Как найти пропорцию в километрах

• Математика
• 6 класс
• Урок № 3
• Масштаб
• Перечень рассматриваемых вопросов:

1. Понятие масштаба.
2. Находить масштаб по заданному расстоянию на местности и расстоянию на карте (плане).
3. При заданном масштабе и расстоянии на местности определять расстояние на карте (плане).
4. При заданном масштабе и расстоянии на карте (плане) определять расстояние на местности.

1. Тезаурус
2. Частное двух не равных нулю чисел a и b называется отношением чисел a и b.
3. Числа a и b называются членами отношения.
4. Отношения 2 к 3 и 3 к 2 называются взаимно обратными.

Отношение величин одного наименования (длины, скорости, стоимости и т. д., выраженных одинаковыми единицами измерения) есть число.

Отношение величин различных наименований (пути и времени, стоимости товара и его количества, массы тела и его объёма и т. д.) есть новая величина.

• Масштаб – это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности.
• Масштаб, выраженный отношением чисел, называется численным.
• Основная литература

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95с.

1. Теоретический материал для самостоятельного изучения
2. Сегодня мы с вами разберём, что означает масштаб.
3. Давайте сначала вспомним, что отношение величин одного наименования – это число.
4. Составим отношения:

Все мы хорошо знаем, что участки земной поверхности, детали машин и многое другое изображается на бумаге в уменьшенном виде.

• Масштаб – это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности.
• Рассмотрим пример:
• Длина отрезка на карте равна 8 см.

1. Ответ: 800 м.
2. Ещё один пример:
3. Длина отрезка на местности равна 130 километров.

Ответ: 13 см.

Что же означает данный масштаб:

Говорят: карта сделана в масштабе одна двухтысячная. Объект на карте уменьшен в 2000 раз.

Что будет означать такой масштаб:

Рассмотрим ещё несколько примеров.

Огород имеет вид прямоугольника, длина которого 60 м, а ширина 10 м.

Ответ: Огород на плане будет иметь размеры: ширина 20 см, длина 12 см.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Тип задания: Установление соответствий между элементами двух множеств.

Расстояние между двумя городами равно 150 км. Определите расстояние между изображениями этих городов на карте при трёх разных масштабах карты.

№ 2. Тип задания: Выбор элемента из выпадающего списка.

Значит, выбираем ответ 15 км.

Масштаб. измерение расстояний по планам, картам и глобусу

Обычно на каждой карте изображен линейный или численный масштаб. Но как быть, если по той или иной причине масштаб отсутствует? Опытный специалист по внешнему виду может сразу назвать масштаб рассматриваемой карты. Если же вы этого сделать не можете, то следует прибегнуть к следующим способам.

По километровой сетке. На всех топографических картах печатается километровая сетка. Стороны квадратов сетки соответствуют определенному количеству километров.

Это легко узнать по подписям на выходах линий сетки у рамки карты. Допустим, что расстояние между двумя соседними линиями сетки равно 1 км. Измеряем это расстояние линейкой; у нас получается 2 см.

Значит, масштаб карты в 1см 500 м (1000:2) или 1 :50 000.

По номенклатуре листа. Номенклатура — это буквенно-числовое название листа карты. Каждый масштабный ряд имеет свое обозначение, по которому нетрудно определить масштаб карты. Например:

М-35;	масштаб 1	1 000 000
М-35-А;	масштаб 1	500 000
M-35-XI;	масштаб 1	200 000
М-35—18;	масштаб 1	100 000
М-35—18-А;	масштаб 1	50 000
М-35—18-А-б;	масштаб 1	25 000
М-35— 18-А-6-1;	масштаб 1	10 000.

По известным расстояниям. На картах крупного масштаба особым условным знаком изображаются километровые столбы на шоссейных дорогах. Стоит в таком^ме-сте измерить расстояние от одного столба до другого, и мы сразу узнаем масштаб карты (число сантиметров карты, соответствующее одному километру местности).

На других картах, например, масштаба 1 : 200 000, на дорогах поставлены расстояния в километрах между населенными пунктами.

В этом случае надо измерить по карте линейкой расстояние в сантиметрах от одного населенного пункта до другого и подписанное количество километров разделить на расстояние в сантиметрах.

Полученное число будет означать величину масштаба карты (число километров в одном сантиметре).

По измеренным расстояниям. В том случае, если мы находимся на местности, которая изображена на карте, масштаб ее можно определить непосредственным измерением расстояния между предметами, нанесенными на карту (а на карте даже детские городки отмечают).

По длине дуги меридиана. Чтобы пользоваться этим способом, нужно твердо помнить, что одна минута по меридиану равна примерно 2 км (точнее 1,85).

Подписи градусов и минут всегда даются на боковых сторонах рамки карты и, кроме того, каждая минута выделена шашечкой. На рис. 24 длина одной минуты равна 3,7 см. Значит, масштаб карты будет 1 : 50 000, т. е.

один см на карте соответствует 0,5 км на местности. Для уяснения сущности масштаба решим несколько задач.

Задача 1. Масштаб карты 1 : 50 000. На какое число надо разделить знаменатель дроби, чтобы узнать длину линии местности, соответствующей 1 см карты?

Обычно расстояния на местности даются в метрах, а метр, как известно, содержит 100 см. Значит, знаменатель надо делить на 100 (50 000 : 100 = 500 м).

Для решения таких задач полезно запомнить правило: если в знаменателе масштаба зачеркнуть два последних нуля, то оставшееся число покажет, сколько метров местности содержится в 1 см на карте.

Задача 2.Какая карта крупнее, если масштаб одной 1 : 50 000, а другой 1 : 100 000 и во сколько?

Как уже нам известно, масштаб выражается в виде дроби, числитель которой равен единице, а знаменатель число, показывающее, во сколько раз все линии на карте меньше соответствующих линий на местности. А дробь при одинаковом числителе будет больше та, у которой меньше знаменатель. Значит, карта масштаба 1 : 50 000 будет крупнее карты масштаба 1 : 100 000 ровно в два раза.

А если вам встретится такое выражение: «Масштаб карты более 1 км в 1 см», что же это будет за карта? Крупнее или мельче, чем карта масштаба 1 : 100 000, у которой 1 см точно соответствует 1 км? Оказывается, мельче, потому что величина 1 км помещается в знаменателе, а чем больше знаменатель, тем мельче масштаб карты.

назад                              вперед

Тема «Масштабы чертежей» ГОСТ 2.302 – 68

• Лекции
• Для выполнения самостоятельной работы обучающихся по дисциплине ЕН.04 Черчение
• Тема «Правила оформления чертежей»
• План:
• 1 Единая система конструкторской документации.
• 2 Масштабы чертежей
• Единая система конструкторской документации
• МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЕ СТАНДАРТЫ Unified system for design documentation. Formats

Форматы. ГОСТ2.301-68

Настоящий стандарт устанавливает форматы листов чертежей и других документов, выполненных в электронной и (или) бумажной форме, предусмотренных стандартами на конструкторскую документацию всех отраслей промышленности и строительства.

Допускается применение дополнительных форматов, образуемых увеличением коротких сторон основных форматов на величину, кратную их размерам. Обозначение производного формата составляется из обозначения основного формата и его кратности согласно табл.1, например, А0х2, А4х8 и т.д.

При необходимости допускается применять формат А5 с размерами сторон 148х210 мм. Таблица 1

Кратность	Формат, размеры в мм
А0	А1	А2	А3	А4
1189х1682	—	—	—	—
1189х2523	841х1783	594х1261	420х891	297х630
—	841х2378	594х1682	420х1189	297х841
—	—	594х2102	420х1486	297х1051
—	—	—	420х1783	297х1261
—	—	—	420х2080	297х1471
—	—	—	—	297х1682
—	—	—	—	297х1892

Линии чертежа. ГОСТ2.303-68

Линии чертежа служат для обозначения различных элементов проецируемых объектов.

Таблица 2

Практическое задание: определить назначение линий

Основные надписи ГОСТ 2.104-68

Стандарты численных масштабов

Как определить и рассчитать масштаб: способы, виды, инструкция

В Российской Федерации приняты следующие стандарты численного масштаба:

1:10 000 1:25 000 1:50 000 1:100 000 1:200 000 1:300 000 1:500 000 1:1 000 000

Существуют также карты с масштабом 1:2 000, 1:5 000. Их используют для специальных задач, т.к. столь крупные масштабы — область применения топографических планов.

Масштаб

Градусная сеть и её элементы, географические координаты. урок 5

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего расстояния на местности называют масштабом карты.

В соответствии со своим масштабом карты так и называют: пятитысячная, десятитысячная и т.д.

Пятитысячная карта, т. е. карта с масштабом 1:5000 означает, что 1 см на карте соответствует 5000 см на местности. Но мы не меряем расстояния на местности в сантиметрах. Переводим 5000 см в метры. Так как 1 м = 100 см, то 5000 см=50 м.

Следовательно, 50 м на местности изображены на пятитысячной карте отрезком, равным 1 см. Что же можно изобразить на пятитысячной карте? Например, наш сквер, имеющий прямоугольную форму с размерами 600 м х 200 м (длина сквера 600 метров, а ширина 200 метров).

На карте с масштабом 1:5000 сквер будет изображен прямоугольником длиной 12 см (600:50=12) и шириной 4 см (200:50=4).

десятитысячной1:100001 см10000 см100 м

Как «читать» эту карту? Найдем расстояние между интересующими нас объектами в сантиметрах и умножим на 10000 (см), а затем переведем в метры.

На двадцатипятитысячных, пятидесятитысячных картах изображают небольшие населенные пункты.

На стотысячных, двухсоттысячных картах можно изображать крупные города.

Одному сантиметру стотысячной карты соответствуют 100 000 см на местности. Переведем в метры: 100 000 см = 1000 м, а затем в километры: 1000 м=1 км.

Итак, 100 000 см=1 км. Сделаем вывод: чтобы перевести число сантиметров в километры, нужно разделить это число на 100 000 (или просто «убрать» пять нулей).

Теперь нам проще будет представить масштабирование 1:100 000. На 1 см на карте приходится 1 км на местности.

Если расстояние от вашего города до дачного поселка  составляет 10км (по прямой!), то на стотысячной карте это расстояние представляет собой отрезок длиной 10см.

• На двухсоттысячной карте (М=1:200 000) в 1 см изображается фактическое расстояние, равное 2 км (200 000 см=2 км).
• На трехсоттысячной карте с масштабом 1:300 000 под каждым сантиметром подразумевают фактическое расстояние в 3 км (300 000 см=3 км).
• На пятитысячной карте 1 см соответствует 5 км на местности.

На миллионной карте 1 см соответствует 10 км на местности. На таких картах изображают области, края.

А на каких картах можно изобразить страны? Обычно карты стран, Республик имеют масштаб 1:8 000 000 или 1: 10 000 000.

Большая карта Мира, которую вы изучаете в школе, имеет масштаб 1: 25 000 000.

Чтобы напечатать эту карту в атласе нужно ее уменьшить. И тогда масштаб карты Мира в атласе может составить 1: 60 000 000 или 1:75 000 000, если атлас будет поменьше.

Решение.

На карте 1 см соответствует 12 250 000 см или (делим число сантиметров на 100 000 — переносим запятую на 5 цифр влево) 122, 5 км.

Измерим линейкой расстояние между Астаной и Таразом на карте. Получилось 7,5 см. Нужно узнать, сколько километров соответствует отрезку на карте в 7,5 см. Итак:

1 см ———-122,5 км

7,5 см——-  х км.  Можно составить пропорцию, а можно рассуждать так: в 1 см — 122,5 км, тогда в 7,5 см — в 7,5 раз больше. Следовательно, 122,5·7,5=918,75. Округлим до целых: 918,75≈919.

Ответ: от Астаны до Тараза (по прямой) 919 км.

 Задача 2. Найти масштаб карты, если расстояние от Астаны до Атырау (по прямой) на местности составляет 1500 км.

Решение.

Измеряем линейкой расстояние от Астаны до Атырау. Получилось 7,5 см. По условию можно записать:

7,5 см ———- 1500 км. Найти масштаб карты — означает узнать, сколько километров (а потом, обязательно, — сантиметров на местности) соответствуют отрезку в 1 см на карте. Запишем:

1 см ———— х км. Можно составить пропорцию: 7,5:1=1500:х, из которой найти ее крайний член х. А можно рассуждать так:  1500 км изображены отрезком в 7,5 см, значит, отрезок в 1 см будет соответствовать расстоянию в 7,5 раз меньшему, и нужно число 1500 разделить на 7,5.

х=15007,5;

х=1500075;

х=200. Мы нашли, сколько км на местности приходится на 1 см на карте. Выразим 200 км в сантиметрах (для этого нам просто нужно приписать к числу 200 справа 5 нулей).

200 км=20 000 000 см. Масштаб карты 1:20 000 000.

Ответ: М=1:20 000 000.

Смотрите видео: «Масштаб».

Масштабы чертежей

Масштабы чертежей. Масштабом называется отношение линейных размеров изображения предмета на чертеже к действительным размерам предмета.

Масштабы чертежей бывают численные, линейные, поперечные (десятичные) и угловые (пропорциональные).

Численный масштаб  обозначается дробью, которая показываем кратность увеличения или уменьшения размеров изображения на чертеже. Численный масштаб обозначается дробью, которая показываем кратность увеличения или уменьшения размеров изображения на чертеже.

В зависимости от сложности и величины изображения, ею назначения, стадии проектирования на чертежах применяются:
1.

