Как найти прообраз точки при аффинном преобразовании - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Добавил:

Yanus

Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Предмет:

Файл:

Скачиваний:

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

1.44 Mб

Скачать

Линейные
операторы, преобразующие плоскость
саму в себя (то есть линейные
операторы
вида
)
иимеющие
обратный,
играют важную с практической точки
зрения роль и потому выделяются в
специальный класс.

Определение

5.4.1.

Линейный
оператор
,
отображающий плоскостьP
саму на себя, с матрицей
,
для которой в любом базисе,
называетсяаффинным
преобразованием
плоскости.

Теорема

5.4.1.

Если
линейное преобразование аффинное в
некоторой декартовой системе координат,
то это преобразование будет аффинным
и в любой другой декартовой системе
координат.

Доказательство:

По
следствию 5.3.3. определитель матрицы
линейного оператора не зависит от
выбора базиса, поэтому для аффинности
линейного преобразования достаточно,
чтобы
хотя бы в одном базисе.

Теорема
доказана.

Теорема

5.4.2.

Каждое
аффинное преобразование имеет
единственное обратное, которое также
является аффинным.

Доказательство:

Поскольку
,
то матрицасуществует, единственна и невырожденная
(см. §5.1.), а, в силу теоремы 1.1.2., система
линейных уравненийвсегда имеет единственное решениедля любого вектора.
Но это означает, что между образами и
прообразами аффинного преобразования
существует взаимно однозначное
соответствие, то есть длясуществует единственное обратное
аффинное преобразование, задаваемое
формулами,
где.

Теорема
доказана.

Для
выяснения геометрического смысла
числовых характеристик матрицы аффинного
преобразования переформулируем
определение 1.8.3. ориентации
пары неколлинеарных векторов
на плоскости, использовавшись операцией
векторного произведения.

Определение

5.4.2.

Пусть
есть некоторый нормальный вектор
плоскости,
направленный в сторону наблюдателя.
Тогда пару неколлинеарных векторовиназовемправо
ориентированной,
если существует
такое, чтои, соответственно, —лево
ориентированной,
если существует
такое, что.

Тогда
будет справедлива

Теорема
5.4.3.

1.
При аффинном преобразовании отношение
площади образа параллелограмма к
площади самого параллелограмма равно
абсолютной величине
.

2.
При аффинном преобразовании ориентация
образов пары векторов совпадает с
ориентацией прообразов, если
,
и меняется на противоположную, если

.

Доказательство:

Рассмотрим
некоторый базис образованный векторами
и,
образы которых при аффинном преобразованииесть соответственнои(рис. 5.4.1.), где, согласно следствию
5.3.2., коэффициентыиявляются элементами матрицы линейного
оператора,
то есть.

Рисунок
5.4.1.

По
свойству векторного произведения
(см. §2.4.) площадь параллелограмма
построенного на базисных векторах
и,,
а площадь параллелограмма построенного
на образах базисных векторов.
Поскольку

то
а ориентация пары векторовне меняется прии меняется на противоположную при.

Наконец
отметим, что полученные соотношения
будут выполнены для любого базиса, а,
значит, и для любого параллелограмма.

Теорема
доказана.

Теорема
5.4.4.

При
аффинном преобразовании всякий базис
переходит в базис, а для любых двух
базисов существует единственное
аффинное преобразование, переводящее
первый базис во второй.

Доказательство:

Пусть
аффинное преобразование задано
формулами

тогда
образами первой пары базисных векторов
будут векторы

А,
поскольку
,
то векторыилинейно независимы (теорема 1.6.2.) и из
них можно образовать базис.

Сопоставляя
определение 1.8.2. и следствие 5.3.1.,
замечаем, что, в том случае, когда базис
является образом базисапри аффинном преобразовании,
матрица перехода от базисак базису.
Но, поскольку для любой пары базисов
матрица перехода существует, единственна
и невырождена, то будет существовать
единственное аффинное преобразование,
переводящее первый базис во второй.

Теорема
доказана.

Рассмотрим
теперь вопрос о том, что происходит с
различными геометрическими объектами
на плоскости при аффинном преобразовании.

Теорема
5.4.5.

При
аффинном преобразовании образом
прямой линии является прямая.

Доказательство:

Пусть
даны прямая
,
гдеp
и
q
—
(не равные нулю одновременно) координаты
направляющего вектора прямой, и
аффинное преобразование
.
Тогда образом прямой будет множество
точек плоскости с координатами,
так как.
Заметим, что, если,
то мы имеем прямую.

Предположим
противное, пусть
,
но в силу аффинности преобразованияи, следовательно, по теореме 1.1.2.,естьединственное
решение этой системы уравнений, что
противоречит условию.

Теорема
доказана.

Теорема
5.4.6.

При
аффинном преобразовании образом
параллельных прямых являются
параллельные прямые, общая точка
пересекающихся прямых-прообразов
переходит в точку пересечения их
образов.

Доказательство:

Предположим,
что пара параллельных прямых переведена
аффинным преобразованием в пересекающиеся
или совпадающие прямые.

Рассмотрим
одну из точек, общих для образов прямых.
Поскольку аффинное преобразование
взаимно однозначно, то прообраз общей
точки единственный и должен принадлежать
одновременно каждой из прямых-прообразов.

Однако
таких точек нет, ибо прямые-прообразы
параллельны. Следовательно, образы
параллельных прямых также параллельны.

Если
же прямые-прообразы пересекаются, то
в силу взаимной однозначности аффинного
преобразования, образом их точки
пересечения может быть только точка
пересечения образов этих прямых.

Теорема
доказана.

Теорема
5.4.7

При
аффинном преобразовании сохраняется
деление отрезка в данном отношении.

Доказательство:

Пусть
точки
с координатамиявляются образами (рис. 5.4.2.) точексоответственно с координатами.
И пусть дано, что,
и,
где,
нужно показать, что

и
.

M₃

M₂

M₁

Рисунок
5.4.2.

Если
аффинное преобразование задано в виде
,
то

Аналогично
показывается, что
.

Заметим,
что в ортонормированной системе
координат из полученных соотношений
следует равенство отношения длин
образов и отношения длин прообразов
отрезков, лежащих на одной прямой:

Теорема
доказана.

Отметим
также, что из теоремы 5.4.7. непосредственно
вытекает, что при аффинном преобразовании
отрезок прямой переходит в отрезок.

Теорема
5.4.8.

При
аффинном преобразовании отношение
длин образов двух отрезков, лежащих
на параллельных прямых, равно отношению
длин их прообразов.

Доказательство:

Пусть
дано, что
.
Проведем прямую,
параллельнуюM₄M₂.
Поскольку при аффинном преобразовании
образы параллельных прямых параллельны,
то в силу теоремы 5.4.6.
и— параллелограммы. (Рис. 5.4.3.). Следовательно,.

M₂

M₁
M₄

M₃

Рисунок
5.4.3.

Наконец
по теореме 5.4.7., получаем

Теорема
доказана.

Теорема
5.4.9.

При
аффинном преобразовании всякая
декартова система координат переходит
в декартову систему координат, причем
координаты образа каждой точки
плоскости в новой системе координат
будут совпадать с координатами
прообраза в исходной.

Доказательство:

M₂
M

Рисунок
5.4.4.

Пусть
исходная система координат образована
базисом
и началом координат.
Согласно теореме 5.4.4. при аффинном
преобразовании базис переходит в
базис. Дополняя преобразованный базис
образом начала координат,
мы получаем преобразованную систему
координат.

Пусть
в исходной системе координаты
точки-прообраза
сутьи,
а в преобразованной системе координаты
точки-образасутьи(рис. 5.4.4.), тогда в силу теоремы 5.4.7.
будут справедливы соотношения

После
естественного обобщения на случай
разных знаков получаем доказываемое
свойство.

Теорема
доказана.

Теорема

5.4.10.

Для
любой линии второго порядка, указанной
в формулировке теоремы 4.4.1. и не
являющейся пустым множеством:

—

при
аффинном преобразовании ее тип не
может измениться;

—
найдется аффинное преобразование,
переводящее ее в любую другую линию
второго порядка этого же типа.

Доказательство:

Рассмотрим
первое утверждение теоремы.

1.
В силу теорем 5.4.6. и 5.4.8. параллелограмм
вместе со своей внутренней частью
переходит в параллелограмм и, значит,
ограниченная кривая перейдет в
ограниченную. Отсюда следует, что
эллипсы и точки могут переходить
только в эллипсы и точки. С другой
стороны, точка не может переходить в
эллипс и наоборот, поскольку это
противоречит свойству взаимной
однозначности аффинного преобразования.

2.
Среди линий второго порядка только
гиперболы и параллельные прямые имеют
несвязанные ветви, то есть существует
прямая, не пересекающая линию второго
порядка такая, что ветви этой линии
расположены по разные стороны от
прямой. Сохранение данного свойства
при аффинном преобразовании очевидно.
Параллельные же прямые не могут перейти
в ветви гиперболы в силу теоремы 5.4.6.

3.
Среди непрямых линий второго порядка
только парабола является неограниченной,
связной кривой. Следовательно, при
аффинном преобразовании парабола
может перейти только в параболу.

4.
Если линия второго порядка есть точка,
прямая или же пара параллельных или
пересекающихся прямых, то из утверждения
теорем 5.4.5. и 5.4.6. вытекает, что их тип
не может измениться.

Рассмотрим
второе утверждение теоремы.

