Существует формула, с помощью которой можно посчитать путь, пройденный телом, когда нам известны его начальная скорость, ускорение и конечная скорость.
Сокращенно эту формулу называют «путь без времени». Так ее называют потому, что в правой ее части время t движения отсутствует (рис. 1).
Рис.1. Так выглядит формула, по которой можно вычислить путь тела, не зная, сколько времени занимало движение
Формула пути без времени помогает упростить решение некоторых задач кинематики. Особенно, задач, части C.
Однако, не торопитесь на ЕГЭ записывать эту формулу в готовом виде. Сначала в решении задачи нужно записать вывод этой формулы. И только потом ее можно использовать.
Формулу выводят из выражений для равнопеременного движения. Сейчас я помогу вам вывести эту формулу с помощью нескольких простых шагов.
Выводим формулу пути без времени
Для определенности будем считать, что тело движется по прямой все быстрее и быстрее. То есть, скорость тела увеличивается, так как появляется ускорение.
В таком случае векторы ускорения и скорости тела будут сонаправленными (параллельными и направленными в одну и ту же сторону).
Сонаправленные или противоположно направленные векторы называют коллинеарными векторами. Прочитайте подробнее о коллинеарных векторах.
Чтобы вычислить путь тела, когда скорость его увеличивается, нужно использовать две формулы:
[ large begin{cases} S = v_{0} cdot t + displaystylefrac{a}{2} cdot t^{2} \ v = v_{0} + a cdot t end{cases} ]
( large v_{0} left( frac{text{м}}{c} right)) – начальная скорость тела;
( large v left( frac{text{м}}{c} right)) – конечная скорость;
( large a left( frac{text{м}}{c^{2}} right)) – ускорение тела;
( large S left( text{м} right)) – путь, пройденный телом;
(large t left( c right)) – время, за которое тело прошло этот путь.
В формуле для пути S присутствует время t. Получим из нее формулу для пути, в которой время будет отсутствовать.
Что сделать, чтобы получить формулу пути, в которой отсутствует время:
- сначала получить выражение для времени t из уравнения для скорости;
- затем в формулу пути подставить полученное выражение вместо времени t.
Выражаем время из формулы для скорости
Выпишем формулу, связывающую начальную и конечную скорость тела:
[ large v = v_{0} + a cdot t ]
Избавимся в правой части от начальной скорости, обозначенной символом ( v_{0}). Для этого из обеих частей уравнения вычтем число ( v_{0}). Получим такую запись:
[ large v — v_{0} = a cdot t ]
Теперь, чтобы справа в формуле оставалось только время «t», избавимся от ускорения «a». Для этого разделим обе части уравнения на «a»:
[ large frac{ v — v_{0}}{a} = t ]
Это выражение нам пригодится для дальнейшего вывода формулы «путь без времени».
В формулу пути подставим выражение для времени
Запишем теперь формулу для пути S и полученную формулу для времени t, объединив их в систему:
[ large begin{cases} S = v_{0}cdot t + displaystyle frac{a}{2}cdot t^{2}\ displaystyle frac{v — v_{0}}{a} = t end{cases} ]
В первом уравнении системы будем заменять символ t дробью из второго уравнения. Тогда система из двух уравнений превратится в единственное уравнение. И в этом уравнении не будет символа t времени:
[large S = v_{0} cdot frac{ v — v_{0}}{a} + frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]
Осталось теперь упростить полученное выражение. Будем производить упрощение по частям.
Упрощаем выражение, расположенное до знака «плюс» в правой части
Выпишем отдельно все, что располагается до знака «плюс» в правой части уравнения:
[large v_{0} cdot frac{ v — v_{0}}{a} ]
Умножим числитель дроби на число (v_{0}).
Для этого:
- сначала числитель обособим скобками;
- затем запишем число (v_{0}) перед скобками;
- а потом внесем это число внутрь скобок.
