Как найти противоположный вектор в кубе

План урока:

Понятие векторов в пространстве

Операции над векторами

Компланарные векторы

Разложение вектора на некомпланарные вектора

Понятие вектора в пространстве

Напомним, что в курсе планиметрии мы уже подробно изучали вектора и действия с ними. При этом предполагалось, что все вектора располагаются в одной плоскости. Однако можно расширить понятие вектора так, чтобы они использовались и в стереометрии. В таком случае вектора уже могут располагаться в различных плоскостях.

Начнем с определения вектора:

1 vektora v prostranstve

Конец вектора обозначают с помощью стрелки. Посмотрим на рисунок:

2 vektora v prostranstve

Здесь показаны сразу три вектора:

У вектора АВ начало находится в точке А, а конец – в точке В. Аналогично у вектора Сточка С – это начало, а – это конец. В обоих случаях начало и конец – это различные точки, поэтому АВ и CD именуют ненулевыми векторами. Если же начало и конец находятся в одной точке, например в Т, то получается нулевой вектор ТТ. Всякую точку в пространстве можно рассматривать как нулевой вектор:

3 vektora v prostranstve

Длина вектора АВ – это длина соответствующего ему отрезка АВ. Для обозначения длины используют квадратные скобки:

4 vektora v prostranstve

Естественно, что нулевой вектор имеет нулевую длину.

Далее напомним понятие коллинеарных векторов:

5 vektora v prostranstve

Коллинеарные вектора могут быть либо сонаправленными, либо противоположно направленными. Сонаправленные вектора находятся на сонаправленных лучах. Рассмотрим пример с кубом:

6 vektora v prostranstve

Здесь показаны вектора AD и ВС. Они сонаправленные, этот факт записывается так:

7 vektora v prostranstve

Вектора AD и FE располагаются на скрещивающихся прямых, поэтому они не коллинеарны. Их нельзя считать ни сонаправленными, ни противоположно направленными.

Сонаправленные вектора, имеющие одинаковую длину, именуются равными.

8 vektora v prostranstve

Рассмотрим несколько простейших задач.

Задание. В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 известны три его измерения:

9 vektora v prostranstve

Решение. Для нахождения длин этих векторов достаточно вычислить длину отрезков СВ, DB и DB1. Проще всего вычислить СВ, ведь отрезки СВ и AD одинаковы как стороны прямоугольника АВCD:

10 vektora v prostranstve

Задание. На рисунке показан правильный тетраэдр АВСD. Точки M, N, P и Q являются серединами тех сторон, на которых они располагаются. Какие вектора из отмеченных на рисунке равны между собой?

11 vektora v prostranstve

Решение. Легко заметить, что вектора DP и PC находятся на одной прямой DC и сонаправлены, при этом их длина одинакова, ведь Р – середина DC. Тогда эти вектора по определению равны:

12 vektora v prostranstve

Вектора АМ и МВ также коллинеарны и имеют одинаковую длину, но они противоположно направлены, а потому равными не являются.

Теперь заметим, что отрезки MN, MQ, PQ и NP – это средние линии в ABD, АВС, BCD и ACD соответственно. По свойству средней линии получаем, что MN||BD, PQ||BD, MQ||АС и NP||АС. Отсюда по свойству транзитивности параллельности получаем, что MN||PQ и MQ||NP. Это значит, что четырехугольник MQPN – это параллелограмм, а у него противоположные стороны одинаковы:

13 vektora v prostranstve

Операции над векторами

Правила сложения векторов в стереометрии не отличаются от правил в планиметрии. Пусть надо сложить два вектора, а и b. Для этого отложим вектор а от какой-нибудь точки А, тогда его конец окажется в некоторой точке В. Далее от В отложим вектор b, его конец попадет в какую-то точку С. Тогда вектор АС как раз и будет суммой и b:

14 vektora v prostranstve

Такой метод сложения векторов именуется правилом треугольника. Если нужно сложить больше двух векторов, то используют правило многоугольника. В этом случае необходимо каждый следующий вектор откладывать от конца предыдущего. При этом в стереометрии вектора могут располагаться в различных плоскостях, то есть они на самом деле многоугольник не образуют:

15 vektora v prostranstve

Напомним, что в планиметрии существовали так называемые противоположные вектора. Есть они и в стереометрии:

16 vektora v prostranstve

Главное свойство противоположных векторов заключается в том, что в сумме они дают нулевой вектор:

17 vektora v prostranstve

Заметим, что для получения противоположного вектора достаточно поменять его начало и конец, то есть в записи вектора обозначающие его буквы надо просто записать в обратном порядке:

18 vektora v prostranstve

помощью противоположного вектора легко определить операцию вычитания векторов. Чтобы из вектора а вычесть вектор b, надо всего лишь прибавить к a вектор, противоположный b:

19 vektora v prostranstve

Далее рассмотрим умножение вектора на число. Пусть вектор а умножается на число k. В результате получается новый вектор b, причем

1) b и будут коллинеарными векторами;

2) будет в раз длиннее, чем вектор a.

Если k – положительное число, то вектора и будут сонаправленными. Если же k< 0, то и будут направлены противоположно.

Уточним, что если |k| < 1, то фактически b будет не длиннее, а короче вектора a. Наконец, если k = 0, то и будет иметь нулевую длину, то есть окажется нулевым вектором.

20 vektora v prostranstve

Задание. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Постройте вектор, который будет являться суммой векторов:

21 vektora v prostranstve

Решение. В каждом случае необходимо заменить один из векторов в сумме на другой равный ему вектор так, чтобы можно было применить правило треугольника.

В задании а) вектор А1Dзаменить равным ему вектором ВС. В итоге получится вектор АС.

В задании б) заменяем АDна вектор ВС1. Также можно было бы заменить АВ на D1C1. В обоих случаях сумма окажется равной АС1.

В задании в) удобно DA заменить на C1В1, тогда искомой суммой будет вектор С1В.

В задании г) производим замену DDна равный ему вектор BB1. Тогда сумма DB и BB1– это вектор DB1.

В задании д) необходимо заменить ВС на В1С1. В итоге получаем вектор DC:

22 vektora v prostranstve

Задание. В пространстве отмечены точки А, В, С и D. Выразите вектор АВ через вектора:

23 vektora v prostranstve

Решение. В случае а) сначала запишем очевидное равенство векторов, вытекающее из правило многоугольника:

24 vektora v prostranstve

Обратите внимание, что здесь у каждого следующего слагаемого начальная точка совпадает с конечной точкой предыдущего слагаемого, поэтому равенство и справедливо:

Однако по условию а) нам надо использовать другие вектора для выражения АВ. Мы можем просто заменить вектора CD и DB на противоположные:

Теперь можно составить и выражение для АВ:

Аналогично решаем и задания б) и в):

Задание. Р – вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма векторов, совпадающих с ребрами этой пирамиды и начинающихся в точке Р, в точности равна сумме векторов, которые совпадают с апофемами пирамиды и при этом также начинаются в точке Р.

Решение. Обозначим вершины буквами А1, А2, … А6, а середины сторон шестиугольника, лежащего в основании, буквами Н1, Н2, … Н6, как это показано на рисунке:

26 vektora v prostranstve

Нам надо показать, что сумма красных векторов равна сумме черных векторов:

27 vektora v prostranstve

Теперь отдельно построим правильный шестиугольник, лежащий, в основании пирамиды:

28 vektora v prostranstve

Ясно, что вектора, образованные сторонами этого шестиугольника, в сумме дают нулевой вектор (по правилу многоугольника):

29 vektora v prostranstve

Так как точки Н1, Н2, … Н6 – середины сторона, то вектора Н6А6, Н5А5,…Н1А1 будут вдвое короче векторов А1А6, А6А5, … А2А1. При этом они находятся на одних прямых, поэтому справедливы равенства:

30 vektora v prostranstve

Таким образом нам удалось из верного равенства (3) доказать (2), из которого в свою очередь следует справедливость и (1), ч. т. д.

Задание. Упростите выражения:

31 vektora v prostranstve

Решение. Здесь надо просто применить законы сложения и умножения векторов, как это делалось и в курсе планиметрии. Сначала раскрываем скобки, а потом приводим подобные слагаемые:

32 vektora v prostranstve

Компланарные векторы

Если мы отложим несколько векторов от одной точки, то они либо будут находиться в одной плос-ти, либо располагаться в различных плос-тях. В первом случае их именуют компланарными векторами, а во втором – некомпланарными.

33 vektora v prostranstve

Любые два вектора будут компланарны, ведь при их откладывании от одной точки мы получаем две пересекающихся прямых, а через них всегда можно провести плос-ть. Однако если векторов более двух, то они могут быть как компланарны, так и некомпланарны.

Рассмотрим для примера параллелепипед:

34 vektora v prostranstve

Здесь вектора АС, АВ и АD компланарны, так как все они принадлежат одной грани (то есть плос-ти) АВСD. А вектора АВ, АD и ААнекомпланарны, ведь через них нельзя провести одну плос-ть.

Очевидно, что если из трех векторов любые два коллинеарны, то вся тройка векторов компланарна, ведь при откладывании векторов от одной точки коллинеарные вектора окажутся на одной прямой.

Существует признак компланарности векторов:

35 vektora v prostranstve

Напомним, что подразумевается под разложением вектора. Пусть есть вектора а, b и c. Если существуют такие числах и y, при которых выполняется равенство

36 vektora v prostranstve

то говорят, что вектор с разложен по векторам а и b, причем числа xи y называются коэффициентами разложения.

Докажем сформулированный признак. Пусть есть три вектора а, b и c, а также числа xи y, такие, что

37 vektora v prostranstve

Эти вектора находятся в одной плос-ти ОАВ. Теперь от той же точки О отложим вектора ха и уb, концы которых окажутся в точках А1 и В1:

38 vektora v prostranstve

Естественно, что вектора ОА1 и ОВ1 также окажутся в плос-ти ОАВ. Тогда и их сумма будет принадлежать этой плос-ти, а эта сумма как раз и есть вектор с:

39 vektora v prostranstve

В итоге получили, что а, b и с располагаются в одной плос-ти, то есть они компланарны.

Справедливо и обратное утверждение. Если вектора а, b и с компланарны, но а и b неколлинеарны, то вектор с можно разложить на вектора a и b. Это утверждение прямо следует из изученной в 9 классе теоремы о разложении векторов. Важно отметить, что коэффициенты такого разложения определяются однозначно.

Для сложения тройки некомпланарных векторов можно применить так называемое правило параллелепипеда. Если есть три некомпланарных вектора, то можно отложить их от одной точки О и далее построить параллелепипед, в котором эти вектора будут ребрами. Тогда диагональ этого параллелепипеда, выходящая из точки О, и будет суммой этих трех векторов:

40 vektora v prostranstve

Разложение вектора на некомпланарные вектора

Иногда вектор можно разложить не на два, а на три вектора. Выглядит такое разложение так:

41 vektora v prostranstve

Для доказательства рассмотрим три некомпланарных вектора а, bи c, а также произвольный вектор р. Отложим их от одной точки О. Обозначим концы этих векторов большими буквами А, В, С и Р:

42 vektora v prostranstve

Через ОВ и ОА можно провести некоторую плос-ть α. Точка С ей принадлежать не может, ведь ОА, ОВ и ОС – некомпланарные вектора. Проведем через Р прямую, параллельную ОС. Так как ОС пересекает α, то и параллельная ей прямая также пересечет α в некоторой точке Р1. (Примечание. Если Р принадлежит α, то точки Р и Р1 совпадут, то есть вектор Р1Р будет нулевым).

Далее через точку Р1 в плос-ти α проведем прямую, параллельную ОВ, которая пересечет ОА в точке Р2. Заметим, что вектор ОР2 находится на той же прямой, что и вектор ОА, то есть они коллинеарны, поэтому существует такое число х, что

43 vektora v prostranstve

Итак, мы показали, что у произвольного вектора p есть разложение на заранее заданные некомпланарные вектора. Осталось показать, что существует только одно такое разложение. Докажем это методом от противного. Пусть есть второе разложение с другими коэффициентами х1, у1 и z1:

44 vektora v prostranstve

В правой части находятся три вектора, которые в сумме нулевой вектор. По правилу сложения векторов это означает, что эти вектора образуют треугольник, то есть находятся в одной плос-ти:

45 vektora v prostranstve

Значит, они компланарны. Тогда компланарны и вектора a, b и с, что противоречит условию теоремы. Значит, второго разложения р на заданные некомпланарные векторы не существует, ч. т. д.

Задание. АВСD и А1В1С1D1 – параллелограммы, располагающиеся в разных плос-тях. Докажите, что тройка векторов ВВ1, СС1 и DD1 компланарна.

Решение. Сначала построим рисунок по условию задачи:

46 vektora v prostranstve

Для доказательства используем признак компланарности векторов. Для этого надо один из векторов, отмеченных на рисунке красным, разложить на два других вектора.