Из
теорем 4.4.1. и 5.4.1. следует, что для каждой
линии второго порядка может быть
построено аффинное преобразование,
приводящее уравнение линии к одному
из следующих девяти видов:

(5.4.1.)

Но,
поскольку уравнения любой пары линий,
принадлежащих к одному и тому же типу,
приводятся двумя различными аффинными
преобразованиями к одному и тому же
виду из списка (5.4.1.), то в силу взаимной
однозначности аффинного преобразования
и очевидной аффинности произведения
аффинных преобразований следует
справедливость второго утверждения
теоремы.

Теорема
доказана.

Замечание:

изменение
при аффинном преобразовании типа
линии второго порядка оказывается
также невозможным и для случая «пустых
множеств». Справедливость этого
утверждения будет показана в §9.4.
(теорема 9.4.1.)

Теорема

5.4.11.

Для
всякого аффинного преобразования
существует пара взаимно ортогональных
направлений, которые переводятся
данным аффинным преобразованием во
взаимно ортогональные.

Доказательство:

Рассмотрим
ортонормированную систему координат.
Пусть пара исходных взаимно ортогональных
направлений задается в ней ненулевыми
векторами
ис координатными представлениямии.

Потребуем,
чтобы их образы (ненулевые в силу
аффинности)

были
также взаимно ортогональны. Условие
ортогональности векторов
ив базисеимеет вид

или

а
после переобозначения коэффициентов,

Рассмотрим
следующие случаи:

1)
.
В этом случае любая пара взаимно
ортогональных векторов данным
преобразованием переводится во взаимно
ортогональную пару векторов.

и
.
Тогда,
то есть искомая пара векторов — базисная.

3)
Наконец, если
,
то отношение координат векторовинаходится из квадратного уравнения,
имеющего действительные решенияпри любом ненулевомU.

Теорема
доказана.

Источник

Для начала: на чем основывается метод решения с
помощью аффинных преобразований?

Необходим некий краткий теоретический
материал для учащихся.

Сообщаем, что система координат не обязательно
должна быть прямоугольной. Если выбрать на
плоскости 3 точки , не лежащие на одной прямой, то они и
будут задавать аффинную систему координат, а
точка и
векторы и образуют
аффинный репер (базис).

Определение 1. Пусть в плоскостях и заданы два аффинных
репера и ,
соответственно. Отображение плоскости на плоскость называется аффинным
отображением плоскостей, если при этом
отображении точка с координатами в системе координат (репере ) переходит в
точку с теми
же координатами в системе координат (репере ).

Свойства аффинных преобразований:

1) По свойствам координат аффинное
преобразование является взаимно однозначным
отображением плоскости на плоскость:

— каждая точка имеет образ и притом только один;

— разные точки имеют разные образы;

— каждая точка области значений имеет прообраз.

2) Так как аффинное отображение сохраняет
координаты точек, то оно сохраняет уравнения
фигур. Отсюда следует, что прямая переходит в
прямую.

3) Преобразование, обратное к аффинному, есть
снова аффинное преобразование.

4) Точки, не лежащие на одной прямой, переходят в
точки, не лежащие на одной прямой, а, значит,
пересекающиеся прямые — в пересекающиеся прямые,
а параллельные – в параллельные.

5) При аффинных преобразованиях
сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на
одной или параллельных прямых.

6) Отношения площадей многоугольников также
сохраняются.

7) Не обязательно сохраняются отношения
длин отрезков непараллельных прямых, углы.

Замечание 1: Если А, В, С — три точки плоскости,
не лежащие на одной прямой, а — три другие точки, не лежащие на
одной прямой, то существует и притом только одно
аффинное преобразование, переводящее точки А, В,
С в точки .

Замечание 2: Параллельное проектирование
есть аффинное преобразование плоскости на
плоскость. Кстати эта тема “Параллельное
проектирование” присутствует в школьном
учебнике геометрии 10-11(2000) Л. С. Атанасяна в
приложении 1. В основном этот материал
используется тогда, когда мы учим изображать
пространственные фигуры на плоскости.

Чтобы представить, что могут аффинные
преобразования, посмотрим картинки. Учащимся
лучше всего именно наглядно показать применение
аффинных преобразований на отвлеченном предмете
и только потом переходить на геометрические
фигуры.

Частным случаем аффинных преобразований
являются преобразование подобия, гомотетия и
движения. Движения — это параллельные переносы,
повороты, различные симметрии и их комбинации.
Другой важный случай аффинных преобразований —
это растяжения и сжатия относительно прямой. На
рисунке 2 <Рисунок 2> показаны различные
движения плоскости с нарисованным на ней
домиком. А на рисунке 3 и 4 <Рисунок 3> <Рисунок
4>показаны различные аффинные преобразования
этой плоскости (параллельное проектирование).

А вот на следующей картинке <Рисунок 5> можно
объяснить суть метода.

Если перед вами стоит задача о вычислении
каких-то соотношений или пропорций на искаженном
рисунке, например: найти отношение длины ушей к
длине хвоста, то можно найти это отношение на
более удобном рисунке (неискаженном), что намного
проще, и найденное решение будет соответствовать
и искаженному рисунку в том числе. Но нельзя
искать отношение, например, длины ушей к толщине
зайца, т.к. это отрезки непараллельных прямых.

Теперь перейдем к геометрическим фигурам. Как
на них может работать этот метод?

Обычно, задачу можно решить методом аффинных
преобразований, если нужно найти отношение длин,
отношение площадей, доказать параллельность или
принадлежность точек одной прямой. Причем в
условии задачи не должны содержаться данные, не
сохраняющиеся при аффинных преобразованиях.

Свойства фигур называются аффинными, если они
сохраняются при аффинных отображениях. Например,
быть медианой треугольника- это аффинное
свойство (середина стороны переходит в
середину при аффинном отображении), а быть
биссектрисой – нет.

Суть метода при решении геометрических
задач.

Часто бывает удобно при решении задач на
аффинные свойства перейти с помощью аффинных
преобразований к более простым фигурам,
например, к правильному треугольнику. А затем с
помощью обратного аффинного преобразования
перенести полученный результат на искомую
фигуру.

Для начала можно решить всем известную задачу о
точке пересечения медиан треугольника.

Задача 1. Доказать, что медианы
произвольного треугольника пересекаются в одной
точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины. <Рисунок
6>

Решение (по алгоритму).

Пусть дан треугольник ABC. 1) Проверим аффинные
свойства фигуры. Треугольник (по замечанию 1)
является аффинной фигурой, быть медианой — это
тоже аффинное свойство и отношения длин отрезков
также сохраняется при аффинном отображении.

2) Значит, можно перейти к более удобной фигуре —
равностороннему треугольнику.

3) Возьмем равносторонний треугольник . У этого
треугольника медианы , пересекаются в одной точке (как высоты
или биссектрисы равностороннего треугольника) и
делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от
вершины. Действительно, и .
А отношение
из прямоугольного треугольника . Значит, .

4) Зададим аффинное отображение, переводящее
треугольник
в треугольник АВС. При этом отображении медианы
треугольника
переходят в медианы треугольника АВС и их точка
пересечения переходит в точку пересечения их
образов и она делит медианы произвольного
треугольника ABC в отношении 2:1, считая от вершины.

5) Утверждение для произвольного треугольника
доказано.

Задача 2. Доказать, что в любой трапеции
середины оснований, точка пересечения
диагоналей и точка пересечения продолжений
боковых сторон лежат на одной прямой.

Решение.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой M и N –
середины оснований, Q – точка пересечения
диагоналей, О – точка пересечения продолжений
боковых сторон. <Рисунок 7>

1) Проверим аффинные свойства фигуры. Трапеция —
аффинная фигура (так как трапеция переходит в
трапецию), принадлежность точек одной прямой
является аффинным свойством. Таким образом, и
условие, и вопрос задачи относятся к аффинному
классу задач. Значит, можно применить метод
аффинных преобразований.

2) Возьмем произвольный равнобедренный
треугольник .
Существует аффинное отображение, переводящее
точки А в , В в
, О в . При этом
аффинном отображении на отрезке существует точка — образ точки D, а
на отрезке —
точка (образ
точки С). Трапеция равнобокая.

3) Доказать сформулированную задачу для
равнобокой трапеции труда не составит (при чем не
одним способом).

4) Таким образом, доказав, что точки , , ,
лежат на одной прямой, применим свойство
аффинных отображений (отображение, обратное к
аффинному, есть снова аффинное отображение) и
поэтому точки O, M, Q, N также лежат на одной прямой
трапеции ABCD.

5) Доказанный факт справедлив и для
произвольной трапеции.

Примечание. Четырехугольники аффинно
эквивалентны тогда и только тогда, когда точка
пересечения диагоналей делит их в одном и том же
отношении.

Задача 3 (из диагностической работы по
подготовке к ЕГЭ-2010). Через точку О, лежащую в
треугольнике АВС, проведены три прямые,
параллельные всем сторонам треугольника. В
результате треугольник разбился на 3
треугольника и 3 параллелограмма. Известно, что
площади полученных треугольников равны
соответственно 1; 2.25 и 4. Найдите сумму площадей
полученных параллелограммов (задача из
диагностической работы по подготовке к ЕГЭ — 2010)

Решение, предложенное авторами <Рисунок 8>

Но эту задачу легко решить с помощью аффинных
преобразований.

