на какие промежутки разбивается область определения данной функции [-3; 7] ее нулями. По графику видно, что это 4 промежутка: [-3; -1), (-1;4), (4; 6) и (6; 7]. Помним, что значения из области определения смотрим по оси х.

На рисунке синим цветом выделены части графика в промежутках [-3; -1) и (4; 6), которые расположены ниже оси х. Зеленым цветом выделены части графика в промежутках (-1;4) и (6; 7], которые расположены выше оси х.

Значит, что в промежутках [-3; -1) и (4; 6) функция принимает отрицательные значения, а в промежутках (-1;4) и (6; 7] она принимает положительные значения. Это и есть промежутки знакопостоянства.

Пример №3. Найдем промежутки знакопостоянства по заданному на промежутке [-2; 10] графику функции у=f(x).

Функция принимает положительные значения в промежутках [-2; -1) и (3; 8). Обратите внимание, что эти части на рисунке выделены зеленым цветом.

Функция принимает отрицательные значения в промежутках (-1; 3) и (8; 10]. Обратите внимание на линии синего цвета.

Возрастание и убывание функции

Значения функции могут уменьшаться или увеличиваться. Это зависит от того, как изменяются значения х. Рассмотрим это свойство по рисунку.

На графике видно, что с увеличением значения х от -3 до 2 значения у тоже увеличиваются. Также с увеличением значения х от 5 до 7 значения у опять увеличиваются. Проще говоря, слева направо график идет вверх (синие линии). То есть в промежутках [-3; 2] и [5; 7] функция у=f(x) является возрастающей.

Посмотрим на значения х, которые увеличиваются от 2 до 5. В этом случае значения у уменьшаются. На графике эта часть выделена зеленым цветом. Слева направо эта часть графика идет вниз. То есть в промежутке [2;5] функция у=f(x) является убывающей.

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Свойства функций: чётность, промежутки знакопостоянства, монотонность.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Итак, мы познакомились с функцией, узнали, что такое область определения и область значений функции. Теперь рассмотрим свойства функций. Их существует много, однако, изучаются они постепенно. В 9 классе мы знакомимся с нулями функции, промежутками возрастания и убывания (монотонность) и промежутками знакопостоянства и чётностью (нечётностью) функции. Рассмотрим их подробно.

Нулями функции называются значения независимой переменной (аргумента), при которых значение функции равно нулю. В графической интерпретации нулями функции являются абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс (осью х).

На графике нули функции: .

Для того, чтобы найти нули функции, заданной аналитически, необходимо решить уравнение: . Корни этого уравнения являются нулями функции.

Например, найти нули функции .

Промежутками знакопостоянства функции называются промежутки значений аргумента, на которых значения функции либо только положительны, либо только отрицательны. Другими словами, это те промежутки, на которых функция сохраняет свой знак.

Рассматривая график сверху, найдём промежутки знакопостоянства.

функция принимает только положительные значения на тех участках графика, где он находится выше оси Ох, т.е. при ;

функция принимает только отрицательные значения на тех участках графика, где он находится ниже оси Ох, т.е. при .

Для того, чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, заданной аналитически, необходимо решить неравенства: и . Решения этих неравенств и будут промежутками знакопостоянства функции.

Например, найти промежутки знакопостоянства функции .

Это неравенство можно решить двумя способами: с помощью систем неравенств и методом интервалов. Метод интервалов будет рассмотрен нами чуть позже, поэтому воспользуемся системами неравенств. Произведение двух множителей положительно, если эти множители имеют одинаковый знак. Значит, получается совокупность двух систем:

Теперь находим промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения.

Произведение двух множителей отрицательно, если эти множители имеют разные знаки, т.е.

Чётной называется функция, если противоположным значениям аргумента соответствуют одинаковые значения функции, т.е. . График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси Оу).

Нечётной называется функция, если противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции, т.е. . График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

На рисунке слева график чётной функции, на рисунке справа – нечётной функции.

Для того, чтобы определить чётность функции, заданной аналитически, необходимо в заданную функцию вместо х подставить –х и произвести упрощение. Если в результате получится функция, равная заданной, то функция чётная; если получится функция, противоположная заданной, то она нечётная; если не получится ни один из предложенных вариантов, то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Например, исследовать на чётность функцию .