) Масштабы уменьшения: 1:2; 1 :2,5; 1:4; 1 : 5; 1 : 10; 1 : 15; 1:20; 1:25; 1 : 40; 1:50; 1:75; 1: 100; 1:200; 1:400; 1:500; 1:800; 1:1000. (

Пример: допустим дана длина 5000 мм. Необходимо начертить в масштабе 1:100, то чертится отрезок размером 50 мм.)

При проектировании генеральных планов крупных объектов допускается применять масштабы: 1:2000; 1:5000; 1: 10000; 1:20000; 1:25000; 1: 50000.
2.) Масштабы увеличения: 2:1; 2,5:1; 4:1; 5:1; 10:1; 20:1; 40:1; 50:1; 100: 1.

Пример: допустим дана длина 50 мм. Необходимо начертить в масштабе 2:1, то чертится отрезок длиной 100 мм.)

В необходимых случаях допускается применять масштабы увеличения 100-n : I. где n — целое число.
3.) Натуральная величина: 1:1.(пример: длина детали 10 мм., соответственно, чертим линию размером 10мм. )

Масштаб должен указываться на всех чертежах, кроме некоторых строительных, а также чертежей, воспроизводимых путем клиширования или фотографирования.

Если на одном листе помещены чертежи разного масштаба, то масштаб указывают под названием соответствующего чертежа но типу М1:1; М1:2 и т. д.

Линейный масштаб на чертеже имеет вид линии с делениями, означающими какую-нибудь меру длины, например метр, километр и т.п.

Линейные масштабы удобны тем, что с их помощью можно без вычисления определять по чертежу действительные размеры. По линейному масштабу отсчет размеров можно про-изводим.

Поперечный масштаб, позволяющий измерять размеры на чертеже с точностью до 0,01 принятой единицы длины, применяется в топографическом черчении.

• Угловые (пропорциональные) маштабы применяют для построения изображений в уменьшенном или увеличенном в несколько раз виде.
• Угловым масштабом целесообразно пользоваться, когда масштаб чертежа неопределенный 1 : n, где n может быть любое целое или дробное число и при ограниченном количестве размеров на чертеже.
• Применение масштабов смотрите в примерах чертежей и в разделе чтение сборочного чертежа

Основные виды масштабов

Также есть подвиды масштаба, которые больше относятся к видам карт. В зависимости от того, каковы размеры масштабов, выделяют карты:

1. Крупномасштабные — от одного к двумстам тысячам и меньше.
2. Среднемасштабные – от одного к миллиону до одного к двумстам тысячам.
3. Мелкомасштабные – до одного к миллиону.

Естественно, на мелкомасштабных картах некоторые детали не наносятся, в то же время крупномасштабные карты могут содержать названия улиц и даже небольших переулков. В современных электронных картах пользователь может сам регулировать масштаб, за одно мгновение превращая карту из мелкомасштабной в крупномасштабную, и наоборот.

Графическая точность

А теперь познакомимся с графической точностью масштабов. Это еще одна значимая характеристика при использовании планов и карт.

Графическая точность связывается с разрешением «и» глаза человека. В свою очередь, оно составляет «Г». Отсюда Г=и.

То есть, если угол «и» между векторами на две точки «В» и «Л» при рассматривании их наблюдателем с нормальным уровнем зрения составляет «Г» или же более, то они будут восприниматься, как две точки. Если же данный угол к понятию разрешения меньше «Г», то «Л» и «В» будут восприниматься человеком как одна точка.

Узнайте, как на 100% правильно подобрать рамку для картины, прочитав эту статью о типах и стилях багетных рам!

Что такое масштаб

В древние времена люди формировали всевозможные изображения Земли, чтобы передать знания потомкам. Если попытаться рассмотреть отдельные объекты на таких картах, то будет не понятно, насколько они уменьшены.

Поэтому было введено такое понятие как «масштаб», который обозначает во сколько раз на бумаге уменьшено действительное расстояние. Изображается он в виде соотношения двух чисел. Одно из них свидетельствует о том, в какой степени оно больше чем иное. Масштаб может различаться по числу знаменателя, которое показывает, насколько был уменьшен объект.

Проведем сравнение карт масштаба 1:25000 и 1:50000. Число масштаба отображает уменьшение предметов на карте в 25000 раз. Масштаб карты равный 1:50000, будет отражать уменьшение в 50000 раз.

Если знаменатель будет минимальным, тогда масштаб будет крупнее, то есть объекты будут более подробно показаны.

Поэтому карта с численным значением 1:25000 считается более крупной по сравнению с изображением 1:50000.

Предположим, что протяженность между торговым центром и домом 620 м. Показать в реальности этот отрезок, вычертив его на листе, не представляется возможным и придется отразить его с использованием масштаба на плане.

Условимся в чертеже протяженность показывать с уменьшением предметов в 10000 раз. Тогда масштаб плана местности представлен в 1 сантиметре 100 метров.

Если же план представлен в небольшом масштабе – от 1:10000 до 1:1000000, то его относят к топографической карте.

Существует несколько видов масштаба.

Лучше использовать масштаб, отображенный как прямая линия с выделенными равными частями. Этот масштаб считается линейным. Необходимо принять во внимание, что при отображении линейного масштаба ноль устанавливают, отходя на 1 см от левого конца, а первый сантиметр разбивают на 5 частей. Эти части показывают, какой действительный промежуток подходит одному сантиметру.

Такой масштаб представляют также словами и получаем запись «в 1 см – 100 м». Этот масштаб получил название именованный и можно произвести его перевод в численный. Тогда получим 1:10000 численный масштаб карты.

Часто обозначаются все три типа масштаба.

При увеличении или уменьшении масштаба меняется детальность изображения объектов на карте. На плане местности крупный масштаб, поэтому все объекты изображены очень подробно.

Например, рассматривая план любого города, можно разглядеть отдельные улицы и дома.

При изображении территории в мелком географическом масштабе можно взять большой участок поверхности, но все объекты будут показаны не так подробно.

При изучении географии придется работать с различными видами карт по масштабу и охвату территории.

Любая группа карт различается по масштабу. Чем больше представленная территория, тем меньше масштаб. С убавлением масштаба сокращаются достоверность отображения предметов и надежность замеров по карте.

Наиболее мелкий масштаб на мировых картах и картах полушарий. Например, на школьных стенных физических картах полушарий масштаб 1:30000000. Представленное значение свидетельствует, что 1 см соответствует 300 км на территории. Такие изображения называются мелкомасштабными.

Здесь поверхность показана весьма обобщенно и присутствуют заметные искажения очертаний материков, островов, архипелагов – и т.д. Физические карты с таким масштабом малопригодны для измерений, но зато они позволяют одновременно обозревать изображение всей земной поверхности. Поэтому их используют для рассмотрения взаимного расположения материков, омывающих их морей и океанов.

Физические и политические карты материков выполняются с мелким масштабом. Однако здесь изображается больше объектов и со значительными подробностями, чем на мировых картах.

По ним легко определять расстояния и географические координаты, хотя они получаются приблизительными. Эти карты используются при изучении природы, населения и размещения государств на материках.

Например, материк Австралия на карте воспроизведен в масштабе 1:60000000, который показывает, что 1 см соответствует 600 км.

Для более подробного изучения отдельных областей материка используют карты, имеющие средний масштаб. Масштаб карт колеблется в промежутке от 1:200000 до 1:1000000. К примеру, карта Еврейской автономной области Дальнего Востока изображена в численном масштабе 1: 1000000.

Карты, которые изображаются в масштабе от 1:10000 до 1:1000000, получили название крупномасштабных или топографических. Здесь очень подробно изображена местность и различные объекты. Часто на них можно увидеть дороги, особенности рельефа, реки, озера, населенные пункты.

Крупный масштаб мы можем встретить на топографическом плане. Численный масштаб плана может соответствовать значению до 1:10000. Получают план такого масштаба в результате топографической съемки местности. Часто такие планы необходимы при строительстве каких-либо объектов. Тогда изображают подробно весь участок местности с его составляющими.

Масштабы карт и планов будут разные. Следует учитывать, что масштаб плана местности во всех его точках одинаковый, а на карте он будет различаться. Это зависит от того, что план местности не учитывает форму Земли.

На географической карте эта кривизна учитывается. Что же тогда означает масштаб на карте? Он считается главным масштабом и сохраняется только в центральной части, а именно в точке пересечения экватора и среднего меридиана.

Во всех остальных частях он больше или меньше главного масштаба.

Широко понятие «масштаб» применяется в картографии, строительстве, при проектировании ландшафта. Изготовление всевозможных моделей также осуществляется в масштабе, к примеру, модели летательных аппаратов, автомобилей, зданий и другие. Даже проект вашей квартиры начерчен с использованием масштаба.

1. Определение перспективы

Подумайте об окружающей среде, которую вы хотите нарисовать, как режиссер, снимающий сцену

Одним из самых сложных моментов является определение перспективы. Из какой точки я вижу эту сцену или объект? Какая перспектива лучше всего отразит концепцию?

С помощью более низкого угла обзора на большой объект проще передать высоту. Этого также можно достичь, изобразив вид сверху, тем самым вызывая страх падения. Какая из перспектив подходит для сцены больше, будет зависеть от первоначальной идеи работы.

Создавая любую сцену я делаю все возможное, чтобы визуализировать себя в окружающей среде. Где бы я ни оказался, представляю как бы «снимал» эту сцену и где буду стоять, когда разворачивается действие.

Эти эскизы показывают два варианта одного сценария. Первый – это вид снизу, где фигуры расположены напротив горной породы, а второй – вид сверху вниз. Оба эскиза передают масштаб, остается определить, какая перспектива лучше всего соответствует истории.

Оформляйте работы вместе с нами

Делайте заказы, консультируйтесь с нашими специалистами ежедневно с 10:00 до 20:00, по бесплатному телефону:

1000 . (4, 3 .) –

,

. , , , .

!

, . 3040 1-2 . 6080 , 2-3 . 3-5 , 5 .

: ” ?”

: . , . . . , . , . . , .

: ( ) – 450 . ( ) – 1000-2000. – 1000 .

1000 . .

Измерьте расстояние с помощью масштаба

Чтобы определить расстояние между двумя точками, вначале измеряют это расстояние на карте, а затем, пользуясь численными или линейным масштабом карты, узнают действительное значение этого расстояния на местности.

При пользовании численным масштабом измеренное на карте расстояние между двумя объектами в сантиметрах умножают на величину масштаба. Например, на карте масштаба 1 : 50 000 измеренное расстояние между двумя местными предметами 4,2 см.

Величина масштаба 500 м, следовательно, искомое расстояние будет равно 4,2X500 м = 2100 м.

Значительно проще расстояния по карте определяются с помощью линейного масштаба. Для этого достаточно измерить циркулем, линейкой или полоской бумаги расстояние между заданными точками на карте, а затем приложить циркуль к линейному масштабу и снять отсчет.

В практике очень часто приходится измерять расстояния не по прямым, а по ломаным или извилистым линиям, например, длину маршрута по дорогам. В этом случае можно воспользоваться одним из следующих приемов.

Шагом циркуля. Устанавливается небольшой раствор циркуля, который называется шагом. Длина шага зависит от степени извилистости линии, но, как правило, не должна превышать 1 см.

Одну иглу циркуля ставят в начальную точку маршрута, а вторую в направлении измеряемой линии. Поворачивая циркуль относительно одной из игл, «шагают» по маршруту.

Общая длина маршрута равна числу шагов, умноженному на шаг циркуля в масштабе карты, плюс остаток, измеренный по линейному масштабу.

Способом наращивания раствора циркуля. Измеряемая кривая делится черточками на приблизительно прямолинейные отрезки. При работе циркуль сначала ставится одной ножкой на начальную точку кривой и раздвигается до тех пор, пока вторая ножка не совпадет с первой черточкой линии.

Далее, держа эту ножку циркуля плотно на бумаге, поворачиваем первую ножку так, чтобы она стала на мысленном продолжении второго отрезка, то есть отрезка между 1-й и 2-й черточками. После этого, оставляя первую ножку в этом месте, раздвигаем циркуль до совпадения второй ножки со второй черточкой и так далее до конца маршрута.

Конечный раствор циркуля будет соответствовать длине кривой в масштабе карты.

Полоской бумаги . Кривую линию небольшой протяженности легко измерить при помощи узенькой полоски бумаги. Поставив ее на ребро, совместить с измеряемой линией, изгибая ее там, где имеются извилины. Затем по линейному масштабу узнать общую длину кривой.

Курвиметром. Курвиметр — прибор для измерения кривых линий. Основанием курвиметра служит колесико, длина окружности которого известна.

Вращение колесика передается на стрелку, поворачивающуюся по круговой шкале. Зная число оборотов колесика, катящегося по измеряемой линии, легко определить и ее длину.

При измерении расстояния нужно стрелку установить на нулевое деление и прокатить колесико вдоль маршрута.

Полученный в сантиметрах отсчет умножить на величину масштаба и в результате получим действительное расстояние на местности. У курвиметров новых образцов шкалы на циферблате построены с учетом масштабов карт и отсчеты сразу же показывают расстояния в километрах и метрах.

С помощью лонгометра. Лонгометр представляет собой сетку квадратов со сторонами 3,82 мм каждый, построенную на прозрачной основе. Этот простой прибор предложен польским математиком Стейхаусом в 1930 году. Теоретическое обоснование метода измерения длины кривых линий с помощью лонгометра довольно сложно, и мы не будем его разбирать.

Лонгометр легко изготовить самим. На прозрачную основу наносят разными цветами две сетки квадратов, пересекающиеся под углом 30°. Для измерения длины линии лонгометр накладывают на карту так, чтобы концы измеряемой кривой оказались внутри сетки.

Подсчитывают число сторон квадратов, пересекаемых измеряемой линией, по сетке одного цвета, затем, не сдвигая лонгометра,— по сетке другого цвета.

