Как найти путь бруска

1. Тела в начальном состоянии движутся друг относительно друга

Пусть на гладком столе лежит доска длиной L и массой m_д. На краю доски находится небольшой брусок массой m_б (рис. 24.1). Коэффициент трения между бруском и доской μ. В начальный момент доска покоится, а бруску толчком сообщают начальную скорость ₀, направленную вдоль доски.

Как будут двигаться тела?

При скольжении бруска по доске на него и на доску действуют противоположно направленные равные по модулю силы трения скольжения _тр1 и _тр2 (рис. 24.2). В результате скорость бруска будет уменьшаться, а скорость доски – увеличиваться.

Возможны два варианта дальнейшего развития событий:

1) брусок будет скользить по доске, пока их скорости не станут равными, то есть пока брусок не остановится относительно доски. Начиная с этого момента силы трения перестанут действовать на доску и брусок, и они будут скользить по гладкому столу вместе как единое целое с постоянной конечной скоростью _к (рис. 24.3);

2) скорости бруска и доски не успеют сравняться до того момента, когда брусок дойдёт до противоположного конца доски. В таком случае брусок соскользнёт с доски, после чего они будут двигаться по столу с различными скоростями _б и _д, причём v_б > v_д (рис. 24.4).

Рассмотрим сначала случай, когда доска с бруском будут двигаться как единое целое (см. рис. 24.3), и выведем условие, при котором этот случай реализуется.

? 1. Как зависят от времени проекции скорости бруска и доски на ось x, показанную на рисунке 24.1?

? 2. Через какой промежуток времени доска и брусок будут двигаться как единое целое?

? 3. Чему будет равна скорость доски с бруском, когда они будут двигаться как единое целое?

Найдём теперь условие того, что брусок будет скользить по доске до тех пор, пока их скорости не сравняются.

Так произойдёт, если путь l, пройденный бруском относительно доски, не превышает длины доски L. Путь l мы найдём, определив ускорение бруска относительно доски.

? 4. Чему равно ускорение бруска относительно доски?

? 5. Чему равен путь l, пройденный бруском относительно доски до того момента. когда их скорости сравнялись?

? 6. При выполнении какого условия доска и брусок будут двигаться как единое целое?

Рассмотрим конкретный пример.

? 7. Небольшой брусок массой 200 г находится на краю доски массой 1 кг, лежащей на гладком столе. Коэффициент трения между доской и бруском 0,5. В начальный момент скорость бруска 2,4 м/с, а доска покоится. Через некоторое время брусок и доска стали двигаться как единое целое.
а) С каким ускорением относительно доски двигался брусок?
б) Сколько времени брусок двигался по доске?
в) Какова минимально возможная длина доски?
г) Чему равна скорость доски с бруском, когда они движутся как единое целое?

Пусть теперь условие того, что доска и брусок станут двигаться как единое целое, не выполнено. Тогда брусок соскользнёт с доски, и скорость каждого тела при дальнейшем скольжении по столу останется такой, какой она была в момент соскальзывания бруска.

Чтобы найти конечные скорости бруска и доски, можно поступить, например, так.

1) Зная длину доски L, начальную скорость бруска v₀ и ускорение бруска относительна доски, найдём время t_ск, в течение которого брусок будет скользить по доске.

2) Зная время t_ск, найдём скорости бруска и доски в момент соскальзывания бруска с доски. С этими скоростями они и будут скользить далее по столу.

Воспользуйтесь этими советами при выполнении следующего задания.

? 8. Небольшой брусок массой 400 г находится на краю доски длиной 1 м и массой 800 г, лежащей на гладком столе (рис. 24.1). Коэффициент трения между доской и бруском 0,2. В начальный момент скорость бруска 3 м/с, а доска покоится.
а) С каким по модулю ускорением движется брусок относительно доски?
б) Какой должна была бы быть длина доски, чтобы скорость бруска относительно доски стала равной нулю?
в) Сколько времени брусок движется по доске согласно условию задания?
г) Чему равна скорость бруска относительно стола в тот момент, когда брусок соскользнёт с доски?
д) Какой путь пройдёт доска относительно стола до того момента, когда брусок соскользнёт с доски?

