Как найти прямую перпендикулярную данной в пространстве



5.5.6. Как найти прямую, перпендикулярную данной?

Обращаю внимание, что для скрещивающихся прямых таких прямых можно провести бесконечно много, а вот для

пересекающихся – задача имеет единственное решение:

Задача 157

а) Составить уравнения прямой, проходящей через точку  перпендикулярно

прямой  (прямые пересекаются).

б) Найти расстояние от точки  до прямой ,   в) симметричную точку .

а)  Решение: обозначим неизвестную прямую через :

И начинаем

раскручивать задачу: что нам известно об этой прямой?

Известна её точка . Неплохо бы найти направляющий вектор. В качестве

такого вектора вполне подойдёт вектор . Но мы не знаем точку . Вот ей-то и займёмся

План есть, и мы счастливы:

1) Вытащим из уравнений прямой «эль» её направляющий вектор , а сами

уравнения перепишем в параметрической форме:

И вот уже в третий раз используем тот же самый фокус. Рассмотрим точку  с пока ещё неизвестными координатами. Поскольку точка , то её

координаты  удовлетворяют параметрическим уравнениям прямой «эль» и им

соответствует конкретное значение параметра :
, или в строчку:  

Тогда:

2) По условию прямые должны быть перпендикулярны, следовательно, их направляющие векторы  – ортогональны. А если векторы ортогональны, то их скалярное

произведение равно нулю:

Что получилось? Простейшее линейное уравнение с одной неизвестной:

3) Значение параметра известно, находим точку:
 

И направляющий вектор: .

4) Уравнения прямой  составим по точке  и вектору… избавимся-ка мы от дробей и возьмём направляющий вектор :

Ответ:

Но, разумеется, тут можно было взять и вектор :

Проверка состоит из двух этапов:

1) проверяем направляющие векторы прямых на ортогональность;

2) подставляем координаты точки  в уравнения каждой прямой, они должны «подойти» и там и там.

Об этих действиях говорилось много, поэтому я выполнил проверку на черновике.

5.5.7. Как найти расстояние от точки до прямой?

5.5.5. Пересекающиеся прямые в пространстве

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

2.5.4. Как найти прямую, перпендикулярную данной?

В отличие от предыдущих задач п. 2.5, рассмотренные ниже схемы работают лишь в декартовой системе координат (но не в общем аффинном случае):

Задача 79

Прямая задана уравнением в декартовой системе координат. Составить уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку .

Решение: по условию известна точка ( – значок принадлежности), и нам неплохо бы найти направляющий вектор прямой . Так как прямые перпендикулярны, то фокус прост: из уравнения «снимаем» вектор нормали: , который и будет направляющим вектором прямой .

Уравнение прямой составим по точке и направляющему вектору :

Ответ:

Развернём геометрический этюд:
И аналитическая проверка решения:

1) Из уравнений , вытаскиваем направляющие векторы и с помощью скалярного произведения приходим к выводу, что прямые действительно перпендикулярны:
.
Кстати, можно использовать векторы нормали, это даже проще.

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению
Оба пункта легко выполнить устно!

Задача 80

Найти точку пересечения перпендикулярных прямых , если известно уравнение в декартовой системе координат и точка .

В задаче несколько действий, поэтому решение удобно оформить по пунктам.

И наше увлекательное путешествие продолжается:

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой

В данной статье научимся составлять уравнения прямой, проходящей через заданную точку на плоскости перпендикулярно заданной прямой. Изучим теоретические сведения, приведем наглядные примеры, где необходимо записать такое уравнение.

Принцип составления уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной прямой

Перед нахождением уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой. Теорема рассматривается в средней школе. Через заданную точку, лежащую на плоскости, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. Если имеется трехмерное пространство, то количество таких прямых увеличится до бесконечности.

Если плоскость α проходит через заданную точку М 1 перпендикулярно к заданной прямой b , то прямые, лежащие в этой плоскости, в том числе и проходящая через М 1 являются перпендикулярными заданной прямой b .

Отсюда можно прийти к выводу, что составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой применимо только для случая на плоскости.

Задачи с трехмерным пространством подразумевают поиск уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Если на плоскости с системой координат О х у z имеем прямую b , то ей соответствует уравнение прямой на плоскости, задается точка с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , а необходимо составить уравнение прямой a , которая проходит через точку М 1 , причем перпендикулярно прямой b .

По условию имеем координаты точки М 1 . Для написания уравнения прямой необходимо иметь координаты направляющего вектора прямой a , или координаты нормального вектора прямой a , или угловой коэффициент прямой a .

Необходимо получить данные из заданного уравнения прямой b . По условию прямые a и b перпендикулярные, значит, направляющий вектор прямой b считается нормальным вектором прямой a . Отсюда получим, что угловые коэффициенты обозначаются как k b и k a . Они связаны при помощи соотношения k b · k a = — 1 .

Получили, что направляющий вектор прямой b имеет вид b → = ( b x , b y ) , отсюда нормальный вектор — n a → = ( A 2 , B 2 ) , где значения A 2 = b x , B 2 = b y . Тогда запишем общее уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , имеющее нормальный вектор n a → = ( A 2 , B 2 ) , имеющее вид A 2 · ( x — x 1 ) + B 2 · ( y — y 1 ) = 0 .

Нормальный вектор прямой b определен и имеет вид n b → = ( A 1 , B 1 ) , тогда направляющий вектор прямой a является вектором a → = ( a x , a y ) , где значения a x = A 1 , a y = B 1 . Значит осталось составить каноническое или параметрическое уравнение прямой a , проходящее через точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) , имеющее вид x — x 1 a x = y — y 1 a y или x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ соответственно.

После нахождения углового коэффициента k b прямой b можно высчитать угловой коэффициент прямой a . Он будет равен — 1 k b . Отсюда следует, что можно записать уравнение прямой a , проходящей через M 1 ( x 1 , y 1 ) с угловым коэффициентом — 1 k b в виде y — y 1 = — 1 k b · ( x — x 1 ) .

Полученное уравнение прямой, проходящее через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной. Если того требуют обстоятельства, можно переходить к другому виду данного уравнения.

Решение примеров

Рассмотрим составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости и перпендикулярно заданной прямой.

Записать уравнение прямой а, которая проходит через точку с координатами M 1 ( 7 , — 9 ) и перпендикулярна прямой b , которое задано каноническим уравнением прямой x — 2 3 = y + 4 1 .

Из условия имеем, что b → = ( 3 , 1 ) является направляющим вектором прямой x — 2 3 = y + 4 1 . Координаты вектора b → = 3 , 1 являются координатами нормального вектора прямой a , так как прямые a и b взаимно перпендикулярны. Значит, получаем n a → = ( 3 , 1 ) . Теперь необходимо записать уравнение прямой, проходящее через точку M 1 ( 7 , — 9 ) , имеющее нормальный вектор с координатами n a → = ( 3 , 1 ) .

Получим уравнение вида: 3 · ( x — 7 ) + 1 · ( y — ( — 9 ) ) = 0 ⇔ 3 x + y — 12 = 0

Полученное уравнение является искомым.

Ответ: 3 x + y — 12 = 0 .

Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат системы координат О х у z , перпендикулярно прямой 2 x — y + 1 = 0 .

Имеем, что n b → = ( 2 , — 1 ) является нормальным вектором заданной прямой. Отсюда a → = ( 2 , — 1 ) — координаты искомого направляющего вектора прямой.

Зафиксируем уравнение прямой, проходящую через начало координат с направляющим вектором a → = ( 2 , — 1 ) . Получим, что x — 0 2 = y + 0 — 1 ⇔ x 2 = y — 1 . Полученное выражение является уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой 2 x — y + 1 = 0 .

Ответ: x 2 = y — 1 .

Записать уравнение прямой, проходящей через точку с координатами M 1 ( 5 , — 3 ) перпендикулярно прямой y = — 5 2 x + 6 .

Из уравнения y = — 5 2 x + 6 угловой коэффициент имеет значение — 5 2 . Угловой коэффициент прямой, которая перпендикулярна ей имеет значение — 1 — 5 2 = 2 5 . Отсюда делаем вывод, что прямая, проходящая через точку с координатами M 1 ( 5 , — 3 ) перпендикулярно прямой y = — 5 2 x + 6 , равна y — ( — 3 ) = 2 5 · x — 5 ⇔ y = 2 5 x — 5 .

Аналитическая геометрия на плоскости с примерами решения и образцами выполнения

Аналитическая геометрия — область математики, изучающая геометрические образы алгебраическими методами. Еще в XVII в. французским математиком Декартом был разработан метод координат, являющийся аппаратом аналитической геометрии.

В основе метода координат лежит понятие системы координат. Мы познакомимся с прямоугольной (или декартовой) и полярной системами координат.

Прямоугольная система координат

Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу (рис. 8), образуют прямоугольную систему координат на плоскости.

Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу — осью ординат, а обе оси вместе — осями координат. Точка О пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в которой расположены оси Ох и Оу, называется координатной плоскостью и обозначается Оху.

Пусть М — произвольная точка плоскости. Опустим из нее перпендикуляры МА и MB на оси Ох и Оу.

Прямоугольными координатами х и у точки М будем называть соответственно величины OA и ОВ направленных отрезков и : х= OA, у= ОВ.

Координаты хи у точки М называются соответственно ее абсцис-ой и ординатой. Тот факт, что точка М имеет координаты х и у, символически обозначают так: М (х; у). При этом первой в скобках указывают абсциссу, а второй — ординату. Начало координат имеет координаты (0; 0).

Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке М плоскости соответствует единственная пара чисел (х;у) — ее прямоугольные координаты, и, обратно, на каждой паре чисел (х; у) соответствует, и притом одна, точка М плоскости Оху такая, что ее абсцисса равна х, а ордината у.

Итак, введение прямоугольной системы координат на плоскости позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством пар чисел, что дает возможность при решении геометрических задач применять алгебраические методы.

Оси координат разбивают плоскость на четыре части, их называют четвертями, квадрантами или координатными углами и нумеруют римскими цифрами I, II, III, IV так, как показано на рис. 9. На рис. 9 указаны также знаки координат точек в зависимости от их расположения в той или иной четверти.

Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости

Расстояние между двумя точками.

Теорема:

Для любых двух точек плоскости расстояние d между ними выражается формулой

Доказательство:

Опустим из точек перпендикуляры соответственно на оси Оу и Ох и обозначим через К точку пересечения прямых (рис. 10). Точка К имеет координаты , поэтому (см. гл. 1, § 3)

Так как треугольник — прямоугольный, то по теореме Пифагора

2. Площадь треугольника.

Теорема:

Для любых точек , не лежащих на одной прямой, площадь s треугольника ABC выражается формулой

Доказательство:

Площадь треугольника ABC, изображенного на рис. 11, можно найти так:

где — площади соответствующих трапеций. Поскольку

подставив выражения для этих площадей в равенство (3), получим формулу

из которой следует формула (2). Для любого другого расположения треугольника ABC формула (2) доказывается аналогично.

Пример:

Даны точки А (1; 1), В (6; 4), С (8; 2). Найти площадь треугольника ABC. По формуле (2):

3. Деление отрезка в данном отношении. Пусть на плоскости дан произвольный отрезок и пусть М—любая точка этого отрезка, отличная от точки (рис. 12).

Число , определяемое равенством

называется отношением, в котором точка М делит отрезок .

Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы по данному отношению к и данным координатам точек и найти координаты точки М.

Решить эту задачу позволяет следующая теорема.

Теорема:

Если точка М (х; у) делит отрезок в отношении то координаты этой точки определяются формулами

где — координаты точки ; — координаты точки

Доказательство:

Пусть прямая не перпендикулярна оси Ох. Опустим перпендикуляры из точек , , на ось Ох и обозначим точки их пересечения с осью Ох соответственно через (рис. 12). На основании теоремы элементарной геометрии о пропорциональности отрезков прямых, заключенных между параллельными прямыми, имеем

но (см. гл. 1, § 3).

Так как числа одного и того же знака (при они положительны, а при —отрицательны), то Поэтому откуда Если прямая перпендикулярна оси Ох, то и эта формула также, очевидно, верна. Получена первая из формул (5). Вторая формула получается аналогично.

Следствие. Если — две произвольные точки и точка М (х; у) — середина отрезка т. е. , то = 1, и по формулам (5) получаем

Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат.

Пример:

Даны точки . Найти точку М (х; у), которая в два раза ближе к , чем .

Решение:

Искомая точка М делит отрезок в отношении =12. Применяя формулы (5), находим координаты этой точки: х=3, у=2.

Полярные координаты

Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее луча ОЕ — полярной оси. Кроме того, задается единица масштаба для измерения длин отрезков.

Пусть задана полярная система координат и пусть М — произвольная точка плоскости. Пусть р — расстояние точки М от точки О; ф — угол, на который нужно повернуть полярную ось для совмещения с лучом ОМ (рис. 13).

Полярными координатами точки М называются числа р и «р. При этом число р считается первой координатой и называется полярным радиусом, число ф — второй координатой и называется полярным углом.

Точка М с полярными координатами р и ф обозначается так: М (р; ф). Очевидно, полярный радиус может иметь любое неотрицательное значение: . Обычно считают, что полярный угол изменяется в следующих пределах:. Однако в ряде случаев приходится рассматривать углы, большие 2n, а также отрицательные углы, т. е. углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.

Установим связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами. При этом будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Пусть точка М имеет прямоугольные координаты х и у и полярные координаты р и ф (рис. 14). Очевидно,

Формулы (1) выражают прямоугольные координаты через полярные. Выражения полярных координат через прямоугольные следуют из формул (I):

Заметим, что формула tg ф = у/x определяет два значения полярного угла ф, так как ф изменяется от 0 до 2. Из этих двух значений угла ф выбирают то, при котором удовлетворяются равен-

Пример:

Даны прямоугольные координаты точки: (2; 2). Найти ее полярные координаты, считая, что полюс совмещен с началом прямоугольной системы координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс.

Решение:

По формулам (2) имеем

Согласно второму из этих равенств или . Но так как х=2>0 и х = 2>0, то нужно взять .

Преобразование прямоугольных координат

При решении многих задач аналитической геометрии наряду с данной прямоугольной системой координат приходится вводить и другие прямоугольные системы координат. При этом, естественно, изменяются как координаты точек, так и уравнения кривых. Возникает задача: как, зная координаты точки в одной системе координат, найти координаты этой же точки в другой системе координат. Решить эту задачу позволяют формулы преобразования координат.

Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат:

1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними;

2) поворот осей координат, когда обе оси поворачиваются в одну сторону на один и тот же угол, а начало координат не изменяется.

1.Параллельный сдвиг осей. Пусть точка М плоскости имеет координаты (х; у) в прямоугольной системе координат Оху. Перенесем начало координат в точку О’ (а; b), где а и b — координаты нового начала в старой системе координат Оху. Новые оси координат О’х’ и О’у’ выберем сонаправленными со старыми осями Ох и Оу. Обозначим координаты точки М в системе О’х’у’ (новые координаты) через (х’; у’). Выведем формулы, выражающие связь между новыми и старыми координатами точки М. Для этого проведем перпендикуляры и введем обозначения для точек пересечения прямых соответственно с осями О’х’ и О’у’ (рис. 15). Тогда, используя основное тождество (гл. 1, § 3), получаем

Это и есть искомые формулы.

2.Поворот осей координат. Повернем систему координат Оху вокруг начала координат О на угол а в положение Ох’у’ (рис. 16).

Пусть точка М имеет координаты (х; у) в старой системе координат Оху и координаты (х’; у’) в новой системе координат Ох’у’. Выведем формулы, устанавливающие связь между старыми и новыми координатами точки М. Для этого обозначим через (р; в) полярные координаты точки М, считая полярной осью положительную полуось Ох, а через (р; 0′) — полярные координаты той же точки М, считая полярной осью положительную полуось Ох’.

Очевидно, в каждом случае . Далее, согласно формулам (1) из § 3

Выражая из этих равенств х’ и у’ через х и у, получим

Пример:

Определить координаты точки М (3; 5) в новой системе координат О’х’у’, начало О’ которой находится в точке ( — 2; 1), а оси параллельны осям старой системы координат Оху.

Решение:

По формуле (2) имеем

т. е. в новой системе координат точка М имеет координаты (5; 4).

Уравнение линии на плоскости

Рассмотрим соотношение вида

связывающее переменные величины х и у. Равенство (1) будем называть уравнением с двумя переменными х, у, если это равенство справедливо не для всех пар чисел х и у.

Примеры уравнений:

Если равенство (1) справедливо для всех пар чисел х и у, то оно называется тождеством.

Примеры тождеств:

Важнейшим понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии. Пусть на плоскости заданы прямоугольная система координат и некоторая линия L (рис. 17).

Определение. Уравнение (1) называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Из определения следует, что линия L представляет собой множество всех тех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (1). Будем говорить, что уравнение (1) определяет (или задает) линию L.

Понятие уравнения линии дает возможность решать геометрические задачи алгебраическими методами. Например, задача нахождения точки пересечения двух линий, определяемых уравнениями х + у = 0 и , сводится к алгебраической задаче решения системы этих уравнений.

Линия L может определяться уравнением вида

Где — полярные координаты точки.

Рассмотрим примеры уравнений линий.

1) х—у=0. Записав это уравнение в виде у—х, заключаем, что множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, представляет собой биссектрисы I и III координатных углов. Это и есть линия, определенная уравнением х-у=0 (рис. 18).

2) . Представив уравнение в виде = 0, заключаем, что множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, — это две прямые, содержащие биссектрисы четырех координатных углов (рис. 19).

3) Множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, состоит из одной точки (0; 0). В данном случае уравнение определяет, как говорят, вырожденную линию.

4) Так как при любых х н у числа неотрицательны, то Значит, нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяют данному уравнению, т. е. никакого геометрического образа на плоскости данное уравнение не определяет.

5) p = acosф, где a — положительное число, переменные р и ф— полярные координаты. Обозначим через М точку с полярными координатами (р; ф), через А — точку с полярными координатами (а; 0) (рис. 20). Если p = acosф, где , то угол ОМА — прямой, и обратно. Следовательно, множество точек, полярные координаты которых удовлетворяют данному уравнению, это окружность с диаметром OA.

6) p=aф, где а — положительное число; р и ф — полярные координаты. Обозначим через М точку с полярными координатами (р; ф). Если ф=0, то и р = 0. Если ф возрастает, начиная от нуля, то р возрастает пропорционально ф. Точка М (р; ф), таким образом, исходя из полюсу, движется вокруг него с ростом ф, одновременно удаляясь от него. Множество точек, полярные координаты которых удовлетворяют уравнению р = аф,- называется спиралью Архимеда (рис. 21). При этом предполагается, что ф может принимать любые неотрицательные значения.

Если точка М совершает один полный оборот вокруг полюса, то ф возрастает на , а р — на , т. е. спираль рассекает любую прямую, проходящую через полюс, на равные отрезки (не считая отрезка, содержащего полюс), которые имеют длину .

В приведенных примерах по заданному уравнению линии исследованы ее свойства и тем самым установлено, что представляет собой эта линия.

Рассмотрим теперь обратную задачу: для заданного какими-то свойствами множества точек, т. е. для заданной линии L, найти ее уравнение.

Пример:

Вывести уравнение (в заданной прямоугольной системе координат) множества точек, каждая из которых отстоит от точки на расстоянии R. Иными словами, вывести уравнение окружности радиуса R с центром в точке .

Решение:

Расстояние от произвольной точки М (х; у) до точки С вычисляется по формуле

Если точка М лежит на окружности, то или , т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

Если же точка М (х; у) не лежит на данной окружности, то , т. е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению (2).

