Как найти простой цикл в графе

Как я простые циклы искал

Проснулся я как-то ближе к вечеру и решил — всё пора, пора уже сделать новую фичу в моей библиотеке. А за одно и проверку графа на циклы починить и ускорить. К утреннему обеду сделал новую фичу, улучшил код, сделал представление графа в удобном виде, и дошёл до задачи нахождения всех простых циклов в графе. Потягивая чашку холодной воды, открыл гугл, набрал «поиск всех простых циклов в графе» и увидел…

Увидел я не много… хотя было всего лишь 4 часа утра. Пару ссылок на алгоритмы ссылка1, ссылка2, и много намеком на то, что пора спать циклов в графе может быть много, и в общем случае задача не решаемая. И еще вопрос на хабре на эту тему, ответ на который меня тоже не спас — про поиск в глубину я и так знал.

Но раз я решил, то даже NP сложную задачу решу за P тем более я пью воду, а не кофе — а она не может резко закончиться. И я знал, что в рамках моей задачи найти все циклы должно быть возможным за маленькое время, без суперкомпьютеров — не тот порядок величин у меня.

Немного отвлечемся от детектива, и поймем зачем мне это нужно.

Что за библиотека?

Библиотека называется DITranquillity написана на языке Swift, и её задача — внедрять зависимости. С задачей внедрения зависимостей библиотека справляется на ура, имеет возможности которые не умеют другие библиотеки на Swift, и делает это с хорошей скоростью.

Но зачем мне взбрело проверять циклы в графе зависимостей?

Ради киллерфичи — если библиотека делает основной функционал на ура, то ищешь способы её улучшить и сделать лучше. А киллефича — это проверка графа зависимостей на правильность — это набор разных проверок, которые позволяют избежать проблем во время исполнения, что экономит время разработки. И проверка на циклы выделяется отдельно среди всех проверок, так как эта операция занимает гораздо больше времени. И до недавнего времени некультурно больше времени.

О проблеме я знал давно, но понимал, что в том виде, в каком сейчас хранится граф сделать быструю проверку сложно. Да и раз уж библиотека умеет проверять граф зависимостей, то сделать «Graph API» само напрашивается. «Graph API» — позволяет отдавать граф зависимостей для внешнего пользования, чтобы:

• Его проанализировать как-то на свой лад. Например, в своё время, для работы собрал автоматически все зависимости между нашими модулями, что помогло убрать лишние зависимости и ускорить сборку.
• Пока нет, но когда-нибудь будет — визуализация этого графа с помощью graphvis.
• Проверка графа на корректность.

Особенно ради второго — кто как, а мне нравится смотреть на эти ужасные картинки и понимать как же все плохо…

Исходные данные

Давайте посмотрим, с чем предстоит работать:

• MacBook pro 2019, 2,6 GHz 6-Core i7, 32 Gb, Xcode 11.4, Swift 5.2
• Проект на языке Swift с 300к+ строчек кода (пустые строки и комментарии не в счёт)
• Более 900 вершин
• Более 2000 ребер
• Максимальная глубина зависимостей достигает 40
• Почти 7000 циклов

Все замеры делаются в debug режиме, не в release, так как использовать проверку графа будут только в debug.

До этой ночи, время проверки составляло 95 минут.

Этап 1. Представление графа

Возвращаемся к нашему детективу. Мой графне Монте Кристо, он ориентированный.
Каждая вершина графа это компонент, ну или проще информация о классе. До появления Graph API все компоненты хранились в словаре, и каждый раз приходилось в него лазить, еще и ключ создавать. Что не очень быстро. Поэтому, будучи в здравом уме, я понимал, что граф надо представить в удобном виде.

Как человек, недалекий от теории графов, я помнил только одно представление графа — Матрица смежности. Правда моё создание подсказывало, что есть и другие, и немного поднапряг память, я вспомнил три варианта представления графа:

• Список вершин и список ребер — отдельно храним вершины, отдельно храним ребра.
• Матрица смежности — для каждой вершины храним информацию, есть ли переход в другую вершину
• Список смежности — для каждой вершины храним список переходов

Но прежде чем напрягать мозги, пальцы уже сделали своё дело, и пока я думал какой сейчас час, на экране уже успел появиться код для создания графа в виде матрицы смежности. Жалко конечно, но код пришлось переписать — для моей задачи важнее как можно быстрее находить исходящие ребра, а вот входящие меня мало интересуют. Да и память в наше время безгранична — почему бы её не сэкономить?

