- Определение прямой пропорциональности
- График прямой пропорциональности
- Примеры
Определение прямой пропорциональности
Если машина движется со скоростью 50 км/ч, пройденное расстояние (в километрах) в зависимости от времени (в часах) s = 50t. Время мы определяем как $tgeq0$. Но механика позволяет нам рассчитать не только будущее положение тела, но и прошлое, подставив в формулу $t lt 0$ и запросто «прокрутив» время назад. Поэтому в общем случае, если движение было и остаётся постоянным, мы получаем:
$${left{ begin{array}{c} — infty lt tlt + infty \ s = 50t end{array} right.}$$
Можно представить себе не только отрицательное время («поход в прошлое»). Ещё проще ввести отрицательные координаты: направо идём – координата растёт, становится положительной, поворачиваем налево – уменьшается, становится отрицательной.
В задачах, связанных с экономикой, величины также могут уходить в «плюс» и «минус»: покупки/продажи, кредиты/депозиты, доходы/затраты, прибыли/убытки . Часто эти величины изменяются на какую-то постоянную сумму с течением времени.
Если обобщить формулы, описывающие подобные зависимости, то получаем:
$${left{ begin{array}{c}- infty lt x lt + infty — аргумент, quad любое quad действительное quad число \ k = const ≠ 0 quad — параметр, quad константа \ y = kx quad — функцияend{array} right.}$$
Функция такого вида называется прямой пропорциональностью.
Если $k gt 0$, то чем больше x, тем больше y – функция возрастает.
Если $k lt 0$, то чем больше x, тем больше y – функция убывает.
График прямой пропорциональности
Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.
Согласно аксиоме планиметрии, через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Значит, положение прямой на плоскости полностью определяется двумя точками . Получаем:
Алгоритм построения графика прямой пропорциональности
- Выбрать произвольное значение аргумента $x_*neq 0$
- Вычислить соответствующее значение функции $y_*=kx_*$
- Отметить на координатной плоскости точку $(x_*,y_* )$
- Провести прямую через начало координат (0;0) и точку $(x_*,y_* )$
Эта прямая – график прямой пропорциональности y=kx.
Например: построим график функции y = 2x
Примеры
Пример 1. Постройте графики прямых пропорциональностей.
Укажите, возрастает или убывает функция.
$k = 1 gt 0$ – функция возрастает
$k = 3 gt 0$ – функция возрастает
$k = frac{1}{3} gt 0$ – функция возрастает
$k = -1 lt 0$ – функция убывает
$k = -2 lt 0$ – функция убывает
$k = -frac{1}{2} lt 0$ – функция убывает
Пример 2. Известно, что график прямой пропорциональности проходит через точку A(5;22). Проходит ли этот график через точки B(7;32,4)и C(9;39,6)?
Точка A определяет коэффициент пропорциональности:
$$ k= frac{y_A}{x_A} = frac{22}{5} = 4,4 $$
При $x = 7:y = 4,4 cdot 7 = 30,8 neq 32,4 Rightarrow$ B не принадлежит графику.
При $x = 9:y = 4,4 cdot 9 = 39,6 Rightarrow C$ принадлежит графику.
Пример 3. Является ли прямой пропорциональностью функция, проходящая через точки:
а) A(1,5;2,75) и B(12;22)
Найдём коэффициенты пропорциональностей для каждой из точек:
$$ k_A = frac{y_A}{x_A} = frac{2,75}{1,5} stackrel{text{ × 4}}{=} frac{11}{6} = frac{15}{6} $$
$$ k_B = frac{y_B}{x_B} = frac{22}{12} = frac{11}{6} = frac{15}{6} $$
$k_A = k_B Rightarrow$ прямая AB $y=1 frac{5}{6} x$ является прямой пропорциональностью.
б) A(3;4,5) и B(5;8)
Найдём коэффициенты пропорциональностей для каждой из точек:
$$ k_A = frac{y_A}{x_A} = frac{2,75}{1,5} = frac{4,5}{3} = 1,5 $$
$$ k_B = frac{y_B}{x_B} = frac{8}{5} = 1,6 $$
$k_A neq k_B Rightarrow$ прямая AB не является прямой пропорциональностью.
Понятие о прямой пропорциональности
Представьте, что вы задумали купить своих любимых конфет (или чего угодно, что вам очень нравится). У конфет в магазине своя цена. Предположим, 300 рублей за килограмм. Чем больше конфет вы купите, тем больше денег заплатите. То есть если захотите 2 килограмма – заплатите 600 р., а захотите 3 кило – отдадите 900 рублей. С этим вроде бы все ясно, верно?
