Как найти прямоугольный треугольник в прямоугольнике - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Треугольник вписан в прямоугольник

Если треугольник произвольно вписывать в прямоугольник, то задача окажется слишком многовариантной. Поэтому я решил принять важное ограничение: допустим вершина треугольника А является также и вершиной описанного прямоугольника. В этом случае прямоугольников хоть и бесконечно много, но среди них есть как самый большой по площади, так и самый малый. Какие же они, эти площади, если известны стороны треугольника «a», «b», «c» ?

Довольно несложное дифференциальное исчисление позволило определить нужные углы поворота «t». Это дало возможность при помощи теоремы косинусов найти и экстремальные площади прямоугольников. Формулы, показанные на рисунке, в который раз меня очаровали!

Как и очаровал снег после очень тёплой недели. Когда температура достигала +18 градусов. Утром смотрю в окошко — все деревья в красочном инее!

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

источники:

Прямоугольный треугольник

http://vsvoemdome.ru/obrazovanie/kak-nayti-ploschad-treugolnika

Источник

31
Июл 2013

Категория: Справочные материалы

Прямоугольный треугольник

2013-07-31
2019-09-30

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по гипотенузе и острому углу).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

$S=frac{1}{2}ab$

$h=frac{ab}{c}$

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

$R=frac{c}{2}$

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

$r=frac{a+b-c}{2}$

cvb

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

И, думаю, будет полезна таблица формул для треугольника

Автор: egeMax |

комментария 3

Печать страницы

Источник

Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).

Прямоугольный треугольник (понятие, определение)

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Свойства прямоугольного треугольника

Формулы прямоугольного треугольника

Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник (понятие, определение):

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Гипотенуза (с греч. ὑποτείνουσα – «натянутая») – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу.

Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами. Катет (с греч. κάθετος – «перпендикуляр, опущенный, отвесный») – одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол.

Для непрямоугольного треугольника гипотенуза и катеты не существуют.

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

АВ, АС – катеты прямоугольного треугольника, ВС – гипотенуза прямоугольного треугольника, ∠ ВАС = 90°

Равнобедренный треугольник может быть прямоугольным (равнобедренным прямоугольным треугольником).

Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый острый угол равен 45°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Признаки равенства прямоугольных треугольников основаны и вытекают из общих признаков равенства треугольников.

1. Равенство по двум катетам.

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 2. Равенство прямоугольных треугольников по двум катетам

АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁

2. Равенство по катету и прилежащему острому углу.

Рис. 3. Равенство прямоугольных треугольников по катету и прилежащему углу

АВ = А₁В₁, ∠АВС = ∠А₁В₁С₁

3. Равенство по гипотенузе и острому углу.

Рис. 4. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

ВС = В₁С₁, ∠АВС = ∠А₁В₁С₁

4. Равенство по гипотенузе и катету.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 5. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

ВС = В₁С₁, АС = А₁С₁

5. Равенство по катету и противолежащему острому углу.

Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 6. Равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу

АС = А₁С₁, ∠АВС = ∠А₁В₁С₁

Свойства прямоугольного треугольника:

1. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°.

2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.

И наоборот, если в прямоугольном треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Рис. 7. Прямоугольный треугольник с острым углом 30˚

b = c / 2

3. Теорема Пифагора:

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

c² = a² + b² ,

где a, b – катеты, c – гипотенуза.

Рис. 8. Прямоугольный треугольник

4. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

И соответственно радиус описанной окружности (R) равен половине гипотенузы.

где c – гипотенуза.

Рис. 9. Прямоугольный треугольник и описанная окружность

5. В прямоугольном треугольнике медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Рис. 10. Прямоугольный треугольник и медиана, падающая на гипотенузу

АМ – медиана прямоугольного треугольника, падающая на гипотенузу, АМ = ВМ = МС, АМ = ВС/2

6. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника подобные исходному.

Рис. 11. Прямоугольный треугольник и высота, проведенная из вершины прямого угла

АВ/ВС = АН/АС = ВН/АВ

Формулы прямоугольного треугольника:

Пусть a и b – длины катетов прямоугольного треугольника, с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника, h – высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе (АН), R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 9, 11, 12).

Формулы сторон прямоугольного треугольника (a, b, c) по теореме Пифагора:

c² = a² + b² ,

a² = c² – b² ,

b² = c² – a² .