Таким образом, искомое уравнение окружности имеет вид (2). Полагая в (2) получаем уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат:

Линии первого порядка

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть дана которая прямая. Назовем углом наклона данной прямой к оси Ох угол а на который нужно повернуть ось Ох, чтобы ее положительное направление совпало с одним из направлений прямой. Угол а может иметь различные значения, которые отличаются друг от друга на величину , где n — натуральное число. Чаще всего в качестве угла наклона берут наименьшее неотрицательное значение угла а, на который нужно повернуть (против часовой стрелки) ось Ох, чтобы ее положительное направление совпало с одним из направлений прямой (рис. 23). В таком случае

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом этой прямой и обозначается буквой k:

Из формулы (1), в частности, следует, что если а=0, т. е. прямая параллельна оси Ох, то k = 0. Если , т. е. прямая перпендикулярна оси Ох, то k = tga теряет смысл. В таком случае говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность».

Выведем уравнение данной прямой, если известны ее угловой коэффициент k и величина b отрезка ОВ, который она отсекает на оси Оу (рис. 23) (т. е. данная прямая не перпендикулярна оси Ох).

Обозначим через М произвольную точку плоскости с координатами х и у. Если провести прямые BN и NM, параллельные осям, то в случае к0 образуется прямоугольный треугольник BNM. Точка М лежит на прямой тогда и только тогда, когда величины NM и BN удовлетворяют условию

но , BN = x. Отсюда, учитывая формулу (1), получаем, что точка М (х; у) лежит на данной прямой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

Уравнение (2) после преобразования принимает вид

Уравнение (3) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Если к = 0, то прямая параллельна оси Ох, и ее уравнение имеет вид у= Ь.

Итак, любая прямая, не перпендикулярная оси Ох, имеет уравнение вида (3). Очевидно, верно и обратное: любое уравнение вида (3) определяет прямую, которая имеет угловой коэффициент k и отсекает на оси Оу отрезок величины b.

Пример:

Построить прямую, заданную уравнением

Решение:

Отложим на оси Оу отрезок ОВ, величина которого равна 2 (рис. 24); проведем через точку В параллельно оси Ох отрезок, величина которого BN = 4, и через точку N параллельно оси Оу отрезок, величина которого NM = 3. Затем проведем прямую ВМ, которая и является искомой. Она имеет угловой коэффициент k=3/4 и отсекает на оси Оу отрезок величины b=2.

равнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом. В ряде случаев возникает необходимость составить уравнение прямой, зная одну ее точку и угловой коэффициент к. Запишем уравнение прямой в виде (3), где b — пока неизвестное число. Так как прямая проходит через точку координаты этой точки удовлетворяют уравнению (3): Определяя b из этого равенства и подставляя в уравнение (3), получаем искомое уравнение прямой:

Замечание:

Если прямая проходит через точку перпендикулярно оси Ох, т. е. ее угловой коэффициент обращается в бесконечность, то уравнение прямой имеет вид Формально это уравнение можно получить из (4), если разделить уравнение (4) на k и затем устремить k к бесконечности.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две точки и (Рис. 25). Запишем уравнение прямой в виде (4), где k — пока неизвестный угловой коэффициент. Так как прямая проходит через точку то координаты этой точки удовлетворяют уравнению (4):

Определяя k из этого равенства (при условии ) и подставляя в уравнение (4), получаем искомое уравнение прямой:

Это уравнение, если можно записать в виде

Если то уравнение искомой прямой имеет вид В этом случае прямая параллельна оси Ох. Если то прямая, проходящая через точки параллельна оси Оу, и ее Уравнение имеет вид

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через точки A

Решение:

Подставляя координаты точек в соотношение (5), получаем искомое уравнение прямой:

Угол между двумя прямыми

Рассмотрим две прямые . Пусть уравнение имеет вид уравнение — вид (Рис. 26). Пусть — угол между прямыми

Из геометрических соображений устанавливаем зависимость между углами Отсюда

Формула (6) определяет один из углов между прямыми. Второй угол равен

Пример:

Две прямые заданы уравнениями Найти угол между этими прямыми.

Решение:

Очевидно, поэтому по формуле (6) находим
Таким образом, один из углов между данными прямыми равен другой угол

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Если прямые параллельны, то В этом случае числитель в правой части формулы (6) равен нулю: = 0, откуда

Таким образом, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.

Если прямые перпендикулярны, т. е.

Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку. Это условие можно формально получить из формулы (6), если приравнять нулю знаменатель в правой части (6), что соответствует обращению в бесконечность, т. е. равенству

Общее уравнение прямой

Теорема:

В прямоугольной системе координат любая прямая задается уравнением первой степени
и обратно, уравнение (7) при произвольных коэффициентах А, В, С (А и В не равны нулю одновременно) определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат Оху.

Доказательство:

Сначала докажем первое утверждение. Если прямая не перпендикулярна оси Ох, то, как было показано в п. 1, она имеет уравнение y=kx + b, т. е. уравнение вида (7), где A=k, В=-1 и С=b. Если прямая перпендикулярна оси Ох, то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине а отрезка, отсекаемого прямой на оси Ох (рис. 27). Уравнение этой прямой имеет вид х=а, т. е. также является уравнением первой степени вида (7), где А = 1, В = 0, С=—а. Тем самым первое утверждение доказано. Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение (7), причем хотя бы один из коэффициентов A и В не равен нулю.

Если то (7) можно записать в виде

Полагая получаем уравнение y = kx + b, т- е- уравнение вида (3), которое определяет прямую.

Если В=0, то и (7) принимает вид Обозначается -С/А через а, получаем х = а, т. е. уравнение прямой, перпендикулярной оси Ох.

Линии, определяемые в прямоугольной системе координат уравнением первой степени, называются линиями первого порядка. Таим образом каждая прямая есть линия первого порядка и, обратно, каждая линия первого порядка есть прямая.

Уравнение вида Ах + By + С=0 называется общим уравнением прямой. Оно содержит уравнение любой прямой при соответствующим выборе коэффициентов А, В, С.

Неполное уравнение первой степени. Уравнение прямой «в отрезках»

Рассмотрим три частных случая, когда уравнение Ах + By + С = 0 является неполным, т. е. какой-то из коэффциентов равен нулю.

1) С = 0; уравнение имеет вид Ах+Ву = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат.
2) уравнение имеет вид Ах+С=0 и определяет прямую, параллельную оси Оу. Как было показано в теореме 3.4, это уравнение приводится к виду а — величина отрезка, который отсекает прямая на оси Ох (рис. 27). В частности, если а = 0, то прямая совпадает с осью Оу. Таким образом, уравнение х=0 определяет ось ординат.
3) уравнение имеет вид Ву+С=0 и определяет прямую, параллельную оси Ох. Этот факт устанавливается аналогично предыдущему случаю. Если положить то уравнение принимает вид — величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу (рис. 28). В частности, если b=0, то прямая совпадает с осью Ох. Таким образом, уравнение у= О определяет ось абсцисс.

Пусть теперь дано уравнение Ах+By+C=0 при условии, что ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Преобразуем его к виду

Вводя обозначения получаем

Уравнение (8) называется уравнением прямой «в отрезках». Числа а и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. Эта форма уравнения прямой удобна для геометрического построения прямой.

Пример:

Прямая задана уравнением Составить для этой прямой уравнение «в отрезках» и построить прямую.

Решение:

Для данной прямой уравнение «в отрезках» имеет
вид

Чтобы построить эту прямую, отложим на осях координат Ох и Оу отрезки, величины которых соответственно равны а=-5, b=3, и проведем прямую через точки (рис. 29).

Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой

Пусть дана некоторая прямая L. Проведем через начало координат прямую п, перпендикулярную данной, и назовем ее нормалью к прямой L. Буквой N отметим точку, в которой нормаль пересекает прямую L (рис. 30, а). На нормали введем направление от точки О к точке N. Таким образом, нормаль станет осью. Если точки N и О совпадают, то в качестве направления нормали возьмем любое из двух возможных.

Обозначим через угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки ось Ох до совмещения ее положительного направления с направлением нормали, через р— длину отрезка ON.

Тем самым, Выведем уравнение данной прямой, считая известными числа аир. Для этого возьмем на прямой произвольную точку М с полярными координатами где О полюс, Ох — полярная ось. Если точки О и N не совпадают, то из прямоугольного треугольника ONM имеем

Это равенство можно переписать в виде

Так как точки, не лежащие на данной прямой L, не удовлетворению (9), то (9) —уравнение прямой L в полярных координатах. По формулам, связывающим прямоугольные координаты с полярными, имеем: Следовательно, уравнение (9) в прямоугольной системе координат принимает вид

Если точки О и N совпадают, то прямая L проходит через начало координат (рис. 30, б) и р = 0. В этом случае, очевидно, для любой точки М прямой L выполняется равенство Умножая его на р, получаем откуда

Таким образом, и в этом случае уравнение прямой можно представить в виде (10).

Уравнение (10) называется нормальным уравнением прямой L.

С помощью нормального уравнения прямой можно определить расстояние от данной точки плоскости до прямой.

Пусть L — прямая, заданная нормальным уравнением: и пусть точка, не лежащая на этой прямой. Требуется определить расстояние d от точки до прямой L.

Через точку проведем прямую параллельно прямой L. Пусть — точка пересечения с нормалью, — длина отрезка (рис. 31).

Если же точки лежат по разные стороны от точки О, то нормальное уравнение прямой имеет вид где отличается от Следовательно, В этом случае

Таким образом, в каждом из рассмотренных случаев получаем формулу

Отметим, что формула (11) пригодна и в том случае, когда точка лежит на прямой L, т. е. ее координаты удовлетворяют уравнению прямой L: В этом случае по формуле (11) получаем d=0. Из формулы (11) следует, что для вычисления расстояния d от точки до прямой L нужно левую часть нормального уравнения прямой L поставить вместо (х; у) координаты точки и полученное число взять по модулю.

Теперь покажем, как привести общее уравнение прямой к нормальному виду. Пусть

— общее уравнение некоторой прямой, а

— ее нормальное уравнение.

Так как уравнения (12) и (13) определяют одну и ту же прямую, то их коэффициенты пропорциональны. Умножая все члены уравнения (12) на произвольный множитель получаем уравнение

При соответствущем выборе р полученное уравнение обращается в уравнение (13), т. е. выполняются равенства

Чтобы найти множитель р., возведем первые два из этих равенств в квадрат и сложим, тогда получаем

Число р называется нормирующим множителем. Знак нормирующего множителя определяется с помощью третьего из равенств (14). Согласно этому равенству число отрицательное, если СО. Следовательно, в формуле (15) берется знак, противоположный знаку С. Если С=0, то знак нормирующего множителя можно выбрать произвольно.

Итак, для приведения общего уравнения прямой к нормальному виДу надо найти значение нормирующего множителя р, а затем все члены уравнения умножить на р.

Пример. Даны прямая 3х-4у+10=0 и точка М (4; 3). Найти расстояние d от точки М до данной прямой.

Решение. Приведем данное уравнение к нормальному виду. Для этого найдем по формуле (15) нормирующий множитель:

Умножая данное уравнение на р, получаем нормальное уравнение

По формуле (11) находим искомое расстояние:

Линии второго порядка

Рассмотрим три вида линий: эллипс, гиперболу и параболу, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второй степени. Такие линии называются линиями второго порядка.

Эллипс

Определение:

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы эллипса через и расстояние между фокусами через 2с, сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов через 2а. По определению, 2а>2с или а>с.

Для вывода уравнения эллипса введем на плоскости прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы эллипса лежали на оси абсцисс, а начало координат делило отрезок пополам. Тогда фокусы имеют координаты: (рис. 32). Выведем уравнение эллипса в выбранной системе координат.

Пусть М (х; у) — произвольная точка плоскости. Обозначим через расстояния от точки М до фокусов Числа называются фокальными радиусами точки М. Из определения эллипса следует, что точка М (х; у) будет лежать на данном эллипсе в том и только в том случае, когда

По формуле (1) из § 2 находим

Подставляя эти выражения в равенство (1), получаем

Уравнение (3) и есть искомое уравнение эллипса. Однако для практического использования оно неудобно, поэтому уравнение эллипса обычно приводят к более простому виду. Перенесем второй радикал в правую часть уравнения, а затем возведем обе части в квадрат:

С нова возведем обе части уравнения в квадрат

Введем в рассмотрение новую величину

геометрический смысл которой раскрыт далее. Так как по условию а>с, то >0 и, следовательно, b — число положительное. Из равенства (6) имеем

Поэтому уравнение (5) можно переписать в виде

Разделив обе части на , окончательно получаем

Так как уравнение (7) получено из уравнения (3), то координаты любой точки эллипса, удовлетворяющие уравнению (3), будут удовлетворять и уравнению (7). Однако при упрощении уравнения (3) обе его части дважды были возведены в квадрат и могли появиться «лишние» корни, вследствие чего уравнение (7) могло оказаться неравносильным уравнению (3). Убедимся в том, что если координаты точки удовлетворяют уравнению (7), то они удовлетворяют и уравнению (3), т. е. уравнения (3) и (7) равносильны. Для этого, очевидно, достаточно показать, что величины г, и г2 для любой точки, координаты которой удовлетворяют уравнению (7), удовлетворяют соотношению (1). Действительно, пусть координаты х и у некоторой точки удовлетворяют уравнению (7). Тогда, подставляя в выражение (2) значение , полученное из (7), после несложных преобразований найдем, что Так как [это следует из (7)J и c/a 0, и поэтому

Аналогично найдем, что Складывая почленно эти равенства, получаем соотношение (1), что и требовалось установить. Таким образом, любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (7), принадлежит эллипсу, и наоборот, т. е. уравнение (7) есть уравнение эллипса. Уравнение (7) называется бионическим (или простейшим) уравнением эллипса. Таким образом эллипс—линия второго порядка.

Исследуем теперь форму эллипса по его каноническому уравнению (7). Заметим, что уравнение (7) содержит только члены с четными степенями координат х и у, поэтому эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу а также относительно начала координат. Таким образом, можно знать форму всего эллипса, если установить вид той его части, которая лежит в I координатном угле. Для этой части , поэтому, разрешая уравнение (7) относительно у, получаем

Из равенства (8) вытекают следующие утверждения.

1)Если x=0, то у=b. Следовательно, точка (0; b) лежит на эллипсе. Обозначим ее через В.

2)При возрастании х от 0 до а у уменьшается.

3)Если х=а, то у=0. Следовательно, точка (а; 0) лежит на эллипсе. Обозначим ее через А.

4)При х>а получаем мнимые значения у. Следовательно, точек эллипса, у которых х>а, не существует.

Итак, частью эллипса, расположенной в I координатном угле, является дуга ВА (рис. 33).

Произведя симметрию относительно координатных осей, получим весь эллипс.

Замечание. Если а=b, то уравнение (7) принимает вид . Это уравнение окружности радиуса а. Таким образом, окружность — частный случай эллипса. Заметим, что эллипс можно получить из окружности радиуса а, если сжать ее в а/b раз вдоль оси Оу. При таком сжатии точка (х; у) перейдет в точку (х; у,), где . Подставляя в уравнение окружности, получаем уравнение эллипса

Оси симметрии эллипса называются его осями, а центр симметрии (точка пересечения осей) — центром эллипса. Точки, в которых эллипс пересекает оси, называются его вершинами. Вершины ограничивают на осях отрезки, равные 2а и 2b. Из равенства (6) следует, что . Величины а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. В соответствии с этим оси эллипса называются большой и малой осями.

Введем еще одну величину, характеризующую форму эллипса.

Определение:

Эксцентриситетом эллипса называется отношение , где с — половина расстояния между фокусами, а — большая полуось эллипса.

Эксцентриситет обычно обозначают буквой . Так как с Гипербола

Определение:

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы гиперболы через и расстояние . между фокусами через 2с, а модуль разности расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов через 2а. По определению, 2а а, то и b — число положительное. Из равенства (14) имеем

Уравнение (13) принимает вид

Как и для эллипса, можно доказать равносильность уравнений (15) и (11). Уравнение (15) называется каноническим уравнением гиперболы.

Исследуем форму гиперболы по ее каноническому уравнению. Так как уравнение (15) содержит члены только с четными степенями координат х и у, то гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу, а также относительно начала координат. Поэтому достаточно рассмотреть только часть гиперболы, лежащую в 1 координатном угле. Для этой части у0, поэтому, разрешая уравнение (15) относительно у, получаем

Из равенства (16) вытекают следующие утверждения.

1)Если , то у получает мнимые значения, т. е. точек гиперболы с абсциссами нет.

2)Если х=а, то у= 0, т. е. точка (а; 0) принадлежит гиперболе. Обозначим ее через А.

3)Если х>а, то у>0, причем у возрастает при возрастании х и при . Переменная точка М (х; у) на гиперболе движется с ростом х «вправо» и «вверх», ее начальное положение-точка А (а; 0) (рис. 35). Уточним, как именно точка М уходит в бесконечность.

Для этого кроме уравнения (16) рассмотрим уравнение

которое определяет прямую с угловым коэффициентом k=b/a, проходящую через начало координат. Часть этой прямой, расположенная в I координатном угле, изображена на рис. 35. Для ее построения можно использовать прямоугольный треугольник OAВ с катетами ОА = а и АВ = b.

Покажем, что точка М, уходя по гиперболе в бесконечность, неограниченно приближается к прямой (17), которая является асимптотой гиперболы.

Возьмем произвольное значение х(ха) и рассмотрим две точки М (х; у) и N (х; e), где

Точка М лежит на гиперболе, точка N — на прямой (17). Поскольку обе точки имеют одну и ту же абсциссу х, прямая MN перпендикулярна оси Ох (рис. 36). Найдем длину отрезка MN. Прежде всего заметим, что при ха.

Это означает, что при одной и той же абсциссе точка гиперболы лежит под соответствующей точкой асимптоты. Таким образом,

Из полученного выражения следует, что стремится к нулю при , так как знаменатель стремится к а числитель есть постоянная величина ab.

Обозначим через Р основание перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую (17). Тогда — расстояние от точки Л) до этой прямой. Очевидно, , а так как 0, то и подавно при , т. е. точка М неограниченно приближается к прямой (17), что и требовалось показать.

Вид всей гиперболы теперь можно легко установить, используя симметрию относительно координатных осей (рис. 37). Гипербола состоит из двух ветвей (правой и левой) и имеет две асимптоты: , первая из которых уже рассмотрена, а вторая представляет собой ее симметричное отражение относительно оси Ох (или оси Оу).

Оси симметрии называются осями гиперболы, а центр симметрии (точка пересечения осей) — центром гиперболы. Одна из осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются ее вершинами (они на рис. 37 обозначены буквами А’ и А). Эта ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется мнимой осью гиперболы. Прямоугольник ВВ’С’С со сторонами 2а и 2b (рис. 37) называется основным прямоугольником гиперболы. Величины а и Ь называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.

также определяет гиперболу. Она изображена на рис. 37 пунктирными линиями; вершины ее лежат на оси Оу. Эта гипербола называется сопряженной по отношению к гиперболе (15). Обе эти гиперболы имеют одни и те же асимптоты.

Гипербола с равными полуосями (а = b) называется равносто-нней и ее каноническое уравнение имеет вид

Так как основной прямоугольник равносторонней гиперболы является квадратом, то асимптоты равносторонней гиперболы перпендикулярны друг другу.

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение , где с — половина расстояния между фокусами, а — действительная полуось гиперболы.

Эксцентриситет гиперболы (как и эллипса) обозначим буквой е. Так как с>а, то е>1, т. е. эксцентриситет гиперболы больше единицы. Заметив, что , найдем

Из последнго равенства легко получается геометрическое истолкование эксцентриситета гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше отношение b/а, а это означает, что основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.

В случае равносторонней гиперболы

Директрисы эллипса и гиперболы

Определение:

Две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии а/е от него, называются директрисами эллипса (здесь а — большая полуось, е — эксцентриситет эллипса).

Уравнения директрис эллипса, заданного каноническим уравнением (7), имеют вид

Так как для эллипса е а. Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эллипса, а левая — левее его левой вершины (рис. 38).