В числитель дроби, обособленный с помощью скобок помещаем число (v_{0}):
[large v_{0} cdot frac{ (v — v_{0})}{a} = frac{ v_{0} cdot (v — v_{0})}{a} ]
Теперь необходимо умножить скобку на число (v_{0}). На рисунке 2 указано, как правильно выражение в скобках умножить на число, стоящее за скобками.
Рис. 2. Чтобы умножить скобку на число, нужно умножить каждое слагаемое в скобке на это число
Нужно к каждой скорости в скобках дописать число (v_{0}), умножая его на эти скорости. Получим такое выражение:
[large frac{ v_{0} cdot (v — v_{0})}{a} = frac{ (v_{0} cdot v — v_{0} cdot v_{0})}{a} = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} ]
То есть, вместо первоначальной записи, мы получили такую запись:
[large v_{0} cdot frac{ (v — v_{0})}{a} = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} ]
Возводим в квадрат дробь
После знака «плюс» в правой части уравнения располагается дробь, которую нужно возвести в квадрат. Обратим внимание на эту дробь:
[large left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]
Правильно возвести дробь в степень поможет рисунок 3.
Рис. 3. Дробь возводим в степень, отдельно возводя в эту степень ее числитель и знаменатель
В результате возведения в квадрат дробь приобретет такой вид:
[large left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2} = frac{ (v — v_{0})^{2}}{a^{2}}]
В числителе этой дроби находится выражение в скобках, которое нужно возвести в квадрат. И нам придется применить одну из формул сокращенного умножения. Запоминать формулы сокращенного умножения удобно в виде, приведенном на рисунке 4.
Рис. 4. Удобный для запоминания вид формул сокращенного умножения
Используем для этого формулу сокращенного умножения, которая содержит знак «минус». Она называется «Квадрат разности». Тогда числитель дроби превратится в такую запись:
[large ( v — v_{0})^{2} = (v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})]
Теперь можем записать полученную дробь:
[large frac{ (v — v_{0})^{2}}{a^{2}} = frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{a^{2}} ]
Упрощаем правую часть, записанную после знака «плюс»
Обратим внимание на все, что располагается в правой части уравнения после знака «плюс»:
[large frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]
Мы уже провели некоторые преобразования и можем теперь заменить дробь, возводимую в квадрат более подробной записью:
[large frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2} = frac{a}{2} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{a^{2}}]
Примечание: Когда мы умножаем одну дробь на другую, то можем менять местами знаменатели этих дробей.
Итак, поменяем местами знаменатели дробей:
[large frac{a}{2} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{a^{2}} = frac{a}{a^{2}} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2}]
Теперь видно, что мы можем сократить ускорение и еще немного упростить выражение:
[large frac{a}{a^{2}} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2} = frac{1}{a} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2}]
А перемножив числители и знаменатели двух дробей, получим такую запись:
[large frac{1}{a} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2} = frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]
Теперь, первоначальную дробь можно заменить дробью, полученной в ходе преобразований:
[large frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2} = frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]
Мы закончили преобразовывать выражения, содержащиеся в правой части уравнения после знака «плюс».
Теперь, осталось сложить две дроби в правой части – дробь, записанную до знака «плюс» с дробью, записанной после знака «плюс». А чтобы эти дроби можно было сложить, нужно будет привести их к общему знаменателю.
Приводим к общему знаменателю дроби в правой части уравнения
Вернемся еще раз к первоначальному уравнению:
[large S = v_{0} cdot frac{ v — v_{0}}{a} + frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]
Заменим правую часть этого уравнения выражениями, которые мы получили:
[large S = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} + frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]
Сравним знаменатели дробей.
Первая дробь обладает знаменателем «a», а вторая – «2a». Выберем число «2a» в качестве общего знаменателя обеих дробей.