Далее берут среднее арифметическое из отсчетов по двум сеткам, утроенное значение которого дает длину измеряемой линии в миллиметрах в масштабе карты.

Измеряя по картам расстояния любым из описанных выше способов, необходимо помнить, что на карте местность изображается с обобщениями. При ее составлении некоторые мелкие подробности местности не учитываются.

Как правило, в результате этого на всех картах размеры кривых всегда получаются меньше действительных. Такое несоответствие находится в прямой зависимости от масштаба карты. Чем мельче масштаб, тем существеннее разница между действительным и измеренным расстоянием.

Кроме того, уменьшение длины вызывается рельефом, так как при съемке местности на карту наносят не длину линий на поверхности Земли, а длину проекций этих линий на уровенную поверхность.

Вследствие этих причин полученные по карте результаты измерения длины маршрута по дорогам следует увеличить с учетом характера местности и масштаба карты. В приведенной ниже таблице даны коэффициенты увеличения длины маршрута, полученные опытным путем.

  Как измерить индекс массы тела калькулятор

• Источник
• Различают численный, линейный и именованный масштабы.

• 

Численный масштаб изображается в виде дроби, у которой числитель равен единице, а знаменатель – число, показывающее, во сколько раз уменьшены линии на карте (плане) относительно линий на местности.

Например, масштаб 1:100 000 показывает, что все линейные размеры на карте уменьшены в 100 000 раз. Очевидно, чем больше знаменатель масштаба, тем масштаб мельче, при меньшем знаменателе — крупнее.

Численный масштаб – это дробь, поэтому числитель и знаменатель даются в одинаковых измерениях (сантиметрах).

Линейный масштаб представляет собой прямую линию, разделенную на равные отрезки. Эти отрезки соответствуют определенному расстоянию на изображаемой местности; деления обозначаются цифрами. Мера длины, по которой нанесены деления на масштабной линейке, называются основанием масштаба.

В нашей стране основание масштаба принято равным 1 см. Количество метров или километров, соответствующее основанию масштаба, называют величиной масштаба.

При построении линейного масштаба цифру , от которой начинается отсчет делений, обычно ставят не у самого конца масштабной линии, а отступив на одно деление (основание) вправо; на первом же отрезке налево от 0 наносят наименьшие деления линейного масштаба – миллиметры.

Расстояние на местности, соответствующее одному наименьшему делению линейного масштаба, отвечает точности масштаба, а 0,1 мм – предельной точности масштаба. Линейный масштаб по сравнению с численным имеет то преимущество, что дает возможность без дополнительных вычислений определять действительное расстояние на плане и карте.

Именованный масштаб – масштаб, выраженный словами, например, в 1 см 32 км.

Измерение расстояний на карте и плане

Измерение расстояний с помощью масштаба. Нужно прочертить прямую линию (если нужно узнать расстояние по прямой) между двумя точками и с помощью линейки измерить это расстояние в сантиметрах, а затем следует умножить полученное число на величину масштаба.

Например, на карте масштаба 1 : 100 000 (в 1 см 1 км) расстояние равно 5 см, т. е. на местности это расстояние составляет 1 * 5 = 5 (км). Измерять расстояние по карте можно и с помощью циркуля-измерителя.

В этом случае удобно пользоваться линейным масштабом.

Измерение расстояний с помощью градусной сети. Для расчета расстояний по карте или глобусу можно использовать следующие величины: длина дуги 1° меридиана и 1° экватора равна приблизительно 111 км.

Для меридианов это верно всегда, а длина дуги 1° по параллелям уменьшается к полюсам. На экваторе его можно тоже принять равному 111 км. А на полюсах – (т. к. полюс – это точка). Поэтому необходимо знать число километров, соответствующее длине 1° дуги каждой конкретной параллели.

Чтобы определить расстояние в километрах между двумя пунктами, лежащими на одном меридиане, вычисляют расстояние между ними в градусах, а затем число градусов умножают на 111 км.

Для определения расстояния между двумя точками на экваторе, также нужно определить расстояние между ними в градусах, а затем умножить на 111 км.

Источник

Масштаб. Измерение расстояний по планам, картам и глобусу. Урок 3

Чтобы измерить расстояние по плану, карте или глобусу, нужно знать, что такое масштаб и уметь им пользоваться. Масштаб – одна из основных математических составляющих любой географической модели Земли, он показывает, во сколько раз уменьшены все расстояния на карте по сравнению с теми же расстояниями на местности.

Если масштабирование не произвести, то никакой бумаги не хватит, чтобы изобразить на ней даже небольшой участок поверхности. На старинных картах размеры и расстояния уменьшены в неодинаковое количество раз, поэтому по ним можно узнать очертания объектов, но не их величину.

Как обозначается масштаб?

Масштаб плана или карты всегда один, но указываться он может тремя разными способами. Способы обозначения масштаба следующие:

• численные;
• именованные;
• графические (линейные и поперечные).

Численный масштаб имеет вид дроби, например 1:1000, числитель которой показывает единицу измерения на карте, а знаменатель – во сколько раз она уменьшена по сравнению с действительным расстоянием, второе число называется величиной масштаба.

Масштаб 1:1000 нужно читать так «один к тысячи», а обозначает он, что 1см на плане соответствует 1000 см на местности. То есть этот масштаб показывает, что действительное расстояние уменьшено в 1000 раз. Числитель и знаменатель дроби численного масштаба указываются в одинаковых единицах – в сантиметрах, ведь у дроби всегда так.

Чем больше знаменатель дроби, тем меньше сама дробь, а значит, мельче масштаб. Например, масштаб 1 : 100 000 мельче, чем масштаб 1:10 000.

  Компас единицы измерения как исправить

Но, зная математику, мы легко можем перевести сантиметры в метры или километры. Чтобы делать это быстрее, переводя в метры, просто зачёркиваем 2 нуля, так как в 1м – 100 см, а в километры – убираем 5 нулей. Пример: 1:1000 – убираем 2 нуля и получаем 10 метров.

Если масштаб один к ста тысячам, например, тогда уже можно перевести знаменатель и в километры – 1:100 000, для этого уберём 5 нулей, потому что в 1 км 100 000 см.

Получим, что в 1 см на карте 10 км на местности, а это будет уже другой вид масштаба – именованный.

Именованный масштаб указывается на всех картах, он дополняется словами. В 1 см – 10 м, 10 м – это величина масштаба. Для примера переведём численный масштаб в именованный, пользуясь правилом, обсуждаемым выше:

• 1:25 0 00 000 – 1см-250 км;
• 1:10 0 00 000 – 1см-100 км;
• 1:20 0 00 – 1см-200 м.

При необходимости обратного перевода добавляем те же нули, при переводе километров в сантиметры добавим 5 нулей, метров в сантиметры – 2 нуля. Например:

• 1 см-300 м – это 1:30 0 00 ;
• 1см-250 км – это 1:25 0 00 000 .

Для непосредственного определения расстояния по картам и планам служит линейный масштаб. Это график, помещаемый внизу карты в виде линейки (масштабная линейка), в России она разделёна на сантиметры.

Справа от нуля у каждого деления линейки подписано истинное расстояние на местности, равное одному, двум или нескольким величинам масштаба.

Слева от нуля сантиметр линейки разбивают на меньшие деления, например на миллиметры, для получения более точных результатов.

Как измерять расстояние по карте, плану или глобусу?

Измерять расстояния можно при помощи масштаба или градусной сетки (на плане её нет). Второй способ мы изучим немного позднее. Чтобы узнать расстояние на местности, нужно расстояние между двумя точками на карте или плане измерить при помощи линейки (этот способ подходит для прямых линий, для извилистых пользуются курвиметром или измерением малым раствором циркуля).

Измерения нужно производить очень точно, учитывая миллиметры. Затем полученные данные умножить на величину масштаба.

Например, если при измерении мы получили расстояние 1,4 см, а масштаб карты в 1см 10 000 км, нужно умножить 1,4 на 10 000, получится 14 000 км – это и есть расстояние на местности.

Нужно знать, что мы узнаём не действительное расстояние, а его проекцию. Линия на карте может иметь разные неточности в связи с углом наклона земной поверхности.

При помощи линейного масштаба измеряют расстояние линейкой или циркулем, переносят это расстояние на масштабную линейку и без дополнительных расчетов получают искомое расстояние. При этом неизбежны ошибки, которые зависят от масштаба и проекции карты. Чем крупнее масштаб карты, тем точнее измеренные расстояния.

Глобус – объёмная модель Земли. Он показывает шарообразную форму нашей планеты. На нём все объекты изображены в неискажённом виде. В отличие от карты, они сохраняют свою форму, площадь, длину.

Направления на глобусе совпадают с направлениями на Земле. У глобуса всюду один и тот же масштаб, который обычно надписывается в южной части Тихого океана. Масштабы школьных глобусов очень мелкие: 1:50 000 000, т. е.

в 1 см – 500 км, истинное расстояние на нём уменьшается в 50 миллионов раз.

Для определения расстояний по глобусу надо ниткой или полоской бумаги измерить расстояние между заданными пунктами и, зная масштаб глобуса, вычислить истинное расстояние с помощью пропорции, как по обычной карте.

Масштаб и классификация карт по нему

Чем больший участок Земли нужно изобразить, тем в большее количество раз нужно уменьшить расстояния на карте по сравнению с действительным. На такой карте все подробности не покажешь, для этого она слишком мелкомасштабна. Приходится отбирать только те объекты, которые важны именно для цели выполняемой данной картой – этот процесс называется географической генерализацией.

Подробно можно показать небольшую площадь, посёлок, район, город. Тут будет видны уже и форма и размер зданий, расположение лесопарков, небольшие реки и др. Это возможно потому, что расстояния уменьшены несильно, масштаб карты достаточно крупный.

По масштабу карты делят на:

• мелкомасштабные (обзорные) — с масштабом менее 1: 1 000 000;
• среднемасштабные (обзорно-топографические) – в пределах 1: 200 000 до 1: 1 000 000;
• крупномасштабные (топографические) – от 1: 200 000 до 1: 10 000.

Нужно запомнить правило: чем больше величина масштаба, тем мельче масштаб карты, чем крупнее масштаб, тем подробнее карта.

  Станции это места измерений

Вам будет интересно

1. Картографические проекции сегодня – это математические способы изображения всего земного эллипсоида или его части на…

Подумайте! Когда нужно начинать ориентироваться – до похода или тогда, когда уже заблудился? Какие способы…

• При селекционной и экспериментальной работе часто бывает нужно определить генотип особи с доминантными признаками. При…

Вспомните! Как доказать, что Земля шарообразна? Как развивались знания о форме Земли в процессе её…

1. Концентрация ионов водорода и гидроксид-ионов в растворе описывается терминами кислотность и щёлочность среды. При температуре…
2. Источник

Практическая работа «Определение расстояний по картам с помощью масштаба»

• Практическая работа №2:
• «Определение расстояний по картам с помощью масштаба»
• Цель работы: формирование умений работы с различными видами масштабов; формирование умений определять расстояния по картам с помощью масштаба.
• Оборудование: атлас по географии для 6-го класса, курвиметр или нитка длиной около 20 см, рабочая тетрадь.
• Задание 1. Переведите численный масштаб карты в именованный:
• а) 1:200 000 г) 1:35 000 000б) 1:10 000 000 д) 1:90 000
• в) 1:25 000

Масштаб, измерение расстояний

Тема: Масштаб, измерение расстояний

Ма?саттары — Цель: формировать представления о масштабе и измерении расстояний Задачи:

• Сформировать  у учащихся знания и понятия, что такое масштаб и его виды: численный, именованный, линейный; измерение расстояний на поверхности Земли, изображение расстояний на бумаге и масштаб
• Научить учащихся пользоваться масштабом, переводить из численного в именованный и обратно
• Содействовать воспитанию нравственных качеств учащихся

• Типі — Тип урока: комбинированный
• ?дістері — Метод обучения: словесный
• Жабды?ы — Оборудование: атлас 6-го класса, глобус
• Межпредметная связь: математика

1. Фамилия, имя, отчество автора: Жукова Надежда Николаевна
2. Место работы: КГУ «Арзамасская средняя школа»
3. Должность: учитель географии
4. Наименование материала: Масштаб, измерение расстояний
5. Рубрика: география
6. Класс: 6 Сабақ Урок: 6
7. Тақырыбы — Тема: Масштаб, измерение расстояний
8. Мақсаттары — Цель: формировать представления о масштабе и измерении расстояний Задачи:

• Сформировать у учащихся знания и понятия, что такое масштаб и его виды: численный, именованный, линейный; измерение расстояний на поверхности Земли, изображение расстояний на бумаге и масштаб
• Научить учащихся пользоваться масштабом, переводить из численного в именованный и обратно
• Содействовать воспитанию нравственных качеств учащихся

• Типі — Тип урока: комбинированный
• Әдістері — Метод обучения:словесный
• Жабдығы — Оборудование: атлас 6-го класса, глобус
• Межпредметная связь: математика
• Сабақтың барысы — Ход урока:
• I. Ұйымдастыру кезеңі — Организационный момент
• — приветствие, выявление отсутствующих.
• — называется тема и постановка цели урока
• II. Бұрыңғы білімді жандандыру — Актуализация прежних знаний:
• Фронтальный опрос:

1. Что такое план?

2. Что такое географическая карта?

3. Что такое глобус?

4. Расскажите о переходе глобуса на карту.

III. Подготовка к изучению нового материала:

Предлагается начертить в тетради план пришкольного участка.