Определение:

Две прямые, перпендикулярные действительной Си гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии а/е от него, называются директрисами гиперболами (здесь а—действительная полуось, е—эксцентриситет гиперболы).

Уравнения директрис гиперболы, заданной каноническим уравнением (15), имеют вид

Так как для гиперболы е>1, то а/е 1. Соответственно, возникает вопрос, что представляет собой множество точек, определенное аналогичным образом при условии е = 1. Оказывается это новая линия второго порядка, называемая параболой.

Парабола

Определение:

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Для вывода уравнения параболы введем на плоскости прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус перпендикулярно директрисе, и будем считать ее положительным направлением направление от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Выведем уравнение параболы в выбранной системе координат.

Пусть М (х; у) — произвольная точка плоскости. Обозначим через r расстояние от точки М до фокуса , через d- расстояние от точки М до директрисы, а через р — расстояние от фокуса до директрисы (рис. 40). Величину р называют парамет ром параболы, его геометрический смысл раскрыт далее. Точка М будет лежать на данной параболе в. том и только в том случае, когда

Фокус F имеет координаты (р/2; 0); поэтому по формуле (1) из § 2 находим

Расстояние d, очевидно, выражается равенством (рис. 40)

Отметим, что эта формула верна только для хО. Если же х d, и, следовательно, такая точка не лежит на параболе. Заменяя в равенстве (24) г и d их выражениями (25) и (26), найдем

Это и есть искомое уравнение параболы. Приведем его к более удобному виду, для чего возведем обе части равенства (27) в квадрат. Получаем

Проверим, что уравнение (28), полученное после возведения в квадрат обеих частей уравнения (27), не приобрело «лишних» корней. Для этого достаточно показать, что для любой точки М (х; у), координаты которой удовлетворяют уравнению (28). выполнено соотношение (24). Действительно, из уравнения (28) вытекает, что х0, поэтому для точки М (х; у) с неотрицательной абсциссой d= р/2+х. Подставляя значение из (28) в выражение (25) для r и учитывая, что хО, получаем r=р/2+x, величины r и d равны, что и требовалось показать. Таким образом, уравнению (28) удовлетворяют координаты точек данной параболы и только они, т. е. уравнение (28) является уравнением иной параболы.

Уравнение (28) называется каноническим уравнением параболы. о уравнение второй степени. Таким образом, парабола есть ли-я второго порядка.

Исследуем теперь форму параболы по ее уравнению (28). Так к уравнение (28) содержит у только в четной степени, то пара-ла симметрична относительно оси Ох. Следовательно, достаточно смотреть только ее часть, лежащую в верхней полуплоскости. Для этой части у0, поэтому разрешая уравнение (28) относительно у, получаем

Из равенства (29) вытекают следующие утверждения.

1)Если х Общее уравнение линии второго порядка

Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам.

Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий вид:

где коэффициенты А, 2В, С, 2D, 2Е и F — любые числа и, кроме того, числа А, В и С не равны нулю одновременно, т. е.

1.Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду.

Лемма:

Пусть в прямоугольной системе координат Оху задано уравнение (1) и пусть Тогда с помощью параллельного сдвига и последующего поворота осей координат уравнение (1) приводится к виду

где А’, С’, F’— некоторые числа; (х»; у») — координаты точки в новой системе координат.

Доказательство:

Пусть прямоугольная система координат О’х’у’ получена параллельным сдвигом осей Ох и Оу, причем начало координат перенесено в точку . Тогда старые координаты (х; у) будут связаны с новыми (х’; у’) формулами

(см. формулы (1), § 4). В новых координатах уравнение (1) принимает вид

В уравнении (3) коэффициенты D’ и Е’ обращаются в нуль, если подобрать координаты точки так, чтобы выполнялись равенства

Так как , то система (4) имеет единственное решение относительно

Если пара чисел представляет собой решение системы (4), то уравнение (3) можно записать в виде

Пусть теперь прямоугольная система координат О’х»у» получена поворотом системы О’х’у’ на угол а. Тогда координаты х’, у’ будут связаны с координатами х», у» формулами

(см. формулы (3), § 4). В системе координат О’х»у» уравнение (5) принимает вид

Выберем угол а так, чтобы коэффициент В’ в уравнении (6) обратился в нуль. Это требование приводит к уравнению 2В cos 2а=(А — С) sin 2а относительно а. Если А = С, то cos2a=0, и можно положить . Если же АС, то выбираем а=, и уравнение (6) принимает вид

т. е. получили уравнение (2).

Замечание. Уравнения (4) называются уравнениями центра линии второго порядка, а точка , где —решение системы (4), называется центром этой линии. Заметим, что необходимым и достаточным условием существования единственного решения системы (4) является отличие от нуля числа , называемого определителем системы (см. гл. 10 § 2).

2.Инвариантность выражения . Классификация линий второго порядка. Коэффициенты А, В и С при старших членах уравнения (1) при параллельном переносе осей координат, как следует из доказательства леммы 3.1, не меняются, но они меняются при повороте осей координат. Однако выражение остается неизменным как при переносе, так и при повороте осей, т. е. не зависит от преобразования координат. Действительно, при параллельном переносе этот факт очевиден [см. формулы (Г) и (5)J; проверим его при повороте осей. Для этого воспользуемся выражениями для коэффициентов А’, В’ и С’ уравнения (6). Имеем

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим

что и требовалось показать.

Величина называется инвариантом общего уравнения линии второго порядка. Она имеет важное значение в исследовании линий второго порядка.

В зависимости от знака величины линии второго порядка разделяются на следующие три типа:

1)эллиптический, если >0;

2)гиперболический, если 0, согласно лемме 3.1, общее уравнение линии второго порядка может быть приведено к виду (для удобства записи опускаем штрихи у коэффициентов и координат)

Возможны следующие случаи:

а) А>0, С>0 (случай А 0, С>0 умножением уравнения на —1) и F 0, С>0 и F>0. Тогда, аналогично предыдущему, уравнение можно привести к виду

Этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости. Оно называется уравнением мнимого эллипса.

в)А>О, С>О, F = 0. Уравнение имеет вид

Ему удовлетворяют координаты только одной точки х = 0, у = 0. Такое уравнение назовем уравнением пары мнимых пересекающихся прямых.

2)Гиперболический тип. Поскольку 0, С О сводится к случаю а>0, С 0, С Аналитическая геометрия на плоскости — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

Декартовы системы координат. Простейшие задачи

1°. Введение координат позволяет решать многие задачи алгебраическими методами и, обратно, алгебраическим объектам (выражениям, уравнениям, неравенствам) придавать геометрическую интерпретацию, наглядность. Наиболее привычна для нас прямоугольная система координат Оху: две взаимно перпендикулярные оси координат — ось абсцисс Ох и ось ординат Оу — с единой единицей масштаба.

2°. Расстояние между данными точками (рис. 2.1) вычисляется по формуле

3°. Будем говорить, что точка делит отрезок в отношении, если (рис. 2.2). Если — данные точки, то координаты точки М определяются по формулам

При = 1 точка М делит пополам и

Примеры с решениями

Пример:

Отрезок АВ делится точкой С(-3,0) в отношении Найти длину АВ, если задана точка А(—5, -4).

Решение:

1) Для нахождения искомой длины по формуле п. 2° необходимо знать координаты точки , которые определим по формулам п. 3°.

откуда Итак, B(0,6).

3)

Ответ.

Полярные координаты

1°. Если прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными осями координат Ох и Оу , то полярная система задается одним лучом (например, Ох), который обозначается Or и называется полярной осью, а точка О — началом полярной оси, или полюсом. В полярной системе координат положение точки М на плоскости определяется двумя числами: углом у (в градусах или радианах), который образует луч ОМ с полярной осью, и расстоянием r = ОМ точки М от начала полярной оси. Записываем При этом для точки О: r = 0, — любое.

Если поворот от оси Or к ОМ совершается против часовой стрелки, то считают положительным (рис. 2.3, а), в противном случае — отрицательным.

Переменный луч ОМ описывает всю плоскость, если изменять в пределах

Иногда есть смысл считать, что . В таком случае луч ОМ описывает плоскость бесконечное множество раз (иногда говорят, что ОМ описывает бесконечное множество плоскостей).

2°. Можно совместить ось Or с лучом Ох прямоугольной системы Оху, для того чтобы получить связь полярных координат точки М с прямоугольными (рис. 2.3,6). Имеем очевидные формулы:

Формулы (1) выражают прямоугольные координаты через полярные.

Полярные координаты выражаются через прямоугольные по формулам

Формула определяет два значения полярного угла . Из этих двух значений следует брать то, которое удовлетворяет равенствам (1).

3°. Если в системе Оху привычно иметь дело с функцией у = у(х) (хотя можно и х = х(у)), то в полярной системе столь же привычна функция

4°. Построение кривой выполняется по точкам (чем их больше, тем лучше) с учетом правильного анализа функции , обоснованных выводов о ее свойствах и точности глазомера при проведении линии.

Примеры с решениями

Пример:

Построить кривую (линейная функция).

Решения:

Ясно, что измеряется в радианах, или — число, иначе не имеет смысла. Функция определена только при , и может изменяться от 0 до . Точки с полярными координатами расположены на одном луче (рис. 2.4).

Таким образом, график линейной функции представляет собой спираль с началом в точке О. Эта спираль — след точки при неограниченном повороте текущего (переменного) отрезка ОМ вокруг точки О против часовой стрелки.

Пример:

Построить кривую

Решение:

Проведем анализ данной функции.

1) Эта функция нечетна, поэтому можно ограничиться значениями а тогда

то— периодическая функция с периодом . Можно предположить, что будет какое-то «повторение» графика (это в самом деле имеет место, но аналогия с графиком не совсем адекватная).

3) Функция имеет смысл, если . Этот сектор
плоскости обозначен на рис. 2.5 знаком «+». Если же то , а тогда , и равенство не имеет смысла. На рис. 2.5 этот сектор плоскости заштрихован (изьят из рассмотрения).

4) Далее рассмотрим промежуток и составим таблицу значений функции , . Для того чтобы получить как можно больше точек искомой кривой, берем набор табличных значений для , т.е. как будто мы заполняем сначала третью строку этой таблицы, а затем первую строку, вторую и четвертую .

5) На девяти различных лучах в промежутке надо
построить точки на обозначенных в таблице расстояниях. Правда, на первом и последнем лучах соответствующие точки кривой совпадают с началом координат. Конечно, мы делаем это весьма приблизительно, но именно тут точность глазомера даст наиболее эффективный чертеж. Хорошо при этом иметь под рукой транспортир и циркуль.

6) Мы получили «лепесток» (рис. 2.6) — это треть графика. Другие два лепестка расположены внутри углов со знаками «+». Периодичность сводится к повороту нашего рисунка на угол , затем повторению этого поворота.

7) Полученная трехлепестковая фигура — результат периодичности. В этом состоит отличие от периодичности функции : все точки вида различны, а здесь из точек вида только три различны (при n = 0, n = 1, n = 2), остальные геометрически совпадают с одной из них (рис. 2.7).

Пример:

Построить кривую .

Решение:

1) Для того, чтобы построить график рассматриваемой функции, ограничимся плоскостью Оху, на которой
2) Если , то а если , то .

3) Остается взять табличные значения для — и построить соответствующую таблицу:

4) Соединяя соответствующие точки, получаем линию (рис. 2.8).
5) Если бы мы изменяли в противоположную сторону: , то получили бы аналогичную линию; она обозначена пунктиром.

6) Для того чтобы получить полную замкнутую линию — график функции , рассуждаем так.

Нам надо иметь для промежуток длиною в период . Далее,

в) От имеем как раз один период .

г) Этот промежуток делим на две половины и . На первой его половине реализуется полная линия, второй она не определена.

Остается изобразить эту линию на чертеже — это OABCDEO (рис. 2.9). Угловые координаты этих точек таковы:

Реализована эта линия при полутора полных оборотах текущего радиуса около начала координат, или как бы на двух л истах-плоскостях.

Линии первого порядка

1°. Прямая линия на плоскости отождествляется с множеством всех точек, координаты которых удовлетворяют некоторому линейному уравнению. Различают следующие виды уравнения прямой:

1) Ах + By + С = 0, где А и В не равны одновременно нулю, — общее уравнение прямой;

2) у = kx + b — уравнение прямой с угловым коэффициентом k , при этом , где — угол наклона прямой k оси Ох (точнее, a — угол, на который надо повернуть ось Ох против часовой стрелки до совпадения с прямой, рис. 2.10); b — величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу;

3) — уравнение прямой в отрезках. Здесь а и b суть отрезки, отсекаемые прямой от осей Ох и Оу соответственно (рис. 2.11);

4) — нормальное уравнение прямой. Здесь — угол между положительным направлением оси Ох и перпендикуляром ОР, |р| — длина перпендикуляра ОР (рис. 2.12).

Примечание:

Заметим, что одна прямая (один геометрический объект) может быть задана формально разными уравнениями. Это означает, что соответствующие уравнения для одной прямой должны быть равносильными, а тогда каждое из них можно привести (преобразовать) к любому другому (кроме некоторых исключительных случаев). В связи с этим отметим соотношения между параметрами различных уравнений:

2°. Уравнения конкретных прямых l.

1) — l проходит через данную точку и имеет данный угловой коэффициент k (или данное направление : ) при условии, что (рис. 2.13);

2) при условии, что ;

3) — l проходит через две данные точки
при условии, что (рис. 2.14, а); 4) при условии, что (рис. 2.14,б).

3°. Угол в между прямыми
определяется через тангенс: ; стрелка означает, что угол определяется как угол поворота от прямой к прямой .

Отсюда, в частности, следуют признаки параллельности и перпендикулярности прямых:

4°. Точка пересечения двух прямых определяется решением системы, составленной из уравнений этих прямых:

5°. Расстояние от данной точки до данной прямой l : определяется по формуле

В частности, — расстояние от начала координат до прямой l .

6°. Пересекающиеся прямые определяют два смежных угла. Уравнения биссектрис этих углов имеют вид

Эти биссектрисы взаимно перпендикулярны (предлагаем доказать это).

7°. Множество всех прямых, проходящих через точку , называется пучком прямых. Уравнение пучка имеет вид или произвольные числа, — точка пересечения ).

8°. Неравенство определяет полуплоскость с ограничивающей ее прямой Ах + By + С = 0. Полуплоскости принадлежит точка , в которой

Примеры с решениями

Пример:

По данному уравнению прямой

1. общее уравнение;
2. уравнение с угловым коэффициентом;
3. уравнение в отрезках;
4. нормальное уравнение.

Решение:

1) Приведя к общему знаменателю, получим общее уравнение прямой (п. 1°) Зх — 4у — 4 = 0.

2) Отсюда легко получить уравнение прямой с угловым коэффициентом

3) Уравнение в отрезках получим из общего уравнения Зх — 4у = 4 почленным делением на свободный член:

4) Для получения нормального уравнения найдем

и Таким образом, — нормальное уравнение.

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых х + у — 2 = 0 и Зх + 2у — 5 = 0 перпендикулярно к прямой Зх + 4у — 12 = 0.

Решение:

1) Координаты точки пересечения прямых найдем, решив систему

2) Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны (п. 3°) так: . Угловой коэффициент данной прямой равен

(п. 1°). Значит,

3) Искомое уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент (п. 2°), запишем в виде Приведем его к общему виду: 4х — Зу — 1 = 0.

Пример:

Дан треугольник с вершинами А(1,-1), B(—2,1), С(3, —5). Написать уравнение перпендикуляр

Решение:

1) Сделаем схематический чертеж (рис. 2.15). 2) Медиана ВМ точкой М делит отрезок АС пополам, значит (п. 3°),

3) Уравнение ВМ запишем (п. 2°) в видеили

4) Из условия следует, что (п. 3°).

5) Искомое уравнение имеет вид: или

Пример:

Дан треугольник с вершинами А(7,0), В(3,4), С(2, —3). Найти уравнения стороны АВ, высоты CD, биссектрисы BE, их длины и угол А. Определить вид треугольника по углам. Описать треугольник системой неравенств. Сделать чертеж.

Решение:

Чертеж построен (рис. 2.16).

5) Для составления уравнения биссектрисы BE (п. 6°) нужно знать уравнения ВС и АВ. Найдем уравнение (ВС):

6) Для нахождения высоты CD используем формулу п. 5°:

7) Длину биссектрисы BE найдем так. Точка Е есть точка пересечения двух прямых BE и АС. Найдем уравнение АС:

Координаты точки Е найдем как решение системы

Итак,. Теперь определим расстояние BE:

Угол A находим по формуле , где Имеем: , а тогда

9) Пусть a, b, c — стороны треугольника, с — большая из них. Если , то треугольник прямоугольный, если — тупоугольный, если — остроугольный, Квадраты сторон нашего треугольника равны: Поскольку DC — большая сторона и , то треугольник остроугольный.

10) Уравнение (АВ): х + у — 7 = 0. Треугольник AВС находится по отношению к этой прямой в полуплоскости, содержащей точку С(2,-3). В этой точке левая часть уравнения равна 2-3-7 = -8 0 (ибо в точке А(7,0) имеем неравенство 7 • 7 — 0 — 17 > 0).

Под треугольником подразумевается множество точек, лежащих внутри треугольника и на его сторонах, поэтому мы записываем нестрогие неравенства:

Пример:

Полярное уравнение записать прямоугольных координатах.

Решение:

Перепишем сначала данное уравнение в виде и используем формулы:Получаем уравнение прямой: 2х — 5у = 7.

Линии второго порядка

К кривым второго порядка относятся следующие четыре линии: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Координаты х, у точек каждой из этих линий удовлетворяют соответствующему уравнению второй степени относительно переменных х и у.

Ниже под геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ) подразумевается некоторое множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют определенному условию. Определения кривых второго порядка дадим через ГМТ, указывая свойства этих точек.

Окружность

Окружностью радиуса R с центром в точке называется ГМТ, равноудаленных от точки на расстоянии R.

Каноническое уравнение окружности имеет вид

Примеры с решениями

Пример:

Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок, отсекаемый координатными осями от прямой Зх -2у + 12 = 0.

Решение:

На рис. 2.17 изображена прямая Зх — 2у + 12 = 0. Она пересекает координатные оси в точках A(-4,0), В(0,6).

1) Центром окружности является точка — середина отрезка АВ. Координаты этой точки определим по формулам
:

2) Радиус R окружности, равный , вычисляем, например, по формуле :

3) Каноническое уравнение искомой окружности имеет вид
Примечание. Если в последнем уравнении выполнить обозначенные действия, то получаем уравнение Оно называется общим уравнением окружности. Это неполное уравнение второй степени относительно переменных х и у.

Эллипс

Эллипсом называется ГМТ, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. (Данная величина больше расстояния между фокусами.)

Если предположить, что фокусы эллипса расположены в точках а данная величина равна 2а, то из его определения можно получить каноническое уравнение эллипса

При этом а > 0 — большая полуось, b > 0 — малая полуось, с — фокусное расстояние и Точки (а,0) и (-а,0) называют вершинами эллипса.

Сам эллипс изображен на рис. 2.18. Важными характеристиками эллипса являются:

— эксцентриситет ; если то эллипс почти круглый, т.е. близок к окружности, а если то эллипс сплющенный, близок к отрезку [-а; а];

— директрисы эллипса — прямые с уравнениями ;

— расстояния точки М(х,у) эллипса до его фокусов ( до левого, до правого), вычисляющиеся по формулам:

Примеры с решениями

Пример:

Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей и проходящего через точки и .Найти расстояния от точки А до фокусов. Найти эксцентриситет эллипса. Составить уравнения его директрис. Построить чертеж.

Решение:

1) Параметры а и b эллипса найдем, подставив в это уравнение координаты точек А и В. Это приводит к системе

После умножения первого уравнения на 16, а второго на -9 и сложения полученных результатов имеем

Отсюда с учетом b > 0 находим b = 4, а тогда а = 5.