47 vektora v prostranstve

В результате нам удалось разложить СС1 на вектора BBи CC1. Значит, эти три вектора коллинеарны.

Задание. В параллелепипеде АВСDA1B1C1Dзапишите разложение вектора BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.

48 vektora v prostranstve

Решение. Сначала представим вектор BD1 как сумму трех векторов:

49 vektora v prostranstve

Теперь заметим, что вектора С1Dи ВА соответствуют ребрам параллелепипеда. Эти ребра одинаковы по длине и параллельны, поэтому и вектора будут равными. Аналогично равны вектора СС1 и ВВ1:

50 vektora v prostranstve

Задание. АВСD – тетраэдр, а точка К делит его ребро ВС пополам. Разложите вектор DK по векторам DA, AB и AC.

51 vektora v prostranstve

Решение. Сначала запишем очевидное выражение для вектора DK:

52 vektora v prostranstve

Задание. В точке М пересекаются медианы треугольника АВС, а О – произвольная точка в пространстве. Разложите вектор ОМ по векторам ОА, ОВ и ОС.

Решение. Медиану, проходящую через точку А, мы обозначим как АА1, то есть А1 – это середина отрезка ВС. Также буквой К обозначим середину ОВ:

53 vektora v prostranstve

Сначала разложим вектор ОА1 на ОВ и ОС. Это можно сделать, ведь они компланарны. КА1 – это средняя линия ∆ОСВ, поэтому КА1||ОС и КА1 вдвое короче ОС. Это значит, что

54 vektora v prostranstve

Так как АА1 – медиана, то точка М делит ее в отношении 2:1. Отсюда вытекает следующее соотношение:

55 vektora v prostranstve

Только что решенная задача может быть использована и при решении другого, более сложного задания.

Задание. Докажите, что в параллелепипеде АВС1В1С1Dплос-ти А1ВD и СB1D1 делят диагональ АС1 на три равных отрезка.

56 vektora v prostranstve

Решение. Обозначим точкой K точку пересечения медиан ∆А1ВD. Тогда по формуле, выведенной в предыдущей задаче, мы получаем, что

57 vektora v prostranstve

Это соотношение означает, что вектора АК и АС1 коллинеарны, поэтому они располагаются на одной прямой (они не могут находиться на параллельных прямых, ведь у них есть общая точка А). Значит, точка K принадлежит диагонали АС1, и отрезок АК втрое короче диагонали.

Аналогично можно показать, что и

58 vektora v prostranstve

Из этого также вытекает, что М принадлежит диагонали АС1, и МС1 втрое короче АС1. Значит, точки М и К делят диагональ на три равных отрезка, ч. т. д.

Сегодня мы расширили понятие векторов и научились их применять не только в планиметрических, но и в стереометрических задачах. При сохраняются все правила, по которым выполняются действия над векторами. Также в стереометрии появляется новое понятие компланарных и некомпланарых векторов.

В пространстве, как и на плоскости, можно использовать вектора. Правила работы с ними похожи на уже известные нам действия с плоскими векторами.

Напомним, что в курсе планиметрии мы уже подробно изучали вектора и действия с ними. При этом предполагалось, что все вектора располагаются в одной плоскости. Однако можно расширить понятие вектора так, чтобы они использовались и в стереометрии. В таком случае вектора уже могут располагаться в различных плоскостях.

Начнем с определения вектора:

Вектором называется направленный отрезок, он имеет направление и величину.

Длина вектора соответствует длине отрезка, задающего этот вектор.

Вектор – это направленный отрезок прямой. Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.

В математике для обозначения вектора обычно используют строчные латинские буквы, однако над вектором всегда ставится небольшая стрелочка, например:

 →

  a . Если известны граничные точки вектора – его начало и конец, к примеру A и B, то вектор обозначается так:

 →

 AB.

А теперь — обратите внимание на следующую схему (она представлена ниже).

Конец вектора обозначают с помощью стрелки.

Здесь показаны сразу три вектора: У вектора АВ начало находится в точке А, а конец – в точке В. Аналогично у вектора СD точка С – это начало, а D – это конец. В обоих случаях начало и конец – это различные точки, поэтому АВ и CD именуют ненулевыми векторами. Если же начало и конец находятся в одной точке, например в Т, то получается нулевой вектор ТТ.

Всякую точку в пространстве можно рассматривать как нулевой вектор:

Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец находится в одной и той же точке.

Длина вектора АВ — это длина соответствующего ему отрезка АВ. Для обозначения длины используют квадратные скобки.

Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.

Естественно, что нулевой вектор имеет нулевую длину. Далее напомним понятие коллинеарных векторов:

Коллинеарные вектора — это вектора, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные вектора могут быть либо сонаправленными, либо противоположно направленными. Сонаправленные вектора находятся на сонаправленных лучах.

Компланарные векторы — векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Признак компланарности трёх векторов

Если вектор с можно разложить по векторам а и b, то есть, представить в виде с=ха+yb, где x и y – некоторые числа, то векторы а, b и с компланарны.

Правило параллелепипеда — правило сложения трёх некомпланарных векторов, состоящее в том, что все три вектора откладывают из одной точки и строят параллелепипед таким образом, чтобы данные векторы были его рёбрами. Тогда вектор, отложенный из той же точки и совпадающий с диагональю параллелепипед, будет суммой трёх данных векторов.

          →                                                                          →  → → 

Вектор р разложен по трём некомпланарным векторам а, b и с, если его можно представить в виде

→  →

 р = ха + yb + zc,

где x, y и z — коэффициенты разложения.

Теорема о разложении вектора по трём некомпланарным векторам. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Прямоугольная система координат в пространстве — три взаимно перпендикулярные прямые x, y, z, на которых выбраны направление и единица измерения отрезков, которые лежат в трёх разных плоскостях xy, yz, xz и имеют общую точку пересечения O.

Оси координат — прямые x, y, z с выбранными на них направлениями.

Начало координат — точка их пересечения О.

Оси координат в пространстве обозначают Ox, Oy, Oz (соответственно ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат).

Координатные векторы — единичные векторы, направление которых совпадает с положительным направлением координатных осей.

        →                                                                                    →

Вектор i совпадает по направлению с осью абсцисс, вектор j совпадает по

                                                           

направлению с осью ординат, вектор k– с осью аппликант.

                            → 

Любой вектор с можно разложить по координатным векторам:

   →   →   → → 

     с = xi + yj + zk

                                → 

Координаты вектора с в данной системе координат — коэффициенты разложения x, y и k, которые определяются единственным образом:

→ 

c (x ; y ; z).

Разложение вектора на некомпланарные вектора

Иногда вектор можно разложить не на два, а на три вектора. Выглядит такое разложение так:

 →   →   →

  p = xa + yb + zc 

Здесь p, a, b, c — это некоторые сектора, а x, y, z — это какие-то действительные числа. Оказывается, что справедлива следующая теорема.

Теорема. Любой вектор в пространстве можно разложить по трем заранее заданным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Пример решения задачи на разложение вектора по трем некомпланарным

Задача: дан куб  с ребром m. Точка К – середина ребра . Разложить вектор по векторам и найти его длину.

Решение: построим заданный куб

Векторами и задается плоскость квадрата . Третий вектор не лежит в этой плоскости, отсюда заключаем, что три заданных вектора , и некомпланарны, и мы можем выразить через них искомый вектор . Найдем вектор по правилу многоугольника. Очевидно, что в данной задаче для этого есть множество способов, но мы выбираем самый короткий путь: . вектор мы по условию обозначили как вектор . Вектор согласно свойствам куба равен вектору , обозначенному за вектор .

Вектор составляет половину вектора , так как точка К – середина ребра по условию: . Вектор согласно свойствам куба, равен вектору , обозначенному как вектор . Имеем:

Так, заданный вектор выражен через три некомпланарных вектора. Осталось найти его длину. Здесь нужно применить теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник . Он прямоугольный потому, что ребро перпендикулярно всей плоскости основания , значит и любой прямой в этой плоскости, значит прямой . Один из катетов равен m как ребро куба. Катет найдем из другого прямоугольного треугольника – , где он уже является гипотенузой. Здесь катет равен m как ребро куба. Катет равен , так как точка К – середина ребра . Имеем:

Для закрепления нового материала повторите новые для себя определения, правила, теоремы. Также запомните Признак компланарности трёх векторов. Это пригодится вам в дальнейшей изучении материала.

Содержание

  1. Геометрия
  2. Понятие вектора в пространстве
  3. Операции над векторами
  4. Компланарные векторы
  5. Разложение вектора на некомпланарные вектора

Геометрия

Понятие вектора в пространстве

Напомним, что в курсе планиметрии мы уже подробно изучали вектора и действия с ними. При этом предполагалось, что все вектора располагаются в одной плоскости. Однако можно расширить понятие вектора так, чтобы они использовались и в стереометрии. В таком случае вектора уже могут располагаться в различных плоскостях.

Начнем с определения вектора:

Конец вектора обозначают с помощью стрелки. Посмотрим на рисунок:

Здесь показаны сразу три вектора:

У вектора АВ начало находится в точке А, а конец – в точке В. Аналогично у вектора С D точка С – это начало, а D – это конец. В обоих случаях начало и конец – это различные точки, поэтому АВ и CD именуют ненулевыми векторами. Если же начало и конец находятся в одной точке, например в Т, то получается нулевой вектор ТТ. Всякую точку в пространстве можно рассматривать как нулевой вектор:

Длина вектора АВ – это длина соответствующего ему отрезка АВ. Для обозначения длины используют квадратные скобки:

Естественно, что нулевой вектор имеет нулевую длину.

Далее напомним понятие коллинеарных векторов:

Коллинеарные вектора могут быть либо сонаправленными, либо противоположно направленными. Сонаправленные вектора находятся на сонаправленных лучах. Рассмотрим пример с кубом:

Здесь показаны вектора AD и ВС. Они сонаправленные, этот факт записывается так:

Вектора AD и FE располагаются на скрещивающихся прямых, поэтому они не коллинеарны. Их нельзя считать ни сонаправленными, ни противоположно направленными.

Сонаправленные вектора, имеющие одинаковую длину, именуются равными.

Рассмотрим несколько простейших задач.

Задание. В прямоугольном параллелепипеде АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 известны три его измерения:

Решение. Для нахождения длин этих векторов достаточно вычислить длину отрезков СВ, DB и DB 1. Проще всего вычислить СВ, ведь отрезки СВ и AD одинаковы как стороны прямоугольника АВ CD :

Задание. На рисунке показан правильный тетраэдр АВС D . Точки M , N , P и Q являются серединами тех сторон, на которых они располагаются. Какие вектора из отмеченных на рисунке равны между собой?

Решение. Легко заметить, что вектора DP и PC находятся на одной прямой DC и сонаправлены, при этом их длина одинакова, ведь Р – середина DC . Тогда эти вектора по определению равны:

Вектора АМ и МВ также коллинеарны и имеют одинаковую длину, но они противоположно направлены, а потому равными не являются.

Теперь заметим, что отрезки MN , MQ , PQ и NP – это средние линии в ∆ ABD , ∆ АВС, ∆ BCD и ∆ ACD соответственно. По свойству средней линии получаем, что MN || BD , PQ || BD , MQ ||АС и NP ||АС. Отсюда по свойству транзитивности параллельности получаем, что MN || PQ и MQ || NP . Это значит, что четырехугольник MQPN – это параллелограмм, а у него противоположные стороны одинаковы:

Операции над векторами

Правила сложения векторов в стереометрии не отличаются от правил в планиметрии. Пусть надо сложить два вектора, а и b . Для этого отложим вектор а от какой-нибудь точки А, тогда его конец окажется в некоторой точке В. Далее от В отложим вектор b , его конец попадет в какую-то точку С. Тогда вектор АС как раз и будет суммой a и b :

Такой метод сложения векторов именуется правилом треугольника. Если нужно сложить больше двух векторов, то используют правило многоугольника. В этом случае необходимо каждый следующий вектор откладывать от конца предыдущего. При этом в стереометрии вектора могут располагаться в различных плоскостях, то есть они на самом деле многоугольник не образуют:

Напомним, что в планиметрии существовали так называемые противоположные вектора. Есть они и в стереометрии:

Главное свойство противоположных векторов заключается в том, что в сумме они дают нулевой вектор:

Заметим, что для получения противоположного вектора достаточно поменять его начало и конец, то есть в записи вектора обозначающие его буквы надо просто записать в обратном порядке:

C помощью противоположного вектора легко определить операцию вычитания векторов. Чтобы из вектора а вычесть вектор b , надо всего лишь прибавить к a вектор, противоположный b :

Далее рассмотрим умножение вектора на число. Пусть вектор а умножается на число k . В результате получается новый вектор b , причем

1) b и a будут коллинеарными векторами;

2) b будет в k раз длиннее, чем вектор a .

