Как найти пропущенный множитель

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Такой случай наиболее простой. При сложении дробей с равными знаменателями складывают числители, а знаменатель оставляют тот же.

Пример.

C помощью букв это правило сложения можно записать так:

Запомните!

Записывая ответ, проверьте нельзя ли полученную дробь сократить.

Видео

НОЗ и НОК

При работе с дробями используются наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это наименьшее натуральное число среди всех ОЗ ряда дробных чисел и наименьшее общее кратное (НОК) — это самый меньший общий делитель данного ряда чисел.

Наименьшее общее кратное — это НОЗ этого ряда. К нему можно прийти поиском НОК.

Например, необходимо провести следующую операцию для двух дробных значений: 7/16, 19/6. Нужно узнать, какой НОК у 16 и 6. Простые множители этих чисел:

16=8*2; 6= 3*2

НОК (16, 6) =8*2*3= 48.

Число 48 и есть искомый НОЗ.

Существует простое правило о том, как перевести дробное число к НОЗ. Вычисления проводятся по порядку:

1. Найти НОК.
2. Для каждого дробного числа из ряда определить дополнительный множитель. Определить его можно с помощью деления НОЗ на знаменатель каждой из дробей.
3. Умножить обе части каждой дроби на их дополнительные множители.

Пример. Есть 2 дробных значения: 3/14 и 18/30. Теперь можно воспользоваться правилом, для того чтобы найти НОЗ:

1. Найти НОК: 14 = 2*7; 30 = 5*2*3; НОК (14,32) = 5*2*7*3 = 210;
2. Найти дополнительные множители: 210/14 = 15; 210/30 = 7;
3. Перемножить верхнюю и нижнюю части с дополнительными множителями: 3*15/14*15 = 45/210; 18*7/30*7 = 126/210.

Как устроена десятичная дробь

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

• 0,3
• 4,23
• 9,939

Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

Как привести десятичную дробь к новому знаменателю

Для приведения десятичной дроби к новому знаменателю, необходимо десятичную дробь преобразовать в обыкновенную дробь. Затем числитель и знаменатель дроби домножить на дополнительный множитель.

Разберём пример. Приведём десятичную дробь 2.5 к знаменателю 4.Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную дробь. 2.5 =5/2 Найдём дополнительный множитель — для этого разделим 4 на 2 получится 4 / 2 = 2. Домножим числитель и знаменатель дроби на 2 получится дробь 10/4

2.5

=

2.5 × 101 × 10

=

2510

=

5 × 5 2 × 5

=

52

=

5 × 22 × 2

=

104

Чтобы найти общий знаменатель, перемножим знаменатели:

Дополнительный множитель к первой дроби:

Дробь примет вид:

Дополнительный множитель ко второй дроби:

Дробь примет вид:

Дополнительный множитель к третьей дроби:

Дробь примет вид:

Итак, были дроби:

Запишем полученные дроби с общим знаменателем:

Вычитание дробей с разными знаменателями

Теперь научимся вычитать дроби у которых разные знаменатели. Когда вычитают дроби их знаменатели должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, от дроби  можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей  одинаковые знаменатели. А вот от дроби  нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения: 

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям  и 

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ 

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от  пиццы отрезать  пиццы, то получится  пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей  и  к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби  и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь  (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь  (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь  и описывает эти пять кусочков.

Пример 2. Найти значение выражения 

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли  к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби  на найденный НОД, то есть на 10

Получили ответ 

Теги