Каноническое уравнение эллипса найдено:

2) Фокусное расстояние

3) Эксцентриситет равен

4) Расстояние от А до фокусов:

5) Уравнения директрис: (левая), (правая).

Чертеж построен (рис. 2.19).

Пример:

Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей, проходящего через точку А(—3, 1,75) и имеющего эксцентриситет= 0,75.

Решение:

Имеем систему уравнений относительно параметров а, b, с =

(эллипс проходит через точку А),

или (дан эксцентриситет).

Из второго уравнения находим:

Подставляя это в первое уравнение, получим а тогда
Уравнение эллипса

Пример:

Составить уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами на оси Ох, если его эксцентриситет равен , а прямая, проходящая через его левый фокус и точку , образует с осью Ох угол .

Решение:

1) Сделаем чертеж (рис. 2.20).

2) Каноническое уравнение искомого эллипса есть и

задача сводится к нахождению параметров а и b.

3) Вспомним, что

Как видно, достаточно найти с. Составим уравнение прямой

С другой стороны, по определению, угловой коэффициент прямой есть тангенс угла наклона прямой к оси Ox, Значит,

По найденному значению с определим

Пример:

Записать в прямоугольных координатах полярное

Решение:

Сначала перепишем данное уравнение в виде и воспользуемся формулами (заменами)Получаем: Далее, возведя сначала это равенство в квадрат, после преобразований и выделения полного квадрата получаем:

Получили каноническое уравнение эллипса с центром в точкеи полуосями

Гипербола

1°. Гиперболой называется ГМТ, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. (Данная величина меньше расстояния между фокусами.)

2°. Если фокусы гиперболы расположены в точках а данная величина равна 2а, то такая гипербола имеет каноническое уравнение

где

При этом а — действительная полуось, b — мнимая полуось — фокусное расстояние (рис. 2.21).

3°. Прямые с уравнениями , называются асимптотами гиперболы. Величина называется эксцентриситетом гиперболы (при больших ветви гиперболы широкие, почти вертикальные, а при ветви гиперболы узкие, гипербола приближается к оси Ox).

Расстояния от точки М(х, у) гиперболы до ее фокусов ( от левого, от правого) равны:

Прямые с уравнениями называются директрисами гиперболы.

Примеры с решениями

Пример:

На гиперболе с уравнением найти

точку М, такую, что . Составить уравнения асимптот и директрис гиперболы. Найти ее эксцентриситет. Сделать чертеж.

Решение:

1) Имеем а = 4, b = 3, с = 5. Гиперболу строим так (рис. 2.22): в прямоугольнике со сторонами (т.е. ) проводим диагонали (это асимптоты гиперболы, т.е. прямые у нас ).

Ветви гиперболы проходят через точки (4,0), (-4,0), приближаясь к асимптотам, создавая впечатление почти параллельных линий. Фокусы считаются лежащими внутри гиперболы.

2) Имеем Искомую точку М(х, у) определим при помощи формулы или

Находим

Поскольку М<х, у) лежит на гиперболе ординаты соответствующих точек найдем из этого уравнения при найденных значениях x: и если то у

a если то

(это число не существует в нужном нам смысле)

Получили две точки, удовлетворяющие данным условиям,

3) Уравнения директрис данной гиперболы:

Пример:

На гиперболе найти точку М(х, у), такую, что ее расстояние до одной асимптоты в три раза больше, чем расстояние до другой асимптоты.

Решение:

1) Сделаем символический чертеж гиперболы (рис. 2.22) и ее асимптот. На нем изображены две различные возможные ситуации, удовлетворяющие условиям задачи: расстояние от точки М до асимптоты в три раза больше, чем расстояние до асимптоты для точки — наоборот.

2) Уравнения асимптот:

3) Для точки имеем По соответствующим формулам это равенство можно переписать в виде

4) Так как лежит на гиперболе, то нам надо решить еще
системы

Из первой находим что соответствует двум точкам

Вторая система решений не имеет.

5) Что касается координат точки М, то предлагаем убедиться самостоятельно в том, что

Пример:

Определить координаты точки пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через фокусы гиперболы если известно, что точка A(6,-2) лежит на прямой, проходящей через ее правый фокус.

Решение:

1) Сделаем чертеж (рис. 2.24) и выпишем параметры гиперболы. Имеем а = 4, b = 3, с = 5, Переходим к вычислениям.

2) Составим уравнение по двум точкам:

3) Составим уравнение прямой проходящей через перпендикулярно прямой Имеем а тогда Получаем

4) Координаты точки М получаются как решение системы

Парабола

Параболой называется ГМТ, для которых расстояние до фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, называемой директрисой. Если фокус параболы расположен в точке а директриса имеет уравнение то такая парабола имеет каноническое уравнение При этом р называется параметром параболы. Расстояние от точки М(х, у) параболы до фокуса F равно (рис. 2.25).

Примеры с решениями

Пример:

Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу, если она проходит через точки пересечения прямой х — у = 0 и окружности

Решение:

Уравнение искомой параболы должно иметь вид она изображена на рис. 2.26. Найдем точки пересечения данных прямой и окружности:

Получили .Так как точка лежит на параболе, то справедливо равенство и искомое уравнение параболы есть х2 = 3у.

Пример:

Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с вершиной в начале координат, если известно, что парабола проходит через точку А(2,2).

Найти длину хорды, проходящей через точку М(8,0) и наклоненной к оси Ох под углом 60°.

Решение:

1) Сделаем чертеж (рис. 2.27).

2) Каноническое уравнение такой параболы имеет вид . Неизвестный параметр р определим из условия прохождения параболы через точку A(2,2):

Итак, уравнение параболы

3) Найдем координаты точек точки лежат на параболе, поэтому Из прямоугольных треугольников имеем соответственно:Итак, неизвестные координаты точек удовлетворяют системам

решив которые, найдем Искомая длина хорды

Ответ.

Пример:

Уравнение параболы записать в полярных координатах.

Решение:

Подставляем в данное уравнение

При получаем или

Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

1°. Даны две прямоугольные системы координат со свойствами (рис. 2.28): оси Ох и , а также Оу и параллельны и одинаково направлены, а начало системы имеет известные координаты относительно системы Оху.

Тогда координаты (х,у) и произвольной точки М плоскости связаны соотношениями:

Формулы (3) называются формулами преобразования координат при параллельном переносе осей координат.

2°. Предположим, что прямоугольные системы координат имеют общее начало, а ось составляет с осью Ох угол (под понимается угол поворота оси относительно Ох). Тогда

координаты (х, у) и произвольной точки М плоскости связаны соотношениями (рис. 2.29):

Формулы (4) называются формулами преобразования координат при повороте осей координат.

3°. Общее уравнение второго порядка относительно переменных х и у имеет вид

Существует угол , такой что формулами поворота осей на уголуравнение (5) можно привести к виду (в нем коэффициент при равен нулю)

Соответствующий угол можно найти из уравнения

4°. Уравнение (6) приводится к каноническому виду при помощи формул параллельного переноса.

Заметим, что окончательное уравнение может и не иметь геометрического изображения, что подтверждает, например, уравнение х2 + у2 + 1 = 0.

Примеры с решениями

Пример:

Привести к каноническому виду следующие уравнения второго порядка:

Построить геометрическое изображение каждого уравнения. Решение. 1) Этот пример решим достаточно подробно, не прибегая к формулам (7) и (8).

а) Выполним поворот осей координат на угол при помощи первых формул (4). Имеем последовательно

б) Выделим отдельно слагаемые, содержащие произведение :

Ставим условие, чтобы это выражение было тождественно равно нулю. Это возможно при условии

находим . Выберем угол так, что . Это соответствует тому, что ось составляет с осью Ох положительный угол . Из равенства находим:

в) Подставим полученные выражения в последнее уравнение из п. а). Получаем последовательно (слагаемые, содержащие, опускаем — их вклад в уравнение равен нулю, чего добились в п. б):

г) В круглые скобки добавим надлежащие числа для получения полных квадратов. После вычитания соответствующих слагаемых приходим к равносильному уравнению

д) Для приведения этого уравнения к каноническому виду воспользуемся формулами параллельного сдвига, полагая

и последующего почленного деления уравнения на 36. Получаем каноническое уравнение эллипса в системе координат (рис. 2.30).

2) Этот пример решим, используя формулы (7) и уравнение (8). Имеем: А = 3, В = 5, С = 3, D = -2, Е = -14, F = -13. Уравнение (8)принимает вид откуда а = 45°,

По формулам (7) последовательно находим:

В системе координат исходное уравнение принимает вид

После выделения полных квадратов получаем

и почленно разделим на 4. Получаем каноническое уравнение гиперболы, изображенной на рис. 2.31.

3) Уравнение (8) в данном случае приводится к виду Принимаем По формулам (7) приходим к новому уравнению или Формулы параллельного переноса приводят к каноническому уравнению параболы (рис. 2.32). 15

4) Для приведения этого уравнения к каноническому виду достаточно составить полные квадраты:

Получили уравнение окружности радиуса с центром в точке (рис. 2.33).
5) Соответствующее уравнение (8) имеет вид тогда

Коэффициенты нового уравнения равны: Само уравнение имеет вид и геометрического изображения не имеет. Оно выражает мнимый эллипс

Система координат на плоскости

Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат.

Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми — осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу масштаба обычно берут одинаковой для обеих осей. Эти оси называют осями координат, точку их пересечения О — началом координат. Одну из осей называют осью абсцисс (осью Ох), другую — осью ординат (осью Оу) (рис. 23).

На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и направленной слева направо, а ось ординат — вертикально и направленной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области — четверти (или квадранты).

Единичные векторы осей обозначают

Систему координат обозначают , а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью.

Рассмотрим произвольную точку М плоскости Оху. Векторназывается радиусом-вектором точки М.

Координатами точки М в системе координат называются координаты радиуса-вектора . Если , то координаты точки М записывают так: М(х ,у), число х называется абсциссой точки М, у — ординатой точки М.

Эти два числа х к у полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел x и у соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот.

Способ определения положения точек с помощью чисел (координат) называется методом координат. Сущность метода координат на плоскости состоит в том, что всякой линии на ней, как правило, сопоставляется ее уравнение. Свойства этой линии изучаются путем исследования уравнения линии.

Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным вектором того же направления, что и луч Ор.

Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О и углом , образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см. рис. 24).

Числа r и называются полярными координатами точки М, пишут , при этом г называют полярным радиусом, — полярным углом.

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол ограничить промежутком , а полярный радиус — . В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел r и , и обратно.

Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху, а полярную ось — с положительной полуосью Ох. Пусть х и у — прямоугольные координаты точки М, а r и — ее полярные координаты.

Из рисунка 25 видно, что прямоугольные и полярные координаты точки М выражаются следующим образом:

Определяя величину , следует установить (по знакам х и у) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать , что

Пример:

Дана точка . Найти полярные координаты точки М.

Решение:

Находим :

Отсюда . Но так кале точка М лежит в 3-й четверти, то Итак, полярные координаты точки есть

Основные приложения метода координат на плоскости

Расстояние между двумя точками

Требуется найти расстояние d между точками плоскости Оху.

Решение:

Искомое расстояние d равно длине вектора . Т. е.

Деление отрезка в данном отношении

Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки в заданном отношении , т. е. найти координаты точки М(х ; у) отрезка АВ такой, что (СМ. рис. 26).

Решение:

Введем в рассмотрение векторы . Точка М делит отрезок АВ в отношении , если

Уравнение (9.1) принимает вид

Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем

Формулы (9.2) и (9.3) называются формулами деления отрезка в данном отношении. В частности, при , т. е. если AM = MB, то они примут вид . В этом случае точка М(х;у) является серединой отрезка АВ.

Замечание:

Если , то это означает, что точки А и М совпадают, если , то точка М лежит вне отрезка АВ— говорят, что точка М делит отрезок АВ внешним образом (, т. к. в противном случае , т. е. AM + MB = 0, т. е. АВ = 0).

Площадь треугольника

Требуется найти площадь треугольника ABC с вершинами

Решение:

Опустим из вершин А, В, С перпендикуляры на ось Ох (см. рис. 27). Очевидно, что

Замечание: Если при вычислении площади треугольника получим S = 0, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.

Преобразование системы координат

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.

Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.

Параллельный перенос осей координат

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху. Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат Оху к новой системе , при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.

Пусть начало новой системы координат точка имеет координаты ) в старой системе координат Оху, т. е.— Обозначим координаты произвольной точки М плоскости в системе Оху через (х; у), а в новой системе через (см. рис. 28).

Так как т. е.

Полученные формулы позволяют находить старые координаты х и у по известным новым х’ и у‘ и наоборот.

Поворот осей координат

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Пусть новая система получена поворотом системы Оху на угол (см. рис. 29).

Пусть М — произвольная точка плоскости, (х; у) — ее координаты в старой системе и (х’; у’) — в новой системе.

Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями (масштаб одинаков). Полярный радиус r в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны , где — полярный угол в новой полярной системе.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем

Но . Поэтому

Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты (x; у) произвольной точки М через новые координаты (х’;у’) этой же точки М, и наоборот.

Если новая система координат получена из старой Оху путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол (см. рис. 30), то путем введения вспомогательной системы легко получить формулы

выражающие старые координаты х и у произвольной точки через ее новые координаты х’ и у’.

Линии на плоскости

Линия на плоскости часто задается как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x; у) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Переменные х и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того чтобы установить лежит ли точка на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбранной системе координат.

Пример:

Лежат ли точки К(-2;1) и L(1; 1) на линии 2х + у + 3 = 0?

Решение:

Подставив в уравнение вместо х и у координаты точки К, получим 2 • (-2) + 1 + 3 = 0. Следовательно, точка К лежит на данной линии. Точка L не лежит на данной линии, т. к.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями , сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.

Уравнение называется уравнением данной линии в полярной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

где х и у — координаты произвольной точки М(х; у), лежащей на данной линии, a t — переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости.

Например, если , то значению параметра t = 2 соответствует на плоскости точка (3; 4), т. к.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется параметрическим, а уравнения (10.1) — параметрическими уравнениями линии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению вида F(x; у) = 0, надо каким-либо способом из двух уравнений исключить параметр t. Например, от уравнений путем подстановки t = х во второе уравнение, легко получить уравнение ; или , т. е. вида F(x; у) = 0. Однако, заметим, такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен.

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением , где t — скалярный переменный параметр. Каждому значению соответствует определенный вектор плоскости. При изменении параметра t конец вектора опишет некоторую линию (см. рис. 31).

Векторному уравнению линии в системе координат Оху соответствуют два скалярных уравнения (10.1), т. е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения.

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемешается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, а линия — траекторией точки, параметр t при этом есть время.

Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида F(x; у) = 0.

Всякому уравнению вида F(x; у) = 0 соответствует, вообще говоря, некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением (выражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исключения. Так, уравнению соответствует не линия, а точка (2; 3); уравнению на плоскости не соответствует никакой геометрический образ).

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.

На рисунках 32-40 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.

Параметрические уравнения циклоиды имеют вид Циклоида — это кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катящаяся без скольжения по неподвижной прямой.

Уравнения прямой на плоскости

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой b точки пересечения с осью Оу и углом а между осью Ох и прямой (см. рис. 41).

Под углом наклона прямой понимается наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси Ох против часовой стрелки ось Ох до ее совпадения с прямой.

Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у) (см. рис. 41). Проведем через точку N ось Nx’, параллельную оси Ох и одинаково с ней направленную. Угол между осью Nx’ и прямой равен а. В системе Nx’y точка М имеет координаты х и у — b. Из определения тангенса угла следует равенство Введем обозначение получаем уравнение

которому удовлетворяют координаты любой точки М(х ; у) прямой. Можно убедиться, что координаты любой точки Р<х; у), лежащей вне данной прямой, уравнению (10.2) не удовлетворяют.

Число называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (10.2) — уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то b=0 и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид у =kх.

Если прямая параллельна оси Ох, то , следовательно, и уравнение (10.2) примет вид у = b.

Если прямая параллельна оси Оу, то уравнение (10.2) теряет смысл, т.к. для нее угловой коэффициент не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид

где а — абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что уравнения (10.2) и (10.3) есть уравнения первой степени.

Общее уравнение прямой

Рассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общем виде

где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.

Покажем, что уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии. Возможны два случая.

Если В = 0, то уравнение (10.4) имеет вид Ах + С = 0, причем Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку .

Если , то из уравнения (10.4) получаем . Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом

Итак, уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии, оно называется общим уравнением прямой.

Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

1) если А = 0, то уравнение приводится к виду Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;

2) если В = 0, то прямая параллельна оси Оу;

3) если С = 0, то получаем Ах+By = 0. Уравнению удовлетворяют координаты точки O(0; 0), прямая проходит через начало координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая проходит через точку и ее направление характеризуется угловым коэффициентом k. Уравнение этой прямой можно записать в виде у = kх + b, где b — пока неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку , то координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: . Отсюда ..

Подставляя значение b в уравнение у = kх + b, получим искомое уравнение прямой , т. е.

Уравнение (10.5) с различными значениями к называют также уравнениями пучка прямых с центром в точке . Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть прямая проходит через точки Уравнение прямой, проходящей через точку , имеет вид
где k — пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (10.6):

Отсюда находим . Подставляя найденное значение k в уравнение (10.6), получим уравнение прямой, проходящей через точки

Предполагается, что в этом уравнении Если , то прямая, проходящая через точки ,параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид .

Если , то уравнение прямой может быть записано в виде , прямая параллельна оси абсцисс.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке , а ось Оу — в точке (см. рис. 42). В этом случае уравнение (10.7) примет вид

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа а и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному ненулевому вектору .

Возьмем на прямой произвольную точку М(х ;у) и рассмотрим вектор (см. рис. 43). Поскольку векторы и перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: , то есть

Уравнение (10.8) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

Уравнение (10.8) можно переписать в виде

где А и В — координаты нормального вектора, — свободный член. Уравнение (10.9) есть общее уравнение прямой (см. (10.4)).

Полярное уравнение прямой

Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение можно определить, указав расстояние р от полюса О до данной прямой и угол между полярной осью ОР и осью l, проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой (см. рис. 44).

Для любой точки на данной прямой имеем:

С другой стороны,

Полученное уравнение (10.10) и есть уравнение прямой в полярных координатах.

Нормальное уравнение прямой

Пусть прямая определяется заданием р к (см. рис. 45). Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систему, взяв О за полюс и Ох за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде

Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты, имеем: Следовательно, уравнение (10.10) прямой в прямоугольной системе координат примет вид

Уравнение (10.11) называется нормальным уравнением прямой.

Покажем, как привести уравнение (10.4) прямой к виду (10.11).

Умножим все члены уравнения (10.4) на некоторый множитель Получим Это уравнение должно обратиться в уравнение (10.11). Следовательно, должны выполняться равенства:

Из первых двух равенств находим

Множитель называется нормирующим множителем. Согласно третьему равенству знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена С общего уравнения прямой.

Пример:

Привести уравнение -За; + 4у + 15 = 0 к нормальному виду.

Решение:

Находим нормирующий множитель .Умножая данное уравнение на , получим искомое нормальное уравнение прямой:

Прямая линия на плоскости. Основные задачи

Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами (см. рис. 46).

Требуется найти угол , на который надо повернуть в положительном направлении прямую вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой .

Решение: Имеем (теорема о внешнем угле треугольника) или . Если то

Ho поэтому

откуда легко получим величину искомого угла.

Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая — второй, то правая часть формулы (10.12) берется по модулю, т. е.

Если прямые параллельны, то Из формулы (10.12) следует . И обратно, если прямые таковы, что т. е. прямые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:

Если прямые перпендикулярны, то Следовательно, Отсюда (или ). Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, условием перпендикулярности прямых является равенство .