Проверим аффинные свойства фигуры. Треугольник
является аффинной фигурой, параллельность также
относится к аффинным свойствам. Так как известны
площади, можно найти их отношение, которое будет
сохраняться при аффинных преобразованиях.
Пусть даны два треугольника: произвольный и
равносторонний. Решить задачу на равностороннем
треугольнике намного проще. Возьмем аффинное
отображение, переводящее произвольный
треугольник в равносторонний.
Решаем задачу на равностороннем. <Рисунок 9>

Треугольники, получившиеся внутри нашего
равностороннего, являются подобными (по 2 углам).
Следовательно, их площади относятся как квадрат
коэффициента подобия, обозначим — их стороны. Тогда и b=1,5, аналогично и . Сторона нашего равностороннего
треугольника будет равна . Его площадь можно найти,
например, по формуле . Чтобы найти сумму площадей
параллелограммов, надо из общей площади
треугольника вычесть сумму площадей всех
треугольников .

По свойствам аффинных отображений решение
справедливо и для произвольного треугольника.

Мы рассмотрели планиметрические задачи, но
свойства аффинных преобразований работают и в
пространстве. Например, образом тетраэдра может
служить произвольный заранее выбранный
тетраэдр. У любого параллелепипеда аффинным
образом может быть куб.

Задача 4 (стереометрическая). Докажите, что
диагональ
параллелепипеда проходит через точки пересечения
медиан треугольников и
и делится этими точками на три равных отрезка.

Это №372 из учебника Атанасяна (11 класс). В
учебнике дано ее решение векторным методом. Но
можно применить метод аффинных преобразований,
решив эту задачу на кубе уже в 10 классе.

В этой задаче с помощью аффинных
преобразований докажем равенство трех отрезков.

1) Проверим аффинные свойства фигуры и условия
задачи. Аффинным образом любого параллелепипеда
может быть куб. Деление отрезка в заданном
отношении – это аффинное свойство.

2) Рассмотрим одноименный куб , в котором диагональ проходит через
точки пересечения медиан треугольников и . <Рисунок 10>

3) Докажем, что диагональ делится этими точками
на три равных отрезка.

1. Рассмотрим пирамиду . В ней = =— ребра куба, а = = как диагонали равных граней, — точка
пересечения медиан треугольника, она же точка пересечения биссектрис,
следовательно, является центром вписанной
окружности, т.е. центром правильного
треугольника. — высота правильной пирамиды . Вычислим длину
,
предварительно взяв ребро куба за . Тогда = = =, а — радиус описанной
окружности. Найдем из треугольника . Тогда = .

2. Аналогично найдем =в
пирамиде .

3. Из треугольника находим диагональ куба =.

4. Вычислим =-(+)=.

5. Получили ==. Значит,
точки и делят
диагональ куба
на три равных отрезка.

4) Существует аффинное отображение, переводящее
куб в произвольный параллелепипед. Значит, эта
задача будет верна и для произвольного
параллелепипеда.

5) Обобщения. Какие свойства, доказанные на кубе,
сохранятся для произвольного параллелепипеда, а
какие нет (обсудить с учащимися).

Например: параллельность плоскостей и
отношение сохранится, перпендикулярность
диагонали плоскостям нет, правильные
треугольники не сохранятся, так же как и центр
правильного треугольника, он перейдет в точку
пересечения медиан.

Таким образом, уже в 10 классе можно делать с
учащимися обобщения для произвольных фигур,
пользуясь свойствами аффинных отображений.

Мы рассмотрели задачи программного уровня, а
теперь рассмотрим задачи продвинутого уровня.

Вот задача, предложенная учащимся 11-го класса
на олимпиаде в этом году. Никто, к сожалению, с ней
не справился. Посмотрим, как метод аффинных
преобразований поможет нам ее решить.

Задача 5 (олимпиада 11 класс). Треугольная
пирамида рассечена плоскостью так, что медианы
боковых граней разбиты точками пересечения в
отношении 2:1,3:1 и 4:1, считая от вершины пирамиды. В
каком отношении, считая от вершины пирамиды,
разбиты боковые рёбра? (Из материалов МГТУ им.
Баумана). Ответ: 12:7 , 12:5, 12:1

Существует решение, предложенное авторами. В
этом решении отсутствуют различные подробные
вычисления, поэтому по объему решение недлинное,
о сложности будете судить сами.

А решение с помощью аффинных преобразований мы
рассмотрим.

1) В задаче фигурирует произвольная пирамида, в
которой проведены медианы (а быть медианой — это
аффинное свойство), на медианах взяты
пропорциональные отрезки ( при аффинном
преобразовании сохраняются отношения длин
отрезков, лежащих на одной прямой). Значит, эту
задачу можно решить для “удобной” пирамиды, а
затем с помощью аффинного преобразования
перенести результат на произвольную.

2) Решим задачу для пирамиды, у которой три
плоских угла при вершине прямые. Поместим новую
пирамиду в прямоугольную систему координат OXYZ.
<Рисунок 11>

3) Проведем медиану на одной из граней. и — средние линии треугольника АОВ. Точка , такая что . Тогда
координаты точки К или, учитывая, что и середины соответственно ОА и ОВ, К.На другой
грани проведем медиану . На ней отметим точку М, такую что
. Аналогично
находим координаты М или М .Наконец, точка N лежит на медиане и , тогда N или N.

Итак: Кили
К , Мили М

N или N

Анализируя, выберем сами удобные числовые
координаты для точек А(40;0;0), В(0;15;0), С(0;0;24).

Плоскость (MNK) пересекает ребра пирамиды в неких
точках .
Найдем сначала координаты точки (х; 0; 0). Точка (KMN), если существуют такие, что, допустим (это векторы). Запишем
координаты векторов (15; -5; 1), (16; 1; -8), (х; -5; -8). Тогда имеет место следующая
система уравнений . Решаем ее: умножим второе уравнение на
8, получим .Далее,
сложив второе и третье, имеем. Откуда найдем и х .

Нам надо найти отношение . Значит, точка делит ребро ОА в отношении
12:1. Вычисления тоже приличные, но понятные.
Аналогично можно найти отношения и для двух
других сторон.

Решив задачу на “удобной” пирамиде, учитывая,
что существует аффинное преобразование,
переводящее эту пирамиду в произвольную,
переносим результат на произвольную пирамиду.

Если бы в условии данной задачи была предложена
“удобная” пирамида, наверное, кто-то из учеников
сделал хотя бы попытки решить задачу.Метод
аффинных преобразований позволяет трудные факты
свести к легкому доказательству.

Например, доказать следующую задачу 6: Пусть
заданы два треугольника АВС и в одной плоскости. Прямые,
проходящие через соответсвующие вершины этих
треугольников пересекаются в одной точке S. Если
прямые, содержащие соответсвующие стороны этих
треугольников попарно пересекаются, то точки
пересечения лежат на одной прямой.

Попробуем доказать.

Любой четырехугольник может рассматриваться,
как образ тетраэдра при параллельной проекции на
плоскость. Рассмотрим четырехугольник SABС.
<Рисунок 12>

Существует аффинное преобразование f, переводящее
его в четырехугольник , который в свою очередь является
изображением некой пирамиды . .
При аффинном отображении . А точки являются изображением точек пирамиды , образующих
некоторое сечение пирамиды. Решая задачу на
аффинном образе, мы получим результат, который с
помощью обратного аффинного преобразования
перенесем на первоначальный рисунок. Чтобы
избавиться от лишней символики, будем смотреть
на конфигурацию Дезарга (первый рисунок) как на
изображение пирамиды SABC с сечением плоскостью . А чтобы
доказать принадлежность трех точек одной прямой,
построим пересечение плоскостей АВС и (так как две
плоскости пересекаются по прямой).

Построение.1) , 2) , 3)

В пересечении плоскостей три точки,
следовательно, они лежат на одной прямой. Эта
задача (теорема Дезарга) доказана.

В продолжение такого применения аффинных
преобразований (решение пространственной задачи
как планиметрической) можно рассмотреть еще одну
интересную задачу.

Задача (Соросовская олимпиада)

Даны три луча в плоскости и три точки A, B, C. Построить
треугольник с вершинами на этих лучах, стороны
которого проходят через точки A, B, C
соответственно (помощью одной линейки).

То есть картинка должна быть примерно такая.
<Рисунок 13>

Будем рассматривать эту картинку как аффинный
образ (при некотором аффинном отображении)
пирамиды XOYZ на плоскость. Вершины пирамиды лежат
на осях координат, а точки А, В, С — точки в
координатных плоскостях. Тогда задача сводится к
тому, чтобы построить линии пересечения
плоскости (АВС) с координатными плоскостями.
Существует, конечно, способ построения с помощью
циркуля и линейки, но нам он не нужен. Итак, без
циркуля.

Возьмем произвольную точку S на луче .
Проведем прямые и .
, .
, такая, что
Р и С лежат в одной плоскости.
,
ZY,
XYZ — искомый треугольник.

Выводы.

Итак, вам был представлен метод решения задач с
помощью аффинных преобразований. Подведем итоги.

Метод позволяет перейти от более сложного к
более простому для осуществления процесса
решения.
Носит обобщающий характер.
Имеет широкую область применения, в том числе в
смежных областях.
Позволяет интегрировать разные разделы
математики.
Осмысление и применение данного метода
формирует у учащихся конструктивный подход к
решению задач и критичность мышления.

Литература

Геометрия: Учеб.для 10-11
кл.общеобразоват.учреждений/Л.С. Атанасян, В.Ф.
Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. -М.: Просвещение, 2007.
И. Кушнир “Математическая энциклопедия”.
Астарта. Киев.1995.
Р. Хартсхорн “Основы проективной геометрии”.
Издательство “Мир”. Москва.1970.