2. Тела в начальном состоянии покоятся друг относительно друга

На гладком столе лежат один на другом два бруска (рис. 24.5). Массу нижнего бруска обозначим mн‚ в массу верхнего — mв. Коэффициент трения между брусками μ.

К верхнему бруску прикладывают горизонтально направленную вправо силу .
Самое главное в таких задачах — увидеть две возможности:

1) бруски могут начать двигаться друг относительно друга — тогда между ними будут действовать силы трения скольжения;

2) бруски могут начать двигаться как единое целое — тогда между ними будут действовать силы трения покоя.

Начнём с первой возможности: в таком случае модуль силы трения скольжения, действующей на каждое тело, равен μm_вg. Модуль же силы трения покоя заранее неизвестен.

? 9. Объясните, почему в случае, когда верхний брусок скользит по нижнему, их ускорения относительно стола выражаются формулами

Учтём теперь, что сила приложена к верхнему бруску и что бруски вначале покоились. Если верхний брусок скользит по нижнему, то ускорение верхнего бруска больше, чем ускорение нижнего. Это позволяет получить условие того, что бруски движутся друг относительно друга.

? 10. Объясните, почему бруски будут двигаться друг относительно друга, если

? 11.На столе стоит тележка массой 500 г, а на ней лежит кирпич массой 2,5 кг. Коэффициент трения между кирпичом и тележкой 0,5, трением между тележкой и столом можно пренебречь. С какой горизонтальной силой надо тянуть кирпич, чтобы стащить его с тележки?

Итак, чтобы стащить тяжёлый кирпич со сравнительно лёгкой тележки, надо приложить к нему горизонтальную силу, которая в несколько раз превышает вес кирпича!

? 12. Объясните, почему тела движутся как единое целое, если

? 13. Объясните, почему, когда бруски движутся как единое целое, их (общее) ускорение а и модуль действующей на каждый брусок силы трения покоя F_тр.пок выражаются формулами

Рассмотрим теперь пример, когда горизонтальная сила приложена к нижнему бруску.

Пусть на гладком горизонтальном столе лежит брусок массой m_н, а на нём — брусок массой m_в (рис. 24.6). Коэффициент трения между брусками μ. К нижнему бруску привязана лёгкая нерастяжимая нить, переброшеивая через блок, а к нити подвешен груз массой m_г. Как будут двигаться тела?

В этой ситуации тоже есть две возможности:
1) бруски могут начать двигаться друг относительно друга;
2) бруски могут начать двигаться как единое целое.

На этот раз проще начать со второй возможности, потому что, когда бруски движутся как единое целое, мы можем рассматривать систему, состоящую только из двух тел — объединённого бруска массой M = m_в + m_н и груза массой m_г.

? 14. С каким ускорением движутся бруски как единое целое?

? 15. С каким максимально возможным ускорением могут двигаться бруски как единое целое?

Подсказка. Ускорение верхнему бруску сообщает сила трения покоя, которая не превышает силу трения скольжения.

? 16. Объясните, почему бруски движутся как единое целое, если выполнено соотношение

Если это соотношение не выполнено. то бруски будут двигаться порознь. Ускорение верхнему бруску сообщает в таком случае сила трения скольжения, равная по модулю μmвg. Такая же по модулю, но противоположно направленная сила трения скольжения действует на нижний брусок.

? 17. Каковы ускорения брусков, если они движутся друг относительно друга?

? 18. На гладком горизонтальном столе лежит брусок массой m_н = 0,5 кг, а на нём — другой брусок массой m_в = 0,3 кг (см. рис. 24.6). К нижнему бруску привязана лёгкая нерастяжимая нить, переброшенная через блок, и к нити подвешен груз массой m_г = 0,2 кг. В начальный момент бруски покоятся.
а) При каком наименьшем коэффициенте трения μmin между брусками они будут двигаться как единое целое?
б) С каким ускорением (ускорениями) движутся бруски при коэффициенте трения между ними 0,5?
в) С каким ускорением (ускорениями) движутся бруски, если коэффициент трения между ними равен 0,1?