Переписав код, получилось что-то на подобии такого:

Graph:
    vertices: [Vertex]
    adjacencyList: [[Edge]]

Vertex:
    more information about vertex

Edge:
    toIndices: [Int]
    information about edge

Где Vertex информация о вершине, а Edge информация о переходе, в том числе и индексы, куда по этому ребру можно перейти.
Обращаю внимание что ребро хранит переход не один в один, а один в много. Это сделано специально, чтобы обеспечить уникальность рёбер, что в случае зависимостей очень важно, так как два перехода на две вершины, и один переход на две вершины означает разное.

Этап 2. Наивный поиск в глубину

Из начала статьи все же помнят, что к этому моменту было уже 4 часа утра, а значит, единственная идея, как реализовать поиск всех простых циклов была та, что я нашел в гугле, да и мой учитель всегда говорил — «прежде чем оптимизировать, убедись, что это необходимо». Поэтому первым делом я написал обычный поиск в глубину:

func findAllCycles() -> [Cycle] {
  result: [Cycle] = []
  for index in vertices {
    result += findCycles(from: index)
  }

  return result
}

func findCycles(from index: Int) -> [Cycle] {
  result: [Cycle] = []
  dfs(startIndex: index, currentIndex: index, visitedIndices: [], result: &result)

  return result
}

func dfs(startIndex: Int,
         currentIndex: Int,
         // visitedIndices каждый раз копируется
         visitedIndices: Set<Int>,
         // result всегда один - это ссылка
         result: ref [Cycle]) {
  if currentIndex == startIndex && !visitedIndices.isEmpty {
    result.append(cycle)
    return
  }

  if visitedIndices.contains(currentIndex) {
    return
  }

  visitedIndices += [currentIndex]

  for toIndex in adjacencyList[currentIndex] {
    dfs(startIndex: startIndex, currentIndex: toIndex, visitedIndices: visitedIndices, result: &result)
  }
}

Запустил этот алгоритм, подождал 10 минут… И, конечно же, ушел спать — А то уже солнце появилось из-за верхушек зданий…

Пока спал, думал — а почему так долго? Про размер графа я уже писал, но в чем проблема данного алгоритма? Судорожно вспоминая дебажные логи вспомнил, что для многих вершин количество вызовов функции dfs составляет миллион, а для некоторых по 30 миллионов раз. То есть в среднем 900 вершин * 1000000 = 900.000.000 вызовов функции dfs…

Откуда такие бешеные цифры? Будь бы это обычный лес, то все бы работало быстро, но у нас же граф с циклами… ZZzzz…

Этап 3. Наивная оптимизация

Проснулся я снова не по завету после обеда, и первым делом было не пойти в туалет, и уж точно не поесть, а посмотреть, сколько же выполнялся мой алгоритм, а ну да всего-то полтора часа… Ну, ладно, я за ночь придумал, как оптимизировать!

В первой реализации ищутся циклы, проходящие только через указанную вершину, а все подциклы, найденные при поиске основных циклов, просто игнорируются. Возникает желание перестать их игнорировать — тогда получается, что можно выкидывать из рассмотрения все вершины, через которые мы уже прошли. Сделать это не так сложно, правда, когда пальцы не попадают по клавиатуре чуть сложнее, но каких-то полчаса и готово:

func findAllCycles() -> [Cycle] {
  globalVisitedIndices: Set<Int> = []
  result: [Cycle] = []
  for index in vertices {
    if globalVisitedIndices.containts(index) {
      continue
    }
    result += findCycles(from: index, globalVisitedIndices: &globalVisitedIndices)
  }

  return result
}

func findCycles(from index: Int, globalVisitedIndices: ref Set<Int>) -> [Cycle] {
  result: [Cycle] = []
  dfs(currentIndex: index, visitedIndices: [], globalVisitedIndices, &globalVisitedIndices, result: &result)

  return result
}

func dfs(currentIndex: Int,
         // visitedIndices каждый раз копируется
         visitedIndices: Set<Int>,
         // globalVisitedIndices всегда один - это ссылка
         globalVisitedIndices: ref Set<Int>,
         // result всегда один - это ссылка
         result: ref [Cycle]) {

  if visitedIndices.contains(currentIndex) {
    // если visitedIndices упорядочен, то вырезав кусок, можно получить информацию о цикле
    result.append(cycle)
    return
  }

  visitedIndices += [currentIndex]

  for toIndex in adjacencyList[currentIndex] {
    dfs(currentIndex: toIndex, visitedIndices: visitedIndices, globalVisitedIndices: &globalVisitedIndices, result: &result)
  }
}

