Как найти противоположные стороны прямоугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Где d — диагональ,b — сторона.

Где d — диагональ,α — угол между диагональю и искомой стороной.

Где d — диагональ,α — угол между диагональю и другой стороной.

Где S — площадь, b— известная сторона.

Где P — периметр, b — известная сторона.

Где d — диагональ, α — угол между диагоналями.

Прямоугольник — это четырехугольник у которого противоположные стороны равны и параллельны AB = CD и BC = DA.
Стороны прямоугольника являются его высотами.
Между прилегающими сторонами угол всегда 90°.

Как найти длину стороны прямоугольника?

Сторона прямоугольника может быть легко найдена с помощью нашего онлайн калькулятора. Так же Вы можете воспользоваться формулами ниже для самостоятельного расчета.

	a = √d² ― b²
	a = d·cos(α)
	a = d·sin(α)
	a = S b
	a = P — 2b 2
	a = d·sin(0.5·α)

Источник

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки одной из основных геометрических фигур – прямоугольника. Также приведем формулы, с помощью которых можно найти его площадь и периметр.

Определение прямоугольника
Свойства прямоугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
Признаки прямоугольника
Формулы

Определение прямоугольника

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы равны 90° (т.е. являются прямыми).

∠ABC = ∠BCD = ∠BAD = ADC = 90°

Прямоугольник состоит из:

длины – более длинная пара сторон. Обычно обозначаются латинской буквой, например, a;
ширины – более короткая пара сторон. Чаще всего обозначаются как b.

Сам прямоугольник обычно записывается путем перечисления его вершин, например, ABCD в нашем случае.

Примечание: Прямоугольник является разновидностью параллелограмма.

Свойства прямоугольника

Свойство 1

Противоположные стороны прямоугольника попарно параллельны и равны.

AD = BC = a, AD || BC
AB = CD = b, AB || CD

Свойство 2

Длина и ширина прямоугольника одновременно являются его высотами, т.к. они взаимно перпендикулярны.

a – это высота h₁, проведенная к стороне b
b – это высота h₂, проведенная к стороне a

Свойство 3

Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб.

Свойство 4

Квадрат диагонали (d) прямоугольника равняется сумме квадратов его смежных сторон.

d² = a² + b²

Это следует из теоремы Пифагора, которую можно применить к любому из прямоугольных треугольников, которые образуются в результате деления диагональю прямоугольника.

Свойство 5

Диагонали прямоугольника равны, и в точке пересечения делятся пополам.

AC = BD = d
AE = EC = BE = ED

Свойство 6

Около любого прямоугольника можно описать окружность, радиус (R) которой равен половине диагонали этого прямоугольника.

Следовательно, диаметр окружности равен полной длине диагонали прямоугольника.

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если верно одно из следующих утверждений:

Его диагонали равны.
Все его углы равны.
Если квадрат диагонали равен сумме квадратов его смежных сторон.

Формулы

1. Площадь прямоугольника (S):

S = a ⋅ b

2. Периметр прямоугольника (P):

P = a + a + b + b = 2a + 2b

Источник

Для расчёта всех основных параметров прямоугольника воспользуйтесь калькулятором.

Свойства прямоугольника

Противоположные стороны прямоугольника равны
Противоположные стороны прямоугольника параллельны
Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны
Все четыре угла прямоугольника прямые
Сумма углов прямоугольника равна 360°
Диагонали прямоугольника одинаковой длины
Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон
$$
2 * BD^2 = 2 * AB^2 + 2 * BD^2
$$
Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника
Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам
Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности
Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности
Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180°

Формулы длин сторон прямоугольника

Длина стороны через диагональ и другую сторону

$$
AD = sqrt{BD^2 — AB^2}
$$
$$
AB = sqrt{BD^2 — AD^2}
$$

Длина стороны через площадь (S) и другую сторону

$$
AD = {S over AB}
$$
$$
AB = {S over AD}
$$

Длина стороны через периметр (P) и другую сторону

$$
AD = {P — 2 * AB over 2}
$$
$$
AB = {P — 2 * AD over 2}
$$

Длина стороны через диагональ и угол ∠ACD

$$
AD = BD * sin(∠ACD)
$$
$$
AB = BD * cos(∠ACD)
$$

Длина стороны через диагональ и угол ∠BOC

$$
AD = BD * sin({∠BOC over 2})
$$
$$
AB = BD * cos({∠BOC over 2})
$$

Формулы длины диагонали прямоугольника

Длина диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника

$$
BD = sqrt{AD^2 + AB^2}
$$

Длина диагонали прямоугольника через площадь (S) и любую сторону

$$
BD = {sqrt{S^2 + AB^4} over AB} = {sqrt{S^2 + AD^4} over AD}
$$

Длина диагонали прямоугольника через периметр и любую сторону

$$
BD = {sqrt{P^2 — 4 * P * AB + 8 * AB^2} over 2} = {sqrt{P^2 — 4 * P * AD + 8 * AD^2} over 2}
$$

