Прямая сумма подпространств
Алгебраическая
сумма подпространств и линейного
пространства называется прямой
суммой,
если пересечение подпространств состоит
из одного нулевого вектора. Прямая сумма
подпространств обозначается и
обладает следующим свойством: если ,
то для каждого вектора существует
единственное представление в виде ,
где.
Действительно,
если предположить противное, а именно
существование двух разных разложений: ,
где ,
то получим противоречие: из
равенства следует,
что ненулевой вектор принадлежит
обоим подпространствам и одновременно,
значит, принадлежит их пересечению, а
по определению их пересечение состоит
из одного нулевого вектора.
Признаки прямых сумм подпространств
Сумма является
прямой суммой, если:
–
существует
вектор ,
который однозначно представляется в
виде ,
где ;
– базис
пространства является
объединением базисов подпространств и ;
–
справедливо
равенство .
Замечания
8.9
1. Понятие
прямой суммы распространяется на любое
конечное число слагаемых.
Сумма называется прямой
суммой подпространств,
если пересечение каждого из них с суммой
остальных равно одному нулевому вектору:
2. Свойства
и признаки, указанные для прямой суммы
двух подпространств, справедливы и для
любого конечного числа слагаемых.
Отметим еще одно свойство: если —
базис пространства ,
то.
Пример
8.7. В
примере 8.6 найдены алгебраические суммы
подпространств. Какие суммы являются
прямыми?
Решение. Так
как ,
то сумма —
прямая. Аналогично полу чаем, что суммы
— прямые.
Остальные
суммы подпространств, найденные в
примере 8.6, не являются прямыми:
поскольку
их пересечение содержит не только
нулевой вектор. Например, пересечение .
-
Найпростіші
задачі аналітичної геометрії.
Расстояние
между двумя точками
где и радиус-векторы
точек и .
В
координатах:
на
прямой
на
плоскости
в
пространстве
Деление
отрезка в данном отношении
В
координатах:
на
прямой ;
на
плоскости ,;
в
пространстве ,,
Середина
отрезка (=
1)
В
координатах:
на
прямой ;
на
плоскости ,;
в
пространстве , ,
.
-
Скалярний
добуток векторів, його властивості
,зміст та застосування.
Геометрическая
интерпретация.
Скалярным
произведением двух
векторов a и b будет
скалярная величина, равная произведению
модулей этих векторов умноженного на
косинус угла между ними:
a · b =
|a|
· |b| cos
α
Алгебраическая
интерпретация.
Скалярным
произведением двух
векторов a и b будет
скалярная величина, равная сумме
попарного произведения координат
векторов a и b.
Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
Формула
скалярного произведения векторов для
плоских задач
В
случае плоской задачи скалярное
произведение векторов a =
{ax ; ay}
и b =
{bx ; by}
можно найти воспользовавшись следующей
формулой:
a · b = ax · bx + ay · by
Формула
скалярного произведения векторов для
пространственных задач
В
случае пространственной задачи скалярное
произведение векторов a = {ax ; ay ; az}
иb = {bx ; by ; bz}
можно найти воспользовавшись следующей
формулой:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz
Формула
скалярного произведения n -мерных
векторов
В
случае n-мерного
пространства скалярное произведение
векторов a = {a1 ; a2 ; … ; an}
иb = {b1 ; b2 ; … ; bn}
можно найти воспользовавшись следующей
формулой:
a · b = a1 · b1 + a2 · b2 +
… + an · bn
Свойства
скалярного произведения векторов
-
Скалярное
произведение вектора самого на себя
всегда больше или равно нуля:
a · a ≥
0
-
Скалярное
произведение вектора самого на себя
равно нулю тогда и только тогда, когда
вектор равен нулевому вектору:
a · a =
0 <=> a = 0
-
Скалярное
произведение вектора самого на себя
равно квадрату его модуля:
a · a =
|a|2
-
Операция
скалярного умножения коммуникативна:
a · b = b · a
-
Если
скалярное произведение двух не нулевых
векторов равно нулю, то эти вектора
ортогональны:
a ≠
0, b ≠
0, a · b =
0 <=> a ┴ b
-
(αa)
· b = α(a · b) -
Операция
скалярного умножения дистрибутивна:
(a + b)
· c = a · c + b · c
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Подпространство линейного пространства
Определение и размерность подпространства
Определение 6.1. Подпространством L n-мерного пространства R называется множество векторов, образующих линейное пространство по отношению к действиям, которые определены в R.