Дальше по заповедям программиста «Программист ест, билд идёт» я ушел есть… Ем я быстро. Вернувшись через 10 минут и увидев, что все еще нет результата, я огорчился, и решил подумать, в чем же проблема:

• Если у меня несколько больших раздельных циклов, то на каждый такой цикл тратится уйму времени, благо, всего один раз.
• Многие циклы «дублируются» — нужно проверять уникальность при добавлении, а это время на сравнение.

Интуиция мне подсказывала, что первый вариант был лучше. На самом деле он понятней для анализа, так как мы запоминаем циклы для конкретной вершины, а не для всего подряд.

Этап 4. А что если отсекать листья из поиска

Проснуться я уже успел, а значит самое время для листочка и карандаша. Посмотрев на цифры, нарисовав картинки на листочке, стало понятно, что листья обходить не имеет смысла, и даже не листья, а целые ветки, которые не имеют циклов. Смысл в них заходить, если мы ищем циклы? Вот их и будем отсекать. Пока это думал, руки уже все сделали, и даже нажали run… Ого, вот это оптимизация — глазом моргнуть не успел, а уже все нашло… Ой, а чего циклов так мало то нашлось… Эх… А всё ясно проблема в том, что я не налил себе стакан воды. На самом деле проблема вот в этой строчке:

if visitedIndices.contains(currentIndex) {

Я решил, что в этом случае мы тоже наткнулись на лист, но это неверно. Давайте рассмотрим вот такой граф:

В этом графе есть под цикл B->E->C значит, этот if выполнится. Теперь предположим, что вначале мы идем так:
A->B->E->C->B!.. При таком проходе C, Е помечается как лист. После находим цикл A->B->D->A.
Но Цикл A->C->B->D->A будет упущен, так как вершина C помечена как лист.

Если это исправить и отбрасывать только листовые под ветки, то количество вызовов dfs снижается, но не значительно.

Этап 5. Делаем подготовку к поиску

Ладно, еще целых полдня впереди. Посмотрев картинки и различные дебажные логи, стало понятно, что есть ситуации, где функция dfs вызывается 30 миллионов раз, но находится всего 1-2 цикла. Такое возможно в случаях на подобии:

Где «Big» это какой-то большой граф с кучей циклов, но не имеющий цикла на A.

И тут возникает идея! Для всех вершин из Big и C, можно заранее узнать, что они не имеют переходов на A или B, а значит, при переходе на C понятно, что эту вершину не нужно рассматривать, так как из нее нельзя попасть в A.

Как это узнать? Заранее, для каждой вершины запустить или поиск в глубину, или в ширину, и не посещать одну вершину дважды. После сохранить посещенные вершины. Такой поиск в худшем случае на полном графе займет O(N^2) времени, а на реальных данных намного меньше.

Текст для статьи я писал гораздо дольше, чем код для реализации:

func findAllCycles() -> [Cycle] {
  reachableIndices: [Set<Int>] = findAllReachableIndices()
  result: [Cycle] = []
  for index in vertices {
    result += findCycles(from: index, reachableIndices: &reachableIndices)
  }

  return result
}

func findAllReachableIndices() -> [Set<Int>] {
  reachableIndices: [Set<Int>] = []
  for index in vertices {
    reachableIndices[index] = findAllReachableIndices(for: index)
  }
  return reachableIndices
}

func findAllReachableIndices(for startIndex: Int) -> Set<Int> {
  visited: Set<Int> = []
  stack: [Int] = [startIndex]
  while fromIndex = stack.popFirst() {
    visited.insert(fromIndex)

    for toIndex in adjacencyList[fromIndex] {
      if !visited.contains(toIndex) {
        stack.append(toIndex)
      }
    }
  }

