Как найти промежуток возрастания функции алгебра

Чтобы определить характер функции  и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров  и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Возрастание и убывание функции на интервале

Функция y=f(x) будет возрастать на интервале x, когда при любых x1∈X и x2∈X , x2>x1неравенство f(x2)>f(x1) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y=f(x) считается убывающей на интервале x, когда при любых x1∈X, x2∈X, x2>x1  равенство f(x2)>f(x1) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть (a;b), где х=а, х=b, точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x.

Основные свойства элементарных функций типа y=sinx – определенность и непрерывность  при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале -π2; π2, тогда возрастание на отрезке имеет вид -π2; π2.

Точки экстремума, экстремумы функции

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [a;b]. Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х=b.

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

• когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на -, значит, точка называется максимумом;
• когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком с — на +, значит, точка называется минимумом.

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

• найти область определения;
• найти производную функции на этой области;
• определить нули и точки, где функция не существует;
• определение знака производной на интервалах;
• выбрать точки, где функция меняет знак.

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x0, этим и упрощает вычисление.

Второй признак экстремума функции

Если задана функция f'(x0)=0, тогда при ее f»(x0)>0 получаем, что x0 является точкой минимума, если f»(x0)<0, то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x0.

Третье достаточное условие экстремума

Функция y=f(x) имеет ее производную до n-го порядка  в ε окрестности заданной точки x0 и производную до n+1-го порядка в точке x0. Тогда f'(x0)=f»(x0)=f»'(x0)=…=fn(x0)=0.

Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x0 точка экстремума, причем f(n+1)(x0)>0, тогда x0 является точкой минимума, f(n+1)(x0)<0, тогда x0 является точкой максимума.

Что такое возрастание функции

В начале прочитаем определение возрастания функции.

Определение сложно понять без наглядного примера.
Поэтому сразу перейдём к разбору задачи на возрастание функции.

По-другому можно сказать, что, если каждому бóльшему значению « x »
соответствует бóльшее значение « y », значит,
функция « y(x) » возрастает.

x2 > x1 y( x2 ) > y( x1 )

Обязательное условие возрастания функции

Давайте разберем определение возрастания функции на конкретном примере.

Разбор примера

Возрастающей или убывающей является функция « y = 9x − 4 » ?

Для начала определим
область определения функции
« y = 9x − 4 ».

y = 9x − 4
D(y): x ∈ R ,
то есть « x » —
любое действительное число.

Построим график функции
« y = 9x − 4 ».
Так как функция
« y = 9x − 4 »
линейная, ее график — прямая.

Используем правила построения графика линейной функции. Нам достаточно найти две точки, чтобы построить ее график.

Область определения функции
« y = 9x − 4 » — все действительные числа,
поэтому можно подставить любое число вместо « x » и вычислить « y » по
формуле функции
« y = 9x − 4 ». Например, возьмем
« x = 0 ».

x = 0
y(x) = 9x − 4
y(0) = 9 · 0 − 4 = −4

Для второй точки возьмем « x = 1 ».

x = 1
y(x) = 9x − 4
y(1) = 9 · 1 − 4 = 5

Отметим две полученные
точки «(0; −4)» и «(1; 5)» на

координатной плоскости
и проведем через них прямую.

Докажем, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей своей области определения двумя способами: по ее графику и
аналитически
(по ее формуле).

Как определить по графику, что функция возрастает

По определению возрастания функции мы знаем, что
если « x » увеличивается,
то « y » тоже должен увеличиваться.

На рисунке ниже видно, что график функции « y = 9x − 4 »
«идет в гору». Другими словами, при увеличении « x »
↑ растет
значение « y » ↑.

В этом можно убедиться, если взять две любые точки на графике. Например, точки, по
которым мы построили график функции. Назовем эти точки:
« (·)A » и « (·)B ».

У первой точки « (·)A »
координаты:
x₁ = 0 ;   y₁ = − 4

У второй точки « (·)B » координаты:
x₂ = 1 ;   y₂ = 5

На примере точек « (·)A » и « (·)B » видно, что
при увеличении
« x ↑ ( x₂ > x₁ )»
растет
« y ↑ ( y₂ > y₁ ) ».
Поэтому график зрительно «идет в гору».

Как по формуле доказать, что функция возрастает

Вернёмся к нашей функции
« y = 9x − 4 ».

По графику мы поняли, что
функция « y = 9x − 4 » возрастает,
так как ее график «идет в гору».
Но как доказать по формуле, что функция
возрастает на всей своей области определения?

Формулировка выше не самая простая для понимания. Давайте разберем ее на практике.

По определению возрастания функции нам нужно доказать, что при
« x₂ > x₁ » увеличивается значение функции
« y( x₂ ) > y( x₁ ) ».