Если k – положительное число, то вектора a и b будут сонаправленными. Если же k a и b будут направлены противоположно.

Уточним, что если | k | b будет не длиннее, а короче вектора a . Наконец, если k = 0, то и b будет иметь нулевую длину, то есть b окажется нулевым вектором.

Задание. Дан параллелепипед АВС D А1В1С1 D 1. Постройте вектор, который будет являться суммой векторов:

Решение. В каждом случае необходимо заменить один из векторов в сумме на другой равный ему вектор так, чтобы можно было применить правило треугольника.

В задании а) вектор А1 D 1 заменить равным ему вектором ВС. В итоге получится вектор АС.

В задании б) заменяем А D 1 на вектор ВС1. Также можно было бы заменить АВ на D 1 C 1. В обоих случаях сумма окажется равной АС1.

В задании в) удобно DA заменить на C 1В1, тогда искомой суммой будет вектор С1В.

В задании г) производим замену DD 1 на равный ему вектор BB 1. Тогда сумма DB и BB 1– это вектор DB 1.

В задании д) необходимо заменить ВС на В1С1. В итоге получаем вектор DC :

Задание. В пространстве отмечены точки А, В, С и D . Выразите вектор АВ через вектора:

Решение. В случае а) сначала запишем очевидное равенство векторов, вытекающее из правило многоугольника:

Обратите внимание, что здесь у каждого следующего слагаемого начальная точка совпадает с конечной точкой предыдущего слагаемого, поэтому равенство и справедливо:

Однако по условию а) нам надо использовать другие вектора для выражения АВ. Мы можем просто заменить вектора CD и DB на противоположные:

Теперь можно составить и выражение для АВ:

Аналогично решаем и задания б) и в):

Задание. Р – вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма векторов, совпадающих с ребрами этой пирамиды и начинающихся в точке Р, в точности равна сумме векторов, которые совпадают с апофемами пирамиды и при этом также начинаются в точке Р.

Решение. Обозначим вершины буквами А1, А2, … А6, а середины сторон шестиугольника, лежащего в основании, буквами Н1, Н2, … Н6, как это показано на рисунке:

Нам надо показать, что сумма красных векторов равна сумме черных векторов:

Теперь отдельно построим правильный шестиугольник, лежащий, в основании пирамиды:

Ясно, что вектора, образованные сторонами этого шестиугольника, в сумме дают нулевой вектор (по правилу многоугольника):

Так как точки Н1, Н2, … Н6 – середины сторона, то вектора Н6А6, Н5А5,…Н1А1 будут вдвое короче векторов А1А6, А6А5, … А2А1. При этом они находятся на одних прямых, поэтому справедливы равенства:

Таким образом нам удалось из верного равенства (3) доказать (2), из которого в свою очередь следует справедливость и (1), ч. т. д.

Задание. Упростите выражения:

Решение. Здесь надо просто применить законы сложения и умножения векторов, как это делалось и в курсе планиметрии. Сначала раскрываем скобки, а потом приводим подобные слагаемые:

Компланарные векторы

Если мы отложим несколько векторов от одной точки, то они либо будут находиться в одной плос-ти, либо располагаться в различных плос-тях. В первом случае их именуют компланарными векторами, а во втором – некомпланарными.

Любые два вектора будут компланарны, ведь при их откладывании от одной точки мы получаем две пересекающихся прямых, а через них всегда можно провести плос-ть. Однако если векторов более двух, то они могут быть как компланарны, так и некомпланарны.

Рассмотрим для примера параллелепипед:

Здесь вектора АС, АВ и АD компланарны, так как все они принадлежат одной грани (то есть плос-ти) АВСD. А вектора АВ, АD и АА1 некомпланарны, ведь через них нельзя провести одну плос-ть.

Очевидно, что если из трех векторов любые два коллинеарны, то вся тройка векторов компланарна, ведь при откладывании векторов от одной точки коллинеарные вектора окажутся на одной прямой.

Существует признак компланарности векторов:

Напомним, что подразумевается под разложением вектора. Пусть есть вектора а, b и c. Если существуют такие числах и y, при которых выполняется равенство

то говорят, что вектор с разложен по векторам а и b, причем числа xи y называются коэффициентами разложения.

Докажем сформулированный признак. Пусть есть три вектора а, b и c, а также числа xи y, такие, что

Эти вектора находятся в одной плос-ти ОАВ. Теперь от той же точки О отложим вектора ха и уb, концы которых окажутся в точках А1 и В1:

Естественно, что вектора ОА1 и ОВ1 также окажутся в плос-ти ОАВ. Тогда и их сумма будет принадлежать этой плос-ти, а эта сумма как раз и есть вектор с:

В итоге получили, что а, b и с располагаются в одной плос-ти, то есть они компланарны.

Справедливо и обратное утверждение. Если вектора а, b и с компланарны, но а и b неколлинеарны, то вектор с можно разложить на вектора a и b. Это утверждение прямо следует из изученной в 9 классе теоремы о разложении векторов. Важно отметить, что коэффициенты такого разложения определяются однозначно.

Для сложения тройки некомпланарных векторов можно применить так называемое правило параллелепипеда. Если есть три некомпланарных вектора, то можно отложить их от одной точки О и далее построить параллелепипед, в котором эти вектора будут ребрами. Тогда диагональ этого параллелепипеда, выходящая из точки О, и будет суммой этих трех векторов:

Разложение вектора на некомпланарные вектора

Иногда вектор можно разложить не на два, а на три вектора. Выглядит такое разложение так:

Для доказательства рассмотрим три некомпланарных вектора а, bи c, а также произвольный вектор р. Отложим их от одной точки О. Обозначим концы этих векторов большими буквами А, В, С и Р:

Через ОВ и ОА можно провести некоторую плос-ть α. Точка С ей принадлежать не может, ведь ОА, ОВ и ОС – некомпланарные вектора. Проведем через Р прямую, параллельную ОС. Так как ОС пересекает α, то и параллельная ей прямая также пересечет α в некоторой точке Р1. (Примечание. Если Р принадлежит α, то точки Р и Р1 совпадут, то есть вектор Р1Р будет нулевым).

Далее через точку Р1 в плос-ти α проведем прямую, параллельную ОВ, которая пересечет ОА в точке Р2. Заметим, что вектор ОР2 находится на той же прямой, что и вектор ОА, то есть они коллинеарны, поэтому существует такое число х, что

Итак, мы показали, что у произвольного вектора p есть разложение на заранее заданные некомпланарные вектора. Осталось показать, что существует только одно такое разложение. Докажем это методом от противного. Пусть есть второе разложение с другими коэффициентами х1, у1 и z1:

В правой части находятся три вектора, которые в сумме нулевой вектор. По правилу сложения векторов это означает, что эти вектора образуют треугольник, то есть находятся в одной плос-ти:

Значит, они компланарны. Тогда компланарны и вектора a, b и с, что противоречит условию теоремы. Значит, второго разложения р на заданные некомпланарные векторы не существует, ч. т. д.

Задание. АВСD и А1В1С1D1 – параллелограммы, располагающиеся в разных плос-тях. Докажите, что тройка векторов ВВ1, СС1 и DD1 компланарна.

Решение. Сначала построим рисунок по условию задачи:

Для доказательства используем признак компланарности векторов. Для этого надо один из векторов, отмеченных на рисунке красным, разложить на два других вектора.

В результате нам удалось разложить СС1 на вектора BB1 и CC1. Значит, эти три вектора коллинеарны.

Задание. В параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 запишите разложение вектора BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.

Решение. Сначала представим вектор BD1 как сумму трех векторов:

Теперь заметим, что вектора С1D1 и ВА соответствуют ребрам параллелепипеда. Эти ребра одинаковы по длине и параллельны, поэтому и вектора будут равными. Аналогично равны вектора СС1 и ВВ1:

Задание. АВСD – тетраэдр, а точка К делит его ребро ВС пополам. Разложите вектор DK по векторам DA, AB и AC.

Решение. Сначала запишем очевидное выражение для вектора DK:

Задание. В точке М пересекаются медианы треугольника АВС, а О – произвольная точка в пространстве. Разложите вектор ОМ по векторам ОА, ОВ и ОС.

Решение. Медиану, проходящую через точку А, мы обозначим как АА1, то есть А1 – это середина отрезка ВС. Также буквой К обозначим середину ОВ:

Сначала разложим вектор ОА1 на ОВ и ОС. Это можно сделать, ведь они компланарны. КА1 – это средняя линия ∆ОСВ, поэтому КА1||ОС и КА1 вдвое короче ОС. Это значит, что

Так как АА1 – медиана, то точка М делит ее в отношении 2:1. Отсюда вытекает следующее соотношение:

Только что решенная задача может быть использована и при решении другого, более сложного задания.

Задание. Докажите, что в параллелепипеде АВС1В1С1D1 плос-ти А1ВD и СB1D1 делят диагональ АС1 на три равных отрезка.

Решение. Обозначим точкой K точку пересечения медиан ∆А1ВD. Тогда по формуле, выведенной в предыдущей задаче, мы получаем, что

Это соотношение означает, что вектора АК и АС1 коллинеарны, поэтому они располагаются на одной прямой (они не могут находиться на параллельных прямых, ведь у них есть общая точка А). Значит, точка K принадлежит диагонали АС1, и отрезок АК втрое короче диагонали.

Аналогично можно показать, что и

Из этого также вытекает, что М принадлежит диагонали АС1, и МС1 втрое короче АС1. Значит, точки М и К делят диагональ на три равных отрезка, ч. т. д.

Сегодня мы расширили понятие векторов и научились их применять не только в планиметрических, но и в стереометрических задачах. При сохраняются все правила, по которым выполняются действия над векторами. Также в стереометрии появляется новое понятие компланарных и некомпланарых векторов.

Источник

Содержание:

Система координат на плоскости позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел (рис. 331). Координаты вы широко использовали для графического представления зависимостей, при решении систем уравнений, а также в геометрии, чтобы геометрическую задачу свести к задаче алгебраической.

Декартова система координат в пространстве

Чтобы ввести декартову систему координат в пространстве, выберем точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Б) Вы знаете, что по координатам концов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения отрезка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения на плоскости можно определить его длину:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Аналогичная формула выражает длину отрезка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в пространстве через координаты его концов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Чтобы доказать эту формулу, рассмотрим плоскости, которые проходят через точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения перпендикулярно координатным осям. Получаем, что отрезок Векторы и координаты в пространстве с примерами решения по сути является диагональю прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого параллельны координатным осям и имеют длины Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 334) (если же какие-либо из проведённых плоскостей совпадут, то параллелепипед превратится в прямоугольник или отрезок).

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Ранее вы доказывали, что координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов. Это утверждение остаётся истинным и в случае пространства (см. пример 2 в § 6): если Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — середина отрезка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример:

На оси ординат найдём точку, равноудалённую от точек Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение:

Пусть Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — искомая точка. Тогда Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и, поскольку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

или Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Отсюда Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Ответ: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример:

Найдём условие, задающее геометрическое место точек, равноудалённых от начала координат и от точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение:

Согласно геометрическим соображениям искомое множество состоит из всех тех точек, размещённых на серединных перпендикулярах к отрезку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Такие точки заполняют плоскость, проходящую через середину отрезка Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияперпендикулярно ему. Найдём условие, которому удовлетворяют координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения произвольной точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения этой плоскости. Условие Векторы и координаты в пространстве с примерами решения означает, что

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Ответ: Искомое геометрическое место точек есть плоскость, которая задаётся уравнением Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример:

Найдём условие, которому удовлетворяют координаты точек плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения проходящей через точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения перпендикулярно прямой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения где Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение:

Пусть Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — произвольная точка плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Тогда из прямоугольного треугольника Векторы и координаты в пространстве с примерами решения по теореме Пифагора имеем: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Поскольку

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения или

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Ответ: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Вектор. Действия над векторами

А) С векторами вы встречались в курсе физики девятого класса, когда знакомились с векторными величинами. Физическая величина является векторной, если она характеризуется не только числовым значением, но и направлением. Такие величины, как сила, скорость и другие, обозначают направленными отрезками. Длина направленного отрезка (стрелки) характеризует числовое значение векторной величины (её модуль).

Особенностью понятия вектор является то, что все основные определения и свойства, связанные с этим понятием, формулируются почти одинаково как в планиметрии, так и в стереометрии.

Вектор в геометрии представляется направленным отрезком (рис. 336), начало которого считается началом вектора, а конец — концом вектора.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Расстояние между началом направленного отрезка и его концом считается длиной вектора.

Направленные отрезки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения представляют один вектор, если они одинаково направлены и имеют одинаковую длину (рис. 337). В таком случае говорят, что векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равны, и пишут Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равны тогда и только тогда, когда совпадают середины отрезков Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 338).

