Как найти прямую параллельную прямой онлайн

Уравнение параллельной прямой

Альтернативная формула:
Прямая, проходящая через точку M₁(x₁; y₁) и параллельная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением

назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения параллельной прямой (см. также как составить уравнение перпендикулярной прямой).

Пример №2 . Написать уравнение прямой, параллельной прямой 2x + 5y = 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5.
Решение. Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой 2x + 5y + C = 0. Площадь прямоугольного треугольника , где a и b его катеты. Найдем точки пересечения искомой прямой с осями координат:
;
.
Итак, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Подставим в формулу для площади: . Получаем два решения: 2x + 5y + 10 = 0 и 2x + 5y – 10 = 0 .

Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2; 5) и параллельной прямой 5x-7y-4=0 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 5 /₇x – 4 /₇ (здесь a = 5 /₇). Уравнение искомой прямой есть y – 5 = 5 / 7(x – (-2)), т.е. 7(y-5)=5(x+2) или 5x-7y+45=0 .

Пример №4 . Решив пример 3 (A=5, B=-7) по формуле (2), найдем 5(x+2)-7(y-5)=0.

Пример №5 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2;5) и параллельной прямой 7x+10=0.
Решение. Здесь A=7, B=0. Формула (2) дает 7(x+2)=0, т.е. x+2=0. Формула (1) неприменима, так как данное уравнение нельзя разрешить относительно y (данная прямая параллельна оси ординат).

Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами
и
то для того, чтобы

прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы
b_2″ />

перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы

Но это все можно, я думаю, посчитать в уме.

Зато если прямые заданы общими уравнениями
и
то для того, чтобы

прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы
frac» />

перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы

Посчитать в уме тоже можно, конечно. Но можно и сделать калькулятор — вводим коэффициенты, получаем результат!

Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно другой прямой онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через прямую L₁ параллельно другой прямой L₂ (прямые L₁ и L₂ не параллельны). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямых (канонический или параметрический) введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно другой прямой − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂, которые не параллельны:

.

(1)

.

(2)

Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через прямую L₁ параллельно прямой L₂(Рис.1).

Прамая L₁ должна лежать на искомой плоскости α, следовательно точка M₁ должна нежать на плоскости α.

Уравнение плоскости можно записать формулой

и поскольку M₁(x₁, y₁, z₁) принадлежит этой плоскости, то справедливо следующее равенство:

Для того, чтобы плоскость α проходила через прямую L₁, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q₁ прямой L₁, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Для того, чтобы плоскость α была параллельна прямой L₂, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q₂ прямой L₂, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (4)−(6). Представим систему линейных уравнений (4)−(6) в матричном виде:

(7)

Решив однородную систему линейных уравнений (7) найдем частное решение. (как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн). Подставляя полученные коэффициенты A, B, C и D в уравнение (3), получим уравнение плоскости, проходящей через прямую L₁ параллельно прямой L₂.

Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L₁:

(8)

паралленьно другой прямой L₂ :

(9)

Поскольку плоскость проходит через прямую L₁ , то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(1, 1, 5) и нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> перпендикулярна направляющему вектору q₁=<m₁, p₁, l₁>= <1, 1, −3>прямой L₁. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

(10)

а условие параллельности прямой L₁ и искомой плоскости α представляется следующим равенством:

(11)

Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

(12)

(13)

(14)

(15)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(16)

Решим систему линейных уравнений (16) отностительно A, B, C, D:

(17)

Так как искомая плоскость проходит через точку M₁ и имеет нормальный вектор n=<A, B, C>= <−13/24,1/6,−1/8>то она может быть представлена формулой:

Подставляя значения A,B,C,D в (17), получим:

(18)

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число −24:

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (19).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L₁:

(20)

Поскольку плоскость проходит через прямую L₁ , то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(−2, 0, 1) и нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> перпендикулярна направляющему вектору q₁=<m₁, p₁, l₁>= <5, −8, 3>прямой L₁. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

а условие параллельности прямой L₁ и искомой плоскости α представляется следующим равенством:

(23)

Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

(24)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(28)

Решим систему линейных уравнений (28) отностительно A, B, C, D:

(29)

Так как искомая плоскость проходит через точку M₁ и имеет нормальный вектор n=<A, B, C>= <11/35,2/35,−13/35>то она может быть представлена формулой:

Подставляя значения A,B,C,D в (30), получим:

(31)

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 35:

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (32).

