В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно найти дробь от целого числа и наоборот – как найти число, если известно, чему равна определенная дробь от него. Также разберем примеры решения задач для лучшего понимания и закрепления теоретического материала.
- Нахождение дроби от числа
- Нахождение числа по значению дроби
Нахождение дроби от числа
Чтобы найти часть от целого числа n, которая представлена дробью, нужно умножить эту дробь (например, a/b) на данное число n.
Дробь от числа = n ⋅
a/b
=
n ⋅ a/b
Пример 1
Решение
5/12
⋅ 24 =
5 ⋅ 24/12
=
120/12
= 10
Пример 2
Решение
4/9
⋅ 7 =
4 ⋅ 7/9
=
28/9
=3
1/9
Таким образом, результат нахождения дроби числа не всегда бывает целым числом.
Примечание: если дробь является смешанной, сперва ее следует представить в виде неправильной и только потом выполнять умножение.
Нахождение числа по значению дроби
Если известно сколько число n занимает в числе m, и эта доля выражена в виде дроби, то для нахождения числа m используется формула:
Пример:
Один ряд кинозала вмещает 20 кресел, что составляет
2/5
от всей вместимости зала. Определите, сколько всего посадочных мест в зале.
Решение
Общее количество кресел равняется:
20 :
2/5
= 20 ⋅
5/2
=
20 ⋅ 5/2
= 50
Содержание материала
- Правильная и неправильная дробь
- Видео
- Дроби
- Нахождение части от целого (дроби от числа)
- Вычитание дробей
- Нахождение целого числа по дроби
- Как перевести десятичную дробь в обыкновенную или смешанную
- Применение нахождения дроби от числа для решения задач
- Нахождение числа по значению дроби
Правильная и неправильная дробь
Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной, а дробь, где числитель больше или равен знаменателю, — неправильной.
Число, состоящее из целой и дробной частей, можно обратить в неправильную дробь. Для этого нужно умножить целую часть на знаменатель и к произведению прибавить числитель данной дроби. Полученная сумма будет числителем дроби, а знаменателем остается знаменатель дробной части.
Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого нужно разделить с остатком числитель на знаменатель. Частное от деления — это целая часть, остаток — это числитель, делитель — это знаменатель.
Дроби
Дроби вида $frac{n}{m}$ называют «обыкновенные дроби». В дроби $frac{n}{m}$ число над чертой называют числителем дроби, а число под чертой – знаменателем дроби.
Знаменатель показывает, на сколько долей делят, а числитель — сколько таких долей взято.
Таким образом, если нам нужно обозначить не один «кусочек» числа, а больше, мы просто пишем в верхней части дроби не единицу, а другое число, например, так:
Дроби нужно уметь читать правильно: числитель читается как количественное числительное женского рода (одна, две и т.д.), а знаменатель как порядковое числительное (вторая, пятая) и согласуется с первым числительным.Например: $frac{1}{2}$ — одна вторая, $frac{2}{5}$ — две пятых, $frac{6}{11}$ — шесть одиннадцатых.
На рисунке 6 изображён отрезок АВ, его длина 10 см, то есть 1 дм. Длина отрезка АС будет 1 см.
А какую долю составит сантиметр от метра?
Показать ответ
Скрыть
$frac{1}{100}$
А грамм от килограмма?
Показать ответ
Скрыть
$frac{1}{1000}$
Видео
Нахождение части от целого (дроби от числа)
Чтобы найти часть от целого, нужно число, соответствующее целому, разделить на знаменатель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на числитель той же дроби.
Задача нахождения части от целого по существу является задачей нахождения дроби от числа. Чтобы найти дробь (часть) от числа, необходимо число умножить на эту дробь.
Вычитание дробей
Алгоритм действий при вычитании двух дробей:
- Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
- Привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби.
- Вычесть одну дробь из другой, путем вычитания числителя второй дроби из числителя первой.
- Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
- Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.
Нахождение целого числа по дроби
Зная часть числа и сколько это составляет от целого числа, можно найти изначальное целое число. Это обратная задача к той, которую мы рассматривали в предыдущей теме. Там мы искали дробь от числа, деля это число на знаменатель дроби, и полученный результат умножая на числитель дроби.
А сейчас наоборот, зная дробь и сколько это составляет от числа, найти изначальное целое число.
Например, если 
длины линейки составляют шесть сантиметров и нам говорят найти длину всей линейки, то мы должны понимать, что от нас требуют найти изначальное целое число (длину всей линейки) по дроби 
. Давайте решим эту задачу.
