Как найти пропорции сторон

×

×

Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Смотрите также

Загрузить PDF

Загрузить PDF

Коэффициент пропорциональности (линейный коэффициент пропорциональности) равен отношению двух соответствующих сторон подобных фигур. Подобные фигуры – это фигуры одинаковой формы, но разных размеров. Коэффициент пропорциональности используется для решения основных геометрических задач. Коэффициент пропорциональности можно использовать для вычисления длин неизвестных сторон. С другой стороны, по соответствующим сторонам можно вычислить коэффициент пропорциональности. Такие вычисления связаны с операцией умножения или с упрощением дробей.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 63 673 раза.

Содержание

Отношение — частное двух чисел. Отношение показывает во сколько раз одно число больше другого или какую часть составляет одно число от другого.

Слова отношение и частное — математические синонимы. Разница в том, что члены отношения не могут быть нулями. Частное — термин из математики, отношение — слово из обычной жизни.

$$ 90 : 60 = frac{90} {60} = frac{3} {2} = 1,5$$

Первый способ записи более компактный, особенно он удобен, когда нужно записать отношение двух дробей:
$$ frac{frac{3} {2}} {frac{7} {8}} = frac{3} {2} : frac{7} {8}$$

Многоэтажные дроби — отношения между дробями.

Два вида сравнения величин — абсолютное приращение и относительное — на сколько, во сколько.

Зарплату повысили на 1000 рублей — это много или мало?

Если две величины измерены одной и той же единицей измерения, то отношением этих величин называется отношение их числовых значений.

Ошибкой будет сравнивать величины, выраженные в разных единицах измерения: 50 копеек в 50 раз больше 1 рубля.

• Цена — отношение стоимости товара к количеству единиц его измерения (кг, шт, л, пачек, коробок и т.д.)

• Масштаб карты — отношение расстояния на карте к соответствующему расстоянию на местности

• Масштаб фото

• Производительность труда — отношение объема выполненной работы ко времени, за которое была выполнена эта работа.

• Скорость — отношение длины пройденного пути ко времени, за которое был пройден путь.

Пропорция — равенство двух отношений.

$$ a : b = c : d text{ или } frac{a} {b} = frac{c} {d}$$

Читается так: «отношение a к b равно отношению c к d» или — «a, деленное на b, равно c, деленному на d»
или — «a относится к b, как c относится к d»

a и d называются крайними членами. c и d называются средними членами пропорции.

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов (перекрестное правило).

Гармония (от греч — связь, стройность) — соразмерность отдельных частей, слияние объектов в единое целое. В математике слово соразмерность определяется таким понятием как пропорция.

• Пропорция не нарушится, если поменять местами ее средние члены.

• Пропорция не нарушится, если поменять местами ее крайние члены.

• Что будет, если поменять местами одновременно и крайние и средние члены? [она перевернется вверх тормашками]

См. также. Задачи на пропорцию

Если члены какой-нибудь пропорции поместить в квадрат, то любое отношение чисел, стоящих по одной стороны квадрата, равно отношению стоящих против них чисел по другой стороне.
$$40 qquad 50 \
16 qquad 20$$
Таким образом, получается ряд пропорций из одних и тех же чисел:
$$
frac {40}{16} = frac {50}{20} qquad frac {16}{20} = frac {40}{50} \
frac {20}{50} = frac {16}{40} qquad frac {50}{40} = frac {20}{16} \
frac {50}{20} = frac {40}{16} qquad frac {40}{50} = frac {16}{20} \
frac {16}{40} = frac {20}{50} qquad frac {20}{16} = frac {50}{40} $$

Упражнение. Составьте всевозможные пропорции из чисел 4, 12, 10 и 30.

Упражнение. Составьте пропорции, у которых средними членами были бы 1) 6 и 9; 2) 15 и 7; 3) 0,5 и 1,1. Сколько решений имеет каждая из этих задач?

Тройное Правило. Даны три числа, чтобы найти четвёртое, умножают второе на третье и делят на первое.

Чтобы приготовить тесто для блинчиков, надо взять 8 мерок муки, 5 таких же мерок молока и 1 мерку масла.

Говорят, что продукты нужно взять в частях пропорционально числам 8, 5 и 1.

Сколько г муки надо взять, чтобы получилось 840 г теста.

Рассмотреть 2 способа решения (составить уравнение и решить по действиям)

$$frac{1}{-1}=frac{-1}{1}$$

Данная пропорция носит название «парадокс Арно». Подумай, что в ней сомнительного?