Подробнее об этом инструменте калькулятора параллельных линий.

С геометрической точки зрения две прямые параллельны, если они не пересекаются или потенциально являются одной и той же линией. Итак, если вы

провести две линии

, вы визуально увидите, что они не пересекаются. Но это может быть непросто.

Но, естественно, есть алгебраические способы оценить, параллельны ли две прямые. Одним из самых простых способов является использование критерия наклона.

Как определить, параллельны ли две линии?

Есть несколько способов:

1. Графически: посмотрите на график, и если линии не пересекаются, то линии параллельны.
2. Алгебраически: вычислить наклон каждой из линий. Если они имеют одинаковый наклон, то прямые параллельны

Преимущество графического метода в том, что он прост и требует только взгляда на график, но, естественно, для этого необходимо построить графики.

Недостатком графического метода является то, что ваши глаза могут вас обмануть. Может показаться, что

График линий

не пересекаются, но, возможно, вы рисуете недостаточно большую часть линии.

Преимущество алгебраического метода состоит в его однозначности. Если наклоны совпадают, то прямые параллельны, а если нет, то прямые не параллельны.

Единственным недостатком алгебраического метода является то, что вам нужно взять работу формально

вычисление наклона

.

Уравнение параллельной линии

Обратите внимание, что параллельные прямые будут иметь одинаковый наклон. Итак, если уравнение прямой (y = a x + b), то каково уравнение параллельной линии?

Во-первых, нет ни одной параллельной линии, на самом деле существует бесконечное количество параллельных линий, и уравнение имеет вид (y = a x + c) для любого (c).

Как мы видим, (y = a x + b) и (y = a x + c) имеют наклон, равный «а», поэтому они параллельны.

Если у вас еще нет строк в

формат пересечения наклона

, Вы всегда можете

Решите для у

, или же

Решите для х

Вы хотите изменить оси.

Критерий наклона

Две прямые параллельны, если они имеют одинаковый наклон. Так что это самый простой способ определить, параллельны ли две линии, вы просто

вычислить наклон

обеих строк и проверьте, совпадают ли они.

Единственным исключением является случай двух параллельных вертикальных линий, хотя мы не можем сравнивать наклоны, поскольку они не определены.

Если у вас есть что-то вроде

форма пересечения наклона

из уже заданных линий вы можете непосредственно оценить, параллельны ли линии. В противном случае вам потребуется дополнительный шаг вычисления наклонов перед их сравнением.

Геометрическая интерпретация графика двух параллельных прямых

Две параллельные прямые соответствуют

Система уравнений

без решений (или бесконечных решений), где каждое уравнение представляет собой одну линию.

Кроме того, когда прямые не параллельны, они пересекаются в одной точке и только в одной точке, что соответствует

Система уравнений

с единственным решением.

Пример

Определите, параллельны ли линии (2x + 3y = 1) и (x + y = 3).

Отвечать:

Первая строка: поместите первое уравнение в форму пересечения наклона.

Нам было предложено следующее уравнение:

[displaystyle 2x+3y=1]

Помещая (y) в левую часть и (x) и константу в правую часть, мы получаем

[displaystyle 3y = -2x +1]

Теперь, находя (y), получаем следующее

[displaystyle y=frac{-2}{3}x+frac{1}{3}]

и упрощая все термины, которые нуждаются в упрощении, окончательно получаем следующее

[displaystyle y=-frac{2}{3}x+frac{1}{3}]

Вторая строка: поместите второе уравнение в форму пересечения наклона.