1. Почему не можете начертить карту? (она большая, а тетрадь маленькая)

2. Что нужно сделать, чтобы выполнить задание? (уменьшить карту или увеличить тетрадь)

3. Посмотрите на карты (разных масштабов). Что можете сказать о реках , озерах, морях, городах? (они уменьшены. На одних картах – сильнее, на других меньше)

4. Но как выразить уменьшенное? Прочитать в учебнике — §8, пункт 2 -1-ый абзац – учащиеся читают.

IV. Жаңа тақырып — Изучение нового материала:

Расстояние можно измерить мерной лентой, полевым циркулем, шагами, глазами и т.д. На глаз – таблица стр.22 – работа с учебником.

Для того чтобы нанести размер на бумагу — его уменьшают.

Масштаб – (с нем.»мас» — измерить, «штаб» — палка) – отношение длины отрезка на карте или плане к его действительной длине на местности.

1. Масштаб
2. Численный именованный линейный
3. Выражен дробью, числитель он показывает какое расстояние показан в виде вспомогательной
4. =1, а знаменатель – число, на местности соответствует 1см мерной линейки, наносимый на
5. Показывающее во сколько на карте или плане карте для удобства измерения
6. Раз уменьшено изображение в 1см=10м, в 1см=50км расстояний
7. 1:100(1см на карте=100см на 200 150 100 50 0 100 200м
8. местности)
9. V. Бекіту —Закрепление:

1. Переведите именованный масштаб в численный:

1. в 1см – 10м (ответ 1:1000)

2. в 1см – 50км (ответ 1:5 000 000)

Переведите численный масштаб в именованный:

1:10 000 (ответ: в 1см-100м)

1:750 000 (ответ: в 1см-7 500м)

3. Определите масштаб, если на плане дорога длиной 500 м изображена линией в 5 см.

VI. Игра «Путешествие в страну Масштабию»

Групповая работа. В каждой группе по 4 человека. Учащиеся передвигаются по этапам, ответы записываются в тетрадь (можно в одной).

• Первый этап — перевести именованный масштаб в численный:
• в 1см – 10м (ответ 1:1000)
• в 1см – 50км (ответ 1:5 000 000)
• в 1см – 200м
• в 1см – 750 км
• Второй этап — перевести численный в именованный масштаб:
• 1:10 000 (ответ: в 1см-100м)
• 1:750 000 (ответ: в 1см-7 500м)
• 1:30 000 (ответ: в 1см-300м)
• 1:100 000 (ответ: в 1см-1000м)
• Третий этап — измерить расстояние на картек и вычислить действительное расстояние на местности (по топографической карте)
• Четвертый этап – учащиеся прошли на север 5 000м: начертите маршрут движения с помощью масштаба в 1 см – 1 км.
• Пятый этап: чему равна действительная площадь квадрата, который на карте масштаба 1:35 000 000 изображен в виде квадрата со стороной в 1 см?
• Шестой этап: определите масштаб плана, если дорога длиной 5 км на нем имеет длину 20 см. (20см * 5 км=100км, 1:10 000 000)
• Группы обмениваются тетрадями, проверяют с учителем и ставят оценки друг другу.
• V. Итог урока:

• Сабақтың қорытындысы. Рефлексия. Комментирование оценок.
• Үй жұмысы: §8, сделать мерную ленту (вопрос 5 — письменно)
• Вывод

Задача 1
. Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?

Решение.
Пусть х см — толщина пачки бумаги из 500 листов. Двумя способами найдем толщину одного листа бумаги:

3,3:
300 или х:
500.

Так как листы бумаги одинаковые, то эти два отношения равны между собой. Получаем пропорцию (напоминание:
пропорция — это равенство двух отношений
):

х=(3,3·
500):
300;

х=5,5.
Ответ:
пачка 500
листов бумаги имеет толщину 5,5 см
.

Это классическое рассуждение и оформление решения задачи. Такие задачи часто включают в тестовые задания для выпускников, которые обычно записывают решение в таком виде:

или решают устно, рассуждая так: если 300 листов имеют толщину 3,3 см, то 100 листов имеют толщину в 3 раза меньшую. Делим 3,3 на 3, получаем 1,1 см. Это толщина 100 листовой пачки бумаги. Следовательно, 500 листов будут иметь толщину в 5 раз большую, поэтому, 1,1 см умножаем на 5 и получаем ответ: 5,5 см.

Разумеется, это оправдано, так как время тестирования выпускников и абитуриентов ограничено. Однако, на этом занятии мы будем рассуждать и записывать решение так, как положено это делать в 6
классе.

Задача 2.
Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?

Решение.

Вся масса арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода составит х кг или 98%. Двумя способами можно найти, сколько кг приходится на 1% массы.

5:
100 или х:
98. Получаем пропорцию:

5:
100 = х:
98.

х=(5·
98):
100;

х=4,9
Ответ: в 5кг
арбуза содержится 4,9 кг воды
.

Масса 21 литра нефти составляет 16,8 кг. Какова масса 35 литров нефти?

Решение.

Пусть масса 35 литров нефти составляет х кг. Тогда двумя способами можно найти массу 1 литра нефти:

16,8:
21 или х:
35. Получаем пропорцию:

16,8:
21=х:
35.

Находим средний член пропорции. Для этого перемножаем крайние члены пропорции (16,8
и 35
) и делим на известный средний член (21
). Сократим дробь на 7
.

Умножаем числитель и знаменатель дроби на 10
, чтобы в числителе и знаменателе были только натуральные числа. Сокращаем дробь на 5
(5 и 10) и на 3
(168 и 3).

Ответ:
35
литров нефти имеют массу 28 кг.

После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

Решение.

Пусть площадь всего поля х га, что составляет 100%. Осталось вспахать 9 га, что составляет 100% — 82% = 18% всего поля. Двумя способами выразим 1% площади поля. Это:

х:
100 или 9:
18. Составляем пропорцию:

х:
100 = 9:
18.

Находим неизвестный крайний член пропорции. Для этого перемножаем средние члены пропорции (100
и 9
) и делим на известный крайний член (18
). Сокращаем дробь.

Ответ
: площадь всего поля 50 га.

Страница 1 из 1
1

Составить пропорцию. В этой статье хочу поговорить с вами о пропорции. Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика обречена быть хромой и неполноценной.
Для начала напомню, что такое пропорция. Это равенство вида:

что тоже самое (это разная форма записи).

Пример:

Говорят – один относится к двум также, как четыре относится к восьми. То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).

Основное правило пропорции:

a:b=c:d

произведение крайних членов равно произведению средних

то есть

a∙d=b∙c

*Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее всегда можно найти.

Если рассматривать форму записи вида:

то можно использовать следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали

a∙d=b∙c

Как видите результат тот же.

Если три элемента пропорции известны, то
мы всегда можем найти четвёртый.

Именно в этом суть пользы и необходимость
пропорции при решении задач.

Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b, c – числа:

Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение. Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.

Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется? Например:

1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях »
»
и »
«.

2. Многие формулы заданы в виде пропорций:

> теорема синусов

> отношение элементов в треугольнике

> теорема тангенсов

> теорема Фалеса и другие.

3. В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3 и прочие.

4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной мере, так и для перевода из одной меры в другую:

— часы в минуты (и наоборот).

— единицы объёма, площади.

— длины, например мили в километры (и наоборот).

— градусы в радианы (и наоборот).

здесь без составления пропорции не обойтись.

Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:

Необходимо определить число, которое составляет 35% от 700.

В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:

Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.

Иксу соответствует 35 процентов. Значит,

700 – 100%

х – 35 %

Решаем

Ответ: 245

Переведём 50 минут в часы.

Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут. Обозначим соответсвие —
x часов это 50 минут. Значит

1 – 60

х – 50

Решаем:

То есть 50 минут это пять шестых часа.

Ответ: 5/6

Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?

Известно, что 1 миля это 1,6 километра. Число миль, которые проехал Николай Петрович примем за х. Можем установить соответствие:

Одной миле соответствует 1,6 километра.

Икс миль это три километра.

1 – 1,6

х – 3

Ответ: 1,875 миль

Вы знаете, что для перевода градусов в радианы (и обратно) существуют формулы. Я их не записываю, так как запоминать их считаю излишним, и так вам в памяти приходится держать много информации. Вы всегда сможете перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользуетесь пропорцией.

Переведём 65 градусов в радианную меру.

Главное это запомнить, что 180 градусов это Пи радиан.

Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем соответствие.

Ста восьмидесяти градусам соответствует Пи радиан.

Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан.
изучить статью
по этой теме на блоге. Материал в ней изложен несколько по иному, но принцип тот же. На этом закончу. Обязательно будет ещё что-нибудь интересненькое, не пропустите!

Если вспомнить само определение математики, то в нём есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ (ОТНОШЕНИЯ
—
здесь ключевое слово). Как видите в самом определении математики заложена пропорция. Вообщем, математика без пропорции это не математика!!!

Всего доброго!

С уважением, Александр

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Пропорция — это математическое выражение, в котором два или более числа сравниваются друг с другом. В пропорциях могут сравниваться абсолютные величины и количества или
части более крупного целого. Пропорции можно записывать и вычислять несколькими различными способами, однако в основе лежит один и тот же общий принцип.

Шаги

Часть 1

Что такое пропорция

Узнайте, для чего служат пропорции.
Пропорции используются как в научных исследованиях, так и в повседневной жизни для сравнения различных величин и количеств. В простейшем случае сравниваются два числа, но пропорция может включать в себя любое количество величин. При сравнении двух или большего количества величин всегда можно применить пропорцию. Знание того, как величины соотносятся друг с другом, позволяет, к примеру, записать химические формулы или рецепты различных блюд. Пропорции пригодятся вам для самых разных целей.

1. Ознакомьтесь с тем, что означает пропорция.
   Как отмечено выше, пропорции позволяют определить соотношение между двумя и более величинами. Например, если для приготовления печенья необходимо 2 стакана муки и 1 стакан сахара, мы говорим, что между количеством муки и сахара существует пропорция (отношение) 2 к 1.

   • С помощью пропорций можно показать, как различные величины относятся друг к другу, даже если они не связаны между собой непосредственно (в отличие от рецепта). Например, если в классе пять девочек и десять мальчиков, отношение количества девочек к числу мальчиков составляет 5 к 10. В этом случае одно число не зависит от другого и не связано с ним непосредственно: пропорция может измениться, если кто-то покинет класс или наоборот, в него придут новые ученики. Пропорция просто позволяет сравнить две величины.

2. Обратите внимание на различные способы выражения пропорций.
   Пропорции можно записать словами или использовать математические символы.

   • В обыденной жизни пропорции чаще выражают словами (как приведено выше). Пропорции используются в самым разных областях, и если ваша профессия не связана с математикой или другой наукой, чаще всего вам будет попадаться именно такой способ записи пропорций.
   • Пропорции часто записывают посредством двоеточия. При сравнении двух чисел с помощью пропорции их можно записать через двоеточие, например 7:13. Если сравнивается более двух чисел, двоеточие ставится последовательно между каждыми двумя числами, например 10:2:23. В приведенном выше примере для класса мы сравниваем количество девочек и мальчиков, причем 5 девочек: 10 мальчиков. Таким образом, в этом случае пропорцию можно записать в виде 5:10.
   • Иногда при записи пропорций используют знак дроби. В нашем примере с классом отношение 5 девочек к 10 мальчикам запишется как 5/10. В этом случае не следует читать знак “делить” и необходимо помнить, что это не дробь, а соотношение двух разных чисел.

   Часть 2

   Операции с пропорциями
   

   1. Приведите пропорцию к простейшей форме.
      Пропорции можно упрощать, как и дроби, за счет сокращения входящих в них членов на общий делитель . Чтобы упростить пропорцию, поделите все входящие в нее числа на общие делители. Однако при этом не следует забывать о первоначальных величинах, которые привели к данной пропорции.

      • В приведенном выше примере с классом из 5 девочек и 10 мальчиков (5:10) обе стороны пропорции имеют общий делитель 5. Поделив обе величины на 5 (наибольший общий делитель), получаем отношение 1 девочка на 2 мальчика (то есть 1:2). Однако при использовании упрощенной пропорции следует помнить о первоначальных числах: в классе не 3 ученика, а 15. Сокращенная пропорция лишь показывает отношение между количеством девочек и мальчиков. На каждую девочку приходится два мальчика, но это отнюдь не означает, что в классе 1 девочка и 2 мальчика.
      • Некоторые пропорции не поддаются упрощениям. Например, отношение 3:56 нельзя сократить, так как входящие в пропорцию величины не имеют общего делителя: 3 является простым числом, а 56 не делится на 3.

   2. Для “масштабирования” пропорции можно умножать или делить.
      Пропорциями часто пользуются для того, чтобы увеличить или уменьшить числа в пропорции друг к другу. Умножение или деление всех входящих в пропорцию величин на одно и то же число сохраняет неизменным отношение между ними. Таким образом, пропорции можно умножать или делить на “масштабный” фактор.

      • Предположим, пекарю необходимо утроить количество выпекаемого печенья. Если мука и сахар берутся в пропорции 2 к 1 (2:1), для увеличения количества печенья в три раза данную пропорцию следует умножить на 3. В результате получится 6 стаканов муки на 3 стакана сахара (6:3).
      • Можно поступать и наоборот. Если пекарю необходимо уменьшить количество печенья в два раза, следует обе части пропорции поделить на 2 (или умножить на 1/2). В результате получится 1 стакан муки на полстакана (1/2, или 0,5 стакана) сахара.

   3. Научитесь по двум эквивалентным пропорциям находить неизвестную величину.
      Еще одной распространенной задачей, для решения которой широко используются пропорции, является нахождение неизвестной величины в одной из пропорций, если дана аналогичная ей вторая пропорция. Правило умножения дробей значительно упрощает эту задачу. Запишите каждую пропорцию в виде дроби, затем приравняйте эти дроби друг другу и найдите искомую величину.

