Как найти прямую симметричную данной относительно плоскости

Сообщения без ответов | Активные темы

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Найти точку, симметричную данной относительно прямой в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	jeenkaaa	1	1326	30 май 2013, 13:50
Найти точку симметричную данной относительно плоскости в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	RETU	17	2732	24 апр 2018, 14:09
Построение прямой перпендикулярной данной плоскости в форуме Геометрия	Butsilova	2	505	26 май 2016, 10:01
Построение плоскости перпендикулярной данной прямой в форуме Геометрия	Butsilova	3	1593	25 май 2016, 17:50
Уравнение плоскости параллельной данной в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	Vozart	2	166	13 янв 2021, 23:11
Построение точки, симметричной другой точке отн-но плоскости в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	ZOlga	5	643	24 дек 2013, 15:03
Уравнение прямой и плоскости в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	leha93	1	520	22 дек 2014, 19:51
Уравнение прямой на плоскости в форуме Информатика и Компьютерные науки	AnnaGerasimova	1	1472	12 окт 2013, 18:52
Найти уравнение прямой на плоскости в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	Ali_is	1	488	20 дек 2016, 06:35
Уравнение сферы,плоскости и прямой в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	Olga1975	1	854	05 окт 2015, 21:45

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: kristalliks и гости: 1

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Параметрическое уравнение прямой. Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Прямая вместе с точкой являются важными элементами геометрии, с помощью которых строятся многие фигуры в пространстве и на плоскости. В данной статье подробно рассматривается параметрическое уравнение прямой, а также его связь с другими типами уравнений для этого геометрического элемента.

Прямая и уравнения для ее описания

Прямая в геометрии представляет собой совокупность точек, которые соединяют произвольные две точки пространства отрезком с наименьшей длиной. Этот отрезок является частью прямой. Любые другие кривые, соединяющие зафиксированные две точки в пространстве, будут иметь большую длину, поэтому прямыми не являются.

Вам будет интересно: Нейтральная лексика — это. Определение, понятие, значение и примеры

На рисунке выше показаны две черные точки. Синяя линия, соединяющая их, является прямой, а красная — кривой. Очевидно, что длина красной линии между черными точками больше, чем синей.

Существуют несколько видов уравнений прямой, с помощью которых можно описать прямую в трехмерном пространстве или в двумерном. Ниже приведены названия этих уравнений:

• векторное;
• параметрическое;
• в отрезках;
• симметричное или каноническое;
• общего типа.

Вам будет интересно: А. Пушкин «Песнь о вещем Олеге»: жанр и идея

В данной статье рассмотрим параметрическое уравнение прямой, однако выведем его из векторного. Также покажем связь параметрического и симметричного или канонического уравнений.

Уравнение векторное

Понятно, что все приведенные типы уравнений для рассматриваемого геометрического элемента связаны между собой. Тем не менее векторное уравнение является базовым для всех них, поскольку оно непосредственно следует из определения прямой. Рассмотрим, как оно вводится в геометрию.

Допустим, дана точка в пространстве P(x0; y0; z0). Известно, что эта точка принадлежит прямой. Сколько прямых можно провести через нее? Бесконечное множество. Поэтому для того, чтобы можно было провести единственную прямую, необходимо задать направление последней. Направление, как известно, определяется вектором. Обозначим его v¯(a; b; c), где символы в скобках — это его координаты. Для каждой точки Q(x; y; z), которая находится на рассматриваемой прямой, можно записать равенство:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α × (a; b; c)

Здесь символ α является параметром, принимающим абсолютно любое действительное значение (умножение вектора на число может изменить только его модуль или направление на противоположное). Это равенство называется векторным уравнением для прямой в трехмерном пространстве. Изменяя параметр α, мы получаем все точки (x; y; z), которые образуют эту прямую.

Вам будет интересно: Тайны «Аненербе»: история, артефакты, архивы

Стоящий в уравнении вектор v¯(a; b; c) называется направляющим. Прямая не имеет конкретного направления, а ее длина является бесконечной. Эти факты означают, что любой вектор, полученный из v¯ с помощью умножения на действительное число, также будет направляющим для прямой.

Что касается точки P(x0; y0; z0), то вместо нее в уравнение можно подставить произвольную точку, которая лежит на прямой, и последняя при этом не изменится.

Рисунок выше демонстрирует прямую (синяя линия), которая задана в пространстве через направляющий вектор (красный направленный отрезок).

Не представляет никакого труда получить подобное равенство для двумерного случая. Используя аналогичные рассуждения приходим к выражению:

(x; y) = (x0; y0) + α × (a; b)

Видим, что оно полностью такое же, как и предыдущее, только используются две координаты вместо трех для задания точек и векторов.

Уравнение параметрическое

Сначала получим в пространстве параметрическое уравнение прямой. Выше, когда записывалось векторное равенство, уже упоминалось о параметре, который в нем присутствует. Чтобы получить параметрическое уравнение, достаточно раскрыть векторное. Получаем:

Совокупность этих трех линейных равенств, в каждом из которых имеется одна переменная координата и параметр α, принято называть параметрическим уравнением прямой в пространстве. По сути, мы не сделали ничего нового, а просто явно записали смысл соответствующего векторного выражения. Отметим лишь один момент: число α, хотя и является произвольным, но оно для всех трех равенств одинаковое. Например, если α = -1,5 для 1-го равенства, то такое же его значение следует подставить во второе и в третье равенства при определении координат точки.