Если да, то тогда вам сейчас ясно и что такоепрямая пропорциональность– это понятие, которое описывает отношение двух зависящих друг от друга величин. И отношение этих величин остается неизменным и постоянным: на сколько частей увеличивается или уменьшается одна из них, на столько же частей пропорционально увеличивается или уменьшается вторая.
Описать прямую пропорциональность можно такой вот формулой:f(x) = a*x, и a в этой формуле – постоянная величина (a = const). В нашем примере про конфеты цена – это постоянная величина, константа. Она не возрастает и не уменьшается, сколько бы конфет вы не задумали купить. Независимая переменная (аргумент)x– это то, сколько килограммов конфет купить вы собираетесь. А зависимая переменнаяf(x) (функция) – то, сколько денег вы в итоге заплатите за свою покупку. Так что можем подставить в формулу цифры и получить: 600 р. = 300 р. * 2 кг.
Промежуточный вывод такой: если возрастает аргумент, возрастает и функция, если аргумент убывает, функция тоже убывает
Функция и ее свойства
Функцией прямой пропорциональности является частный случай линейной функции. Если линейная функция это y = k*x + b, то для прямой пропорциональности это выглядит так: y = k*x, гдеk называется коэффициентом пропорциональности, и это всегда не равно нулю число. Вычислитьk легко – он находится как частное функции и аргумента: k = у/х.
Чтобы было нагляднее, возьмем еще один пример. Представьте, что из пункта А в пункт Б движется автомобиль. Его скорость – 60 км/ч. Если предположить, что скорость движения остается постоянной, то ее можно принять за константу. И тогда запишем условия в виде: S = 60*t, и эта формула аналогична функции прямой пропорциональности y = k*x. Проведем параллель дальше: если k = у/х, то и скорость автомобиля можно вычислить, зная расстояние между А и Б и затраченное на дорогу время: V = S/t.
А теперь от прикладного применения знаний о прямой пропорциональности вернемся обратно к ее функции. К свойствам которой относится:
-
областью ее определения является множество всех действительных чисел (а также его подмножества);
-
функция нечетная;
-
изменение переменных прямо пропорционально осуществляется по всей длине числовой прямой.
Прямая пропорциональность и ее график
График функции прямой пропорциональности – это прямая, которая пересекает точку начала координат. Чтобы его построить, достаточно отметить только еще одну точку. И соединить ее и начало координат прямой.
В случае с графикомk– это угловой коэффициент. Если угловой коэффициент меньше нуля (k < 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k > 0), график и ось абсцисс образуют острый угол, а функция – возрастающая.
И еще одно свойство графика функции прямой пропорциональности напрямую связано с угловым коэффициентомk. Предположим, у нас две не идентичных функции и, соответственно, два графика. Так вот, если коэффициентыkэтих функций равны, их графики расположены на оси координат параллельно. А если коэффициентыkне равны друг другу, графики пересекаются.
Примеры задач
А теперь решим пару задач на прямую пропорциональность
Начнем с простого.
Задача 1: Представьте, что 5 куриц за 5 дней снесли 5 яиц. А если будет 20 куриц, сколько яиц они снесут за 20 дней?
Решение: Обозначим неизвестное какх. И рассуждать будем следующим образом: во сколько раз больше куриц стало? Разделим 20 на 5 и узнаем, что в 4 раза. А во сколько раз больше яиц снесут 20 куриц за те же 5 дней? Тоже в 4 раза больше. Значит, находим нашх так: 5*4*4 = 80 яиц снесут 20 куриц за 20 дней.
Теперь пример чуть сложнее, перефразируем задачу из «Всеобщей арифметики» Ньютона. Задача 2: Писатель за 8 дней может сочинить 14 страниц новой книги. Если бы у него были помощники, сколько бы человек понадобилось, чтобы написать 420 страниц за 12 дней?
Решение: Рассуждаем, что количество человек (писатель + помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если бы ее пришлось сделать за то же количество времени. Но во сколько раз? Разделив 420 на 14, узнаем, что увеличивается в 30 раз. Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз, а таким образом: х = 1 (писатель) * 30 (раз) : 12/8 (дней). Преобразуем и выясним, что х = 20 человек напишут 420 страниц за 12 дней.
Решим еще задачу, похожую на те, что были у нас в примерах.
Задача 3: В одно и то же путешествие отправилось два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найдите скорость второго автомобиля.
Решение: Как вы помните, путь определяется через скорость и время – S = V *t. Поскольку путь оба автомобиля проделали одинаковый, мы можем приравнять два выражения: 70*2 = V*7. Откуда найдем, что скорость второго автомобиля, это V = 70*2/7 = 20 км/ч.