Формула радиуса вписанной окружности (r):

Рис. 12. Прямоугольный треугольник и вписанная окружность

Формула радиуса описанной окружности (R):

Формулы площади (S) прямоугольного треугольника:

Формулы высоты (h)прямоугольного треугольника:

Квадрат

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Ромб

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Коэффициент востребованности
31 269

Источник

0 / 0 / 0

Регистрация: 30.03.2016

Сообщений: 10

Треугольник вписанный в прямоугольник

30.03.2016, 17:53. Показов 13488. Ответов 38

Прямоугольный треугольник вписан в прямоугольник и имеет общую вершину с прямоугольником. Известны стороны прямоугольника и одна сторона треугольника. Необходимо найти другие стороны треугольника, в частности сторону x? Два дня бьюсь с решением, казалось бы простой задачи.)))

Миниатюры

Programming

Эксперт

94731 / 64177 / 26122

Регистрация: 12.04.2006

Сообщений: 116,782

30.03.2016, 17:53

Ответы с готовыми решениями:

Прямоугольник, вписанный в прямоугольник
Всем привет!

Пытаюсь сделать анимацию на js (2 горизонтальных прямоугольника поворачиваются,…

Вписанный треугольник и четырехугольная пирамида
Помогите, пожалуйста
Треугольник ABC вписан в окружность с центром O . Найдите угол BOC , если…

Есть вписанный в прямоугольник эллипс (в 2D), как найти точки его фокуса?
Привет! Ну собственно сабж. Есть прямоугольник, есть координаты всех его вершин, как найти…

Построить треугольник вписанный в круг с помощью циркуля и линейки

Дано круг и точки D,E,F на нём, которые являются серединами дуг, стягиваемых сторонами…

8748 / 6338 / 3408

Регистрация: 14.01.2014

Сообщений: 14,567

30.03.2016, 22:20

Положим у=ЕС, тогда из подобия треугольников АВЕ и ECJ сразу получаем уравнение: . Дальше выражаем у через х из прямоугольного треугольника АВЕ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2=h^2+{(l-y)}^2$ . А вот дальше начинаются алгебраические трудности — для х получается уравнение 4 степени: . Откуда задача?

0 / 0 / 0

Регистрация: 30.03.2016

Сообщений: 10

31.03.2016, 04:45

[ТС]

Да, вот и я с этими алгеброическими трудностями пока справиться не смог. А казалось задачка простая.
А задача возникла из практической необходимости записать формулу расчета длины планки при автоматическом проектировании конструкции в SolidWorks.

8748 / 6338 / 3408

Регистрация: 14.01.2014

Сообщений: 14,567

31.03.2016, 09:30

Понятно, если это практическая, а не школьная задача, то можно просто решить это уравнение численными методами с помощью любого математического пакета Mathcad, Matlab…

1471 / 826 / 140

Регистрация: 12.10.2013

Сообщений: 5,456

31.03.2016, 20:16

Луч из A в направлении стороны BC отражаем от BC как луч света от зеркала падает на сторону CD. Подбираем угол при А чтобы угол треугольника при E был 90. Численное решение пересечение луча и отрезка школьная задачка =). И никаких 4 степеней.

8748 / 6338 / 3408

Регистрация: 14.01.2014

Сообщений: 14,567

31.03.2016, 20:37

Сообщение от Excalibur921

Численное решение пересечение луча и отрезка школьная задачка =). И никаких 4 степеней.

Возможно, Вы не в курсе, что задачи, которые сводятся к алгебраическим моделям с уравнениями третьей и выше степеней не решаются школьными построениями с помощью циркуля и линейки (типичный пример — трисекция угла приводит к уравнению третьей степени). В Вашем случае это

Сообщение от Excalibur921

Подбираем угол при А чтобы угол треугольника при E был 90

не может реализовано школьными построениями.

1471 / 826 / 140

Регистрация: 12.10.2013

Сообщений: 5,456

31.03.2016, 20:58

Или еще проще, находим J как для прямоугольного треугольника.
https://ru.wikipedia.org/wiki/… угольников
Подбираем xE и зная например 3 стороны AEJ находим угол при E.

Добавлено через 4 минуты

Сообщение от mathidiot

не может реализовано школьными построениями.

Что такое школьные построения? Я таких терминов не встречал. Численное решение на основе элементарной тригонометрии.

8748 / 6338 / 3408

Регистрация: 14.01.2014

Сообщений: 14,567

31.03.2016, 21:27

Сообщение от Excalibur921

Что такое школьные построения? Я таких терминов не встречал. Численное решение на основе элементарной тригонометрии

А я не встречал численные решения в школе на основе элементарной тригонометрии!
Я имел в виду геометрические задачи на построение, которые обычно предполагают использование циркуля и линейки, а также другие специфические методы (операции симметрии, перегибание бумаги и др.)
Предлагаю Вам показать собственный вариант решения этой задачи.

1471 / 826 / 140

Регистрация: 12.10.2013

Сообщений: 5,456

31.03.2016, 21:57

Сообщение от mathidiot

собственный вариант решения этой задачи.