Чтобы первую дробь привести к общему знаменателю «2a», умножим ее на единицу:
[large frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot 1]
Примечания:
- Нам известно, что если какое-либо число умножить на единицу, то после умножения это число не изменится. Значит, если какое-либо выражение умножить на единицу, то полученное выражение останется равным самому себе. На единицу можно умножать все, что угодно – дроби, выражения в скобках и т. п.
- Математики часто применяют прием умножения на единицу. А после этого единицу записывают в виде некоторой дроби. При этом используют правило: Единица – это дробь, у которой числитель и знаменатель равны (одинаковые).
Так как снизу в первой дроби не хватает числа 2, то единицу представим в виде дроби 2/2:
[large frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot 1 = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot frac{2}{2}]
Получим такую дробь:
[large frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot frac{2}{2} = frac{ 2(v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{2a} ]
Поместим ее в выражение для пути:
[large S = frac{ 2(v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{2a} + frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]
Дроби с одинаковыми знаменателями складываем
Теперь знаменатели дробей равны. И мы можем записать эти дроби под общим знаменателем:
[large S = frac{ 2(v_{0} cdot v – v^{2}_{0} ) + (v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]
Раскроем скобки в числителе полученного выражения:
[large S = frac{ 2v_{0} v – 2v^{2}_{0} + v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0}}{2a}]
Примечание: Обратим внимание на то, что в числителе дважды встречается член (2v_{0} v), обладающий различными знаками. В начале числителя – знаком «плюс», а в конце числителя – знаком «минус». Это означает, что из числа (2v_{0}v) вычитается такое же число (2vv_{0}). В конце концов, это число покидает нашу запись и, она упрощается:
[large S = frac{ – 2v^{2}_{0} + v^{2} + v^{2}_{0}}{2a}]
Перепишем выражение, записав все, что содержит знак «плюс» в начало числителя:
[large S = frac{ v^{2} + v^{2}_{0} – 2v^{2}_{0}}{2a}]
Вычтем подобные члены, содержащие ( v^{2}_{0}):
[large v^{2}_{0} – 2v^{2}_{0} = – v^{2}_{0} ]
В результате получим короткую запись. Именно о ней говорят, когда имеется ввиду формула пути без времени:
[large boxed{ S = frac{ v^{2} — v^{2}_{0}}{2a} }]
Примечания:
- Это формула, с помощью которой можно рассчитать путь тела, когда известны его начальная и конечная скорость, а, так же, ускорение.
- Видно, что время t в правой части этого выражения отсутствует.
- Мы выводили эту формулу для случая, когда тело увеличивало скорость.
Как выглядит формула пути без времени, когда скорость тела уменьшается
Если скорость тела будет уменьшаться, формулу для вычисления пути нужно будет переписать в таком виде:
[large boxed{ S = frac{ v^{2}_{0} — v^{2}}{2a} }]
Получить такую формулу можно, проделав все шаги, описанные выше. Попробуйте самостоятельно ее получить. Выводить формулу нужно, используя формулы для уменьшающейся скорости:
[ large begin{cases} S = v_{0} cdot t — displaystyle frac{a}{2} cdot t^{2} \ v = v_{0} — a cdot t end{cases} ]
Выводы
Пусть нам известны начальная и конечная скорость тела и его ускорение. Тогда путь, пройденный телом, можно рассчитать так:
- Когда движение равноускоренное и скорость тела увеличивается: [large boxed{ S = frac{ v^{2} — v^{2}_{0}}{2a} }]
- А когда движение равнозамедленное и скорость уменьшается: [large boxed{ S = frac{ v^{2}_{0} — v^{2}}{2a} }]
Для решения задач на движение по прямой используется одна основная формула:
где:
- Скорость (V) — расстояние, пройденное за единицу времени.
- Время (t) — время в пути.
- Расстояние (S) — пройденный путь, или расстояние.
Зная эту формулу (для расстояния), вы можете легко вывести из неё формулу для скорости, или времени.