      • Предположим, у нас есть небольшая группа учеников из 2 мальчиков и 5 девочек. Если мы хотим сохранить соотношение между мальчиками и девочками, сколько мальчиков должно быть в классе, в который входит 20 девочек? Для начала составим обе пропорции, одна из которых содержит неизвестную величину: 2 мальчика: 5 девочек = x мальчиков: 20 девочек. Если мы запишем пропорции в виде дробей, у нас получится 2/5 и x/20. После умножения обеих частей равенства на знаменатели получаем уравнение 5x=40; делим 40 на 5 и в итоге находим x=8.

   Часть 3

   Выявление ошибок
   

   1. При операциях с пропорциями избегайте сложения и вычитания.
      Многие задачи с пропорциями звучат подобно следующей: “Для приготовления блюда требуется 4 картофелины и 5 морковок. Если вы хотите использовать 8 картофелин, сколько морковок вам понадобится?” Многие допускают ошибку и пытаются просто сложить соответствующие величины. Однако для сохранения прежней пропорции следует умножать, а не складывать. Вот ошибочное и правильное решение данной задачи:

      • Неправильный метод: “8 — 4 = 4, то есть в рецепте добавилось 4 картофелины. Значит, необходимо взять прежние 5 морковок и прибавить к ним 4, чтобы… что-то не то! С пропорциями действуют по-другому. Попробуем еще раз“.
      • Правильный метод: “8/4 = 2, то есть количество картофелин выросло в 2 раза. Это значит, что и число морковок следует умножить на 2. 5 x 2 = 10, то есть в новом рецепте необходимо использовать 10 морковок“.

   2. Переведите все значения в одинаковые единицы измерения.
      Иногда проблема возникает из-за того, что величины имеют разные единицы измерения. Прежде чем записывать пропорцию, переведите все величины в одинаковые единицы измерения. Например:

      • У дракона есть 500 граммов золота и 10 килограммов серебра. Каково соотношение золота к серебру в драконьих запасах?
      • Граммы и килограммы являются различными единицами измерения, поэтому их следует унифицировать. 1 килограмм = 1 000 граммов, то есть 10 килограммов = 10 килограммов x 1 000 граммов/1 килограмм = 10 x 1 000 граммов = 10 000 граммов.
      • Итак, дракон имеет 500 граммов золота и 10 000 граммов серебра.
      • Отношение массы золота к массе серебра составляет 500 граммов золота/10 000 граммов серебра = 5/100 = 1/20.

   3. Записывайте в решении задачи единицы измерения.
      В задачах с пропорциями намного легче найти ошибку в том случае, если записывать после каждой величины ее единицы измерения. Помните о том, что если в числителе и знаменателе стоят одинаковые единицы измерения, они сокращаются. После всех возможных сокращений в ответе должны получиться правильные единицы измерения.

      • Например: даны 6 коробок, и в каждых трех коробках находится 9 шариков; сколько всего шариков?
      • Неправильный метод: 6 коробок х 3 коробки/9 шариков = … Хм, ничего не сокращается, и в ответе выходит “коробки x коробки / шарики“. Это не имеет смысла.
      • Правильный метод: 6 коробок х 9 шариков/3 коробки = 6 коробок х 3 шарика/1 коробка = 6 х 3 шарика/1 = 18 шариков.
        

Пропо́рция –
равенство двух отношений, т. е. равенство вида a: b = c: d

, или, в других обозначениях, равенство

Если a
: b
= c
: d
, то a
и d
называют крайними

, а b
и c
— средними
членами

пропорции.

От « пропорции» никуда не деться, без нее не обойтись во многих задачах. Выход только один – разобраться с этим отношением и пользоваться пропорцией как палочкой-выручалочкой.

Прежде чем приступать к рассмотрению задач на пропорцию, важно вспомнить основное правило пропорции:

В пропорции

произведение крайних членов равно произведению средних

Если какая-то величина в пропорции неизвестна, ее легко будет найти, опираясь на это правило.

Например,

То есть неизвестная величина пропорции – значении дроби, в знаменателе

которой – то число, которое стоит напротив неизвестной величины

, в числителе – произведение оставшихся членов пропорции

(независимо от того, где эта неизвестная величина стоит
).

Задача 1.

Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?

Решение:

Мы понимаем, что уменьшение веса семени во сколько-то раз, влечет за собой уменьшение веса получаемого масла во столько же раз. То есть величины связаны прямой зависимостью.

Заполним таблицу:

Неизвестная величина – значение дроби , в знаменателе которой – 21 – величина, стоящая напротив неизвестного в таблице, в числителе – произведение оставшихся членов таблицы-пропорции.

Поэтому получаем, что из 7 кг семени выйдет 1,7 кг масла.

Чтобы правильно

заполнять таблицу, важно помнить правило:

Одинаковые наименования нужно записывать друг под другом. Проценты записываем под процентами, килограммы под килограммами и т.д

Задача 2.

Перевести в радианы.

Решение:

Мы знаем, что . Заполним таблицу:

Задача 3.

На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 27?

Решение:

Хорошо видно, что незаштрихованный сектор соответствует углу в (например, потому, что стороны сектора образованы биссектрисами двух смежных прямых углов). А поскольку вся окружность составляет , то на закрашенный сектор приходится .

Составим таблицу:

Откуда площадь круга – есть .

Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

Решение:

Все поле составляет 100%, и поскольку вспахано 82%, то осталось вспахать 100%-82%=18% поля.

Заполняем таблицу:

Откуда получаем, что все поле составляет (га).

А следующая задача – с засадой.

Задача 5.

Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80км/ч за 3 часа. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч
?

Если вы будете решать эту задачу аналогично предыдущей, то получите следующее:

время, которое потребуется товарному поезду, чтобы пройти то же расстояние, что и пассажирским, есть часа. То есть, получается, что идя с меньшей скоростью, он преодолевает (за одно и тоже время) расстояние быстрее, нежели поезд с большей скоростью.

В чем ошибка рассуждений?

До сих пор мы рассматривали задачи, где величины были прямопропорциональны друг другу

, то есть рост

одной величины во сколько-то раз, дает рост

связанной с ней второй величины во столько же раз (аналогично с уменьшением, конечно). А здесь у нас другая ситуация: скорость пассажирского поезда больше

скорости товарного во сколько-то раз, а вот время, требуемое на преодоление одного и того же расстояния, требуется пассажирскому поезду меньшее

во столько же раз, нежели товарному поезду. То есть величины друг другу обратно пропорциональны

.

Схему, которой мы пользовались до сих пор, надо чуть изменить в данном случае.

Решение:

Рассуждаем так:

Пассажирский поезд со скоростью 80 км/ч ехал 3 ч, следовательно, он проехал км. А значит товарный поезд это же расстояние преодолеет за ч.

То есть, если бы мы составляли пропорцию, нам следовало бы поменять местами ячейки правой колонки предварительно. Получили бы: ч.

Поэтому, пожалуйста, будьте внимательны при составлении пропорции. Разберитесь сначала, с какой зависимостью имеете дело – с прямой или обратной.

Решение задачи с помощью пропорции сводится к тому, чтобы сделать неизвестное значение x

членом этой пропорции. Затем используя основное свойство пропорции получить линейное уравнение и решить его.

Предварительные навыки

Содержание урока

Как решить задачу с помощью пропорции

Рассмотрим простейший пример. Трем группам нужно выплатить стипендию по 1600 рублей каждому. В первой группе 20 студентов. Значит первой группе будет выплачено 1600 × 20, то есть 32 тыс. рублей.

Во второй группе 17 человек. Значит второй группе будет выплачено 1600 × 17, то есть 27,200 тыс. руб.

Ну и выплатим стипендию третьей группе. В ней 15 человек. На них нужно затратить 1600 × 15, то есть 24 тыс. руб.

В результате имеем следующее решение:

Для подобных задач решение можно записывать с помощью пропорции.

Пропорция по определению есть равенство двух отношений. К примеру, равенство является пропорцией. Эту пропорцию можно прочесть следующим образом:

a
так относится к b
, как c
относится d

Аналогично можно соотнести стипендию и студентов, так чтобы каждому досталось по 1600 рублей.

Итак, запишем первое отношение, а именно отношение тысячи шестисот рублей на одного человека:

Мы выяснили, что для выплаты 20 студентам по 1600 рублей, нам потребуется 32 тыс. рублей. Значит второе отношение будет отношением тридцати двух тысяч к двадцати студентам:

Теперь соединим полученные отношения знаком равенства:

Мы получили пропорцию. Её можно прочесть следующим образом:

Тысяча шестьсот рублей так относятся к одному студенту, как тридцать две тысячи рублей относятся к двадцати студентам
.

Понимай по 1600 рублей каждому. Если выполнить деление в обеих частях равенства , то обнаружим, что одному студенту, как и двадцати студентам достанется по 1600 рублей.

Теперь представим, что сумма денег, необходимых для выплаты стипендии двадцати студентам, была бы неизвестной. Скажем, если бы вопрос стоял так: в
группе 20 студентов и каждому нужно выплатить по 1600 рублей. Сколько всего рублей требуется для выплаты стипендии?

В таком случае пропорция приняла бы вид . То есть, сумма денег, необходимая для выплаты стипендии, стала неизвестным членом пропорции. Эту пропорцию можно прочесть так:

Тысяча шестьсот рублей так относятся к одному студенту, как неизвестное число рублей
относится к двадцати студентам

Теперь воспользуемся основным свойством пропорции. Оно гласит, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних:

Перемножив члены пропорции «крест-накрест», получим равенство 1600 × 20 = 1 × x

. Вычислив обе части равенства, получим 32000 = x

или x
= 32000
. Иными словами, мы найдём значение неизвестной величины, которую искали.

Аналогично можно было определить общую сумму и для остального количества студентов — для 17 и 15. Эти пропорции выглядели как и . Воспользовавшись основным свойством пропорции, можно найти значение x

Задача 2
. Расстояние равное 100 км автобус проехал за 2 часа. Сколько времени потребуется автобусу, чтобы проехать 300 км, если будет ехать с той же скоростью?

Можно сначала определить расстояние, которое автобус проезжает за один час. Затем определить сколько раз это расстояние содержится в 300 километрах:

100: 2 = 50 км на каждый час движения

300 км: 50 = 6 часов

Либо можно составить пропорцию «сто километров так относятся к одному часу, как триста километров к неизвестному числу часов»:

Отношение одноименных величин

Если крайние или средние члены пропорции поменять местами, то пропорция не нарушится.

Так, в пропорции можно поменять местами крайние члены. Тогда получится пропорция .

Пропорция также не нарушится, если её перевернуть, то есть использовать обратные отношения в обеих частях.

Перевернем пропорцию . Тогда получим пропорцию . Взаимосвязь при этом не нарушается. Отношение между студентами равно отношению между суммами денег, предназначенных для этих студентов. Такую пропорцию часто составляют в школе, когда для решения задачи составляются таблицы

Этот способ записи очень удобен, поскольку позволяет перевести условие задачи в более понятный вид. Решим задачу в которой требовалось определить сколько рублей нужно для выплаты стипендии двадцати студентам.

Условие задачи запишем следующим образом:

Составим таблицу на основе этого условия:

Составим пропорцию, используя данные таблицы:

Используя основное свойство пропорции, получим линейное уравнение и найдем его корень:

Изначально, мы имели дело с пропорцией , которая составлена из отношений величин разной природы. В числителях отношений располагались суммы денег, а в знаменателях количество студентов:

Поменяв местами крайние члены, мы получили пропорцию . Эта пропорция составлена из отношений величин одной природы. В первом отношении содержатся количества студентов, а во втором — суммы денег:

Если отношение составлено из величин одной природы, то мы будем называть его отношением одноименных величин
. Например, отношения между фруктами, деньгами, физическими величинами, явлениями, действиями.

Отношение может быть составлено, как из одноименных величин, так и из величин разной природы. Примерами последних являются отношение расстояния ко времени, отношения стоимости товара к его количеству, отношение общей суммы стипендии к количеству студентов.

Пример 2
. В школьном саду посажены сосны и березы, причём на каждую сосну приходится 2 березы. Сколько посадили сосен в саду, если берез посадили 240?

Определим сколько сосен было посажено в саду. Для этого составим пропорцию. В условии сказано, что на каждую сосну приходится 2 березы. Напишем отношение, показывающее что на одну сосну приходится две березы:

Теперь напишем второе отношение, показывающее что на x

сосен приходится 240 берез

Соединим эти отношения знаком равенства, получим следующую пропорцию:

«2 березы так относятся к одной сосне,
как 240 берез относятся к x соснам»

Используя основное свойство пропорции, находим значение x

Либо пропорцию можно составить, предварительно записав условие, как в прошлом примере:

Получится та же пропорция, но в этот раз она будет составлена из отношений одноименных величин:

Значит в саду посадили 120 сосен.

Пример 3
. Из 225 кг руды получили 34,2 кг меди. Каково процентное содержание меди в руде?

Можно разделить 34,2 на 225 и полученный результат выразить в процентах:

Либо составить пропорцию 225 килограммам руды так приходятся на 100%, как 34,2 кг меди приходятся на неизвестное число процентов:

Либо составить пропорцию в которой отношения составлены из одноименных величин:

Задачи на прямую пропорциональность

Понимание отношений одноименных величин приводит к пониманию решения задач на прямую и обратную пропорциональность. Начнем с задач на прямую пропорциональность.

Для начала вспомним, что такое прямая пропорциональность. Это взаимосвязь между двумя величинами при которой увеличение одной из них влечет за собой увеличение другой во столько же раз.