Находим значение этой функции при противоположном значении х, т.е.

Полученное выражение не совпадает с заданным и не противоположно ему, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной. Её график не симметричен относительно оси Оу и не симметричен относительно начала координат.

Приведём ещё один пример: .

После упрощения получили выражение, полностью совпадающее с заданным. Значит, функция является чётной и её график симметричен относительно начала координат.

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции (или меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции), т.е. если при , то функция возрастающая.

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции (или меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции), т.е. если при , то функция убывающая.

Для примера рассмотрим графики на рисунках выше.

Синий график: функция возрастает при

функция убывает при

Зелёный график: функция возрастает при

функция убывает при

Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности функции.

Если функция задана аналитически, то нахождение промежутков монотонности является более сложным процессом и он изучается в 11 классе. Мы ограничимся определением этих промежутков по графикам.

Наибольшим значением функции называется самое большое значение функции по сравнению со всеми остальными.

Наименьшим значением функции называется самое маленькое значение функции по сравнению со всеми остальными.

Строгое определение наибольшего и наименьшего значения функции будет дано в старших классах.

На синем графике наибольшего значения нет, т.к. график бесконечен в положительном направлении оси Оу. А наименьшее значение равно . Записывается это так: .

На зелёном графике нет ни наибольшего, ни наименьшего значения функции.

На рисунках изображены части графиков нечётных функций. Достройте эти графики.

Интервалы возрастания и убывания функции

Исследование функции с помощью производной

Определение : Точка х₀ называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство: f(x₀) .
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f′(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной

1. Найти производную функции f′(x) .
2. Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
3. Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x) . Если на промежутке f′(x) , то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0 , то на этом промежутке функция возрастает.
4. Если в окрестности критической точки f′(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
5. Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.

С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.

Пример №1 : Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x 3 –3x 2 .
Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3x 2 –6x.
Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x 2 –6x=0; 3x(x-2)=0 ;x = 0, x = 2

Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

x	(-∞, 0)	0	(0, 2)	2	(2, +∞)
f′(x)	+	0	—	0	+
f(x)	возрастает	max	убывает	min	возрастает

f(0) = 0 3 – 3*0 2 = 0
f(2) = 2 3 – 3*2 2 = -4
Ответ: Функция возрастает при x∈(-∞ ; 0)∪(2; +∞); функция убывает при x∈(0;2);
точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью второй производной

1. Найти производную f′(x) .
2. Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f′(x)=0 .
3. Найти вторую производную f″(x) .
4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Отсюда следует, что дважды дифференцируемая функция f(x) выпукла на отрезке [a, b], если вторая производная f»(x) ≥ 0 при всех х [a, b].

Все вычисления можно проделать в онлайн режиме.

Пример №2 . Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: f(x) = x 2 – 2x — 3.
Решение: Находим производную: f′(x) = 2x — 2.
Решая уравнение f′(x) = 0, получим стационарную точку х =1. Найдем теперь вторую производную: f″(x) = 2.
Так как вторая производная в стационарной точке положительна, f″(1) = 2 > 0, то при x = 1 функция имеет минимум: f_min = f(1) = -4.
Ответ: Точка минимума имеет координаты (1; -4).

Промежутки знакопостоянства — такие промежутки на области определения, в которых значения функции сохраняют свой знак.

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) надо решить неравенства f(x)>0, f(x)<0.

Пример:
Найдем промежутки знакопостоянства функции y=x2+x−2.
Решим неравенство: x2+x−2<0.
Сначала найдем нули функции f(x)=x2+x−2:

x2+x−2=0
D=1−4⋅(−2)=9
x=−1±32
x1=1,x2=−2

Таким образом, получились промежутки значений аргумента, в которых функция сохраняет знак:

(−∞;−2),(−2;1),(1;+∞)

Для того, чтобы определить знак функции на каждом из этих промежутков, найдем значение функции в произвольной точке из каждого промежутка. Точки выбираются из соображений удобства вычислений. 
Возьмем значения аргумента: −3∈(−∞;−2), 0∈(−2;1) и 2∈(1;+∞) и найдем для них значения функции.
f(−3)=(−3)2+(−3)−2=9−3−2=4
f(0)=−2
f(2)=4

Значит, в промежутке (−∞;−2) функция принимает положительные значения, в промежутке (−2;1) — отрицательные и в промежутке (1;+∞) — положительные.
Это же можно наблюдать на графике функции:

Каждый из нас встречался с разными графиками, как на уроках, так и в жизни. Например, рассматривали, как изменяется температура воздуха в определенный период времени.