Дополнительные вопросы и задания

19. На гладком столе лежит доска длиной l и массой M. На одном конце доски находится небольшой брусок массой m (рис. 24.7). Коэффициент трения между бруском и доской μ. В начальный момент тела покоятся. Какую наименьшую скорость надо толчком сообщить доске, чтобы она выскользнула из-под бруска?

20. На гладком столе лежат один на другом три одинаковых бруска массой m = 100 г каждый (рис. 24.8). Коэффициент трения между брусками μ = 0,2. К среднему бруску приложена горизонтально направленная сила .
а) С каким максимально возможным ускорением может двигаться верхний брусок?
б) С каким максимально возможным ускорением может двигаться нижний брусок?
в) При каких значениях силы F все бруски будут двигаться как единое целое?

Задача 49. Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом (рис.36). Коэффициент трения зависит от пройденного пути х по закону μ=kx, где k – постоянная. Найти путь, пройденный бруском до остановки.

Рис.36

Решение.

Применение законов динамики

В данной задаче рассматривается движение под действием переменной результирующей силы.

На брусок действует Земля с силой тяжести mg и наклонная плоскость с силой нормального давления N и силой трения F_тр, величина которой равна

Fтр=μN=kxN.                       (1)

По второму закону Ньютона в векторной форме имеем:

m→a=m→g+→N+→Fтр.

Спроектируем это векторное уравнение на оси координат, указанные на рисунке,

x:      ma=mgsinα−Fтр,                         (2)

y:      0=−mgcosα+N.                             (3)

Разрешая полученную систему уравнений относительно ускорения, получим зависимость ускорения от координаты х:

a=g(sinα−kxcosα).                              (4)

Далее решается кинематическая задача, связанная с преобразованием уравнений (задача третьего класса). Воспользуемся определениями скорости и ускорения

v = dx/dt, a = dv/dt,

и исключим переменные a и dt. В результате получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными v и х:

vdv=g(sinα−kxcosα)dx.

Интегрируя это уравнение от момента, соответствующего началу движения (v₀=0, x₀=0) до остановки (v_ост=0, x=x_ост), получим

0∫0vdv=xост∫0g(sinα−kxcosα)dx;

0=g⎛⎝sinα∙xост−kcosαx2ост2⎞⎠,

откуда искомая координата остановки равна

xост=2g∙tgαk.

(корень x_ост=0 соответствует началу движения).

Энергетический способ

Значительно чаще эта задача решается с помощью закона изменения энергии.

Рис.37

В состоянии I (рис.37) тело обладает потенциальной энергией

WI=Wp=mgh=mgxостsinα,

в состоянии II (рис.37) — как кинетическая, так и потенциальная энергия равна нулю

WII=0.

Энергия изменяется вследствие работы, совершаемой силой трения:

WII−WI=Aтр.

величина силы трения, как отмечалось раньше, составляет

Fтр=μN=kxmgcosα.

Как видно из формулы, сила трения зависит от пройденного расстояния (координаты х). При перемещении на расстояние dx совершается работа

dA=Fтрdxcosπ=−kxmgcosαdx.

Полная работа до остановки составит

A=−kmgcosαxост∫0xdx=−kmgcosαx2ост2.

Подставим полученные выражения в применяемый закон:

0−mgxостsinα=−kmgcosαx2ост2

и выразим искомую величину — путь, пройденный телом до остановки,

xост=2g∙tgαk.

Видно, что и в этом случае энергетический способ решения задачи оказывается более предпочтительным.

Содержание книги

Предыдующая страница

§6. Законы сохранения в механике

6.8 Работа сил трения.

При относительном движении одного тела по поверхности другого возникают силы трения, то есть тела взаимодействуют друг с другом. Однако этот вид взаимодействия принципиально отличается от рассмотренных ранее. Наиболее существенным отличием является тот факт, что сила взаимодействия определяется не взаимным расположением тел, а их относительной скоростью. Следовательно, работа этих сил зависит не только от начального и конечного положения тел, но и от формы траектории, от скорости перемещения. Иными словами, силы трения не являются потенциальными.