Другими словами, L называется подпространством пространства R, если из x, y∈L следует, что x+y∈L и если x∈L, то λx∈L, где λ— любое вещественное число.
Простейшим примером подпространства является нулевое подпространство, т.е. подмножество пространства R, состоящее из единственного нулевого элемента. Подпространством может служить и все пространство R. Эти подпространства называются тривиальными или несобственными.
Подпространство n-мерного пространства конечномерно и его размерность не превосходит n: dim L≤ dim R.
Сумма и пересечение подпространств
Пусть L и M — два подпространства пространства R.
Cуммой L+M называется множество векторов x+y, где x∈L и y∈M. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежит L+M, следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R).
Пересечением L∩M подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).
Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:
dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).
Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M. Пусть G g-мерное подпространство. Выберем в нем базис . Так как G⊂L и G⊂M, следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M. Пусть базис подпространства L и пусть базис подпространства M. Покажем, что векторы
(6.1) |
составляют базис F=L+M. Для того, чтобы векторы (6.1) составляли базис пространства F они должны быть линейно независимы и любой вектор пространства F можно представить линейной комбинацией векторов (6.1).
Докажем линейную независимость векторов (6.1). Пусть нулевой вектор пространства F представляется линейной комбинацией векторов (6.1) с некоторыми коэффициентами:
(6.2) |
Тогда
(6.3) |
Левая часть (6.3) является вектором подпространства L, а правая часть является вектором подпространства M. Следовательно вектор
принадлежит подпространству G=L∩M. С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G:
(6.5) |
Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:
(6.6) |
или
(6.7) |
Но векторы являются базисом подпространства M, следовательно они линейно независимы и . Тогда (6.2) примет вид:
(6.8) |
В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:
(6.9) |
Так как все коэффициенты в уравнении (6.2) оказались нулевыми, то векторы
(6.10) |
линейно независимы. Но любой вектор z из F (по определению суммы подпространств) можно представить суммой x+y, где x∈L, y∈M. В свою очередь x представляется линейной комбинацией векторов а y — линейной комбинацией векторов. Следовательно векторы (6.10) порождают подпространство F. Получили, что векторы (6.10) образуют базис F=L+M.
Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Следовательно:
dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■
Прямая сумма подпространств
Определение 6.2. Пространство F представляет собой прямую сумму подпространств L и M, если каждый вектор x пространства F может быть единственным способом представлен в виде суммы x=y+z, где y∈L и z∈M.
Прямая сумма обозначается L⊕M. Говорят, что если F=L⊕M, то F разлагается в прямую сумму своих подпространств L и M.
Теорема 6.2. Для того, чтобы n-мерное пространство R представляло собой прямую сумму подпространств L и M, достаточно, чтобы пересечение L и M содержало только нулевой элемент и чтобы размерность R была равна сумме размерностей подпространств L и M.
Доказательство. Выберем некоторый базис в подпространстве L и некоторый базис в подпространстве M. Докажем, что
(6.11) |
является базисом пространства R. По условию теоремы размерность пространства R n равна сумме подпространств L и M (n=l+m). Достаточно доказать линейную независимость элементов (6.11). Пусть нулевой вектор пространства R представляется линейной комбинацией векторов (6.11) с некоторыми коэффициентами:
(6.12) |
или
(6.13) |
Так как левая часть (6.13) является вектором подпространства L, а правая часть — вектором подпространства M и L∩M=0, то
(6.14) |
Но векторы и являются базисами подпространств L и M соответственно. Следовательно они линейно независимы. Тогда
(6.15) |
Установили, что (6.12) справедливо лишь при условии (6.15), а это доказывает линейную независимость векторов (6.11). Следовательно они образуют базис в R.