  return visited
}

func findCycles(from index: Int, reachableIndices: ref [Set<Int>]) -> [Cycle] {
  result: [Cycle] = []
  dfs(startIndex: index, currentIndex: index, visitedIndices: [], reachableIndices: &reachableIndices, result: &result)

  return result
}

func dfs(startIndex: Int,
         currentIndex: Int,
         visitedIndices: Set<Int>,
         reachableIndices: ref [Set<Int>],
         result: ref [Cycle]) {
  if currentIndex == startIndex && !visitedIndices.isEmpty {
    result.append(cycle)
    return
  }

  if visitedIndices.contains(currentIndex) {
    return
  }

  if !reachableIndices[currentIndex].contains(startIndex) {
    return
  }

  visitedIndices += [currentIndex]

  for toIndex in adjacencyList[currentIndex] {
    dfs(startIndex: startIndex, currentIndex: toIndex, visitedIndices: visitedIndices, result: &result)
  }
}

Готовясь к худшему, я запустил новую реализацию, и пошел смотреть в окно на ближайшее дерево, в 5 метрах — вдаль смотреть говорят полезно. И вот счастье — код полностью исполнился за 15 минут, что в 6-7 раз быстрее прошлого варианта. Порадовавшись мини победе, и порефачив код, я начал думать, что же делать — такой результат меня не устраивал.

Этап 6. Можно ли использовать прошлые результаты?

Все время пока я писал код, и пока спал, меня мучил вопрос — а можно ли как-то использовать результат прошлых вычислений. Ведь уже найдены все циклы через некоторую вершину, наверное, что-то это да значит для других циклов.
Чтобы понять, что это значит, мне понадобилось сделать три итерации, каждая из которых была оптимальней предыдущей.
Все началось с вопроса — «Зачем начинать поиск с новой вершины, если все исходящие ребра ведут в вершины, которые или не содержат цикла, или это вершина через которую уже были построены все циклы?». Потом поток мыслей дошел до того что проверку можно делать рекурсивно. Это позволило уменьшить время до 5 минут.

И только выпив залпом весь стакан с водой, а он 250мл, я осознал, что эту проверку можно вставить, прям внутри поиска в глубину:

func findAllCycles() -> [Cycle] {
  reachableIndices: [Set<Int>] = findAllReachableIndices()
  result: [Cycle] = []
  for index in vertices {
    result += findCycles(from: index, reachableIndices: &reachableIndices)
  }

  return result
}

func findAllReachableIndices() -> [Set<Int>] {
  reachableIndices: [Set<Int>] = []
  for index in vertices {
    reachableIndices[index] = findAllReachableIndices(for: index)
  }
  return reachableIndices
}

func findAllReachableIndices(for startIndex: Int) -> Set<Int> {
  visited: Set<Int> = []
  stack: [Int] = [startIndex]
  while fromIndex = stack.popFirst() {
    visited.insert(fromIndex)

    for toIndex in adjacencyList[fromIndex] {
      if !visited.contains(toIndex) {
        stack.append(toIndex)
      }
    }
  }

  return visited
}

func findCycles(from index: Int, reachableIndices: ref [Set<Int>]) -> [Cycle] {
  result: [Cycle] = []
  dfs(startIndex: index, currentIndex: index, visitedIndices: [], reachableIndices: &reachableIndices, result: &result)

  return result
}

func dfs(startIndex: Int,
         currentIndex: Int,
         visitedIndices: Set<Int>,
         reachableIndices: ref [Set<Int>],
         result: ref [Cycle]) {
  if currentIndex == startIndex && !visitedIndices.isEmpty {
    result.append(cycle)
    return
  }

  if visitedIndices.contains(currentIndex) {
    return
  }

  if currentIndex < startIndex || !reachableIndices[currentIndex].contains(startIndex) {
    return
  }

  visitedIndices += [currentIndex]

  for toIndex in adjacencyList[currentIndex] {
    dfs(startIndex: startIndex, currentIndex: toIndex, visitedIndices: visitedIndices, result: &result)
  }
}

Изменения только тут: if currentIndex < startIndex.

Посмотрев на это простое решение, я нажал run, и был уже готов снова отойти от компьютера, как вдруг — все проверки прошли… 6 секунд? Не, не может быть… Но по дебажным логам все циклы были найдены.