Делать за ТС? Нее.. Уже привел 2 алгоритма. Проще наверно небывает. Но сейчас придет Игорь и раскидает векторами еще проще?)).

Сообщение от mathidiot

А я не встречал численные решения в школе на основе элементарной тригонометрии!

Значит простой цикл для дихотомии и пару условий на решении треугольников +мелочь из азов тригонометрии за 8 класс это не школьный уровень в 2016 году? Понятно =).

8748 / 6338 / 3408

Регистрация: 14.01.2014

Сообщений: 14,567

31.03.2016, 23:42

Сообщение от Excalibur921

Простые циклы с дихотомией в школьном курсе геометрии не изучаются. Да и в курсе информатике они изучаются только на элективном уровне (по выбору). Я не сразу понял, что Вы предлагаете именно численный метод решения задачи. В таком случае одна строчка в Mathcad с вызовом функции root для уравнения 4 степени явно быстрее, чем циклы с дихотомией!

0 / 0 / 0

Регистрация: 30.03.2016

Сообщений: 10

01.04.2016, 01:57

[ТС]

При помощи внешней програмы решить-то можно, но вот подключить внешнюю программу к CAD-овской программе твердотельного моделирования, чтоб расчеты делались автоматически, сложновато даже для программиста.))) Поэтому здесь подойдет только формула полученная из решения этого алгебраического уравнения.))) В качестве временной приближенной формулы определения стороны x заложил в конструктивные расчеты разницу между длиной диагонали АС и максимально возможной высотой треугольника ECJ при заданной длине f (когда этот треугольник становится равносторонним). Хотелось бы конечно получить точное значение.

1743 / 663 / 87

Регистрация: 01.10.2012

Сообщений: 3,280

01.04.2016, 08:16

По Пифагору расписал тр-ки ABE, AJD и AEJ через неизвестные x, EC и CJ. Если сложить ур-я, то получается соотношение

I * EC = h * CJ

Если я нигде не ошибся (не уверен), то дальше как по маслу: находим ЕC и CJ из тр-ка ЕCJ и.т.д

8748 / 6338 / 3408

Регистрация: 14.01.2014

Сообщений: 14,567

01.04.2016, 08:47

Сообщение от Igor3D

Если я нигде не ошибся (не уверен)

Увы, ошиблись.

1743 / 663 / 87

Регистрация: 01.10.2012

Сообщений: 3,280

01.04.2016, 10:35

Сообщение от mathidiot

Увы, ошиблись.

Давайте проверять

h^2 + (I — EC)^2 = x^2 // тр-к ABE
I^2 + (h — CJ)^2 = x^2 + f^2 // тр-к AJD
EC^2 + CJ^2 = f^2 // тр-к ECJ

Из второго ур-я вычтем первое — Ваша очередь

8748 / 6338 / 3408

Регистрация: 14.01.2014

Сообщений: 14,567

01.04.2016, 11:11

Сообщение от Igor3D

Из второго ур-я вычтем первое — Ваша очередь

Искать чужие ошибки — дело неблагодарное. Я предлагаю просто проверить прямо на чертеже:

Миниатюры

1743 / 663 / 87

Регистрация: 01.10.2012

Сообщений: 3,280

01.04.2016, 11:32

Да, действительно — вылазит 4-я степень при любых манипуляциях с ур-ями. Насколько помню ур-е 4 степени — последнее решаемое аналитически, но там такааая возня…

1471 / 826 / 140

Регистрация: 12.10.2013

Сообщений: 5,456

01.04.2016, 15:49

Значит решения такие:
1)Считать в математич. программе когда нужно и вручную вводить данные.
2)Неизвестной сложности как подключить мат. программу к солидворксу. Скорей всего самый правильный подход, вдруг у вас будет еще задачка? Профи не пилят велосипеды под каждую задачку.
3)Своя программа внутри солида…а такое есть там?).
https://ru.wikibooks.org/wiki/Метод_дихотомии

Добавлено через 2 часа 51 минуту
Кстати в Inventor2008 есть связь с таблицей экселя для параметрических деталей, подобное должно быть в солид. А в экселе должна быть связь с мат пакетами или наоборот. Хотя и в эксель есть простой решатель, Подбор параметра. Но странный, интервалы не просит, локализует 1 корень…видимо минимум настроек для офисных работников.
http://excel2.ru/articles/podb… v-ms-excel
И в эксель можно сделатьпоискать на VBS программу расчета дихотомией с вводом интервала.