Рассмотрим подробнее работу различных видов трения.

Самой простой случай – трения покоя. Достаточно сказать, что при отсутствии перемещения работа равна нулю, поэтому трение покоя работы не совершает.

При движении одного тела по поверхности другого возникает сила сухого трения. По закону Кулона-Амонтона величина силы трения постоянна и направлена в сторону противоположную скорости движения. Следовательно, в любой момент времени, в любой точке траектории векторы скорости и силы трения направлены в противоположные стороны, угол между ними равен 180° (вспомните cos 180° = -1). Таким образом, работа силы трения равна произведению силы трения на длину траектории S:

(~A_{mp} = -F_{mp} S) . (1)

Между двумя точками можно проложить сколько угодно траекторий, длины которых могут изменяться в широких пределах, при движении по каждой из этих траекторий сила трения будет совершать различную работу.

Использование понятия работы оказывается полезным и при наличии сил трения. Рассмотрим простой пример. Пусть на горизонтальной поверхности находится брусок, которому толчком сообщили скорость υ₀. Найдем, какой путь пройдет брусок до остановки при наличии сухого трения, коэффициент которого равен μ. Так как при остановке кинетическая энергия обращается в нуль, то изменение кинетической энергии тела равно (~Delta E_k = 0 — frac{m upsilon_0^2}{2} = — frac{m upsilon_0^2}{2}) . По теореме о кинетической энергии, изменение последней равно работе внешних сил. Единственной силой, совершающей работу, является сила трения, которая равна в данном случае (~A_{mp} = -mu mgS) . Приравнивая эти выражения, легко находим путь до остановки (~S = frac{upsilon_0^2}{2 mu g}) .

Для того, чтобы рассматриваемый брусок двигался по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью к нему необходимо прикладывать постоянную горизонтально направленную силу F, равную по модулю силе трения. Эта внешняя сила будет совершать положительную работу A, равную по модулю работе силе трения. Кинетическая энергия бруска при таком движении возрастать не будет. Заметим, что противоречия с теоремой о кинетической энергии в этом утверждении нет – так суммарная внешняя сила, действующая на брусок, равна нулю. Тем не менее, необходимо твердо уяснить, что работа всякой силы есть мера перехода энергии из одной формы в другую, поэтому следует определить, какие изменения с системой (бруском и поверхностью) произошли в результате совершенной работы. Ответ известен – произошло нагревание, как поверхности, так и бруска. Иными словами работа внешней силы пошла на увеличение внутренней, тепловой энергии. Аналогично, при торможении начальная кинетическая энергия бруска перешла во внутреннюю энергию. В любом случае работа силы трения приводит к увеличению тепловой энергии.

При движении тела в вязкой среде, на тело действует сила сопротивления, зависящая от скорости и направленная в сторону противоположную вектору скорости, поэтому работа этих сил всегда отрицательна, причем зависит от траектории движения тела. Следовательно, силы вязкого трения не являются потенциальными. Преобразования энергии, происходящие при наличии вязкого трения аналогичны рассмотренным ранее, правда их расчет усложняется зависимостью сил от скорости. Не потенциальные силы, приводящие к увеличению внутренней энергии, называются диссипативными ^[1]. Примерами таких сил являются силы трения.

Примечания

1. ↑ Термин «диссипативные» означает «рассеивающие» — эти силы «рассеивают механическую энергию».

Следующая страница

2017-05-20   

Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол $alpha$ с горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути $x$ по закону $k = ax$, где $a$ — постоянная. Найти путь, пройденный бруском до остановки, и максимальную скорость его на этом пути.