На рисунке видно, что температура воздуха была отрицательной с 0 часов до 6 часов, а также с 20 до 24 часов. Еще можем сказать, что температура повышалась до 14 часов, а затем понижалась. То есть по данному графику мы смогли определить некоторые свойства зависимости температуры воздуха от времени суток.

Остановимся подробнее на свойствах функций.

Нули функции

Определение

Нули функции – это значение аргумента, при которых функция обращается в нуль. Если смотреть нули функции на графике, то берем точки, где график пересекает ось х.

На рисунке он пересекает ось х при х=-1; х=4; х=6. Эти точки пересечения выделены красным цветом.
Внимание!

Существует функция, которая не будет иметь нули функции. Это гипербола. Вспомним, что функция имеет вид у=k/x, где х не равное 0 число.

График функции у=k/x выглядит следующим образом:

По данному рисунку видно, что нулей функции не существует.
Как найти нули функции?

1. Для того чтобы найти нули функции, которая задана формулой, надо подставить вместо у число нуль и решить полученное уравнение.
2. Если график функции дан на рисунке, то ищем точки пересечения графика с осью х.

Рассмотрим примеры нахождения нулей функции.

Пример №1. Найти нули функции (если они существуют):

а) у= –11х +22

б) у= (х + 76)(х – 95)

в) у= – 46/х

а) Для нахождения нулей функции необходимо в данную формулу вместо у подставить число 0, так как координаты точки пересечения графика с осью х (х;0). Нам нужно найти значение х. Получаем 0 = –11х +12. Решаем уравнение. Переносим слагаемое, содержащее переменную, в левую часть, меняя знак на противоположный: 11х=22

Находим х, разделив 22 на 11: х=22:11

Получим х=2.

Таким образом, мы нашли нуль функции: х=2

б) Аналогично во втором случае. Подставляем вместо у число 0 и решаем уравнение вида 0=(х + 76)(х – 95). Вспомним, что произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. Таким образом, так как у нас два множителя, составляем два уравнения: х + 76 = 0 и х – 95 = 0. Решаем каждое, перенося числа 76 и -95 в правую часть, меняя знаки на противоположные. Получаем х = – 76 и х = 95. Значит, нули функции это числа (-76) и 95.

в) в третьем случае: если вместо у подставить 0, то получится 0 = – 46/х, где для нахождения значения х нужно будет -46 разделить на нуль, что сделать невозможно. Значит, нулей функции в этом случае нет.

Пример №2. Найти нули функции у=f(x) по заданному графику.

Находим точки пересечения графика с осью х и выписываем значения х в этих точках. Это (-4,9); (-1,2); 2,2 и 5,7. У нас на рисунке точки пересечения выделены красным цветом.

Промежутки знакопостоянства

Определение

Промежутки, где функция сохраняет знак (то есть значение y либо положительное на этом промежутке, либо отрицательное), называется промежутками знакопостоянства.

Рассмотрим по нашему рисунку, на какие промежутки разбивается область определения данной функции [-3; 7] ее нулями. По графику видно, что это 4 промежутка: [-3; -1), (-1;4), (4; 6) и (6; 7]. Помним, что значения из области определения смотрим по оси х.

На рисунке синим цветом выделены части графика в промежутках [-3; -1) и (4; 6), которые расположены ниже оси х. Зеленым цветом выделены части графика в промежутках (-1;4) и (6; 7], которые расположены выше оси х.

Значит, что в промежутках [-3; -1) и (4; 6) функция принимает отрицательные значения, а в промежутках (-1;4) и (6; 7] она принимает положительные значения. Это и есть промежутки знакопостоянства.

Пример №3. Найдем промежутки знакопостоянства по заданному на промежутке [-2; 10] графику функции у=f(x).