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Это напоминает ситуацию с дробями: определённое число может представляться разными дробями, например, дроби Векторы и координаты в пространстве с примерами решения представляют одно и то же число. Дроби Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равны тогда и только тогда, когда Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Если вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения изображается направленным отрезком Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то говорят, что этот вектор отложен от точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Вектор можно, и при этом однозначно, отложить от любой точки.

Вектор, представленный направленным отрезком Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называют нулевым: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы, представленные направленными отрезками Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называют противоположными и пишут Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Если ненулевые векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения отложены от одной точки: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то угол Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называется углом между векторами Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения.

Ненулевые векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называют коллинеарными, если прямые Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения параллельны или совпадают. Нулевой вектор считают кол-линеарным с любым вектором.

Векторы можно складывать и умножать на число. Чтобы сложить векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения можно один из них заменить таким равным ему вектором, чтобы конец первого направленного отрезка совпадал с началом второго:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

и тогда сумма векторов представляется направленным отрезком Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 339).

Сложение векторов имеет переместительное свойство, т. е. Векторы и координаты в пространстве с примерами решения сочетательное свойство, т. е. Векторы и координаты в пространстве с примерами решения кроме того, уравнение Векторы и координаты в пространстве с примерами решения всегда имеет единственное решение, которое называют разностью векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 340).

Произведением вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения на число Векторы и координаты в пространстве с примерами решения является такой вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения что, во-первых, векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения одинаково направлены при Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и противоположно направлены при Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и, во-вторых, длины векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения связаны равенством Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 341). Векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения являются коллинеарными. При этом верно равенство Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Если Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то произведением Векторы и координаты в пространстве с примерами решения является нулевой вектор.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

С действием умножения вектора на число связываются два распределительных свойства— Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Б) Если векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения коллинеарны, то один из них можно выразить через другой: либоВекторы и координаты в пространстве с примерами решения либо Векторы и координаты в пространстве с примерами решения при определённых числах Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Для любых двух векторов существует плоскость, которой они параллельны. Векторы, параллельные одной плоскости, называют компланарными. Если векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения неколлинеарны, то любой вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения компланарный с ними, можно однозначно выразить через векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 342).

Истинно и обратное утверждение: если векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения связаны равенством Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то они компланарны.

Действительно, если векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения представить направленными отрезками с общим началом Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 343), то Векторы и координаты в пространстве с примерами решения поэтому точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения находятся в плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Теорема 1. Если векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения некомпланарны, то для любого вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения существует такая единственная упорядоченная тройка действительных чисел Векторы и координаты в пространстве с примерами решения что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Доказательство: Сначала докажем существование нужных чисел. Представим векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения направленными отрезками с общим началом Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Через точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения проведём прямую Векторы и координаты в пространстве с примерами решения параллельно Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и пусть Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — точка пересечения прямой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения с плоскостью Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 344). Тогда Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Поскольку вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения ненулевой и векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения коллинеарны, то существует такое число Векторы и координаты в пространстве с примерами решения что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения А поскольку векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения компланарны, а векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения неколлинеарны, то существуют такие числа Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Поэтому

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Теперь докажем единственность представления. Допустим, что существуют две разные упорядоченные тройки чисел Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения при которых Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Тогда Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Поскольку тройки чисел Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения различны, то числа на соответствующих местах не могут все совпадать. Пусть, например, Векторы и координаты в пространстве с примерами решения В этом случае из последнего равенства можно выразить вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Последнее равенство означает, что векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения компланарны. Полученное противоречие с условием означает, что сделанное допущение о существовании двух разных троек чисел неверно.

Следствие 1. Из четырёх любых векторов пространства один может быть выражен через три других.

Действительно, если среди данных четырёх векторов пространства есть три некомпланарных, то четвёртый вектор можно через эти три выразить. Далее, если среди данных четырёх векторов пространства любые три компланарны, то может найтись среди них два неколлинеарных, или любых два вектора коллинеарны. В первом случае через эти два неколлинеарных вектора можно выразить третий и к полученному выражению прибавить четвёртый, умноженный на ноль. Во втором случае один из векторов можно выразить через другой и потом прибавить к этому выражению два оставшихся вектора, умноженных на ноль.

Таким образом, теперь вы знаете, что из двух коллинеарных векторов один может быть выражен через другой, из трёх компланарных векторов один может быть выражен через два других, а из четырёх любых векторов один может быть выражен через три других.

Пример №1

На кронштейне, состоящем из подкоса Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и растяжки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения подвешен груз. Кронштейн прикреплён к вертикальной стене Векторы и координаты в пространстве с примерами решения растяжка занимает горизонтальное положение (рис. 345). Найдём силы, действующие на подкос и растяжку, если угол между ними равен Векторы и координаты в пространстве с примерами решения a масса груза равна Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение:

Сила тяжести выражается вектором Векторы и координаты в пространстве с примерами решения направленным вниз по вертикали. Выразим его суммой векторов, которые коллинеарны векторам Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Для этого построим параллелограмм Векторы и координаты в пространстве с примерами решения с диагональю Векторы и координаты в пространстве с примерами решения стороны которого расположены на прямых Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 346).

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Поскольку углы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и секущей Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то в прямоугольном треугольнике Векторы и координаты в пространстве с примерами решения угол Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равен Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и катет Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равен Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Поэтому

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Ответ. Под воздействием груза подкос сжимается с силой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения а растяжка растягивается с силой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №2

В правильной четырёхугольной пирамиде Векторы и координаты в пространстве с примерами решения точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — середины рёбер Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения соответственно. Плоскость, проходящая через точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения параллельно прямой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения пересекает прямую Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 347). Найдём отношение Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение:

Поскольку Векторы и координаты в пространстве с примерами решениято векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения полностью определяют пирамиду. Поскольку векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения коллинеарны, то вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения можно выразить через Векторы и координаты в пространстве с примерами решения при определённом числе Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения можно выразить через векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения используя то, что точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения находится в плоскости, проходящей через точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения параллельно прямой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения компланарен с векторами Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения поэтому Векторы и координаты в пространстве с примерами решения при определённых множителях Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Выразим векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения через векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Имеем:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Поэтому

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Учтём теперь то, что через некомпланарные векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения каждый вектор пространства, в том числе и вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения выражается единственным образом. Поэтому должны одновременно выполняться условия: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Отсюда получаем, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения А поскольку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

В) Пусть в пространстве выбрана декартова система координат Векторы и координаты в пространстве с примерами решения С каждой точкой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения пространства можно связать вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Это соответствие между точками пространства и векторами является взаимно однозначным: различным точкам соответствуют различные векторы с началом Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и концами в этих точках, и различным векторам соответствуют различные точки пространства.

Будем говорить, что вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеет координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в декартовой системе координат Векторы и координаты в пространстве с примерами решения если Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеет координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Это будем записывать: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Теорема 2. Если Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Доказательство: Пусть задана декартова система координат Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Пусть также Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Нужно доказать, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Поскольку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то середины отрезков Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения совпадают.

Середина отрезка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеет координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения а середина отрезка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Получаем:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Отсюда:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Теорема 3. Если Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Доказательство: Пусть задана декартова система координат Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 348). Поскольку

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то Векторы и координаты в пространстве с примерами решения По теореме 2 получаем:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Поэтому

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Значит, вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеет координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Докажем второе утверждение теоремы 3. Пусть сначала Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Сравним одноимённые, например первые, координаты векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Для этого через точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения проведём плоскости, параллельные плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 349), которые пересекают ось Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в точках Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Из подобия треугольников Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения следует, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияАналогично получается, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Если же Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то аналогичные рассуждения проводятся для рисунка 350. Векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называют единичными координатными векторами.

Следствие 2. Если Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №3

Дан параллелепипед Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — середины отрезков Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения соответственно (рис. 351). Выразим:

а) векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения через векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

б) векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения через векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение:

а) Имеем:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

б) Будем рассматривать полученные равенства — Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения как систему условий, из которой нужно найти Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Из первого условия выразим

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и исключим Векторы и координаты в пространстве с примерами решения из двух других:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Теперь из последнего равенства выразим Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и исключим Векторы и координаты в пространстве с примерами решения из предыдущего:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Далее можно последовательно выразить Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения через векторы

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №4

Через диагональ Векторы и координаты в пространстве с примерами решения грани треугольной призмы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения проведена плоскость так, что она пересекает диагонали Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения граней в точках Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения соответственно (рис. 352). Найдём отношение Векторы и координаты в пространстве с примерами решения учитывая, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение:

Векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения некомпланарны, поэтому через них можно выразить векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Учтём, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения коллинеарны. Значит, существует такое число Векторы и координаты в пространстве с примерами решения что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Аналогично, существует такое число Векторы и координаты в пространстве с примерами решения что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Кроме того,

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Значит,

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Из условия следует, что векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения коллинеарны. Поэтому Векторы и координаты в пространстве с примерами решения при определённом Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Поскольку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и учитывая однозначность разложения вектора по трём некомпланарным векторам, получаем, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияОтсюда находим Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Ответ: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Скалярное произведение векторов

А) Скалярным произведением векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называется число Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, равное произведению длин этих векторов на косинус угла Векторы и координаты в пространстве с примерами решения между ними:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Скалярное произведение векторов имеет переместительное свойство Векторы и координаты в пространстве с примерами решения распределительное свойство Векторы и координаты в пространстве с примерами решения кроме того, множитель можно выносить за знак скалярного произведения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения С помощью скалярного произведения можно находить длины векторов и косинусы углов между ними: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

У нулевого вектора направление не определено, поэтому удобно считать, что нулевой вектор перпендикулярен любому другому вектору.

С учётом этого получается следующее полезное утверждение: два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Теорема 1. Скалярное произведение векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения выражается через их координаты в декартовой системе

равенством Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Доказательство: Поскольку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Находим далее:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Аналогично,

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Поэтому Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №5

Найдём длину вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Имеем: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Поэтому Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №6

Найдём угол Векторы и координаты в пространстве с примерами решения между векторами Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Имеем: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Поэтому:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №7

Найдём длину вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равного Векторы и координаты в пространстве с примерами решения учитывая, что векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения перпендикулярны вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения а между собой образуют угол 60° и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Имеем:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Поскольку

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Поэтому Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Б) Вы знаете, что плоскость в пространстве можно задать тремя точками, не лежащими на одной прямой. Поскольку существует единственная плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно данной прямой, то плоскость можно задавать указанием одной из её точек и вектора, ей перпендикулярного.

Теорема 2. Если плоскость проходит через точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения перпендикулярно ненулевому вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решениялюбой точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения этой плоскости удовлетворяют уравнению Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Доказательство: Если Векторы и координаты в пространстве с примерами решения— произвольная точка плоскости,

проходящей через точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения перпендикулярно вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

то векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения перпендикулярны, а потому их скалярное произведение равно нулю:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Истинно и обратное утверждение.

Теорема 3. Уравнению Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в котором коэффициенты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения не равны нулю одновременно, удовлетворяет любая точка некоторой плоскости. Этой плоскости перпендикулярен вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Доказательство: Если есть уравнение Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и числа Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения не равны нулю одновременно, то можно найти упорядоченную тройку чисел Векторы и координаты в пространстве с примерами решения удовлетворяющую этому уравнению. Например, если Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то можно, взяв Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения найти значение переменной Векторы и координаты в пространстве с примерами решения так, чтобы тройка чисел Векторы и координаты в пространстве с примерами решения удовлетворяла уравнению Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Поскольку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то условия Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равносильны. Получили, что исходное уравнение равносильно уравнению Векторы и координаты в пространстве с примерами решения которому удовлетворяют координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения любой точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения расположенной на прямой, проходящей через точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения перпендикулярно вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения т. е. любой точки плоскости, проходящей через точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения перпендикулярно вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №8

Найдём уравнение плоскости, проходящей через точки А(2; 1; 3), В(4; 1, 2) и С(5; 2; 1).

Решение:

Найдём координаты векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияПоскольку координаты (2; 0; -1) и (3; 1; -2) этих векторов не пропорциональны, то сами векторы не коллинеарны, и, значит, точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения не лежат на одной прямой, они задают единственную плоскость.

Чтобы записать уравнение плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения используя теорему 2, найдём вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения перпендикулярный этой плоскости. Поскольку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Из этих условий получаем: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Таким образом, в качестве искомого вектора можно взять вектор с координатами (1; 1; 2).

Теперь можно записать уравнение плоскости, которая проходит через точкуВекторы и координаты в пространстве с примерами решения перпендикулярно найденному вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения или Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

В) Теорема 4. Если плоскость имеет уравнение Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то расстояние до неё от точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равно Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Доказательство: Пусть из точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения на данную плоскость опущен перпендикуляр Векторы и координаты в пространстве с примерами решения основание которого — точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — имеет координаты

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Тогда вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения коллинеарен с

вектором Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Поскольку угол между этими векторами равен 0°

или 180°, то Векторы и координаты в пространстве с примерами решения откуда

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Находим

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

поскольку координаты точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения удовлетворяют уравнению плоскости. Далее: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения А поскольку искомое расстояние равно длине вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то требуемое утверждение обосновано.

