Как найти пропорциональные стороны подобных треугольников

План урока:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй и третий признаки подобия треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Пропорциональные отрезки

Если известна длина двух отрезков, то можно узнать, во сколько раз один из них больше другого. Например, если некоторый отрезок NM = 24 см, а другой отрезок KP = 4 см, то можно утверждать, что NM в 6 раз длиннее, так как

Величину NM/KP именуют отношением отрезков NM и KP. Надо заметить, что в ряде случаев отношение отрезков можно найти, не зная их длины. Пусть в ∆МКР проведена медиана МН. Очевидно, что отрезок КР будет вдвое длиннее КН, ведь Н – середина КР:

Другой пример – это отношение между диагональю квадрата и его стороной.

Используя теорему Пифагора, несложно показать, что в любом квадрате АВСD

Наконец, в прямоугольном треуг-ке, один из углов которого равен 30°, гипотенуза всегда вдвое длиннее меньшего из катетов:

Если отношение отрезка AB к А₁В₁ равно отношению отрезка СD к С₁D₁, то говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и С₁D₁. Например, пусть

Получается, AВ и CD пропорциональны А₁В₁ и С₁D₁. Важно отметить, что пропорциональны могут быть также сразу три и более отрезка.

Определение подобных треугольников

В жизни нередко можно наблюдать объекты, у которых совпадает форма, но отличаются размеры. В качестве примера можно привести мяч для настольного тенниса и баскетбольный мяч. Оба этих предмета имеют форму шара, на баскетбольный мяч значительно больше. Другой пример – настоящий танк и игрушка, изображающая его. Часто подобны друг другу матрешки, которые вкладываются друг в друга – все они выглядят одинаково, а отличаются только общим размером. Наконец, подобны и знаменитые египетские пирамиды:

Такие объекты в геометрии именуют подобными. Подобны друг другу любые две окружности и любые два квадрата. Но особо важную роль в геометрии играют подобные треугольники. Рассмотрим это понятие подробнее.

Пусть есть два треуг-ка, ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, у которых соответственно равны углы:

Стороны, которые лежат против одинаковых углов в таких треуг-ках, именуют сходственными. Ими являются стороны AВ и А₁В₁, ВС и В₁С₁, АС и А₁С₁.

Можно дать такое определение подобных треугольников:

Таким образом, подобие треугольников (оно обозначается символом ∾) обозначает выполнение сразу нескольких равенств:

Отношение между сходственными сторонами подобных треуг-ков именуется коэффициентом подобия и обозначается буквой k:

Грубо говоря, подобие треуг-ков означает, что их форма одинакова, но один из них в несколько раз больше или меньше другого. Чтобы получить, из одного треуг-ка другой, равный ему по размерам, его надо просто «масштабировать». Например, на этом рисунке все стороны исходного треуг-ка просто увеличили в три раза:

Это значит, что коэффициент подобия в данном случае равен 3. Однако важно понимать, что в различных геометрических задачах подобные треуг-ки также могут быть повернуты друг относительно друга:

Задание. ∆AВС подобен ∆DEF. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. Как только в задаче появляются подобные треуг-ки, стоит сразу же определить их коэффициент подобия, а для этого надо разобраться, какие стороны будут сходственными. Так как∠А = ∠Е, то лежащие против них стороны DF и ВС– сходственные. Их отношение и будет равно коэффициенту подобия:

Получили, что стороны ∆DEF вдвое длиннее сходственных им сторон ∆AВС. У подобных треуг-ков углы одинаковы, поэтому∠С = ∠D. Отсюда следует, что стороны AВ и ЕF сходственны, а потому ЕF вдвое больше:

Задание. ∆AВС и∆DEF – подобные. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. По сравнению с предыдущей задачей изменилось только одно условие, теперь∠А = ∠D. Однако это меняет сходственные стороны. Из подобия треуг-ков следует, что∠С = ∠Е. Тогда сходственными оказываются уже стороны AВ и DF. Найдем коэффициент подобия треугольников:

Сходственными являются также стороны ВС и ЕF (ведь∠А = ∠D), поэтому ЕF в 1,25 раза длиннее:

Эти две задачи показывают, как важно правильно определять сходственные стороны подобных треугольников.

Естественно, что все равные друг другу треуг-ки являются одновременно и подобными, причем их коэффициент подобия равен единице.

Задание. Докажите, что у подобных треуг-ков отношение их периметров равно коэффициенту подобия.

Решение. Пусть подобны ∆ AВС и ∆А₁В₁С₁, причем

Периметр ∆AВС можно вычислить так:

Мы доказали утверждение, сформулированное в условии.

Первый признак подобия треугольников

Оказывается, для того, чтобы доказать подобие треуг-ков, не требуется сравнивать все их углы и находить соотношение всех сторон. Существуют три простых признака подобия треугольников.

Однако прежде, чем сформулировать их, нам придется доказать отдельное утверждение, которое известно как обобщенная теорема Фалеса («обычную», не обобщенную теорему мы уже изучали ранее).