Если вы запомните эту формулу, то сможете решить любую задачу на движение, так как все задачи на движение по прямой — это применение данной формулы к одному или нескольким взаимосвязанным объектам.
Рассмотрим, как решать разные задачи на движение в зависимости от условий и уровня сложности.
Все задачи на движение делятся на следующие типы:
- простые задачи на скорость, время и расстояние;
- задачи на движение в разных направлениях: сближение и удаление;
- задачи на движение в одном направлении: сближение и удаление;
- решение задач на движение по реке.
Решение простых задач на движение: скорость, время и расстояние
В простых задачах на движение, как правило, есть один движущийся объект, для которого нужно найти неизвестную величину: скорость, время или расстояние. В данном случае применяется формула в ее первоначальном виде:
Задача 1. Автомобиль ехал 2ч со скоростью 85 км/ч. Определите расстояние.
Решение: Вычислим путь по формуле: S=V × t= 2 ч * 85 км/ч = 170 км.
Задача 2. Велосипедист проехал 60 км за 5ч. Определите скорость.
Решение: Вычислим скорость велосипедиста по формуле: V = S:t = 60 км : 5 ч = 12 км/ч.
Задача 3. Мотоциклист проехал 30 км со скоростью 15км/ч. Сколько времени он затратил на этот путь?
Решение: Вычислим время движения мотоциклиста по формуле: t = S:V = 30 км : 15 км/ч = 2 ч.
В таких задачах нужно также следить, чтобы были одинаковыми единицы измерения. Например, если расстояние измеряется в километрах, а время — в часах, то скорость буде измеряться в км/час. Но если единицы измерения скорости — метр/час, а время дано в минутах, то в этом случае скорость и время нужно привести к одинаковым единица измерения, иначе ответ будет неверным.
Задача 4. Мотоциклист ехал 30 минут со скоростью 60 км/ч. Какое расстояние он проехал?
Решение: для того, чтобы вычислить расстояние, нужно время и скорость привести к одинаковым единицам измерения. При этом есть 2 способа:
1) Переведем время: 30 минут = 30/60 = 0,5 часа.
Найдем расстояние: 60 км/ч * 0,5 ч = 30 км.
2) Переведем скорость: 60 км/ч = 60км / 1час = 60км / 60 мин = 1км/мин.
Найдем расстояние: 1км/мин*30минут = 30 км.
Решение задач на движение в разных направлениях: сближение (встречное движение) и удаление (противоположное движение)
При встречном движении расстояние между объектами уменьшается. Объекты приближаются друг к другу со скоростью сближения.
Скорость сближения находится по формуле: 
При движении в противоположных направлениях скорости объектов направлены в разные стороны. Объекты удаляются друг от друга со скоростью удаления.
Скорость удаления находится по формуле:
При решении подобных задач лучше нарисовать схему движения, чтобы было легче решать.
Задача 5. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого велосипедиста 10 км/ч, второго — 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
Решение: 1) Найдем скорость сближения: V=10+8 = 18 км/ч.
2) Найдем время: t = S:V = 36 : 18 = 2 ч.
Задача 6. Два пешехода вышли одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого пешехода 3км/ч, второго — 4км/ч. Какое расстояние между ними будет через 30 минут?
Решение: 1) Найдем скорость удаления пешеходов: V = 3+4=7 км/час.
2) Переведем в соответствие единицы измерения: t=30 мин = 0,5 ч.
3) Найдем расстояние: S=V × t = 7 × 0,5 = 3,5 км.
Задача 7. Два автобуса выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 300 км. Через 2 часа они встретились. Найдите второго второго автобуса, если первый ехал со скоростью 70 км/ч.
Решение. 1) Нам известно расстояние и скорость, поэтому найдем скорость по формуле: V = S:t = 300:2=150км/ч. Это скорость сближения.
2) Найдем скорость второго автобуса: 150-70 = 80км/ч.