Конечно, я подсознательно понимал, почему оно работает, и что я сделал. Постараюсь эту идею сформировать в тексте — Если уже найдены все циклы, проходящие через вершину A, то при поиске циклов проходящих через любые другие вершины, рассматривать вершину A не имеет смысла. Так как уже найдены все циклы через A, значит нельзя найти новых циклов через неё.

Такая проверка не только сильно ускоряет работу, но и полностью устраняет появление дублей, без необходимости их обрезать/сравнивать.
Что позволяет сэкономить время на способе хранения циклов — можно или вообще не хранить их или хранить в обычном массиве, а не множестве. Это экономит еще 5-10% времени исполнения.

Этап 6. Профайл

Результат в 5-6 секунд меня уже устраивал, но хотелось еще быстрее, на улице еще солнце даже светит! Поэтому я открыл профайл. Я понимал, что на языке Swift низкоуровневая оптимизация почти невозможна, но иногда находишь проблемы в неожиданных местах.
И какое было моё удивление, когда я обнаружил, что половину времени из 6 секунд занимают логи библиотеки… Особенно с учетом, что я их выключил. Как говорится — «ты видишь суслика? А он есть…». У меня суслик оказался большим — на пол поля. Проблема была типичная — некоторое строковое выражение считалось всегда, независимо от необходимости писать его в логи.

Запустив приложение и увидев 3 секунды, я уже хотел было остановиться, но меня мучило одно предчувствие в обходе в ширину. Я давно знал, что массивы у Apple сделаны так, что вставка в начало и в конец массива занимает константное время в силу кольцевой реализации внутри (извиняюсь, я не помню, как правильно это называется). И на языке Swift у массива есть интересная функция popLast(), но нет аналога для первого элемента. Но проще показать.

var visited: Set<Int> = []
var stack: [Int] = [startVertexIndex]
while let fromIndex = stack.first {
  stack.removeFirst()

  visited.insert(fromIndex)
  for toIndex in graph.adjacencyList[fromIndex].flatMap({ $0.toIndices }) {
    if !visited.contains(toIndex) {
      stack.append(toIndex)
    }
  }
}

return visited

var visited: Set<Int> = []
var stack: [Int] = [startVertexIndex]
while let fromIndex = stack.popLast() {
  visited.insert(fromIndex)
  for toIndex in graph.adjacencyList[fromIndex].flatMap({ $0.toIndices }) {
    if !visited.contains(toIndex) {
      stack.insert(toIndex, at: 0)
    }
  }
}

return visited

Вроде изменения не значительные и, кажется, что второй код должен работать медленнее — и на многих языках второй код будет работать медленнее, но на Swift он быстрее на 5-10%.

Итоги

А какие могут быть итоги? Цифры говорят сами за себя — было 95 минут, стало 2.5-3 секунды, да еще и добавилось новых проверок.

Три секунды тоже выглядит не шустро, но не стоит забывать, что это на большом и не красивом графе зависимостей — такие днем с огнем не сыщешь в мобильной разработке.
Да и на другом проекте, который больше похож на средний мобильный проект, время с 15 минут уменьшилось до менее секунды, при этом на более слабом железе.

Ну а появлению статьи благодарим гугл — который не захотел мне помогать, и я придумывал все из головы, хоть и понимаю, что Америку я не открыл.

Весь код на языке Swift можно найти в папке.

Немного рекламы и Планы

Кому понравилась статья, или не понравилась, пожалуйста, зайдите на страницу библиотеки и поставьте ей звёздочку.

Я каждый раз озвучиваю планы по развитию, каждый раз говорю «скоро» и всегда скоро оказывается когда-нибудь. Поэтому сроков называть не буду, но когда-нибудь это появится:

• Конвертация графа зависимостей в формат для graphvis — а он в свою очередь позволит просматривать графы визуально.
• Оптимизация основного функционала библиотеки — С появлением большого количества новых возможностей, моя библиотека хоть и осталось быстрой, но теперь она не сверх быстрая, а на уровне других библиотек.
• Переход на проверку графа и поиск проблем во время компиляции, а не при запуске приложения.

P.S. Если отключить 5 этап полностью, это который добавление доп. действия перед началом поиска, то скорость работы понизится в 1.5 раза — до 4.5 секунд. То есть в этой операции даже после всех других оптимизаций есть толк.

P.P.S. Некоторые факты из статьи выдуманные, для придания красоты картины. Но, я на самом деле пью только чистую воду, и не пью чай/кофе/алкоголь.

