Как найти прямую при пересечении плоскостей - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Прямая как линия пересечения плоскостей

Прямая
в пространстве может быть определена
как линия пересечения двух непараллельных
плоскостей
и,
то есть как множество точек, удовлетворяющих
системе двух линейных уравнений

(V.5)

Справедливо
и обратное утверждение: система двух
независимых линейных уравнений вида
(V.5)
определяет прямую как линию пересечения
плоскостей (если они не параллельны).
Уравнения системы (V.5)
называются общим
уравнением прямой
в пространстве
.

Пример
V.12.
Составить
каноническое уравнение прямой, заданной
общими уравнениями плоскостей

Решение.
Чтобы написать
каноническое уравнение прямой или, что
тоже самое, уравнение прямой, проходящей
через две данные точки, нужно найти
координаты каких-либо двух точек прямой.
Ими могут служить точки пересечения
прямой с какими-нибудь двумя координатными
плоскостями, например Oyz
и Oxz.

Точка
пересечения прямой с плоскостью Oyz
имеет абсциссу
.
Поэтому, полагая в данной системе
уравнений,
получим систему с двумя переменными:

Ее
решение
,вместе сопределяет точкуискомой прямой. Полагая в данной системе
уравнений,
получим систему

решение
которой
,вместе сопределяет точкупересечения прямой с плоскостьюOxz.

Теперь
запишем уравнения прямой, проходящей
через точки
и:или,
гдебудет направляющим векто-ром этой
прямой.

Пример
V.13.
Прямая задана
каноническим уравнением
.
Составить общее уравнение этой прямой.

Решение.
Каноническое
уравнение прямой можно записать в виде
системы двух независимых уравнений:



Получили
общее уравнение прямой, которая теперь
задана пересечением двух плоскостей,
одна из которых
параллельна осиOz
(),
а другая– осиОу
().

Данную
прямую можно представить в виде линии
пересечения двух других плоскостей,
записав ее каноническое уравнение в
виде другой пары независимых уравнений:



Замечание.
Одна и та же прямая может быть задана
различными системами двух линейных
уравнений (то есть пересечением различных
плоскостей, так как через одну прямую
можно провести бесчисленное множество
плоскостей), а также различными
каноническими уравнениями (в зависимости
от выбора точки на прямой и ее направляющего
вектора).

Ненулевой
вектор, параллельный прямой линии, будем
называть ее направляющим
вектором.

Пусть
в трехмерном пространстве

задана прямая l,
проходящая через точку
,
и ее направляющий вектор.

Любой
вектор
,
где,
лежащий на прямой, коллинеарен с вектором,
поэтому их координаты пропорциональны,
то есть

.
(V.6)

Это
уравнение называется каноническим
уравнением прямой. В частном случае,
когда ﻉ
есть
плоскость, получаем уравнение прямой
на плоскости

.
(V.7)

Пример
V.14.
Найти уравнение прямой, проходящей
через две точки
,.

Будем
считать вектор
направляющим, тогда уравнение искомой
прямой имеет вид

где
,,.

Удобно
уравнение (V.6)
записать в параметрической форме. Так
как координаты направляющих векторов
параллельных прямых пропорциональны,
то, полагая

получим

где
t
– параметр,
.

Расстояние от точки до прямой

Рассмотри
двухмерное евклидовое пространство ﻉ

с
декартовой системой координат. Пусть
точка
ﻉ

и
lﻉ.
Найдем расстояние от этой точки до
прямой. Положим
_,
и прямая l
задается уравнением
(рис.V.8).

Расстояние

,
вектор
,
где

– нормальный вектор прямой l,

и

– коллинеарны, поэтому их координаты
пропорциональны, то есть
,
следовательно,
,

Рис.
V.8

Отсюда
или умножая эти уравнения
наA
и B
соответственно и складывая их, находим
,
отсюда

или

Формула

(V.8)

определяет
расстояние от точки
до прямой.

Пример
V.15.
Найти уравнение прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно прямойl:
и найти расстояние отдо прямойl.

Из
рис. V.8
имеем
,
а нормальный вектор прямойl
.
Из условия перпендикулярности имеем

или

Так
как
,
то

.
(V.9)

Это
и есть уравнение прямой, проходящей
через точку
,перпендикулярно
прямой
.