Решение задач на движение в одном направлении: сближение и удаление
Если два объекта движутся в одном направлении и один объект “догоняет” второй, то расстояние между объектами уменьшается.
Скорость сближения при таком движении определяют по формуле:
Если два объекта движутся в одном направлении и один объект “отстает” от второго, то расстояние между объектами увеличивается.
Скорость удаления при таком движении определяют по формуле: 
Если объект движется в стоячей воде (озере), то его скорость называют собственной скоростью объекта. То есть, скорость объекта равная собственной скорости объекта.
Заметим, что плот — это тело, у которого собственная скорость равна нулю (V=0). Значит, плот может плыть только по течению и со скоростью течения.
Задача 8. Расстояние между двумя автомобилями, движущимися в одном направлении, составляет 20 км. Первый автомобиль едет со скоростью 40км/ч, второй — со скоростью 30км/ч. Через сколько часов первый автомобиль догонит второй?
Решение. 1) Найдем скорость сближения автомобилей: V=40-30=10км/ч.
2) Зная расстояние (20км) и скорость сближения (10км/ч) найдем время: 20:10=2 часа.
Задача 9. Из одного населенного пункта выехали автомобиль и автобус. скорость автомобиля 70 км/ч, скорость автобуса — 50 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?
Решение. 1) Найдем скорость удаления : V=70-50=20км/ч.
2) Зная скорость удаления и время, найдем расстояние: S = 20*3 =60 км.
Решение задач на движение по реке
Особенностью задач на движение реке является то, что у объекта появляется дополнительная скорость — скорость течения реки. При этом возможно два варианта:
- по течению реки → скорость увеличивается;
- против течения реки → скорость уменьшается.
Таким образом, в задачах рассматривают 2 скорости:
- Скорость собственная — Vs;
- Скорость течения реки — Vt.
Задача 9. Собственная скорость лодки составляет 12 км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Какое расстояние проплывёт лодка через 3 часа, если она плывёт по течению реки?
Решение. 1) Найдем скорость лодки. Так как она плывет по течению реки, ее скорость увеличивается.
V = Vs+ Vt = 12+3 =15км/ч.
2) Найдем расстояние: S=V×t = 15×3=45км.
Задача 10. Собственная скорость катера составляет 30 км/ч. Скорость течения реки равна 4 км/ч. Какое расстояние преодолеет катер через 4 часа, если он плывёт против течения реки?
Решение. 1) Найдем скорость. Так как катер плывет против течения реки, его скорость уменьшится.
V = Vs- Vt = 30-4 =26 км/ч.
2) Найдем расстояние: S=V×t = 26 * 4 = 104 км.
Задача 10. Скорость лодки равна 10 км/ч. При этом надо успеть проплыть 25 км за 2 часа по течению реки. Какой должна быть скорость течения реки, чтобы успеть в срок?
Решение. 1) Найдем нужную скорость: V=S:t = 25:2=12,5 км/ч.
2) Найдем скорость, которую нужно прибавить до нужно (скорость течения реки): 12,5-10=2,5км/ч.
Задача 11. Уровень ЕГЭ.
Катер прошёл по течению реки 120 км и вернулся обратно. Известно, что обратный путь занял на 1 час больше времени, а скорость катера в неподвижной воде равна 27 км/ч. Найдите скорость течения.
Решение: Пусть Vt — cкорость течения реки, тогда:
1) В одну сторону: 27+Vt – скорость перемещения катера по течению, S=120км.
2) В обратную сторону: 27-Vt – скорость перемещения катера против течения, S=120км.
Выразим время:
1) В одну сторону: t=S:V = 120:(27+Vt) – время, затраченное катером на перемещение по течению,
2) В обратную сторону: t=S:V = 120:(27-Vt) – время, затраченное катером на перемещение против течения.
Так как время перемещения против течения на час больше, чем время по течению, то:
120:(27+Vt) +1 = 120:(27-Vt).
Далее решаем уравнение и получаем ответ 3 км/ч.