Если прямые ВВ₁ и СС₁ (показаны красным цветом)параллельны, то отрезки AВ и АС пропорциональны отрезкам AВ₁ и АС₁, то есть справедливо соотношение:

Доказывать будем от противного. Пусть отрезки AВ и АС непропорциональны AВ₁ и АС₁. Тогда отметим наАС такую точку Н, которая разобьет АС на пропорциональные отрезки, то есть

Естественно, эта точка не будет совпадать с С₁. Рассмотрим случай, когда она окажется правее, чем С₁:

Теперь поступим следующим образом. Проведем через стороны угла большое число прямых, параллельных ВС, которые будут разбивать АС на одинаковые отрезки. По теореме Фалеса эти же прямые отсекут одинаковые отрезки и на AВ. При этом мы проведем настолько много параллельных прямых, что хотя бы одна из них пересечет отрезок С₁Н:

Пусть эта прямая пересечет отрезок С₁Н в некоторой точке С₂, а сторону AВ в точке В₂. Ясно, что отрезки AВ и АВ₂ пропорциональны отрезкам АС и АС₂, так как они состоят из одинакового количества одинаковых отрезков. Например, на построенном рисунке отношение AB₂ к AB равно 5/8, так как AB₂ состоит из 5 отрезков, отсеченных зелеными параллельными прямыми, а AB состоит из 8 таких отрезков. Аналогично и отношение АС₂ к АС также равно 5 к 8. Таким образом, можно записать:

Здесь мы рассмотрели случай, когда точка Н лежит правее С₁, то есть АН >C₁. Случай, когда АН <АС₁, рассматривается аналогично, и также получается противоречие. Эти противоречия означают, что на самом деле точка Н должна совпадать с С₁, то есть справедливо равенство

ч.т. д.

Теперь, доказав обобщенную теорему Фалеса, мы можем перейти к первому признаку подобия треугольников.

Действительно, пусть есть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, у которых

Так как сумма углов у любого треуг-ка постоянна и составляет 180°, то должны быть одинаковы и третьи углы:

При таком наложении прямые ВС и В₁С₁ окажутся параллельными, так как соответственные углы ∠В₁С₁А и ∠ВСА одинаковы. Но параллельные прямые должны отсекать на сторонах угла пропорциональные отрезки, то есть

У ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ углы одинаковы, а лежащие напротив них стороны пропорциональны, следовательно, это подобные треуг-ки.

Задание. Прямая, параллельная стороне AВ ∆AВС, пересекает стороны ВС и АС в точках Е и Р. Известно, что ЕС = 2, ВЕ = 3, ЕР = 3,2. Какова длина AВ?

Решение. В данной задаче есть только два треуг-ка, ∆AВС и ∆РЕС. Докажем их подобие. У них есть общий∠С, а ∠СЕР = ∠СВА, ведь это односторонние углы при параллельных прямых ЕР и AВ. Отсюда следует, что ∆AВС∾∆РЕС. Значит, ∠А = ∠СРЕ.

Далее надо найти коэффициент подобия. Стороны СЕ и ВС лежат против равных углов∠А и ∠СРЕ, поэтому они сходственные.

Задание. По данным рисунка найдите длину КЕ:

Решение. На рисунке показано, что ∠ВСА = ∠СКЕ, а∠А = ∠Е = 90°. То есть у ∆AВС и ∆СКЕ есть два одинаковых угла, и, следовательно, они подобны. Сходственными будут являться стороны AВ и ЕС, с их помощью найдем коэффициент подобия:

Задание. Основания трапеции имеют длины 5 и 8 см. Длины ее боковых сторон составляют 3,6 и 3,9 см. Продолжения боковых сторон пересекаются в точке М. Определите расстояние от М до вершин меньшего основания.

Решение. Для начала выполним построение:

Отрезки ВС и АD параллельны, так как они являются основаниями трапеции. Отсюда получаем равенство соответственных углов:

Теперь посмотрим на ∆АМD и ∆ВМС. МЫ только что выяснили, что у них есть одинаковые углы (∠МВС и ∠МАD), а ∠М является общим для них. Тогда получаем, что эти треуг-ки подобны. Стороны ВС и AD будут сходственными, так как лежат против одного и того же ∠М, поэтому по их длине можно найти коэффициент подобия:

Для нахождения МВ обозначим его длину как х. Тогда отрезок АМ будет иметь длину х + 3,9. Но из подобия треуг-ков следует такое соотношение:

Подставив сюда значение k и выраженные через х длины АМ и МВ, получим уравнение:

МС можно найти таким же путем, обозначив его длину как у. Тогда отрезок МD будет равен у + 3,6, и можно составить уравнение:

Второй и третий признаки подобия треугольников

Существует ещё два признака подобия треуг-ков, которые в решении задач используются значительно реже. Они выводятся непосредственно из первого признака.

Докажем второй признак подобия. Пусть есть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, для которых выполняются соотношения:

Необходимо доказать, что они подобны. Для этого построим ещё один ∆AВС₂, который будет иметь общую сторону с ∆AВС, причем точку С₂ мы выберем так, что будут выполняться условия:

∆А₁В₁С₁ и ∆AВС₂ будут подобными, ведь у них одинаковы два угла. Значит, будет выполняться соотношение

Но тогда ∆AВС и ∆AВС₂ будут равными, ведь у них одинаковы две стороны и угол, образованный этими сторонами:

В итоге у ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ оказываются два одинаковых угла, то есть они подобны друг другу

ч. т. д.

Задание. На стороне угла отмечены точки A и В так, что AВ = 5 см и АС = 16 см. На другой стороне этого же угла отмечены точки С и D так, что AD = 8 cм и AF = 10 см. Подобны ли ∆АСD и ∆AFB? 

Решение.

У рассматриваемых треуг-ков есть общий угол ∠А. Найдем отношение сторон, прилегающих к этому углу.

Отношения одинаковы, значит, треуг-ки подобны.

Примечание. В данном случае важно понимать, какие стороны надо делить друг на друга. У ∆АСD известны стороны АС и АD, равные 16 и 8 см. У ∆AFB известны AF и AB, которые составляют 10 и 5 см. Делить надо большую сторону одного треуг-ка на большую сторону другого треуг-ка, то есть 16 на 10. Потом же делим меньшие стороны, то есть 8 на 5.Если получили одно и тоже число, то это значит, что рассмотренные треуг-ки подобны, причем полученное число как раз и является коэффициентом подобия.