Если расстояние в 50 км автобус прошел за 1 час, то для прохождения расстояния в 100 км (при той же скорости) автобусу потребуется 2 часа. Во сколько раз увеличилось расстояние, во столько же раз увеличилось время движения. Как показать это с помощью пропорции?

Одно из предназначений отношения заключается в том, чтобы показать во сколько раз первая величина больше второй. А значит и мы c помощью пропорции можем показать, что расстояние и время увеличились в два раза. Для этого воспользуемся отношением одноименных величин.

Покажем, что расстояние увеличилось в два раза:

Аналогично покажем, что время увеличилось во столько же раз

«100 километров так относятся к 50 километрам, как 2 часа относятся к 1 часу»

Если выполнить деление в обеих частях равенства , то обнаружим что расстояние и время были увеличены в одинаковое число раз.

2 = 2

Задача 2
. За 3 ч на мельнице смололи 27 т пшеничной муки. Сколько тонн пшеничной муки можно смолоть за 9 ч, если темп работы не изменится?

Решение

Время работы мельницы и масса перемолотой муки — прямо пропорциональные величины. При увеличении времени работы в несколько раз, количество перемолотой муки увеличится во столько же раз. Покажем это с помощью пропорции.

В задаче дано 3 ч. Эти 3 ч увеличились до 9 ч. Запишем отношение 9 ч к 3 ч. Это отношение будет показывать во сколько раз увеличилось время работы мельницы:

Теперь запишем второе отношение. Это будет отношение x

тонн пшеничной муки к 27 тоннам. Данное отношение будет показывать, что количество перемолотой муки увеличилось во столько же раз, сколько и время работы мельницы

Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию .

Воспользуемся основным свойством пропорции и найдем x

Значит за 9 ч можно смолоть 81 т пшеничной муки.

Вообще, если взять две прямо пропорциональные величины и увеличить их в одинаковое число раз, то отношение нового значения к старому значению первой величины будет равно отношению нового значения к старому значению второй величины.

Так и в предыдущей задаче старые значения были 3 ч и 27 т. Эти значения были увеличены в одинаковое число раз (в три раза). Новыми значениями стали 9 ч и 81 ч. Тогда отношение нового значения времени работы мельницы к старому значению равно отношению нового значения массы перемолотой муки к старому значению

Если выполнить деление в обеих частях равенства, то обнаружим, что время работы мельницы и количество смолотой муки увеличилось в одинаковое число раз:

3 = 3

Пропорцию, которую составляют к задачам на прямую пропорциональность, можно описать с помощью выражения:

Где впоследствии стало равно 81.

Задача 2
. Для 8 коров в зимнее время доярка ежедневно заготовляет 80 кг сена, 96 кг корнеплодов, 120 кг силоса и 12 кг концентратов. Определить ежедневный расход этих кормов для 18 коров.

Решение

Количество коров и масса каждого из кормов — прямо пропорциональные величины. При увеличении количества коров в несколько раз, масса каждого из кормов увеличится во столько же раз.

Составим несколько пропорций, вычисляющих массу каждого из кормов для 18 коров.

Начнем с сена. Ежедневно для 8 коров его заготовляют 80 кг. Тогда для 18 коров будет заготовлено x

кг сена.

Запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилось количество коров:

Теперь запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилась масса сена:

Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию:

Отсюда находим x

Значит для 18 коров нужно заготовить 180 кг сена. Аналогично определяем массу корнеплодов, силоса и концентратов.

Для 8 коров ежедневно заготовляют 96 кг корнеплодов. Тогда для 18 коров будет заготовлено x

кг корнеплодов. Составим пропорцию из отношений и , затем вычислим значение x

Определим сколько силоса и концентратов нужно заготовить для 18 коров:

Значит для 18 коров ежедневно нужно заготавливать 180 кг сена, 216 кг корнеплодов, 270 кг силоса и 27 кг концентратов.

Задача 3
. Хозяйка варит вишнёвое варенье, причём на 3 стакана вишни кладёт 2 стакана сахара. Сколько сахара нужно положить на 12 стаканов вишни? на 10 стаканов вишни? на стакана вишни?

Решение

Количество стаканов вишни и количество стаканов сахарного песка — прямо пропорциональные величины. При увеличении количества стаканов вишни в несколько раз, количество стаканов сахара увеличится во столько же раз.

Запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилось количество стаканов вишни:

Теперь запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилось количество стаканов сахара:

Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию и найдем значение x

Значит на 12 стаканов вишни нужно положить 8 стаканов сахара.

Определим количество стаканов сахара для 10 стаканов вишни и стакана вишни

Задачи на обратную пропорциональность

Для решения задач на обратную пропорциональность опять же можно использовать пропорцию, составленнаю из отношений одноименных величин.

В отличие от прямой пропорциональности, где величины увеличиваются или уменьшаются в одну и ту же сторону, в обратной пропорциональности величины изменяются обратно друг другу.

Если одна величина увеличивается в несколько раз, то другая уменьшается во столько же раз. И наоборот, если одна величина уменьшается в несколько раз, то другая увеличивается во столько же раз.

Допустим, что нужно покрасить забор, состоящий из 8 листов

Один маляр будет красить все 8 листов сам

Если маляров будет 2, то каждый покрасит по 4 листа.

Это конечно же при условии, что маляры будут честными между собой и справедливо разделят эту работу поровну на двоих.

Если маляров будет 4, то каждый покрасит по 2 листа

Замечаем, что при увеличении количества маляров в несколько раз, количество листов которые приходятся на одного маляра уменьшаются во столько же раз.

Итак, мы увеличили количество маляров с 1 до 4. Другими словами, увеличили количество маляров в четыре раза. Запишем это с помощью отношения:

В результате количество листов забора, которые приходятся на одного маляра уменьшилось в четыре раза. Запишем это с помощью отношения:

Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию

«4 маляра так относятся к 1 маляру, как 8 листов относятся к 2 листам»

Задача 2
. 15 рабочих закончили отделку квартир в новом доме за 24 дня. За сколько дней выполнили бы эту работу 18 рабочих?

Решение

Количество рабочих и количество дней, затраченных на работу — обратно пропорциональные величины. При увеличении количества рабочих в несколько раз, количество дней, необходимых для выполнения этой работы, уменьшится во столько же раз.

Запишем отношение 18 рабочих к 15 рабочим. Это отношение будет показывать во сколько раз увеличилось количество рабочих

Теперь запишем второе отношение, показывающее во сколько раз уменьшилось количество дней. Поскольку количество дней уменьшится с 24 дней до x

дней, то второе отношение будет отношением старого количества дней (24 дня) к новому количеству дней (x
дней)

Соединим полученные отношения знаком равенства, получим пропорцию:

Отсюда находим x

Значит 18 рабочих выполнят необходимую работу за 20 дней.

Вообще, если взять две обратно пропорциональные величины и увеличить одну из них в определенное число раз, то другая уменьшится во столько же раз. Тогда отношение нового значения к старому значению первой величины будет равно отношению старого значения к новому значению второй величины.

Так и в предыдущей задаче старые значения были 15 рабочих и 24 дня. Количество рабочих было увеличено с 15 до 18 (т.е. было увеличено в раза). В результате количество дней, необходимых для выполнения работы, уменьшилось во столько же раз. Новыми значениями стали 18 рабочих и 20 дней. Тогда отношение нового количества рабочих к старому количеству равно отношению старого количества дней к новому количеству

Для составления пропорции к задачам на обратную пропорциональность можно пользоваться формулой:

Применительно к нашей задаче значения переменных будут следующими:

Где впоследствии стало равно 20.

Задача 2
. Скорость парохода относится к скорости течения реки, как 36: 5. Пароход двигался вниз по течению 5 ч 10 мин. Сколько времени потребуется ему, чтобы вернуться обратно?

Решение

Собственная скорость парохода составляет 36 км/ч. Скорость течения реки реки 5 км/ч. Поскольку пароход двигался по течению руки, то скорость его движения составила 36 + 5 = 41 км/ч. Время пути составила 5 ч 10 мин. Для удобства выразим время в минутах:

5 ч 10 мин = 300 мин + 10 мин = 310 мин

Поскольку на обратном пути пароход двигался против течения реки, то его скорость составила 36 − 5 = 31 км/ч.

Скорость парохода и время его движения — обратно пропорциональные величины. При уменьшении скорости в несколько раз, время его движения увеличится во столько же раз.

Запишем отношение, показывающее во сколько раз уменьшилась скорость движения:

Теперь запишем второе отношение, показывающее во сколько раз увеличилось время движения. Поскольку новое время x

будет больше старого времени, в числителе отношения запишем время x

, а в знаменателе старое время, равное трёхсот десяти минутам

Соединим полученные отношения знаком равенства, получим пропорцию . Отсюда найдём значение x

410 минут это 6 часов и 50 минут. Значит пароходу потребуется 6 часов и 50 минут, чтобы вернуться обратно.

Задача 3
. На ремонте дороги работало 15 человек, и они должны были закончить работу за 12 дней. На пятый день утром подошли еще несколько рабочих, и оставшаяся работа была выполнена за 6 дней. Сколько рабочих прибыло дополнительно?

Решение

Вычтем из 12 дней 4 отработанных дня. Так мы определим сколько ещё дней осталось работать пятнадцати рабочим

12 дней − 4 дня = 8 дней

На пятый день дополнительно прибыло x

рабочих. Тогда всего рабочих стало 15 + x

.

Количество рабочих и количество дней, необходимых для выполнения работы — обратно пропорциональные величины. При увеличении количества рабочих в несколько раз, количество дней уменьшится во столько же раз.

Запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилось количество рабочих:

Теперь запишем во сколько раз уменьшилось количество дней, необходимых для выполнения работы:

Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию . Отсюда можно вычислить значение x

Значит 5 рабочих прибыло дополнительно.

Масштаб

Масштабом называют отношение длины отрезка на изображении к длине соответствующего отрезка на местности.

Допустим, что расстояние от дома до школы составляет 8 км. Попробуем нарисовать план местности, где будут указаны дом, школа и расстояние между ними. Но изобразить на бумаге расстояние, равное 8 км мы не можем, поскольку оно довольно велико. Но зато мы можем уменьшить это расстояние в несколько раз так, чтобы оно уместилось на бумаге.

Пусть километры на местности на нашем плане будут выражаться в сантиметрах. Переведем 8 километров в сантиметры, получим 800 000 сантиметров.

Уменьшим 800 000 см в сто тысяч раз:

800 000 см: 100 000 см = 8 см

8 см это расстояние от дома до школы, уменьшенное в сто тысяч раз. Теперь без труда можно нарисовать на бумаге дом и школу, расстояние между которыми будет 8 см.

Эти 8 см относятся к реальным 800 000 см. Так и запишем с помощью отношения:

8: 800 000

Одно из свойств отношения гласит, что отношение не меняется если его члены умножить или разделить на одно и то же число.

В целях упрощения отношения 8: 800 000 оба его члена можно разделить на 8. Тогда получим отношение 1: 100 000. Это отношение и назовём масштабом. Данное отношение показывает, что один сантиметр на плане относится (или соответствует) ста тысячам сантиметров на местности.

Поэтому на нашем рисунке необходимо указать, что план составлен в масштабе 1: 100 000

1 см на плане относится к 100 000 см на местности;
2 см на плане относится к 200000 см на местности;
3 см на плане относится к 300000 на местности и т.д.

К любой карте или плану указывается в каком масштабе они сделаны. Этот масштаб позволяет определять реальное расстояние между объектами.

Так, наш план составлен в масштабе 1: 100 000. На этом плане расстояние между домом и школой составляет 8 см. Чтобы вычислить реальное расстояние между домом и школой, нужно 8 см увеличить в 100 000 раз. Иными словами, умножить 8 см на 100 000

8 см × 100 000 = 800 000 см

Получаем 800 000 см или 8 км, если перевести сантиметры в километры.

Допустим, что между домом и школой располагается дерево. На плане расстояние между школой и этим деревом составляет 4 см.

Тогда реальное расстояние между домом и деревом будет 4 см × 100 000 = 400 000 см или 4 км.

Расстояние на местности можно определять с помощью пропорции. В нашем примере расстояние между домом и школой будет вычисляться с помощью следующей пропорции:

1 см на плане так относится к 100000 см на местности, как 8 см на плане относятся к x
см на местности.

Из этой пропорции узнаём, что значение x
равно 800000 см.

Пример 2
. На карте расстояние между двумя городами составляет 8,5 см. Определить реальное расстояние между городами, если карта составлена в масштабе 1: 1 000 000.

Решение

Масштаб 1: 1 000 000 указывает, что 1 см на карте соответствует 1 000 000 см на местности. Тогда 8,5 см будут соответствовать x

см на местности. Составим пропорцию 1 к 1000000 как 8,5 к x

В 1 км содержится 100000 см. Тогда в 8 500 000 см будет

Либо можно рассуждать так. Расстояние на карте и расстояние на местности — прямо пропорциональные величины. При увеличении расстояния на карте в несколько раз, расстояние на местности увеличится во столько же раз. Тогда пропорция примет следующий вид. Первое отношение будет показывать во сколько раз расстояние на местности больше расстояния на карте:

Второе отношение покажет, что расстояние на местности во столько же раз больше, чем 8,5 см на карте:

Отсюда x
равен 8 500 000 см или 85 км.

Задача 3
. Длина реки Невы 74 км. Чему равняется ее длина на карте, масштаб которой 1: 2 000 000

Решение

Масштаб 1: 2000000 говорит о том, что 1 см на карте соответствует 2 000 000 см на местности.

А 74 км на это 74 × 100 000 = 7 400 000 см на местности. Уменьшив 7 400 000 в 2 000 000, мы определим длину реки Невы на карте

7 400 000: 2 000 000 = 3,7 см

Значит на карте, масштаб которой 1: 2 000 000 длина реки Невы составляет 3,7 см.