UPD: По просьбе добавляю ссылку на сам граф. Он описан в dot формате, имена вершин просто нумерацией. Ссылка
Посмотреть на то как это выглядит визуально можно по этой ссылке.

UPD: banshchikov нашёл другой алгоритм Donald B. Johnson. Более того есть его реализация на swift.
Я решил сравнить свой алгоритм, и этот алгоритм на имеющемся графе.
Вот что получилось:

Время измерялось только на поиск циклов. Сторонняя библиотека конвертирует входные данные в удобные ей, но подобная конвертация должна занимать не более 0.1 секунды. А как видно время отличается на порядок (а в релизе на два). И списать такую большую разницу на неоптимальную реализацию нельзя.

• Как я писал, в моей в библиотеки ребра это не просто переход из одной вершины в другую. В стороннюю реализацию подобную информацию передать нельзя, поэтому количество найденных циклов не совпадает. Из-за этого в результатах ищутся все уникальные циклы по вершинам, без учета рёбер, дабы убедиться в совпадении результата.

The following is a demo implementation in C# (and Java, see end of answer) based on depth first search.

An outer loop scans all nodes of the graph and starts a search from every node. Node neighbours (according to the list of edges) are added to the cycle path. Recursion ends if no more non-visited neighbours can be added. A new cycle is found if the path is longer than two nodes and the next neighbour is the start of the path. To avoid duplicate cycles, the cycles are normalized by rotating the smallest node to the start. Cycles in inverted ordering are also taken into account.

This is just a naive implementation.
The classical paper is: Donald B. Johnson. Finding all the elementary circuits of a directed graph. SIAM J. Comput., 4(1):77–84, 1975.

A recent survey of modern algorithms can be found here

using System;
using System.Collections.Generic;

namespace akCyclesInUndirectedGraphs
{
    class Program
    {
        //  Graph modelled as list of edges
        static int[,] graph =
            {
                {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3},
                {3, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {7, 8},
                {8, 9}, {9, 7}
            };

        static List<int[]> cycles = new List<int[]>();

        static void Main(string[] args)
        {
            for (int i = 0; i < graph.GetLength(0); i++)
                for (int j = 0; j < graph.GetLength(1); j++)
                {
                    findNewCycles(new int[] {graph[i, j]});
                }

            foreach (int[] cy in cycles)
            {
                string s = "" + cy[0];

                for (int i = 1; i < cy.Length; i++)
                    s += "," + cy[i];

                Console.WriteLine(s);
            }
        }

        static void findNewCycles(int[] path)
        {
                int n = path[0];
                int x;
                int[] sub = new int[path.Length + 1];

                for (int i = 0; i < graph.GetLength(0); i++)
                    for (int y = 0; y <= 1; y++)
                        if (graph[i, y] == n)
                        //  edge referes to our current node
                        {
                            x = graph[i, (y + 1) % 2];
                            if (!visited(x, path))
                            //  neighbor node not on path yet
                            {
                                sub[0] = x;
                                Array.Copy(path, 0, sub, 1, path.Length);
                                //  explore extended path
                                findNewCycles(sub);
                            }
                            else if ((path.Length > 2) && (x == path[path.Length - 1]))
                            //  cycle found
                            {
                                int[] p = normalize(path);
                                int[] inv = invert(p);
                                if (isNew(p) && isNew(inv))
                                    cycles.Add(p);
                            }
                        }
        }

        static bool equals(int[] a, int[] b)
        {
            bool ret = (a[0] == b[0]) && (a.Length == b.Length);

            for (int i = 1; ret && (i < a.Length); i++)
                if (a[i] != b[i])
                {
                    ret = false;
                }

            return ret;
        }

        static int[] invert(int[] path)
        {
            int[] p = new int[path.Length];

            for (int i = 0; i < path.Length; i++)
                p[i] = path[path.Length - 1 - i];

            return normalize(p);
        }

        //  rotate cycle path such that it begins with the smallest node
        static int[] normalize(int[] path)
        {
            int[] p = new int[path.Length];
            int x = smallest(path);
            int n;