Но как нам найти значения функции
« y( x₁ )» и
«y( x₂ ) »?

Для нахождения « y( x₁ )» и
«y( x₂ ) »

достаточно подставить « x₁ » и
« x₂ » в исходную формулу « y = 9x − 4 ».

y( x₁ ) = 9x₁ − 4
y( x₂ ) = 9x₂ − 4

Теперь запишем обязательное условие возрастания функции.

x2 > x1 y( x2 ) > y( x1 )

Обязательное условие возрастания функции

Подставим в неравенство
« y( x₂ ) >
y( x₁ ) » полученные формулы

« y( x₁ ) = 9x₁ − 4» и
« y( x₂ ) = 9x₂ − 4 » .

y( x₂ ) > y( x₁ )
9x₂ − 4 > 9x₁ − 4

Упростим полученное
неравенство.

9x₂ − 9x₁ > − 4 + 4
9x₂ − 9x₁ > 0

Вынесем общий множитель
в левой части неравенства.

9(x₂ − x₁) > 0

Разделим левую и правую часть на «9».

При делении нуля на любое число получается ноль.

x₂ − x₁ > 0
x₂ > x₁

Мы доказали, что выполняется исходное условие возрастания функции «x₂ > x₁».
Отсюда следует, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей области определения.

В завершении вместо ответа следует написать фразу:
«Что и требовалось доказать».

---

Посмотрим другой пример, где требуется доказать, что функция возрастает.

Разбор примера

Доказать, что функция возрастает на всей области определения: y = 13x − 1

По аналогии с предыдущим примером составим неравенства, которые доказывают, что функция возрастает.

x2 > x1 y( x2 ) > y( x1 )

Обязательное условие возрастания функции

Вместо « y( x₁ )» и
«y( x₂ ) » запишем
формулу функции « y = 13x − 1 » и упростим полученное неравенство.

Что и требовалось доказать.

Что такое убывание функции

Как по графику понять, что функция убывает

Разбор примера

Доказать, что функция убывает на всей области определения: y = 1 − 3x

По определению убывания функции мы знаем, что,
если « x »
↑ растет, то
« y » ↓ должен уменьшаться.

Построим график функции
« y = 1 − 3x ». Ее график — прямая, поэтому нам будет достаточно двух точек.

Область определения функции
« y = 1 − 3x » — все действительные числа,
поэтому можно поставить любое число вместо « x » и вычислить « у » по
формуле функции
« y = 1 − 3x ». Например, возьмем
« x = 0 »
и « x = 1 ».

Построим график функции
« y = 1 − 3x » по полученным точкам
« (·)A » и « (·)B ».

На графике функции видно, что зрительно график «спускается с горы», то есть функция убывает. Другими словами, при увеличении
« x »
↑ уменьшается
значение
« y » ↓.

Как по формуле доказать, что функция убывает

Вернёмся к нашей функции
« y = 1 − 3x ».

По ее графику мы поняли, что функция убывает, так как график «спускается с горы». Но как доказать по формуле,
что функция « y = 1 − 3x » убывает на всей области определения?

Давайте разберем на примере функции
« y = 1 − 3x ». Докажем, что она убывает
на всей своей области определения.

x2 > x1 y( x2 ) < y( x1 )

Обязательное условие убывания функции

Подставим « y( x₁ )» и
«y( x₂ ) » в
формулу функции « y = 1 − 3x » и упростим полученное неравенство.

Умножим на « −1 » левую и правую часть неравенства. При
умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства поменяется на
противоположный.

−x₂ < −x₁ | · (−1)

x₂ > x₁

Что и требовалось доказать.

Как по графику функции определить
возрастание и убывание

Потренируемся только по графику функции определять промежутки возрастания и убывания функции.

Разбор примера

На рисунке ниже изображён график функции, определенной на множестве действительных чисел.
Используя график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Отметим с помощью штриховых линий промежутки, где график функции убывает
(«спускается с горы») и где он возрастает («идет в гору»).

Запишем через знаки неравенств,
какие значения принимает « x » на полученных промежутках.
Обратите внимание, что во всех случаях при указании промежутков, мы указываем, что их
концы входят в промежуток, то есть используем знаки нестрогого неравенства.

Остаётся записать полученные промежутки возрастания и убывания функции в ответ.

Ответ:

• функция убывает при
     x ≤ −2;     0 ≤ x ≤ 3,5
• функция возрастает при
      −2 ≤ x ≤ 0 ;     x ≥ 3,5

Более грамотно будет записать ответ с помощью специальных
математических символов.

