Как найти промежуточные монотонности функции

Е
сли
для всех точек отрезка

при

выполняется равенство

,
то функция

называется возрастающей
на

.

При
выполнении условий

,

функция

называется убывающей
на

.

Интервалы,
в которых функция

только
возрастает или только убывает, называются
интервалами
монотонности
функции.

П
ризнак
возрастания.
Дифференцируемая функция

возрастает на отрезке

тогда и только тогда, когда её производная

.

П
ризнак
убывания.
Дифференцируемая функция

убывает на отрезке

тогда и только тогда, когда её производная

.

В
точках, отделяющих интервалы монотонности
функции, производная функции обращается
в нуль или не существует. Эти точки
называются критическими.

Для
нахождения интервалов монотонности
функции

необходимо
найти все её критические точки и
установить знак производной в каждом
из интервалов, на которые критические
точки разбивают область существования
функции.

Пример
7.13.
Найдите интервалы монотонности функции

.

Ф
ункция
определена на всей числовой оси. Найдём
её производную.

.

Найдём
критические точки, приравняв производную
к нулю.

— критические.
Результаты исследования занесём в
таблицу:

	+				+

Т
аким
образом, функция

возрастает а интервалах

и

,
а убывает на интервале

.

§ 6. Экстремум функции. Необходимый признак.

Т
очка

называется точкой
максимума
(maximum)
функции

,
если значение функции в этой точке
больше её значений во всех точках
некоторого интервала, содержащего точку

,
т.е.

для любого

(

—
мало
по величине).

Т

очка

называется точкой
минимума
(minimum)
функции

,
если значение функции в этой точке
меньше её значений во всех точках
некоторого интервала, содержащего точку

,
т.е.

.

Точки,
в которых функция достигает максимума
или минимума, называются точками
экстремума
функции, а значения функции в этих точках
называют экстремальными.

Ф
ункция,
заданная кривой на рисунке выше, в точках

и

достигает максимума, в точках

и

—
минимума, в точке

—
экстремума нет. Очевидно, что функция
имеет производную, равную нулю в
критических точках. Касательная к кривой
в этих точках параллельна оси

.

Необходимый
признак экстремума.
Если дифференцируемая функция достигает
в некоторой точке экстремума, то её
производная в этой точке равна нулю или
не существует.

§ 7. Достаточные признаки экстремума функции.

П
ервый
достаточный признак.
Пусть функция

непрерывна в некотором интервале,
содержащем критическую точку

и дифференцируема во всех точках этого
интервала (кроме, быть может самой точки

).
Тогда, если:

а)

при

,

при

,
то в точке

функция

достигает максимума;

б)

при

,

при

,
то в точке

функция

достигает
минимума.

В
торой
достаточный признак экстремума.
Пусть функция

имеет
в точке

производную

и
непрерывную вторую производную

.
Тогда, если

в точке

будет максимум, а если

в точке

будет минимум.

Пример
7.14. В
примере 7.13 точки

являются точками экстремума. В точке

функция достигает максимума, в точке

функция достигает минимума.

Пример
7.15.
Издержки предприятия выражаются формулой

,
где

—
объём производства. При каком объёме
производства средние издержки будут
минимальными?

С
редние
издержки выражаются формулой

.
Найдем минимум этой функции.

.

.

Найдем
вторую производную функции.

,
значит, по второму достаточному признаку
экстремума при

средние издержки достигают минимума.

Соседние файлы в предмете Высшая математика

• #
• #

Как определить промежутки монотонности

Интервалом монотонности функции можно назвать промежуток, в котором функция либо только возрастает, либо только убывает. Ряд определенных действий поможет найти такие диапазоны для функции, что нередко требуется в алгебраических задачах подобного рода.

Инструкция

Первым шагом в решении задачи по определению интервалов, в которых функция монотонно возрастает или убывает, станет вычисление области определения данной функции. Для этого узнайте все значения аргументов (значения по оси абсцисс), для которых можно найти значение функции. Отметьте точки, в которых наблюдаются разрывы. Найдите производную функции. Определив выражение, которое представляет собой производную, приравняйте его к нулю. После этого следует найти корни получившегося уравнения. Не забывайте про область допустимых значений.