Параметрическое уравнение прямой на плоскости подобно таковому для пространственного случая. Оно записывается в виде:

Таким образом, чтобы составить параметрическое уравнение прямой, следует записать в явном виде векторное уравнение для нее.

Получение уравнения канонического

Как выше было отмечено, все уравнения, задающие прямую в пространстве и на плоскости, получаются одно из другого. Покажем, как получить из параметрического уравнения прямой каноническое. Для пространственного случая имеем:

Выразим параметр в каждом равенстве:

Поскольку левые части являются одинаковыми, тогда правые части равенств тоже равны друг другу:

(x — x0) / a = (y — y0) / b = (z — z0) / c

Это и есть каноническое уравнение для прямой в пространстве. Значение знаменателя в каждом выражении является соответствующей координатой направляющего вектора. Значения в числителе, которые вычитаются из каждой переменной, представляют собой координаты точки, принадлежащей этой прямой.

Соответствующее уравнение для случая на плоскости примет вид:

(x — x0) / a = (y — y0) / b

Дальше в статье решим несколько задач, используя полученные знания.

Уравнение прямой через 2 точки

Известно, что две фиксированные точки как на плоскости, так и в пространстве однозначно задают прямую. Предположим, что заданы две следующие точки на плоскости:

Как составить уравнение прямой через них? Для начала следует определить направляющий вектор. Его координаты имеют следующие значения:

PQ¯(x2 — x1; y2 — y1)

Теперь можно записать уравнение в любом из трех видов, которые были рассмотрены в пунктах выше. Например, параметрическое уравнение прямой принимает вид:

x = x1 + α × (x2 — x1);

y = y1 + α × (y2 — y1)

В канонической форме можно переписать его так:

(x — x1 ) / (x2 — x1) = (y — y1) / (y2 — y1)

Видно, что в каноническое уравнение входят координаты обеих точек, причем в числителе можно менять эти точки. Так, последнее уравнение можно переписать следующим образом:

(x — x2) / (x2 — x1) = (y — y2) / (y2 — y1)

Все записанные выражения называются уравнениями прямой через 2 точки.

Задача с тремя точками

Даны координаты следующих трех точек:

Необходимо определить, лежат эти точки на одной прямой или нет.

Решать эту задачу следует так: сначала составить уравнение прямой для любых двух точек, а затем подставить в него координаты третьей и проверить, удовлетворяют ли они полученному равенству.

Составляем уравнение через M и N в параметрической форме. Для этого применим полученную в пункте выше формулу, которую обобщим на трехмерный случай. Имеем:

Теперь подставим в эти выражения координаты точки K и найдем значение параметра альфа, который им соответствует. Получаем:

1 = 5 + α × (-3) => α = 4/3;

-1 = 3 + α × (-1) => α = 4;

-5 = -1 + α × 1 => α = -4

Мы выяснили, что все три равенства будут справедливы, если каждое из них примет отличающееся от других значение параметра α. Последний факт противоречит условию параметрического уравнения прямой, в котором α должны быть равны для всех уравнений. Это означает, что точка K прямой MN не принадлежит, а значит, все три точки на одной прямой не лежат.

Задача на параллельность прямых

Даны два уравнения прямых в параметрическом виде. Они представлены ниже:

Необходимо определить, являются ли прямые параллельными. Проще всего определить параллельность двух прямых с использованием координат направляющих векторов. Обращаясь к общей формуле параметрического уравнения в двумерном пространстве, получаем, что направляющие вектора каждой прямой будут иметь координаты:

Два вектора являются параллельными, если один из них можно получить путем умножения другого на некоторое число. Разделим попарно координаты векторов, получим:

Это означает что:

Направляющие вектора v2¯ и v1¯ параллельны, значит, прямые в условии задачи тоже являются параллельными.

Проверим, не являются ли они одной и той же прямой. Для этого нужно подставить координаты любой точки в уравнение для другой. Возьмем точку (-1; 3), подставим ее в уравнение для второй прямой:

-1 = 2 — 6 × λ => λ = 1/2;

3 = 4 — 3,6 × λ => λ ≈ 0,28

То есть прямые являются разными.

Задача на перпендикулярность прямых

Даны уравнения двух прямых:

Перпендикулярны ли эти прямые?

Две прямые будут перпендикулярны, если скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю. Выпишем эти вектора:

Найдем их скалярное произведение:

(v1¯ × v2¯) = 2 × 6 + 3 × (-4) = 12 — 12 = 0

Таким образом, мы выяснили, что рассмотренные прямые перпендикулярны. Они изображены на рисунке выше.

Задача 27867 4.2.78) Составить уравнение прямой.

Условие

4.2.78) Составить уравнение прямой, симметричной прямой x+2y-6 = 0 относительно точки А(4; 2).