Давай рассуждать вместе «1» больше, чем «−1» верно? Таким образом, согласно логике, левая часть пропорции должна быть больше, чем правая, но они равны… Вот он и парадокс

• Задачи на проценты

• Многие формулы заданы в виде пропорций: теорема синусов, отношение высот в треугольнике, теорема Фалеса

• В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (или углов, или площадей), например 1:2, 2:3  и прочие.

• Перевод единиц измерения — часы в минуты (и наоборот), мили в километры, градусы в радианы

Зависимость двух величин наз. прямой пропорциональностью, если при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз во столько же раз увеличивается (уменьшается) другая величина.
Если две величины являются прямо пропорциональными, то отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

Пример. 3 м ткани стоят 60 рублей, 6 м ткани стоят 120 рублей и т.д.

Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности. Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Обычно обозначают буквой k. Связь между пропорциональными величинами можно записать так: x = k * y.

Контрпример: площадь квадрата не пропорциональна длине его стороны.

Обратно пропорциональные величины — скорость и время. Пропорциональные и прямо пропорциональные величины — одно и тоже понятие. Слово «прямо» используется, чтобы подчеркнуть, что бывают другие виды пропорциональности.

Вопрос. Одна величина пропорциональна другой. Пропорциональна ли вторая величина первой? Приведите пример.

Пропорциональны ли величины, указанные в таблице?

Подбери четвертое слово так, чтобы оно «относилось» к третьему, как второе к первому:

Труд — награда, лень — …

Дружба — любовь, вражда — …

Кино — экран, театр — …

Человек — туловище, дерево — …

Пример

$$20 : 10 : 3 = 60 : 30 : 9$$

Тройную пропорцию можно разбить на три обычные пропорции:

$$20 : 10 = 60 : 30$$
$$10 : 3 = 30 : 9$$
$$20 : 3 = 60 : 9$$

Реши задачу:

Периметр треугольника равен 48 см, а длины его сторон относятся как 7:9:8. Найдите стороны треугольника.

Подсказка 1: Периметр треугольника — это сумма всех сторон треугольника.

Подсказка 2: Запиши тройную пропорцию и разбей ее на три обычные пропорции.

Подсказка 3: Обозначь одну сторону треугольника через x, а остальные стороны найди из пропорций.

Подсказка 4: Запиши выражение для периметра и приравняй 48.

Подсказка 5: Реши полученное уравнение.

Пусть требуется число 414 разделить на 4 части пропорционально числам 7, 3, 4 и 9. Обозначим неизвестные части через $x_1, x_2, x_3, x_4$, зависимость записывается так:
$$x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = 7 : 3 : 4 : 9$$

Надо, чтобы в $x_1$ содержалось 7 некоторых долей, в $x_2$ — 3 доли, в $x_3$ — 4 доли и в $x_4$ — 9 таких же долей. Тогда во всем числе будет $7 + 3 + 4 + 9 = 23$ таких доли, одна доля окажется равной $414:23 = 18$, вслед за чем можно найти все неизвестные части.

Если числа, пропорционально которым надо разделить данное число, дробные, то их можно заменить пропорциональными им целыми. Так, если надо, чтобы

$$x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = frac23 : 1frac12 : frac34 : 4$$,

множим все данные числа на 12:

$$x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = 8: 18: 9 : 36$$

Отношения между числами от этого не изменятся, а все числа станут целыми.

Разверстайте оплату счета за воду: 6 руб 40 коп — между семействами из 4, 7, 5, 3 и 4 человека.

Учебники:
Янченко, Кравчук — 6 класс
Рабочая книга по математике для пятого года обучения в городской школе. (М.Ф. Берг. 1930 год)

См. также Золотое сечение

Если $frac{a}{b} = frac{c}{d}$, то $frac{a+b}{b} = frac{c+d}{d}$

Если $frac{a}{b} = frac{c}{d}$, то $frac{a-b}{b} = frac{c-d}{d}$

Если $frac{a}{b} = frac{c}{d}$, то $frac{a}{c} = frac{b}{d} $

Если $frac{a}{b} = frac{c}{d}$, то $frac{d}{b} = frac{c}{a} $

Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции верны.

Равенство отношений — геометрическая пропорция

Равенство разностей — арифметическая пропорция $a-b=c-d$

Гармоническая пропорция: Если у геометрической пропорции средние члены равны, а последний является разницей между первым и средним, такая пропорция называется гармонической: $a : b=b :(a-b)$. См. Золотое сечение