Пусть x∈R. Разложим его по базису (6.11):
(6.16) |
Из (6.16) имеем:
(6.17) |
(6.18) |
Из (6.17) и (6.18) следует, что любой вектор из R можно представить суммой векторов x1∈L и x2∈M. Остается доказать что это представление является единственным. Пусть кроме представления (6.17) есть и следующее представление:
(6.19) |
Вычитая (6.19) из (6.17), получим
или
(6.20) |
Так как , и L∩M=0, то и . Следовательно и . ■
Пересечение и сумма подпространств линейного пространства
Пусть и — подпространства линейного пространства .
Пересечением подпространств и называется множество векторов, каждый из которых принадлежит и одновременно, т.е. пересечение подпространств определяется как обычное пересечение двух множеств.
Алгебраической суммой подпространств и называется множество векторов вида , где . Алгебраическая сумма (короче просто сумма) подпространств обозначается
Представление вектора в виде , где , называется разложением вектора no подпространствам и .
Замечания 8.8
1. Пересечение подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к пересечениям.
2. Сумма подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к суммам.
Действительно, нужно показать замкнутость линейных операций в множестве . Пусть два вектора и принадлежат сумме , т.е. каждый из них раскладывается по подпространствам:
Найдем сумму: . Так как , а , то . Следовательно, множество замкнуто по отношению к операции сложения. Найдем произведение: . Так как , a , то . Следовательно, множество замкнуто по отношению к операции умножения на число. Таким образом, — линейное подпространство.
3. Операция пересечения определена на множестве всех подпространств линейного пространства . Она является коммутативной и ассоциативной. Пересечение любого семейства подпространств V является линейным подпространством, причем скобки в выражении — можно расставлять произвольно или вообще не ставить.
4. Минимальным линейным подпространством, содержащим подмножество конечномерного линейного пространства , называется пересечение всех подпространств , содержащих , т.е. . Если , то указанное пересечение совпадает с нулевым подпространством , поскольку оно содержится в любом из подпространств . Если — линейное подпространство , то указанное пересечение совпадает с , поскольку содержится в каждом из пересекаемых подпространств (и является одним из них: ).
Минимальное свойство линейной оболочки: линейная оболочка любого подмножества конечномерного линейного пространства является минимальным линейным подпространством, содержащим , т.е. .
Действительно, обозначим . Надо доказать равенство двух множеств: . Так как (см. пункт 6 замечаний 8.7), то . Докажем включение . Произвольный элемент имеет вид , где . Пусть — любое подпространство, содержащее . Оно содержит все векторы и любую их линейную комбинацию (см. пункт 7 замечаний 8.7), в частности, вектор . Поэтому вектор принадлежит любому подпространству , содержащему . Значит, принадлежит пересечению таких подпространств. Таким образом, . Из двух включений и следует равенство .
5. Операция сложения подпространств определена на множестве всех подпространств линейного пространства . Она является коммутативной и ассоциативной. Поэтому в суммах конечного числа подпространств скобки можно расставлять произвольно или вообще не ставить.
6. Можно определить объединение подпространств и как множество векторов, каждый из которых принадлежит пространству или пространству (или обоим подпространствам). Однако, объединение подпространств в общем случае не является подпространством (оно будет подпространством только при дополнительном условии или ).
7. Сумма подпространств совпадает с линейной оболочкой их объединения . Действительно, включение следует из определения. Любой элемент множества имеет вид , т.е. представляет собой линейную комбинацию двух векторов из множества . Докажем противоположное включение . Любой элемент имеет вид , где . Разобьем эту сумму на две, относя к первой сумме все слагаемые , у которых . Остальные слагаемые составят вторую сумму:
Первая сумма — это некоторый вектор , вторая сумма — это некоторый вектор . Следовательно, . Значит, . Полученные два включения говорят о равенстве рассматриваемых множеств.