Нам было предложено следующее уравнение:

[displaystyle x+y=3]

Помещая (y) в левую часть и (x) и константу в правую часть, мы получаем

[displaystyle y = -x +3]

Анализируйте и сравнивайте склоны

Основываясь на этой информации, мы находим, что наклон первой линии равен (m_1 = -frac{2}{3}), а наклон второй линии также равен (m_2 = -1), которые не равны, поэтому линии НЕ параллельны.

Обратите внимание, что если вам нужна перпендикулярность, вы можете использовать это

калькулятор перпендикулярных линий

. По определению, перпендикулярные линии не параллельны, потому что перпендикулярные линии ВСЕГДА имеют разные наклоны.

bold{mathrm{Basic}}	bold{alphabetagamma}	bold{mathrm{ABGamma}}	bold{sincos}	bold{gedivrightarrow}	bold{overline{x}spacemathbb{C}forall}	bold{sumspaceintspaceproduct}	bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}}	bold{H_{2}O}
square^{2} x^{square} sqrt{square} nthroot[msquare]{square} frac{msquare}{msquare} log_{msquare} pi theta infty int frac{d}{dx} ge le cdot div x^{circ} (square) |square| (f:circ:g) f(x) ln e^{square} left(squareright)^{‘} frac{partial}{partial x} int_{msquare}^{msquare} lim sum sin cos tan cot csc sec alpha beta gamma delta zeta eta theta iota kappa lambda mu nu xi pi rho sigma tau upsilon phi chi psi omega A B Gamma Delta E Z H Theta K Lambda M N Xi Pi P Sigma T Upsilon Phi X Psi Omega sin cos tan cot sec csc sinh cosh tanh coth sech arcsin arccos arctan arccot arcsec arccsc arcsinh arccosh arctanh arccoth arcsech begin{cases}square\squareend{cases} begin{cases}square\square\squareend{cases} = ne div cdot times < > le ge (square) [square] ▭:longdivision{▭} times twostack{▭}{▭} + twostack{▭}{▭} — twostack{▭}{▭} square! x^{circ} rightarrow lfloorsquarerfloor lceilsquarerceil overline{square} vec{square} in forall notin exist mathbb{R} mathbb{C} mathbb{N} mathbb{Z} emptyset vee wedge neg oplus cap cup square^{c} subset subsete superset supersete int intint intintint int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square} sum prod lim lim _{xto infty } lim _{xto 0+} lim _{xto 0-} frac{d}{dx} frac{d^2}{dx^2} left(squareright)^{‘} left(squareright)^{»} frac{partial}{partial x} (2times2) (2times3) (3times3) (3times2) (4times2) (4times3) (4times4) (3times4) (2times4) (5times5) (1times2) (1times3) (1times4) (1times5) (1times6) (2times1) (3times1) (4times1) (5times1) (6times1) (7times1) mathrm{Радианы} mathrm{Степени} square! ( ) % mathrm{очистить} arcsin sin sqrt{square} 7 8 9 div arccos cos ln 4 5 6 times arctan tan log 1 2 3 — pi e x^{square} 0 . bold{=} +

Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ

Подписаться

Войдите, чтобы сохранять заметки

Войти

Номер Строки

Примеры

• параллель:2x-3y=9,:(4,-1)
  

• параллель:y=4x-12,:(5,6)
  

• параллель:x-y=4,:(-3,2)
  

• параллель:y=frac{1}{4}x-3,:(4,0)
  

• параллель:y=3x-2,:(-1,3)
  

• параллель:2x-y=8,:(3,4)
  

• Показать больше

Описание

Поэтапное решение уравнения параллельной прямой

parallel-line-calculator

ru

Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab

Slope, Distance and More

Ski Vacation? Nope, this is serious stuff; it’s about finding the slope of a line, finding the equation of a line…

Read More

Введите Задачу

Сохранить в блокнот!

Войти

Прямая, параллельная прямой, во многих случаях инженерных расчетов обсчитывается по формуле прямой y = mx +b, в которой при сохранении неизменным значения углового коэффициента m, сдвиг прямой, наблюдаемый для исследуемой прямой по оси Y, убирается – b = 0.