Ответ:

• функция убывает на промежутках    
  x ∈ (−∞ ; −2] ∪ [0; 3,5]
• функция возрастает на промежутках     x ∈ [−2 ; 0] ∪ [3,5 ; +∞]

При каких значениях
« m »
функция является убывающей или возрастающей

Ещё один тип заданий, в которых требуется определить,
при каких
« m » ( « а, b » или других буквах) функция убывает или возрастает.

Разбор примера

При каких значениях « m » функция

« y = mx − m − 3 + 2x » является убывающей?

Обратимся снова к определению убывания функции. Вспомним, как записать условия убывания функции с точки зрения формул.

x2 > x1 y( x2 ) < y( x1 )

Обязательное условие убывания функции

Запишем эти условия, используя формулу функции « y = mx − m − 3 + 2x », заданную в
задаче. Вместо
« x »
подставим « x₁ » и « x₂ ».

Упростим полученное неравенство. Перенесем из правой части все члены неравенства в левую часть с противоположными знаками.

mx₂ − m − 3 + 2x₂ − mx₁
+ m
+ 3
− 2x₁
< 0

Упростим полученное выражение. Некоторые члены неравенства взаимоуничтожатся.

mx₂ − mx₁
− m + m − 3 + 3 + 2x₂ − 2x₁

< 0

mx₂ − mx₁ + 2x₂ − 2x₁

< 0

Вынесем общие множители за скобки.

m( x₂ − x₁) + 2(x₂ − x₁)

< 0

Теперь
вынесем общий множитель

« ( x₂ − x₁ ) ».

( x₂ − x₁) (m + 2)

< 0

Вспомним обязательное условие убывания функции.

x2 > x1 y( x2 ) < y( x1 )

Обязательное условие убывания функции

Преобразуем исходное условие убывания функции « x₂ > x₁ ».
Перенесем все в левую часть.

x₂ > x₁

x₂ − x₁ > 0

По условию убывания функции
« x₂ − x₁ > 0 »,
значит, чтобы
произведение
«( x₂ − x₁) (m + 2)

» было меньше нуля, требуется, чтобы множитель «(m + 2)» был меньше нуля. Так как по
правилу знаков:
плюс на минус даёт минус.

+	·	−	< 0
(x2 − x1)	·	(m + 2)	< 0

Решим полученное неравенство.

m + 2 < 0
m < −2

Ответ: при «m < −2» функция
« y = mx − m − 3 + 2x »
является убывающей.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №15. Возрастание и убывание функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение промежутков монотонности функции,

2) Определение алгоритма нахождения промежутков возрастания и убывания функции,

3) Решение задачи на нахождения промежутков возрастания и убывания функции

Глоссарий по теме

Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = f(x)

1. Найти D(f)
2. Найти f‘(x).
3. Определить, при каких значениях хf‘(x) ≥ 0 (на этих промежутках функция возрастает); при каких значениях х f‘(x) ≤ 0 (на этих промежутках функция убывает))

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х₁ и х₂ из этого промежутка из неравенства х₁< х₂ следует неравенство f(x₁) <f(x₂)

2. Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется убывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х₁ и х₂ из этого промежутка из неравенства х₁< х₂ следует неравенство f(x₁) >f(x₂)

Теоремы

1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f‘(x) ≥ 0 (причем равенство f‘(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек),то функция y = f(x) возрастает на промежутке Х.
2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f‘(x) ≤ 0 (причем равенство f‘(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек),то функция y = f(x) убывает на промежутке Х.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Определите промежутки монотонности функции

у = -3х³ + 4х² + х – 10.

Решение

1.Найдем область определения функции.

D(y) =

2.Найдем производную функции.

y’ = (x – 1)(-9x – 1)

3.Определим, на каких промежутках производная положительна (на этих промежутках функция возрастает), на каких – отрицательна (на этих промежутках функция убывает).

Применим для этого метод интервалов. Для определения знака на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

Так как на интервале производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как на интервале производная функции положительна, то на этом интервале функция возрастает.

Так как на интервале производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как в точках функция непрерывна, то эти точки входят в промежутки возрастания и убывания данной функции.

Следовательно, функция возрастает на ; функция убывает на и на .

Ответ: Функция возрастает на

Функция убывает на и на .

№2. Определите промежутки монотонности функции

у = х⁵–5х⁴ +5х³ – 4.

Решение:

1. 
2. 

y‘ =

1. Функция возрастает на ; функция убывает на .

Ответ: Функция возрастает на ;

функция убывает на .

Каждый из нас встречался с разными графиками, как на уроках, так и в жизни. Например, рассматривали, как изменяется температура воздуха в определенный период времени.