Теорема 8.4 о размерности суммы подпространств. Если и подпространства конечномерного линейного пространства , то размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей без размерности их пересечения (формула Грассмана):
(8.13)
В самом деле, пусть — базис пересечения . Дополним его упорядоченным набором векторов до базиса подпространства и упорядоченным набором векторов до базиса подпространства . Такое дополнение возможно по теореме 8.2. Из указанных трех наборов векторов составим упорядоченный набор векторов. Покажем, что эти векторы являются образующими пространства . Действительно, любой вектор этого пространства представляется в виде линейной комбинации векторов из упорядоченного набора
Следовательно, . Докажем, что образующие линейно независимы и поэтому они являются базисом пространства . Действительно, составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому вектору:
(8.14)
Первые две суммы обозначим — это некоторый вектор из , последнюю сумму обозначим — это некоторый вектор из . Равенство (8.14): означает, что вектор принадлежит также и пространству . Значит, . Раскладывая этот вектор по базису , находим . Учитывая разложение этого вектора в (8.14), получаем
Последнее равенство можно рассматривать, как разложение нулевого вектора по базису подпространства . Все коэффициенты такого разложения нулевые: и . Подставляя в (8.14), получаем . Это возможно только в тривиальном случае и , так как система векторов линейно независима (это базис подпространства ). Таким образом, равенство (8.14) выполняется только в тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю одновременно. Следовательно, совокупность векторов линейно независима, т.е. является базисом пространства . Подсчитаем размерность суммы подпространств:
что и требовалось доказать.
Пример 8.6. В пространстве радиус-векторов с общим началом в точке заданы подпространства: и — три множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся в точке прямым и соответственно; и — два множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся плоскостям и соответственно; прямая , при надлежит плоскости , прямая принадлежит плоскости , плоскости и пересекаются по прямой (рис. 8.2). Найти суммы и пересечения каждых двух из указанных пяти подпространств.
Решение. Найдем сумму . Складывая два вектора, принадлежащих и соответственно, получаем вектор, принадлежащий плоскости . На оборот, любой вектор (см. рис.8.2), принадлежащий , можно представить в виде , построив проекции и вектора на прямые и соответственно. Значит, любой радиус-вектор плоскости раскладывается по подпространствам и , т.е. . Аналогично получаем, что , а — множество радиус-векторов, принадлежащих плоскости, проходящей через прямые и .
Найдем сумму . Любой вектор пространства можно разложить по подпространствам и . В самом деле, через конец радиус-вектора проводим прямую, параллельную прямой (см. рис. 8.2), т.е. строим проекцию вектора на плоскость . Затем на откладываем вектор так, чтобы . Следовательно, . Так как , то . Аналогично получаем, что . Остальные суммы находятся просто: . Заметим, что .
Используя теорему 8.4, проверим, например, равенство по размерности. Подставляя и в формулу Грассмана, получаем , что и следовало ожидать, так как .
Пересечения подпространств находим по рис. 8.2, как пересечение геометрических фигур:
где — нулевой радиус-вектор .
Прямая сумма подпространств
Алгебраическая сумма подпространств и линейного пространства называется прямой суммой, если пересечение подпространств состоит из одного нулевого вектора. Прямая сумма подпространств обозначается и обладает следующим свойством: если , то для каждого вектора существует единственное представление в виде , где .
Действительно, если предположить противное, а именно существование двух разных разложений: , где , то получим противоречие: из равенства следует, что ненулевой вектор принадлежит обоим подпространствам и одновременно, значит, принадлежит их пересечению, а по определению их пересечение состоит из одного нулевого вектора.
Признаки прямых сумм подпространств
Сумма является прямой суммой, если:
– существует вектор , который однозначно представляется в виде , где ;
– базис пространства является объединением базисов подпространств и ;
– справедливо равенство .