Приложение 1

Приложение 2

Источник

Аффинные преобразования плоскости

Преобразование плоскости задается двумя скалярными функциями двух переменных:

$begin{cases}y_1=f_1(x_1,x_2),\y_2=f_2(x_1,x_2).end{cases}$ или, что то же самое, вектор-функцией $f(x)=begin{pmatrix}f_1(x)&f_2(x)end{pmatrix}^T.$

Формула аффинного преобразования плоскости

Пусть на плоскости фиксирована аффинная система координат $Ovec{e}_1vec{e}_2$ . Преобразование mathcal{A} плоскости называется аффинным, если координаты y_1,y_2 образа выражаются через координаты x_1,x_2 прообраза X~(Y=mathcal{A}(X)) по формулам

$begin{cases} y_1=a_1+ a_{11}x_1+ a_{12}x_2,\ y_2= a_2+a_{21}x_1+a_{22}x_2,end{cases} Leftrightarrowquad mathop{y}limits_{(vec{e})}= mathop{a}limits_{(vec{e})}+ mathop{A}limits_{(vec{e})}cdot mathop{x}limits_{(vec{e})},$

(2.11)

где $mathop{A}limits_{(vec{e})}= begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\ a_{21}&a_{22}end{pmatrix}$ — невырожденная матрица (матрица аффинного преобразования), $mathop{y}limits_{(vec{e})}= begin{pmatrix} y_1\y_2end{pmatrix},~mathop{x}limits_{(vec{e})}=begin{pmatrix}x_1\x_2end{pmatrix}$ координатные столбцы образа и прообраза (координатные столбцы радиус-векторов overrightarrow{OY} и overrightarrow{OX} ) соответственно, $mathop{a}limits_{(vec{e})}= begin{pmatrix}a_1\a_2end{pmatrix}$ — координатный столбец образа начала координат, или вектора переноса начала координат. В формулах аффинного преобразования (2.11) подчеркивается зависимость матрицы преобразования и координат векторов от выбранной системы координат. Обозначение системы координат в (2.11) будем опускать, если понятно, в какой системе координат задано преобразование.

Замечания 2.4

1. Столбец $a=begin{pmatrix}a_1\a_2end{pmatrix}$ в (2.11) определяет координаты образа O'=mathcal{A}(O) начала координат. Действительно, подставляя координаты x_1=x_2=0 точки в (2.11), получаем координаты y_1=a_1,,y_2=a_2 точки vec{a}=overrightarrow{OO'} . Можно сказать, что при аффинном преобразовании начало координат переносится на вектор а=00 , координатный столбец которого равен .

2. Аффинное преобразование (2.11) в любой другой аффинной системе координат $O'vec{e},'_1vec{e},'_2$ задается формулами того же вида.

Действительно, пусть известны: матрица $S= mathop{S}limits_{(vec{e})to (vec{e},')}$ перехода от старого базиса $(vec{e})=begin{pmatrix}vec{e}_1&vec{e}_2end{pmatrix}$ к новому базису $(vec{e},')=begin{pmatrix}vec{e},'_1&vec{e},'_2end{pmatrix}$ и координатный столбец вектора переноса начала координат vec{s}=overrightarrow{OO'} (рис.2.17). Тогда по формуле (2.8) имеем $begin{cases} x=s+Scdot x',\ y=s+Scdot y',end{cases}$ где x,y и x',y' — координатные столбцы точек X,Y (радиус-векторов overrightarrow{OX} , overrightarrow{OY} и overrightarrow{O'X} , overrightarrow{O'Y} ) в старой $Ovec{e}_1vec{e}_2$ и новой $O'vec{e},'_1 vec{e},'_2$ системах координат.

Координатный столбец вектора переноса начала координат

Подставляя в (2.11), получаем

$underbrace{s+ Scdot y'}_{y}= a+Acdot(underbrace{s+ Scdot x'}_{x}).$

Учитывая, что матрица обратимая (см. свойство 2 матриц перехода в разд.2.2.1), выражаем координатный столбец образа через координатный столбец прообраза в системе координат $O'vec{e},'_1vec{e},'_2$ :

$y'=underbrace{S^{-1}cdot(a+Acdot s-s)}_{a'}+underbrace{S^{-1}cdot Acdot S}_{A'}cdot x'=a'+A'cdot x'.$

В результате получили аффинное преобразование вида (2.11):

$mathop{y'}limits_{(vec{e},')}=mathop{a'}limits_{(vec{e},')}+mathop{A'}limits_{(vec{e},')}cdotmathop{x'}limits_{(vec{e},')}.$

с матрицей $A'=S^{-1}cdot Acdot S$ и координатным столбцом $a'=S^{-1}cdot(a+Acdot s-s)$ вектора переноса.

Таким образом, связь матриц одного и того же аффинного преобразования в разных базисах, а также координатных столбцов вектора переноса, имеет вид

$mathop{A'}limits_{(vec{e},')}=mathop{S^{-1}}limits_{(vec{e})to (vec{e},')}cdotmathop{A}limits_{(vec{e})}cdot mathop{S}limits_{(vec{e})to(vec{e},')},quadquad mathop{a'}limits_{(vec{e},')}=mathop{S^{-1}}limits_{(vec{e})to (vec{e},')}cdot! left(mathop{a}limits_{(vec{e})}+ mathop{A}limits_{(vec{e})}cdot mathop{s}limits_{(vec{e})}-mathop{s}limits_{(vec{e})}right),$

(2.12)

где $mathop{A}limits_{(vec{e})},, mathop{A'}limits_{(vec{e},')}$ — матрицы ( $mathop{a}limits_{(vec{e})},mathop{a'}limits_{(vec{e},')}$ — координатные столбцы вектора переноса) аффинного преобразования в старом и новом базисах, a $mathop{S}limits_{(vec{e})to(vec{e},')}$ — матрица перехода от старого базиса к новому.

3. Запишем (2.11), обозначив образ точки через X'=mathcal{A}(X) :

$begin{cases}x'_1=a_1+ a_{11}x_1+ a_{12}x_2,\x'_2= a_2 +a_{21}x_1+ a_{22}x_2,end{cases} Leftrightarrowquad x'=a+Acdot x,.$

(2.13)

Сравнивая формулы (2.13) аффинного преобразования плоскости с формулами (2.8) аффинного преобразования координат, заключаем, что эти соотношения: x'=a+Acdot x и x=s+Scdot x' будут равносильными, если положить $S=A^{-1}$ и $s=-A^{-1}cdot a$ . Действительно, умножая обе части равенства $x=-A^{-1}cdot a+A^{-1}cdot x'$ , следующего из первого соотношения, на матрицу слева, с учетом равенства $Acdot A^{-1}=E$ получаем $Acdot x=-Acdot A^{-1}cdot a+Acdot A^{-1}cdot x'$ , т.е. Acdot x=-a+x' , что равносильно x'=a+Acdot x . Таким образом, изменение координат точки будет одно и то же, подвергаем ли мы плоскость аффинному преобразованию, оставляя систему координат неизменной, или же оставляем плоскость неизменной, подвергая систему координат обратному преобразованию.

4. Аффинное преобразование плоскости порождает преобразование векторов на плоскости, если рассматривать векторы как упорядоченные пары точек, а именно: при аффинном преобразовании mathcal{A} каждому вектору vec{v} (рассматриваемому как упорядоченная пара точек vec{v}=overrightarrow{MN} ) ставится в соответствие вектор vec{v},' ( vec{v},'=overrightarrow{M'V'} , причем M'=mathcal{A}(M),~N'=mathcal{A}(N) ), координаты которого выражаются через координаты прообраза vec{v} no формулам:

v'=Acdot v,,

(2.14)

где v,v' — координатные столбцы векторов vec{v},,vec{v},' (относительно одного и того же базиса), — матрица аффинного преобразования (в том же базисе).

Это свойство следует из правила нахождения координат вектора, согласно которому из координат конца вектора надо вычесть координаты его начала. Если m,m',n,n' — координатные столбцы точек соответственно, то учитывая (2.13): m'=a+ Acdot m , n'=a+Acdot n и, получаем

$v'=n'-m'=underbrace{(a+Acdot n)}_{n'}-underbrace{(a+Acdot m)}_{m'}=Acdotunderbrace{(n-m)}_{v}=Acdot v,$

что и требовалось доказать.

Способы задания аффинного преобразования плоскости

Первый способ. Чтобы задать аффинное преобразование плоскости по определению, достаточно указать систему координат $Ovec{e}_1vec{e}_2$ и формулы (2.11), т.е. задать невырожденную матрицу преобразования и координатный столбец в (2.11).

Второй способ. Пусть на плоскости заданы две аффинные системы координат: старая $Ovec{e}_1vec{e}_2$ и новая $O'vec{e},'_1vec{e},'_2$ (рис.2.18). Тогда существует единственное аффинное преобразование mathcal{A} плоскости, которое каждой точке ставит в соответствие точку Y=mathcal{A}(X) , координаты которой в новой системе координат $O'vec{e},'_1vec{e},'_2$ совпадают с координатами точки в старой системе координат.