Пример №9

Найдём расстояние от точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения до плоскости, заданной уравнением Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение:

Используя теорему 4, получаем:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Ответ: 5.

Применение векторов и координат

А) В ряде задач условие содержит сведения о параллельности некоторых прямых или об их точках пересечения, об отношениях длин параллельных отрезков. Для решения таких задач может быть полезным применение векторов, как это было при решении примера 3 из параграфа 12. При решении таких задач достаточно использовать действия сложения векторов и умножения вектора на число. Рассмотрим ещё один пример.

Пример №10

Пусть Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — параллелограммы в пространстве, Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — середины отрезков Векторы и координаты в пространстве с примерами решения соответственно. Докажем, что середины отрезков Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения совпадают.

Решение. Выберем в пространстве точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Тогда положение каждой точки полностью характеризуется соответствующим вектором. Из условия

следует, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения определяются

векторами Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Чтобы доказать, что середины отрезков Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения совпадают, докажем, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Находим: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

А поскольку

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

то выражения в двух последних скобках принимают одинаковые значения. Требуемое утверждение доказано.

Б) При решении других задач целесообразно пользоваться скалярным умножением векторов. Такими являются задачи, в которых нужно использовать или определять некоторые расстояния или углы.

Пример №11

Найдём угол между скрещивающимися диагоналями соседних боковых граней правильной шестиугольной призмы, у которой боковые грани — квадраты.

Решение:

Пусть нужно найти угол между прямыми Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 370). Искомый угол может совпадать с углом между векторами, параллельными данным прямым, или дополнять его до 180°. Поэтому косинус искомого угла совпадает с модулем косинуса угла между векторами Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Выразим векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения через некомпланарные векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Примем длину ребра призмы за а и найдём скалярное произведение векторов:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

А поскольку

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Ответ: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Скалярное произведение векторов можно использовать и для нахождения угла между плоскостями. Как и при определении угла между прямыми, так и при определении угла Векторы и координаты в пространстве с примерами решения между плоскостями можно использовать векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения только перпендикулярные рассматриваемым плоскостям:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №12

У правильной шестиугольной призмы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения все рёбра имеют длину 1 (рис. 371). Найдём угол между плоскостями Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение:

Для получения ответа нужно определить векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения перпендикулярные плоскостям Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения соответственно. Они должны удовлетворять условиям Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Используем прямоугольную декартову систему координат, начало которой находится в центре Векторы и координаты в пространстве с примерами решения основания Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеют координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения соответственно. Тогда точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения будут иметь координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения соответственно. Найдём координаты векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения по координатам их концевых точек:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Поскольку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

удовлетворяют условиям Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Этим условиям удовлетворяют числа Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Поэтому в качестве вектора, перпендикулярного плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения можно взять вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Для нахождения вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения действовать будем аналогично. Координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения перпендикулярного плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения удовлетворяют условиям Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения удовлетворяют числа Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияПоэтому Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Используем равенство Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Поскольку угол Векторы и координаты в пространстве с примерами решения между векторами Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения или совпадает с углом Векторы и координаты в пространстве с примерами решения между плоскостями Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения или дополняет его до 180°, то Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Находим:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Ответ: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Для нахождения угла между прямой и плоскостью также можно использовать векторы, из которых один параллелен прямой, а другой перпендикулярен плоскости. Угол Векторы и координаты в пространстве с примерами решения между этими векторами связан с углом Векторы и координаты в пространстве с примерами решения между прямой и плоскостью равенством Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 372).

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №13

На рёбрах Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения куба Векторы и координаты в пространстве с примерами решения отмечены точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения так, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 373). Найдём угол Векторы и координаты в пространстве с примерами решения между прямой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и плоскостью Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение:

Примем точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения за начало системы координат, координатные оси направим по рёбрам куба, взяв рёбра за единичные отрезки. Тогда определятся координаты нужных точек: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

По теореме 3 из параграфа 13 уравнение плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеет вид Векторы и координаты в пространстве с примерами решения а поскольку координаты точек Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения удовлетворяют уравнению Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то это уравнение и есть уравнение плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения а вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения этой плоскости перпендикулярен.

Прямой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения параллелен вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Находим:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Ответ: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

В) В предыдущем параграфе обсуждалось использование координат для вычисления расстояния от точки до прямой. Рассмотрим решение ещё двух задач на нахождение расстояний: от точки до прямой и расстояния между скрещивающимися прямыми.

Пример №14

В правильной шестиугольной пирамиде Векторы и координаты в пространстве с примерами решения все рёбра основания имеют длину 3, они вдвое короче боковых рёбер. На рёбрах Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения отмечены точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения так, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Найдём расстояние Векторы и координаты в пространстве с примерами решения от точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения до прямой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение:

Пусть Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — центр основания Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Поскольку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то из прямоугольного треугольника Векторы и координаты в пространстве с примерами решения находим:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Используем прямоугольную декартову систему координат, начало которой находится в центре Векторы и координаты в пространстве с примерами решения основания Векторы и координаты в пространстве с примерами решения оси абсцисс и аппликат проходят через точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения соответственно и точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеет неотрицательные координаты (рис. 374). Точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеют координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Тогда точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения будут иметь координаты

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения соответственно. Найдем координаты векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения по координатам их концевых точек:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Искомое расстояние есть длина перпендикуляра, опущенного из точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения на прямую Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и равна высоте треугольника Векторы и координаты в пространстве с примерами решения проведённой из точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Для её нахождения можно использовать формулу Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Поскольку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

то

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Теперь находим:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Ответ: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №15

Измерения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения прямоугольного параллелепипеда Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равны соответственно 5, 4 и 4. Точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения на рёбрах Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения выбраны так, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 375). Найдём расстояние Векторы и координаты в пространстве с примерами решения между прямыми Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение:

Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения можно найти как расстояние от какой-либо точки прямой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения до плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения проходящей через прямую Векторы и координаты в пространстве с примерами решения параллельно Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Примем точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения за начало системы координат, координатные оси направим по рёбрам параллелепипеда так, чтобы точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имели координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения соответственно. Тогда Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Чтобы записать уравнение плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения найдём координаты вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения перпендикулярного как вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения так и вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Поскольку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решениято координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения должны удовлетворять равенствам Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения например Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Теперь запишем уравнение плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения используя координаты точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Для нахождения расстояния Векторы и координаты в пространстве с примерами решения используем теорему 4 из параграфа 13:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Ответ: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы в пространстве

Это интересно!

Основоположниками аналитической геометрии являются знаменитые ученые Декарт и Ферма. Однако Декарт свои исследования опубликовал первым. А исследования Ферма увидели свет намного позже, после его смерти. Интересно, что подойдя к проблеме с разных сторон, они пришли к одинаковым выводам. Декарт искал уравнение исследуемой кривой, а Ферма для заданного уравнения искал соответствующую кривую.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Применение правил алгебры к геометрии привело к возникновению аналитической геометрии. В последствии аналитическая геометрия была усовершенствована основателем математического анализа Исааком Ньютоном, который писал » … я смог пойти дальше Декарта, только потому, что стоял на плечах гигантов»

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Прямоугольная система координат в пространстве

Пусть мяч ударился о пол и отскочил вертикально вверх. Координаты мяча в точке на полу можно определить относительно длины и ширины комнаты двумя значениями. Однако когда мяч отскочил от пола, то его положение уже невозможно определить двумя координатами. Если положение мяча на полу определяется как Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то после поднятия на высоту 2,5 м его положение в пространстве задается уже гремя координатами Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Прямоугольная система координат в пространстве. В пространстве возьмем произвольную точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и проведем через нее три попарно перпендикулярные прямые линии. Примем точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения за начало координат и, выбрав на этих прямых положительное направление и единичный отрезок, назовем эти прямые координатными осями Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Начало координат Векторы и координаты в пространстве с примерами решения делит каждую ось на две полуоси (положительную и отрицательную). Пересекаясь попарно, три координатные оси образуют координатные плоскости. Плоскость Векторы и координаты в пространстве с примерами решения берется но горизонтали, положительное направление оси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения проводится по направлению вверх. Трехмерная система координат, образованная по данному правилу, называется еще системой правой руки. Если согнуть пальцы правой руки от положительного направления оси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения вдоль положительного направления оси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то большой палец будет направлен вдоль положительного направления оси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Координатные плоскости обозначаются как и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Каждая координатная плоскость делит пространство на два полупространства и, таким образом, три координатные плоскости вместе делят пространство на восемь частей, каждая из которых называется октантом:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пусть точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения произвольная точка в пространстве. Параллельно плоскостям Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения через точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения проведем плоскости, которые пересекают соответствующие координатные оси в точках Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Получим три плоскости:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Координаты точки в пространстве

1) Плоскость, проходящая через точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и параллельная плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения пересекает ось Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

2) Плоскость, проходящая через точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и параллельная плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения пересекает ось Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

3) Плоскость, проходящая через точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и параллельная плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения пересекает ось Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Значит, каждой точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения пространства соответствует упорядоченная тройка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и наоборот: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Упорядоченная тройка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в прямоугольной системе координат Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называется координатами точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и декартовыми координатами. Расстояние от точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения до плоскостей Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения соответствует абсолютным значениям координат Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Числа Векторы и координаты в пространстве с примерами решения соответственно называются абсциссой, ординатой и аппликатой точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и это записывается так: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

1) Начало координат: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

2) Точка, расположенная на оси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Точка, расположенная на оси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Точка, расположенная на оси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

3) Точка, расположенная на плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Точка, расположенная на плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Точка, расположенная на плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в пространстве расположена в I октанте, точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения расположена на отрицательной полуоси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения расположена на плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения расположена в III октанте.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Знаки координат точки

Знак координаты точки зависит от того, в каком октанте расположена точка. В следующей таблице показаны знаки координат точек в различных октантах.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

В первом октанте все знаки координат положительны, в седьмом октанте все знаки отрицательны.

Пример №16

В прямоугольной системе координат в пространстве постройте точки: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение: а) для построения точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения от начала координат но оси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в положительном направлении на расстоянии 2-х единичных отрезков отметим точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения От точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения вдоль положительного направления оси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и параллельно этой оси, на расстоянии 4-х единичных отрезков отметим точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения От точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения вдоль положительного направления оси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и параллельно этой оси, на расстоянии 3-х единичных отрезков отметим точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

b) для построения точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения от начала координат по оси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в отрицательном направлении на расстоянии 2-х единичных отрезков отметим точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения от точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения вдоль отрицательного направления оси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и параллельно этой оси, на расстоянии 2-х единичных отрезков отметим точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения От точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения вдоль положительного направления оси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и параллельно этой оси, на расстоянии 3-х единичных отрезков отметим точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №17

От точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияк осям координат проведены перпендикуляры. Запишите координаты оснований перпендикуляров, соответствующих точкам Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение: для точки основания перпендикуляра, проведенного из точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения на ось Векторы и координаты в пространстве с примерами решения координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равны нулю. Значит, координаты точки — Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Аналогично, координаты остальных точек — Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №18

От точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения к плоскостям Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения проведены перпендикуляры. Запишите координаты точек Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения которые являются основаниями перпендикуляров.

Решение: координата Векторы и координаты в пространстве с примерами решения точки основания перпендикуляра, опущенного от точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения на плоскость Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равна нулю. Значит, точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеет координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Аналогично находят координаты других точек: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Расстояние между двумя точками в пространстве

Расстояние между точками Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения вычисляется но формуле

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Доказательство. Пусть Векторы и координаты в пространстве с примерами решения диагональ параллелепипеда Векторы и координаты в пространстве с примерами решения с ребрами Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решениякоторые параллельны координатным осям Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияИз прямоугольного треугольника Векторы и координаты в пространстве с примерами решения прямой) имеем: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Из прямоугольного треугольника Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияпрямой) имеем: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Учитывая, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

получаем, Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Расстояние от начала координат

В прямоугольной системе координат в пространстве расстояние от точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения начала координат до любой точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения вычисляется по формуле:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №19

Точки, расположенные на одной прямой, называются коллинеарными точками.

Докажите, что точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения являются коллинеарными точками, используя формулу нахождения расстояния между двумя точками.