Решение

1 способ
Прямая, симметричная данной, параллельна данной.
Значит ее уравнение имеет вид
x+2y- d=0
Чтобы найти d подставим координаты точки, принадлежащей этой прямой, например точки Е.
Для этого выберем точку F(2;2), принадлежащую данной прямой и найдем координаты точки Е симметричной относительно А
Е(6;2)
6+2*2-d=0
d=10

2 способ
Составим уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через точку А
vector_(данной прямой)=(1;2)
vector_(перпендикулярной прямой)=(2;-1)
Скалярное произведение этих векторов равно 0, векторы ортогональны.
2х-у+с=0
Чтобы найти c подставляем координаты точки А
2*4-2=с
с=-6
2х — у — 6 = 0

Найдем расстояние от точки А до данной прямой
d=|4+2*2-6|/sqrt(1+2^2)=2/sqrt(5)

Составим уравнение окружности с центром в точке А и радиусом R=2/sqrt(5).
Эта окружность касается данной прямой и второй прямой, параллельной данной и находящейся на расстоянии 2/sqrt(5) от точки.
(x-4)^2+(y-2)^2=4/5

(x-4)^2+(2x-6-2)^2=4/5
(x-4)^2=4/25
x-4=2/5 или х-4=-2/5
х=4,4 или х=3,6 — абсцисса точки М
у=2х-6=2*4,4-6=2,8
N(4,4; 2,8)

Прямая, параллельная данной имеет вид
х + 2y — d = 0
Чтобы найти d подставим координаты точки N
4,4+2*2,8 — d=0

О т в е т. х+2y -10 =0

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №5. Метод преобразований решения задач

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• симметрия относительно произвольной плоскости;
• понятие «метод движений» в пространстве.

Глоссарий по теме

Метод геометрических преобразований

Сущность метода геометрических преобразований при решении геометрических задач заключается в привлечении того или иного геометрического преобразования, опираясь на свойства которого, задача может быть решена.

Метод параллельного переноса

Сущность этого метода состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются некоторые другие фигуры, которые получаются из данных или искомых фигур или их частей путём переноса на некоторый вектор.

Применение симметрии к решению задач на построение называют методом симметрии. Метод симметрии состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются также фигуры, симметричные некоторым из них относительно некоторой точки/оси/плоскости.

Идея метода поворота состоит в том, чтобы повернуть какую-либо данную или искомую фигуру около целесообразно избранного центра/оси на соответствующий угол так, чтобы облегчить проведение анализа задачи или даже непосредственно прийти к решению.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений /– М.: Дрофа, 2009. – 235,: ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196. Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Метод геометрических преобразований

Сущность метода геометрических преобразований при решении геометрических задач заключается в привлечении того или иного геометрического преобразования, опираясь на свойства которого, задача может быть решена.

1.1. Метод параллельного переноса.

Сущность этого метода состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются некоторые другие фигуры, которые получаются из данных или искомых фигур или их частей путём переноса на некоторый вектор.

Этим путём иногда удаётся облегчить проведение анализа. Метод параллельного переноса применяют главным образом для объединения разрозненных частей фигур, когда часто построение фигуры становится затруднительным только от того, что части этой фигуры слишком удалены друг от друга, и потому трудно ввести в чертёж данные. В этих случаях какую-нибудь часть искомой фигуры переносят параллельно самой себе на такое расстояние, чтобы вновь полученная фигура могла быть построена или непосредственно, или легче, чем искомая фигура. Направление такого переноса зависит от условий задачи и должно быть выбрано так, чтобы во вновь полученную фигуру вошло, по возможности, большое количество данных.

1.2. Метод симметрии.

Применение осевой симметрии к решению задач на построение называют методом симметрии. Метод симметрии состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются также фигуры, симметричные некоторым из них относительно некоторой оси. При удачном выборе оси и преобразуемой фигуры решение задачи может значительно облегчиться, а в некоторых случаях симметрия непосредственно даёт искомые точки.

Метод симметрии заключается в следующем. Предполагают задачу решённой и одну из данных точек (прямую или окружность) отражают в какой-нибудь известной оси; иногда эта ось проходит через известную точку. Тогда полученную симметричную точку (прямую или окружность) подчиняют тем же условиям, которым должна была удовлетворять заменённая точка (прямая или окружность). После этого получится новая задача, которую решают способами, уже нам известными. Обыкновенно, с решением этой новой задачи предложенная задача уже будет решена сама собой, и только в редких случаях придётся ещё переходить к первоначальным условиям задачи. Таким образом, метод симметрии приводит решение предложенной задачи к решению новой задачи.

1.3. Метод поворота.

Поворотом также пользуются как методом решения геометрических задач на построение. Идея метода вращения состоит в том, чтобы повернуть какую-либо данную или искомую фигуру около целесообразно избранного центра/оси на соответствующий угол так, чтобы облегчить проведение анализа задачи или даже непосредственно прийти к решению.

2. Решение задач методом преобразований

2.1. Симметрия относительно произвольной плоскости

Постановка задачи. Найти координаты точки , симметричной точке , относительно плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

1. Находим уравнение прямой, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку . Так как прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор нормали плоскости, т.е. .

Поэтому уравнение прямой будет:

2. Находим точку пересечения прямой и плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

Для этого обозначим и выразим x, y, z:

.