Расстояние от точки до прямой

Пусть заданы прямая L уравнением Ах + By + С = 0 и точка (см. рис. 47). Требуется найти расстояние от точки до прямой L.

Решение:

Расстояние d от точки до прямой L равно модулю проекции вектора , где — произвольная точка прямой L, на направление нормального вектора . Следовательно,

Так как точка принадлежит прямой L, то , т. е. . Поэтому

что и требовалось получить.
Пример:

Найти расстояние от точки до прямой Зх + 4у — 22 = 0.

Решение:

По формуле (10.13) получаем

Линии второго порядка на плоскости

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

Коэффициенты уравнения — действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.

Окружность

Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса R с центром в точке называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию Пусть точка в прямоугольной системе координат Оху имеет координаты , а М(х ;у) — произвольная точка окружности (см. рис. 48).

Тогда из условия получаем уравнение

Уравнению (11.2) удовлетворяют координаты любой точки

М(х;у) данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.

Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружности. В частности, полагая , получим уравнение окружности с центром в начале координат .

Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид . При сравнении этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:

1. коэффициенты при равны между собой;
2. отсутствует член, содержащий произведение ху текущих координат.

Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значения , получим

Преобразуем это уравнение:

Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при условии Ее центр находится в точке , радиус

Если же то уравнение (11-3) имеет вид

Ему удовлетворяют координаты единственной точки . В этом случав говорят: «окружность выродилась в точку» (имеет нулевой радиус).

Если , то уравнение (11-4), а следовательно, и равносильное уравнение (11.3), не определяет никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая часть — не отрицательна (говорят: «окружность мнимая»).

Эллипс

Каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через , расстояние между ними через 2с, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов — через 2а (см. рис. 49). По определению 2а > 2с, т. е. а > с.

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка . Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: .

Пусть М(х ;у) — произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, , т. е.

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим образом:

Так как а > с, то . Положим

Тогда последнее уравнение примет вид или

Можно доказать, что уравнение (11.7) равносильно исходному уравнению. Оно называется каноническим уравнением эллипса.

Эллипс — кривая второго порядка.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением. 1. Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, поэтому если точка (х; у) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки . Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки 0(0; 0), которую называют центром эллипса.

2.Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив у = 0, находим две точки , в которых ось Ох пересекает эллипс (см. рис. 50). Положив в уравнении (11.7) х = 0, находим точки пересечения эллипса с осью Оу: . Точки называются вершинами эллипса. Отрезки и

, а также их длины 2а и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

3. Из уравнения (11.7) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т. е. имеют место неравенства или . Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми

4. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т. е. если |х| возрастает, то |у| уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 50 (овальная замкнутая кривая).

Дополнительные сведения об эллипсе

Форма эллипса зависит от отношения . При b = а эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса (11.7) принимает вид . В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением .

Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой («эпсилон»):

причем , так как 0

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным; если положить , то эллипс превращается в окружность.

Пусть М(х , у) — произвольная точка эллипса с фокусами (см. рис. 51). Длины отрезков называются фокальными радиусами точки М. Очевидно,

Имеют место формулы

Прямые называются директрисами эллипса. Значение директрисы эллипса выявляется следующим утверждением.

Теорема:

Если r — расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса: .

Из равенства (11.6) следует, что а > b. Если же а Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через , расстояние между ними через 2с, а модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2а. По определению 2а

Гипербола есть линия второго порядка.

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

Установим форму гиперболы, пользуясь ее каконическим уравнением. 1. Уравнение (11.9) содержит х и у только в четных степенях. Следовательно, гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки 0(0;0), которую называют центром гиперболы.

2.Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив у = 0 в уравнении (11.9), находим две точки пересечения гиперболы с осью Ox:. Положив х = 0 в (11.9), получаем , чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает.

Точки называются вершинами гиперболы, а отрезок — действительной осью, отрезок — действительной полуосью гиперболы.

Отрезок , соединяющий точки называется мнимой осью, число b— мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.

3.Из уравнения (11.9) следует, что уменьшаемое не меньше eдиницы, т. е. что . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой х = а (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой х = -а (левая ветвь гиперболы).

4. Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда |x| возрастает, то и |y| возрастает. Это следует из того, что разность сохраняет постоянное значение, равное единице.

Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 54 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).

Асимптоты гиперболы

Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой К, если расстояние d от точки М кривой К до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М вдоль кривой К от начала координат. На рисунке 55 приведена иллюстрация понятия асимптоты: прямая L является асимптотой для кривой К.

Покажем, что гипербола имеет две асимптоты:

Так как прямые (11.11) и гипербола (11.9) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.

Возьмем на прямой точку N имеющей ту же абсциссу х, что и точка М(х ;у) на гиперболе (см. рис. 56), и найдем разность MN между ординатами прямой и ветви гиперболы:

Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается; числитель — есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезка MN стремится к нулю. Так как МN больше расстояния d от точки М до прямой, то d и подавно стремится к нулю. Итак, прямые является асимптотами гиперболы (11.9).

При построении гиперболы (11.9) целесообразно сначала построить основной прямоугольник гиперболы (см. рис. 57), провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, — асимптоты гиперболы и отметить вершины гиперболы.

Уравнение равносторонней гиперболы, асимптотами которой служат оси координат

Гипербола (11.9) называется равносторонней, если ее полуоси равны (а = b ). Ее каноническое уравнение

Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения у = х и у = -х и, следовательно, являются биссектрисами координатных углов. Рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой системе координат (см. рис. 58), полученной из старой поворотом осей координат

на угол . Используем формулы поворота осей координат (их вывод показан на с. 63):

Подставляем значения х и у в уравнение (11.12):

где

Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оу являются асимптотами, будет иметь вид .

Дополнительные сведения о гиперболе

Эксцентриситетом гиперболы (119) называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается:

Так как для гиперболы с > а, то эксцентриситет гиперболы больше единицы: . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Действительно, из равенства (11.10) следует, что , т. е.

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен . Действительно,

Фокальные радиусы для точек правой ветви гиперболы имеют вид , а для левой — .

Прямые называются директрисами гиперболы. Так как для гиперболы . Это значит, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая — между центром и левой вершиной.

Директрисы гиперболы имеют то же свойство , что и директрисы эллипса.

Кривая, определяемая уравнением , также есть гипербола, действительная ось 2b которой расположена на оси Оу, а мнимая ось 2а — на оси Оx. На рисунке 59 она изображена пунктиром.

Очевидно, что гиперболы От имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Парабола

Каноническое уравнение параболы

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через р (p > 0).

Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (см. рис. 60). В выбранной системе фокус F имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид , или.

Пусть М(х;у) — произвольная точка параболы. Соединим точку М с F. Проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF = MN. По формуле расстояния между двумя точками находим:

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

Уравнение (11.13) называется каноническим уравнением параболы. Парабола есть линия второго порядка.

Исследование форм параболы по ее уравнению

1. В уравнении (11.13) переменная у входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью симметрии параболы.
2. Так как р > 0, то из (11.13) следует, что . Следовательно, парабола расположена справа от оси Оу.
3. При х = 0 имеем у = 0. Следовательно, парабола проходит через начало координат.
4. При неограниченном возрастании х модуль у также неограниченно возрастает. Парабола имеет вид (форму), изображенный на рисунке 61. Точка 0(0; 0) называется вершиной параболы, отрезок FM = r называется фокальным радиусом точки М.

Уравнения также определяют параболы, они изображены на рисунке 62.

Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена , где любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.

Общее уравнение линий второго порядка

Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям

Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны а и b. Поместим в центре эллипса Оу начало новой системы координат , оси которой параллельны соответствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними направленны (см. рис. 63).

В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид

Так как (формулы параллельного переноса, см. с. 62), то в старой системе координат уравнение эллипса запишется в виде

Аналогично рассуждая, получим уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями а и b (см. рис. 64):

И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 65, имеют соответствующие уравнения.

Уравнение

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида

где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.

Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка? Ответ дает следующая теорема.

Теорема:

Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при А = С), либо эллипс (при ), либо гиперболу (при ), либо параболу (при ). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) — в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы — в пару пересекающихся прямых, для параболы — в пару параллельных прямых.

Пример:

Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением

Решение:

Предложенное уравнение определяет эллипс . Действительно, проделаем следующие преобразования:

Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в и полуосями

Пример:

Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением

Решение:

Указанное уравнение определяет параболу (С = 0). Действительно,

Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке

Пример:

Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением

Решение:

Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые 2х + у + 6 = 0 и 2х-у-2 = 0.

Общее уравнение второго порядка

Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвестными:

Оно отличается от уравнения (11.14) наличием члена с произведением координат . Можно, путем поворота координатных осей на угол а, преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением координат отсутствовал.

Используя формулы поворота осей (с. 63)

выразим старые координаты через новые:

Выберем угол а так, чтобы коэффициент при обратился в нуль, т. е. чтобы выполнялось равенство

Таким образом, при повороте осей на угол а, удовлетворяющий условию (11.17), уравнение (11.15) сводится к уравнению (11.14).

Вывод: общее уравнение второго порядка (11.15) определяет на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следующие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

Замечание:

Если А = С, то уравнение (11.17) теряет смысл. В этом случае (см. (11.16)), тогда , т. е. . Итак, при А = С систему координат следует повернуть на 45°.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/uravnenie-prjamoj-prohodjaschej-cherez-zadannuju-t/

http://lfirmal.com/analiticheskaya-geometriya-na-ploskosti/

Содержание:

Я думаю, что мы еще никогда не жили в такой геометрический период. Все вокруг — геометрия. Ле Корбюзье

Перпендикулярность прямых в пространстве

В модуле 3 мы рассматривали взаимное расположение прямых в пространстве.

Естественно, что пересекающиеся прямые
образуют углы. Углом между прямыми является меньший из двух смежных. Например, на рисунке 5.1 изображены две пересекающиеся прямые

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Свойства перпендикулярных прямых пространства выражают теоремы 1-4.

Теорема 1

Через произвольную точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

Доказательство:

Пусть — данная прямая и — точка на ней (рис. 5.2). Возьмем вне прямой а произвольную точку и проведем через эту точку и прямую плоскость (следствие из аксиом). В плоскости через точку можно провести прямую , перпендикулярную . Теорема доказана.

Теорема 2

Если две пересекающиеся прямые соответственно параллельны двум перпендикулярным прямым, то они также перпендикулярны.

Доказательство:

Пусть и — данные перпендикулярные прямые и , а также прямая пересекает в точке , а прямая пересекает в точке (рис. 5.3). Тогда и  лежат в плоскости , а прямые и — в плоскости , которые будут параллельными по признаку параллельности плоскостей. Соединим точки и . Выберем на прямой точку , а на прямой — точку Проведем и  .Тогда .

Четырехугольники и — параллелограммы, отсюда и . Поскольку , то они лежат в одной плоскости , пересекающей плоскость  по прямой , а плоскость  — по прямой , которые параллельны, т.е. .

Итак, четырехугольник -параллелограмм, у которого . Таким образом, треугольники и равны по третьему признаку равенства треугольников.  , отсюда , поэтому . Итак, прямая перпендикулярна прямой  Теорема доказана.

Теорема 3

Через любую точку пространства, не принадлежащую прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной (рис. 5.4, а).

Теорема 4

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых и лежит с ними в одной плоскости, то она перпендикулярна и второй прямой (рис. 5.4, б).

Доказательство теорем 3 и 4 выполните самостоятельно.
Расположение трех прямых в пространстве, когда они между собой попарно перпендикулярны и имеют общую точку, является особым случаем (рис. 5.4, в).

Отметим, что в пространстве существует множество плоскостей, которые можно провести через одну и ту же прямую. Выбирая точку А вне прямой, мы попадем на одну из этих плоскостей и в выбранной плоскости к данной прямой через точку А проводим прямую, перпендикулярную данной.

Итак, в пространстве к прямой можно провести сколь угодно много перпендикулярных прямых, проходящих через данную точку этой прямой.

Пример №1

Прямые и попарно перпендикулярны (рис. 5.5). Найдите отрезок , если .

Дано:  
Найти:

Решение:

Из  по теореме Пифагора .  поэтому , отсюда .

Из по теореме Пифагора .  поэтому 

Ответ. 6,5 см

Почему именно так?

Каждая пара данных прямых и — перпендикулярна, т.е. образует прямые углы. Соединив последовательно точки с ,  с и с , получим прямоугольные треугольники.

1. : известны катет и гипотенуза, неизвестна сторона, являющаяся вторым катетом. — сторона .
2. : один катет известен по условию, второй — найден из ; неизвестной является третья сторона — гипотенуза. По теореме Пифагора составляем выражение и выполняем вычисление длины отрезка .

Перпендикулярность прямой и плоскости в пространстве

Мы уже рассматривали взаимное расположение прямой и плоскости, детально ознакомились со случаем, когда прямая не пересекает плоскость. В этом параграфе мы рассмотрим случай, когда прямая пересекает плоскость и, кроме того, образует с произвольной прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения, прямой угол. Такую прямую называют перпендикулярной плоскости. Все другие неперпендикулярные прямые, пересекающие плоскость, называют наклонными.

Моделью прямой, перпендикулярной плоскости, может быть установленная вышка, столб, вкопанный в землю, гвоздь, вбитый в стену, и т.п.
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна произвольной прямой, которая лежит на этой плоскости и проходит через их точку пересечения.

Чтобы определить, будет ли прямая перпендикулярной плоскости , нужно через точку ее пересечения с плоскостью провести множество прямых (рис. 5.10) и доказать, что она перпендикулярна каждой из них. Этот путь нерациональный. Поэтому, чтобы установить перпендикулярна ли прямая плоскости, пользуются признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема 5 (признак перпендикулярности прямой и плоскости)

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости, то она перпендикулярна и данной плоскости.

Доказательство:

Пусть — данная плоскость, — прямая, пересекающая ее в точке , и — прямые, которые принадлежат плоскости , проходят через точку (рис. 5.11) и перпендикулярны прямой . Докажем, что , т.е., что прямая с перпендикулярна любой прямой плоскости , которая проходит через точку .

Для этого выполним дополнительное построение:

1. отложим в разных полупространствах на прямой от точки равные отрезки и ;
2. обозначим на прямой некоторую точку , а на прямой — точку ; соединим точки: с , с , с , с и с ;
3. проведем через точку произвольную прямую , которая пересечет в точке , и также соединим ее с и .

Рассмотрим образованные при этом треугольники.

1. — медиана и высота; по построению; — общая сторона треугольников и ; . Итак, по двум сторонам и углу между ними. Отсюда .
2. . Равенство отрезков и доказывается аналогично, как и равенство отрезков и .
3. , поскольку и -общая сторона. Отсюда вытекает равенство соответствующих углов: .
4. по двум сторонам и углу между ними: — общая сторона; по доказательству выше. Итак, , т.е. — равнобедренный: — основание треугольника, — середина , поэтому — медиана . В равнобедренном треугольнике медиана является высотой, т.е. , а это означает, что . Поскольку прямая — произвольная прямая плоскости , проходит через точку пересечения прямой и плоскости , перпендикулярна прямой , то .

Теорема доказана.

Отметим, что вы впервые столкнулись с таким громоздким доказательством. Доказательство не следует заучивать наизусть или запоминать шаги, необходимо понять его и последовательно, опираясь на известные факты, изложить рассуждения. Для этого важно спланировать последовательность логических шагов и не допускать ошибок.

Итак, для установления перпендикулярности прямой и плоскости достаточно проверить перпендикулярность прямой двум прямым плоскости, проходящим через точку их пересечения (по признаку).

Из данной теоремы вытекают два следствия.

Следствие 1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй прямой.
 

Доказательство:

Пусть — плоскость, и — две прямые, пересекающие ее в точках и , причем ,  (рис. 5.12). Проведем через точку произвольную прямую  на плоскости , а через точку -прямую , параллельную . Поскольку прямая , перпендикулярна плоскости , то прямые и перпендикулярны. Тогда, по теореме 2, прямые и также перпендикулярны. Таким образом, прямая перпендикулярна произвольной прямой, которая лежит на плоскости и проходит через их точку пересечения . Это определяет перпендикулярность прямой к плоскости .

Следствие 2. Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны.
 

Доказательство:

Пусть и две прямые, перпендикулярные плоскости (рис. 5.13). Допустим, что прямые и не параллельные. Выберем на прямой точку , которая не принадлежит плоскости . Проведем через точку прямую параллельную прямой . Она перпендикулярна плоскости по предыдущему следствию. Пусть прямая пересекает плоскость в точке , а прямая пересекает в точке . Тогда пряма  перпендикулярна пересекающимся прямым и  . А это невозможно, предположение неверно. Таким образом, прямые параллельны.

Пример №2

Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Доказательство:

Рассмотрим два случая.

Первый случай. Пусть точка принадлежит плоскости (рис. 5.14). Тогда через точку в плоскости проведем прямую . Выбрав точку , не принадлежащую , проведем через нее и прямую плоскость (следствие из аксиом). Проведем в плоскости прямую , а в плоскости -прямую . Через эти две прямые проходит плоскость у, которая будет перпендикулярна прямой (теорема о перпендикулярности прямой и плоскости).

Тогда в плоскости достаточно провести прямую . Она будет перпендикулярна и прямой , поскольку лежит в у и проходит через точку пересечения. Поскольку перпендикулярна двум прямым плоскости , то она перпендикулярна и самой плоскости. Итак, мы построили прямую , которая перпендикулярна плоскости и проходит через заданную точку .
Второй случай. Пусть точка не принадлежит плоскости . Выбрав произвольную точку на плоскости , аналогично предыдущему случаю, проведем прямую , которая проходит через точку . Тогда через эту прямую и точку можно провести некоторую плоскость , а на ней -некоторую прямую , которая проходит через точку параллельно . Прямая будет перпендикулярна (если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то вторая также перпендикулярна). Построение выполнено. Итак, прямую построить можно. Ч.т.д.

Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах

Рассмотрим изображение прямой а, перпендикулярной плоскости (рис. 5.20). Обозначим на прямой произвольный отрезок.

Отрезок называется перпендикулярным плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной плоскости. 

Итак, на прямой , перпендикулярной плоскости , можно разместить множество отрезков, которые будут перпендикулярны плоскости .

На рисунке 5.21 изображены различные случаи расположения перпендикулярного плоскости отрезка:

1. отрезок лежит по одну сторону от плоскости и не пересекает ее (рис. 5.21, а);
2. отрезок пересекает плоскость (концы отрезка находятся в разных полупространствах) (рис. 5.21, б);
3. отрезок лежит по одну сторону от плоскости и точка — конец отрезка — принадлежит плоскости (рис. 5.21, в).

Чаще всего на практике встречается третий случай. Такой отрезок называют перпендикуляром, проведенным из данной точки к плоскости.

Перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, который соединяет данную точку с точкой плоскости и лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости (рис. 5.21, в). Конец отрезка, лежащий на плоскости, называется основанием перпендикуляра.
 

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, который соединяет данную точку с точкой плоскости и не является перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий на плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, который соединяет основание перпендикуляра и основание наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

На рисунке 5.22 отрезок — перпендикуляр, проведенный из точки на плоскость . Отрезок  — наклонная, проведенная из точки на ту же плоскость . Точка — основание перпендикуляра, а точка — основание наклонной, отрезок — проекция наклонной на плоскость . Угол , образованный наклонной  и ее проекцией , называют углом наклона наклонной к плоскости .

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и проекцией этой наклонной на плоскость.

Свойства перпендикуляра и наклонных

Если из одной точки вне плоскости провести к ней перпендикуляр и наклонные, то:

1. из точки, не принадлежащей плоскости, можно провести один и только один перпендикуляр и множество наклонных;
2. длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной;
3. наклонные, имеющие равные проекции, равны между собой, и наоборот, равные наклонные имеют равные проекции;
4. из двух наклонных большую длину имеет та, которая имеет большую проекцию, и наоборот, большая наклонная имеет большую проекцию.