Решение:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Так как Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения расположены на одной прямой, т. е. они коллинеарны.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №20

Найдите координаты точки, расположенной на оси абсцисс и равноудаленной от точек Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение: если точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения расположена на оси абсцисс, значит ее координаты-Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Так как точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равноудалена от точек Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то Векторы и координаты в пространстве с примерами решения или Векторы и координаты в пространстве с примерами решения По формуле расстояния между двумя точками имеем:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Значит, точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения расположена на оси абсцисс и равноудалена от точек Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Координаты точки, делящей отрезок в некотором отношении

Координаты точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения делящей отрезок с концами в точках Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в отношении Векторы и координаты в пространстве с примерами решения находятся как:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Доказательство: пусть точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения делит отрезок Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в заданном отношении. Через точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения к плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения проведем перпендикуляры Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и через точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения перпендикуляры Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения к оси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения По рисунку видно, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

На основе теоремы о пропорциональных отрезках имеем:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Аналогично, используя перпендикуляры к осям Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения можно определить координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Координаты середины отрезка

Координаты середины отрезка, соединяющих точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения находятся следующим образом:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Координаты центра тяжести треугольника

Координаты центра тяжести треугольника (точка пересечения медиан) с вершинами в точках Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения находятся следующим образом:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (проверьте сами)

Пример №21

Даны точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Найдите

координаты точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения которая делит отрезок Векторы и координаты в пространстве с примерами решения как Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение: пусть точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеет координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Эта точка делит отрезок Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в отношении Векторы и координаты в пространстве с примерами решения По формуле нахождения координаты

точки, делящей отрезок в заданном отношении, получаем:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №22

Даны координаты двух вершин треугольника Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Найдите координаты третьей вершины, если центр тяжести треугольника совпадает с началом координат.

Решение: так как центр тяжести находится в начале координат, то:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Отсюда, Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Значит, третьей вершиной треугольника является точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы в пространстве

Векторной величиной или вектором называется величина, которая определяется не только значением, но и направлением. Изображается вектор направленным отрезком. Длина отрезка, образующего вектор, называется длиной вектора или его модулем.

Вектор можно изобразить в одномерной, двухмерной и трехмерной системе координат.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, называется нулевым вектором. Направление нулевого вектора не определено. Местоположение любой точки (объекта) в пространстве изображается вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец — с данной точкой. Например, на рисунке изображен вектор, показывающий положение мяча в пространстве, который брошен на высоту 3 м на игровой площадке, длина которой равна 4 м, а ширина 2 м.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

В пространстве вектор, который определяет место (положение, позицию) точки и соединяет начальную и заданную точку, называется позиционным вектором или радиус — вектором. Каждой точке пространства соответствует единственный позиционный вектор. Положение точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в пространственной системе координат определяет вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — вектор, заданный компонентами.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Два вектора называются равными если они имеют равные модули и одинаково направлены. Равные векторы, при помощи параллельного переноса, можно расположить друг на друге. Например, на рисунке векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равны. Для позиционного вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения можно провести бесконечно много равных по модулю и направлению векторов. В пространстве вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения с началом в точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и концом в точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения записывается компонентами как Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Соответствующие компоненты равных векторов равны и наоборот. Векторы, которые равны по модулю, но имеют противоположные направления, называются противоположными векторами.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

В пространстве, как и на плоскости, можно геометрически построить сумму и разность векторов, и произведение вектора на число.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Найти компоненты и длину вектора, а также выполнить действия над векторами в пространственной Декартовой системе координат можно но правилам, аналогичным для прямоугольной системы координат на плоскости.

Длина вектора

Модуль вектора можно найти, используя формулу нахождения расстояния между двумя точками.

Теорема. Если начало вектора расположено в точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения а конец в точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то длина вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения вычисляется по формуле:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Следствие. Длина радиус-вектора равна Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (находится по формуле нахождения расстояния от начала координат до точки).

Сложение и вычитание векторов

Сложение и вычитание векторов: суммой (разностью) векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения является вектор, компоненты которого равны сумме (разности) соответствующих компонент векторов, т. е. сумма (разность) векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения иВекторы и координаты в пространстве с примерами решения равна вектору:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №23

Найдите сумму и разность векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Умножение вектора на число

Умножение вектора на число: произведение вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения на действительное число к определяется как вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Для произведения вектора на действительное число справедливы следующие правила:

Пример №24

Для вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения запишите компонентами вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Коллинеарные векторы

Если направленные отрезки, которыми изображены векторы, параллельны или лежат на одной прямой, то вектора называются коллинеарными. Если векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения коллинеарны, тогда существует единственное число Векторы и координаты в пространстве с примерами решения которое удовлетворяет условию Векторы и координаты в пространстве с примерами решения При Векторы и координаты в пространстве с примерами решениявекторы сонаправленные, при Векторы и координаты в пространстве с примерами решения они направлены в противоположные стороны. Соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

При Векторы и координаты в пространстве с примерами решения это условие запишется как: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №25

Определите, являются ли расположенные в пространстве векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения коллинеарными.

Решение: так как Векторы и координаты в пространстве с примерами решения вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения коллинеарны и сонаправлены.

Пример №26

Постройте радиус-вектор, равный вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение: в _соответствии с правилом треугольника Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Точкам Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияи Векторы и координаты в пространстве с примерами решения соответствуют радиус-векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

По правилу сложения векторов на плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Отсюда,

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №27

В трехмерной системе координат задан вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения с началом в точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и концом в точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения а) Найдите длину вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения б) Запишите компонентами радиус-вектор, равный вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение: а) Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

b) Обозначим вектор, равный вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения через Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Тогда точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

соответствует радиус-вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения соответствует

радиус-вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Так как Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №28

Установите справедливость равенства Векторы и координаты в пространстве с примерами решения для точек Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Из равенства соответствующих компонентов следует Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы, расположенные на одной плоскости или на параллельных плоскостях, называются компланарными векторами. Например, векторы, расположенные на противолежащих гранях куба, компланарны, а векторы, направленные по трем ребрам выходящим из одной вершины, некомпланарны.

Единичный вектор — вектор, длина которого равна единице.

Для любого, отличного от нуля вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения вектор вида Векторы и координаты в пространстве с примерами решения является единичным вектором. 1 1

Пример №29

Для вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения а) найдите единичный сонаправленный вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения b) запишите компонентами вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения сонанравленный вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения длина которого равна 10 единицам.

Решение: обозначим единичный вектор через Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Проверим, действительно ли длина этого вектора равна единице:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

b) чтобы определить вектор, сонаправленный с вектором Векторы и координаты в пространстве с примерами решения длиной 10 единиц, надо компоненты единичного вектора, найденного в пункте а, увеличить в 10 раз.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

В прямоугольной системе координат в пространстве векторы, направленные вдоль положительных направлений координатных осей Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и определенные как Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения при

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называются орт векторами. Понятно, что векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

— некомпланарны.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Любой позиционный вектор и на плоскости, и в пространстве, можно выразить через орт вектора. На плоскости точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения соответствует позиционный вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в пространстве точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения соответствует вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Данное выражение называется записью вектора компонентами. Здесь числа Векторы и координаты в пространстве с примерами решения координаты точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Теорема. Любой вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения можно разложить но орт векторам Векторы и координаты в пространстве с примерами решения единственным образом, при этом справедливо равенство

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №30

Вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения началом которого на плоскости является точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения а концом точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения выразите через орт вектора.

Решение: зная, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения получим Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №31

Запишите разложение вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в пространстве по орт векторам.

Решение: по теореме разложения вектора по орт векторам имеем: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №32

а) Запишите в виде Векторы и координаты в пространстве с примерами решения позиционный вектор, соответствующий точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

b) Запишите вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения компонентами в виде Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение: а) начало позиционного вектора совпадает с началом координат Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Таким образом вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеет вид Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №33

Найдите сумму и разность векторов.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Скалярное произведение двух векторов

Тележка переместилась на расстояние Векторы и координаты в пространстве с примерами решения по прямой под действием силы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения направленной под углом наклона Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Вычислите совершаемую работу: если значение силы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равно Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то Векторы и координаты в пространстве с примерами решения На горизонтальном пути работа вертикальной компоненты силы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равна нулю. Тогда работа, совершаемая горизонтальной компонентой силы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения на расстоянии Векторы и координаты в пространстве с примерами решения будет:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Работа, совершаемая при перемещении груза на расстояние Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равна произведению длины вектора перемещения и значения компонента вектора силы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения направленной вдоль перемещения.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Работа является скалярной величиной, однако ее значение зависит от угла между силой, действующей на тело, и вектором перемещения.

Скалярное произведение двух векторов

Углом между любыми двумя ненулевыми векторами Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называется угол Векторы и координаты в пространстве с примерами решения между равными им векторами с общим началом. Ясно, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Скалярное произведение двух ненулевых векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равно произведению модулей этих векторов и косинуса угла между ними.

Скалярное произведение записывается как: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Значит, Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Свойство скалярного произведения

• Для любого вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения справедливо равенство Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то есть скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Переместительное свойство скалярного произведения.

Для любых векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решениясправедливо равенство Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Свойство группировки скалярного произведения. Для любых векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияи Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияи действительного числа Векторы и координаты в пространстве с примерами решения справедливо равенство

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Распределительное свойство скалярного произведения:

1) Для любых векторовВекторы и координаты в пространстве с примерами решения, Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и действительного числа Векторы и координаты в пространстве с примерами решения справедливо следующее равенство Векторы и координаты в пространстве с примерами решения 2) Для любых векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения справедливо равенство

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

В частном случае, для скалярного произведения орт векторов получим:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №34

По данным на рисунке найдите скалярное произведение векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №35

Упростите выражение Векторы и координаты в пространстве с примерами решения используя свойство скалярного произведения векторов.

Решение:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Скалярное произведение двух векторов на координатной плоскости можно найти при помощи координат.

Пусть даны векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения По определению скалярного произведения имеем

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Из Векторы и координаты в пространстве с примерами решения получаем Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

По теореме косинусов получаем Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения а это значит, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Таким образом, скалярное произведение двух векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равно сумме произведений соответствующих компонент.

Аналогичным образом, скалярное произведение двух векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в трехмерной, Декартовой системе координат находится как: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения.

Пример №36

Зная, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения найдите скалярное произведение Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Угол между двумя векторами

Угол между двумя ненулевыми векторами находится из соотношения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, здесь Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №37

Найдите косинус угла между векторами Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Вывод: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №38

При каком значении Векторы и координаты в пространстве с примерами решения вектораВекторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения взаимно перпендикулярны?

Решение: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения при Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеем Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Общее уравнение прямой

В системе координат на плоскости уравнение прямой имеет вид Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Это уравнение называется общим уравнением прямой. Вектор, перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором к данной прямой или нормалью. Покажем, что общее уравнение прямой с нормалью Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеет вид Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Пусть Векторы и координаты в пространстве с примерами решения заданная точка на прямой, а точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения произвольная точка на прямой, отличная от точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения а вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — нормаль к прямой.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Так как векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения перпендикулярны, то

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Если ввести обозначение Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то получим уравнение в виде Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Здесь Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Частные случаи:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения уравнение прямой, параллельной оси абсцисс

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения уравнение прямой, параллельной оси ординат

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения уравнение прямой, проходящей через начало координат

Пример №39

Запишите уравнение прямой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения проходящей через точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения нормаль к которой равна Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение: на координатной плоскости построим вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияи изобразим графическое решение задания, проведя через точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения прямую перпендикулярную нормали. Теперь запишем требуемое уравнение.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Способ 1.

Пусть точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения является точкой, расположенной на прямой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и отличной от точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Тогда вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения коллинеарен прямой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияТак как вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения перпендикулярны, то Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Тогда получим: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Таким образом, Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Способ 2.

Зная нормаль Векторы и координаты в пространстве с примерами решения уравнение Векторы и координаты в пространстве с примерами решения можно записать следующим образом: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Так как точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения должна находится на прямой, то Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и уравнение будет Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №40

Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение: угол между прямыми можно найти как угол между их нормалями.

Для угла Векторы и координаты в пространстве с примерами решения между нормальных векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеем: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Отсюда Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №41

Найдите расстояние от точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения до прямой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение: пусть точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения является основанием перпендикуляра, проведенного к прямой от точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Так как векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения коллинеарны, го существует такое число Векторы и координаты в пространстве с примерами решения что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения или Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Из равенства соответствующих компонент получим Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения должны удовлетворять уравнению Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Отсюда Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Тогда Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Уравнение плоскости

Исследование. Какому множеству точек соответствует одно и тоже уравнение, например Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в одномерной, двухмерной и трехмерной системах координат?