На рисунке видно, что температура воздуха была отрицательной с 0 часов до 6 часов, а также с 20 до 24 часов. Еще можем сказать, что температура повышалась до 14 часов, а затем понижалась. То есть по данному графику мы смогли определить некоторые свойства зависимости температуры воздуха от времени суток.

Остановимся подробнее на свойствах функций.

Нули функции

Определение

Нули функции – это значение аргумента, при которых функция обращается в нуль. Если смотреть нули функции на графике, то берем точки, где график пересекает ось х.

На рисунке он пересекает ось х при х=-1; х=4; х=6. Эти точки пересечения выделены красным цветом.
Внимание!

Существует функция, которая не будет иметь нули функции. Это гипербола. Вспомним, что функция имеет вид у=k/x, где х не равное 0 число.

График функции у=k/x выглядит следующим образом:

По данному рисунку видно, что нулей функции не существует.
Как найти нули функции?

1. Для того чтобы найти нули функции, которая задана формулой, надо подставить вместо у число нуль и решить полученное уравнение.
2. Если график функции дан на рисунке, то ищем точки пересечения графика с осью х.

Рассмотрим примеры нахождения нулей функции.

Пример №1. Найти нули функции (если они существуют):

а) у= –11х +22

б) у= (х + 76)(х – 95)

в) у= – 46/х

а) Для нахождения нулей функции необходимо в данную формулу вместо у подставить число 0, так как координаты точки пересечения графика с осью х (х;0). Нам нужно найти значение х. Получаем 0 = –11х +12. Решаем уравнение. Переносим слагаемое, содержащее переменную, в левую часть, меняя знак на противоположный: 11х=22

Находим х, разделив 22 на 11: х=22:11

Получим х=2.

Таким образом, мы нашли нуль функции: х=2

б) Аналогично во втором случае. Подставляем вместо у число 0 и решаем уравнение вида 0=(х + 76)(х – 95). Вспомним, что произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. Таким образом, так как у нас два множителя, составляем два уравнения: х + 76 = 0 и х – 95 = 0. Решаем каждое, перенося числа 76 и -95 в правую часть, меняя знаки на противоположные. Получаем х = – 76 и х = 95. Значит, нули функции это числа (-76) и 95.

в) в третьем случае: если вместо у подставить 0, то получится 0 = – 46/х, где для нахождения значения х нужно будет -46 разделить на нуль, что сделать невозможно. Значит, нулей функции в этом случае нет.

Пример №2. Найти нули функции у=f(x) по заданному графику.

Находим точки пересечения графика с осью х и выписываем значения х в этих точках. Это (-4,9); (-1,2); 2,2 и 5,7. У нас на рисунке точки пересечения выделены красным цветом.

Промежутки знакопостоянства

Определение

Промежутки, где функция сохраняет знак (то есть значение y либо положительное на этом промежутке, либо отрицательное), называется промежутками знакопостоянства.

Рассмотрим по нашему рисунку, на какие промежутки разбивается область определения данной функции [-3; 7] ее нулями. По графику видно, что это 4 промежутка: [-3; -1), (-1;4), (4; 6) и (6; 7]. Помним, что значения из области определения смотрим по оси х.

На рисунке синим цветом выделены части графика в промежутках [-3; -1) и (4; 6), которые расположены ниже оси х. Зеленым цветом выделены части графика в промежутках (-1;4) и (6; 7], которые расположены выше оси х.

Значит, что в промежутках [-3; -1) и (4; 6) функция принимает отрицательные значения, а в промежутках (-1;4) и (6; 7] она принимает положительные значения. Это и есть промежутки знакопостоянства.

Пример №3. Найдем промежутки знакопостоянства по заданному на промежутке [-2; 10] графику функции у=f(x).

Функция принимает положительные значения в промежутках [-2; -1) и (3; 8). Обратите внимание, что эти части на рисунке выделены зеленым цветом.

Функция принимает отрицательные значения в промежутках (-1; 3) и (8; 10]. Обратите внимание на линии синего цвета.

Возрастание и убывание функции

Значения функции могут уменьшаться или увеличиваться. Это зависит от того, как изменяются значения х. Рассмотрим это свойство по рисунку.

На графике видно, что с увеличением значения х от -3 до 2 значения у тоже увеличиваются. Также с увеличением значения х от 5 до 7 значения у опять увеличиваются. Проще говоря, слева направо график идет вверх (синие линии). То есть в промежутках [-3; 2] и [5; 7] функция у=f(x) является возрастающей.

Посмотрим на значения х, которые увеличиваются от 2 до 5. В этом случае значения у уменьшаются. На графике эта часть выделена зеленым цветом. Слева направо эта часть графика идет вниз. То есть в промежутке [2;5] функция у=f(x) является убывающей.

Определение

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Даниил Романович | Просмотров: 16.1k