Докажите эти свойства самостоятельно.

Широко используется свойство прямой, перпендикулярной проекции наклонной или наклонной, которое называют теоремой о трех перпендикулярах.
 

Теорема 6 (о трех перпендикулярах)

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и наклонной. И наоборот, если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Дано:
Доказать: прямая .

Доказательство:

Докажем вторую часть теоремы. Пусть — перпендикуляр к плоскости , — наклонная. Прямая принадлежит плоскости , проходит через основание  наклонной и перпендикулярна ей (рис. 5.23). Т.е. . Проведем через основание наклонной прямую , параллельную . , т.е. . Прямые и лежат в одной плоскости . Поскольку и , то по признаку . . Итак,. Ч.т.д. Первую часть теоремы докажите самостоятельно.

Пример №3

Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если одна из них на 26 см больше другой, а проекции наклонных равны 12 см и 40 см.

Дано: — перпендикуляр к плоскости (рис. 5.24); и  — наклонные; на 26 см; .
Найти: и .

Решение:

Пусть , тогда . В — гипотенуза; — катет. По теореме Пифагора: , отсюда , .(1)

В  — гипотенуза; — катет. По теореме Пифагора: , отсюда  , , .(2)
Из (1) и (2) имеем:
Ответ. 15 см и 41 см.

Почему именно так?

— перпендикуляр к , поэтому и . Перпендикуляр, наклонная и ее проекция образуют прямоугольный треугольник. Две различные наклонные, один перпендикуляр и две проекции образуют два прямоугольных треугольника с общим катетом. Составить соотношение между сторонами прямоугольного треугольника можно по теореме Пифагора.

Алгебраический метод решения упрощает процесс поиска решения. Находим общий катет для и:
и 

Отсюда имеем равенство: и соответствующее уравнение с одной переменной, что приводит к решению задачи.

Перпендикулярность плоскостей

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым (рис. 5.31).

Если .
Моделями перпендикулярных плоскостей в окружающем мире являются различные конфигурации предметов. Например, шкатулка с крышкой, двери, окна, которые открываются, и т.д. Принцип «открывания» частей моделей основывается на перпендикулярности прямых, проведенных перпендикулярно прямой пересечения (линии крепления) (рис. 5.32).

Перпендикулярные плоскости обладают такими свойствами:

1. Любая плоскость, перпендикулярная линии пересечения перпендикулярных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым. И наоборот, плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна линии их пересечения.
2. Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная их линии пересечения, перпендикулярна другой плоскости.
3. Если две плоскости взаимно перпендикулярны и из произвольной точки одной из них опущен перпендикуляр на вторую, то этот перпендикуляр лежит в первой плоскости.

Рассмотрим их несколько позднее. Докажем сначала признак перпендикулярности двух плоскостей.
 

Теорема 7 (признак перпендикулярности плоскостей)

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Дано: ; плоскость проходит через . Доказать:

Доказательство:

Построим произвольную плоскость  через прямую и некоторую точку вне ее (рис. 5.33). — общая точка плоскостей и , поэтому они пересекаются по некоторой прямой , проходящей через точку . Проведем на плоскости некоторую прямую (на плоскости такая прямая единственная). Поскольку и , то . Итак, прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым и . Построим через прямые и плоскость . Она перпендикулярна прямой (поскольку две ее прямые перпендикулярны ). Поэтому ее линии пересечения с плоскостями  и образуют прямой угол. Т.е. плоскость , перпендикулярная прямой пересечения плоскостей  и , пересекает их по перпендикулярным прямым и , что по определению доказывает перпендикулярность плоскостей  и .

Теорема доказана.

Теперь вернемся к свойствам перпендикулярных прямых и плоскостей и докажем некоторые из них.

Теорема 8

Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна второй плоскости.

Дано:
Доказать:

Доказательство:

Пусть плоскости  и взаимно перпендикулярны (рис. 5.34), т.е. некоторая плоскость , перпендикулярная прямой , пересекает их по перпендикулярным прямым и .

Проведем через точку прямую . Тогда , отсюда плоскость, проходящая через прямые и , будет перпендикулярна прямой . Поскольку , то перпендикулярными будут и прямые . Кроме того, (по условию), поэтому . Теорема доказана.

Теорема 9

Если две плоскости взаимно перпендикулярны и из некоторой точки одной из них опущен перпендикуляр на вторую, то этот перпендикуляр лежит в первой плоскости.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Пусть плоскости  и  взаимно перпендикулярны (рис. 5.35). Тогда некоторая плоскость , перпендикулярная прямой , пересекает их по перпендикулярным прямым  и .

Итак, дано и . Т.е. . В плоскости через точку проведен отрезок По следствию, две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, будут параллельными. . Таким образом, они лежат в одной плоскости — . Если одна из двух параллельных прямых пересекает в плоскости прямую , то и другая пересекает ее. Отсюда вытекает, что точка должна принадлежать прямой . Тогда она будет общей для двух плоскостей. Но если две точки и принадлежат , то вся прямая принадлежит плоскости .

Теорема доказана.

Остальные свойства докажите самостоятельно.

Пример №4

Из точек и , лежащих на двух взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 5.36), проведены перпендикуляры и на прямую пересечения плоскостей  и . Найдите длину отрезка , если , .

Дано:
Найти:

Решение:

Поскольку , отсюда .
— прямоугольный: — катет, — катет, — гипотенуза (искомый отрезок). Рассмотрим на плоскости , тогда , поэтому и — прямоугольный.
Из — катет; — катет; — гипотенуза, которая является неизвестным катетом для . Из Из  
Отсюда, учитывая что , имеем .

Ответ. 11 см.

Почему именно так?

Для каждой геометрической задачи важно построить цепочку логических рассуждений. В этой задаче важно видеть не только прямоугольные треугольники на плоскостях и , но и использовать признак и свойства перпендикулярных плоскостей. Таким образом можно выйти на новый прямоугольный треугольник или , третью сторону которого находят по известному и найденному катетам. В том или ином случае остается наклонной, меняются только перпендикуляры к соответствующим плоскостям и и проекции наклонной на плоскость или на плоскость .

Перпендикулярность прямой и плоскости

А) Напомним, что перпендикулярными называют прямые, угол между которыми равен 90°. Перпендикулярные прямые могут быть пересекающимися и могут быть скрещивающимися. На рисунке 210 перпендикулярные прямые и пересекаются, а перпендикулярные прямые и скрещиваются.

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости.

Перпендикулярность прямой плоскости записывают так: Говорят также, что и плоскость перпендикулярна прямой и пишут

Прямая перпендикулярная плоскости обязательно эту плоскость пересекает. Если допустить, что прямая лежит в плоскости или параллельна ей, то в плоскости есть прямые, параллельные прямой и угол между и такими прямыми не равен 90°.

Окружающее пространство даёт много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Столбы с осветительными лампами и колонны устанавливают перпендикулярно горизонтальной поверхности земли (рис. 211).

Из теоремы 6 параграфа 5 следует, что при определении угла между прямыми эти прямые можно заменять параллельными прямыми. Поэтому если одна из параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая также перпендикулярна этой плоскости. Верно и обратное утверждение.

Теорема 1. Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны друг другу.

Доказательство: Пусть прямые и обе перпендикулярны плоскости (рис. 212). Докажем, что прямые и параллельны друг другу.

Через какую-либо точку прямой проведём прямую параллельную прямой Тогда Докажем, что прямая совпадает с прямой Допустим, что это не так. Тогда получается, что в плоскости заданной прямыми и через точку проведены две прямые, перпендикулярные прямой по которой пересекаются плоскости и что невозможно. Значит, прямые и совпадают, тогда и параллельны.

Пусть имеются плоскость и прямая которая её пересекает и не перпендикулярна (рис. 213). Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой на плоскость образуют прямую Эта прямая называется проекцией прямой на плоскость

Следующая теорема устанавливает признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема 2. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство: Пусть прямая пересекает плоскость в точке и перпендикулярна пересекающимся прямым и лежащим в плоскости а (рис. 214). Докажем, что прямая перпендикулярна плоскости т. е. что прямая перпендикулярна прямой произвольно выбранной в плоскости

Проведём через точку прямые и соответственно параллельные прямым и В плоскости проведём какую-либо прямую так, чтобы она пересекала прямые и в точках (рис. 215). На прямой отметим точки и на равных расстояниях от точки Прямые и — серединные перпендикуляры к отрезку поэтому и Значит, треугольники и равны по трём сторонам, поэтому углы и равны. Учитывая это, получим, что треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому Это означает, что треугольник является равнобедренным, поэтому его медиана является и высотой, т. е. прямые и а также прямые и перпендикулярны.

Следствие 1. Если прямая перпендикулярна одной из параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Пусть плоскости и параллельны и прямая перпендикулярна плоскости а (рис. 216). Докажем, что прямая перпендикулярна плоскости Для доказательства проведём через прямую две какие-либо плоскости и Пусть они пересекают плоскость по прямым и а параллельную ей плоскость — по прямым и Поскольку и и то и По теореме 2 получаем, что

Следствие 2. Если одной прямой перпендикулярны две плоскости, то они параллельны.

Проведите самостоятельно обоснование этого утверждения, используя рисунок 216

Б) Теорема 3. Через каждую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Доказательство: Пусть даны прямая и точка В случае, когда точка не лежит на прямой (рис. 217), в плоскости, которая определяется точкой и прямой через точку проведём прямую перпендикулярную прямой и через точку пересечения прямых и — ещё одну прямую перпендикулярную прямой

В случае, когда точка лежит на прямой (рис. 218), через точку проведём прямые и перпендикулярные прямой . Через прямые и проведём плоскость Эти плоскости и прямая перпендикулярны по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Докажем теперь, что построенная плоскость а единственная. Допустим, что это не так. Пусть через точку проведены две плоскости и перпендикулярные прямой (рис. 219 и 220). Через прямую и точку проведём какую-либо плоскость Она пересекает плоскости и по некоторым прямым и так как плоскость имеет с плоскостями и общую точку Поскольку и то и Получается, что в плоскости через точку проведены две прямые и перпендикулярные прямой что невозможно.

Теорема 4. Через каждую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

Доказательство: Пусть даны точка и плоскость Пусть — прямая в плоскости а — плоскость, которая проходит через точку и перпендикулярна прямой Пусть плоскости и пересекаются по прямой (рис. 221). В плоскости через точку проведём прямую перпендикулярную прямой Прямая — искомая, так как она перпендикулярна пересекающимся прямым и по построению; так как и принадлежит

Прямая — единственная. Допустим, что это не так. Пусть через точку проходит ещё одна прямая перпендикулярная плоскости (рис. 222 и 223). Тогда по теореме 1 прямые и параллельны друг другу. Но такое невозможно, так как прямые и пересекаются в точке

Следствие 3. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Пусть — прямоугольный параллелепипед (рис. 224). Поскольку ребро перпендикулярно плоскости то треугольник прямоугольный с прямым углом Поэтому А поскольку треугольник также прямоугольный с прямым углом то Учитывая, что и получаем, что

Пример №5

Докажите, что если рёбра и а также и четырёхугольной пирамиды основанием которой является параллелограмм, равны между собой (рис. 225), то отрезок, соединяющий вершину с точкой пересечения диагоналей этого параллелограмма, перпендикулярен основанию

Решение:

— параллелограмм и поэтому и

Поскольку равнобедренный и то

Поскольку равнобедренный и то

и и поэтому (теорема 2).

Используя рисунок 226, докажите самостоятельно обратное утверждение: «Если отрезки и а также и соединяют точку перпендикуляра, проведённого из центра параллелограмма с противоположными его вершинами, то эти отрезки попарно равны».

Пример №6

В правильной треугольной пирамиде точка — середина ребра (рис. 227). Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости

Решение:

— правильная треугольная пирамида, поэтому — равносторонний и — равнобедренный.

— равносторонний, и — середина поэтому

— равнобедренный, и — середина поэтому

и поэтому

Пример №7

Докажите, что диагональ куба перпендикулярна плоскости треугольника (рис. 228).

Решение:

— квадрат, поэтому

— куб, поэтому

и поэтому

и поэтому

— квадрат, поэтому

— куб, поэтому

и поэтому

и поэтому

и поэтому

Используя рисунок 228, установите, в какой точке прямая пересекает плоскость

Пространственное моделирование

При выполнении задания на определение вертикальности столба для забора (рис. 240) ученик проверил вертикальность первого из столбов, а дальше, измерив высоту первого и второго столбов и расстояние между ними снизу и сверху, сделал вывод о том, что и второй столб тоже вертикальный. Определите, обеспечивают ли полученные учеником сведения правильность его вывода. Ответ обоснуйте.

Расстояния

А) Пусть даны плоскость и точка вне её (рис. 241). Через точку проведём прямую перпендикулярную плоскости и пусть — точка пересечения прямой с плоскостью Отрезок называется перпендикуляром к плоскости, проведённым из точки а точка — основанием перпендикуляра.

Соединим точку ещё с какой-либо точкой плоскости Отрезок называется наклонной к плоскости, проведённой из точки а точка — основанием наклонной. Отрезок называется проекцией наклонной на плоскость

Свойства перпендикуляра и наклонных

Если из одной точки вне плоскости проведены к этой плоскости две наклонные (рис. 242), то:

• а) наклонные, имеющие равные проекции, равны между собой;
• б) та наклонная больше, проекция которой больше;
• в) равные наклонные имеют равные проекции;
• г) большая наклонная имеет большую проекцию.

Свойства перпендикуляров и наклонных докажите самостоятельно, используя рисунок.

Теорема 5. Перпендикуляр к плоскости, проведённый из некоторой точки, меньше любой наклонной к этой плоскости, проведённой из той же точки.

Доказательство: Пусть отрезок на рисунке 243 — перпендикуляр, а отрезок — наклонная к плоскости Эти перпендикуляр и наклонная в прямоугольном треугольнике являются соответственно катетом и гипотенузой. Поэтому

В соответствии с утверждением теоремы 5, из всех расстояний от данной точки до различных точек данной плоскости наименьшим является расстояние, измеренное по перпендикуляру.

Б) Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости.

Когда мы говорим, например, что уличный фонарь находится на высоте 8 м от земли, то подразумеваем, что расстояние от фонаря до поверхности земли, измеренное по перпендикуляру, проведённому от фонаря к плоскости земли, составляет 8 м (рис. 244).

Теорема 6. Расстояние от любой точки одной из параллельных плоскостей к другой плоскости одно и то же и равно длине их общего перпендикуляра.

Доказательство: Пусть даны параллельные плоскости и (рис. 245). Пусть какая-либо точка плоскости отрезок — перпендикуляр, проведённый из точки к плоскости Возьмём произвольную точку плоскости и проведём из неё перпендикуляр к плоскости Тогда по теореме 1 прямые и параллельны, а по теореме 12 из параграфа 6 отрезки и равны друг другу. Это означает, что расстояние от любой точки плоскости до плоскости равно отрезку Поскольку отрезок перпендикулярен плоскости то он является расстоянием от точки до плоскости Понятно, что расстояние от любой точки плоскости до плоскости равно отрезку

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, проведённого из какой-либо точки одной плоскости к другой плоскости.

Все точки одной стены комнаты находятся на одинаковом расстоянии от противоположной стены (рис. 246). Это расстояние и есть ширина комнаты.

Теорема 7. Расстояние от любой точки прямой, параллельной плоскости, до этой плоскости одно и то же и равно перпендикуляру, проведённому из какой-либо точки прямой к плоскости.

Используя рисунок 247, проведите доказательство теоремы самостоятельно.

Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется длина перпендикуляра, проведённого из какой-либо точки прямой к плоскости.

Все точки края стола находятся на одном расстоянии от пола (рис. 248).

Теорема 8. Две скрещивающиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр.

Доказательство: Пусть даны скрещивающиеся прямые и (рис. 249). Докажем, что на этих прямых можно выбрать такие точки и что прямая перпендикулярна и прямой и прямой

Пусть — плоскость, проходящая через прямую параллельно прямой Возьмём на прямой точку и опустим перпендикуляр на плоскость Пусть — плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые и Обозначим — прямую, по которой пересекаются плоскости и Поскольку то прямые и пересекаются в некоторой точке В плоскости опустим перпендикуляр на прямую Прямые и лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой Поэтому и значит, и

Этим самым существование общего перпендикуляра скрещивающихся прямых обосновано. Докажем теперь его единственность.

Пусть скрещивающиеся прямые и имеют ещё один общий перпендикуляр причём точка принадлежит прямой а точка — прямой (рис. 250).

Точки и и совпадать не могут, так как из одной точки к прямой можно провести только один перпендикуляр. Поскольку и то прямая как и прямая перпендикулярна плоскости проходящей через прямую параллельно прямой Поэтому и точки принадлежат одной плоскости. Значит, и прямые и принадлежат одной плоскости. Получили противоречие с тем, что эти прямые скрещиваются.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Из доказательства теоремы 8 следует, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из них до плоскости, содержащей другую прямую и параллельную первой.

Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, можно действовать по-разному.

а) Можно построить отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный им обеим, и найти его длину.

Пример №8

Найдём расстояние между прямыми, которые содержат ребро куба длиной и диагональ грани, которая с этим ребром не имеет общих точек.

Решение:

Пусть нужно найти расстояние между прямыми и (рис. 251). Поскольку и то — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых и а потому искомое расстояние равно ребру куба, т. е.

б) Можно построить плоскость, которая содержит одну из прямых и параллельна другой. Тогда искомое расстояние будет равно расстоянию от этой плоскости до другой прямой.

Пример №9

В правильной четырёхугольной пирамиде рёбра основания равны 4, а боковые рёбра — 6. Найдём расстояние между прямыми и где — середина ребра

Решение:

Пусть — центр квадрата Через прямую проведём плоскость параллельную прямой (рис. 252). Поскольку плоскость перпендикулярна прямой и содержит прямую то перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой на плоскость принадлежит плоскости

Пусть — такая точка на прямой что Учитывая, что — середина стороны треугольника получаем, что равно половине высоты треугольника проведённой к стороне Поэтому Найдем площадь треугольника и его медиану

Теперь

в) Можно построить две параллельные плоскости, каждая из которых содержит одну из скрещивающихся прямых и параллельна другой. Тогда искомое расстояние будет равно расстоянию между этими плоскостями.

Пример №10

Найдём расстояние между прямыми, содержащими непересекающиеся диагонали двух смежных граней куба с ребром

Решение:

Пусть нужно найти расстояние между прямыми и (рис. 253). Плоскость, которая содержит и параллельна пересекает грань по прямой, параллельной т. е. по прямой а грань — по прямой Рассуждая так же, получаем, что плоскость, которая содержит и параллельна пересекает грань по прямой а грань — по прямой

Диагональ куба как прямая плоскости образует прямой угол с прямыми и которые перпендикулярны этой плоскости, а как прямая плоскости образует прямой угол с прямыми и которые перпендикулярны этой плоскости. Поэтому прямая перпендикулярна как плоскости так и параллельной ей плоскости

Плоскость пересекается с плоскостями и по прямым и где и — центры граней и (рис. 254), прямая пересекает плоскости и в точках и на прямых и Поскольку то по теореме Фалеса и Поэтому общий перпендикуляр плоскостей и имеет длину т. е.

Ответ:

Диагональ куба делится плоскостью треугольника, сторонами которого служат диагонали граней куба, имеющие с рассматриваемой диагональю куба общую точку, в отношении 1 : 2.

г) Можно построить плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых, и построить проекцию на неё другой прямой. Тогда искомое расстояние будет равно длине перпендикуляра, опущенного из точки, являющейся проекцией первой прямой на построенную плоскость, на проекцию другой прямой.

Пример №11

В четырёхугольной пирамиде все рёбра равны Найдём расстояние между скрещивающимися рёбрами и (рис. 255).