1. В одномерной системе координат, т.е. на числовой оси, уравнению Векторы и координаты в пространстве с примерами решения соответствует одна точка.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

2. В двухмерной системе координат уравнению Векторы и координаты в пространстве с примерами решения или Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияудовлетворяют все точки с координатами Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Множеством таких точек является прямая, параллельная оси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

3. В трехмерной системе координат уравнению Векторы и координаты в пространстве с примерами решения или Векторы и координаты в пространстве с примерами решения удовлетворяет множество точек Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Множеством таких точек является плоскость, параллельная плоскости Аналогично, уравнениям Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения соответствуют плоскости, параллельные плоскостям Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

4. В трехмерной системе координат представьте множество точек, удовлетворяющих уравнениям Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения 5. Сопоставьте координаты точек, данных на плоскости, с уравнениями Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Представьте плоскости.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Уравнение прямой в двухмерной системе координат имеет вид Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Например, уравнение Векторы и координаты в пространстве с примерами решения определяет прямую, проходящую через точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

В трехмерной системе координат мы можем написать это уравнение в виде: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Так как коэффициент Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равен нулю, то аппликата Векторы и координаты в пространстве с примерами решения может получать любые значения. Т. е. в трехмерной системе координат для любого Векторы и координаты в пространстве с примерами решения координаты точек Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения удовлетворяет уравнению Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Если отметить все такие точки в трехмерной системе координат, то получим плоскость, параллельную оси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения В общем, уравнение плоскости в трехмерной системе координат имеет вид Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Плоскость может быть определена различными способами.

  • тремя неколлинеарными точками
  • прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой
  • двумя пересекающимися прямыми
  • двумя параллельными прямыми
  • точкой и перпендикуляром в этой точке в заданном направлении

Используя последний способ, которым можно задать плоскость, покажем, что уравнение плоскости имеет вид Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Вектор, перпендикулярный к плоскости называется ее нормалью. Пусть, дана плоскость Векторы и координаты в пространстве с примерами решения точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения расположенная на этой плоскости и нормаль Векторы и координаты в пространстве с примерами решения к этой плоскости. Выберем на этой плоскости какую-либо другую точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и соединим точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой, лежащей в данной плоскости. Значит

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

А это значит, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Учитывая, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеем:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Обозначим Векторы и координаты в пространстве с примерами решения тогда уравнение плоскости будет иметь вид: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Внимание! Три коэффициента при переменных в уравнении плоскости являются компонентами нормали и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №42

Плоскость с нормалью Векторы и координаты в пространстве с примерами решения проходит через точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияЗапишите уравнение этой плоскости.

Решение: задание можно выполнить двумя способами.

1-ый способ. Возьмем произвольную точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения на плоскости и запишем компонентами вектор с началом в точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и концом в точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Вектор будет иметь вид Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Так как нормальный вектор имеет вид Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то Векторы и координаты в пространстве с примерами решения или справедливо следующее:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Отсюда

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Умножим обе части уравнения на Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Тогда уравнение данной плоскости будет иметь вид Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

2-ой способ. Известно, что уравнение плоскости имеет вид Векторы и координаты в пространстве с примерами решения а нормаль к плоскости имеет вид Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияЗначит, коэффициенты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения известны. Из вектора нормали Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияимеем: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Записав координаты точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения принадлежащей плоскости, в уравнение Векторы и координаты в пространстве с примерами решения найдем переменную Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и уравнение плоскости будет иметь вид: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения или Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №43

Дано уравнение плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

a) Определите, принадлежат ли точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения плоскости.

b) Определите координаты точки пересечения плоскости с осями Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

c) Запишите координаты какой-либо другой точки, принадлежащей данной плоскости.

Решение:

а) Проверка:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Принадлежит плоскости

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Принадлежит плоскости

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Не принадлежит плоскости

b) Координаты точек пересечения с осями Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

в точке пересечения с осью Векторы и координаты в пространстве с примерами решения координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равны нулю

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

в точке пересечения с осью Векторы и координаты в пространстве с примерами решения координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равны нулю

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

в точке пересечения с осью Векторы и координаты в пространстве с примерами решения координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равны нулю

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

c) Для определения координаты другой точки на заданной плоскости задайте любые значения двум переменным и найдите третью координату.

Например, при Векторы и координаты в пространстве с примерами решения значение Векторы и координаты в пространстве с примерами решения находят гак: Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияЗначит, точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения принадлежит данной плоскости.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример №44

Найдите расстояние от точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения до плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение: пусть точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения является основанием перпендикуляра, проведенного от точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Так как векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения коллинеарны, то существует такое число Векторы и координаты в пространстве с примерами решения что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения или Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Из равенства соответствующих компонент получим Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияВекторы и координаты в пространстве с примерами решения точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения удовлетворяют уравнению:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Отсюда Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Тогда Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Это говорит о том, что расстояние от заданной точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения до плоскости равно 3 единицам.

Взаимное расположение плоскостей

Плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияперпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны их нормали: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияпараллельны тогда и только тогда, когда параллельны их нормали: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №45

Определение параллельности или перпендикулярности плоскостей но уравнению.

a) плоскость Векторы и координаты в пространстве с примерами решения задана уравнением Векторы и координаты в пространстве с примерами решения а плоскость Векторы и координаты в пространстве с примерами решения задана уравнением Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Обоснуйте, что данные плоскости перпендикулярны.

b) плоскость Векторы и координаты в пространстве с примерами решения задана уравнением Векторы и координаты в пространстве с примерами решения а плоскость Векторы и координаты в пространстве с примерами решения задана уравнением Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Обоснуйте, что данные плоскости параллельны.

Решение: для того чтобы плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решениябыли перпендикулярны, скалярное произведение нормалей Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияи Векторы и координаты в пространстве с примерами решения плоскостей Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решениядолжно равняться нулю.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Значит, плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияперпендикулярны: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Нормали плоскостей Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияравны: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Если для данных плоскостей постоянная Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеет различное значение, то это значит, что плоскости не лежат друг на друге, т. е. они параллельны.

Уравнение сферы

Определение. Сферой называется множество всех точек, расположенных на расстоянии Векторы и координаты в пространстве с примерами решения от заданной точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияТочка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называется центром сферы, Векторы и координаты в пространстве с примерами решениярадиусом сферы.

Если точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — произвольная точка сферы, то по формуле расстояния между двумя точками имеем:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Это уравнение сферы с центром в точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и радиусом Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Если центр сферы находится в начале координат, то уравнение сферы радиуса Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеет вид:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Как видно из рисунка, пересечение этой сферы с координатной плоскостью Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияявляется ее большой окружностью.

Пример №46

Запишите уравнение сферы, радиус которой равен г а центр расположен в точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №47

Представьте фигуру, которая получается при пересечении сферы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения с плоскостью Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение: радиус сферы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Учитывая в уравнении сферы, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияполучим: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Пересечение плоскости z = 12 и данной сферы является окружность с центром в точке (0; 0; 12) и радиусом г = 5.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется плоскостью, касательной к сфере.

Например, плоскость Векторы и координаты в пространстве с примерами решения касается сферы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Плоскость, касательная к сфере, в точке касания перпендикулярна радиусу сферы.

Преобразования на плоскости и в пространстве

Ремесленники и художники создают узоры, заполняя некоторую площадь без пробела рисунком при помощи преобразований (параллельный перенос, поворот, отображение) или увеличения или уменьшения этого рисунка (гомотетия).

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Это знать интересно. Великий голландский художник Эшер, объединив такие разделы математики как симметрия, комбинаторика, стереометрия и топология, создал динамические рисунки, заполняя плоскости цветовыми оттенками. Не имея специального математического образования, Эшер создавал свои произведения, опираясь на интуицию и визуальные представления. Ряду работ, построенных на параллельном переносе, он дал название «Правильное движение плоскости».

https://en.wikipedia.org/wiki/M._C._Escher

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Если каждой точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения фигуры Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в пространстве, по определенному правилу, ставится в соответствие единственная точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то это называется преобразованием фигуры Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в пространстве. Преобразование, сохраняющее расстояние между точками, называется движением. Движение преобразовывает плоскость в плоскость, прямую в прямую, отрезок в отрезок, а угол — в конгруэнтный ему угол. Значит, движение преобразовывает фигуру в конгруэнтную себе фигуру. Известно, что в двухмерной системе координат за преобразование каждой точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения т. е. за параллельный перенос отвечает вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Аналогичным образом, в пространстве при параллельном переносе координаты каждой точки изменяются так: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Параллельный перенос является движением. Каждому параллельному переносу соответствует один вектор. Справедливо и обратное.

Пример №48

В какую точку переходит точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения при параллельном переносе на вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение: по определению при данном преобразовании, координаты точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения преобразуются в координаты точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияследующим образом: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Т. е. при этом параллельном переносе точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения преобразуется в точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Симметрия. В пространстве симметрии относительно точки и прямой дается такое же определение как и на плоскости. В пространстве также рассматривается симметрия относительно плоскости.

Для точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения пространства

Пример №49

Найдите точку, симметричную точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения относительно плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение: точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения симметричная точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения относительно плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения расположена на прямой, перпендикулярной как плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения так и плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Поэтому абсциссы и ординаты точек равны: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Координаты точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения можно найти из отношения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Таким образом, это точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Поворот. Поворотом фигуры в пространстве вокруг прямой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения на угол Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называется такое преобразование, при котором каждая плоскость, перпендикулярная прямой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения поворачивается в одном направлении на угол Векторы и координаты в пространстве с примерами решения вокруг точек пересечения прямой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения с плоскостью. Прямая Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называется осью симметрии, угол Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называется углом поворота.

Ниже на рисунках представлены примеры различных изображений поворота куба вокруг оси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения в направлении по часовой стрелке на угол 90°, 180°, 270°.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Гомотетия

Аналогичным образом в пространстве вводится понятие преобразования подобия. Если при преобразовании фигуры расстояние между двумя точками Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения изменяется в Векторы и координаты в пространстве с примерами решения раз, то такое преобразование называется преобразованием подобия. Здесь число к называется коэффициентом подобия.

Если для любой точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения фигуры Векторы и координаты в пространстве с примерами решения при преобразовании ее в точку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения выполняется равенство Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то это преобразование называется гомотетией с центром в точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и с коэффициентом Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Гомотетия — это преобразование подобия. В частном случае, при Векторы и координаты в пространстве с примерами решения получаем центральную симметрию относительно Векторы и координаты в пространстве с примерами решения при Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — тождественное преобразование.

Пример №50

Пусть дана сфера с центром в точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и радиусом 2. Запишите уравнение сферы, полученной гомотетией с центром в начале координат и коэффициентом Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение: позиционный вектор, соответствующий точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равен Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияПусть позиционный вектор, соответствующий точке Векторы и координаты в пространстве с примерами решения будет Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияТогда, по определению, Векторы и координаты в пространстве с примерами решения или Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Тогда Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Т. е. центром данной сферы будет точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Зная, что радиус сферы равен Векторы и координаты в пространстве с примерами решения получим уравнение сферы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Предел

Это интересно!

Предел (лимит) от латинского слова «limes», что означает цель.

Понятие предела независимо друг от друга было введено английским математиком Исааком Ньютоном (1642-1727) и немецким математиком Готфридом Лейбницом (1646-1716). Однако ни Ни Ныотон, ни Лейбниц не смогли полностью объяснить вводимые ими понятия. Точное определение предела было дано французским математиком Коши. А работы немецкого ученого » Вейерштрасса наконец завершили создание этой серьезной теории.

Координаты и векторы в пространстве

В этом параграфе вы ознакомитесь с прямоугольной системой координат в пространстве, научитесь находить координаты точек в пространстве, длину отрезка и координаты его середины. Вы обобщите и расширите свои знания о векторах.

Декартовы координаты точки в пространстве

В предыдущих классах вы ознакомились с прямоугольной (декартовой) системой координат на плоскости — это две перпендикулярные координатные прямые с общим началом отсчета (рис. 38.1).

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Систему координат можно ввести и в пространстве. Прямоугольной (декартовой) системой координат в пространстве называют три попарно перпендикулярные координатные прямые с общим началом отсчета (рис. 38.2). Точку, в которой пересекаются три координатные прямые, обозначают буквой О. Ее называют началом координат. Координатные прямые обозначают буквами Векторы и координаты в пространстве с примерами решения их соответственно называют осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Плоскости, проходящие через пары координатных прямых Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называют координатными плоскостями, их соответственно обозначают Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 38.3).

Пространство, в котором задана система координат, называют координатным пространством. Если оси координат обозначены буквами Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то координатное пространство обозначают Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Из курса планиметрии вы знаете, что каждой точке М координатной плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения ставится в соответствие упорядоченная пара чисел Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, которые называют координатами точки М. Записыва­ ют:Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Аналогично каждой точке М координатного пространства ставится в соответствие упорядоченная тройка чисел Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, определяемая следующим образом. Проведем через точку М три плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения перпендикулярно осям Векторы и координаты в пространстве с примерами решения соответственно. Точки пересечения этих плоскостей с координатными осями обозначим Векторы и координаты в пространстве с примерами решения(рис. 38.4). Координату точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения на оси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называют абсциссой точки М и обозначают буквой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Координату точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения на оси у называют ординатой точки М и обозначают буквой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Координату точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, на оси Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называют аппликатой точки М и обозначают буквой Векторы и координаты в пространстве с примерами решения.