Подставим x, y, z в уравнение плоскости:

найдем значение t.

Затем найдем x, y, z. Найденные координаты будут являться координатами точки .

3. Точка является серединой отрезка , где точка является точкой симметричной точке , поэтому

, , .

Задача 1. Найти точку M’, симметричную точке M относительно плоскости.

M(1, 1, 1), x + 4y + 3z + 5 = 0.

Уравнение прямой, которая проходит через точку M перпендикулярно заданной плоскости будет:

.

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

,

,

(1 + t) + 4(1 + 4t) + 3(1 + 3t) + 5 = 0,

Откуда – точка пересечения прямой и плоскости. является серединой отрезка MM’, поэтому

,

,

,

Даны плоскость α: x + 2y – z – 2 = 0 и две точки А(1, -2, -3) и В (-1, -1, -2). Найдите на этой плоскости точку С такую, чтобы ломаная АСВ имела наименьшую длину.

Данная плоскость пересекает оси координат в точках

Две заданные точки лежат по одну сторону от данной плоскости.

Если бы две точки лежали по разные стороны от плоскости α, то очевидно, искомой точкой С была бы точка пересечения отрезка, концами которого являются данные точки, с плоскостью α, а ломаная выродилась бы в отрезок.

Сведем нашу задачу к описанной ситуации.

Для этого найдем точку, симметричную любой из заданных относительно данной плоскости α.

Например, точке А.

Используя решение задачи 1, получим следующую последовательность действий.

Уравнение прямой, которая проходит через точку А перпендикулярно заданной плоскости будет:

.

Найдем точку пересечения полученной прямой и плоскости α.

.

.

(1 + t) + 2(2t – 2) — (-t– 2) – 2 = 0

Откуда точка пересечения прямой, перпендикулярной плоскости α и проходящей через точку А, с плоскость α . Точка пересечения прямой и плоскости. является серединой отрезка АА’, поэтому

,

,

,

Теперь найдем точку пересечения отрезка A’B с плоскостью α.

Прямая A’B имеет направляющий вектор .

Уравнение прямой A’B:

.

Найдем точку пересечения полученной прямой и плоскости α.

.

.

.

Таким образом, координаты искомой точки .

Ответ: .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Напишите уравнение образа плоскости 2x + 5y – z – 5 = 0 при симметрии относительно плоскости Oxz.

Найдем координаты двух точек плоскости 2x + 5y – z – 5 = 0, лежащих в плоскости Oxz. Для этого найдем точки плоскости, принадлежащие осям координат.

OX: z = y = 0, x = 2,5 A(2,5; 0; 0)

OZ: x = y = 0, z = -5 B(0; 0; -5).

Эти точки принадлежат и образу плоскости 2x + 3y – z – 5 = 0 при симметрии относительно плоскости Oxz.

Теперь найдем точку данной плоскости, принадлежащую оси ординат.

OY: z = x = 0, y = 2,5 С(0; 1; 0).

Точка, симметричная точке С относительно плоскости Oxz, имеет координаты С'(0; -1; 0).

Теперь напишем уравнение плоскости через три полученные точки.

Симметрия относительно плоскости

Постановка
задачи.
Найти координаты точки
,
симметричной точкеотносительно
плоскости.

План
решения.

1.
Находим уравнение прямой, которая
перпендикулярна данной плоскости и
проходит через точку
.
Так прямая перпендикулярна заданной
плоскости, то в качестве ее направляющего
вектора можно взять вектор нормали
плоскости, т.е.

.

Поэтому
уравнение прямой будет

.

2.
Находим точку
пересечения
прямойи
плоскости(см.
задачу 13).

3.
Точка
является
серединой отрезка,
где точкаявляется
точкой симметричной точке,
поэтому

.

Задача
14.
Найти точку
,
симметричную точкеотносительно
плоскости.

Уравнение
прямой, которая проходит через точку
перпендикулярно
заданной плоскости будет:

.

Найдем
точку пересечения прямой и плоскости.

Откуда
–
точка пересечения прямой и плоскости.является
серединой отрезка,
поэтому

Т.е.
.

1. Однородные координаты плоскости.
   Аффинные преобразования на плоскости.

Пусть М
— произвольная точка плоскости с
координатами х
и у,
вычисленными относительно заданной
прямолинейной координатной системы.
Однородными координатами этой точки
называется любая тройка одновременно
неравных нулю чисел х₁,
х₂,
х₃,
связанных с заданными числами х и у
следующими соотношениями:

При решении задач
компьютерной графики однородные
координаты обычно вводятся так:
произвольной точке М
(х,
у)
плоскости ставится в соответствие точка
Мэ
(х,
у,
1) в пространстве (рис. 8).

Рис. 8

Заметим, что
произвольная точка на прямой, соединяющей
начало координат, точку 0(0, 0, 0), с точкой
Мэ
(х,
у,
1), может быть задана тройкой чисел вида
(hx,
hy,
h).

Будем считать, что
h 
0.