Запишем решение с помощью пропорции. Первое отношение будет показывать сколько раз длина на карте меньше длины на местности:

Второе отношение будет показывать, что 74 км (7 400 000 см) уменьшились во столько же раз:

Отсюда находим x

равный 3,7 см

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.
Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?

Решение

Пусть x

кг масла можно получить из 7 кг хлопкового семени. Масса хлопкового семени и масса получаемого масла — прямо пропорциональные величины. Тогда уменьшение хлопкового семени с 21 кг до 7 кг, приведет к уменьшению получаемого масла во столько же раз.

Ответ:
из 7 кг хлопкового семени получится 1,7 кг масла.

Задача 2.
На некотором участке железнодорожного пути старые рельсы длиной в 8 м заменили новыми длиной в 12 м. Сколько потребуется новых двенадцатиметровых рельсов, если сняли 360 старых рельсов?

Решение

Длина участка на котором производится замена рельсов равна 8 × 360 = 2880 м.

Пусть x

двенадцатиметровых рельсов требуется для замены. Увеличение длины одного рельса с 8 м до 12 м приведет к уменьшению количества рельсов с 360 до x
штук. Иными словами, длина рельса и их количество связаны обратно пропорциональной зависимостью

Ответ:
для замены старых рельсов потребуется 240 новых.

Задача 3.
60% учеников класса пошли в кино, а остальные 12 человек – на выставку. Сколько учащихся в классе?

Решение

Если 60% учащихся пошли в кино, а остальные 12 человек на выставку, то на 40% учащихся и будут приходиться 12 человек, пошедших на выставку. Тогда можно составить пропорцию в которой 12 учащихся так относятся к 40%, как все x

учащихся относятся к 100%

Либо можно составить пропорцию, состоящей из отношений одноименных величин. Количество учащихся и процентная доля изменяются прямо пропорционально. Тогда можно записать, что во сколько раз увеличилось количество участников во столько же раз увеличилась процентная доля

Задача 5.
Пешеход затратил на путь 2,5 ч, двигаясь со скоростью 3,6 км/ч. Сколько времени затратит пешеход на тот же путь, если его скорость будет 4,5 км/ч

Решение

Скорость и время — обратно пропорциональные величины. При увеличении скорости в несколько раз, время движения уменьшится во столько же раз.

Запишем отношение, показывающее по сколько раз увеличилась скорость движения пешехода:

Запишем отношение, показывающее что время движения уменьшилось во столько же раз:

Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию и найдём значение x

Либо можно воспользоваться отношениями одноименных величин. Количество выпущенных станков и процентная доля, на которые эти станки приходятся, связаны прямо пропорциональной зависимостью. При увеличении количества станков в несколько раз, процентная доля увеличивается во столько же раз. Тогда можно записать, что 230 станков во столько раз больше, чем x
станков, во сколько раз больше 115%, чем 100%

Ответ:
по плану завод должен был выпустить 200 станков.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Топографическая карта

Топографическими называются такие карты, содержание которых позволяет решать по ним разнообразные технические задачи.

Карты либо являются результатом непосредственной топографической cъемки местности, либо составляются по имеющимся картографическим материалам.

Местность на карте изображается в определенном масштабе.

Чем меньше знаменатель численного масштаба, тем крупнее масштаб. Планы составляют в крупных масштабах, а карты – в мелких.

В картах учитывается «шарообразность» земли, а в планах – нет. Из-за этого планы не составляются для территорий площадью свыше 400 км² (то есть участков земли примерно 20 км × 20 км).

Стандартные масштабы топографических карт

В нашей стране приняты следующие масштабы топографических карт:

1. 1:1 000 000
2. 1:500 000
3. 1:200 000
4. 1:100 000
5. 1:50 000
6. 1:25 000
7. 1:10 000.

Этот ряд масштабов называется стандартным. Раньше этот ряд включал масштабы 1:300 000, 1:5000 и 1:2000.

Крупномасштабные топографические карты

Карты масштабов:

1. 1:10 000 (1см =100м)
2. 1:25 000 (1см = 100м)
3. 1:50 000 (1см = 500м)
4. 1:100 000 (1см =1000м)

называются крупномасштабными.

Другие масштабы и карты

Топографические карты территории России до масштаба 1:50 000 включительно являются секретными, топографические карты масштаба 1:100 000 — ДСП (для служебного пользования), а мельче — несекретными.

В настоящее время существует методика создания топографических карт и планов любых масштабов, не имеющих грифа секретности и предназначенных для открытого пользования.

Выводы

Сравнил свои предположения, выдвинутые в моей гипотезе с надписями на выкройках, картах и технических планах дома и квартиры. Оказалось, что кое-где я ошибся в 10 и даже в 100 раз.

Итак, я предположил, что:

• выкройки наиболее эффективно чертить 1:10;
• планировку квартиры 1:100;
• паспорт дома 1:1000;
• карту города 1:10000;
• карту района 1:100000.

На самом деле, план квартиры обычно берут в масштабе 1:200; масштабы карт оказались точно такими же, как и в оригинале, но располагаются они аж на 6 альбомных листах!

Так что в который раз, я убеждаюсь, что прежде чем предполагать, нужно несколько раз пересчитать.

Таким образом, мы сформировали понятие масштаба, карты, чертежа, отрабатывали решение задач на вычисление длины отрезка на местности и на карте.

Точность масштаба

Предельная возможность измерения и построения отрезков на картах и планах ограничена величиной 0,01 см. Соответствующее ей число метров местности в масштабе карты или плана представляет собой предельную графическую точность данного масштаба.

Поскольку точность масштаба выражает длину горизонтального проложения линии местности в метрах, то для ее определения следует знаменатель численного масштаба разделить на 10 000 (1 м содержит 10 000 отрезков по 0.01 см). Так, для карты масштаба 1:25 000 точность масштаба равна 2.5 м; для карты 1:100 000 — 10 м и т. п.

Масштабы топографических карт

численный масштаб карты	название карты	1 см на карте соответствует на местности расстоянию	1 см2 на карте соответствует на местности площади
1:5 000	пятитысячная	50 м	0.25 га
1:10 000	десятитысячная	100 м	1 га
1:25 000	двадцатипятитысячная	250 м	6.25 га
1:50 000	пятидесятитысячная	500 м	25 га
1:1100 000	стотысячная	1 км	1 км2
1:200 000	двухсоттысячная	2 км	4 км2
1:500 000	пятисоттысячная, или полумиллионная	5 км	25 км2
1:1000000	мииллионная	10 км	100 км2

Ниже приведены численые маштабы карт и соответствующие им именованые масштабы:

Масштаб 1:100 000

• 1 мм на карте – 100 м (0.1 км) на местности
• 1 см на карте – 1000 м (1 км) на местности
• 10 см на карте – 10000 м (10 км) на местности

Масштаб 1:10000

• 1 мм на карте – 10 м (0.01 км) на местности
• 1 см на карте – 100 м (0.1 км) на местности
• 10 см на карте – 1000м (1 км) на местности

Масштаб 1:5000

• 1 мм на карте – 5 м (0.005 км) на местности
• 1 см на карте – 50 м (0.05 км) на местности
• 10 см на карте – 500 м (0.5 км) на местности

Масштаб 1:2000

• 1 мм на карте — 2 м (0.002 км) на местности
• 1 см на карте – 20 м (0.02 км) на местности
• 10 см на карте – 200 м (0.2 км) на местности

Масштаб 1:1000

• 1 мм на карте – 100 см (1 м) на местности
• 1 см на карте – 1000см (10 м) на местности
• 10 см на карте – 100 м на местности

Масштаб 1:500

• 1 мм на карте – 50 см (0.5 метра) на местности
• 1 см на карте – 5 м на местности
• 10 см на карте – 50 м на местности

Масштаб 1:200

• 1 мм на карте – 0,2 м (20 см) на местности
• 1 см на карте – 2 м (200 см) на местности
• 10 см на карте – 20 м (0.2 км) на местности

Масштаб 1:100

• 1 мм на карте – 0,1 м (10 см) на местности
• 1 см на карте – 1 м (100 см) на местности
• 10 см на карте – 10 м (0.01 км) на местности

Пример 1

Переведите численный масштаб карты в именованный:

1. 1:200 000
2. 1:10 000 000
3. 1:25 000

Решение:

Для более легкого перевода численного масштаба в именованный нужно посчитать, на сколько нулей кончается число в знаменателе.

Например, в масштабе 1:500 000 в знаменателе после цифры 5 находится пять нулей.


Если после цифры в знаменателе пятьи более нулей, то, закрыв (пальцем, авторучкой или просто зачеркнув) пять нулей, получим число километров на местности, соответствующее 1 сантиметру на карте.

Пример для масштаба 1:500 000

В знаменателе после цифры – пять нулей. Закрыв их, получим для именованного масштаба: в 1 см на карте 5 километров на местности.


Если после цифры в знаменателе менее пяти нулей, то, закрыв два нуля, получим число метров на местности, соответствующее 1 сантиметру на карте.

Если, например, в знаменателе масштаба 1:10 000 закроем два нуля, получим:

в 1 см – 100 м.

Ответы

1. в 1 см – 2 км
2. в 1 см – 100 км
3. в 1 см – 250 м

Используйте линейку, накладывайте на карты для облегчения измерения расстояний.

Пример 2

Переведите именованный масштаб в численный:

1. в 1 см – 500 м
2. в 1 см – 10 км
3. в 1 см – 250 км

Решение:

Для более легкого перевода именованного масштаба в численный нужно перевести расстояние на местности, указанное в именованном масштабе, в сантиметры.

Если расстояние на местности выражено в метрах, тогда чтобы получить знаменатель численного масштаба, нужно приписать два нуля, если в километрах, то пять нулей.


Например, для именованного масштаба в 1 см — 100 м расстояние на местности выражено в метрах, поэтому для численного масштаба приписываем два нуля и получаем: 1:10 000.

Для масштаба в 1 см – 5 км приписываем к пятерке пять нулей и получаем: 1:500 000.

Ответы

1. 1:50 000;
2. 1:1 000 000;
3. 1:25 000 000.

Типы карт в зависимости от масштабов

Карты в зависимости от масштабов условно подразделяют на следующие типы:

• топографические планы 1:400 — 1:5 000;
• крупномасштабные топографические карты 1:10 000 — 1:100 000;
• среднемасштабные топографические карты от 1:200 000 — 1:1 000 000;
• мелкомасштабные топографические карты менее 1:1 000 000.

Ответы@Mail.Ru: как считать масштаб?

Масштаб — это отношение размера на карте (плане) к размеру на местности. Масштаб карты выражают в сантиметрах. Например : 1:1 000 000 . Это означает , что 1 см на карте соответствуют 1 000 000 см. на местности. Откинте -2 последних нуля — получим размер в метрах.В нашем случае 1 см. на карте соответствует 10 000 м на местности. Откинем ещё 3- нуля получим размер в километрах , собветственно получим 10 км.

На калькуляторе. Можно в уме, если цифры не большие.

обычно на картах пишут сколько см равняется км. допустим 1см к 500км, берете линейку прикладываете от точки А к точке Б, а потом умножаете кол-ва см на (в нашем случае) 500км.

МАШТАБ 125000 как расчитать сколько в метрах

125000 = 250 метров

touch.otvet.mail.ru

Каким бывает масштаб?

Для работы с чертежами вам понадобится один важный документ: ГОСТ 2.302-68.

Это документ со всей необходимой информацией, связанной с масштабом чертежей. К сожалению, вы не можете выбирать его самостоятельно: он должен совпадать с параметрами, определенными ГОСТом.

Есть несколько видов масштабов чертежей по ГОСТ:

• натуральной величины — 1:1. Удобно, когда нужно быстро сориентироваться в реальном размере объекта;
• масштаб уменьшения. Это лучший вариант, если вы хотите показать на чертеже большой станок или объемную деталь. Примеры: 1:2, 1:10, 1:25, 1:100 и т. п;
• масштаб увеличения. Нужен в тех случаях, если деталь мелкая, как механизм часов или гайка. Это 3:1, 4:1, 10:1 и др;
• особый м-б уменьшения. Такой вариант вам понадобится для огромных объектов — моста или высотного здания. Чтобы его просчитать, используйте формулу 1:10n, 1:(2*10n), 1:(4*10n) и т. д. Здесь n — целое число;
• особый м-б увеличения. Тут применяется обратная формула (10*2):1, в которой n является целым числом.

При проектировке генерального плана больших объектов применяют масштабы типа 1:2000, 1:10000 и т. д.

Масштабы чертежей — Чертежик

Масштабы чертежей. Масштабом называется отношение линейных размеров изображения предмета на чертеже к действительным размерам предмета.

Масштабы чертежей бывают численные, линейные, поперечные (десятичные) и угловые (пропорциональные).

Численный масштаб обозначается дробью, которая показываем кратность увеличения или уменьшения размеров изображения на чертеже. Численный масштаб обозначается дробью, которая показываем кратность увеличения или уменьшения размеров изображения на чертеже.

В зависимости от сложности и величины изображения, ею назначения, стадии проектирования на чертежах применяются: 1.) Масштабы уменьшения: 1:2; 1 :2,5; 1:4; 1 : 5; 1 : 10; 1 : 15; 1:20; 1:25; 1 : 40; 1:50; 1:75; 1: 100; 1:200; 1:400; 1:500; 1:800; 1:1000. (

Пример: допустим дана длина 5000 мм. Необходимо начертить в масштабе 1:100, то чертится отрезок размером 50 мм.)