Пусть
имеем уравнение прямой (V.9),
проходящей через точку
,
перпендикулярна прямойl:
.
Найдем расстояние от точкидо прямойl,
используя формулу (V.8).

Для
нахождения искомого расстояния достаточно
найти уравнение прямой, проходящей
через две точки
и точку,
лежащую на прямой в основании
перпендикуляра. Пусть
,
тогда

.
(V.10)

Так
как
,
а вектор,
то

.
(V.11)

Поскольку
точка
лежит на прямойl,
то имеем еще одно равенство
или

Приведем систему
к виду, удобному для применения метода
Крамера

Ее решение имеет
вид

.
(V.12)

Подставляя
(V.12)
в (V.10),
получаем исходное расстояние.

Пример
V.16.
В двухмерном пространстве задана точка
и прямая.
Найти расстояние от точкидо прямой; записать уравнение прямой,
проходящей через точкуперпендикулярно заданной прямой и найти
расстояние от точкидо основания перпендикуляра к исходной
прямой.

По
формуле (V.8)
имеем

Уравнение
прямой, содержащей перпендикуляр, найдем
как прямую, проходящую через две точки
и,
воспользовавшись формулой (V.11).
Так как
,
то, с учетом того, что,
а,
имеем

Для
нахождения координат
имеем систему с учетом того, что точкалежит на исходной прямой

Следовательно,
,,
отсюда.

Рассмотрим
трехмерное евклидовое пространство ﻉ.
Пусть точка
ﻉ
и
плоскость ﻉ.
Найдем расстояние от этой точки
до плоскости,
заданной уравнением
(рис.V.9).

Рис.
V.9

Аналогично
двухмерному пространству имеем
и вектор,
а,
отсюда

.
(V.13)

Уравнение
прямой, содержащей перпендикуляр к
плоскости ,
запишем как уравнение прямой, проходящей
через две точки
и,
лежащую в плоскости:

.
(V.14)

Для
нахождения координат точки
к двум любым равенствам формулы (V.14)
добавим уравнение

.
(V.15)

Решая
систему трех уравнений (V.14),
(V.15),
найдем
,,– координаты точки.
Тогда уравнение перпендикуляра запишется
в виде

Для
нахождения расстояния от точки
до плоскости
вместо формулой (V.13)
воспользуемся

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

5.4.4. Прямая, заданная пересечением двух плоскостей

Если плоскости пересекаются, то система линейных уравнений задаёт прямую в пространстве.

То есть прямая задана уравнениями двух плоскостей. Типовая и

распространенная задача состоит в том, чтобы переписать уравнения прямой в каноническом виде:

Задача 151

Записать канонические уравнения прямой

Решение: чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать точку и направляющий вектор. А у нас даны уравнения двух

плоскостей….

1) Сначала найдём какую-либо точку, принадлежащую данной прямой. Как это сделать? Методом подбора. В системе уравнений обнулим

какую-нибудь координату, например, . Тогда получается система двух линейных

уравнений с двумя неизвестными: . Почленно складываем уравнения и находим

решение системы:

Таким образом, точка принадлежит данной прямой. Но принадлежит ли?

Выполним проверку – подставим её координаты в исходную систему уравнений:

Получены верные равенства, значит, действительно .

В процессе подбора обратите внимание на следующий технический момент: желательно найти точку с целыми координатами. Если бы в

системе мы обнулили «икс» или «зет», то не факт, что получилась бы «хорошая» точка без дробных координат. Такой анализ и подбор точки следует

проводить мысленно или на черновике.

2) Как найти направляющий вектор прямой? Существует готовая формула: если прямая задана пересечением двух

плоскостей , то вектор является направляющим вектором данной прямой.
В нашей задаче:

Однако всех формул не упомнишь и поэтому очень важно понимать, откуда они взялись. Направляющий вектор нашей прямой ортогонален нормальным векторам плоскостей: и , поэтому вектор «пэ» можно найти как векторное произведение векторов нормали: .
Из уравнений плоскостей «снимаем» их векторы нормали:
и находим направляющий вектор прямой:

Проверим результат с помощью скалярного произведения:
, ч.т.п.