Точки, в которых функция не существует либо в которых ее производная равна нулю, представляют собой границы интервалов монотонности. Эти диапазоны, а также точки, их разделяющие, следует последовательно внести в таблицу. Найдите знак производной функции в полученных промежутках. Для этого подставьте в выражение, соответствующее производной, любой аргумент из интервала. Если результат положительный, функция в данном диапазоне возрастает, в обратном случае — убывает. Результаты вносятся в таблицу.

В строку, обозначающую производную функции f’(x), записывается соответствующий значениям аргументов символ: «+» — если производная положительна,«-» — отрицательна или «0» – равна нулю. В следующей строке отметьте монотонность самого исходного выражения. Стрелка вверх соответствует возрастанию, стрелка вниз – убыванию. Отметьте точки экстремума функции. Это точки, в которых производная равна нулю. Экстремум может быть либо точкой максимума, либо точкой минимума. Если предыдущий участок функции возрастал, а текущий убывает, значит это точка максимума. В случае, когда до данной точки функция убывала, а теперь возрастает – это точка минимума. Внесите в таблицу значения функции в точках экстремума.

Источники:

• что такое определение монотонность

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Общие сведения

Функцией вида р = f(r) называется зависимость ее значения от переменной величины «r» или аргумента. Функциональные тождества бывают простыми и сложными. К первым относится класс выражений, состоящих из одной переменной простого типа. Во втором случае содержится несколько аргументов или аргумент является также функцией, т. е. подчиняется определенному закону.

Монотонной называется функция, постоянно убывающая или возрастающая на заданном промежутке. Если она постоянно убывает или возрастает, то считается строго монотонной. Пусть дана функция р = f(r). Она дифференцируема на некотором интервале (а;b), является возрастающей или убывающей, когда справедливы равенства f(r1) <= f(r2) или f(r1) >= f(r2) соответственно. Кроме того, нужно учитывать, что r1 < r2 или r1 <= r2. Необходимо отметить, что точки r1 и r2 должны принадлежать (а;b).

Когда f(r) является строгой (только убывающей или возрастающей — постоянство), тогда знак «<=» или «>=» следует заменить на строгий «<» или «>»: f(r1) < f(r2) или f(r1) > f(r2) соответственно. Вышеописанные понятия можно записать математическим способом, который считается более компактным:

1. Возрастающая: ∀ r1, r2 ∈ (a;b): r1 < r2 ⇒ f(r1) <= f(r2). Расшифровывается запись таким образом: для любых (∀) точек r1 и r2, принадлежащих (∈) интервалу (a;b), при условии, что r1 < r2, следует (⇒) выполнение неравенства f(r1) <= f(r2).
2. Строго возрастающая: ∀ r1, r2 ∈ (a;b): r1 < r2 ⇒ f(r1) < f(r2).
3. Убывающая: ∀ r1, r2 ∈ (a;b): r1 > r2 ⇒ f(r1) >= f(r2).
4. Строго убывающая: ∀ r1, r2 ∈ (a;b): r1 > r2 ⇒ f(r1) > f(r2).

Следует отметить, что промежутками монотонности функции называются интервалы, на которых она возрастает или убывает. После определений необходимо рассмотреть основные теоремы, позволяющие использовать соотношения для решения различных задач.

Теорема о пределе

Теорема о пределе монотонной функции применяется для решения задач по высшей математике с использованием пределов. Ее формулировка следующая: если функция вида р = f(r) является дифференцируемой и монотонной на интервале (а;b), то в точке r0, принадлежащей заданному интервалу, она имеет конечные пределы с левой и правой стороны, а в точках r0 = a и r0 = b у нее существуют правосторонние и левосторонние границы.

Чтобы доказать утверждение, следует задать некоторую функцию, которая является монотонной. Кроме того, она должна возрастать на некотором интервале [а;b]. После этого нужно выбрать любую точку r0 ∈ (a;b]. В результате этого для ∀ r ∈ [a;r0) ⇒ f(r) <= f(r0) ⇒ f(r) ограничена сверху на [a;r0) ⇒ при существующих (∃ — знак существования) верхних границах (sup) функции f(r) = M <= f(r0). По определению для ∀ r ∈ [a;r0) ⇒ f(r) <= M.

