Противоположные числа
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 560.
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 560.
Тема «Противоположные числа» изучается в курсе 6 класса математики. У противоположных чисел есть ряд интересных свойств, которые выделяют их из множества действительных чисел. Рассмотрим основные понятия этой темы.
Определение противоположных чисел
Противоположными называются два числа, которые отличаются друг от друга только знаком.
Обозначим некоторое число буквой a. Тогда противоположным ему будет число -a.
Примеры
Приведем несколько примеров пар противоположных чисел:
7 и -7,
2 и -2,
1,5 и -1,5,
5/7 и -5/7.
Противоположные числа на координатной оси
Проведем координатную ось – прямую линию, на которой отмечено начало координат, задан масштаб и стрелкой указано положительное направление.
Изобразим на координатной оси два противоположных числа a и -a.
Из рис. 1 видно, что противоположные числа расположены на одинаковом расстоянии, но в противоположных направлениях от начала координатной оси. Поэтому такие числа и называются противоположными.
Как найти число, противоположное данному
Сформулируем правило, по которому мы можем написать два противоположных числа.
Пусть дано число a. Чтобы найти противоположное ему число, нужно к числу a приписать знак « – ».
Есть только одно число, которое является противоположным самому себе. Это число 0 (нуль).
В городе Будапеште, который является столицей Венгрии, установлен памятник нулю. Высота памятника составляет 3 м.
В России тоже есть несколько мест, которые называют памятниками нулю. Например, памятный знак нулевого километра у Воскресенских ворот в Москве.
Многие считают, что если кинуть монетку так, чтобы попасть на бронзовый памятный знак, и загадать желание, оно обязательно сбудется. А если это высокие памятники, как памятник в Будапеште, то существует следующая легенда: нужно пролезть внутрь нуля – тогда к зарплате прибавится несколько нулей.
Основные свойства противоположных чисел
Перечислим основные свойства противоположных чисел. Справедливость этих свойств подтверждает рис. 1.
- Для каждого числа существует только одно число, которое ему противоположно.
Это объясняется тем, что для каждой точки координатной оси существует только одна точка, симметричная ей относительно нуля.
- Два противоположных числа имеют разные знаки: одно из них является положительным, а второе отрицательным.
Это свойство следует из того, что противоположные числа находятся на координатной оси по разные стороны от нуля, они имеют разные знаки.
Исключение: число 0.
Таким образом, если исходное число является положительным, то противоположное ему будет отрицательным. А если исходное число является отрицательным, то противоположное ему будет положительным.
- Сумма противоположных чисел всегда равна 0.
Это объясняется тем, что они одинаковы по модулю, но имеют разные знаки.
Пример
Рассмотрим число 4.
Припишем ему знак « – ». Получим противоположное число -4.
Найдем сумму этих чисел:
-4 + 4 = 0.
Что мы узнали?
Из темы по алгебре, которая изучается в 6 классе, мы узнали, что противоположные числа образуют пару чисел, из которых одно является положительным, а второе – отрицательным. Единственным исключением является число 0, которое противоположно самому себе. На числовой (координатной) оси противоположные числа находятся на одинаковых расстояниях, но в противоположных направлениях от начала координат.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
-
Катя Федосюк
5/5
-
Никита Поцелуев
5/5
-
Валентина Табачкова
5/5
-
Кирилл Бернацкий
5/5
-
Денис Гроздов
5/5
-
Евгений Романюк
5/5
-
Аделя Аксакова
5/5
-
Александр Тен
5/5
-
Tanya Reid
5/5
-
Анастасия Демидова
5/5
Оценка статьи
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 560.
А какая ваша оценка?
На прошлом уроке мы познакомились с координатной
прямой, познакомились с положительными и отрицательным числами.
Координата точки
показывает, на каком расстоянии от начала отсчёта расположена точка. Так точка
с координатой 4 расположена правее нуля на
расстоянии четырёх единичных отрезков. А точка с координатой -4 расположена левее нуля на расстоянии четырёх
единичных отрезков.
Обратите внимание, чтобы попасть из начала отсчёта в
эти точки, надо преодолеть одинаковые расстояния, но в ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ
направлениях.
Числа 4 и -4 называются противоположными числами.
4 противоположно
-4, а -4 противоположно
4.
Числа -5 и 5 тоже будут противоположными.
Определение
Два числа, отличающиеся друг от друга только
знаками, называют противоположными числами.
Для числа а число -а
называют противоположным.
Например
Число -5
противоположно 5.
Запись «-(-5)»
означает число, противоположное числу -5. А
так как числу -5 противоположно число 5, то
Выражение -(-5) можно
читать «минус минус 5» или «число, противоположное числу -5».