Замечания 8.9
1. Понятие прямой суммы распространяется на любое конечное число слагаемых. Сумма называется прямой суммой подпространств, если пересечение каждого из них с суммой остальных равно одному нулевому вектору:
2. Свойства и признаки, указанные для прямой суммы двух подпространств, справедливы и для любого конечного числа слагаемых. Отметим еще одно свойство: если — базис пространства , то .
Пример 8.7. В примере 8.6 найдены алгебраические суммы подпространств. Какие суммы являются прямыми?
Решение. Так как , то сумма — прямая. Аналогично полу чаем, что суммы
— прямые.
Остальные суммы подпространств, найденные в примере 8.6, не являются прямыми:
поскольку их пересечение содержит не только нулевой вектор. Например, пересечение .
Алгебраические дополнения подпространств
Пусть — подпространство конечномерного линейного пространства . Подпространство называется алгебраическим дополнением подпространства в пространстве , если . Говорят, что дополняет (алгебраически) подпространство до .
Рассмотрим свойства алгебраических дополнений подпространств.
1. Для любого подпространства существует алгебраическое дополнение .
Действительно, если , то . Если , то . В остальных случаях базис подпространства можно дополнить по теореме 8.2 до базиса пространства . Тогда . В примере 8.7 получено равенство , т.е. подпространства и дополняют друг друга до всего пространства.
2. Базис любого подпространства дополняется базисом алгебраического дополнения до базиса всего пространства.
3. Алгебраическое дополнение подпространства , кроме случаев или , определяется неоднозначно.
В примере 8.7 дополнением плоскости в пространстве служит множество радиус-векторов, принадлежащих любой прямой, пересекающей плоскость в точке , в частности, подпространство .
4. Для любого подпространства .
Это равенство следует непосредственно из определения. Заметим, что равенство в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливо.
5. Если и — подпространства пространства , то пересечение их алгебраических дополнений является алгебраическим дополнением суммы подпространств, и, наоборот, сумма алгебраических дополнений является алгебраическим дополнением пересечения подпространств:
(8.15)
Заметим, что равенства и в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливы.
Докажем последнее свойство. Как при доказательстве теоремы 8.4 по строим базис суммы подпространств из трех наборов векторов: . Дополним теперь этот базис (по теореме 8.2) век торами до базиса пространства . Так как базис , то по свойству 2 алгебраических дополнений заключаем, что — базис . Аналогично получаем, что — базис . Следовательно, — базис пересечения . Таким образом, базис всего пространства получается объединением базиса суммы и базиса пересечения . Используя признак 2 прямой суммы подпространств, получаем . Равенство следует аналогично из структуры базиса пространства .
Линейная зависимость и линейная независимость векторов над подпространством
Говорят, что система векторов пространства линейно зависима над подпространством , если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, принадлежащая подпространству , т.е. найдутся такие числа , неравные нулю одновременно, что
Если последнее включение возможно только в тривиальном случае, т.е при , то векторы называют линейно независимы ми над подпространством .
Понятие линейной зависимости или независимости над подпространством обобщает обычное, рассмотренное ранее, понятие линейной зависимости или независимости векторов, и совпадает с ним, если в качестве подпространства взять нулевое .
Следующие свойства прямых сумм подпространств можно сформулировать при помощи понятия линейной зависимости и линейной независимости над подпространством.
1. Если пространство представлено в виде прямой суммы подпространств , то любая линейно независимая система векторов подпространства будет линейно независимой над подпространством .
2. Базисом алгебраического дополнения подпространства является максимальная совокупность векторов пространства , линейно независимая над подпространством (см. свойство 2 алгебраических дополнений подпространств).
Пусть имеется цепочка подпространств . Подпространство называется алгебраическим дополнением подпространства относительно подпространства (или относительным дополнением до подпространства ). Базисом относительного дополнения служит максимальная система векторов , линейно независимая над .