Решение:

Из теоремы 8 следует, что на прямых и есть такие точки и что прямая перпендикулярна как прямой так и прямой и, вместе с этим, плоскости, проходящей через одну из этих прямых параллельно другой.

Пусть — плоскость, проходящая через точку перпендикулярно прямой Она проходит через середины и рёбер и Тогда и проекцией отрезка на плоскость будет отрезок, равный

Определим, в какие точки спроектируются точки и Поскольку то вся прямая проектируется в точку Значит, точка проектируется в точку

Поскольку точки и проектируются в точки и N соответственно, то прямая проектируется в прямую Учтём также, что прямая принадлежит плоскости, параллельной прямой Поэтому искомая проекция отрезка — перпендикуляр к прямой проведённый из точки

Длину этого перпендикуляра найдём, используя площадь равнобедренного треугольника с основанием и боковыми сторонами

Получим откуда

Ответ:

Пример №12

Точка отстоит на 40 см от каждой вершины правильного треугольника со стороной 60 см. Найдите расстояние от точки до плоскости

Решение:

и — правильный треугольник, поэтому — центр окружности, описанной около треугольника и — её радиус (рис. 257).

поэтому — прямоугольный.

Тогда

Ответ: 20 см.

Пример №13

Из вершины равнобедренного треугольника с основанием возведён перпендикуляр и точка соединена с серединой этого основания (рис. 258). Докажите, что прямые и перпендикулярны.

Решение:

— перпендикуляр к плоскости поэтому и — проекции наклонных и на

— равнобедренный треугольник с основой поэтому

и — проекции наклонных и на и поэтому

и — середина поэтому

Угол между прямой и плоскостью

А) С помощью чисел, выражающих расстояние между двумя прямыми и величину угла между ними, можно описать взаимное расположение этих прямых в пространстве. Если прямые и пересекаются, то их взаимное расположение характеризует угол между ними, расстояние между такими прямыми считается равным нулю (рис. 266). Если прямые и параллельны, то их взаимное расположение характеризует расстояние между ними, угол между такими прямыми равен нулю (рис. 267). Если прямые и скрещиваются, то их взаимное расположение характеризует угол и расстояние между ними (рис. 268).

Теорема 9. Если прямая плоскости перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной, а если прямая плоскости перпендикулярна наклонной к плоскости, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.

Доказательство: Пусть отрезки и — соответственно перпендикуляр и наклонная к плоскости а, тогда отрезок — проекция наклонной на эту плоскость (рис. 269).

Пусть прямая плоскости а перпендикулярна проекции Докажем, что прямая перпендикулярна самой наклонной

Прямая перпендикулярна пересекающимся прямым и плоскости — первой прямой по условию, а второй — так как она лежит в плоскости которой перпендикулярна прямая Поэтому прямая перпендикулярна и прямой плоскости

Пусть прямая плоскости перпендикулярна наклонной Докажем, что прямая перпендикулярна проекции этой наклонной.

Прямая перпендикулярна пересекающимся прямым и плоскости Поэтому она перпендикулярна и прямой плоскости

Теорема 9 называется теоремой о трёх перпендикулярах, потому что в ней идёт речь об отношении перпендикулярности между тремя прямыми. Приведём примеры использования этой теоремы.

Пример №14

Из вершины к плоскости треугольника стороны которого равны 13, 20, 11 соответственно, возведён перпендикуляр длиной 36 (рис. 270). Найдём расстояние от точки до прямой

Решение:

Искомое расстояние — длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую Проведение этого перпендикуляра потребует найти его основание на прямой Для этого в плоскости треугольника построим высоту этого треугольника. Поскольку прямая перпендикулярна высоте которая является проекцией наклонной то по теореме о трёх перпендикулярах прямая перпендикулярна наклонной т. е. отрезок выражает искомое расстояние.

Найдём сначала высоту треугольника По формуле Герона определим площадь этого треугольника, что позволит найти и его высоту

Треугольник — прямоугольный с прямым углом по теореме Пифагора найдём

Ответ: 36,6.

Пример №15

Докажем, что если данная точка пространства равноудалена от сторон многоугольника, то в этот многоугольник можно вписать окружность, центр которой совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость многоугольника.

Доказательство: Пусть точка равноудалена от сторон многоугольника и — перпендикуляр из точки на плоскость этого многоугольника. Тогда перпендикуляры опущенные из точки на стороны многоугольника, равны друг другу (рис. 271).

Соединим точку с точками Поскольку отрезки — проекции отрезков на плоскость многоугольника, стороны которого перпендикулярны наклонным то эти стороны и, соответственно, отрезки перпендикулярны.

Треугольники прямоугольные, и все они имеют общий катет и равные гипотенузы. Значит, эти треугольники равны, соответственно, равны и отрезки что означает равноудалённость точки от сторон многоугольника. Значит, в этот многоугольник можно вписать окружность с центром

Пример №16

Если данная точка пространства равноудалена от вершин многоугольника, то около этого многоугольника можно описать окружность, центр которой совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость многоугольника.

Используя рисунок 272, проведите доказательство этого утверждения самостоятельно.

Б) Теперь введём понятие угла между прямой и плоскостью. Пусть дана плоскость и прямая которая её пересекает и не перпендикулярна (рис. 273). Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой на плоскость образуют прямую Эта прямая называется проекцией прямой на плоскость

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной ей, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.

Угол между прямой и плоскостью — наименьший из углов, которые образует эта прямая со всеми прямыми плоскости. Докажите утверждение самостоятельно.

Если прямая перпендикулярна плоскости то её проекцией на эту плоскость является точка пересечения прямой с плоскостью (рис. 274). В этом случае прямая образует со всеми прямыми плоскости углы, равные 90°. Этот угол и принимается в качестве угла между прямой и перпендикулярной ей плоскостью.

Если прямая параллельна плоскости то её проекцией на плоскость является прямая параллельная . Угол между параллельными прямыми считается равным 0°. Поэтому угол между параллельными прямой и плоскостью принимается равным 0°.

Пример №17

В треугольной пирамиде рёбра основания равны 6, а боковые рёбра — 5. Найдём угол между медианой основания и плоскостью

Решение:

Пусть — перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость Поскольку наклонная перпендикулярна прямой то и её проекция перпендикулярна прямой Значит, точка К находится на серединном перпендикуляре к отрезку (рис. 275).

Искомый угол между медианой основания и плоскостью — это угол Его можно найти через теорему косинусов, если знать стороны треугольника Находим:

тогда

Значит,

Ответ:

При вычислении угла между скрещивающимися прямыми бывает полезной следующая теорема о трёх косинусах.

Угол между прямой и плоскостью угол между другой прямой этой плоскости и проекцией на неё прямой и угол между прямыми и связаны равенством

Доказательство: Пусть точка принадлежит прямой — точка пересечения прямой с плоскостью прямая лежит в плоскости и проходит через точку — основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую — проекция точки на плоскость (рис. 276).

Пусть и Поскольку — проекция и то Тогда из прямоугольных треугольников и имеем:

и

Пример №18

В треугольной пирамиде ребро перпендикулярно плоскости и равно 20. Найдём угол между прямыми и учитывая, что и

Решение:

Используем теорему о трёх косинусах, учитывая, что угол между прямыми и равен углу между прямой и прямой которая проходит через точку параллельно (рис. 277), поэтому

Поскольку и

то и Значит,

Ответ:

Пример №19

Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой и углом в 30° (рис. 279). Найдите высоту грани проведённую из вершины учитывая, что боковое ребро перпендикулярно плоскости основания и равно 4 см, а катет равен 6 см.

Решение:

поэтому — проекция наклонной на

— высота грани — проекция наклонной на поэтому

и поэтому

прямоугольный,

прямоугольный, поэтому

Ответ: 5 см.

Пример №20

Докажите, что если луч не лежит в плоскости неразвёрнутого угла и острые углы и равны, то проекция луча на плоскость является биссектрисой угла (рис. 280).

Решение:

Пусть и

(по гипотенузе и острому углу), поэтому

— проекция на и

— проекция на и

(проекции равных наклонных).

— биссектриса угла (точка равноудалена от сторон угла

Пространственное моделирование

Определим, как при движении на эскалаторе можно оценить глубину расположения станции метро, длину эскалатора (рис. 289).

Обратим внимание на то, что при спуске или подъёме на эскалаторе мы проезжаем вдоль ряда ламп, расположенных на равных расстояниях друг от друга. Нормативами задаётся освещённость тоннеля, исходя из которой устанавливается и расстояние между соседними лампами. Также учтём, что оптимальный угол наклона линии эскалатора к плоскости земли равен 30°.

Будем рассматривать эскалатор как наклонную к плоскости земли. Тогда глубину расположения станции можно интерпретировать как длину перпендикуляра к плоскости земли.

Для ответа на вопрос достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник в котором гипотенуза представляет эскалатор, а катет — глубину расположения той станции метро, на которую ведёт данный эскалатор.

• а) Подсчитайте длину эскалатора, учитывая, что расстояние между лампами равно а.
• б) Составьте формулу для нахождения глубины закладки станции метро.

Перпендикулярность плоскостей

А) Два луча на плоскости с общим началом разделяют эту плоскость на две части, каждая из которых называется углом.

Аналогично две полуплоскости с общей границей разделяют пространство на две части (рис. 290). Каждую из этих частей вместе с полуплоскостями называют двугранным углом. Полуплоскости, ограничивающие двугранный угол, называют гранями угла, а общую прямую — ребром двугранного угла (рис. 291).

Обычно рассматривают меньший из двугранных углов с данными гранями (рис. 292). Точки угла, не лежащие на его гранях, составляют внутреннюю область двугранного угла (рис. 293).

Двугранный угол обычно обозначают по ребру: (см. рис. 293) или (рис. 294). При необходимости можно присоединить названия граней или названия точек на гранях: (3 (см. рис. 293), или (см. рис. 294), или (см. рис. 294).

Моделью двугранного угла может служить двускатная крыша (рис. 295), стена вместе с открытой дверью (рис. 296), полураскрытая книга (рис. 297).

Для измерения двугранных углов вводится понятие линейного угла. Выберем на ребре двугранного угла точку и в его гранях и из этой точки проведём лучи и перпендикулярные ребру (рис. 298). Полученный угол стороны которого и ограничивают часть плоскости принадлежащую двугранному углу называют линейным углом двугранного угла. Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру двугранного угла, так как по построению лучи и перпендикулярны ребру

Понятно, что двугранный угол имеет бесконечно много линейных углов (рис. 299).

Теорема 10. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Доказательство: Пусть и — линейные углы двугранного угла (рис. 300). Докажем, что

Отложим на сторонах углов и равные отрезки Тогда получатся четырёхугольники и у которых противоположные стороны и а также и равны по построению и параллельны как перпендикуляры к одной прямой, проведённые в соответствующей плоскости. Поэтому и А это означает, что четырёхугольник является параллелограммом, что позволяет сделать вывод о равенстве отрезков PS и QR. Получили, что у треугольников и равны соответственные стороны, поэтому треугольники равны, а значит, равны и их углы и

Измерение двугранных углов связывается с измерением их линейных углов. В зависимости от того, каким — острым, прямым, тупым, развёрнутым — является линейный угол двугранного угла, отличают острые, прямые, тупые, развёрнутые двугранные углы. Двугранный угол, изображённый на рисунке 301, — острый, на рисунке 302 — прямой, на рисунке 303 — тупой.

Две пересекающиеся плоскости разделяют пространство на четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 304). Если один из них равен то ещё один из них также равен а, а два остальных — 180° — Среди этих углов есть не превосходящий 90°, его величину и принимают за величину угла между пересекающимися плоскостями.

Если один из двугранных углов, образовавшихся при пересечении двух плоскостей, прямой, то три остальных также прямые (рис. 305).

Б) Плоскости, при пересечении которых образуются прямые двугранные углы, называются перпендикулярными плоскостями.

Для обозначения перпендикулярности плоскостей, как и для обозначения перпендикулярности прямых, используют знак

Моделями перпендикулярных плоскостей могут служить столешница и боковина стола (рис. 306), пол в комнате и дверь в неё (рис. 307).

Теорема 11. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Доказательство: Пусть через прямую которая перпендикулярна плоскости и пересекает её в точке проходит плоскость (рис. 308). Докажем, что a

Плоскости и пересекаются по некоторой прямой перпендикулярной прямой так как по условию прямая и плоскость перпендикулярны.

В плоскости проведём прямую перпендикулярную прямой Полученный угол где — точка прямой является линейным углом двугранного угла Поскольку по условию то угол — прямой, и, значит, плоскости и перпендикулярны.

Теорема 11 выражает признак перпендикулярности плоскостей.

Следствие. Плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух данных плоскостей, перпендикулярна каждой из них (рис. 309).

Докажем теперь утверждение, обратное утверждению теоремы 11.

Теорема 12. Если через точку одной из перпендикулярных плоскостей провести прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эта прямая принадлежит первой плоскости.

Доказательство: Пусть две перпендикулярные плоскости и пересекаются по прямой и через точку плоскости проведена прямая перпендикулярная плоскости Докажем, что эта прямая принадлежит плоскости

Через точку в плоскости проведём прямую перпендикулярную и через точку их пересечения в плоскости — прямую также перпендикулярную (рис. 310). Угол между прямыми и прямой как линейный угол прямого двугранного угла. Получили, что прямая проходит через точку и перпендикулярна плоскости так как она перпендикулярна пересекающимся прямым и этой плоскости. А поскольку через эту точку к данной плоскости можно провести только одну перпендикулярную прямую, то прямые и совпадают. Значит, прямая а принадлежит плоскости

Пример №21

Точка — середина ребра при основании правильной пирамиды (рис. 311). Докажем, что плоскость перпендикулярна плоскости основания

Решение:

Прямая является основанием равнобедренных треугольников и Поэтому она перпендикулярна медианам и этих треугольников и вместе с этим плоскости Из теоремы 12 следует, что плоскость проходящая через перпендикуляр к плоскости ей перпендикулярна.

Следствие. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения перпендикулярна той же плоскости (рис. 312).

Пример №22

В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен Найдём величину двугранного угла при боковом ребре.

Решение:

Пусть — середина ребра — перпендикуляр к ребру проведённый из точки (рис. 313).

Из равенства треугольников и следует, что . Поэтому угол — линейный угол двугранного угла

Из прямоугольных треугольников и получаем: Из прямоугольного треугольника находим, что

Поэтому

Ответ:

В) При вычислениях бывает полезной теорема о трёх синусах.

Теорема 13. Линейный угол двугранного угла, угол между ребром этого двугранного угла и прямой, лежащей в одной из его граней, и угол между этой прямой и плоскостью другой грани связаны равенством

Доказательство: Пусть прямая лежит в плоскости точка принадлежит прямой — точка пересечения прямой с ребром двугранного угла — основание перпендикуляра, опущенного из точки на грань ) — основание перпендикуляра, опущенного из точки на ребро угла (рис. 314). Пусть и Поскольку — проекция и то Тогда из прямоугольных треугольников и будем иметь: и

Следствие 1. Если точка лежит в грани двугранного угла величиной то расстояние от неё до плоскости другой грани угла равно где — точка на ребре двугранного угла, а — угол между прямой и ребром двугранного угла (рис. 315).

Пример №23

Стороны и правильного треугольника лежат соответственно в гранях и острого двугранного угла величиной Сторона образует угол с ребром двугранного угла. Найдём величину угла между плоскостью и плоскостью

Решение:

Пусть искомый угол равен сторона треугольника имеет длину Тогда расстояние от точки до плоскости можно найти двумя способами (рис. 316): и Поэтому

Ответ:

Следствие 2. Пусть рёбра и — грани двугранных углов величиной и соответственно. Тогда (рис. 317).

Пример №24

Плоскости правильных треугольника и четырёхугольника перпендикулярны (рис. 319). Найдите учитывая, что

Решение:

и тогда по теореме 12

поэтому — прямоугольный. так как правильный и

так как четырёхугольник правильный и

Тогда по теореме Пифагора

Ответ:

Пример №25

Из точек и ребра двугранного угла в разных его гранях возведены перпендикуляры и (рис. 320). Определите величину двугранного угла, учитывая, что и расстояние между точками и равно 50 см.

Решение:

Пусть и Тогда — параллелограмм и см, 48 см.

и поэтому

— линейный угол двугранного угла

и тогда

и , тогда

и тогда

поэтому — прямоугольный.

Тогда по теореме Пифагора

Из треугольника

Поэтому

Ответ:

Пространственное моделирование

Отдельным видом параллельного проектирования, применяемого в геометрии для изображения пространственных фигур, является ортогональное проектирование.

Ортогональной проекцией точки на плоскость называется точка пересечения с этой плоскостью прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно

Ортогональной проекцией фигуры на плоскость называется множество ортогональных проекций всех точек этой фигуры на плоскость.

Если — треугольная пирамида, и то

«…Разум заключается не только в знаниях, но и в умении применять знания на деле…»

(Аристотель).

План урока:

Понятие перпендикуляра

Расстояния между плоскостями и прямыми

Теорема о трех перпендикулярах

Угол между прямой и плоскостью

Задачи на перпендикуляры, наклонные, расстояния

Понятие перпендикуляра

Пусть есть некоторая плоскость α и точка М в пространстве, не лежащая на α. Проведем через М прямую, перпендикулярную α. Она пересечет α в какой-нибудь точке К. Отрезок МК именуют перпендикуляром к плоскости α.

Если через М мы проведем ещё одну прямую, пересекающую α, то она пересечет α в какой-нибудь точке Н. В результате мы получим прямоугольный ∆МНК:

Запомним некоторые геометрические термины. В таком построении:

• отрезок МН – это наклонная;
• отрезок НК – это проекция наклонной, или просто проекция;
• К – основание перпендикуляра;
• Н – основание наклонной.

Заметим, что в ∆МНК отрезок МН – это гипотенуза, а МК – это катет. Напомним, что катет всегда меньше гипотенузы. Отсюда вытекает вывод – длина перпендикуляра всегда меньше длины наклонной (конечно, если они проведены из одной точки).

Это значит, что из всех отрезков, которыми можно соединить точку и плоскость, именно перпендикуляр будет кратчайшим. Поэтому его называют расстоянием между точкой и плоскостью.

Расстояния между плоскостями и прямыми

Докажем довольно очевидный факт:

Действительно, пусть α и β – параллельные плоскости. Выберем на α произвольные точки М и Р, а далее опустим перпендикуляры из точек М и Р на β, которые пересекут β в точках Н и К соответственно:

Так как МН и РК перпендикулярны плоскости α, то они параллельны. Но также и α||β. Тогда, по теореме 12 из этого урока, отрезки МН и РК одинаковы, ч. т. д.

Этот факт позволяет ввести понятия расстояния между параллельными плоскостями.

Уточним, что если плоскости пересекаются, то расстояние между ними не может быть определено.

Далее рассмотрим случай с плоскостью α и параллельной ей прямой m. Оказывается, и в этом случае точки прямой равноудалены от плоскости.

Действительно, отметим на m произвольную точку К. Далее через K проведем такую плоскость β, что α||β. Так как точки β равноудалены от α, то нам достаточно показать, что m будет полностью принадлежать β:

Так как m и β уже имеют общую точку K, то они m либо пересекает β, либо лежит в ней. Будем рассуждать от противного и предположим, что m и β пересекаются. Так как m||α, то в α можно построить прямую n, параллельную m. Если m пересекает β, то и nтакже должна ее пересекать (по теореме 3 из этого урока). Но если n пересекает β, то точка их пересечения будет одновременно принадлежать и β, и α. То есть у этих плоскостей будет общая точка. Но α и β параллельны и потому не могут иметь общих точек. Значит, на самом деле m и β НЕ пересекаются. Остается один вариант – m принадлежит β, ч. т. д.

Из этой теоремы вытекает понятие расстояния между прямой и плоскостью.

Уточним, что если плоскость и прямая не параллельны, то расстояние между ними определить нельзя.