Функция принимает положительные значения в промежутках [-2; -1) и (3; 8). Обратите внимание, что эти части на рисунке выделены зеленым цветом.

Функция принимает отрицательные значения в промежутках (-1; 3) и (8; 10]. Обратите внимание на линии синего цвета.

Возрастание и убывание функции

Значения функции могут уменьшаться или увеличиваться. Это зависит от того, как изменяются значения х. Рассмотрим это свойство по рисунку.

На графике видно, что с увеличением значения х от -3 до 2 значения у тоже увеличиваются. Также с увеличением значения х от 5 до 7 значения у опять увеличиваются. Проще говоря, слева направо график идет вверх (синие линии). То есть в промежутках [-3; 2] и [5; 7] функция у=f(x) является возрастающей.

Посмотрим на значения х, которые увеличиваются от 2 до 5. В этом случае значения у уменьшаются. На графике эта часть выделена зеленым цветом. Слева направо эта часть графика идет вниз. То есть в промежутке [2;5] функция у=f(x) является убывающей.

Определение

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Даниил Романович | Просмотров: 16.1k

Свойства функций.

Итак, мы познакомились с функцией, узнали, что такое область определения и область значений функции. Теперь рассмотрим свойства функций. Их существует много, однако, изучаются они постепенно. В 9 классе мы знакомимся с нулями функции, промежутками возрастания и убывания (монотонность) и промежутками знакопостоянства и чётностью (нечётностью) функции. Рассмотрим их подробно.

1. Нулями функции называются значения независимой переменной (аргумента), при которых значение функции равно нулю. В графической интерпретации нулями функции являются абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс (осью х).

На графике нули функции: .

Для того, чтобы найти нули функции, заданной аналитически, необходимо решить уравнение: . Корни этого уравнения являются нулями функции.

Например, найти нули функции .

или

Значит, нули функции: .

1. Промежутками знакопостоянства функции называются промежутки значений аргумента, на которых значения функции либо только положительны, либо только отрицательны. Другими словами, это те промежутки, на которых функция сохраняет свой знак.

Рассматривая график сверху, найдём промежутки знакопостоянства.

1. функция принимает только положительные значения на тех участках графика, где он находится выше оси Ох, т.е. при ;

2. функция принимает только отрицательные значения на тех участках графика, где он находится ниже оси Ох, т.е. при .

Для того, чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, заданной аналитически, необходимо решить неравенства: и . Решения этих неравенств и будут промежутками знакопостоянства функции.

Например, найти промежутки знакопостоянства функции .

Это неравенство можно решить двумя способами: с помощью систем неравенств и методом интервалов. Метод интервалов будет рассмотрен нами чуть позже, поэтому воспользуемся системами неравенств. Произведение двух множителей положительно, если эти множители имеют одинаковый знак. Значит, получается совокупность двух систем:

или

Значит, при

Теперь находим промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения.

Произведение двух множителей отрицательно, если эти множители имеют разные знаки, т.е.

или

Значит, при .

1. Чётной называется функция, если противоположным значениям аргумента соответствуют одинаковые значения функции, т.е. . График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси Оу).

Нечётной называется функция, если противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции, т.е. . График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

На рисунке слева график чётной функции, на рисунке справа – нечётной функции.

Для того, чтобы определить чётность функции, заданной аналитически, необходимо в заданную функцию вместо х подставить –х и произвести упрощение. Если в результате получится функция, равная заданной, то функция чётная; если получится функция, противоположная заданной, то она нечётная; если не получится ни один из предложенных вариантов, то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Например, исследовать на чётность функцию .

Находим значение этой функции при противоположном значении х, т.е.

.

Полученное выражение не совпадает с заданным и не противоположно ему, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной. Её график не симметричен относительно оси Оу и не симметричен относительно начала координат.

Приведём ещё один пример: .

.

После упрощения получили выражение, полностью совпадающее с заданным. Значит, функция является чётной и её график симметричен относительно начала координат.

1. Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции (или меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции), т.е. если при , то функция возрастающая.

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции (или меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции), т.е. если при , то функция убывающая.

Для примера рассмотрим графики на рисунках выше.

Синий график: функция возрастает при

функция убывает при

Зелёный график: функция возрастает при

функция убывает при

Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности функции.