Igor3D

1743 / 663 / 87

Регистрация: 01.10.2012

Сообщений: 3,280

02.04.2016, 09:56

Сообщение от Excalibur921

Скорей всего самый правильный подход, вдруг у вас будет еще задачка? Профи не пилят велосипеды под каждую задачку.

Пилят Чтобы задействовать «технологии» нужная изрядная общность (однотипность) решаемых задач, а ее часто нет. Решить численно здесь нетрудно. Из уравнений выше вытекает

EC * (I — EC) / h = CJ

Тогда

Кликните здесь для просмотра всего текста

C++

float GetX( float h, float I, float f )
{
 float minEC = 0, maxEC = I;
 float precision = 1.0e-4f;
 while (maxEC - minEC > precision) {
  float ec = (minEC + maxEC) / 2;
  float cj = ec * (I - ec) / h;
  float realF = cj * cj + ec * ec;
  if (realF < f * f) minEC = ec;
  else maxEC = ec;
 }
 
 float ec = (minEC + maxEC) / 2; 
 return sqrt(h * h + (I - ec) * (I - ec)); 
}

Шлепнуть десяток строчек часто (пусть и не всегда) куда легче чем разбираться в монструозных пакетах Ну или можно задействовать решатель «quadric» (ур-я 4-й степени) в open-sources, один раз так делал

Понимаю что здесь ожидается «школьное» (якобы) решение, но в жизни бывает и по-другому

1471 / 826 / 140

Регистрация: 12.10.2013

Сообщений: 5,456

02.04.2016, 12:45

Сообщение от Igor3D

Шлепнуть десяток строчек часто (пусть и не всегда) куда легче чем разбираться в монструозных пакетах

Но ведь делают выход на таблицы экселя и т.д.. не все же программисты.
Думал сейчас покажу как в эксель в 4 строчки решить без кода =)).
Ваша формула находит 1.518 что близко к ответу 1.52 может это допустимо но очень многовато как то не знаю почему, точность увеличивал в настройках 0.00001. Магия.

Сообщение от mathidiot

Я предлагаю просто проверить прямо на чертеже:

А вот ваш расчет вообще не получился у меня наверно где то ошибка у меня…Два раза уравнение не равно 0.
h=5.01
l=10
f=2.99
a0=9.85
EC=1.52
((a0^4-a0^2*(h^2+l*2))+2*a0*l*h*f)-h^2*f^2 =7764.28
И проверка
l*EC=15.2
h*CJ=12.88
Может это означает:
((AE^4-AE^2*(AB^2+AD^2))+2*AE*AD*AB*EJ)-AB^2*EJ^2=0
А находит это уравнение =2.48… магия. Все данные с рисунка.
Но зачем такая сложная формула если первый расчет работает…может кривой эксель?

1471 / 826 / 140

Регистрация: 12.10.2013

Сообщений: 5,456

02.04.2016, 13:04

Глянул тут http://math.semestr.ru/optim/newton.php
(x*(10-x)/5.01)-2.57 разными методами, опять 1.518 почему так грубо находит разными методами я не понимаю…
Добавил точности много ноликов =).
Ответ:x = 1.5181; F(x) = 8.8E-5
Количество итераций, N = 100 Магия…

Источник

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

$sin⁡B={AC}/{AB};$

$cos⁡B={BC}/{AB};$

$tgB={AC}/{BC};$

$ctgB={BC}/{AC}.$

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$sin BOA=sin BOC;$

$cos BOA=-cos BOC;$

$tg BOA=-tg BOC;$

$ctg BOA=-ctg BOC.$

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	${1}/{2}$	${√2}/{2}$	${√3}/{2}$
$cosα$	${√3}/{2}$	${√2}/{2}$	${1}/{2}$
$tgα$	${√3}/{3}$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	${√3}/{3}$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

$S={AC∙BC}/{2}$

Пример:

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√{91}$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Решение:

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

$cosABD=-cosABC$

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

$cosABC={ВС}/{АВ}$

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

$ВС=√{10^2-√{91}^2}=√{100-91}=√9=3$

Подставим найденное значение в формулу косинуса

$cos ABC = {3}/{10}=0,3$

$cos ABD = — 0,3$

Ответ: $-0,3$

Пример:

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A={4}/{5}, AC=9$. Найдите $АВ$.

Решение:

Распишем синус угла $А$ по определению:

$sin⁡A={ВС}/{АВ}={4}/{5}$

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

$9^2+(4х)^2=(5х)^2$

$81+16х^2=25х^2$

$81=25х^2-16х^2$

$81=9х^2$

$9=х^2$

$х=3$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

Ответ: $15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

$CD^2=DB∙AD$

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

$CB^2=AB∙DB$

$AC^2=AB∙AD$

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

$AC∙CB=AB∙CD$

Источник