Осталось понять, как определять расстояние между прямыми в пространстве. Для параллельных прямых определение расстояния известно ещё из курса планиметрии. Естественно, что для пересекающихся прямых расстояние определить невозможно. Остается только случай скрещивающихся прямых.

Пусть прямые m и n скрещиваются. Тогда через n можно построить плоскость α, параллельную m. И наоборот, через m возможно провести плоскость β, параллельную n:

Далее опустим из какой-нибудь точки m перпендикуляр на α. Обозначим этот перпендикуляр как р. Тогда через пересекающиеся прямые m и р можно провести единственную плоскость γ:

Заметим, что плоскости α и γ обязательно пересекутся по некоторой прямой m’, причем m’||m. Действительно, m’ и m не могут скрещиваться, ведь они находятся в одной плоскости γ. Не могут они и пересекаться, ведь в противном случае точка их пересечения была бы общей для m и α, а они параллельны и общих точек не имеют.

Также заметим, что прямые n и m’ пересекаются, ведь они располагаются в одной плоскости α. Параллельными они быть не могут, ведь тогда по свойству транзитивности параллельности получилось бы, что и n||m, а это не так. Обозначим точку пересечения n и m’ буквой K.

Далее через K в плоскости γ проведем прямую р’, параллельную р:

Теперь начнем рассуждения. Если р⊥α, то также р⊥m’. Так как р’||р, то и р’⊥m’, ведь прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, будет перпендикулярна и второй прямой. По этому же правилу из того факта, что m’||m и р’⊥m’ вытекает, что и m⊥р’. Наконец, если р⊥α, то р⊥n. Для ясности отметим все найденные нами прямые углы на рисунке:

В итоге получилось, что отрезок HK перпендикулярен и n, и m. По этой причине его называют общим перпендикуляром к прямым n и m. Именно он и считается расстоянием между скрещивающимися прямыми m и n.

Отдельно отметим, что HK – это ещё и общий перпендикуляр к α и β. Понятно, что так как р⊥α и р’||р, то и р’⊥α, то есть HK – перпендикуляр к α.

Теперь через точку H проведем прямую n’, параллельную n. Так как β||n, то n’ будет находиться в β (по теор. 6 в этом уроке).

Раз n||n’ и р’⊥n, то и р’⊥n’. Тогда получается, что в β есть сразу две пересекающихся прямых (это m и n’), которые перпендикулярны р’. Поэтому можно утверждать, что р’⊥β, то есть HK– перпендикуляр к β.

Отсюда сразу вытекает ещё один важный вывод – плоскости α и β параллельны, так как имеют общий перпендикуляр.

Итак, мы показали, что общий перпендикуляр можно построить для любых двух скрещивающихся прямых. Но можно построить ещё один такой перпендикуляр? Нельзя, и это можно показать.

Сначала заметим, что второй перпендикуляр нельзя провести через точку К, ведь в таком случае получалось бы, что к m проведены два различных перпендикуляра из одной и той же точки, что невозможно. Аналогично перпендикуляр не может проходить и через Н.

Предположим тогда, что второй перпендикуляр проходит через точки С и D, причем С находится на m, а D находится на n. То есть CD⊥m и СD⊥n:

Проведем через С прямую n’’, параллельную n. Раз СD⊥n и n||n’’, то и СD⊥n’’. При этом n’’ находится в β (это доказывается также, как и в случае с n’). Тогда получается, что в β есть две прямые, n’’ и m, каждая из которых перпендикулярна СD, и при этом n’’ и m пересекаются. Тогда CD⊥β. Из этого вытекает, что СD и HK параллельны, а потому через них можно провести плоскость δ. Этой плоскости будут принадлежать точки С, H, К и D. Но тогда в этой плоскости должны находиться прямые m и n, ведь они имеют с ней по две общих точки. Но m и n – скрещивающиеся прямые, то есть они никак не могут находиться в одной плоскости. Это противоречие означает, что второй общий перпендикуляр CD не существует.

Итак, из всех наших рассуждений мы можем сделать следующие выводы:

Теорема о трех перпендикулярах

Сформулируем важное утверждение, которое называют теоремой о трех перпендикулярах.

Проиллюстрируем теорему с помощью картинки:

Доказательство этой теоремы очень простое. Так как МК⊥α, то также МК⊥m. Теперь рассмотрим расположение плоскости МНК и прямой m. МК⊥m и HK⊥m. Тогда по признаку перпендикулярности можно утверждать, что m перпендикулярна всей плоскости HM, то есть каждой находящейся в ней прямой. В частности, m⊥HK, ч. т. д.

Оказывается, верно и обратное утверждение (так называемая обратная теорема о трех перпендикулярах):

Доказательство аналогично предыдущему. Так как m⊥MH и m⊥MK, то m⊥HMK. Отсюда вытекает, что и m⊥HK.

Угол между прямой и плоскостью

Проекция наклонной позволяет ввести такое понятие, как угол между прямой и плоскостью.

Пусть надо определить угол между прямой HM и плоскостью α:

Здесь надо просто построить перпендикуляр МК. В результате появится отрезок HK– проекция HM на α. Тогда угол между HM и HK, то есть ∠MHK, как раз и будет углом между HM и α.

Однако не всегда таким образом можно построить проекцию прямой. Проблемы возникнут, если прямая либо параллельна, либо перпендикулярна плоскости. В таких случаях используются такие правила:

Задачи на перпендикуляры, наклонные, расстояния

Рассмотрим несколько задач, в каждой из которых рассматривается куб АВСDEFGH. При этом предполагается, что ребро такого куба имеет длину, равную единице.

Задание. В кубе АВСDEFGH найдите расстояние между точкой А и гранью CDHG:

Решение. Ребро AD перпендикулярно грани DH (так как AD⊥DH и AD⊥CD). Поэтому как раз АD и является расстоянием между А и СDHG. Значит, оно равно единице.

Ответ: 1.

Примечание. Для решения следующих задач запомним, что ребро DH перпендикулярно грани АВСD. Вообще в кубе все ребра, пересекающиеся с гранями, перпендикулярны таким граням.

Задание. Найдите в кубе расстояние между вершиной А и плоскостью BDH:

Решение. Проведем на грани АВСD перпендикуляр АК из А к прямой BD:

Докажем, что АК – перпендикуляр в BDH. Для этого надо найти две прямые в BDH, перпендикулярные АК. Первая такая прямая – это BD (мы специально провели АК⊥BD). Вторая такая прямая – это DH. Действительно, DH перпендикулярна всей грани АВСD, а значит, и прямой АК.

Теперь найдем длину АК. Ее можно вычислить из прямоугольного ∆АКD. В нём ∠ADB =45°, ведь это угол между стороной квадрата АВСD и его диагональю.

Найти АК можно с помощью тригонометрии в ∆АКD:

Задание. Найдите расстояние от H до плоскости EDG:

Решение. Обозначим середину отрезка ЕD буквой М.Далее в ∆МНG опустим высоту из НК на сторону MG:

Попытаемся доказать, что HK – это перпендикуляр к EDG. Заметим, что ∆HDG и ∆EHG равны, ведь у них одинаковую длину имеют ребра DH, EH, ребро GH – общее, а ∠DHG и ∠EHG прямые. Тогда одинаковы отрезки EG и DG. Это означает, что ∆EGD – равнобедренный.

В ∆EGDMG– это медиана. Так как ∆EGD – равнобедренный, то MG одновременно ещё и высота, поэтому MD⊥MG.

Аналогично ∆EHD– равнобедренный (EH = HD), а потому MH в нем – и медиана, и высота. Поэтому MD⊥MH.

Получили, что MD перпендикулярен и MH, и MG, то есть двум прямым в плоскости MHG. Тогда MD перпендикулярен всей плоскости MHG, и, в частности, отрезку HK: HK⊥MD.

Но также MD⊥MG. Получается, KH перпендикулярен двум прямым в плоскости EDG, и потому он является перпендикуляром к плоскости EDG. Значит, именно его длину нам и надо найти.

Рассмотрим ∆MDH. Он прямоугольный, а ∠MDH = 45° (угол между стороной и диагональю квадрата). Тогда длину MH можно найти так:

Так как ребро GH перпендикулярно грани АЕНD, то ∆MHG – прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора можно найти MG:

Далее можно найти HK разными способами, но проще воспользоваться подобием ∆MHG и ∆MKH. Они оба – прямоугольные, и у них есть общий угол ∠KMH, этого достаточно для подобия треугольников. Записываем пропорцию:

Здесь слева записано отношение сторон, лежащих против ∠KMH, а справа – отношение сторон, лежащих против прямых углов (то есть отношение гипотенуз). Используем пропорцию дальше:

Задание. Найдите расстояние между прямыми ВС и DH:

Решение. ВС и DH – скрещивающиеся. Надо найти общий перпендикуляр к ним. В данном случае он очевиден – это отрезок CD. Действительно, CD⊥ВС как стороны квадрата АВСD, но и DH⊥CD как стороны в другом квадрате, СDHG.. Длина же ребра CD равна единице, ведь у куба все ребра одинаковы.

Ответ: 1.

Задание. Каково расстояние между прямыми ВС и DG:

Решение.На грани СDHG опустим из С перпендикуляр СК на диагональ GD:

Будет ли СК являться расстоянием между ВС и DG? Ясно, что СК⊥DG. При этом ребро ВС перпендикулярно грани СGHD, так как ВС⊥СG и ВС⊥СD. Значит, также ВС⊥СК. То есть СК – общий перпендикуляр к ВС и DG, и по определению как раз и является искомым расстоянием.

Длину СК найдем из прямоугольного ∆СKG. ∠СGK составляет 45°, ведь это угол между диагональю DG и стороной квадрата СG. Тогда можно записать:

Задание. Найдите расстояние между ребрами АВ и HG:

Решение. Здесь ребра АВ и HG параллельны, так как каждая их них параллельна ребру CD. Проведем отрезок АН. Так как и АВ, и HG перпендикулярны грани АЕНD, то эти ребра одновременно перпендикулярны и АН. То есть АН – общий перпендикуляр к АВ и HG, и поэтому именно его длину и надо найти.

Сделать это можно из прямоугольного ∆АНD, в котором ∠НАD составляет 45°:

Задание. Чему равно расстояние между ребром AB и диагональю FD:

Решение. Пусть А₁, D₁, H₁ и Е₁ – середины ребер АВ, DC, HG, и EF соответственно. Проведем через А₁, D₁, H₁ плоскость. Диагональ FD пересечет ее в какой-нибудь точке К:

Сначала покажем, что плоскости α и ADH (то есть нижняя грань) параллельны.

Заметим, что в четырехугольнике АА₁D₁D стороны АА₁ и DD₁ параллельны (ведь они лежат на сторонах квадрата АВСD) и одинаковы (ведь они составляют половину от длины ребер АВ и CD, то есть имеют длину 0,5). Тогда АА₁D₁D – параллелограмм. Более того, раз у него есть прямые углы ∠А₁АDи ∠АDD₁, то можно утверждать, что АА₁D₁D – прямоугольник. Тогда АD||A₁D₁. Аналогично можно показать, что DHH₁D₁ – прямоугольник, и DH||D₁H₁.

Далее можно действовать разными способами. Первый способ – это использование признака параллельности плоскостей (теорема 9 из этого урока). Так как в α есть пересекающиеся прямые А₁D₁и D₁H₁, а в плоскости ADH находятся прямые AD и DH, и АD||A₁D₁, и DH||D₁H₁, то по этому признаку α||ADH.

Однако, если этот признак вдруг оказался «забыт», то можно использовать отрезок DD₁. Он перпендикулярен и грани ADHE, и плоскости α, ведь в каждой из них есть по две прямых, перпендикулярных ему. Это AD и DH на грани ADHE и A₁D₁и D₁H₁ в α. Тогда α и ADH перпендикулярны одной и той же прямой, а потому они параллельны. Так или иначе, мы выяснили, что α||ADH.

Отсюда вытекает, что α должна проходить через середину Е₁. Действительно, расстояние между параллельными плоскостями не зависит от выбора точек измерения. В данном случае оно равно отрезку АА₁, то есть 0,5. Но FE– это также общий перпендикуляр к α и ADH. Значит, α пересекает FE в точке, находящейся на расстоянии 0,5 от Е. А это как раз и есть середина FE, то есть точка Е₁.

Далее докажем, что точка К, в которой прямая FD пересекает α – это середина отрезка Е₁D₁. Для этого удобно отдельно показать плоскость, проходящую через параллельные ребра FE и CD, то есть четырехугольник FEDC:

Заметим, так как ребра FE и CD перпендикулярны верхней и нижней грани, то они перпендикулярны и отрезкам FC и ED, то есть FEDC прямоугольник. Тогда FC||ED, и ∠Е₁FD = ∠D₁DF (накрест лежащие углы при секущей FD). ∠FKE₁ и ∠DKD₁ одинаковы уже как вертикальные углы. Тогда ∆FKE₁ и ∆DKD₁ подобны по 2 углам. Но отрезки FE₁ и DD₁ одинаковы как половины равных ребер FE и CD. Получается, что ∆FKE₁ и ∆DKD₁ равны, и поэтому Е₁К = KD₁. Это и значит, что К – середина Е₁D₁.

Также отметим, что Е₁D₁ – диагональ в четырехугольнике А₁Е₁Н₁D₁. Докажем, что А₁Е₁Н₁D – это квадрат. Ранее мы уже показали, что АА₁D₁D и DHH₁D₁ – прямоугольники. Аналогично можно продемонстрировать, что прямоугольниками являются также АА₁Е₁Е и ЕЕ₁Н₁Н. Из этого вытекает равенство сторон:

То есть в А₁Е₁Н₁D₁ все стороны одинаковы, и эта фигура – ромб. Теперь надо показать, что и углы в этом четырехугольнике составляют 90°. Продемонстрируем это на примере ∠А₁D₁H₁. AD⊥CDHG и AD||A₁D₁, поэтому А₁D₁⊥CDHG. Значит, также А₁D перпендикулярна любой прямой на грани CDHG, в том числе и D₁H₁. То есть ∠А₁D₁H₁ = 90°. Но если в ромбе хотя бы один угол прямой, то он является квадратом.

Итак, мы выяснили, что А₁Е₁Н₁D₁ – квадрат, а К – середина его диагонали Е₁D₁. Получается, что К – точка пересечения диагоналей квадрата А₁Е₁Н₁D₁, ведь эта точка пересечения как раз делит диагонали пополам.

Теперь мы можем наконец доказать, что А₁К – это и есть искомое расстояние. Действительно, так как АВ – перпендикуляр к α, та А₁К принадлежит α, то А₁К⊥АВ. Но как же доказать, что А₁К⊥FD. Здесь поможет теорема о трех перпендикулярах. Е₁К – это проекция FK на α, и Е₁К⊥А₁К, ведь диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. Раз отрезок А₁К перпендикулярен проекции, то он перпендикулярен и самой наклонной, то есть А₁К⊥FK.

Осталось лишь вычислить длину А₁К. Для этого по аналогии с предыдущими задачами используем прямоугольный∆А₁Е₁К, в котором ∠А₁Е₁К = 45°:

Отвлечемся от куба и рассмотрим другую задачу.

Задание. В ∆АВС вписана окружность. Через центр этой окружности (точку О) проведена прямая ОН, причем она перпендикулярна плоскости АВС. Верно ли, что точка Н находится на одинаковом расстоянии от прямых АВ, АС и ВС?

Решение. Пусть N, K и M – точки касания окружности и сторон АВ, АС и ВС соответственно. Тогда ОN, OK и OM– радиусы, а они должны быть перпендикулярны касательным, то есть

Заметим, что ОN, OK и OM – это также проекции прямых HN, HK и HM соответственно. Раз отрезки АВ, АС и ВС перпендикулярны этим проекциям, то они должны быть перпендикулярны и наклонным:

Это значит, что HN, HK и HM– это расстояния от H до сторон ∆АВС. Осталось показать, что они одинаковы. Это можно сделать с помощью ∆HON, ∆HOK и ∆HOM. Они все прямоугольные, причем катет OH– общий, а катеты ON, OM и OK одинаковы как радиусы одной окружности. Отсюда вытекает вывод, что эти треугольники равны, то есть одинаковы и их гипотенузы HN, HKи HM, ч. т. д.

Теперь снова вернемся к кубу, чтобы на практике научиться определять угол между прямой и плоскостью.

Задание. Найдите угол между ребром куба BD и гранью СDHG:

Решение. ВС – это перпендикуляр к грани СDHG, поэтому CD– проекция BD на грань СDHG. Тогда нам надо найти ∠BDC. Он составляет 45°, так как это угол между стороной и диагональю квадрата АВСD:

Ответ: 45°.

Задание. Вычислите угол между ребром CD и плоскостью BDHF:

Решение. Нам надо из С опустить перпендикуляр на BDHF. Несложно догадаться, что для этого надо на грани ABCD опустить перпендикуляр СК на диагональ BD:

Действительно, СK⊥BD. Надо найти ещё одну прямую в BDHF, перпендикулярную СК. И такой прямой может быть BF. Так как BF перпендикулярна всей грани АВСD, то она обязательно перпендикулярна и СК. Получаем, что СК⊥BF и CK⊥BD, и тогда СK⊥BDHF.

Если СK– перпендикуляр, то KD – это проекция СD. Тогда искомый нами угол – это ∠СDK. Он равен 45°, ведь BD – диагональ квадрата АВСD, а CD – его сторона.

Ответ: 45°

Задание. Чему равен угол между прямой BD и плоскостью ABGH:

Решение. На нижней грани АЕНD опустим на АН перпендикуляр DK:

Заметим, что ребро АВ перпендикулярно грани АЕНD, поэтому KD⊥АВ. Но также KD⊥AH (мы специально построили так KD). Тогда можно утверждать, что KD – это перпендикуляр ко всей плоскости АВGH.

В таком случае BK – это проекция BD на AB. Значит, нам необходимо вычислить ∠DBK. Его можно найти из прямоугольного ∆DBK, но сперва надо вычислить длины сторон KD и BD.

ВD найдем из прямоугольного ∆ABD:

Теперь мы можем найти ∠DBK, а точнее его синус, из ∆DBK:

По таблице синусов легко определить, что ∠DBK = 30°.

Ответ: 30°.

В ходе сегодняшнего урока мы узнали о перпендикуляре к плоскости. Перпендикуляры используются для определения расстояний в стереометрии, а также угла между прямой и плоскостью.

Как составить уравнение прямой перпендикулярной данной прямой и проходящей через данную точку?

Пусть y=k₁x+b₁ — данная прямая. С учётом условия перпендикулярности прямых уравнение прямой, перпендикулярной данной, имеет вид

   

Если эта прямая проходит через точку M(x_o; y_o), то её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в уравнение x_o и y_o, мы найдем b.

Примеры.

1) Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(-10;3), перпендикулярной прямой y=5x-11.

Решение:

Так как прямые перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку, то

   

Значит уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=5x-11, имеет вид

   

Так как прямая проходит через точку A(-10;3), то координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

   

откуда b=1.

Итак, уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=5x-11 и проходящей через точку A(-10;3)

   

Ответ: y= -0,2x+1.

2) Написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой x= -2, проходящей через точку M(-5;9).

Решение:

Прямая x= -2 перпендикулярна оси абсцисс. Значит, прямая, уравнение которой мы ищем, параллельна оси абсцисс, то есть ищем уравнение прямой в виде y=b.

Так как искомая прямая проходит через точку M(-5;9), то координаты M удовлетворяют уравнению прямой: y=9.

Ответ: y=9.

3) Написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=4, проходящей через точку F(7;-5).

Решение:

Прямая y=4 перпендикулярна оси ординат. Следовательно, прямая, уравнение которой мы ищем, параллельна оси ординат, а значит, её уравнение имеет вид x=a.

Так как эта прямая проходит через точку F(7;-5), то координаты F удовлетворяют уравнению прямой: x=7.

Ответ: x=7.