Требуется найти длину всей линейки по дроби 
. Известно, что 
длины всей линейки составляют 6 см.
Мы уже знаем каким образом получились эти 6 см. Имелась какая-то длина, её разделили на пять частей, поскольку знаменатель дроби 
это число 5. Затем было взято две части от пяти частей, поскольку числитель дроби 
это число 2.
Чтобы узнать длину всей линейки, сначала нужно узнать длину одной части. Как это узнать? Попробуем догадаться, внимательно изучив следующий рисунок:
Если две части длины линейки составляют 6 см, то нетрудно догадаться, что одна часть составляет 3 см. А чтобы получить эти 3 см, надо 6 разделить на 2
6 см : 2 = 3 см
Итак, мы нашли длину одной части. Одна часть из пяти или 
длины линейки составляет 3 см. Если частей всего пять, то для нахождения длины линейки, нужно взять три сантиметра пять раз. Другими словами, умножить 3 см на число 5
3 см × 5 = 15
Мы нашли длину линейки. Она составляет 15 сантиметров. Это можно увидеть на следующем рисунке.
Видно, что пять частей из пяти или 
составляют пятнадцать сантиметров.
Чтобы легче было находить число по его дроби, можно пользоваться следующим правилом:
Чтобы найти число по его дроби, нужно известное число разделить на числитель дроби, и полученный результат умножить на знаменатель дроби.
Пример 2. Число 20 это 
от всего числа. Найдите это число.
Знаменатель дроби 
показывает, что число, которое мы должны найти, разделено на пять частей. Если 
этого числа составляет число 20, то для нахождения всего числа, сначала нужно найти 
(одну часть из пяти) от всего числа. Для этого 20 надо разделить на числитель дроби 
20 : 4 = 5
Мы нашли 
от всего числа. Эта часть равна 5. Чтобы найти всё число, нужно полученный результат 5 умножить на знаменатель дроби 
5 × 5 = 25
Мы нашли 
от всего числа. Другими словами, нашли всё число, которое от нас требовали найти. Это число 25.
Пример 3. Десять минут это 
времени приготовления каши. Найдите общее время приготовления каши.
Знаменатель дроби 
показывает, что общее время приготовления каши разделено на три части. Если 
времени приготовления каши составляет десять минут, то для нахождения общего времени приготовления, нужно сначала найти 
времени приготовления. Для этого 10 нужно разделить на числитель дроби 
10 мин : 2 = 5 мин
Мы нашли 
времени приготовления каши. 
времени приготовления каши составляют пять минут. Для нахождения общего времени приготовления, нужно 5 минут умножить на знаменатель дроби 
5 мин × 3 = 15 мин
Мы нашли 
времени приготовления каши, то есть нашли общее время приготовления. Оно составляет 15 минут.
Пример 4. 
массы мешка цемента составляет 30 кг. Найти общую массу мешка.
Знаменатель дроби 
показывает, что общая масса мешка разделена на четыре части. Если 
массы мешка составляет 30 кг то для того, чтобы найти общую массу мешка нужно сначала найти 
массы мешка. Для этого 30 надо разделить на числитель дроби 
.
30кг : 2 = 15кг
Мы нашли 
массы мешка. 
массы мешка составляет 15 кг. Теперь, чтобы найти общую массу мешка, надо 15кг умножить на знаменатель дроби 
15кг × 4 = 60кг
Мы нашли 
массы мешка. Другими словами, нашли общую массу мешка. Общая масса мешка цемента составляет 60 кг.
Как перевести десятичную дробь в обыкновенную или смешанную
Для того, чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо:
- Записать дробь в виде десятичная дробь1
- Умножать числитель и знаменатель на 10 до тех пор, пока числитель не станет целым числом.
- Найти наибольший общий делитель и сократить дробь.
Например, переведем 0.36 в обыкновенную дробь:
- Записываем дробь в виде: 0.361
- Умножаем на 10 два раза, получим 36100
- Сокращаем дробь 36100 = 925
Применение нахождения дроби от числа для решения задач
В начале урока мы уже разобрали пример с тортом, сейчас посмотрим на другие примеры.
Задача 1
Остап зарабатывает 40 000 рублей в месяц.
Из них (mathbf{frac{1}{4}}) это подработка.
Сколько рублей Остапу приносит подработка?