Следует предположить, что существует некоторая переменная «e», которая больше нуля. Она также определена на текущем интервале. Следовательно, выполняется неравенство М — е < f(e). Пусть q = r0 — e и t — значение r0 c левой границей 0 — q. Если выполняется условие ∀ r ∈ (е;r0) = (t;r0), то f(e) <= f(r). В итоге получается, что ∀ е > 0 ∃ q > 0 для r ∈ (t;r0): М — е < f(e) < f(r) <= M < M + e. Следовательно, |f(r) — M| < e. Левый предел, в котором х стремится к точке r0: lim [f(r)] |(r -> r0 — 0) = M. Отсюда следует такое соотношение: f(r0 — 0) = sup f(r), a <= r < r0.

Таким же образом доказывается правосторонний предел в точке r0 ∈ [a;b). Получается такое соотношение: f(r0 + 0) = inf f(r), r0 < r <= b. Теорема доказана. Кроме того, существуют следствия, полученные при доказательстве утверждения о пределе:

1. Возрастание: f(r0 — 0) = lim [f(r)] |(r -> r0 — 0) <= lim [f(r)] |(r -> r0 + 0) = f(r0 + 0).
2. Убывание: f(r0 — 0) = lim [f(r)] |(r -> r0 — 0) >= lim [f(r)] |(r -> r0 + 0) = f(r0 + 0).

Чтобы понять математические обозначения sup и inf, необходимо представить множество значений функции. Первый термин обозначает максимальное значение сверху, а второй — минимальное снизу.

Критерии возрастания и убывания

Существуют определенные признаки, по которым можно определить монотонность функции p = f(r) на некотором интервале (а;b). Для этого в математике есть еще три теоремы:

• Для убывающей и возрастающей.
• Если является строго убывающей или строго возрастающей.
• Определение по точке, производной и интервалу.

Первая теорема имеет такую формулировку: дифференцируемая функция p = f(r) на интервале (а;b) является убывающей, когда выполняется неравенство f'(r) <= 0, а также возрастающей при f'(r) >= 0 соответственно (при r ∈ данному интервалу).

Формулировка следующего утверждения только для строго возрастающей монотонной функции. В первом случае должно выполняться не одно, а два условия: f'(r) > 0 и f'(r) тождественно не эквивалентна нулю на промежутке в любой точке, принадлежащей интервалу. Для строго убывающей условия немного отличаются от предыдущих: f'(r) < 0 и производная f'(r) также не равна нулевому значению на указанном промежутке. Третья теорема позволяет определить характер монотонности p = f(r) в заданной точке r0 ∈ (а;b). Существует два варианта соотношений: для убывающей f'(r0) < 0 и возрастающей: f'(r0) > 0.

Основные свойства

Для функций на интервале (а;b) существуют некоторые утверждения, позволяющие исследовать составные выражения, а также решать различные задачи. К свойствам монотонных функций относятся следующие:

• Сумма двух убывающих (возрастающих) k = f(t) и l = f(v) является возрастающим (убывающим) выражением.
• Если k = f(t) возрастает, то -k = f(t) (противоположная) будет убывать. При убывании первой вторая будет возрастать соответственно.
• Когда у k = f(t) есть обратная вида k2 = 1 / f(t), тогда при убывании первой вторая будет возрастать. Если первая возрастает, то вторая убывает.
• Результатом произведения двух убывающих (возрастающих) является убывающая функция. Также должны выполняться такие условия: k = f(t) >= 0 и l = f(v) >= 0.
• Если k = f(t) возрастает или убывает на (а;b), а l = f(t) возрастает или убывает на (c;d), и (а;b) входит в (c;d), то композиция функций к∘ l (k(l(t))) также возрастает или убывает.

После изучения теорем и основных свойств нужно определить минимум базовых знаний, которые необходимы для исследования на монотонность любого выражения. Кроме того, следует знать графики некоторых функций. Для их построения можно использовать специальные онлайн-калькуляторы и программы, позволяющие выделять результаты разными цветами.

Базовые знания

Для исследования функции на монотонность специалисты рекомендуют руководствоваться некоторыми правилами, которые объединяются в универсальный алгоритм. Он является достаточным для выполнения такого задания и имеет следующий вид:

• Найти производную первого порядка — f'(r).
• Приравнять выражение, полученное в первом пункте, к 0.
• Найти критические точки, решив уравнение во втором пункте.
• Определить знак f'(r) на промежутках, полученных в результате разбиения критическими точками. Найти промежутки убывания и возрастания.

