Как найти противоположные углы в квадрате

Квадрат, свойства и формулы, площадь и периметр.

Квадрат – это правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Квадрат (понятие, определение), диагональ квадрата

Свойства квадрата

Формулы квадрата. Площадь квадрата. Периметр квадрата

Квадрат (понятие, определение), диагональ квадрата:

Квадрат – это правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Квадрат – это четырехугольник, имеющий равные стороны и углы.

Рис. 1. Квадрат

Все углы квадрата прямые. Каждый из них прямой и равен 90°.

Таким образом, все квадраты отличаются друг от друга только длиной стороны.

Рис. 2. Квадрат и диагонали квадрата

Диагональ квадрата – это отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата. AC и BD – это диагонали квадрата.

Квадрат является одновременно частным случаем других фигур: параллелограмма, ромба и прямоугольника. Поэтому квадрату присущи все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника.

Квадрат – это равносторонний прямоугольник.

Квадрат – это ромб с прямыми углами.

Свойства квадрата:

1. Длины всех сторон равны.

Рис. 3. Квадрат

AB = BC = CD = AD

2. Противоположные стороны квадрата параллельны.

Рис. 4. Квадрат

AB||CD,   BC||AD

3. Все углы квадрата прямые. Каждый из них равен 90°.

Рис. 5. Квадрат

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

4. Сумма углов квадрата равна 360 градусам.

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°.

5. Диагонали квадрата равны между собой.

Рис. 6. Квадрат

AC = BD

6. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. 

Рис. 7. Квадрат

AC ┴ BD 

7. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Рис. 8. Квадрат

BO = OD = AO = OC 

8. Угол между диагональю и стороной квадрата равен 45 градусам.

Рис. 9. Квадрат

∠BCA = ∠ACD = ∠DAC = ∠CAB = 45° 

9. Диагонали квадрата являются биссектрисами углов и делят углы пополам.

Рис. 10. Квадрат

∠ABD = ∠DBC = ∠BCA = ∠ACD = ∠CDB = ∠BDA = ∠DAC = ∠CAB = 45°

10. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника.

Обе диагонали делят квадрат на 4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника.

 

Рис. 11. Квадрат

△ABD = △CBD = △ABC = △ACD,

△AOB = △BOC = △COD = △AOD 

11. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности.

Рис. 12. Квадрат

Формулы квадрата. Площадь квадрата. Периметр квадрата:

Пусть a – длина стороны квадрата, d – диагональ квадрата, R – радиус описанной окружности квадрата, r – радиус вписанной окружности квадрата, P – периметр квадрата, S – площадь квадрата.

Формула диагонали квадрата:

 , , , , . 

Формула радиуса вписанной окружности квадрата:

Радиус вписанной окружности квадрата равен половине его стороны.

. 

Формула радиуса описанной окружности квадрата:

.

Формула периметра квадрата:

, , .

Формула площади квадрата:

, , , , .

Квадрат

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Шестиугольник

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Коэффициент востребованности
3 993

[{Large{text{Прямоугольник}}}]

Определение

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого один угол прямой.

Таким образом, прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма:

(sim) противоположные стороны попарно равны;

(sim) диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Теоремы: свойства прямоугольника

1) Все углы прямоугольника прямые.

2) Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство

1) Пусть (angle A=90^circ). Т.к. в параллелограмме сумма соседних углов равна (180^circ), то (angle B=180^circ-angle A=90^circ).

Т.к. в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle
C=angle A=90^circ, angle D=angle B=90^circ), чтд.

Прямоугольные треугольники (ACD) и (DBA) равны по двум катетам ((CD = BA), (AD) – общий катет). Отсюда следует, что гипотенузы этих треугольников равны, т.е. (AC = BD).

Следствие

Таким образом, половинки диагоналей в прямоугольнике равны, т.е. (OA=OB=OC=OD).

Теоремы: признаки прямоугольника

1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

2) Если в выпуклом четырехугольнике все углы прямые, то он – прямоугольник.

Доказательство

Треугольники (ABD) и (DCA) равны по трем сторонам ((AB = CD), (BD =
AC), (AD) – общая сторона). Отсюда следует, что (angle A = angle
D). Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle
A = angle C) и (angle B = angle D). Таким образом, (angle A =
angle B = angle C = angle D). Параллелограмм – выпуклый четырехугольник, поэтому (angle A + angle B + angle C + angle D
= 360^circ). Следовательно, (angle A = angle B = angle C =
angle D = 90^circ).