Больше задач на движение Ваш ребёнок может решить, скачав программы:
Правильность решения задач вы можете проверить на сайте intmag24.ru с помощью калькулятора решения задач на движение.
Полезные советы для решения задач на движения
- В процессе решения задач на движение может быть составлена формула квадратного уравнения, которое будет иметь два корня. В этом случае нужно взять тот ответ, который будет логичен для задачи (положительный). Отрицательный корень не берется во внимание.
- Внимательно следите, чтобы в задаче все данные измерялись одними величинами. Если это не так, нужно се привести к единым единицам измерения.
- При решении задач на движение рисуйте картинки. Особенно, когда текст задачи большой и сразу в голове не укладывается. Чаще всего это нужно делать в задачах, где кто-то кого-то догоняет, встречается, или перемещается между пунктами А и В туда и обратно. На картинке сразу видно, какие отрезки пути можно просчитать. Картинка облегчает составление математической модели.
Для решения более сложных задач на движение посмотрите, как составлять схемы и таблицы данных для наглядного представления и структурирования данных.
На чтение 10 мин. Просмотров 6.7k.
Вычислить скорость, время и расстояние часто бывает необходимо в повседневной жизни, когда мы рассчитываем время на дорогу. Все эти величины (время, расстояние и скорость) связаны между собой математической формулой и зная две из них всегда можно найти третью. Мы с вами рассмотрим, что понимается под этими величинами, как их найти, решим несколько задач.
Скорость, время и расстояние — это ключевые параметры при решении задач на движение. Эти задачи есть и в ЕГЭ и в ОГЭ по математике. Сегодня мы подробнее остановимся на этих величинах.
Расстояние
Расстояние — это физическая величина, означающая длину между двумя объектами. Расстояние обозначается буквой S и измеряется в единицах длины: метрах. Метр — это международно-принятая единица измерения длины. Однако встречаются и другие единицы длины — километр, сантиметр, миллиметр. В этом случае целесообразно перевести единицы длины в международную систему единиц (СИ).
Например: расстояние от Земли до Солнца равно 149 597 870 700 метров.
Расстояние связано со скоростью и временем:
S=v cdot t
Вот тут таблица длин и их перевода в международную систему единиц — то есть в метры.
| Единицы длины | СИ |
| 1 сантиметр | 0,01 м |
| 1 километр | 1000 м |
| 1 дециметр | 0,1 м |
| 1 миллиметр | 0,001 м |
| 1 микрометр | 1·10-6 м |
| 1 миля | 1609,34 м |
| 1 фут | 0,3048 м |
| 1 ярд | 0,9144 м |
| 1 дюйм | 0,0254 м |
| 1 морская миля | 1852 м |
Время
Время — это физическая величина, которая обозначает непрерывное и необратимое (возможно) движение от прошлого к будущему через настоящее. Это фундаментальная физическая величина, единица измерения времени — секунда. Однако, в задачах могут использоваться и другие единицы времени — часы, минуты, дни.
Время можно найти по формуле:
t=frac{S}{v}
Ученые о времени
По словам греческого философа Парменида (ок. 450 г. до н.э.), время и движение были иллюзиями. Его ученик Зенон Элейский разработал два знаменитых парадокса: «Ахиллес и черепаха» и «Парадокс летящей стрелы», чтобы доказать его утверждения. Платон, живший на пару поколений позже, считал, что время создано вместе со вселенной и существует независимо. Он рассматривал время как пустой контейнер, который можно заполнить движущимися вещами и событиями. Его ученик Аристотель считал, что время не существует независимо от событий, но время есть изменение и движение.