Аффинные системы координат (старая и новая) на плоскости

Действительно, пусть vec{s}=overrightarrow{OO'} — вектор переноса начала координат, $mathop{S}limits_{(vec{e})to(vec{e},')}$ — матрица перехода от старого базиса $(vec{e})=begin{pmatrix}vec{e}_1&vec{e}_2end{pmatrix}$ к новому базису $(vec{e},')=begin{pmatrix}vec{e},'_1&vec{e},'_2end{pmatrix}$ . Тогда, учитывая (2.8), имеем $mathop{y}limits_{(vec{e})}=mathop{s}limits_{(vec{e})}+mathop{S}limits_{(vec{e})to(vec{e},')}cdotmathop{y'}limits_{(vec{e},')}$ . Подставляя $mathop{y'}limits_{(vec{e},')}=mathop{x}limits_{(vec{e})}$ (координаты образа Y=mathcal{A}(X) в новой системе координат совпадают с координатами прообраза в старой системе координат), получаем аффинное преобразование

$mathop{y}limits_{(vec{e})}=mathop{s}limits_{(vec{e})}+mathop{S}limits_{(vec{e})to(vec{e},')}cdotmathop{x}limits_{(vec{e})}$

вида (2.11) с невырожденной матрицей $mathop{A}limits_{(vec{e})}=mathop{S}limits_{(vec{e})to(vec{e},')}$ и столбцом $mathop{a}limits_{(vec{e})}=mathop{s}limits_{(vec{e})}$ . Существование аффинного преобразования доказано. Докажем единственность от противного. Пусть преобразование mathcal{B} удовлетворяет тем же условиям, что и mathcal{A} , но для некоторой (хотя бы одной) точки образы mathcal{A}(X) и mathcal{B}(X) не совпадают. Тогда в новой системе координат $O'vec{e},'_2vec{e},'_2$ разные точки и будут иметь равные координаты (такие же, как координаты точки в старой системе координат $Ovec{e}_1vec{e}_2$ ), чего быть не может (см. пункт 1 замечаний 2.1). Полученное противоречие доказывает единственность аффинного преобразования.

Таким образом, аффинное преобразование (2.15) может быть задано указанием двух аффинных систем координат. Говорят, что аффинное преобразование задано переходом от одной аффинной системы координат к другой.

Третий способ. Аффинное преобразование плоскости вполне определяется образами трех данных точек, не лежащих на одной прямой, т.е. существует единственное аффинное преобразование, переводящее три точки O,A,B , не лежащие на одной прямой, в три точки O',A',B' , также не лежащие на одной прямой.

В самом деле, заданные точки O,A,B и O',A',B' порождают две аффинные системы координат $Ovec{e}_1vec{e}_2$ и $O'vec{e},'_1vec{e},'_2$ , где $vec{e}_1=overrightarrow{OA},,vec{e}_2=overrightarrow{OB}$ и $vec{e},'_1=overrightarrow{O'A'},,vec{e},'_2=overrightarrow{O'B'}$ — пары базисных (неколлинеарных) векторов, и тем самым однозначно определяют аффинное преобразование.

Пример 2.7. В прямоугольной системе координат Ovec{i}vec{j} заданы точки (рис.2.19):

Q(2,1),quad A(6,4),quad B(-2.4),quad Q'(10,3),quad A'(10,5),quad B'(6,6),quad X(2,7).

Требуется вывести формулы (2.11) аффинного преобразования mathcal{A} , отображающего точки Q,A,B в точки Q',A',B' , и найти координаты образа Y=mathcal{A}(X) точки :

Формулы аффинного преобразования, отображающего точки

а) в системе координат $Qvec{e}_1vec{e}_2,~vec{e}_1=overrightarrow{QA},~vec{e}_2=overrightarrow{QB}$ ;

б) в заданной прямоугольной системе координат.

Решение. а) Искомое преобразование mathcal{A} отображает систему координат $Qvec{e}_1vec{e}_2$ в систему координат $Q'vec{e},'_1vec{e},'_2$ , где $vec{e},'_1=overrightarrow{Q'A'}=mathcal{A}(vec{e}_1)$ , $vec{e},'_2=overrightarrow{Q'B'}=mathcal{A}(vec{e}_2)$ . Формулы, задающие такое преобразование , имеют вид (2.15), где — координатный столбец вектора vec{s}=overrightarrow{QQ'} в базисе $(vec{e})=begin{pmatrix}vec{e}_1&vec{e}_2end{pmatrix}$ , а $mathop{S}limits_{(vec{e})to(vec{e},')}$ — матрица перехода от базиса $(vec{e})=begin{pmatrix}vec{e}_1&vec{e}_2end{pmatrix}$ к базису $(vec{e},')=begin{pmatrix}vec{e},'_1&vec{e},'_2end{pmatrix}$ . По рис.2.19, учитывая, что $vec{i}=frac{1}{8}(vec{e}_1-vec{e}_2)$ и $vec{j}=frac{1}{6}(vec{e}_1+vec{e}_2)$ определяем разложения векторов $vec{s},vec{e},'_1,vec{e},'_2$ по базису (vec{e}) :

$begin{gathered}vec{s}=8cdotvec{i}+2cdotvec{j}=frac{8}{8}cdot(vec{e}_1-vec{e}_2)+frac{2}{6}cdot(vec{e}_1+vec{e}_2)=frac{4}{3}cdotvec{e}_1-frac{2}{3}cdotvec{e}_2;\[3pt]vec{e},'_1=2cdotvec{j}=frac{2}{6}cdot(vec{e}_1+vec{e}_2)=frac{1}{3}vec{e}_1+frac{1}{3}cdotvec{e}_2;quadvec{e},'_2=vec{e}_2=0cdotvec{e}_1+1cdotvec{e}_2.end{gathered}$

Следовательно, в системе координат $Qvec{e}_1vec{e}_2$ преобразование (2.15) имеет вид

поскольку согласно (2.2) матрица перехода формируется путем записи по столбцам координат векторов $vec{e},'_1,vec{e},'_2$ в базисе (vec{e}) .

Найдем координаты образа точки . В системе координат $Qvec{e}_1vec{e}_2$ точка имеет координаты x_1=1,~x_2=1 ,так как $overrightarrow{QX}=1cdotvec{e}_1+1cdotvec{e}_2$ . Подставляя в найденные формулы координаты прообраза, получаем искомые координаты образа:

$begin{pmatrix}y_1\[2pt]y_2end{pmatrix}=begin{pmatrix}dfrac{4}{3}\[8pt]-dfrac{2}{3}end{pmatrix}+begin{pmatrix}dfrac{1}{3}&0\[8pt]dfrac{1}{3}&1end{pmatrix}{cdot}begin{pmatrix}1\[2pt]1end{pmatrix}=begin{pmatrix}dfrac{5}{3}\[8pt]dfrac{2}{3}end{pmatrix},$ то есть $mathop{Y}limits_{(vec{e})}!left(frac{5}{3},frac{2}{3}right).$

Заметим, что в новой системе координат $Q'vec{e},'_1vec{e},'_2$ точка Y=mathcal{A}(X) имеет координаты $mathop{Y}limits_{(vec{e},')}(1,1)$ , которые совпадают с координатами точки $mathop{X}limits_{(vec{e})}(1,1)$ в старой системе координат $Qvec{e}_1vec{e}_2$ .

б) Подставляя в (2.11) координаты образов и прообразов, получаем:

$begin{aligned}Q'&=mathcal{A}(Q)colonquadbegin{pmatrix}10\3end{pmatrix}=begin{pmatrix}a_1\a_2end{pmatrix}+begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}end{pmatrix}{cdot}begin{pmatrix}2\1end{pmatrix},\[3pt]A'&=mathcal{A}(A)colonquadbegin{pmatrix}10\5end{pmatrix}=begin{pmatrix}a_1\a_2end{pmatrix}+begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}end{pmatrix}{cdot}begin{pmatrix}4\6end{pmatrix},\[3pt]B'&=mathcal{A}(B)colonquadbegin{pmatrix}6\6end{pmatrix}=begin{pmatrix}a_1\a_2end{pmatrix}+begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}end{pmatrix}{cdot}begin{pmatrix}-2\4end{pmatrix}.end{aligned}$

Вычитая первое уравнение из второго и третьего, получаем

$begin{pmatrix}0\2end{pmatrix}=begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}end{pmatrix}{cdot}begin{pmatrix}4\3end{pmatrix}$ и $begin{pmatrix}-4\3end{pmatrix}=begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}end{pmatrix}{cdot}begin{pmatrix}-4\3end{pmatrix},$ т.е. $left{!!begin{aligned}4a_{11}+3a_{12}&=0,\4a_{21}+3a_{22}&=2,\-4a_{11}+3a_{12}&=-4,\-4a_{21}+3a_{22}&=3.end{aligned}right.$

Решая эту систему, находим элементы матрицы $A= begin{pmatrix} 1/2& -2/3\-1/8& 5/6 end{pmatrix}$ , после чего определяем столбец $a=begin{pmatrix}a_1\a_2end{pmatrix}=begin{pmatrix}29/3\29/12end{pmatrix}$ . Таким образом, искомое преобразование mathcal{A} в заданной прямоугольной системе координат имеет вид

$begin{pmatrix}y_1\[2pt]y_2 end{pmatrix}= begin{pmatrix}a_1\[2pt]a_2 end{pmatrix}+ Acdot! begin{pmatrix}x_1\[2pt]x_2end{pmatrix}= begin{pmatrix} dfrac{29}{3}\[8pt] dfrac{29}{12}end{pmatrix}+begin{pmatrix}dfrac{1}{2}&-dfrac{2}{3}\[8pt]-dfrac{1}{8}&dfrac{5}{6}end{pmatrix}{cdot}begin{pmatrix}x_1\[2pt]x_2end{pmatrix}.$

Найдем координаты образа точки X(2,7) :

$begin{pmatrix}y_1\[2pt]y_2end{pmatrix}=begin{pmatrix}dfrac{29}{3}\[8pt]dfrac{29}{12}end{pmatrix}+begin{pmatrix}dfrac{1}{2}&-dfrac{2}{3}\[8pt]-dfrac{1}{8}&dfrac{5}{6}end{pmatrix}{cdot}begin{pmatrix}2\[2pt]7end{pmatrix}=begin{pmatrix}6\[2pt]8end{pmatrix},$ то есть Y(6,8) .