Рассмотрим третий признак подобия треуг-ков.

Докажем его. Пусть у ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ пропорциональны их стороны:

Можно заметить, что ∆AВС₂ и ∆А₁В₁С₁ подобны, ведь у них совпадают два угла. Тогда верны соотношения:

Самая левая дробь в обоих случаях одинакова, а в других отличны лишь числители. Значит, эти числители одинаковы:

Но тогда у ∆AВС и ∆AВС₂ совпадают все стороны, то есть эти треуг-ки равные. Следовательно. Так как ∆AВС₂ подобен ∆А₁В₁С₁, то и равный ему ∆AВС также подобен ∆А₁В₁С₁

ч. т. д.

Задание. Подобны ли ∆AВС и ∆DEF, если их стороны имеют длины:

Решение.

Для проверки достаточно просто поделить длины сторон друг на друга. При этом большую сторону одного треуг-ка будем делить на большую сторону другого, а меньшую – на меньшую. Если в результате отношение всех трех сторон будет одинаково, то можно утверждать, что треуг-ки подобны:

Все три раза мы получали число 2, именно оно и является коэффициентом подобия треуг-ков.

Отношение площадей подобных треугольников

Если треуг-ки подобны, то их стороны отличаются в k раз, где k– коэффициент подобия. А как соотносятся друг с другом длины их высот, медиан и других характерных отрезков. Несложно догадаться, что они также отличаются в k раз.

Докажем это на примере высот. Пусть есть подобные ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, причем их коэффициент подобия равен k:

Проведем в них высоты СН и С₁Н₁:

Теперь сравним ∆АСН и ∆А₁С₁Н₁. Из подобия ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ следует, что

Аналогично можно доказать, что в k раз будут отличаться длины медиан и биссектрис.

А каким будет отношение площадей подобных треугольников?Оказывается, что они отличаются уже в k² раз. Докажем это.

Пусть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ подобны с коэффициентом подобия k. Снова проведем в них высоты СН и СН₁:

Запишем очевидные равенства:

В итоге получили, что площади подобных треугольников отличаются в k² раз.

Задание. Известно, у ∆AВС площадь составляет 10, а отрезок AВ имеет длину 5. ∆DEF подобен ∆AВС, причем сторона DE, сходственная AВ, равна 15. Вычислите площадь ∆DEF.

Решение. По условию задачи легко найти коэффициент подобия ∆AВС и ∆DEF, надо лишь поделить одну сходственную сторону на другую:

Задание. Площади двух подобных треуг-ков составляют 75 м² и 300 м². Одна из сторон второго треуг-ка равна 9 м. Вычислите сходственную ей сторону первого треуг-ка.

Решение. Зная площади треуг-ков, легко найдем коэффициент их подобия:

Если коэффициент равен 2, то стороны первого многоугольника вдвое меньше сторон второго, поэтому интересующая нас сторона равна

9:2 = 4,5 м

Ответ: 4,5 м.

Подобные треугольники

3 октября 2022

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого.

Подобные треугольники — ключевая тема геометрии 8 класса. Они будут преследовать нас до самого конца школы. И сегодня мы разберём всё, что нужно знать о них.

План такой:

1. Основное определение
2. Лемма о подобных треугольниках
3. Свойства подобных треугольников
4. Разбор задач

1. Основное определение

Определение. Треугольники называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MNK$:

У них есть равные углы: $angle A=angle M$, $angle B=angle N$, $angle C=angle K$. И пропорциональные стороны:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}= frac{AC}{MK}= frac{color{red}{3}}{color{red}{2}}]

Следовательно, треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны. Записывается это так:

[Delta ABCsim Delta MNK]

Число $k={color{red}{3}}/{color{red}{2}};$ называется коэффициентом подобия. К нему мы ещё вернёмся.

Пропорциональные стороны подобных треугольников (например, $AB$ и $MN$, либо $BC$ и $NK$) в некоторых учебниках называют сходственными. На практике этот термин применяется редко. Мы будем говорить просто «соответственные стороны».

Дальше идёт очень важное замечание.

1.1. Обозначение подобных треугольников

В геометрии один и тот же треугольник можно называть по-разному. Например, $Delta ABC$, $Delta BCA$ или $Delta CAB$ — это всё один и тот же треугольник. То же самое касается и углов.

Но в подобных треугольниках есть негласное правило:

При обозначении подобных треугольников порядок букв выбирают так, чтобы равные углы перечислялись в одной и той же последовательности.

Вернёмся к нашим треугольникам $ABC$ и $MNK$:

Поскольку $anglecolor{red}{A}=anglecolor{red}{M}$ и $anglecolor{blue}{B}=anglecolor{blue}{N}$, можно записать $Deltacolor{red}{A}color{blue}{B}Csim Deltacolor{red}{M}color{blue}{N}K$. Или $Delta Ccolor{red}{A}color{blue}{B}sim Delta Kcolor{red}{M}color{blue}{N}$. Но никак не $Deltacolor{red}{A}color{blue}{B}Csim Delta Kcolor{red}{M}color{blue}{N}$.

Да, это негласное правило. И если вы нарушите последовательность букв, это не ошибка. Никто не снизит вам за это баллы. А если снизит — добро пожаловать на апелляцию.

Правильная запись позволяет быстро и безошибочно выписывать пропорциональные стороны треугольников. Рассмотрим два подобных треугольника:

[Delta ABCsim Delta MNK]

Берём две первые буквы из каждого треугольника: ${AB}/{MN};$. Затем две последние буквы: ${BC}/{NK};$. Наконец, вычёркиваем «центральную» букву: ${AC}/{MK};$.