Если функция задана аналитически, то нахождение промежутков монотонности является более сложным процессом и он изучается в 11 классе. Мы ограничимся определением этих промежутков по графикам.

1. Наибольшим значением функции называется самое большое значение функции по сравнению со всеми остальными.

Наименьшим значением функции называется самое маленькое значение функции по сравнению со всеми остальными.

Строгое определение наибольшего и наименьшего значения функции будет дано в старших классах.

На синем графике наибольшего значения нет, т.к. график бесконечен в положительном направлении оси Оу. А наименьшее значение равно . Записывается это так: .

На зелёном графике нет ни наибольшего, ни наименьшего значения функции.

1. На рисунках изображены части графиков нечётных функций. Достройте эти графики.

1. Какая из данных функций является чётной, а какая – нечётной:

Приведите необходимые обоснования.

1. Докажите, что – чётная функция, а – нечётная, если:

1. Является ли чётной или нечётной функция , если:

1. На рисунках изображены части графиков чётных функций. Достройте эти графики.

1. Постройте график функции , зная, что при её значения могут быть найдены по формуле:

1. Известно, что функция – чётная и она обращается в нуль при и . Укажите другие значения аргумента, при которых .

1. Известно, что функция – чётная и она принимает значения, равные нулю, при и . Укажите другие значения аргумента, при которых .

1. Известно, что уравнение , где – нечётная функция с областью определения , имеет положительные корни и . Найдите неположительные корни уравнения.

1. Известно, что уравнение , где – нечётная функция с областью определения , имеет положительные корни и . Найдите неположительные корни уравнения.

1. Линейная функция является нечётной. Найдите значение .

1. Функция , где – некоторое число, является чётной. Найдите значение .

1. Известно, что и – нечётные функции. Верно ли утверждение, что нечётной является функция , если:

   Известно, что и – нечётные функции. Верно ли утверждение, что чётной является функция , если: Представьте каким-либо способом функцию в виде суммы чётной и нечётной функций, если:

   1. Функция , область определения которой – промежуток , задана графиком на рисунке. Укажите промежутки, на которых эта функция возрастает и на которых убывает.

   

   1. Функция , область определения которой – промежуток , задана графиком на рисунке. Укажите промежутки, на которых эта функция возрастает и на которых убывает.

   1. Какая из линейных функций и является возрастающей, убывающей и почему?

   1. Докажите, что функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке .

   1. Докажите, что функция является возрастающей на промежутке и убывающей на промежутке .

   1. Укажите промежутки возрастания и убывания функций .

   1. Определите характер монотонности функций и . Докажите, что функция возрастающая, а функция — убывающая.

   1. Известно, что функция является монотонной и что уравнение имеет корень, равный . Имеет ли это уравнение другие корни?

   1. Известно, что уравнение , где – монотонная функция, имеет корень, равный . Имеет ли это уравнение другие корни?

   1. Известно, что функция возрастает на промежутке . При каких значениях, принадлежащих этому промежутку, верно неравенство:

      Известно, что функция убывает на промежутке . При каких значениях, принадлежащих этому промежутку, верно неравенство: Известно, что функции и – убывающие. Является ли убывающей функция , если: Известно, что функции и – возрастающие. Является ли возрастающей функция , если: Известно, что функция определена на множестве и возрастает на промежутке , где . Как изменяется эта функция на промежутке , если:

      1. – функция нечётная?

   2. Известно, что функция определена на множестве и убывает на промежутке , где . Как изменяется эта функция на промежутке , если:

      1. – функция нечётная?

   3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

      1. ;

   4. Укажите значение аргумента, при котором функция принимает наименьшее значение. Существует ли наибольшее значение этой функции?

      1. Укажите значение аргумента, при котором функция принимает наибольшее значение. Существует ли наименьшее значение этой функции?

      1. Найдите область определения функции:

      1. Найдите нули функции и области положительных и отрицательных значений, если:

      1. Изобразите схематически график функции , зная результаты исследования функции:

      3. функция является непрерывной и нечётной;

      4. при

      5. функция возрастает на промежутке .

      1. Изобразите схематически график функции , зная результаты исследования функции:

      3. функция является непрерывной и чётной;

      4. при при

      5. функция возрастает на промежутке .