И еще пару примеров заданий с функциями прямой пропорциональности. Иногда в задачах требуется найти коэффициент k.
Задача 4: Даны функции у = — х/16 и у = 5х/2, определите их коэффициенты пропорциональности.
Решение: Как вы помните, k = у/х. Значит, для первой функции коэффициент равен -1/16, а для второй k = 5/2.
А еще вам может встретиться задание, как Задача 5: Запишите формулой прямую пропорциональность. Ее график и график функции у = -5х + 3 расположены параллельно.
Решение: Функция, которая дана нам в условии, – линейная. Нам известно, что прямая пропорциональность – частный случай линейной функции. А также мы знаем, что если коэффициенты k функций равны, их графики параллельны. Значит, все, что требуется – это вычислить коэффициент известной функции и задать прямую пропорциональность по знакомой нам формуле: y = k*x. Коэффициент k = -5, прямая пропорциональность: у = -5*х.
Вывод
Теперь вы узнали (или вспомнили, если уже проходили эту тему раньше), что называется прямой пропорциональностью, и рассмотрели ее примеры. Мы также поговорили о функции прямой пропорциональности и ее графике, решили несколько задач для примера.
Если эта статья оказалась полезной и помогла разобраться в теме, расскажите нам об этом в комментариях. Чтобы мы знали, смогли ли принести вам пользу.
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Рассматривая линейную функцию вида (y=kx + b), особо выделяют случай, когда (b=0).
Тогда линейная функция принимает вид (y=kx) и называется прямой пропорциональностью.
Графиком функции (y=kx) является прямая, проходящая через начало координат.
Важно уметь переходить от аналитической модели (y=kx) к геометрической и, наоборот, от геометрической к аналитической модели.
Например, рассмотрим прямую, изображённую на рисунке.
Эта прямая является графиком линейной функции (y=kx), так как проходит через начало координат. Нужно лишь определить значение коэффициента (k).
Из формулы (y=kx) получим, что
k=yx
.
Чтобы определить коэффициент (k), необходимо выбрать некоторую точку на прямой и вычислить частное ординаты и абсциссы заданной точки.
Прямая проходит через точку (M(4; 2)), следовательно получим
24=0,5
. Значит, (k=0,5), и данная прямая является графиком линейной функции (y=0,5x).
Если в формуле (y=kx) вместо (x) подставим (1), то получим (y=k). Это означает, что прямая (y=kx) проходит через точку ((1; k)). Поэтому график линейной функции можно строить по двум точкам: ((0;0)) и ((1; k)).
Иногда вместо точки ((1; k)) удобнее взять другую точку.
Коэффициент (k) определяет угол между прямой и положительным направлением оси (x).
Если (k>0), то этот угол острый (как на первом рисунке), а
если (k<0), то этот угол тупой (как на втором рисунке).
Поэтому коэффициент (k) в записи (y=kx) называют угловым коэффициентом.
Обобщая сведения о линейных функциях, можно сделать вывод:
прямая, служащая графиком линейной функции (y=kx + b), параллельна прямой, служащей графиком линейной функции (y=kx).
На рисунке показаны параллельные прямые с одним и тем же коэффициентом (k = 4).
Поэтому коэффициент (k) в записи (y=kx + b) также называют угловым коэффициентом, и
если (k>0), то прямая (y=kx + b) образует с положительным направлением оси (x) острый угол;
если (k<0), то этот угол тупой.
Математика
Тема 6: Функции
Урок 2: Прямая пропорциональность
- Видео
- Тренажер
- Теория
Заметили ошибку?
Прямая пропорциональность и ее график.
Рассмотрим задачу. Найдем зависимость массы соснового бруска (m) от его объема (V). Плотность соснового бруска 5,2 г/см3, тогда m = 5,2V. Во сколько раз увеличиваем или уменьшаем объем, во столько раз увеличивается или уменьшается его масса. Функцию такого вида называют прямой пропорциональностью.
Прямой пропорциональностью называют функцию вида у = kx, где х – независимая переменная, а k – не равное нулю число.
k – коэффициент прямой пропорциональности.
k = yx
То есть k показывает, во сколько раз у больше (или меньше) x.