Последний пункт следует реализовывать при помощи таблицы. Необходимо строго придерживаться алгоритма, поскольку неверные действия способны существенно повлиять на результат.

Нахождение производной

Для поиска производной необходимо выполнить такие шаги: вынести константу, упростить выражение и воспользоваться таблицей дифференциалов элементарных функций (рис. 1). Первые два элемента считаются подготовительными, поскольку позволяют оптимизировать процесс вычисления. Для упрощения следует применять формулы сокращенного умножения, свойства дробей, разложение на множители и т. д. После приведения выражения к упрощенному виду нужно воспользоваться таблицей производных элементарных функций.

Рисунок 1. Дифференциалы простых выражений.

Однако при решении задач не всегда попадаются простые выражения. Для составных существуют определенные правила:

• Сумма: [k(t) + l(t)]’ = k'(t) + l'(t).
• Разность: [k(t) — l(t)]’ = k'(t) — l'(t).
• Произведение: [k(t) * l(t)]’ = k'(t) * l(t) + l'(t) * k(t).
• Частное: [k(t) / l(t)]’ = [k'(t) * l(t) — l'(t) * k(t)] / (l(t))^2.
• Сложная: [k(l(t))]’ = l'(t) * k'(t).

Специалисты рекомендуют для проверки использовать программы, но это не значит, что задачи должны решаться только с помощью онлайн-сервисов и математических пакетов.

Корни уравнений и критические точки

Следующим этапом является решение равенства с неизвестным. Необходимо отметить, что уравнения делятся на следующие виды: линейные, квадратные, кубические, биквадратные, тригонометрические, логарифмические, степенные, показательные и иррациональные.

Первый тип решается по очень простому алгоритму: следует перенести неизвестные в одну часть, а известные — в другую. Для решения квадратного уравнения (aw^2 + bw + c = 0) нужно его упростить, разложить на множители или вычислить дискриминант. Последний вычисляется по следующей формуле: D = b^2 — 4ac. Количество корней зависит от значения D и определяется по таким формулам:

1. Два решения при D > 0: w1 = (-b — [D]^(1/2)) / 2a и w2 = (-b + [D]^(1/2)) / 2a.
2. D = 0 (одно): w = (-b) / 2a.
3. Нет корней, когда D < 0.

Используя метод разложения на множители, можно решить без D. Например, в выражении x(x-1)(x-4) = 0 рассматривается три уравнения: x1 = 0, х2 -1 = 0 и х3 — 4 = 0. Решение кубических и биквадратных равенств с неизвестной осуществляется методом разложения на множители. При этом понижается степень до 2, а дальше находятся его корни.

Для нахождения корней других уравнений следует воспользоваться заменой, а затем свести к линейному или квадратному. Следует отметить, что решая трансцендентные (логарифмы и показатели), следует знать правила логарифмирования и свойства степени. Корни также находятся при помощи замены.

Критическими называются точки, в которых функция меняет свое поведение (четность, периодичность, экстремумы и т. д.). При исследовании они записываются в специальную таблицу поведения в виде промежутков.

Пример решения

Задачи бывают нескольких типов. В одних следует найти промежутки монотонности, а во-вторых — доказать на основании теорем, что она возрастает или убывает на заданном промежутке. Например, необходимо найти промежутки монотонности функции z(y) = (y^2 + 1) / y. Следует отметить, что она является дифференцируемой. Ее область определения D(z) = (-бесконечность;0) U (0;+бесконечность). Решать ее нужно по алгоритму:

• Производная: [(y^2 + 1) / y]’ = (y^2 — 1) / y.
• Приравнять к 0: (y^2 — 1) / y = 0.
• Найти корни — критические точки (y — 1)(y + 1) / y = 0: y1 не равен 0, y2 = 1 и у3 = — 1.
• Построить таблицу.

y	(-infinity;-1)	(-1;0)	(0;1)	(1;+infinity)
z’	—	+	—	+
z	У	В	У	В

Таблица 1. Интервалы монотонности.

Если функция является четной, то эта особенность не влияет на результат, поскольку ее производная может быть с отрицательным знаком. Примером является обычный тригонометрический косинус.

Таким образом определение монотонности функции на заданном промежутке является одним из элементов исследования ее поведения. Для осуществления этой операции применяются специальный алгоритм, теоремы и свойства.