Получим теперь формулы аффинного преобразования mathcal{A} в системе координат $Qvec{e}_1vec{e}_2$ , используя связи (2.12). Учитывая, что переход от прямоугольной системы координат Ovec{i}vec{j} системе координат $Qvec{e}_1vec{e}_2$ определяется матрицей $S=begin{pmatrix}4&-4\3&3end{pmatrix}$ столбцом $s=begin{pmatrix}2\1end{pmatrix}$ поскольку vec{s}=overrightarrow{OQ} , $vec{e}_1=4vec{i}+3vec{j}$ , $vec{e}_2=-4vec{i}+3vec{j}$ находим

$begin{aligned}mathop{A'}limits_{(vec{e})}&=S^{-1}cdot Acdot S={begin{pmatrix}4&-4\[2pt]3&3end{pmatrix}!}^{-1}cdot!begin{pmatrix}dfrac{1}{2}&-dfrac{2}{3}\[8pt]-dfrac{1}{8}&dfrac{5}{6}end{pmatrix}!cdot!begin{pmatrix}4&-4\[2pt]3&3end{pmatrix}=\ &=frac{1}{24}cdot!begin{pmatrix}3&4\[2pt]-3&4end{pmatrix}!cdot!begin{pmatrix}0&-4\[2pt]2&3end{pmatrix}=frac{1}{24}cdot!begin{pmatrix}8&0\[2pt]-8&24end{pmatrix}=begin{pmatrix}dfrac{1}{3}&0\[8pt]dfrac{1}{3}&1end{pmatrix}!,end{aligned}$

$begin{aligned} mathop{a'}limits_{(vec{e})}&= S^{-1}cdot(a+Acdot s-s)= {begin{pmatrix} 4&-4\ 3&3 end{pmatrix}!}^{-1} cdot! left[begin{pmatrix}dfrac{29}{3}\[8pt]dfrac{29}{12}end{pmatrix}+begin{pmatrix}dfrac{1}{2}&-dfrac{2}{3}\[8pt]-dfrac{1}{8}&dfrac{5}{6}end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}2\[2pt]1end{pmatrix}-begin{pmatrix}2\[2pt]1end{pmatrix}right]=\[2pt] &=frac{1}{24}cdot! begin{pmatrix}3&4\[2pt]-3&4end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix} dfrac{29}{3}+1-dfrac{2}{3}-2\[8pt]dfrac{29}{12}-dfrac{1}{4}+dfrac{5}{6}-1end{pmatrix}= frac{1}{24}cdot! begin{pmatrix}3&4\[2pt]-3&4end{pmatrix}!cdot!begin{pmatrix}8\[2pt]2end{pmatrix}= frac{1}{24}cdot!begin{pmatrix}32\[2pt]16 end{pmatrix}= begin{pmatrix} dfrac{4}{3}\[8pt]-dfrac{2}{3}end{pmatrix},end{aligned}$

что совпадает с результатами пункта «а».

Свойства аффинных преобразований плоскости

1. Аффинное преобразование взаимно однозначное, кроме того:

а) преобразование, обратное к аффинному, является также аффинным;
б) композиция аффинных преобразований является также аффинным преобразованием.

2. При аффинном преобразовании векторы преобразуются следующим образом:

г) равные векторы — в равные;
б) коллинеарные — в коллинеарные, причем отношение коллинеарных векторов сохраняется;
в) неколлинеарные — в неколлинеарные.

3. При аффинном преобразовании сохраняется отношение, в котором точка делит отрезок.

4. При аффинном преобразовании (2.11) площадь любого параллелограмма изменяется в одном и том же отношении, т.е. умножается на одно и то же число (называемое коэффициентом искажения площади): $S_{ast'}=vertdetvertcdot S_{ast}$ , где $S_{ast}$ — площадь параллелограмма, a $S_{ast'}$ — площадь образа этого параллелограмма. Другими словами, коэффициент искажения площади при аффинном преобразовании равен модулю определителя матрицы этого преобразования.

Первое свойство следует из обратимости матрицы аффинного преобразования, поскольку из (2.11) можно выразить координаты прообраза через координаты образа:

$x=-A^{-1}cdot a+A^{-1}cdot y.$

Заметим, что эти формулы имеют тот же вид, что и (2.11), т.е. преобразование, обратное к аффинному, является аффинным преобразованием с матрицей $A^{-1}$ и вектором переноса $(-A^{-1}cdot a)$ . Композиция аффинных преобразований y=a+Acdot x и z=b+Bcdot y :

$z=b+Bcdotunderbrace{(a+Acdot x)}_{y}=b+Bcdot a+Bcdot Acdot x$

также является аффинным преобразованием с матрицей Bcdot A (невырожденной в силу невырожденности и ) и вектором переноса b+Bcdot a .

Докажем второе свойство. Пусть ненулевые векторы vec{v} и vec{w} коллинеарны, причем $frac{vec{v}}{vec{w}}=lambda$ . Надо доказать, что их образы vec{v},'=mathcal{A}(vec{v}) и vec{w},'=mathcal{A}(vec{w}) также коллинеарны и $frac{vec{v},'}{vec{w},'}=lambda$ . Действительно, если { v} и — координатные столбцы векторов vec{v} и vec{w} , то v=lambdacdot w . Тогда для координатных столбцов и (векторов и ) по формуле (2.14) получаем (см. пункт 4 замечаний 2.4):

$v'=Acdot v=Acdotunderbrace{lambdacdot w}_{v}=lambdacdotunderbrace{Acdot w}_{w'}=lambdacdot w',$ то есть v'=lambdacdot w'.

Следовательно, vec{v},'=lambdacdotvec{w},' , т.е. векторы и коллинеарны и $frac{vec{v},'}{vec{w},'}=lambda$ . Если же хотя бы один из векторов нулевой, например, vec{v}=vec{o} , то его образ (по свойству 2) также нулевой вектор vec{v},'=vec{o} , который коллинеарен любому вектору vec{w},' . При lambda=1 получаем, что равные векторы преобразуются в равные. Наконец, неколлинеарные векторы не могут преобразоваться в коллинеарные, поскольку в этом случае при обратном преобразовании коллинеарные векторы преобразуются в неколлинеарные, что противоречит пункту 2,»б».

Третье свойство следует из второго (см. пункт 2,»б»). Действительно, пусть точки A,B,C отображаются в точки A',B',C' соответственно. Если точка делит отрезок в отношении AC:CB=alpha:beta , то векторы overrightarrow{AC} и overrightarrow{AB} коллинеарные и $overrightarrow{AC}=frac{alpha}{alpha+beta}cdotoverrightarrow{AB}$ . По свойству 2 пункта «б» векторы overrightarrow{A'C'} и overrightarrow{A'B'} также коллинеарны и $overrightarrow{A'C'}=frac{alpha}{alpha+beta}cdotoverrightarrow{A'B'}$ , т.е. точка делит отрезок A'B' в отношении Параллелограмм, построенный на базисных векторах, и его образ

A'C':C'B'=alpha:beta=AC:CB,.

Обсудим четвертое свойство. На рис.2.20 заштрихованы параллелограмм, построенный на базисных векторах $vec{e}_1vec{e}_2$ , и его образ (параллелограмм, построенный на базисных векторах $vec{e},'_1,vec{e},'_2$ ). Справедливость утверждения для параллелограммов следует из свойства 3 матрицы перехода от одного базиса к другому. Любой параллелограмм разбивается диагональю на два равных треугольника. Следовательно, утверждение справедливо для треугольников, а значит и для многоугольников, поскольку любой многоугольник разбивается на конечное число треугольников. Средствами математического анализа это свойство может быть распространено на произвольную измеримую плоскую фигуру.

Замечания 2.5

1. Третье свойство является характеристическим для аффинного преобразования и может быть взято в качестве эквивалентного определения.

2. Преобразование (2.11) для произвольной квадратной матрицы (быть может, вырожденной) называется линейным, при этом матрица называется матрицей линейного преобразования. Любое аффинное преобразование является линейным, но не всякое линейное преобразование является аффинным.

3. Квадратные матрицы и , связанные соотношением $A'=S^{-1}cdot Acdot S$ , называются подобными, а матрица — преобразующей. В силу (2.12) матрицы аффинного преобразования в разных базисах оказываются подобными, причем преобразующей матрицей служит матрица перехода от одного базиса к другому.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Предложите, как улучшить StudyLib

(Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте

другую форму
)

Ваш е-мэйл

Заполните, если хотите получить ответ

Оцените наш проект

Источник

Образ прямой линии.

Начать изучение
Изменение площадей при аффинном преобразовании.

Начать изучение
Образы линий второго порядка.

Начать изучение
Разложение ортогонального преобразования.

Начать изучение
Разложение аффинного преобразования.

Начать изучение

Образ прямой линии.