            Array.Copy(path, 0, p, 0, path.Length);

            while (p[0] != x)
            {
                n = p[0];
                Array.Copy(p, 1, p, 0, p.Length - 1);
                p[p.Length - 1] = n;
            }

            return p;
        }

        static bool isNew(int[] path)
        {
            bool ret = true;

            foreach(int[] p in cycles)
                if (equals(p, path))
                {
                    ret = false;
                    break;
                }

            return ret;
        }

        static int smallest(int[] path)
        {
            int min = path[0];

            foreach (int p in path)
                if (p < min)
                    min = p;

            return min;
        }

        static bool visited(int n, int[] path)
        {
            bool ret = false;

            foreach (int p in path)
                if (p == n)
                {
                    ret = true;
                    break;
                }

            return ret;
        }
    }
}

The cycles for the demo graph:

1,3,2
1,4,3,2
1,4,6,2
1,3,4,6,2
1,4,6,2,3
1,4,3
2,6,4,3
7,9,8

The algorithm coded in Java:

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class GraphCycleFinder {

    //  Graph modeled as list of edges
    static int[][] graph =
        {
            {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3},
            {3, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {7, 8},
            {8, 9}, {9, 7}
        };

    static List<int[]> cycles = new ArrayList<int[]>();

    /**
     * @param args
     */
    public static void main(String[] args) {

        for (int i = 0; i < graph.length; i++)
            for (int j = 0; j < graph[i].length; j++)
            {
                findNewCycles(new int[] {graph[i][j]});
            }

        for (int[] cy : cycles)
        {
            String s = "" + cy[0];

            for (int i = 1; i < cy.length; i++)
            {
                s += "," + cy[i];
            }

            o(s);
        }

    }

    static void findNewCycles(int[] path)
    {
            int n = path[0];
            int x;
            int[] sub = new int[path.length + 1];

            for (int i = 0; i < graph.length; i++)
                for (int y = 0; y <= 1; y++)
                    if (graph[i][y] == n)
                    //  edge refers to our current node
                    {
                        x = graph[i][(y + 1) % 2];
                        if (!visited(x, path))
                        //  neighbor node not on path yet
                        {
                            sub[0] = x;
                            System.arraycopy(path, 0, sub, 1, path.length);
                            //  explore extended path
                            findNewCycles(sub);
                        }
                        else if ((path.length > 2) && (x == path[path.length - 1]))
                        //  cycle found
                        {
                            int[] p = normalize(path);
                            int[] inv = invert(p);
                            if (isNew(p) && isNew(inv))
                            {
                                cycles.add(p);
                            }
                        }
                    }
    }

    //  check of both arrays have same lengths and contents
    static Boolean equals(int[] a, int[] b)
    {
        Boolean ret = (a[0] == b[0]) && (a.length == b.length);

        for (int i = 1; ret && (i < a.length); i++)
        {
            if (a[i] != b[i])
            {
                ret = false;
            }
        }

        return ret;
    }

    //  create a path array with reversed order
    static int[] invert(int[] path)
    {
        int[] p = new int[path.length];

        for (int i = 0; i < path.length; i++)
        {
            p[i] = path[path.length - 1 - i];
        }

        return normalize(p);
    }

    //  rotate cycle path such that it begins with the smallest node
    static int[] normalize(int[] path)
    {
        int[] p = new int[path.length];
        int x = smallest(path);
        int n;

        System.arraycopy(path, 0, p, 0, path.length);

        while (p[0] != x)
        {
            n = p[0];
            System.arraycopy(p, 1, p, 0, p.length - 1);
            p[p.length - 1] = n;
        }

        return p;
    }

    //  compare path against known cycles
    //  return true, iff path is not a known cycle
    static Boolean isNew(int[] path)
    {
        Boolean ret = true;

        for(int[] p : cycles)
        {
            if (equals(p, path))
            {
                ret = false;
                break;
            }
        }

        return ret;
    }

    static void o(String s)
    {
        System.out.println(s);
    }

    //  return the int of the array which is the smallest
    static int smallest(int[] path)
    {
        int min = path[0];

        for (int p : path)
        {
            if (p < min)
            {
                min = p;
            }
        }

        return min;
    }

    //  check if vertex n is contained in path
    static Boolean visited(int n, int[] path)
    {
        Boolean ret = false;

        for (int p : path)
        {
            if (p == n)
            {
                ret = true;
                break;
            }
        }

        return ret;
    }

}

В этом и других курсах вы могли сталкиваться с различными учебными проектами. Обычно они достаточно реалистичные, но одно различие все таки есть — все учебные проекты небольшие.