Решение:
В данной случае числом будет являться сумма заработка за месяц — 40 000
Ну а дробью, очевидно, будет (mathbf{frac{1}{4}}).
Тогда, чтобы найти прибыль от подработки, надо просто умножить дробь на число.
(mathbf{40000cdotfrac{1}{4}=frac{40000}{4}=10000})
Ответ: 10 000 рублей.
Теперь рассмотрим что-нибудь посложнее.
Задача 2
Порфирий живет в комнате площадью 18 квадратных метров.
3 кровати занимают (mathbf{frac{1}{3}}) площади комнаты.
Какую площадь занимает одна кровать?
Решение:
Сначала найдем, какую площадь занимают 3 кровати, затем разделим это число на 3, чтобы получить площадь одной кровати.
1) (mathbf{18cdotfrac{1}{3}=frac{18}{3}=6}) (квадратных метров) занимают 3 кровати
2) (mathbf{6div3=2}) (квадратных метра) занимает одна кровать
Ответ: 2 квадратных метра.
Теперь посмотрим, как в задачах применяются проценты.
Задача 3
Пересвет работает на заводе и производит 100 деталей в день.
Начальник Елисей пообещал Пересвету выдать премию, если он будет делать на 20% деталей больше.
Сколько деталей в день должен делать Пересвет, чтобы получить премию?
Решение:
Для начала надо понять, на сколько в количественном измерении больше деталей нужно выпустить Пересвету, чтобы получить премию.
Для этого домножим текущее количество деталей на процент или долю, учитывая, что 20% — это 20 частей из 100, или иначе 0,20, и получим искомую прибавку.
1) (mathbf{20%=20div100=0.2})
2) (mathbf{100cdot0.2=20}) (деталей)- то, насколько больше деталей нужно производить
Теперь, чтобы найти общее количество деталей, надо прибавить эту прибавку к тому, что Пересвет производит уже сейчас.
3) (mathbf{100+20=120}) (деталей) в день нужно производить для получения премии
Ответ: 120 деталей.
В некоторых задачах нужно несколько раз применять нахождение процентов от числа.
Задача 4
Глубина реки в начале мая была равна 10 метрам, к началу июня она обмелела на 10%, а к началу июля еще на 15% относительно показателей начала июня. Вычислите, какая глубина реки была в начале июля.
Решение:
Исходное число- 10 метров, дробь задана в виде процентов.
Первым действием нужно будет найти глубину реки в начале июня.
Здесь можно пойти двумя разными путями:
I. Посчитаем, на сколько метров опустился уровень воды, а затем вычтем это из исходных показателей.
0) (mathbf{10%=10div100=0.1})
1) (mathbf{10-10cdot0.1=10-1=9}) (метров)- глубина реки в начале июня
II. Можно вместо того, чтобы считать разницу и вычитать ее, посчитать сколько процентов останется и найти сразу именно эту часть от исходного числа.
Учитывая, что всего у нас 100%, да если глубина уменьшилась на 10%, то осталось 90%.
0) (mathbf{100-10=90}) (процентов) останется
1) (mathbf{90%=90div100=0.9})
2) (mathbf{10cdot0.9=9}) (метров)- глубина реки в начале июня
Как мы видим, эти два подхода дают одинаковый результат.
Поэтому вы можете выбирать любой из них в зависимости от задачи и ваших предпочтений.
Таким образом, мы посчитали глубину в начале июня. Теперь нужно понять, какая будет глубина в начале июля, когда глубина уменьшится еще на 15 процентов.
Используем в этом случае второй способ.
3) (mathbf{100-15=85}) (процентов) останется в июле от уровня июня
4) (mathbf{85%=85div100=0.85})
5) (mathbf{0.85cdot9=7.65}) (метров) составит глубина реки в начале июля
Ответ: 7.65 метра.
Пройти тест Закрыть тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации Вход Регистрация
Нахождение числа по значению дроби
Если известно сколько число n занимает в числе m, и эта доля выражена в виде дроби, то для нахождения числа m используется формула:
m = m : a / b
Пример:
Один ряд кинозала вмещает 20 кресел, что составляет2 / 5
от всей вместимости зала. Определите, сколько всего посадочных мест в зале.
Решение
Общее количество кресел равняется:
20 :2 / 5
= 20 ⋅5 / 2
=20 ⋅ 5 / 2
= 50
Теги
План урока:
Умножение обыкновенных дробей
Нахождение дроби от числа
Деление обыкновенных дробей
Нахождение числа по заданному значению его дроби
Дробные выражения
Умножение обыкновенных дробей
Разберем ситуацию.