И, наконец, завершающий этап:

3) Составим канонические уравнения прямой по точке и

направляющему вектору :

Ответ:

Аналогичная задача для самостоятельного решения:

Задача 152

Записать канонические уравнения прямой

Будьте внимательны! Ваш ответ может отличаться от моего ответа (смотря, какую точку подберёте). Если отличие есть, то для проверки возьмите точку из вашего уравнения

и подставьте в моё уравнение (или наоборот).

Полное решение и ответ в конце книги.

И сейчас самое время перейти к простейшим задачам с пространственной прямой:

5.5.1. Взаимное расположение прямых

5.4.3. Параметрические уравнения прямой

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Источник

Написать канонические и параметрические уравнения прямой, образованной пересечением плоскостей

Решение

1) Найдем координаты фиксированной точки. Из исходной системы уравнений

исключим z.

Положим z=0, тогда:

откуда находим: x=1, y= -2.

Таким образом, нашли координаты фиксированной точки M0(1,-2,0).

2) Направляющий вектор определяется как векторное произведение нормалей двух плоскостей, образующих прямую:

3) Запишем канонические уравнения:

4) Обозначив,

получаем параметрические уравнения:

x=t+1, y=4t-2, z=4

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Источник

Уравнение прямой как результат пересечения плоскостей

Коэффициенты первой плоскости

Коэффициенты второй плоскости

Уравнение первой плоскости

Уравнение второй плоскости

Уравнение прямой как пересечение двух плоскостей

Определяем уравнение прямой в пространстве если нам известны общие уравнения двух плоскостей.

Обновление от 13 октября 2019 года: Используется алгоритм описанный в статье ФРС. Фундаментальное решение системы уравнений

Если первая плоскость задана уравнением вида

а другая плоскость уравнением вида

и они перескаются, то уравнение полученной прямой можно найти по двум точкам, принадлежащих одновременно этим плоскостям.

Прямая в пространстве, проходящая через две точки и может быть представлена в виде канонического уравнения

(cfrac{x-x_0}{x_1-x_0}=cfrac{y-y_0}{y_1-y_0}=cfrac{z-z_0}{z_1-z_0})

B принципе этого достаточно что бы решить уравнение. Положим что z=0 ( можно брать любое число, но с нулем оно как то удобнее) тогда уравнения плоскости приобретают вид

Получили систему линейных уравнений которая легко решается.

Определили таким образом точку

Теперь пусть z=1 и решаем систему

и получаем вторую точку

Эти две точки принадлежат обеим плоскостям и значит уравнение прямой имеет вид

(cfrac{x-x_0}{x_1-x_0}=cfrac{y-y_0}{y_1-y_0}=cfrac{z}{1})

Есть еще второй способ, использующий вектора. Рассмотрим и его.

Если известна точка в пространстве и направляющий вектор

то уравнение прямой имеет вид

(cfrac{x-x_0}{m}=cfrac{y-y_0}{n}=cfrac{z-z_0}{p})

Узнав координаты точки ( например по выше приведенному решению) нам осталось узнать направляющий вектор.

Для этого вычислим векторное произведение

(begin{pmatrix}i&j&k\A_1&B_1&C_1\A_2&B_2&C_2end{pmatrix}=im+jn+kp)

и подставив вычисленные значения в уравнение

(cfrac{x-x_0}{m}=cfrac{y-y_0}{n}=cfrac{z-z_0}{p})

мы узнаем уравнение прямой в пространстве, как пресечение двух плоскостей.

Созданный онлайн калькулятор позволяет автоматически находить уравнение прямой по двум заданным общим уравнениям плоскостей.