Вектор с координатами
hx,
hy, является направляющим вектором
прямой, соединяющей точки 0 (0, 0, 0) и Мэ
(х,
у,
1). Эта прямая пересекает плоскость z
= 1 в точке (х, у, 1), которая однозначно
определяет точку (х, у) координатной
плоскости ху.

Тем самым между
произвольной точкой с координатами (х,
у) и множеством троек чисел вида

(hx,
hy,
h),
h

0,

устанавливается
(взаимно однозначное) соответствие,
позволяющее считать числа hx,
hy,
h
новыми координатами этой точки.

Замечание

Широко используемые
в проективной геометрии однородные
координаты позволяют эффективно
описывать так называемые несобственные
элементы (по существу те, которыми
проективная плоскость отличается от
привычной нам евклидовой плоскости).
Более подробно о новых возможностях,
предоставляемых введенными однородными
координатами, говорится в четвертом
разделе этой главы.

В проективной
геометрии для однородных координат,
принято следующее обозначение:

х : у : 1 , или, более
обще, x₁
: х₂
: х₃

(напомним, что
здесь непременно требуется, чтобы числа
х₁,
х₂,
х₃
одновременно, в нуль не обращались).

Применение
однородных координат оказывается
удобным уже при решении простейших
задач.

Рассмотрим,
например, вопросы, связанные с изменением
масштаба. Если устройство отображения
работает только с целыми числами (или
если необходимо работать только с целыми
числами), то для произвольного значения
h
(например, h
= 1) точку с однородными координатами

(0.5 0.1 2.5)

представить нельзя.
Однако при разумном выборе h
можно добиться того, чтобы координаты
этой точки были целыми числами. В
частности, при h = 10 для рассматриваемого
примера имеем

(5, 1, 25).

Рассмотрим другой
случай. Чтобы результаты преобразования
не приводили к арифметическому
переполнению, для точки с координатами
(80000 40000 1000) можно взять, например, h=0,001.
В результате получим (80 40 1).

Приведенные примеры
показывают полезность использования
однородных координат при проведении
расчетов. Однако основной целью введения
однородных координат в компьютерной
графике является их несомненное удобство
в применении к геометрическим
преобразованиям.

При помощи троек
однородных координат и матриц третьего
порядка можно описать любое аффинное
преобразование плоскости.

В самом деле, считая
h
= 1, сравним две записи: помеченную
символом * и нижеследующую, матричную:

Нетрудно заметить,
что после перемножения выражений,
стоящих в правой части последнего
соотношения, мы получим обе формулы (*)
и верное числовое равенство 1=1.

Тем самым сравниваемые
записи можно считать равносильными.

Замечание

Иногда в литературе
используется другая запись – запись
по столбцам:

Такая запись
эквивалентна приведенной выше записи
по строкам (и получается из нее
транспонированием).

Элементы произвольной
матрицы аффинного преобразования не
несут в себе явно выраженного
геометрического смысла. Поэтому чтобы
реализовать то или иное отображение,
то есть найти элементы соответствующей
матрицы по заданному геометрическому
описанию, необходимы специальные приемы.
Обычно построение этой матрицы в
соответствии со сложностью рассматриваемой
задачи и с описанными выше частными
случаями разбивают на несколько этапов.

На каждом этапе
ищется матрица, соответствующая тому
или иному из выделенных выше случаев
А, Б, В или Г, обладающих хорошо выраженными
геометрическими свойствами.

Выпишем соответствующие
матрицы третьего порядка.

А. Матрица вращения,
(rotation)

Б. Матрица растяжения
(сжатия) (dilatation)
•

В. Матрица отражения
(reflection)

Г. Матрица переноса
(translation)

Рассмотрим примеры
аффинных преобразований плоскости.

Пример 1.

Построить матрицу
поворота вокруг точки А (а, b)
на угол 
(рис. 9).

Рис. 9.

1-й шаг.
Перенос на вектор – А (-а, -b)
для совмещения центра поворота с началом
координат;

матрица
соответствующего преобразования.

2-й шаг.
Поворот на угол 

матрица
соответствующего преобразования.

3-й шаг.
Перенос на вектор А(а,b)
для возвращения центра поворота в
прежнее положение;

матрица
соответствующего преобразования.

Перемножим матрицы
в том же порядке, как они выписаны:

В
результате получим, что искомое
преобразование (в матричной записи)
будет выглядеть следующим образом:

Элементы полученной
матрицы (особенно в последней строке)
не так легко запомнить. В то же время
каждая из трех перемножаемых матриц по
геометрическому описанию соответствующего
отображения легко строится.

Пример 3

Построить матрицу
растяжения с коэффициентами растяжения

вдоль оси абсцисс и 
вдоль оси ординат и с центром в точке
А(а, b).

1-й шаг.
Перенос на вектор -А(-а, -b) для совмещения
центра растяжения с началом координат;

матрица
соответствующего преобразования.

2-й шаг.
Растяжение вдоль координатных осей с
коэффициентами 
и 
соответственно; матрица преобразования
имеет вид

3-й шаг.
Перенос на вектор А(а, b) для возвращения
центра растяжения в прежнее положение;
матрица соответствующего преобразования
–

Перемножив .матрицы
в том же порядке

получим окончательно

Замечание

Рассуждая подобным
образом, то есть разбивая предложенное
преобразование на этапы, поддерживаемые
матрицами [R],[D],[M],[T],
можно построить
матрицу любого аффинного преобразования
по его геометрическому описанию.