Аристотель пришел к выводу, что время не состоит из последовательных неделимых моментов «сейчас», как пытался сказать Зенон с помощью своего парадокса стрелы. Согласно Аристотелю, не существует серии моментов «сейчас», потому что такие моменты не могли бы исчезнуть в течение их собственной длительности или в следующий момент «сейчас». Исааку Ньютону (1642–1726) время понадобилось в качестве переменной в его уравнениях, и он начал думать о времени с научной точки зрения. Ньютон поддерживал идею Платона о независимости времени. Он разделил время на абсолютное (математическое) время и относительное (обычное) время.
Абсолютное время, или продолжительность, является реальным и математическим, и оно течет неуклонно, независимо от чего-либо внешнего. Относительное время кажущееся и является внешней мерой длительности, которая может быть обнаружена органами чувств с помощью движения, которое может быть точным или неточным.
Готфрид Лейбниц (1646–1716) был согласен с Аристотелем и думал, что без событий и перемен не было бы времени. Физик- теоретик Ли Смолин писал в 2010 году, что исследования квантовой гравитации подтверждают, что четырехмерное пространство-время имеет смысл только в том случае, если время реально, фундаментально и даже является единственным аспектом реальности, который мы непосредственно ощущаем.
Скорость
Скорость обозначается буквой 
— это физическая величина, которая обозначает какое расстояние проходит объект в единицу времени. Единица измерения скорости — м/с. Однако, встречаются также и км/ч и см/с (эти измерения не входят в международную систему единиц измерения). Скорость показывает как быстро изменяется расстояние во времени.
Например, выражение 9 м/с означает, что тело за 1 секунду проходит 9 метров. То есть за 1 секунду 9 метров, за 2 секунду еще 9 метров, итого за 2 секунду — 18 метров. В курсе школьной математики мы считаем, что скорость равномерная во времени. То есть тело за равные промежутки времени проходит равные расстояния. То есть 9 м/с означает 9 метров в любую из секунд движения тела. Однако, в реальности движение бывает равномерное и неравномерное. Мы не рассматриваем неравномерное движение в курсе математики (1-6 класс), однако в курсе алгебры элементы кинематики с неравномерным движением рассматриваются.
Еще примеры: скорость 100 км/ч — это прохождение расстояния в 100 километров за 1 час.
Формула скорости
Скорость можно найти через расстояние и время по формуле:
v=frac{S}{t}
Средняя скорость
Если движение тела можно разбить на несколько участков и в пределах каждого участка скорость тела не меняется, то целесообразно говорить о средней скорости.
Формула средней скорости:
v=frac{S_{весь ; путь}}{t_{всё ; время}}=frac{S_1+S_2+…+ S_n}{t_1+t_2+…+ t_n}
То есть средняя скорость это отношение всего пути, ко всему времени.
Скорости сближения и удаления
Понятие скорости ученики изучают еще в 4 классе, а далее это понятие расширяется и уточняется. Вводятся такие понятия как скорость сближения и скорость удаления. Не все педагоги используют эти понятия в своей работе, поскольку эти понятия можно использовать только при решении небольшого класса задач на движение и они ограничивают решение задач и другими условиями (например, если тела удаляются или сближаются не по одной прямой, а по перпендикулярным прямым). И все же, давайте мы уточним, о чем вообще идет речь.
Скорость удаления
Если два тела удаляются друг от друга, двигаясь по одной прямой, то в таких случаях говорят о скорости удаления. То есть скорость удаления характеризует расстояние, которое увеличивается по мере удаления двух тел в единицу времени.
Допустим есть два пешехода, которые удаляются друг от друга, первый пешеход удаляется со скоростью 3 км/ч, а второй пешеход со скоростью 4 км/ч. Тогда скорость удаления будет:
3+4=7 км/ч.
Действительно, расстояние, пройденное первым пешеходом за один час будет 3 километра, а расстояние, пройденное вторым пешеходом за то же время будет 4 километра. Тогда при удалении пешеходов друг от друга расстояние между ними увеличивается на 7 километров в каждый час или наши пешеходы удаляются со скоростью 7 км/ч. Мы должны сложить скорости объектов.