Формулы периметра прямоугольника

Периметр прямоугольника через две стороны

$$
P = 2 * (AB + AD)
$$

Периметр прямоугольника через площадь (S) и любую сторону

$$
P = {2 * S + 2 * AB^2 over AB} = {2 * S + 2 * AD^2 over AD}
$$

Формулы площади прямоугольника

Площадь прямоугольника через две стороны

$$
S = AB * AD
$$

Площадь прямоугольника через периметр и любую сторону

$$
S = {P * AB — 2 * AB^2 over 2} = {P * AD — 2 * AD^2 over 2}
$$

Формулы радиуса описанной окружности прямоугольника

Радиус описанной окружности через диагональ

$$
R_O = {BD over 2}
$$

Радиус описанной окружности через две стороны

$$
R_O = {sqrt{AB^2 + AD^2} over 2}
$$

Источник

Прямоугольник, свойства, признаки и формулы.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).

Прямоугольник (понятие, определение)

Видеоурок “Прямоугольник“

Свойства прямоугольника

Признаки прямоугольника

Формулы прямоугольника

Прямоугольник (понятие, определение):

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны между собой и все четыре угла равны между собой и каждый из них составляет 90 градусов.

Рис. 1. Прямоугольник

В свою очередь четырёхугольник (греч. τετραγωνον) – это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки.

Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую – шириной прямоугольника.

@ https://youtu.be/_EVDcbOydAI

Свойства прямоугольника:

1. Прямоугольник является параллелограммом – его противоположные стороны попарно параллельны.

Рис. 2. Прямоугольник

AB || CD, BC || AD

2. Противоположные стороны прямоугольника равны.

Рис. 3. Прямоугольник

AB = CD, BC = AD

3. Стороны прямоугольника являются его высотами.

4. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны.

Рис. 4. Прямоугольник

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

5. Каждый угол прямоугольника прямой и равен 90 градусам. Сумма всех углов прямоугольника составляет 360 градусов.

Рис. 5. Прямоугольник

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°,

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагонали прямоугольника равны.

Рис. 6. Прямоугольник

AC = BD

7. Каждая диагональ прямоугольника делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника.

Рис. 7. Прямоугольник

△ABD = △BCD, △ABC = △ACD

8. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (что вытекает из теоремы Пифагора).

Рис. 8. Прямоугольник

AC² = AD²+ CD²

9. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.

Рис. 9. Прямоугольник

AO = BO = CO = DO = АС / 2 = BD / 2

10. Около любого прямоугольника можно описать окружность. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности.

Рис. 10. Прямоугольник

АС и BD – диаметр описанной окружности и диагональ прямоугольника

11. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и является центром описанной окружности.

12. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если все его стороны равны, т.е. он является квадратом.

Рис. 11. Квадрат

AВ = ВC = AD = CD

Признаки прямоугольника:

– если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником;

– если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон, то он (параллелограмм) является прямоугольником;

– если углы параллелограмма равны, то он является прямоугольником.

Формулы прямоугольника:

Пусть a – длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника, d – диагональ и диаметр описанной окружности прямоугольника, R – радиус описанной окружности прямоугольника, P – периметр прямоугольника, S – площадь прямоугольника.

Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника):

Формула диагонали прямоугольника:

d = 2R.

Формулы периметра прямоугольника:

P = 2a + 2b,

P = 2(a + b).

Формулы площади прямоугольника:

S = a · b.

Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника:

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Видео https://youtu.be/_EVDcbOydAI

Коэффициент востребованности
5 407

Источник

Периметр любого прямоугольника составляет 2а+2с. То есть сумме удвоенных произведений противоположных сторон. Кроме того, по свойствам прямоугольника известно, что у него противоположные стороны попарно равны. То есть а=а, с=с. Отсюда имеем: 2а, 2с.

По условию задачи, 2а=1/5*400. то есть 2а=80.

Подставляем 2а в формулу периметра прямоугольника: 2а+2с. Получаем 80+2с=200. Отсюда находим с: с=(200-80):2. с=60. Вот мы нашли одну сторону прямоугольника (с).

Теперь находим сторону а. При этом снова используем формулу периметра прямоугольника, подставив туда найденное значение с. Получаем:

2а+2с=200

2а+120=200

2а=200-120

2а=80

а=40

Вот мы нашли вторую сторону (а).

Итак, стороны прямоугольника равны: а=40, с=60.

Проверка:

Находим периметр, имея заданные стороны (а и с)

Р=2а+2с. Подставляем известные нам а и с. Получаем:

Р=2*40+2*60

Р=80+120

Р=200

Итак, у нас периметр получился равным 200 см., что соответсвует условиям задачи. Значит, найденные значения а и с у нас правильные. а=40, с=60

Источник