Приравниваем полученные три дроби:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}]

Вот и всё! Даже рисунок не нужен! Этот приём настолько прост и эффективен, что его в обязательном порядке изучают на моих занятиях, курсах и вебинарах.

В будущем мы увидим, что подобные треугольники чаще всего ищут как раз для составления таких пропорций.

2. Лемма о подобных треугольниках

Подобные треугольники появляются всякий раз, когда прямая, параллельная стороне треугольника, пересекает его стороны.

Теорема 1. Прямая, пересекающая две стороны треугольника и параллельная третьей стороне, отсекает треугольник, подобный исходному.

Доказательство. Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть прямая $MNparallel AB$ отсекает треугольник $MNC$:

Докажем, что $Delta ABCsim Delta MNC$. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MNC$. У них есть общий угол $ACB$.

Углы $ABC$ и $MNC$ — соответственными при $MNparallel AB$ и секущей $BC$. Следовательно, они равны: $angle ABC=angle MNC$.

Аналогично равны углы $BAC$ и $NMC$. Следовательно, треугольники $ABC$ и $MNC$ имеют три соответственно равных угла.

Докажем теперь, что соответственные стороны пропорциональны. Т.е. докажем пропорцию

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NC}=frac{AC}{MC}]

Рассмотрим угол $ACB$. Параллельные прямые $AB$ и $MN$ пересекают стороны этого угла. По теореме о пропорциональных отрезках:

[frac{AC}{MC}=frac{BC}{NC}]

Это равенство — второе в искомом:

[frac{AB}{MN}= color{red}{frac{BC}{NC}=frac{AC}{MC}}]

Осталось доказать первое равенство. Дополнительное построение: прямая $KNparallel AC$:

Поскольку $AMparallel KN$ (по построению) и $AKparallel MN$ (по условию), четырёхугольник $AKNM$ — параллелограмм. Поэтому $AK=MN$.

Рассмотрим угол $ABC$. Параллельные прямые $AC$ и $KN$ пересекают стороны этого угла. По теореме о пропорциональных отрезках:

[frac{AB}{AK}=frac{BC}{NC}]

Учитывая, что $AK=MN$, получаем

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NC}=frac{AC}{MC}]

Итак, соответственные углы треугольников $ABC$ и $MNC$ равны, а их стороны пропорциональны. Следовательно, по определению подобных треугольников

[Delta ABCsim Delta MNC]

Что и требовалось доказать.

Эта лемма — не признак подобия. Это самостоятельная теорема, которая ускоряет решение многих задач.

Признаки подобия разобраны в отдельном уроке — см. «Признаки подобия треугольников».

Частный случай этой леммы — средняя линия. Она отсекает треугольник со сторонами в два раза меньше, чем у исходного:

Оформляется это так. Поскольку $AM=MC$ и $BN=NC$, то $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Следовательно, прямые $AB$ и $MN$ параллельны, откуда

[Delta ABCsim Delta MNC]

3. Свойства подобных треугольников

Два важнейших свойства: связь периметров и связь площадей.

3.1. Периметры подобных треугольников

Теорема 2. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Доказательство. Рассмотрим подобные треугольники $ABC$ и $MNK$:

Запишем равенство из определения подобия. Поскольку $Delta ABCsimDelta MNK$, стороны этих треугольников пропорциональны:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}=color{red}{k}]

Здесь число $color{red}{k}$ — коэффициент подобия. Полученное тройное равенство можно переписать так:

[frac{AB}{MN}=color{red}{k}; frac{BC}{NK}=color{red}{k}; frac{AC}{MK}=color{red}{k}]

Или, что то же самое:

[begin{align}AB&=color{red}{k}cdot MN \ BC &=color{red}{k}cdot NK \ AC &=color{red}{k}cdot MK \ end{align}]

Периметр треугольника $MNK$:

[{{P}_{Delta MNK}}=MN+NK+MK]

Периметр треугольника $ABC$:

[begin{align}{{P}_{Delta ABC}} &=AB+BC+CD= \ &=color{red}{k}cdot MN+color{red}{k}cdot NK+color{red}{k}cdot MK= \ &=color{red}{k}cdot left( MN+NK+MK right)= \ &=color{red}{k}cdot {{P}_{Delta MNK}} end{align}]

Итого получаем равенство

[{{P}_{Delta ABC}}=color{red}{k}cdot {{P}_{Delta MNK}}]

Обычно именно в таком виде это равенство и применяют. Но можно записать его и как отношение:

[frac{{{P}_{Delta ABC}}}{{{P}_{Delta MNK}}}=color{red}{k}]

В любом случае, мы получили отношение, которое и требовалось доказать.

3.2. Площади подобных треугольников

Теорема 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство. Первые шаги очень похожи на доказательство предыдущей теоремы. Вновь рассмотрим подобные треугольники $ABC$ и $MNK$:

Поскольку $Delta ABCsimDelta MNK$, углы $ABC$ и $MNK$ равны. Следовательно, равны синусы этих углов:

[begin{align}angle ABC &=angle MNK=color{blue}{alpha} \ sin angle ABC &=sin angle MNK=sin color{blue}{alpha} end{align}]

Кроме того, стороны подобных треугольников пропорциональны:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}=color{red}{k}]

В частности, из этого равенства следует, что

[frac{AB}{MN}=color{red}{k}; frac{BC}{NK}=color{red}{k}]

Или, что то же самое:

[begin{align}AB &= color{red}{k}cdot MN \ BC &= color{red}{k}cdot NK \ end{align}]

Площадь треугольника $MNK$:

[{{S}_{Delta MNK}}=frac{1}{2}cdot MNcdot NKcdot sin color{blue}{alpha} ]

Площадь треугольника $ABC$:

[begin{align}{{S}_{Delta ABC}} &=frac{1}{2}cdot ABcdot BCcdot sincolor{blue}{alpha} = \ &=frac{1}{2}cdotcolor{red}{k}cdot MNcdotcolor{red}{k}cdot NKcdot sincolor{blue}{alpha} = \ &={color{red}{k}^{2}}cdot frac{1}{2}cdot MNcdot NKcdot sin alpha = \ &={color{red}{k}^{2}}cdot {{S}_{Delta MNK}} end{align}]

Получаем равенство

[{{S}_{Delta ABC}}={color{red}{k}^{2}}cdot {{S}_{Delta MNK}}]

Перепишем в виде отношения:

[frac{{{S}_{Delta ABC}}}{{{S}_{Delta MNK}}}={color{red}{k}^{2}}]

Что и требовалось доказать.