Для каждого числа есть противоположное
ему число.
Но как же быть с числом 0?
Оказывается, число 0 противоположно
самому себе.
Натуральные числа, противоположные
им числа и нуль называют целыми числами.
Например
А вот 1,5 нецелое
число. Число -1,5 тоже не будет являться
целым.
Задание
Определим, сколько целых чисел расположено на
координатной прямой между числами -4,5 и 6,5.
Задание
Решить уравнения:
Итоги
Два числа, отличающиеся друг от друга только
знаками, называют противоположными числами.
Числа -5 и 5 будут противоположными.
Для каждого числа есть противоположное ему число.
Число 0 противоположно самому себе.
Натуральные числа, противоположные им числа и нуль
называют целыми числами.
Точки (M)((-4)) и (N)((4)) одинаково удалены от точки (O), но находятся по разные стороны от неё, в противоположных направлениях.
Поэтому числа (-4) и (4) называют противоположными.
Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.
Приведём примеры противоположных чисел:
32,5и −32,5;−0,674и 0,674;−1713и 1713;237и −237.
Обрати внимание!
Только одно число противоположно самому себе. Это число (0).
Число, противоположное (t), обозначают (-t).
Если (t=-15), то ему противоположное (-t=15).
Если (t=0,831), то ему противоположное (-t=-0,831).
Если (t=0), то ему противоположное (-t=0).
Запись (-(-t)) означает число, противоположное (-t).
Например, (-(-1,09)=1,09). Число, противоположное (-1,09), есть число (1,09).
Противоположные числа появились с введением в математику целых чисел. Так как целые числа делятся на положительные и отрицательные числа.
Подробно рассмотрим тему на примере.
У нас есть число 7. Если мы поставим знак “+” перед числом 7 получим +7, смысл и значения числа не поменялись. То есть знак “+” не меняет значение числа. А если мы перед числом 7 поставим знак “–” получим число -7, смысл и значение числа поменяется. Например, число 7 (получить 7 конфет) или число -7 (отдать 7 конфет). Говорят, число 7 или +7 противоположно числу -7.
Определение:
Противоположные числа – это числа, отличающиеся только знаком.
Нуль считается противоположен самому себе: 0=+0=-0.
Число, противоположное числу b, обозначается –b.
Вопросы по теме:
Назовите число противоположное числу: а) 2 б) 0 в) 3 г) -6 д) 5 е) -7 з) 4 и) 8 к)9 ?
Ответ:
а) противоположное числу 2 это число -2;
б) нуль противоположен сам себе, то есть противоположное числу 0 число 0;
в) 3 противоположно числу -3;
г) 6 это противоположное число числу -6;
д) противоположное числу 5 это число -5;
е) противоположное числу -7 это число 7;
з) 4 противоположно числу -4;
и) противоположное число 8 числу -8;
к) число противоположное 9 это число -9.
Числа противоположные натуральным?
Ответ:
Вспомним, что натуральные числа – это все положительные целые числа, следовательно, противоположные числа натуральным будут все целые отрицательные числа.
Натуральные числа или целые положительные числа:
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
Целые отрицательные числа:
-1, -2, -3, -4, -5, -6, …
Как найти противоположные числа?
Ответ: у числа поменять знак на противоположный. Например, +2 противоположное ему число -2.
Чему равна сумма противоположных чисел?
Ответ: нулю.
Пример:
Найдите числа противоположные данным: а) 10002 б) -34522
Решение:
а) 10002 противоположное число -10002;
б) -34522 противоположное число 34522.
Математика
6 класс
Урок № 17
Противоположные числа. Модуль числа
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Понятие противоположного числа.
- Понятие модуля числа.
- Решение различных заданий по теме «Противоположные числа. Модуль числа».
Тезаурус
Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными.
Модулем положительного числа называют само это число.
Модулем отрицательного числа называют противоположное ему (положительное) число.
Модулем числа 0 является число 0.
Основная литература
- Никольский С. М. Математика. 6 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н.Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.
Дополнительная литература
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е.Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
- Шарыгин И.Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И.Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Считается, что если перед целым числом поставить знак «+», то это не изменяет самого числа.
Например,
число 7 можно записать как + 7
число – 7 можно записать как + (– 7)
7 = + 7
– 7 = + (– 7)
Поэтому ряд целых чисел можно записывать в виде:
…, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6, …
Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными.
Например, противоположные числа:
– 7 и + 7
– 53 и 53
Модуль или абсолютная величина числа.
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Единичный выбор.
Ответ: + 107.
№2. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в текст.