Условие параллельности плоскостей

Две плоскости заданные уравнениями вида

лишь тогда параллельны, когда верным становится соотношение

(cfrac{A_1}{A_2}=cfrac{B_1}{B_2}=cfrac{C_1}{C_2})

Источник

Линия пересечения плоскостей онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти линию пересечения плоскостей. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения линии пересечения плоскостей введите коэффициенты в уравнения плоскостей и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Линия пересечения плоскостей − теория, примеры и решения

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, могут совпадать или пересекаться. В данной статье мы определим взаимное расположение двух плоскостей, и если эти плоскости пересекаются, выведем уравнение линии пересечения плоскостей.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы плоскости α₁ и α₂:

α₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0,

(1)

α₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0,

(2)

где n₁={A₁, B₁, C₁} и n₂={A₂, B₂, C₂} − нормальные векторы плоскостей α₁ и α₂, соответственно.

Найдем уравнение линии пересеченя плоскостей α₁ и α₂. Для этого рассмотрим следующие случаи:

1. Нормальные векторы n₁ и n₂ плоскостей α₁ и α₂ коллинеарны (Рис.1).

Поскольку векторы n₁ и n₂ коллинеарны, то существует такое число λ≠0, что выполнено равенство n₁=λn₂, т.е. A₁=λA₂, B₁=λB₂, C₁=λC₂.

Умножив уравнение (2) на λ, получим:

α₂: A₁x+B₁y+C₁z+λD₂=0,

(3)

Если выполненио равенство D₁=λD₂, то плоскости α₁ и α₂ совпадают, если же D₁≠λD₂то плоскости α₁ и α₂ параллельны, то есть не пересекаются.

2. Нормальные векторы n₁ и n₂ плоскостей α₁ и α₂ не коллинеарны (Рис.2).

Если векторы n₁ и n₂ не коллинеарны, то решим систему линейных уравнений (1) и (2). Для этого переведем свободные члены на правую сторону уравнений и составим соответствующее матричное уравнение:

Как решить уравнение (4) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или Метод Жоржана-Гаусса онлайн.

Так как в системе линейных уравнений (4) векторы n₁={A₁, B₁, C₁} и n₂={A₂, B₂, C₂} не коллинеарны, то решение этой системы линейных уравнений имеет следующий вид:

где x₀, y₀, z₀, m, p, l действительные числа, а t − переменная.

Равенство (5) можно записать в следующем виде:

Мы получили параметрическое уравнение прямой, которое является линией пересечения плоскостей α₁ и α₂. Полученное уравнение прямой можно записать в каноническом виде:

Пример 1. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α₁ имеет нормальный вектор n₁={A₁, B₁, C₁}={1, 2, 1}. Плоскость α₂ имеет нормальный вектор n₂={A₂, B₂, C₂}={2, 9, −5}.

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ неколлинеарны, то плолскости α₁ и α₂ пересекаются.

Для нахождения линии пересечения влоскостей α₁ и α₂ нужно решить систему линейных уравнений (7) и (8). Для этого составим матричное уравнение этой системы:

Решим систему линейных уравнений (9) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −2:

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на −2/5:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Получим решение:

где t− произвольное действительное число.

Запишем (11) в следующем виде:

Получили уравнение линии пересечения плоскостей α₁ и α₂ в параметрическом виде. Запишем ее в каноническом виде.

Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:

Ответ. Уравнение линии пересечения плоскостей α₁ и α₂имеет вид:

Пример 2. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α₁ имеет нормальный вектор n₁={A₁, B₁, C₁}={1, 2, 7}. Плоскость α₂ имеет нормальный вектор n₂={A₂, B₂, C₂}={2, 4, 14}.

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ коллинеарны (n₁ можно получить умножением n₂ на число 1/2), то плоскости α₁ и α₂ параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α₂ умножив на число 1/2:

Так как нормальные векторы уравнений (14) и (16) совпадают, а свободные члены разные, то плоскости α₁ и α₂ не совпадают. Следовательно они параллельны, т.е. не пересекаются.

Пример 3. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α₁ имеет нормальный вектор n₁={A₁, B₁, C₁}={5, −2, 3}. Плоскость α₂ имеет нормальный вектор n₂={A₂, B₂, C₂}={15, −6, 9}.

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ коллинеарны (n₁ можно получить умножением n₂ на число 1/3), то плоскости α₁ и α₂ параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α₂ умножив на число 1/3:

Так как нормальные векторы уравнений (17) и (19) совпадают, и свободные члены равны, то плоскости α₁ и α₂ совпадают.

Источник