Для доказательства теоремы мы использовали формулу площади треугольника:

[{{S}_{Delta }}=frac{1}{2}absin alpha ]

Тригонометрию проходят после подобия, поэтому мы опираемся на ещё не изученный материал.

Впрочем, ничто не мешает взять уже известную формулу:

[{{S}_{Delta }}=frac{1}{2}ah]

Здесь $a$ — сторона треугольника, $h$ — высота, проведённая к этой стороне. Дело в том, что высоты в подобных треугольниках тоже пропорциональны. И не только высоты. Назовём это Свойством 3.3.:)

3.3. Элементы подобных треугольников

Теорема 4. Отношение высот, биссектрис и медиан, проведённых к соответствующим сторонам подобных треугольников, равно коэффициенту подобия.

Проиллюстрируем это на высотах. Пусть треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны:

В этом случае высоты $CDbot AB$ и $KLbot MN$ относятся как

[frac{CD}{KL}=frac{AB}{MN}= color{red}{k}]

Для доказательства этой теоремы нужно знать признаки подобия. Поэтому оставим его до следующего урока. А сейчас переходим к задачам.

4. Задачи на подобие

Здесь разобрано пять задач на подобие треугольников. Все они довольно простые. За сложными задачами добро пожаловать в задачник.:)

Задача 1. Готовые треугольники

Известно, что треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны, причём $angle A=angle M$, $angle B=angle N$, $angle C=angle K$. Кроме того, стороны $AB=6$, $BC=7$, $AC=10$ и $MN=9$. Найдите стороны $NK$ и $MK$.

Решение. Построим треугольники $ABC$ и $MNK$, отметим известные стороны:

Из условия $Delta ABCsim Delta MNK$ следует, что верно равенство

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}]

Подставим в это равенство всё, что нам известно:

[frac{color{red}{6}}{color{red}{9}}=frac{color{red}{7}}{NK}=frac{color{red}{10}}{MK}]

Опустим последнюю дробь и получим пропорцию

[frac{color{red}{6}}{color{red}{9}}=frac{color{red}{7}}{NK}]

Найдём сторону $NK$:

[NK=frac{color{red}{9}cdot color{red}{7}}{color{red}{6}}=10,5]

Аналогично, убирая среднюю дробь, получим пропорцию

[frac{color{red}{6}}{color{red}{9}}=frac{color{red}{10}}{MK}]

Найдём сторону $MK$:

[NK=frac{color{red}{9}cdot color{red}{10}}{color{red}{6}}=15]

Ответ: $NK=10,5$, $MK=15$.

Задача 2. Прямая, параллельная стороне

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает сторону $AB$ в точке $D$, а сторону $BC$ — в точке $E$. Найдите:

а) Отрезок $BD$, если $AB=16$, $AC=20$, $DE=15$.

б) Отрезок $AD$, если $AB=28$, $BC=63$, $BE=27$.

Решение. Для начала построим рисунок. Он будет общий для обоих пунктов.

Из условия следует, что прямая $DE$ пересекает стороны треугольника $ABC$:

Поскольку $DEparallel AC$, по лемме о подобных треугольниках прямая $DE$ отсекает от треугольника $ABC$ новый треугольник, подобный исходному:

[Delta ABCsim Delta DBE]

Из подобия треугольников $ABC$ и $DBE$ следует равенство

[frac{AB}{DB}=frac{BC}{BE}=frac{AC}{DE}]

Решаем пункт а). Подставляем в это равенство всё, что нам известно:

[frac{color{red}{16}}{DB}=frac{BC}{BE}=frac{color{red}{20}}{color{red}{15}}]

Вычёркиваем среднюю дробь и получаем пропорцию

[frac{color{red}{16}}{DB}=frac{color{red}{20}}{color{red}{15}}]

Отсюда легко найти $DB$ (или, что то же самое, $BD$):

[DB=frac{color{red}{16}cdotcolor{red}{15}}{color{red}{20}}=12]

Аналогично решаем пункт б). Подставляем в исходное равенство известные величины:

[frac{color{red}{28}}{DB}=frac{color{red}{63}}{color{red}{27}}=frac{AC}{DE}]

Первые две дроби образуют пропорцию, из которой вновь легко найти $DB$:

[DB=frac{color{red}{28}cdotcolor{red}{27}}{color{red}{63}}=12]

Осталось найти $AD$:

[begin{align}AD &=AB-BD= \ &=color{red}{28}-color{red}{12}=16 end{align}]

Ответ: а) $BD=12$; б) $AD=16$.

Важное замечание по работе с пропорциями. Ни в коем случае не нужно перемножать числа в числителе.

Напротив: нужно разложить их на множители и сократить!

Взгляните:

[DB=frac{color{red}{28}cdotcolor{red}{27}}{color{red}{63}}=frac{4cdotcolor{blue}{7}cdot 3cdotcolor{green}{9}}{color{blue}{7}cdotcolor{green}{9}}=12]

Так вы сэкономите время, избежите умножения столбиком и защитите себя от множества ошибок. Никогда не умножайте большие числа, если дальше их нужно будет сокращать.