Построим график прямой пропорциональности. Рассмотрим, например, функцию у = 2х. Найдем несколько значений этой функции.
|
х |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
у |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
Мы видим, что графиком функции является прямая, проходящая через начало координат. И действительно, если в формулу у = kх подставить значение х = 0, то у всегда будет равен 0. Таким образом, график прямой пропорциональности – это прямая, проходящая через начало координат. Этот факт мы используем для того, чтобы в дальнейшем упростить процесс построения графика. Для того, чтобы построить прямую, надо знать всего 2 точки, через которые она проходит. Одна из них – начало координат, точка с координатами (0;0). Вторую точку найдем, подставив любое значение х в формулу. То есть наша таблица для графика у=2х примет вид
Анализ функции у=kx
- Область определения D(y) =(- ∞;∞);
- Область значений Е(у) = (- ∞;∞);
- Точки пересечения с осями координат х=0, у=0
- Ответим на вопрос: при каких значениях k функция у=kх возрастает, а при каких – убывает. Возрастает – это значит, что когда увеличивается х, то увеличивается и у. А убывает – это значит, что при увеличении значений х, значения у уменьшаются.
Рассмотрим к>0.
Мы уже строили график функции у = 2х. Давайте посмотрим на него. Мы видим, что с увеличением х увеличиваются и значения функции у. Таким образом, при к>0 функция возрастает, ее график располагается в первой и третьей координатных четвертях.
Рассмотрим k<0.
Пусть k = -2. Построим график функции у = -2х
Мы видим, что с увеличением х значения функции у уменьшаются. Таким образом, при k<0 функция убывает, ее график располагается во второй и четвертой координатных четвертях.
Заметили ошибку?
Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.
Прямая и обратная пропорциональность
- Прямая пропорциональность
- Формула прямой пропорциональности
- Обратная пропорциональность
- Формула обратной пропорциональности
Пропорциональность — это зависимость одной величины от другой, при которой изменение одной величины приводит к изменению другой во столько же раз.
Пропорциональность величин может быть прямой и обратной.
Прямая пропорциональность
Прямая пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой одна величина зависит от второй величины так, что их отношение остаётся неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными или просто пропорциональными.
Рассмотрим пример прямой пропорциональности на формуле пути:
s = vt,
где s — это путь, v — скорость, а t — время.
При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Если взять скорость v равной 5 км/ч, то пройденный путь s будет зависеть только от времени движения t:
| Скорость v = 5 км/ч | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Время t (ч) | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
| Путь s (км) | 5 | 10 | 20 | 40 | 80 |
Из примера видно, что во сколько раз увеличивается время движения t, во столько же раз увеличивается пройденное расстояние s. В примере мы увеличивали время каждый раз в 2 раза, так как скорость не менялась, то и расстояние увеличивалось тоже в два раза.
В данном случае скорость (v = 5 км/ч) является коэффициентом прямой пропорциональности, то есть отношением пути ко времени, которое остаётся неизменным:
следовательно,
| 5 | = | 10 | = | 20 | = | 40 | = | 80 | = 5. |
| 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
Если время движения остаётся неизменным, то при равномерном движении расстояние будет пропорционально скорости:
| Время t = 2 ч | ||||
|---|---|---|---|---|
| Скорость v (км/ч) | 5 | 15 | 45 | 90 |
| Расстояние s (км) | 10 | 30 | 90 | 180 |
В этом примере коэффициентом прямой пропорциональности, то есть, отношением пути к скорости, которое остаётся неизменным, является время (t = 2 ч):
следовательно,
| 10 | = | 30 | = | 90 | = | 180 | = 2. |
| 5 | 15 | 45 | 90 |
Из данных примеров следует, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.
Формула прямой пропорциональности
Формула прямой пропорциональности:
y = kx,
где y и x — это переменные величины, а k — это постоянная величина, называемая коэффициентом прямой пропорциональности.
Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента прямой пропорциональности:
Обратная пропорциональность
Обратная пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такие величины называются обратно пропорциональными.
Рассмотрим пример обратной пропорциональности на формуле пути:
s = vt,
где s — это путь, v — скорость, а t — время.
При прохождении одного и того же пути с разной скоростью движения время будет обратно пропорционально скорости. Если взять путь s равным 120 км, то потраченное на преодоление этого пути время t будет зависеть только от скорости движения v:
| Путь s = 120 км | ||||
|---|---|---|---|---|
| Скорость v (км/ч) | 10 | 20 | 40 | 80 |
| Время t (ч) | 12 | 6 | 3 | 1,5 |
Из примера видно, что во сколько раз увеличивается скорость движения v, во столько же раз уменьшается время t. В примере мы увеличивали скорость движения каждый раз в 2 раза, а так как расстояние, которое нужно преодолеть, не менялось, то количество времени на преодоление данного расстояния сокращалось тоже в два раза.
В данном случае путь (s = 120 км) является коэффициентом обратной пропорциональности, то есть произведением скорости на время:
s = vt,
следовательно,
10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1,5 = 120.
Из данного примера следует, что две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Формула обратной пропорциональности
Формула обратной пропорциональности:
где y и x — это переменные величины, а k — это постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности.
Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента обратной пропорциональности:
xy = k.