Изучим геометрические свойства аффинных преобразований. Ниже (f) обозначает аффинное преобразование, записываемое в декартовой системе координат (O, boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{2}) формулами
$$
x^{*}=a_{1}x+b_{1}y+c_{1}, y^{*}=a_{2}x+b_{2}y+c_{2}.label{ref1}
$$
при условии
$$
begin{vmatrix}
a_{1}& b_{1}\
a_{2}& b_{2}
end{vmatrix} neq 0.label{ref2}
$$

Рассмотрим на плоскости прямую линию с уравнением (boldsymbol{r}=boldsymbol{r}_{0}+boldsymbol{a}t) и найдем ее образ при преобразовании (f). (Под образом прямой понимается множество образов ее точек.) Радиус-вектор образа (M^{*}) произвольной точки (M) можно вычислить так:
$$
overrightarrow{OM^{*}}=overrightarrow{Of(O)}+foverrightarrow{(O)M^{*}}=boldsymbol{c}+f(boldsymbol{r}).nonumber
$$

Здесь (boldsymbol{c}) — постоянный вектор (overrightarrow{Of}(O)), а (boldsymbol{r}) — радиус-вектор точки (M). Согласно (11) §2 мы получаем
$$
overrightarrow{OM^{*}}=boldsymbol{c}+f(boldsymbol{r}_{0})+f(boldsymbol{a})t.label{ref3}
$$
Так как (f) — аффинное преобразование и (boldsymbol{a} neq boldsymbol{0}), то (boldsymbol{a}) перейдет в вектор (f(boldsymbol{a}) neq 0), и уравнение eqref{ref3} является уравнением прямой линии. Итак, образы всех точек прямой (boldsymbol{r}=boldsymbol{r}_{0}+boldsymbol{a}t) лежат на прямой eqref{ref3}.

Более того, преобразование (f) определяет взаимно однозначное отображение одной прямой на другую, так как при сделанном здесь выборе начальных точек и направляющих векторов точка (M^{*}) имеет на прямой eqref{ref3} то же значение параметра (t), что и точка (M) на исходной прямой. Отсюда мы получаем первое утверждение.

Утверждение 1.

При аффинном преобразовании:

прямая линия переходит в прямую линию;
отрезок переходит в отрезок;
параллельные прямые переходят в параллельные.

Доказательство.

Для доказательства второго утверждения достаточно заметить, что отрезок прямой состоит из таких точек, у которых значения параметра удовлетворяют неравенству вида (t_{1} leq t leq t_{2}) Третье утверждение следует из того, что при аффинном преобразовании коллинеар-ные векторы переходят в коллинеарные.

Утверждение 2.

При аффинном преобразовании отношение длин параллельных отрезков не изменяется.

Доказательство.

Пусть отрезки (AB) и (CD) параллельны. Это значит, что существует такое число (lambda), что (overrightarrow{AB}=lambda overrightarrow{CD}). Образы векторов (overrightarrow{AB}) и (overrightarrow{CD}) связаны той же зависимостью (overrightarrow{A^{*}B^{*}}=lambda overrightarrow{C^{*}D^{*}}). Отсюда вытекает, что
$$
frac{|overrightarrow{AB}|}{|overrightarrow{CD}|}=frac{|overrightarrow{A^{*}B^{*}}|}{|overrightarrow{C^{*}D^{*}}|}=|lambda|.nonumber
$$

Следствие.

Если точка (C) делит отрезок (AB) в некотором отношении (lambda), то ее образ (C^{*}) делит образ (A^{*}B^{*}) отрезка (AB) в том же отношении (lambda).

Изменение площадей при аффинном преобразовании.

Для начала рассмотрим ориентированный параллелограмм. Выберем общую декартову систему координат (O, boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{2}) и обозначим через ((p_{1}, p_{2})) и ((q_{1}, q_{2})) компоненты векторов (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}), на которых он построен. Площадь параллелограмма мы можем вычислить, пользуясь формулой:
$$
S_{pm}=S_{pm} (boldsymbol{p}, boldsymbol{q})=(p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1}) S_{pm} (boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{2}).nonumber
$$

Пусть аффинное преобразование (f) записывается в выбранной системе координат формулами eqref{ref1}. Из ранее доказанного утверждения следует, что векторы (f(boldsymbol{p})) и (f(boldsymbol{q})) имеют в базисе (f(boldsymbol{e}_{1}), f(boldsymbol{e}_{2})) те же компоненты ((p_{1}, p_{2})) и ((q_{1}, q_{2})), что и векторы (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}) в базисе (boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{2}). Образ параллелограмма построен на векторах (f(boldsymbol{p})) и (f(boldsymbol{q})), и площадь его равна
$$
S_{pm}^{*}=S_{pm} (f(boldsymbol{p}), f(boldsymbol{q}))=(p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1}) S_{pm} (f(boldsymbol{e}_{1}), f(boldsymbol{e}_{2})).nonumber
$$

Вычислим последний множитель. Как мы знаем из уже доказанного утверждения 7, координаты векторов (f(boldsymbol{e}_{1}), f(boldsymbol{e}_{2})) равны соответственно ((a_{1}, a_{2})) и ((b_{1}, b_{2})). Поэтому (S_{pm} (f(boldsymbol{e}_{1}), f(boldsymbol{e}_{2}))=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}) S_{pm} (boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{2})) и
$$
S_{pm}^{*}=(p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1})(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}) S_{pm} (boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{2}).nonumber
$$
Отсюда мы видим, что
$$
frac{S_{pm}^{*}}{S_{pm}}=begin{vmatrix}
a_{1}& b_{1}\
a_{2}& b_{2}
end{vmatrix}.label{ref4}
$$

Таким образом, отношение площади образа ориентированного параллелограмма к площади этого параллелограмма одинаково для всех параллелограммов и равно (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}).

Отсюда следует, что данный детерминант не зависит от выбора системы координат, в которой записано преобразование, хотя он вычисляется по коэффициентам, зависящим от системы координат. Эта величина — инвариант, выражающий геометрическое свойство преобразования.

Из формулы eqref{ref4} видно, что отношение площади образа неориентированного параллелограмма к его площади равно
$$
S^{*}/S=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|.label{ref5}
$$

Если (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} > 0), то ориентации всех ориентированных параллелограммов сохраняются при преобразовании, а если (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} < 0), то для каждого ориентированного параллелограмма ориентация образа противоположна его ориентации.

Займемся теперь площадями других фигур. Каждый треугольник может быть дополнен до параллелограмма, площадь которого равна удвоенной площади треугольника. Поэтому отношение площади образа треугольника к площади этого треугольника удовлетворяет равенству eqref{ref5}.

Каждый многоугольник может быть разбит на треугольники. Следовательно, формула eqref{ref5} справедлива и для произвольных многоугольников.

Мы не будем здесь касаться определения площади произвольной криволинейной фигуры. Скажем лишь, что в тех случаях, когда эта площадь определена, она равна пределу площадей некоторой последовательности многоугольников, вписанных в рассматриваемую фигуру. Из теории пределов известно следующее предположение: если последовательность (S_{n}) стремится к пределу (S), то последовательность (delta S_{n}), где (delta) постоянное, стремится к пределу (delta S). На основании этого предложения мы заключаем, что формула eqref{ref5} справедлива в самом общем случае.

В качестве примера найдем выражение площади эллипса через его полуоси. Ранее мы доказали, что эллипс с полуосями (a) и (b) может быть получен сжатием окружности радиуса (a) к прямой, проходящей через ее центр. Коэффициент сжатия равен (b/a). В одном из примеров мы получили координатную запись сжатия к прямой (x^{*}=x), (y^{*}=lambda y). Детерминант из коэффициентов в этих формулах равен (lambda), то есть в нашем случае (b/a). Таким образом, отношение площади эллипса к площади окружности равно (b/a), и эта площадь равна (S=(b/a)pi a^{2}). Окончательно имеем
$$
S=pi ab.nonumber
$$

Образы линий второго порядка.

Мы видели, что прямая линия переходит в прямую. Это частный случай следующего утверждения.

Утверждение 3.

Аффинное преобразование переводит алгебраическую линию в алгебраическую линию того же порядка.

Доказательство.

В самом деле, пусть линия (L) в декартовой системе координат (O, boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{2}) имеет алгебраическое уравнение порядка (p). Мы уже доказали, что образы всех точек линии (L) при аффинном преобразовании (f) имеют в системе координат (f(O), f(boldsymbol{e}_{1}), f(boldsymbol{e}_{2})) те же координаты, что и их прообразы в системе координат (O, boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{2}). Следовательно, координаты образов в системе (f(O), f(boldsymbol{e}_{1}), f(boldsymbol{e}_{2})) связаны тем же алгебраическим уравнением порядка (p). Этого достаточно, чтобы сделать нужное нам заключение.

Из доказанного выше утверждения, в частности, следует, что линия второго порядка при аффинном преобразовании перейдет в линию второго порядка. Мы докажем более сильное утверждение. Как мы уже знаем, линии второго порядка можно разделить на семь классов. Мы увидим, что класс линии сохраняется при аффинном преобразовании. На этом основании классы линий, перечисленные в указанной теореме, называются аффинными классами. Итак, докажем новое утверждение.

Утверждение 4.

Линия второго порядка, принадлежащая к одному из аффинных классов, при любом аффинном преобразовании может перейти только в линию того же класса. Каждую линию второго порядка подходящим аффинным преобразованием можно перевести в любую другую линию того же аффинного класса.

Доказательство.

Линию мы назовем ограниченной, если она лежит внутри некоторого параллелограмма. Легко видеть, что при аффинном преобразовании ограниченная линия должна перейти в ограниченную, а неограниченная — в неограниченную.