Задача 3. Доказательство подобия

Точки $M$ и $K$ — середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$ соответственно. Докажите, что треугольники $MDK$ и $BCD$ подобны.

Решение. Сделаем первоначальный рисунок по условию задачи:

Здесь нет прямых, параллельных сторонам треугольника, поэтому лемма о подобных треугольниках не поможет. Докажем подобие по определению.

Сначала разберёмся с углами. Поскольку $ABCD$ — квадрат, и $KD=MD$ — половина стороны квадрата, треугольники $MDK$ и $BCD$ — прямоугольные и равнобедренные.

Все острые углы треугольников $MDK$ и $BCD$ равны 45°. Можем записать это так:

[begin{align}angle BCD &=angle MDK={90}^circ \ angle CBD &=angle DMK={45}^circ \ angle CDB &=angle DKM={45}^circ \ end{align}]

Дополнительное построение: диагональ квадрата $color{red}{AC}$:

Рассмотрим треугольник $ACD$. Отрезок $KM$ — средняя линия, поэтому $KM={color{red}{AC}}/{2};$. С другой стороны, $AC=BD$ как диагонали квадрата. Поэтому верно равенство

[frac{KM}{BD}=frac{KM}{color{red}{AC}}=frac{1}{2}]

Но тогда выполняется следующее равенство:

[frac{MD}{BC}=frac{DK}{CD}=frac{MK}{BD}=frac{1}{2}]

А это вместе с равенством углов как раз и означает, что треугольники $MDK$ и $BCD$ подобны:

[Delta MDKsim Delta BCD]

Доказательство завершено.

Мы доказали подобие треугольников по определению. Если пользоваться признаками подобия, всё будет намного быстрее. Но пока мы не вправе пользоваться этими признаками.

Задача 4. Вписанный ромб

В треугольник $ABC$ вписан ромб $BDEK$ так, как показано на рисунке. Найдите сторону ромба, если $AB=10$, $BC=15$.

Решение. Пусть искомая сторона ромба равна $color{red}{x}$. Из условия задачи получим такой рисунок:

Зная, что $AB=10$ и $BC=15$, выразим $AK$ и $CD$:

[begin{align}AK &=10-color{red}{x} \ CD &=15-color{red}{x} \ end{align}]

Далее рассмотрим треугольник $ABC$. Поскольку $BDEK$ — ромб, то $KEparallel BC$. По лемме о подобных треугольниках имеем:

[Delta ABCsim Delta AKE]

В подобных треугольниках подобные стороны пропорциональны, поэтому

[frac{AB}{AK}=frac{BC}{KE}=frac{AC}{AE}]

Подставим в это равенство всё, что нам известно или выражено через $color{red}{x}$:

[frac{10}{10-color{red}{x}}=frac{15}{color{red}{x}}=frac{AC}{AE}]

Последняя дробь оказалась бесполезной. Вычеркнем её и получим пропорцию:

[frac{10}{10-color{red}{x}}=frac{15}{color{red}{x}}]

Применяем основное свойство пропорции и уравнение:

[begin{align}10cdotcolor{red}{x} &=15cdot left( 10- color{red}{x} right) \ 2cdotcolor{red}{x} &=3cdot left( 10- color{red}{x} right) \ &cdots\ color{red}{x} &=6 end{align}]

Это и есть искомая сторона ромба. Она равна $color{red}{x}=6$.

Ответ: $BD=6$.

Задача 5. Свойства биссектрисы

В треугольнике $ABC$ стороны $AB=8$, $BC=12$, угол $ABC={120}^circ $. Отрезок $BD$ — биссектриса. Найдите длину $BD$.

Решение. Из условия задачи можно сделать вот такой рисунок:

Поскольку $BD$ — биссектриса угла в треугольнике, точка $D$ делит сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные сторонам $AB$ и $BC$. Это можно записать так:

[frac{AD}{CD}=frac{AB}{CB}=frac{color{red}{8}}{color{red}{12}}=frac{color{red}{2}}{color{red}{3}}]

Обозначим пропорциональные отрезки переменными. Пусть $AD=color{blue}{2x}$, $CD=color{blue}{3x}$.

Дополнительное построение: прямая $DMparallel AB$:

Рассмотрим угол $ACB$. Поскольку $DMparallel AB$, по теореме о пропорциональных отрезках получаем, что

[frac{BM}{CM}=frac{AD}{CD}=frac{color{red}{2}}{color{red}{3}}]

Вновь обозначим пропорциональные отрезки переменными. Пусть $BM=color{blue}{2y}$, $CM=color{blue}{3y}$. Но тогда

[BC=BM+MC=color{blue}{5y}=color{red}{12}]

Получаем, что $color{blue}{y}=color{red}{2,4}$. Отсюда легко найти длину $BM$:

[BM=color{blue}{2y}=2cdotcolor{red}{2,4}= color{red}{4,8}]

Далее заметим, что если угол $ABC$ равен 120°, то

[angle ABD=angle CBD={60}^circ ]

С другой стороны, прямые $AB$ и $MD$ параллельны по построению. Прямая $BD$ — секущая для этих параллельных прямых.

Следовательно, углы $ABD$ и $BDM$ — внутренние накрест лежащие, поэтому

[angle BDM=angle ABD={60}^circ ]

Рассмотрим треугольник $BDM$. В нём есть два угла по 60°. Следовательно, это равносторонний треугольник:

[BD=BM=color{red}{4,8}]

Мы нашли длину отрезка $BD$. Задача решена.

Ответ: $BD=4,8$.