Пусть М
— произвольная точка плоскости с
координатами х
и у,
вычисленными относительно заданной
прямолинейной координатной системы.
Однородными координатами этой точки
называется любая тройка одновременно
неравных нулю чисел х₁,
х₂,
х₃,
связанных с заданными числами х и у
следующими соотношениями:

При решении задач
компьютерной графики однородные
координаты обычно вводятся так:
произвольной точке М
(х,
у)
плоскости ставится в соответствие точка
Мэ
(х,
у,
1) в пространстве (рис. 8).

Рис. 8

Заметим, что
произвольная точка на прямой, соединяющей
начало координат, точку 0(0, 0, 0), с точкой
Мэ
(х,
у,
1), может быть задана тройкой чисел вида
(hx,
hy,
h).

Будем считать, что
h 
0.

Вектор с координатами
hx,
hy, является направляющим вектором
прямой, соединяющей точки 0 (0, 0, 0) и Мэ
(х,
у,
1). Эта прямая пересекает плоскость z
= 1 в точке (х, у, 1), которая однозначно
определяет точку (х, у) координатной
плоскости ху.

Тем самым между
произвольной точкой с координатами (х,
у) и множеством троек чисел вида

(hx,
hy,
h),
h

0,

устанавливается
(взаимно однозначное) соответствие,
позволяющее считать числа hx,
hy,
h
новыми координатами этой точки.

Замечание

Широко используемые
в проективной геометрии однородные
координаты позволяют эффективно
описывать так называемые несобственные
элементы (по существу те, которыми
проективная плоскость отличается от
привычной нам евклидовой плоскости).
Более подробно о новых возможностях,
предоставляемых введенными однородными
координатами, говорится в четвертом
разделе этой главы.

В проективной
геометрии для однородных координат,
принято следующее обозначение:

х : у : 1 , или, более
обще, x₁
: х₂
: х₃

(напомним, что
здесь непременно требуется, чтобы числа
х₁,
х₂,
х₃
одновременно, в нуль не обращались).

Применение
однородных координат оказывается
удобным уже при решении простейших
задач.

Рассмотрим,
например, вопросы, связанные с изменением
масштаба. Если устройство отображения
работает только с целыми числами (или
если необходимо работать только с целыми
числами), то для произвольного значения
h
(например, h
= 1) точку с однородными координатами

(0.5 0.1 2.5)

представить нельзя.
Однако при разумном выборе h
можно добиться того, чтобы координаты
этой точки были целыми числами. В
частности, при h = 10 для рассматриваемого
примера имеем

(5, 1, 25).

Рассмотрим другой
случай. Чтобы результаты преобразования
не приводили к арифметическому
переполнению, для точки с координатами
(80000 40000 1000) можно взять, например, h=0,001.
В результате получим (80 40 1).

Приведенные примеры
показывают полезность использования
однородных координат при проведении
расчетов. Однако основной целью введения
однородных координат в компьютерной
графике является их несомненное удобство
в применении к геометрическим
преобразованиям.

При помощи троек
однородных координат и матриц третьего
порядка можно описать любое аффинное
преобразование плоскости.

В самом деле, считая
h
= 1, сравним две записи: помеченную
символом * и нижеследующую, матричную:

Нетрудно заметить,
что после перемножения выражений,
стоящих в правой части последнего
соотношения, мы получим обе формулы (*)
и верное числовое равенство 1=1.

Тем самым сравниваемые
записи можно считать равносильными.

Замечание

Иногда в литературе
используется другая запись – запись
по столбцам:

Такая запись
эквивалентна приведенной выше записи
по строкам (и получается из нее
транспонированием).

Элементы произвольной
матрицы аффинного преобразования не
несут в себе явно выраженного
геометрического смысла. Поэтому чтобы
реализовать то или иное отображение,
то есть найти элементы соответствующей
матрицы по заданному геометрическому
описанию, необходимы специальные приемы.
Обычно построение этой матрицы в
соответствии со сложностью рассматриваемой
задачи и с описанными выше частными
случаями разбивают на несколько этапов.

На каждом этапе
ищется матрица, соответствующая тому
или иному из выделенных выше случаев
А, Б, В или Г, обладающих хорошо выраженными
геометрическими свойствами.

Выпишем соответствующие
матрицы третьего порядка.

А. Матрица вращения,
(rotation)

Б. Матрица растяжения
(сжатия) (dilatation)
•

В. Матрица отражения
(reflection)

Г. Матрица переноса
(translation)

Рассмотрим примеры
аффинных преобразований плоскости.

Пример 1.

Построить матрицу
поворота вокруг точки А (а, b)
на угол 
(рис. 9).

Рис. 9.

1-й шаг.
Перенос на вектор – А (-а, -b)
для совмещения центра поворота с началом
координат;

матрица
соответствующего преобразования.

2-й шаг.
Поворот на угол 

матрица
соответствующего преобразования.

3-й шаг.
Перенос на вектор А(а,b)
для возвращения центра поворота в
прежнее положение;

матрица
соответствующего преобразования.