Реальные проекты намного больше учебных. Чтобы разработчики не путались в коде, обычно большие проекты состоят из отдельных пакетов. При этом появляются зависимости.

Например, если пакет А импортирует или использует пакет Б, мы говорим: «А зависит от Б». На схеме эту зависимость можно обозначить так:

Чтобы собрать проект, нам нужно загружать или компилировать пакеты в правильном порядке. Если А зависит от Б, то сначала надо загрузить пакет Б, и только потом перейти к пакету А.

Когда пакетов в проекте много, количество зависимостей тоже растет. Вместе они образуют сложный граф зависимостей:

Пакеты из этого графа можно загружать или компилировать в правильном порядке. Судя по графу, возможно три варианта:

У нас есть выбор, потому что ветки Г и Б + В не зависят друг от друга. В любом случае первым пакетом следует Д, потому что он ни от кого не зависит. Последним идет пакет А, потому что от него никто не зависит.

Подобная структура зависимостей часто встречается в программировании. Например, таким образом мы описываем связи между классами, которые задействованы в коде. Это называется внедрение зависимостей (Dependency Injection).

Но есть проблема — часто программисты не описывают граф целиком, а только указывают, от каких узлов зависит очередной узел.

Это приводит к тому, что в графе может появиться циклическая зависимость:

В циклическом графе невозможно определить правильный порядок компиляции пакетов или создания объектов. Справиться с этой сложностью помогают системы сборки и библиотеки внедрения зависимостей. Именно благодаря им программисты находят циклы в описанных графах.

В этом уроке мы научимся искать циклы в ориентированных графах. Задача для неориентированных графов на практике встречается гораздо реже, поэтому мы не станем обсуждать ее подробно. Она решается похожим образом, так что алгоритм можно без труда адаптировать.

class Graph {
    vertices;
    size;
    edges;

    constructor(vertices) {
        this.vertices = vertices;
        this.size = vertices.length;
        this.edges = Array.from({length: this.size}, () => {
            return Array(this.size).fill(false);
        });
    }

    addEdge(value1, value2) {
        const row = this.vertices.indexOf(value1);
        const column = this.vertices.indexOf(value2);

        this.edges[row][column] = true;
    }

    findCycle() {
        const WHITE = 0;
        const GRAY = 1;
        const BLACK = 2;
        let colors = Array(this.size).fill(WHITE);

        const visit = i => {
            if (colors[i] === BLACK) {
                return null;
            } else if (colors[i] === GRAY) {
                return [];
            }

            colors[i] = GRAY;

            for (let j = 0; j < this.size; j++) {
                if (this.edges[i][j]) {
                    const result = visit(j);
                    if (Array.isArray(result)) {
                        return [...result, this.vertices[i]];
                    }
                }
            }

            colors[i] = BLACK;
            return null;
        };

        return visit(0);
    }
}

    constructor(vertices) {
        this.vertices = vertices;
        this.size = vertices.length;
        this.edges = Array.from({length: this.size}, () => {
            return Array(this.size).fill(false);
        });
    }

    addEdge(value1, value2) {
        const row = this.vertices.indexOf(value1);
        const column = this.vertices.indexOf(value2);

        this.edges[row][column] = true;
    }

        const WHITE = 0;
        const GRAY = 1;
        const BLACK = 2;
        let colors = Array(this.size).fill(WHITE);

            if (colors[i] === BLACK) {
                return null;
            } else if (colors[i] === GRAY) {
                return [];
            }

            colors[i] = GRAY;

            for (let j = 0; j < this.size; j++) {
                if (this.edges[i][j]) {
                    const result = visit(j);
                    if (Array.isArray(result)) {
                        return [...result, this.vertices[i]];
                    }
                }
            }

            colors[i] = BLACK;
            return null;

let graph = new Graph(['0', '1', '2', '3', '4', '5', '6']);
graph.addEdge('0', '1');
graph.addEdge('1', '2');
graph.addEdge('1', '5');
graph.addEdge('2', '3');
graph.addEdge('2', '4');
graph.addEdge('5', '6');
graph.addEdge('6', '0');

let cycle = graph.findCycle(); // [ '6', '5', '1', '0' ]