      1. С помощью графика определите свойства функции:

      1. область определения функции;

      2. область значений функции;

      3. нули функции;

      4. промежутки знакопостоянства;

      5. чётность функции;

      6. монотонность функции (промежутки возрастания и убывания);

      7. наибольшее и наименьшее значение функции.

      1. Определить свойства функций, заданных формулами:

      1. С помощью графика определите свойства функции:

      1. область определения функции;

      2. область значений функции;

      3. нули функции;

      4. промежутки знакопостоянства;

      5. чётность функции;

      6. монотонность функции (промежутки возрастания и убывания);

      7. наибольшее и наименьшее значение функции.

      1. Найдите нули функции (если они существуют):

      1. С помощью графика определите свойства функции:

      1. область определения функции;

      2. область значений функции;

      3. нули функции;

      4. промежутки знакопостоянства;

      5. чётность функции;

      6. монотонность функции (промежутки возрастания и убывания);

      7. наибольшее и наименьшее значение функции.

      1. Постройте график функции и опишите её свойства.

      1. Постройте график функции и опишите её свойства.

      1. Выясните свойства функции

      1. Выясните свойства функции

      1. С помощью графика определите свойства функции:

      1. область определения функции;

      2. область значений функции;

      3. нули функции;

      4. промежутки знакопостоянства;

      5. чётность функции;

      6. монотонность функции (промежутки возрастания и убывания);

      7. наибольшее и наименьшее значение функции.

      1. Дана функция . При каких значениях аргумента ? Является ли эта функция возрастающей или убывающей?

      1. Дана функция . При каких значениях аргумента ? Является ли эта функция возрастающей или убывающей?

      1. Дана функция . При каких значениях аргумента ? Является ли эта функция возрастающей или убывающей?

      1. Дана функция . При каких значениях аргумента ? Является ли эта функция возрастающей или убывающей?

      12

1. Нули функции и промежутки знакопостоянства

Нулем
функцииназывается такое значениеее аргумента, при котором значение
функции равно нулю:.

Множество нулей функции
–
это следующее множество:

.

Промежутком
знакопостоянства функции

называется промежуток значений ее
аргумента, входящий в ООФ,
во всех точках которого функция принимает
значения одного знака: или
.

Множества промежутков знакопостоянства
функции
обозначаются следующим образом:

,.

Пример
2 (нули
и промежутки знакопостоянства функции)

Найти
множества нулей и промежутков
знакопостоянства заданных функций:

1)
2)

Решение

1)

ООФ:
;

данная функция имеет два нуля, которые
разбивают ее ООФ на промежутки
знакопостоянства функции:

знак функции на каждом из обозначенных
промежутков можно определить по
точке-представительнице промежутка,
если вычислить знак значения функции
в этой точке:




при
;

при
;

при
;

при
;

Таким
образом, получено, чтоприили;

при;при;

Нули функции и промежутки ее знакопостоянства
вместе с ООФдают первичную информацию
о расположении графика функции на
координатной плоскости
:

точки ипринадлежат графику; прямая графиком не пересекается; график будет расположен выше оси при и , ниже оси при и .

2)
ООФ:
;

,
следовательно, функция имеет два нуля;

промежутки знакопостоянства функции:

приилиx= 1;при;при.

Ответ:

1)

2)

1. Четность, нечетность функций

Функцияназываетсячетной
функцией, если выполняются
следующие два условия:

График четной функции всегда имеет
осевую симметрию относительно оси
функции (рис.45).

Функция
называетсянечетной функцией,
если выполняются следующие два условия:

График нечетной функции всегда имеет
центральную симметрию относительно
начала координат (рис.46).

Рис.45
Рис.46

Пример
3 (исследование
функций на четность)

Исследовать
следующие функции на четность:

1)
;
2)
;
3)
;
4)
.