Перемножим матрицы
в том же порядке, как они выписаны:

В
результате получим, что искомое
преобразование (в матричной записи)
будет выглядеть следующим образом:

Элементы полученной
матрицы (особенно в последней строке)
не так легко запомнить. В то же время
каждая из трех перемножаемых матриц по
геометрическому описанию соответствующего
отображения легко строится.

Пример 3

Построить матрицу
растяжения с коэффициентами растяжения

вдоль оси абсцисс и 
вдоль оси ординат и с центром в точке
А(а, b).

1-й шаг.
Перенос на вектор -А(-а, -b) для совмещения
центра растяжения с началом координат;

матрица
соответствующего преобразования.

2-й шаг.
Растяжение вдоль координатных осей с
коэффициентами 
и 
соответственно; матрица преобразования
имеет вид

3-й шаг.
Перенос на вектор А(а, b) для возвращения
центра растяжения в прежнее положение;
матрица соответствующего преобразования
–

Перемножив .матрицы
в том же порядке

получим окончательно

Замечание

Рассуждая подобным
образом, то есть разбивая предложенное
преобразование на этапы, поддерживаемые
матрицами [R],[D],[M],[T],
можно построить
матрицу любого аффинного преобразования
по его геометрическому описанию.

Сдвиг
реализуется сложением, а масштабирование
и поворот — умножением.

Преобразование
масштабирования
(дилатация) относительно начала координат
имеет вид:

или
в матричной форме:

где
Dx,
Dy
– коэффициенты
масштабирования по осям, а

—
матрица  масштабирования.

При
D
> 1-происходит расширение, при 0<=D<1-
сжатие

Преобразование
поворота
относительно начала координат имеет
вид:

или
в матричной форме:

где
φ – угол поворота, а

—
матрица поворота.

Замечание:
Столбцы
и строки матрицы поворота представляют
собой взаимно ортогональные единичные
векторы. В самом деле квадраты длин
векторов-строк равны единице:

cosφ·cosφ+sinφ·sinφ
= 1 и (-sinφ)
·(-sinφ)+cosφ·cosφ
= 1,

а
скалярное произведение векторов-строк
есть

cosφ·(-sinφ)
+ sinφ·cosφ=
0.

Так
как скалярное произведение векторов A
·B
= |A|
·|B|
·cosψ, где |A|
— длина вектора A,
|B|
— длина вектора B,
а ψ – наименьший положительный угол
между ними, то из равенства 0 скалярного
произведения двух векторов-строк длины
1 следует, что угол между ними равен 90^°.

Привет, Вы узнаете про симметрия относительно плоскости, Разберем основные ее виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое
симметрия относительно плоскости, плоскость симметрии , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Стереометрия.

4.1.Определение симметрии относительно плоскости

Рис. 19

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка m′ пространства, не лежащая на плоскости α, называется симметричной точке М относительно плоскости α, если отрезок ММ′ перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости α считается симметричной самой себе относительно этой плоскости (рис. 19).

Из определения следует, что если точка M′ симметрична точке M относительно плоскости α, то точка М симметрична точке М′ относительно той же плоскости α.

Зададим теперь следующее отображение пространства на себя. Каждой точке М пространства поставим в соответствие точку М′, симметричную ей относительно плоскости α. Аналогично центральной симметрии, можно доказать, что это отображение является преобразованием пространства. При этом каждая точка плоскости α отображается на себя.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно плоскости α, называется симметрией пространства относительно плоскости α. Плоскость α называется плоскостью симметрии.

симметрия относительно плоскости α обозначается Sα. Если при этой симметрии точка М (фигура F) отображается на точку М′ (фигуру F′), то записывают Sα(М) = М′ (Sα(F) = F′). Это преобразование еще называют «отражением в плоскости», или «зеркальной симметрией», или «зеркальным отражением от плоскости», проводя аналогию с «отражением в зеркале».

Из определения симметричных точек относительно плоскости α следует

Sα(M) = M′ ⇔ Sα(M′) = M.

Поэтому говорят, что точки М и М′ симметричны относительно плоскости α. С другой стороны, ранее было показано, что точка M′ отображается на свой прообраз — точку M — преобразованием, обратным данному. Значит,

Sα(M) = M′ ⇒ (M′) = M.

Получили

Таким образом, симметрия относительно плоскости есть преобразование пространства, совпадающее со своим обратным преобразованием.

Тогда для любой точки М пространства имеем

(Sα ∘ Sα)(M) = Sα(Sα (M)) = Sα(M′) = (M′) = M.

Рис . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . 20

Но для тождественного преобразования E справедливо Е(М) = М. Так как точка М — любая, то преобразования Sα ∘ Sα и Е равны: Sα ∘ Sα = Е, т. е. композиция двух симметрий относительно одной и той же плоскости есть тождественное преобразование.

Если при симметрии относительно плоскости α фигура F отображается на себя (Sα(F) = F), то плоскость α называется плоскостью симметрии этой фигуры. При этом говорят, что фигура F симметрична относительно плоскости α (или плоскость α является плоскостью симметрии фигуры F).