Т.к. (angle A+angle B=180^circ) – односторонние углы при прямых (AD) и (BC) и секущей (AB), следовательно, (ADparallel BC).

Аналогично доказывается, что (ABparallel CD). Значит, (ABCD) – параллелограмм. Т.к. у него к тому же все углы прямые, то по определению это прямоугольник.
 

[{Large{text{Квадрат}}}]

Определение

Два эквивалентных определения квадрата:

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат – это ромб, у которого один угол прямой.

Свойства квадрата

Так как квадрат является прямоугольником и ромбом, то он обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба:

(sim) Все углы квадрата равны (90^circ);

(sim) Все стороны квадрата равны;

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Свойства квадрата

• Длины всех сторон квадрата равны.
• Все углы квадрата прямые.
• Диагонали квадрата равны.
• Диагонали пересекаются под прямым углом.
• Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
• Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

или

Из равенства (1) найдем d:

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Ответ:

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Ответ:

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Ответ:

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

или

Из формулы (5) найдем R:

или, умножая числитель и знаменатель на , получим:

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Ответ:

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:

Ответ:

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

где − сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен . Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:

Ответ:

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Из (13) следует, что

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).

Смотрите также:

• Площадь квадрата онлайн

A square is a quadrilateral with four equal sides. There are numerous items around us that are square in shape. Each square shape is distinguished by its equal sides and inner angles that are equal to 90°. A square is a closed two-dimensional (2D) form having four sides. It has four equal and parallel sides. A square is a rectangle with equal-length adjacent sides. This indicates that it is a quadrilateral with equal-length sides. Every angle in a square is a right angle. Rhombus also has all four side equal but unlike all its angle are not equal

What is a Square?

A square is a closed two-dimensional quadrilateral that is made up of two pairs of parallel lines. All four sides of a square are equal and opposite sides of a square are parallel to each other and the interior angles of a square are equal to 90°. The basic figure of a square is shown below.

Definition of Square

A square is defined as a quadrilateral that has:

• All four sides are equal.
• All four angles are equal and the measure of each angle is 90°.
• Opposite pairs of lines are parallel to each other.

How is a Square Different from a Rhombus?

Square and Rhombus both are Equilateral Quadrilaterals, i.e. both have equal all four sides. The difference between them is that all angles in a square are equal and right angles, but on the other hand all the angles of a rhombus need not be equal.

Hence, Rhombus with right angles is called a Square.

Thus, “Every Square is a Rhombus but all Rhombus are not Squares.”

Real-Life Examples of Square

A square is a very common shape and can be seen in a variety of objects which we use in our daily lives. Various Square-shaped objects are chess boards, carrom boards, Ludo, etc.

Properties of Square

A square is a closed regular quadrilateral. There are various properties of the square some general properties of the square are given below:

• Square is a quadrilateral with 4 sides and 4 vertices.
• All four sides of the square are equal.
• Opposite pairs of sides of a square are parallel to each other.
• Each interior angle of a square is 90°.
• Diagonals of a square are perpendicular bisectors of each other.
• Diagonals of a square are of equal length.
• Sum of all interior angles of a square is 360°.
• Diagonals of a square divide it into two congruent triangles.

Formulas of a Square

We know that a square is a four-sided figure with equal sides. There are three basic square formulas that are commonly used in geometry. The first one is to calculate its area, the second is to calculate its perimeter and the third is the diagonal of a square formula. Let us learn these square formulas in detail.

Area of Square

Area of a square is defined as the total space occupied inside its boundaries. The formula for calculating the area of a square is given as

Area of square = a² 

where a is the side of the square

Perimeter of Square

Perimeter of a square is defined as the length of all its boundaries. Suppose the length of the sides of a square is ‘a’ then its perimeter is given by

Perimeter of Square = Sum of all sides of the square 

                                 = a + a + a + a 

Perimeter of square = 4a units

As a result, 4a is the perimeter of a square with each side’s length equal to ‘a’ units.

Diagonal of Square

The diagonals of the square are equal to a√2, where a is the side of the square. The length of both diagonals of a square is equal to each other. The relation between diagonals and sides of a square is given by Pythagoras Theorem.