Решение:

Из второго закона Ньютона для бруска в проекции х: $F_{x} = mw_{x}$, получаем

$mg sin alpha — kmg cos alpha = mw$

или $v frac{dv}{dx} = g sin alpha — ax g cos alpha$, (as $k= ax$),

или, $vdv = (g sin alpha — ax g cos alpha) dx$

или, $int_{0}^{v} vdv = g int_{0}^{x} ( sin alpha — x cos alpha ) dx$

Итак, $frac{v^{2}}{2} = g ( sin alpha x — frac{x^{2}}{2} a cos alpha) dx$ (1)

Из (1) $v = 0$ либо

$x = 0$, или $x = frac{2}{a} tg alpha$

Поскольку движение бруска является однонаправленным, оно останавливается после прохождения расстояния $frac{2}{a} tg alpha$.

Из (1), при $v_{max}$,

$frac{d}{dx} left ( sin alpha x — frac{x^{2}}{2} a cos alpha right ) = 0$, что дает $x = frac{1}{a} tg alpha$

Следовательно, максимальная скорость будет на расстоянии, $x = frac{1}{a} tg alpha$

Подставляя это значение $x$ в (1) получаем максимальную скорость,

$v_{max} = sqrt{ frac{g sin alpha tg alpha}{a}}$

Разбираем задание №6 из ЕГЭ по физике на примеры вариантов прошлых лет.

Задача №1

Брусок движется по инерции по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью, модуль которой равен «V». В точке «А» поверхность становится шероховатой — коэффициент трения между бруском и поверхностью становится равен «μ». Пройдя от точки «А» путь «S» за время «t», брусок останавливается.

Определите, как изменятся следующие физические величины, если коэффициент трения будет в 2 раза больше: путь, пройденный бруском от точки «А» до остановки; время прохождения бруском пути от точки «А» до остановки; модуль ускорения бруска при движении по шероховатой поверхности.

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличится;

2) уменьшится;

3) не изменится.

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ		ИХ ИЗМЕНЕНИЕ
А) Путь, пройденный бруском от точки «А» до остановки Б) Время прохождения бруском пути от точки «А» до остановки В) Модуль ускорения бруска при движении по шероховатой поверхности		1) увеличится 2) уменьшится 3) не изменится

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Решение

А) После прохождения точки «А» на брусок начнёт действовать сила трения:

F_тр = μN = μmg

Следовательно, у бруска появится ускорение:

a = = = μg

Время, за которое тело остановится:

t = =

Путь, пройденный до остановки, выразится формулой:

S = Vt —  =  —  =

Следовательно, при увеличении коэффициента трения путь, пройденный телом, уменьшится.

Б) Выше получено, что время прохождения от точки «А» до остановки:

t =

Следовательно, при увеличении коэффициента трения время уменьшится.

В) Выше получено, что модуль ускорения бруска:

a = μg

Следовательно, при увеличении коэффициента трения увеличится модуль ускорения бруска.

Ответ: 221.

---

Задача №2

Брусок движется по инерции по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью, модуль которой равен «V». В точке «А» поверхность становится шероховатой — коэффициент трения между бруском и поверхностью становится равен «μ». Пройдя от точки «А» путь «S» за время «t», брусок останавливается.

Определите, как изменятся следующие физические величины, если скорость движения бруска по гладкой поверхности будет в 2 раза больше:

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ		ИХ ИЗМЕНЕНИЕ
А) Путь, пройденный бруском от точки «А» до остановки Б) Время прохождения бруском пути от точки «А» до остановки В) Модуль ускорения бруска при движении по шероховатой поверхности		1) увеличится 2) уменьшится 3) не изменится

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам. Цифры в ответе могут повторяться.

 Решение

А) После прохождения точки «А» на брусок начнёт действовать сила трения:

F_тр = μN = μmg

Следовательно, у бруска появится ускорение:

a = =  = μg

Время, за которое тело остановится:

t =  =

Путь, пройденный до остановки, выразится формулой:

S = Vt —  =  —  =

Следовательно, при увеличении скорости путь, пройденный телом, увеличивается.

Б) Выше получено, что время прохождения от точки «А» до остановки:

t =

Следовательно, при увеличении скорости время возрастёт.

В) Выше получено, что модуль ускорения бруска:

a = μg

От скорости он не зависит.

Ответ: 113.

Нужна помощь с предметом? Выбирайте репетитора по физике в Магасе!

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.