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
Определение 2.4. Сумму H1 + Н2 двух линейных подпространств H1 и Н2 данного линейного пространства называют прямой суммой, если для каждого вектора х из H1 + Н2 его представление
x = x1 + x2, x1 ∈ H1, x2 ∈ H2,
единственно.
Прямую сумму линейных подпространств H1 и Н2 обозначают H1⊕H2. Прямая сумма как частный случай суммы линейных подпространств по теореме 2.2 является линейным подпространством.
Пример 2.9. Сумма линейных подпространств H1 и Н2 в примере 2.8 является прямой. Действительно, представление произвольного вектора OM в виде OM = OM1 + OM2, где OM1 ∈ H1, OM2 ∈ H2, равносильно представлению этого вектора в виде линейной комбинации векторов OA и OB , так как, согласно определению подпространств H1 и Н2, OM1 = λ1OA, OM2 = λ2OB для некоторых чисел λ1 и λ2. Но так как векторы OA и OB линейно независимы, такое представление единственно.
Теорема 2.3 Для того чтобы сумма H1 + Н2 линейных подпространств H1 и Н2 была прямой, необходимо и достаточно, чтобы пересечение этих линейных подпространств было нулевым подпространством, т.е. Н1 ∩ Н2 = {0}.
◄ Необходимость. Пусть сумма H1 + Н2 является прямой суммой. Выберем любой вектор у ∈ Н1 ∩ Н2. Тогда у ∈ H1 + Н2 и для него справедливы два представления
у = у + 0, у = 0 + у, (2.1)
в каждом из которых левое слагаемое является элементом линейного подпространства H1, а правое — H2. Так как H1 + Н2 является прямой суммой, то оба представления (2.1) совпадают, т.е. у = 0. Значит, Н1 ∩ Н2 содержит единственный вектор 0.
Достаточность. Пусть Н1 ∩ Н2 = {0}. Рассмотрим произвольный вектор х ∈ Н1 + Н2 и докажем, что любые два его представления
х = х1 + x2, x1 ∈ H1, x2 ∈ Н2; (2.2)
х = х’1 + ‘x2, x’1 ∈ H1, x’2 ∈ Н2; (2.3)
совпадают.
Вычтем из равенства (2.2) равенство (2.3). В результате получим (х1 + x2) — (х’1 + х’2) = 0, откуда
х1 — х’1 = х’2 — x2.
Но тогда, с одной стороны, вектор у = х1 — х’1 принадлежит линейному подпространству Н1, а с другой — он, согласно представлению у = х’2 — x2, принадлежит к другому линейному подпространству H2. Следовательно, у ∈ Н1 ∩ Н2, а так как Н1 ∩ Н2 = {0}, то и у = 0. Поэтому х1 — х’1 = 0 и x2 — х’2 = 0, т.е. представления (2.2) и (2.3) совпадают. ►
Пример 2.10. В примере 2.8 линейные подпространства
Н1 и Н2 образуют прямую сумму (см. пример 2.9). Это можно показать следующим образом. Так как прямые пересекаются в единственной точке, то единственный вектор, коллинеарный одновременно обеим прямым, изображающим подпространства, — это нулевой вектор. Значит, Н1 ∩ Н2 = {0}. Согласно теореме 2.3, эти подпространства образуют прямую сумму.
-
Линейные операции над векторами
-
Базис. Cкалярное произведение
-
Векторное и смешанное произведения векторов
-
Декартова система координат. прямая на плоскости
-
Плоскость в пространстве
-
Прямая в пространстве
-
Кривые второго порядка — I
-
Кривые второго порядка — II
-
Поверхности второго порядка
-
Матрицы и операции с ними
-
Обратная матрица
-
Ранг матрицы
-
Системы линейных алгебраических уравнений
-
Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ
Предложите, как улучшить StudyLib
(Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте
другую форму
)
Ваш е-мэйл
Заполните, если хотите получить ответ
Оцените наш проект
1
2
3
4
5