By Pythagoras Theorem, Hypotenuse² = Base² + Perpendicular²

Hence, 

Diagonal² = Side² + Side²

d² = s² + s²

d² = 2s²

d = s√2

where,
d is the length of the diagonal of a square
s is the side of the square.

Area of Square (when diagonal is given)

If the diagonal of a square is given then the area of the square is given by 

Area = d²/2.

where d is the diagonal of the square.

Solved Examples on Square

Example 1: A square has one of its sides measuring 24 cm. Calculate its area and perimeter.

Solution: 

Given, Side of the square = 24 cm

Area of the square: = a² where, a is the side of the square.

Therefore , Area of the square = a × a 

= 24 × 24 

= 576 sq cm 

Perimeter of the square =  Sum of all sides of square

= a + a + a + a

= 4a 

= 4 × 24 

= 96 cm

 Hence the area of square is 576 sq. cm and the perimeter of square is 96 cm.

Example 2: Find the length of the sides of a square with a perimeter of 56 cm.

Solution:

Given perimeter of the square = 56 cm

Lets suppose length of each side of the square = ‘a’ cm

Therefore, perimeter = 4a cm

56 = 4a 

Or a = 56/4

a = 14 cm

Thus, length of each side of square is 14 cm.

Example 3: Find the area of a square whose side is 5m.

Solution: 

Given, side (a) = 5 m

Area of the square = a × a

= 5 × 5

= 25 sq m 

Example 4: Find the sum of adjacent sides of a square given the perimeter of the square is 16 cm.

Solution:

Given the perimeter of the square = 16 cm

Considering length of each side = ‘a’ cm, the perimeter = 4a cm

Perimeter of Square = Sum of all sides of square

= a + a + a + a

= 4a units

So, 16 = 4a

Or a = 16/4

= 4 cm

Since all sides of a square are of same length, then for the sum of adjacent sides, we can write the sum,

= a + a 

= 2a

Therefore, the sum of adjacent sides of the square = 2 × 4 = 8 cm.

Example 5: Find the area of a square park whose perimeter is 420 ft.

Solution:   

Given: Perimeter of the square park = 420 ft

As we know that, Perimeter of a square = 4 × side

4 × side = 420

Side = 420/4

Side = 105 ft

Formulae for the Area of a square = side²

Hence, Area of the square park = 105² 

= 105 × 105

= 11025 ft²

Thus, the area of a square park whose perimeter is 420 ft is 11025 ft².

Example 6: A rectangular floor is 40 m long and 30 m wide. Square tiles, each of 4 m side lengths, are to be used to cover the floor. What will be the total number of tiles which will be required to cover the floor?

Solution: 

Given, Length of the floor = 40 m, Breadth = 30 m

Area of the rectangular floor = length × breadth = 40 m × 30 m = 1200 sq. m

Side length of one tile = 4 m

Area of one tile = side × side

= 4 m × 4 m

= 16 sq. m

Now number of tiles needed = Total area of floor / area of one tile 

= 1200 /16

= 75 tiles 

Total 75 tiles are needed to cover the area of rectangular floor of 1200 sq m.

Example 7:  Find the area of a square park whose diagonal is 15 m.

Solution: 

Given: Diagonal of the square park = 15 m

Area of a square formula when diagonal is given = d² / 2 

Hence, Area of the square park = 15²/ 2

= (15 × 15) / 2

= 225 / 2

= 112.5 sq. m

Thus, the area of a square park whose diagonal is 15 m is 112.5 sq. m.

FAQs on Square

Question 1: What is a square?

Answer:

A square is a polygon, with all sides equal and opposite sides parallel to each other. Angles in a square are equal and the measure of each angle is 90 degrees.

Question 2: What is the formula for the area and perimeter of a square?

Answer:

Area of a square is the region occupied by it. It is equal to the square of its sides.

Area = (side)²

Perimeter of a square is given by adding all its sides.

Perimeter = 4 x side.

Question 3: Can a Rhombus be considered a Square?

Answer:

No, a rhombus is not a square, but every square can be considered a rhombus.

Question 4: Is a square a polygon?

Answer:

Square is a closed figure formed by four straight lines So it is considered a quadrilateral. Every quadrilateral is a polygon. So a square is a polygon.

Question 5: Is a square different from a rectangle?

Answer:

Yes, a square is different from Rectangle. In a square, all its sides are equal whereas in a rectangle only its opposite sides are equal.

Related Resources

• Rhombus
• Area of Rhombus
• Area of Triangle