Итак, с определением разобрались. В следующем уроке разберём признаки подобия.:)

Смотрите также:

1. Как применяется теорема косинусов и подобие треугольников для решения широкого класса задач в планиметрии.
2. Теорема менелая
3. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
4. Введение системы координат
5. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
6. Нестандартная задача B5 на площадь круга

Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников

Определение подобных треугольников

Определение 1. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Определение 2. Сходственными называются стороны подобных треугольников, лежащих напротив равных углов.

На рисунке 1 углы треугольников ( small ABC ) и ( small A_1B_1C_1 ) соответственно равны:

Тогда стороны ( small AB ) и ( small A_1B_1 ), ( small BC ) и ( small B_1C_1 ), ( small AC ) и ( small A_1C_1 ) называются сходственными.

Определение 1 можно понимать так: два треугольника подобны, если для них можно ввести обозначения и (Рис.1) так, что

Если два треугольника и подобны, то это обозначают так:

Коэффициент подобия треугольников

Коэффициентом подобия треугольников k − это число, равное отношению сходственных сторон (см. формулу (2)).

Перый признак подобия треугольников

Теорема 1. Если два угла одного треугольника соответсвенно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть заданы два треугольника и и пусть , . Докажем, что (Рис.2).

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то можно записать:

и, так как , , получим:

Таким образом углы треугольника соответственно равны углам треугольника . Покажем, теперь, что стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника, т. е. выполнено равенство (2).

Площади треугольников и по двум сторонам и углу между ними можно вычислить формулами:

Из (3) и (4), и из следует:

С другой стороны:

Из (6) и (7), и из следует:

Левые части уравнения (5) и (8) равны. Следовательно равны и правые части:

Умножая левую и правую части уравнения (9) на , получим:

Продолжая аналогичные рассуждения, получим:

Сравнивая (8) и (11), получим:

Умножая левую и правую части уравнения (12) на , получим:

Из (10) и (13), получим:

То есть стороны треугольника пропорциональны сходственным сторонам треугольника . Что и требовалось доказать.

Второй признак подобия треугольников

Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть заданы два треугольника и и пусть , . Докажем, что (Рис.3).

Рассмотрим треугольник у которого

Из условия (15) следует, что треугольники и подобны (по первому признаку подобия треугольников). Следовательно:

Но по условию теоремы . Поэтому . Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними (сторона AB общая, , (поскольку и )). Следовательно и поскольку , то .

Получили, что и . Тогда по первому признаку подобия треугольников .

Третий признак подобия треугольников

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть стороны треугольников пропорциональны:

Докажем, что . Рассотрим треугольник у которого , (Рис.3). Треугольники и подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда выполнено следующее равенство:

Сравнивая равенства (16) и (17) получаем: , .

Из этих рассуждений следует, что треугольники и равны по трем сторонам (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Тогда , а поскольку , то . Следовательно, по второму признаку подобия треугольников, треугольники и подобны: .

Отношение площадей подобных треугольников

Теорема 4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство. Пусть треугольники и подобны. Тогда

и

где -коэффициент подобия.

Площади треугольников и по двум сторонам и углу между ними равны:

Тогда

22
Авг 2013

Категория: Справочные материалы

Подобные треугольники

2013-08-22
2014-01-31

Автор: egeMax |

комментариев 50

Подобные треугольники

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
• Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Пропорциональные отрезки

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 346.

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 346.

Пропорциональные отрезки очень важны для определения подобия фигур. К тому же, правильно нареченные пропорционально рисунки помогают в правильном решении математических задач. Именно поэтому так важно разбираться в данной тематике.

Определение

Пропорциональными отрезками называются отрезки, у которых имеется постоянный коэффициент пропорциональности. Под коэффициентом пропорциональности понимается отношение длин отрезков.

Рис. 1. Пропорциональные отрезки.

Согласно определению пропорциональных отрезков, два отрезка всегда пропорциональны между собой, поскольку их длины не меняются со временем. Значит, не меняется и коэффициент пропорциональности.

Несмотря на это, чаще всего под пропорциональными отрезками понимают отрезки с коэффициентом кратным 0,5. Например, отрезки с коэффициентом 2,5, 1,5, 2 и тому подобные.

Пропорциональными будут являться и отрезки, составляющие подобные фигуры. Это действует в обе стороны. Если фигуры подобны, то их стороны пропорциональны, если все стороны пропорциональны, то фигуры подобны.

Подобные фигуры

Нужно понимать, что подобными фигурами могут быть не только треугольники, но вообще любые фигуры в геометрии, если все углы этих фигур равны, а длины сторон пропорциональны.

Рис. 2. Подобные фигуры.

Но при этом признаки подобия существуют только для треугольников. Их всего 3:

• Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
• Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
• Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пропорциональными могут быть только отрезки, как объекты имеющие длину. Прямая или луч бесконечны, а потому не могут быть подобными.

Пример

Решим небольшую задачу на пропорциональность отрезков. Имеется 3 пропорциональных отрезка. Каждый из которых больше предыдущего. Первый отрезок равен 5, третий 20. Необходимо найти длину второго отрезка.

Отрезки пропорциональны, значит отношение больших к меньшим будет постоянным. Обозначим неизвестны отрезок за х и решим уравнение.

Перенесем выражение из правой части в левую. Приведем получившееся выражение под один знаменатель и решим дробно-рациональное уравнение.

$х^2=100$ – х может являться положительным или отрицательным числом , но отрезок не может иметь отрицательную длину, значит х=10.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое пропорциональные отрезки. Выделили области, где могут быть применены навыки обращения с пропорциональными длинами и привели пример на заданную тему.

Подобие треугольников и пропорциональные отрезки

Теорема 1:

Если на одной из сторон угла отметить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то эти прямые отсекут на второй стороне также равные между собой отрезки.