Полученную упорядоченную тройку чисел Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называют координатами точки М в пространстве. Записывают: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Если точка М имеет координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, то числа Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияВекторы и координаты в пространстве с примерами решения равны расстояниям от точки М до координатных плоскостей Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Используя этот факт, можно доказать, что, например точки с координатами Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения лежат на прямой, перпендикулярной плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и равноудалены от этой плоскости (рис. 38.5). В этом случае говорят, что точки М и N симметричны относительно плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Если точка принадлежит координатной плоскости или координатной оси, то некоторые ее координаты равны нулю. Например, точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения принадлежит координатной плоскости Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, а точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — оси аппликат. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 38.1. Расстояние между двумя точками Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения можно найти по формуле

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Теорема 38.2. Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов, то есть серединой отрезка с концами в точках Векторы и координаты в пространстве с примерами решения является точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Доказательства теорем 38.1 и 38.2 аналогичны тому, как были доказаны соответствующие теоремы в курсе планиметрии. Например, серединой отрезка с концами в точках Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения является начало координат — точка Векторы и координаты в пространстве с примерами решения.

В таком случае говорят, что точки А и В симметричны относительно начала координат.

Векторы в пространстве

В курсе планиметрии вы изучали векторы на плоскости. Теперь вы начинаете изучать векторы в пространстве. Многие понятия и свойства, связанные с векторами на плоскости, можно почти дословно отнести к векторам в пространстве. Доказательства такого рода утверждений о векторах в пространстве аналогичны доказательствам соответствующих утверждений о векторах на плоскости.

Рассмотрим отрезок АВ. Если мы договоримся точку А считать началом отрезка, а точку В — его концом, то такой отрезок будет характеризоваться не только длиной, но и направлением от точки А до точки В. Если указано, какая точка является началом отрезка, а какая точка — его концом, то такой отрезок называют направленным отрезком или вектором.

Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначают так: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (читают: «вектор АВ»). Для обозначения векторов также используют строчные буквы латинского алфавита со стрелкой сверху. На рисунке 39.1 изображены векторыВекторы и координаты в пространстве с примерами решения

В отличие от отрезка, концы которого — различные точки, у вектора начало и конец могут совпадать.

Договорились называть вектор, начало и конец которого — одна и та же точка, нулевым вектором или нуль-вектором и обозначать Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Модулем вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называют длину отрезка АВ. Обозначают: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Модуль вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения обозначают так: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Считают, что модуль нулевого вектора равен нулю. Записывают: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Определение. Два ненулевых вектора называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

На рисунке 39.2 изображена четырехугольная призма Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияявляются коллинеарными.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Записывают: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Ненулевые коллинеарные векторы бывают сонаправленными и противоположно направленными. Например, на рисунке 39.2 векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, сонаправлены. Записывают: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения . Векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияпротивоположно направлены. Записывают: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения.

Определение. Два ненулевых вектора называют равны ми, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны. На рисунке 39.2 Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Часто, говоря о векторах, мы не конкретизируем, какая точка является началом вектора. Так, на рисунке 39.3, Векторы и координаты в пространстве с примерами решения изображен вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. На рисунке 39.3, Векторы и координаты в пространстве с примерами решения изображены векторы, равные вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Каждый из них также принято называть вектором Векторы и координаты в пространстве с примерами решения.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

На рисунке 39.3, Векторы и координаты в пространстве с примерами решения изображены вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и точка А. Построим вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, равный вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. В таком случае говорят, что вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения отложен от точки А (рис. 39.3, Векторы и координаты в пространстве с примерами решения).

Рассмотрим в координатном пространстве вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. От начала координат отложим вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, равный вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 39.4). Координатами вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называют координаты точки А . Запись Векторы и координаты в пространстве с примерами решения означает, что вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеет координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты, и наоборот, если соответствующие координаты век­торов равны, то равны и сами векторы.

Теорем а 39.1. Если точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — соответственно начало и конец вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, то числа Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияи Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равны соответственно первой, второй и третьей ко­ординатам вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Из формулы расстояния между двумя точками следует, что если вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеет координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, то

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Сложение и вычитание векторов

Пусть в пространстве даны векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Отложим от произвольной точки А пространства вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, равный вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения.

Далее от точки В отложим вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, равный вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Век тор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называют суммой векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 40.1) и записывают: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Описанный алгоритм сложения двух векторов называют правилом треугольника.

Можно показать, что сумма Векторы и координаты в пространстве с примерами решения не зависит от выбора точки А. Заметим, что для любых трех точек А, В и С выполняется равенство Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Оно выражает правило треугольника.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Свойства сложения векторов аналогичны свойствам сложения чисел. Для любых векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения выполняются равенства:

Сумму трех и большего количества векторов находят так: вначале складывают первый и второй векторы, потом к полученной сум­ме прибавляют третий вектор и т. д. Например, Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Для тетраэдра DABC, изображенного на рисунке 40.2, можно записать: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Для сложения двух неколлинеарных векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения удобно пользоваться правилом параллелограмма.

Отложим от произвольной точки А вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, равный векто­ру Векторы и координаты в пространстве с примерами решения , и вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, равный вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 40.3). Построим параллелограмм ABCD. Тогда искомая сумма Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равна вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения.

Рассмотрим векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, не лежащие в одной плоскости (рис. 40.4). Найдем сумму этих векторов.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были его ребрами (рис. 40.5). Отрезок OD является диагональю этого параллелепипеда. Докажем, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Так как четырехугольник Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — параллелограмм, то Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Имеем: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Поскольку четырехугольник Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — параллелограмм, то Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Описанный способ сложения трех векторов, отложенных от одной точки и не лежащих в одной плоскости, называют правилом параллелепипеда.

Определение. Разностью векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называют такой вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения , сумма которого с вектором Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равна вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения .

Записывают: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения.

Покажем, как построить вектор, равный разности векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияи Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. От произвольной точки О отложим векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, соответственно равные векторам Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 40.6). Тогда Векторы и координаты в пространстве с примерами решения По определению разности двух векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, то есть Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияВекторы и координаты в пространстве с примерами решения, следовательно, вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равен разности векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения.

Отметим, что для любых трех точек О, А и В выполняется равенство Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Оно выражает правило нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки.

Теорема 40.1. Если координаты векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равны соответственно Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, то координаты вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияравны Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, а координаты вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияравны Векторы и координаты в пространстве с примерами решения.

Умножение вектора на число

Определение. Произведением ненулевого вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и чис ла Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, отличного от нуля, называют такой вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, что:

1)Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

2) если Векторы и координаты в пространстве с примерами решения если Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Записывают: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Если Векторы и координаты в пространстве с примерами решения или Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, то считают, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения На рисунке 41.1 изображен параллелепипед Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Имеем: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Из определения следует, что

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Теорема 41.1. Для любых векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения выполняется равенство Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Эта теорема позволяет свести вычитание векторов к сложению: чтобы из вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения вычесть вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, можно к вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения прибавить векторВекторы и координаты в пространстве с примерами решения. Произведение Векторы и координаты в пространстве с примерами решения обозначают Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и называют вектором, противоположным вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Например, записывают:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Из определения умножения вектора на число следует, что еслиВекторы и координаты в пространстве с примерами решения, то векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения коллинеарны. Следовательно, из равенства Векторы и координаты в пространстве с примерами решения получаем, что точки О, А и В лежат на одной прямой.

Теорема 41.2. Если векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения коллинеарны и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то существует такое число Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Теорема 41.3. Если координаты вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равны Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, то координаты вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равны Векторы и координаты в пространстве с примерами решения.

Умножение вектора на число обладает следующими свойствами.

Для любых чисел Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и для любых векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения выполня­ются равенства:

Эти свойства позволяют преобразовывать выражения, содержа­щие сумму векторов, их разность и произведение вектора на число, аналогично тому, как мы преобразовываем алгебраические выражения. Например, Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Скалярное произведение векторов

Пусть Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — два ненулевых и несонаправленных вектора. От произвольной точки О отложим векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равные соответственно векторам Векторы и координаты в пространстве с примерами решения (рис. 42.1). Величину угла АОВ будем называть углом между векторами Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Угол между векторами Векторы и координаты в пространстве с примерами решения обозначают так: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Очевидно, что если Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, то Векторы и координаты в пространстве с примерами решения = 180° (рис. 42.2).

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Если Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, то считают, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Если хотя бы один из векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения или Векторы и координаты в пространстве с примерами решения нулевой, то также считают, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения.

Векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Записывают: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

На рисунке 42.3 изображена треугольная призма, основанием которой является правильный треугольник, а боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Имеем:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Определение. Скалярным произведением двух векто­ров называют произведение их модулей и косинуса угла между ними.

Скалярное произведение векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения обозначают так: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Имеем: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Если хотя бы один из векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения нулевой, то очевидно, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Скалярное произведение Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называют скалярным квадратом вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияи обозначают Векторы и координаты в пространстве с примерами решения .

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то есть Векторы и координаты в пространстве с примерами решения .

Теорема 42.1. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Например, для векторов, изображенных на рисунке 42.3, имеем: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Теорема 42.2. Скалярное произведение векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияи Векторы и координаты в пространстве с примерами решения можно вычислить по формуле

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Теорема 42.3. Косинус угла между ненулевыми векторами Векторы и координаты в пространстве с примерами решения можно вычислить по формуле

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Некоторые свойства скалярного произведения векторов аналогичны соответствующим свойствам произведения чисел. Например, для любых векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и любого числа Векторы и координаты в пространстве с примерами решения справедливы равенства:

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Эти свойства вместе со свойствами сложения векторов и умножения вектора на число позволяют преобразовывать выражения, содержащие скалярное произведение векторов, по правилам преобразования алгебраических выражений. Например,

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Пример №51

Основанием призмы является равнобедренный треугольник АВС (АВ =АС). Боковое ребро Векторы и координаты в пространстве с примерами решения образует равные углы с ребрами АВ и АС (рис. 42.4). Докажите, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения.

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Решение:

Пусть Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. С учетом условия можно записать: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Найдем скалярное произведение векто­ров Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Имеем: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Запишем: Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Поскольку Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, то рассматриваемое скалярное произ­ведение равно 0. Следовательно, Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Напомню:

Расстояние между точками

Расстояние между двумя точками Векторы и координаты в пространстве с примерами решения можно найти по формуле Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Координаты середины отрезка

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Взаимное расположение двух векторов

Два ненулевых вектора называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

Равенство векторов

Два ненулевых вектора называют равными, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны.

Координаты вектора

Если точки Векторы и координаты в пространстве с примерами решения — соответственно начало и конец вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, то числа Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равны соответственно первой, второй и третьей координатам вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Модуль вектора

Если вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения имеет координаты Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Действия над векторами

Для любых трех точек А , В и С выполняется равенство Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Разностью векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения называют такой вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, сумма которого с вектором Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равна вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения .

Для любых трех точек О, А и В выполняется равенство Векторы и координаты в пространстве с примерами решения. Произведением ненулевого вектора Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и числа Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, отличного от нуля, называют такой вектор Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, что: 1) Векторы и координаты в пространстве с примерами решения 2) если Векторы и координаты в пространстве с примерами решенияесли Векторы и координаты в пространстве с примерами решения

Если векторы Векторы и координаты в пространстве с примерами решения коллинеарны и Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, то существует такое число Векторы и координаты в пространстве с примерами решения, что Векторы и координаты в пространстве с примерами решения Произведение Векторы и координаты в пространстве с примерами решения обозначают Векторы и координаты в пространстве с примерами решения и называют вектором, противоположным вектору Векторы и координаты в пространстве с примерами решения.

Скалярным произведением двух векторов называют произведе­ние их модулей и косинуса угла между ними. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Если координаты векторов Векторы и координаты в пространстве с примерами решения равны соответственно Векторы и координаты в пространстве с примерами решения то:

  • Множества
  • Рациональные уравнения
  • Рациональные неравенства и их системы
  • Геометрические задачи и методы их решения
  • Предел и непрерывность числовой функции одной переменной
  • Функции, их свойства и графики
  • Параллельность в пространстве
  • Перпендикулярность в пространстве

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.


Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

Разность векторов:

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1.  В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2.  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и :

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

.

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

;

.

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

.

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Упростим систему:

.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» :-)

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA1 = √3

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

  

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Векторы в пространстве и метод координат» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти на сколько посадили человека
  • Как составить договор купли продажи на частный дом
  • Как найти периметр квадрата зная диагонали
  • Ноутбук просит заменить батарею как исправить
  • Как составить гальванический элемент по двум электродам