Например, плоскость, проходящая через середины параллельных ребер AD, ВС, B1C1 и A1D1 куба АВСDA1B1C1D1 (рис. 20), является плоскостью симметрии этого куба. Докажите это и найдите другие плоскости симметрии данного куба.

Симметрия относительно плоскости может быть задана парой соответственных (симметричных) точек А и A′ (почему?).

4.2.Симметрия относительно плоскости в координатной форме

Выведем формулы, которые позволяли бы по координатам произвольной точки М пространства находить координаты ее образа — точки M′ = Sα(M).

Рис. 21

Выберем прямоугольную систему координат Oхyz так, чтобы ее координатная плоскость Оху совпадала с плоскостью симметрии α. Рассмотрим в этой системе координат произвольную точку M(x; y; z) и ее образ М′(x′; y′; z′) при симметрии относительно плоскости Oxy (рис. 21).

По определению симметрии относительно плоскости имеем MM′ ⟂ (Оху), | M0M | = | M0M′ |, где M0 — точка пересечения прямой ММ′ с плоскостью Оху. Это означает, что точки М и M′ расположены в разных полупространствах относительно плоскости Oxy, одинаково удалены от нее, а прямая MM′ параллельна координатной оси Oz. Поэтому координаты этих точек связаны соотношениями

x′ = x, y′ = y, z′ = –z,

которые называются формулами npeoбразованuя симметрии относительно плоскости Oxy.

4.3.Симметрия относительно плоскости — движение пространства

Используя формулы симметрии в координатах, докажем, что симметрия относительно плоскости — движение пространства.

Пусть A(x1; y1; z1), C(x2; y2; z2) — данные точки, тогда A′(x1; y1; –z1), C′(x2; y2; –z2) — их образы при симметрии S(Oxy).

Находим:

| АC | = ;
| A′C′ | = =
= = | AC |,

т. е. рассматриваемая симметрия является движением, что и требовалось доказать. ▼

4.4. Свойства симметрии относительно плоскости

Рассмотрим вопрос о неподвижных точках, неподвижных прямых и неподвижных плоскостях зеркальной симметрии.

Неподвижной точкой симметрии относительно плоскости α является каждая точка плоскости α; других неподвижных точек при данной симметрии нет.

Неподвижные прямые симметрии Sα относительно плоскости α можно разделить на два вида:

—каждая прямая плоскости α; любая точка такой прямой является неподвижной точкой симметрии Sα, а симметрия Sα индуцирует на каждой из этих прямых тождественное преобразование Е;

—каждая прямая пространства, перпендикулярная плоскости α; на любой такой прямой индуцируется центральная симметрия относительно точки пересечения этой прямой с плоскостью α.

Рис. 22

Неподвижные плоскости симметрии Sα можно разделить также на два вида:

—сама плоскость α; каждая ее точка является неподвижной точкой симметрии Sα, а симметрия Sα индуцирует на этой плоскости тождественное преобразование E;

—каждая плоскость, перпендикулярная плоскости α; на любой такой плоскости индуцируется известная вам из планиметрии осевая симметрия относительнo прямой пересечения этой плоскости с плоскостью α.

Для исследования вопроса о том, меняет ли симметрия относительно плоскости ориентацию тетраэдра, выберем такую тройку единичных попарно взаимно перпендикулярных векторов , и , чтобы точки O, А и В лежали в плоскости α. Тогда при симметрии Sα тетраэдр ОАВС отобразится на такой тетраэдр ОАВC′, что ′ = – (рис. 22). Это означает, что ориентации тетраэдров ОАВС и ОАВC′ = Sα(OABC) различны, т. е. симметрия относительно плоскости меняет ориентацию тетраэдра, следовательно, является движением второго рода.

Интересно заметить, что если три плоскости α, β и γ попарно взаимно перпендикулярны, то композиция симметрий относительно этих трех плоскостей является центральной симметрией относительно их общей точки (точки пересечения плоскостей α, β и γ), т. е. Sγ ∘ Sβ ∘ Sα = ZО, где О — общая точка этих трех плоскостей. Попробуйте самостоятельно доказать это координатным методом.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• понятие симметрии , виды симметрии ,
• симметрия шара , симметрия сферы ,
• центральная симметрия параллелепипеда , симметрия параллелепипеда ,
• симметрии в призме , симметрии в пирамиде ,
• свойство симметрии относительно точки ,
• симметрия относительно прямой , ось симметрии ,
• симметрия относительно точки , центр симметрии ,
• Симметрии в физике
• Суперсимметрия
• Трансляционная симметрия
• Симметрии в биологии
• Асимметрия
• диссимметрии
• сферическая симметрия
• аксиальная симметрия
• радиальная симметрия
• трансляционная симметрия
• двусторонняя (билатеральная) симметрия
• Симметрия в химии
• Анизотропия
• Симметрия в религии и культуре

В общем, мой друг ты одолел чтение этой статьи об симметрия относительно плоскости. Работы в переди у тебя будет много. Смело пишикоментарии, развивайся и счастье окажется в ваших руках.
Надеюсь, что теперь ты понял что такое симметрия относительно плоскости, плоскость симметрии
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Стереометрия