Доказательство:

Докажем сначала лемму: Если в (triangle OBB_1) через середину (A) стороны (OB) проведена прямая (aparallel BB_1) , то она пересечет сторону (OB_1) также в середине.

Через точку (B_1) проведем (lparallel OB) . Пусть (lcap a=K) . Тогда (ABB_1K) — параллелограмм, следовательно, (B_1K=AB=OA) и (angle A_1KB_1=angle ABB_1=angle OAA_1) . Значит, по второму признаку (triangle OAA_1=triangle B_1KA_1 Rightarrow OA_1=A_1B_1) . Лемма доказана.

Перейдем к доказательству теоремы. Пусть (OA=AB=BC) , (aparallel bparallel c) и нужно доказать, что (OA_1=A_1B_1=B_1C_1) .

Таким образом, по данной лемме (OA_1=A_1B_1) . Докажем, что (A_1B_1=B_1C_1) . Проведем через точку (B_1) прямую (dparallel OC) , причем пусть (dcap a=D_1, dcap c=D_2) . Тогда (ABB_1D_1, BCD_2B_1) — параллелограммы, следовательно, (D_1B_1=AB=BC=B_1D_2) . Значит, по первому признаку (triangle A_1B_1D_1=triangle C_1B_1D_2 Rightarrow A_1B_1=B_1C_1) .

Теорема Фалеса:

Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Доказательство:

Пусть параллельные прямые (pparallel qparallel rparallel s) разбили одну из прямых на отрезки (a, b, c, d) . Тогда вторую прямую эти прямые должны разбить на отрезки (ka, kb, kc, kd) соответственно.

Проведем через точку (A_1) прямую (pparallel OD) ( (ABB_2A_1) — параллелограмм, следовательно, (AB=A_1B_2) ). Тогда (triangle OAA_1 sim triangle A_1B_1B_2) по двум углам. Следовательно, (dfrac=dfrac Rightarrow A_1B_1=kb) .

Аналогично проведем через (B_1) прямую (qparallel OD Rightarrow triangle OBB_1sim triangle B_1C_1C_2 Rightarrow B_1C_1=kc) и т.д.

Наиболее часто встречающиеся подобия треугольников:

Теорема 2.

Средняя линия треугольника отсекает от него подобный ему треугольник.

Доказательство:

Т.к. средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон, то (dfrac=dfrac=2) .

Таким образом, по двум пропорциональным сторонам и углу между ними ( (angle B) — общий) (triangle A_1BC_1 sim triangle ABC) .

Теорема 3.

Треугольники, образованные диагоналями трапеции и основаниями, подобны.

Доказательство:

Т.к. (ADparallel BC Rightarrow angle OBC=angle ODA) . (angle BOC=angle AOD) как вертикальные. Следовательно, по двум углам (triangle BOCsim triangle AOD) .

Теорема 4.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника.

Доказательство:

Обозначим (angle ACH=alpha, angle BCH=beta) , т.е. (alpha+beta=90^circ) . Тогда (angle CAH=90^circ-alpha=beta, angle CBH=90^circ-beta=alpha) .

Следовательно, по двум углам (triangle ACHsim triangle BCHsim ABC) .

Теорема 5.

Отрезки, соединяющие основания высот треугольника, отсекают от него подобные ему треугольники.

Эти отрезки также являются биссектрисами углов треугольника, вершинами которого являются основания данных высот.

Доказательство:

1) Рассмотрим четырехугольник (AC_1A_1C) — около него можно описать окружность, т.к. (angle AC_1C=angle AA_1C) . Таким образом, (angle CAA_1=angle CC_1A_1=x) , т.к. опираются на одну и ту же хорду (A_1C) . Таким образом (angle ACA_1=90^circ-x, angle BC_1A_1=90^circ-x Rightarrow angle ACA_1=angle BC_1A_1) .

Значит, по двум углам (triangle A_1BC_1sim triangle ABC) ( (angle B) — общий).

Аналогично доказывается, что (triangle AB_1C_1sim triangle ABC, triangle A_1B_1Csim triangle ABC) .

2) Докажем, что (AA_1, BB_1, CC_1) – биссектрисы углов (A_1, B_1, C_1) в треугольнике (A_1B_1C_1) соответственно.

Обозначим (angle BC_1A_1=angle B_1C_1A=alpha) . Тогда (angle A_1C_1C=90^circ -alpha=angle B_1C_1C) . Значит, (CC_1) – биссектриса угла (C_1) .

Аналогично доказывается про (AA_1) и (BB_1) .

Теорема 6.

Если к окружности из одной точки вне окружности проведены две секущие, то:

Доказательство:

Четырехугольник (ABA_1B_1) описанный, следовательно, (angle BAB_1+angle BA_1B_1=180^circ Rightarrow angle OA_1B_1=180^circ-angle BA_1B_1=angle BAB_1) .

Таким образом, по двум углам ( (angle O) — общий) (triangle OABsim triangle OA_1B_1) .

Теорема 7.

Если к окружности из одной точки проведены касательная и секущая, то:

Доказательство:

Т.к. угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то (angle OKA=frac12 buildrelsmileover=angle KBA) .

Следовательно, по двум углам ( (angle O) — общий) (triangle OKAsim triangle OKB) .

Теорема 8.

Если в окружности две хорды пересекаются, то:

Доказательство:

(angle A_1AB_1=angle A_1BB_1) , т.к. опираются на одну и ту же дугу. (angle A_1CB=angle B_1CA) , т.к. они вертикальные. Следовательно, по двум углам (triangle A_1BCsim triangle B_1C) .

Аналогично (triangle ABCsim triangle A_1B_1C) .