При проектировании генеральных планов крупных объектов допускается применять масштабы: 1:2000; 1:5000; 1: 10000; 1:20000; 1:25000; 1: 50000. 2.) Масштабы увеличения: 2:1; 2,5:1; 4:1; 5:1; 10:1; 20:1; 40:1; 50:1; 100: 1.

Пример: допустим дана длина 50 мм. Необходимо начертить в масштабе 2:1, то чертится отрезок длиной 100 мм.)

В необходимых случаях допускается применять масштабы увеличения 100-n : I. где n — целое число. 3.) Натуральная величина: 1:1.(пример: длина детали 10 мм., соответственно, чертим линию размером 10мм. )

Масштаб должен указываться на всех чертежах, кроме некоторых строительных, а также чертежей, воспроизводимых путем клиширования или фотографирования. Если на листе все чертежи выполнены в одном масштабе, то его значение проставляют в соответствующей графе основной надписи по типу 1:1; 1:2; 2:1 и т. д. Если на одном листе помещены чертежи разного масштаба, то масштаб указывают под названием соответствующего чертежа но типу М1:1; М1:2 и т. д.

Линейный масштаб на чертеже имеет вид линии с делениями, означающими какую-нибудь меру длины, например метр, километр и т.п. Линейные масштабы удобны тем, что с их помощью можно без вычисления определять по чертежу действительные размеры. По линейному масштабу отсчет размеров можно про-изводим. Поперечный масштаб, позволяющий измерять размеры на чертеже с точностью до 0,01 принятой единицы длины, применяется в топографическом черчении.

Угловые (пропорциональные) маштабы применяют для построения изображений в уменьшенном или увеличенном в несколько раз виде.

Угловым масштабом целесообразно пользоваться, когда масштаб чертежа неопределенный 1 : n, где n может быть любое целое или дробное число и при ограниченном количестве размеров на чертеже.

Применение масштабов смотрите в примерах чертежей и в разделе чтение сборочного чертежа

chertegik.ru

Масштаб.

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего расстояния на местности называют масштабом карты.

В соответствии со своим масштабом карты так и называют: пятитысячная, десятитысячная и т.д.

Пятитысячная карта, т. е. карта с масштабом 1:5000 означает, что 1 см на карте соответствует 5000 см на местности. Но мы не меряем расстояния на местности в сантиметрах. Переводим 5000 см в метры. Так как 1 м = 100 см, то 5000 см=50 м. Следовательно, 50 м на местности изображены на пятитысячной карте отрезком, равным 1 см. Что же можно изобразить на пятитысячной карте? Например, наш сквер, имеющий прямоугольную форму с размерами 600 м х 200 м (длина сквера 600 метров, а ширина 200 метров). На карте с масштабом 1:5000 сквер будет изображен прямоугольником длиной 12 см (600:50=12) и шириной 4 см (200:50=4).

десятитысячной1:100001 см10000 см100 м

Как «читать» эту карту? Найдем расстояние между интересующими нас объектами в сантиметрах и умножим на 10000 (см), а затем переведем в метры.

На двадцатипятитысячных, пятидесятитысячных картах изображают небольшие населенные пункты.

На стотысячных, двухсоттысячных картах можно изображать крупные города.

Одному сантиметру стотысячной карты соответствуют 100 000 см на местности. Переведем в метры: 100 000 см = 1000 м, а затем в километры: 1000 м=1 км.

Итак, 100 000 см=1 км. Сделаем вывод: чтобы перевести число сантиметров в километры, нужно разделить это число на 100 000 (или просто «убрать» пять нулей). Теперь нам проще будет представить масштабирование 1:100 000. На 1 см на карте приходится 1 км на местности. Если расстояние от вашего города до дачного поселка составляет 10км (по прямой!), то на стотысячной карте это расстояние представляет собой отрезок длиной 10см.

На двухсоттысячной карте (М=1:200 000) в 1 см изображается фактическое расстояние, равное 2 км (200 000 см=2 км).

На трехсоттысячной карте с масштабом 1:300 000 под каждым сантиметром подразумевают фактическое расстояние в 3 км (300 000 см=3 км).

На пятитысячной карте 1 см соответствует 5 км на местности.

На миллионной карте 1 см соответствует 10 км на местности. На таких картах изображают области, края.

А на каких картах можно изобразить страны? Обычно карты стран, Республик имеют масштаб 1:8 000 000 или 1: 10 000 000.

Большая карта Мира, которую вы изучаете в школе, имеет масштаб 1: 25 000 000.

Чтобы напечатать эту карту в атласе нужно ее уменьшить. И тогда масштаб карты Мира в атласе может составить 1: 60 000 000 или 1:75 000 000, если атлас будет поменьше.

Задача 1. Пользуясь картой масштабом 1:12 250 000, найдите расстояние (по прямой) между Астаной и Таразом на местности.

Решение.

На карте 1 см соответствует 12 250 000 см или (делим число сантиметров на 100 000 — переносим запятую на 5 цифр влево) 122, 5 км.

Измерим линейкой расстояние между Астаной и Таразом на карте. Получилось 7,5 см. Нужно узнать, сколько километров соответствует отрезку на карте в 7,5 см. Итак:

1 см ———-122,5 км

7,5 см——- х км. Можно составить пропорцию, а можно рассуждать так: в 1 см — 122,5 км, тогда в 7,5 см — в 7,5 раз больше. Следовательно, 122,5·7,5=918,75. Округлим до целых: 918,75≈919.

Ответ: от Астаны до Тараза (по прямой) 919 км.

Задача 2. Найти масштаб карты, если расстояние от Астаны до Атырау (по прямой) на местности составляет 1500 км.

Решение.

Измеряем линейкой расстояние от Астаны до Атырау. Получилось 7,5 см. По условию можно записать:

7,5 см ———- 1500 км. Найти масштаб карты — означает узнать, сколько километров (а потом, обязательно, — сантиметров на местности) соответствуют отрезку в 1 см на карте. Запишем:

1 см ———— х км. Можно составить пропорцию: 7,5:1=1500:х, из которой найти ее крайний член х. А можно рассуждать так: 1500 км изображены отрезком в 7,5 см, значит, отрезок в 1 см будет соответствовать расстоянию в 7,5 раз меньшему, и нужно число 1500 разделить на 7,5.

х=15007,5;

х=1500075;

х=200. Мы нашли, сколько км на местности приходится на 1 см на карте. Выразим 200 км в сантиметрах (для этого нам просто нужно приписать к числу 200 справа 5 нулей).

200 км=20 000 000 см. Масштаб карты 1:20 000 000.

Ответ: М=1:20 000 000.

Смотрите видео: «Масштаб».

Как расчитывать масштаб 1:50?

Масштаб используют для размещения на рисунке территории, которая на самом деле во много раз больше. При масштабе 1:50 все размеры берутся в 50 раз меньше, чем на самом деле. Например, чертёж нарисован в масштабе 1:50. На нем размер в 50 метров принимается за 1 метр. Если требуется изобразить лавку длиной 5 метров, то на рисунке её длина будет 10 см. Такой небольшой масштаб используется в строительных чертежах для графического изображения небольшой территории (ландшафтного дизайна). Вывод: при выполнении чертежа с масштабом 1:50 все исходные размеры нужно делить на 50.

Mirra-mi

Масштаб 1 к 50 означает, что на чертеже все объекты, линии уменьшены в 50 раз чем есть на самом деле. То есть 1 см на чертеже это 50 см в реальности. Поэтому, во время чтения такого чертежа каждый сантиметр нужно умножать на 50:

1 см — это 50 см,

2 см — это 100 см,

10 см — это 500 см и т.д.

Масштаб 1:50 означает, что объект (рисунок, карта, график, чертёж, предмет, эскиз и т.д.), который мы видим уменьшен по сравнению с оригинальными размерами в пятьдесят раз. Там где длина изображена, к примеру, один сантиметр в оригинале означает пятьдесят сантиметров.

Zolotynka

Чтобы понять, что такое масштаб 1:50, рассмотрим пример: предположим у нас есть модель автомобиля, выпущенная в масштабе 1 к 50. Это означает, что реальный автомобиль в 50 раз больше нашей модели.

То же самое относится и к картам: когда мы изображаем в масштабе какую-то местность на листе бумаги или экране компьютера, мы уменьшаем расстояния в 50 раз, но обязательно сохраняем все особенности местности и все пропорции. Масштаб наглядно демонстрирует соотношение между расстояниями на карте и расстояниями на земле. Это делает карту удобной для нас, так как мы получаем визуальную информацию, с помощью которой можно легко рассчитать наземные расстояния.

Т.е. для того, чтобы создать модель в масштабе 1 к 50 (чего угодно — предмета, местности) нужно реальный размер делить на 50.

Azamatik

Для того, чтобы это сделать, воспользуемся примером.

Масштаб 1 к 50 значит, например, что 50 километров берется как 1километр; 50 метров берется за 1 метр; 50 сантиметров как 1 сантиметр и тд.

Возьмем реальное футбольное поле, у которого длина равна 100 метрам, а его ширина 50 метров.

Чтобы изобразить это поле на листе бумаги в масштабе 1 к 50, разделим и ширину и длину на 50 (50 м).

Поэтому данное футбольное поле в масштабе 1:50 будет равно в длину 2 метра и в ширину 1 метр.

Moreljuba

Масштаб — это очень нужная и важная вещь. Он очень важен при создании рисунков местности и карт. Если речь идёт о масштабе 1:50, то это значит, что все реальные объекты при перенесении их на наш чертёж должны быть в 50 раз уменьшены в размерах. Иначе говоря, размеры объектов должны быть разделены на 50. Например, если нужно нанести на чертёж объект длиной 100 сантиметров, мы уменьшаем его до 2-ух сантиметров (100/50).

Довольно просто, если это какой-то чертеж, то это означает, что все детали, допустим, модели корабля, уменьшены в 50 раз и чтобы представить истинный размер корабля с которого сделан этот чертеж нужно будет увеличить модельку в 50 раз, то есть умножить размер всех деталей на 50.

Разиюша

Если нужно сделать комнаты, какого-то объекта масштабом 1:50, то сделать это нужно так: каждую длину поделить на 50 см, полученный результат начертить на бумаге. Допустим, стена длиной 6 м на чертеже будет длиной 12 см. Как это рассчитывается:

6 м = 600 см,

600: 50 = 12 см.

Хвост минтая

Получается все объекты на рисунке уменьшены на пятьдесят раз. Для того чтобы рассчитать масштаб объекта необходимо измерить картинку обычной линейкой после 1 см. умножить на 50. Собственно это и получиться реальный масштаб объекта.

Вопрос на грани фантастики. Масштаб один к пятидесяти это соотношение одной единицы масштаба вмещающей 50 единиц реального масштаба. Например 1 см установленного масштаба вмещает в себя 50 см реального.

Масштаб в черчении

С данным понятием школьная программа знакомит не только на уроках географии, но и в черчении. Здесь он используется для детального изображения различных предметов. От географического масштаба, чертежный отличается тем, что здесь, наоборот, он применяется для увеличения на рисунке мелких деталей или их частей. К примеру, чтобы показать винтик и т.д.

В данном случае, масштабирование нам помогает детальнее рассмотреть мелкий предмет. Записывается масштаб на чертеже, тоже в перевернутом виде 100:1. Это значит, что 100 метрических единиц предмета, который изображен на данном чертеже, соответствуют 1 единице его размера в действительности.

Виды масштаба

Указанный выше ГОСТ определяет 3 вида масштаба: натуральный, уменьшенный и увеличенный. Оптимальным является масштаб, который соответствует реальным параметрам, обозначается он 1:1.

Лучший масштаб — реальный

Тем не менее, не всегда получается воспроизвести объект в натуральную величину, если он слишком большой или маленький.

В таких случаях используются увеличивающий и уменьшающий масштабы.

Масштабы уменьшения применяются, когда габариты объекта слишком большие (например, в строительных чертежах, графических изображениях в сфере геодезии).

ГОСТ предлагает около десятка вариантов увеличения, с которыми можно ознакомиться в пункте 5.2 данного нормативного документа или в таблице, предоставленной ниже (составлена по ГОСТ).

Слишком крупные объекты, например, для генеральных планов, можно изображать в соотношениях 1:50000, 1:25000, 1:20000, 1:10000, 1:5000, 1:2000.

Если же деталь очень маленькая (гайка, болт, деталь компьютера, ноутбука и другой техники), для ее изображения на бумаге нужно использовать масштаб увеличения, варианты которого также предоставлены государственным стандартом (см. таблицу).

Обратите внимание! Первая цифра в соотношениях указывает на величину реального объекта, а вторая – на размер на чертеже. Например, соотношение 1:2 указывает на то, изображение уменьшило деталь в 2 раза, а если на чертеже обозначено 2:1 – деталь наоборот увеличили в 2 раза

ГОСТом предусмотрена и ситуация, когда автору нужно самостоятельно рассчитать увеличенный масштаб. Для этого используется формула 100n:1 (букву n при расчете меняем на целое число).

Масштаб и его виды

Если кратко, то это уменьшенное изображение определенной местности в какое-то количество раз. Он используется на картах, глобусах, планах и т.д. Поэтому его можно встретить в проектировании, геодезии и картографии. Масштаб указывает на то, в какое количество раз все линии на плане или чертеже больше, чем реальные размеры (или меньше). Виды таких увеличений и уменьшений бывают следующие:

• графические;
• численные;
• именованные.

Численный изображается, как дробь с единицей в числителе и со степенью уменьшения чертежа в знаменателе. Именованный указывает на то расстояние, которое соответствует одному сантиметру на местности. Например, в одном сантиметре 100 километров. Последний вид — графический, который делится на линейный и поперечный.

Как определить масштаб чертежа