Эллипс — ограниченная линия второго порядка. Кроме эллипсов ограничены только линии, состоящие из одной точки, то есть пары мнимых пересекающихся прямых. Поскольку эллипс ограничен и состоит больше, чем из одной точки, он может перейти только в эллипс.
Гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Это свойство можно сформулировать так, что будет ясна его неизменность при аффинных преобразованиях. Именно, существует прямая линия, не пересекающая гиперболу, но пересекающая некоторые ее хорды.Из всех линий второго порядка только гиперболы и пары параллельных прямых обладают этим свойством. У гиперболы ветви не прямые линии, и потому при аффинном преобразовании она может перейти только в гиперболу.
Парабола — неограниченная линия второго порядка, состоящая из одного непрямолинейного куска. Этим свойством не обладают никакие другие линии второго порядка, и потому парабола может перейти только в параболу.
Если линия второго порядка представляет собой точку (пару мнимых пересекающихся прямых), прямую (пару совпавших прямых), пару пересекающихся или пару параллельных прямых, то из доказанных ранее свойств аффинных преобразований следует, что эта линия не может перейти в линию никакого другого класса.

Докажем вторую часть предложения. В уже доказанной нами теореме канонические уравнения линий второго порядка написаны в декартовой прямоугольной системе координат и содержат параметры (a, b, …) Если мы откажемся от ортонормированности базиса, то сможем произвести дальнейшие упрощения канонических уравнений и привести их к виду, не содержащему параметров. Например, замена координат (x’=x/a), (y’=y/b) переводит уравнение эллипса (x^{2}a^{2}+y^{2}b^{2}=1) в уравнение (x’^{2}+y’^{2}=1), каковы бы ни были (a) и (b). (Последнее уравнение не есть уравнение окружности, так как новая система координат не декартова прямоугольная.)

Читатель без труда покажет, что канонические уравнения линий второго порядка переходом к подходящей системе координат могут быть преобразованы в уравнения:

(x^{2}+y^{2}=1);
(x^{2}+y^{2}=0);
(x^{2}-y^{2}=1);
(x^{2}-y^{2}=0);
(y^{2}=2x);
(y^{2}-1=0);
(y^{2}=0).

Такую систему координат мы назовем аффинной канонической системой координат.

Из ранее доказанного утверждения следует, что аффинное преобразование, которое совмещает аффинные канонические системы координат двух линий одного аффинного класса, совмещает и эти линии. Это заканчивает доказательство.

Разложение ортогонального преобразования.

Теорема 1.

Каждое ортогональное преобразование раскладывается в произведение параллельного переноса, поворота и, возможно, осевой симметрии.

Доказательство.

Пусть (f) — ортогональное преобразование и (vartriangle ABC) — равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом (A). При преобразовании (f) он перейдет в равный ему треугольник (vartriangle A^{*}B^{*}C^{*}) с прямым углом при вершине (A^{*}). Теорема будет доказана, если, производя последовательно параллельный перенос (p), поворот (q) и (в случае необходимости) осевую симметрию (r), мы сможем совместить треугольники (ABC) и (A^{*}B^{*}C^{*}). Действительно, произведение (rqp) — аффинное преобразование так же, как и (f), а аффинное преобразование однозначно определяется образами трех точек, не лежащих на одной прямой. Поэтому (rqp) совпадает с (f).

Итак, переведем (A) и (A^{*}) параллельным переносом (p) на вектор (overrightarrow{AA^{*}}) (если (A=A^{*}), то (p) — тождественное преобразование). Затем поворотом (q) вокруг точки (A^{*}) совместим (p(B)) с (B^{*}) (возможно, и это преобразование окажется тождественным). Точка (q(p(C))) либо совпадает с (C^{*}), либо симметрична ей относительно прямой (A^{*}B^{*}). В первом случае цель уже достигнута, а во втором потребуется осевая симметрия относительно указанной прямой. Теорема доказана.

Следует иметь в виду, что полученное разложение ортогонального преобразования не однозначно. Более того, можно поворот или параллельный перенос разложить в произведение осевых симметрий, произведение параллельного переноса и поворота представить как один поворот и так далее. Мы не будем уточнять, как это сделать, а выясним следующее общее свойство всех таких разложений.

Утверждение 5.

При любом разложении ортогонального преобразования в произведение любого числа параллельных переносов, поворотов и осевых симметрий четность числа осевых симметрий, входящих в разложение, одна и та же.

Доказательство.

Для доказательства рассмотрим на плоскости произвольный базис и проследим за изменением его ориентации (направления кратчайшего поворота от (boldsymbol{e}_{1}) к (boldsymbol{e}_{2})) при осуществляемых преобразованиях. Заметим, что поворот и параллельный перенос не меняют ориентацию ни одного базиса, а осевая симметрия меняет ориентацию любого базиса. Поэтому, если данное ортогональное преобразование меняет ориентацию базиса, то в любое его разложение должно входить нечетное число осевых симметрий. Если же ориентация базиса не меняется, то число осевых симметрий, входящих в разложение, может быть только четным.

Определение.

Ортогональные преобразования, которые могут быть разложены в произведение параллельного переноса и поворота, называются ортогональными преобразованиями первого рода, а остальные — ортогональными преобразованиями второго рода.

Ортогональное преобразование в декартовой прямоугольной системе координат записывается формулами:
$$
begin{array}{cc}
& x^{*}=x cos varphi mp y sin varphi+c_{1},\
& y^{*}=x sin varphi pm y cos varphi+c_{2}.
end{array}.nonumber
$$
При верхних знаках коэффициентов у (y) в этих формулах детерминант, составленный из коэффициентов, равен +1, а при нижних знаках он равен —1. Отсюда и из формулы eqref{ref4} следует следующее утверждение.

Утверждение 6.

Ортогональное преобразование первого рода записывается в декартовой прямоугольной системе координат формулами
$$
begin{array}{cc}
& x^{*}=x cos varphi mp y sin varphi+c_{1},\
& y^{*}=x sin varphi pm y cos varphi+c_{2}.
end{array}.nonumber
$$
с верхними знаками у коэффициентов при (y), а ортогональное преобразование второго рода — с нижними знаками.

Разложение аффинного преобразования.

Мы видели, насколько аффинное преобразование может изменить плоскость: окружность может перейти в эллипс, правильный треугольник — в совершенно произвольный. Казалось бы, никакие углы при этом сохраниться не могут. Однако имеет место следующее утверждение

Утверждение 7.

Для каждого аффинного преобразования существуют две взаимно перпендикулярные прямые, которые переходят во взаимно перпендикулярные прямые.

Доказательство.

Для доказательства рассмотрим какую-либо окружность. При данном аффинном преобразовании она перейдет в эллипс. Каждая ось эллипса — множество середин хорд, параллельных другой оси. При аффинном преобразовании хорда перейдет в хорду, параллельность должна сохраниться, а середина отрезка переходит в середину его образа. Поэтому прообразы осей эллипса — отрезки, обладающие тем же свойством: каждый из них есть множество середин хорд окружности, параллельных другому отрезку. Такие отрезки непременно являются двумя взаимно перпендикулярными диаметрами окружности. Это то, что нам требовалось: существуют два взаимно перпендикулярных диаметра окружности, которые переходят во взаимно перпендикулярные отрезки — оси эллипса.

Стоит отметить один особый случай: окружность при аффинном преобразовании может перейти в окружность. В этом случае то же рассуждение проходит с любыми двумя взаимно перпендикулярными диаметрами окружности-образа. Очевидно, что при этом любые два взаимно перпендикулярных направления остаются перпендикулярными.

Определение.

Два взаимно перпендикулярных направления называются главными или синугулярными направлениями аффинного преобразования (f), если они переходят во взаимно перпендикулярные направления.

Теорема 2.

Каждое аффинное преобразование раскладывается в произведение ортогонального преобразования и двух сжатий к двум взаимно перпендикулярным прямым.

Доказательство.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1. Рассмотрим аффинное преобразование (f) и выберем равнобедренный прямоугольный треугольник (ABC) так, чтобы его катеты (AB) и (AC) были направлены вдоль главных направлений преобразования (f). Обозначим через (A^{*}), (B^{*}) и (C^{*}) образы его вершин. Сделаем такое ортогональное преобразование (g), при котором (g(A)=A^{*}), а точки (g(B)) и (g(C)) лежат соответственно на лучах (A^{*}B^{*}) и (A^{*}C^{*}). (Этого легко добиться, как и в теореме 1, параллельным переносом, поворотом и осевой симметрией.)

Пусть (lambda=|A^{*}B^{*}|/|A^{*}g(B)|), a (mu=|A^{*}C^{*}|/|A^{*}g(C)|). Тогда сжатие (p_{1}) к прямой (A^{*}C^{*}) в отношении (lambda) переведет (g(B)) в (p_{1}g(B)=B^{*}) и не сдвинет точек (A^{*}) и (g(C)). Аналогично, сжатие (p_{2}) к прямой (A^{*}B^{*}) переведет (g(C)) в (p_{2}g(C)=C^{*}) и не сдвинет точек прямой (A^{*}B^{*}).

Это означает, что произведение (p_{2}p_{1}g) переводит точки (A), (B) и (C) в точки (A^{*}), (B^{*}) и (C^{*}) так же, как и заданное нам преобразование (f). Согласно ранее доказанному утверждению имеем (p_{2}p_{1}g=f), как и требовалось.

Источник