На уроке технологии девочки занимались выпечкой. Они готовили печенье. По рецепту на изготовление одного килограмма печенья уходит 3/8 килограмма сахара. Сколько сахара необходимо принести детям, чтобы приготовить 1/2 килограмма печенья?
Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нам необходимо узнать количество сахара нужное для изготовления 1/2 килограмма печенья. По условию, мы знаем, что для выпечки 1 кг лакомства требуется 3/8 кг сахара. Следовательно, чтобы вычислить требуемую массу сахарного песка необходимо найти произведение 3/8 и 1/2 . Известные множители представлены в виде обыкновенных дробей. Чтобы выполнить умножение обыкновенных дробей нужно использовать правило:
числитель умножаем на числитель, а знаменатель на знаменатель. Первый результат пишем над чертой дроби, второй под чертой:
Получается, чтобы испечь нужное количество печенья школьницы должны подготовить 3/16 килограмма сахарного песка.
Нахождение дроби от числа
Разберем следующую ситуацию и узнаем, как найти дробь от числа.
Вениамин очень любит уроки изобразительного искусства. В его альбоме для рисования 48 листов. Мальчик удивленно заметил, что своими рисунками уже заполнил 7/8 альбома. Сколько всего рисунков получилось у школьника?
Задачу можно решить двумя способами. Подробно рассмотрим каждый из них.
Способ 1.
Чтобы ответить на главный вопрос задачи нам нужно узнать, сколько листов соответствует записи 7/8. Для этого давайте вспомним, о чем нам говорят компоненты дробных выражений:
Теперь, можно сказать, что весь альбом разделили на 8 частей, а использовали только 7. Попробуем посчитать. Вначале, делим 48 на 8:
48 : 8 = 6.
6 листов приходится на 1/8 часть альбома. Зная, что таких частей было взято 7, найдем произведение 6 и 7 :
6 × 7 = 42.
Мы выяснили, что Вениамин нарисовал 42 рисунка.
Для решения задачи таким способом, нужно выполнить два действия, а это не всегда удобно. Так же, такой способ может вызывать трудности при вычислениях, если компоненты не делятся нацело.
В таких ситуациях, логичнее будет использование второго способа.
Способ 2.
По условию нам известно число и часть этого числа, выраженная обыкновенной дробью. Нужно найти числовое значение соответствующее данной дроби. Задания такого вида имеют собственное название «Нахождение дроби от числа» и правило, используя, которое можно с легкостью вычислить любое числовое значение соответствующее дробному выражению:
Применим изученное правило на практике. Чтобы найти 7/8 от 48 нам нужно, просто умножить 7/8 на 48:
Мальчик нарисовал 42 рисунка.
Запомните оба способа, и применяйте их для решения различных заданий.
Деление обыкновенных дробей
Разберем пример.
Строительная бригада выполняла ремонт городской дороги.На ремонт определенного участка дороги, рабочие потратили 7/9 тонны асфальта. Определите, сколько километров дороги отремонтировали рабочие, если на ремонт одного километра уходит 3/7 тонны строительного материала.
По условию нам известно, что всего было использовано 7/9 тонны материала, при этом мы знаем, что на один километр требуется 3/7 тонны. Чтобы ответить на главный вопрос задачи нужно количество использованного асфальтаразделить на количество строительного материала, необходимое для починки одного километра. В результате мы получим число отремонтированных километров. В данном случае, в качестве делимого и делителя выступают обыкновенные дроби. И перед нами возникает проблема «Как же выполнить деление обыкновенных дробейс разными знаменателями?».
В арифметике на этот случай имеется определенное правило, которое расскажет, как выполнить деление обыкновенных дробей.
Выполним деление имеющихся чисел с применением рассмотренного правила
Выполним деление, имеющихся дробных чисел с применением рассмотренного правила. Разделим 7/9 на 3/7. Делимое 7/9 оставляем без изменений, а делитель 3/7 переворачиваем, и получаем 7/3. Находим произведение данных выражений:
Все очень просто. Главное помните, что при выполнении деления дробей с разными знаменателями делитель переворачиваем и находим произведение перевернутого делителя и делимого!
Нахождение числа по заданному значению его дроби
В школе проходила неделя экологии. Учащиеся шестого класса были приглашены лесничеством на высадку деревьев. До обеда, ребята высадили 6/11 всех саженцев. Сколько растений осталось высадить школьникам, если до обеда дети высадили 54 дерева?
Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно определить число по заданному значению его дроби. В арифметике существует правило, используя, которое возможно с легкостью найти любое число по значению его дроби:
Теперь мы знаем, что для вычисления общего количества саженцев, нужно известное значение дроби разделить на саму дробь. Зная, что число – 54, а дробь – 6/11, имеем:
В результате получили неправильную дробь. Выделим из полученного произведения целую часть.Для этого разделим числитель на знаменатель:
594 : 6 = 99.
Выходит, что за целый день школьникам нужно высадить 99 растений.
В математике часто встречаются задания, в которых требуется вычислить значение «многоэтажных» дробей. Как называются такие дробные выражения, каким способом их вычислять рассмотрим далее.
Дробные выражения
Когда ученик видит в учебнике задание в виде выражения:
то желание заниматься математикой сразу пропадает. Сегодня мы узнаем,как решать дробные выражения и докажем, что даже такие выражения совершенно не сложные, и выполнить вычисления сможет каждый желающий после изучения нашего урока!
Никого не пугает запись обыкновенной дроби – 3/7, 4/15, 8/14.
Каждый понимает, что дробная черта заменяет привычный знак деления – : .
Например:
10/21 = 10 : 21 или 7/18 = 7 : 18.
Выходит, что частное чисел или выражений, в случае замены знака деления чертой дроби, называют дробным выражением.
Вот так, проведя два простых вычисления, мы выполнили задание, вызывающее недоумение у школьников. Математика интересная и простая наука. Если приложите немного внимания и терпения, то результат не заставит себя ждать!
Знаешь ли ты?
1) Ученые – селекционеры вывелиновый вид яблонь. Удивительным является то, что корни растения уходит в землю более чем на 49/50километра (около 980 метров), а общая длина корневища достигает 4000 метров.
2) За всю жизнь человек выпивает примерно 75 тонн воды. Подсолнечнику, например, достаточно 1/4 тонны(250 литров), чтобы вырасти и принести семена.
3) Италия в который раз удивила весь мир. Около вулкана Этна растет каштан, диаметр ствола которого, составляет,3/50 километра (около 60 метров),это чуть ли не половина футбольного стадиона.
4) Пальма Рафия Тедигера встречается только в Бразилии. Она интересна тем, что её листья имеют гигантские размеры. Черенок листка достигает1/200 километра (5 метров), длина листика – более1/50 километра (более 20 метров), ширина – более 5 метров (1/200 километра).
5) По сообщениям ихтиологов(ученых, занимающихся изучением рыб), самую большую длину в мире,имеют ремень-рыбы. Во взрослом возрасте они достигают длины более 1/100километра(более 10 метров), а длина молодых особей находится в пределах 0,003 километра или 3 метров.
Сколько будет 1/2 от 2/3 от 3/4 от 4/5 от 5/6 от 6/7 от 7/8 от 8/9 от 9/10 от 1000?
Посмотреть решение
100. Это легко понять, если начинать считать в обратном порядке, от тысячи.
- Категория: Математика
Чтобы найти дробь от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби и умножить на числитель. Чтобы найти число по его дроби, нужно число разделить на числитель и умножить на знаменатель.
Разберем на примере задачи нахождение дроби от числа.
От дома до школы 560 м. Саша прошел 2/5 этого пути. Сколько метров прошел Саша?
Весь путь — это 5 частей или одно целое (5/5). Найдем одну часть:
1) 560 : 5 = 112 (м) — составляет одна часть Сашиного пути. А он прошел 2 таких части
2) 112 * 2 = 224 (м) — составляет 2/5 пути.
Ответ: 224 м.
А теперь ту же задачу превратим в нахождение числа по его дроби.
Саша прошел 224 м, что составляет 2/5 всего пути от дома до школы. Найди расстояние от дома до школы?
224 м — это часть пути, значит весь путь будет больше. Эта информация нужна для самопроверки. Найдем сначала 1/5 пути
1) 224 : 2 = 112 (м) — составляет 1/5 пути
2) 112 * 5 = 560 (м) — составляет весь путь
Ответ: 560 м.
Проверим себя. При нахождении дроби от числа результат будет меньше этого числа, если у нас правильная дробь, и больше, если неправильная (то есть целое + еще какая-то часть).
При нахождении числа от дроби — все наоборот, результат будет больше этого числа, если у нас правильная дробь, и меньше, если неправильная.