Решение

1)
;

ООФсимметрична относительно точкиx = 0;

вычисляем
,
используя четность основных элементарных
функций
и
:;

равенство
выполняется для
,
поэтому данная функция является четной,
ее график будет симметричным относительно
осиOY;

2)

ООФявляется симметричной относительно
точкиx = 0;

вычисляем
,
учитывая, что
,
:

равенство
выполняется при
,
поэтому данная функция является нечетной
и ее график будет иметь центральную
симметрию относительно начала координат;

3)
– есть симметрияООФотносительно
точкиx = 0;

вычисляем
:

здесь не выполняется ни одно из равенств

или
,
поэтому данная функция не является ни
четной, ни нечетной, следовательно,
симметрию её графика предсказать нельзя;

4)

ООФне является симметричной
относительно точкиx
= 0, поэтому свойством четности или
нечетности эта функция обладать не
может. Следовательно, она относится к
функциям общего вида, которые не являются
ни четными, ни нечетными.

Ответ:1) функцияявляется четной;

2) функция
является нечетной;

3) функция
не является ни четной, ни нечетной;

4) функция
не
является ни четной, ни нечетной.

1. Периодичность функции

Функцияназываетсяпериодической
функцией, если существует
число
,
такое что верно равенство

График периодической функции имеет
повторяющиеся участки на каждом
промежутке длинойT.
Наименьшее из чиселTназываетсянаименьшим
периодом функции. По
умолчанию буквойТобозначают именно
наименьший период (рис.47).

Рис.47

Исследование периодической функции и
построение ее графика следует проводить
на промежутке, длина которого равна
наименьшему периоду функции; этот
промежуток часто называютосновным
промежутком для периодической функции.

Ниже перечислены некоторые свойства
периодических функций:

1. Периодическая функция не может быть
   задана на множестве, ограниченном
   сверху или ограниченном снизу.

Например, функция,не является периодической.

1. Если число
   является периодом функции,
   то число,
   где,
   также является ее периодом.

Например, функция,
является периодической, её наименьший
периоди
числа,также являются ее периодами.

1. Если число
   – это наименьший период функции,
   то функцияявляется также периодической и ее
   наименьший период равен числу.

Например, функция,является периодической и ее наименьший
период равен.

1. При сложении двух периодических функций
   с одинаковыми ООФ получается
   периодическая функция, причем ее
   наименьший период делится нацело на
   и на
   ,
   где
   ,
   – это наименьшие периоды слагаемых.

Например,
–
периодическая с,– периодическая с– периодическая с,
так каки.

Примеры
4 (определение
периодичности функций)

1.

Является ли функция периодической?
Чему равен ее наименьший период?

Решение

Известно, что основная элементарная
функцияявляется периодической с наименьшим
периодом
.

Проверим равенство
для данной функции:

По выполнению равенства заключаем, что
данная функция является периодической
с периодом
.
Чтобы найти наименьший период, понизим
степень выражения
по известной тригонометрической формуле:
.

Тогда
.

Теперь имеем сумму двух периодических
функций:

,

,

,

периодом является любое положительное
число;

следовательно, данная функция
имеет наименьший период;
поэтому исследовать ее свойства и
строить график достаточно на основном
промежутке, например при
,
а затем сделать периодическое продолжение
на всюООФ.

Ответ:функция
является периодической с наименьшим
периодом.

2.

Является ли функция периодической?

Решение

Данная сложная функция не является
периодической, так как не является
периодической её промежуточная функция,
«искажающая» те значения аргументаx, для которых одинаковые
значения имела бы функция.

Для иллюстрации сказанного проверим
расположение нулей данной функции:

Имеем
множество всех нулей функции:

Видим, что нули функции располагаются
непериодически на оси OX.
Следовательно, данная функция не является
периодической (так как в противном
случае все её свойства, в том числе и
нули, повторялись бы периодически).

Ответ:
функцияне является периодической.

3.Укажите, какие из следующих функций
являются периодическими?

1)
;
2)
;

3)
; 4)
.

Решение

1. Функция
   периодической не является, так как
   равенство
   не выполняется, например, для точки,
   потому что точкаиз-за ограниченности снизуООФ(рис.48);

2) функция периодической не является,
так как равенство
не выполняется, например, для точки(рис.49);

Рис.48
Рис.49

3) функция является периодической с
наименьшим периодом
,
что хорошо видно по ее графику на рис.
50;

4) функция является периодической с
наименьшим периодом
,
что хорошо видно по ее графику на рис.
51;

Рис.
50 Рис.51

Ответ:периодическими являются только функции
3) и 4).