Формула скорости удаления:
v_{удаления}=v_1+v_2
где
— скорость одного тела,
— скорость другого тела.
Напомним, что это понятие можно использовать только если тела двигаются в разных направлениях, располагаемых на одной прямой.
Скорость сближения двух тел
Аналогично, рассмотрим ситуацию, если два пешехода двигаются навстречу друг к другу. Один пешеход за один час проходит расстояние 2 км, а второй пешеход за то же время проходит 5 км.
Значит, расстояние между ними будем уменьшаться со скоростью 5+2 = 7 км/ч.
Формула скорости сближения:
v_{сближения}=v_1+v_2
где
Если один пешеход догоняет другого. То скорость сближения при движении в одном направлении можно определить, если вычесть из большей скорости меньшую.
То есть, если у нас второго пешехода (
=3км/ч) догоняет первый пешеход (
=5 км/ч), то скорость их сближения будет 2 км/ч:
Формула скорости сближения при движении вдогонку:
v_{сближения}=v_1-v_2
где
Таблица «скорость, время, расстояние» при решении задач на движение
При решении задач на движение очень удобно пользоваться такой таблицей, в которой три столбца с данными по скорости, времени движения тел и расстоянию, которое они проходят. Эта таблица, кстати помогает легко запомнить формулы скорости, времени и расстояния, если представить что первый столбец — это первый множитель, второй столбец — второй множитель, а третий столбец — произведение.
| Скорость, v, м/с | Время, t, с | Расстояние, S, м |
Простой пример, найти скорость велосипедиста, если за 5 часов он прошел 45 километров.
Составляем таблицу и записываем в нее данные:
| Скорость, v, км/ч | Время, t, ч | Расстояние, S, км |
| ? | 5 | 45 |
Теперь видно, что неизвестна скорость в первом столбце, значит, неизвестен первый множитель. Чтобы определить неизвестный множитель надо произведение разделить на известный множитель: 
= 45/5 = 9 км/ч.
Важно! В задачах все единицы измерения должны быть приведены либо к международной системе единиц (метр, секунда, м/с) либо к одним единицам измерения (то есть если в задаче есть и м/с и км/ч можно привести всё либо к м/с (тогда и время в секундах и расстояние в метрах), либо к км/ч (тогда и время в часах будет и расстояние в километрах))
Рассмотрим теперь некоторые примеры решения задач
Примеры задач на движение
Задача 1
Школьник идет домой со скоростью 2 км/ч. Расстояние от школы до дома 1 км. За какое время школьник дойдет до дома?
Решение:
Найдем время по формуле: displaystyle t=frac{S}{v}=frac{1}{2}ч.
Школьник дойдет до дома за полчаса.
Ответ: 0,5 ч.
Задача 2
Автомобилист и велосипедист выехали в город из деревни одновременно. Скорость автомобилиста 50 км/ч. Расстояние до города 100 км. Какова скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в город на 8 часов позже автомобилиста?
Решение: Составим таблицу
| Скорость, v, км/ч | Время, t, ч | Расстояние, S, км | |
| Автомобилист | 50 | 100/50 | 100 |
| Велосипедист | x | 100/x | 100 |
Пусть скорость велосипедиста x. В таблице мы сразу смогли написать соотношения для времени движения. По условию задачи дано, что велосипедист прибыл в город на 8 часов позже автомобилиста. Запишем это:
displaystyle frac{100}{x}-frac{100}{50}=8
Мы отнимаем от времени, которое потратил велосипедист (он же потратил больше времени) время, которое потратил автомобилист и получаем 8 часов.
Решим полученное уравнение.
displaystyle frac{100}{x}-2=8
displaystyle frac{100}{x}=10
x=10
Ответ: 10 км/ч
Задача 3
Стрела пролетает 180 метров за 0,05 минуты. Найдите ее скорость.
Решение: прежде чем решать задачу, переведем все единицы в одну систему единиц. Минуты переведем в секунды.
В одной минуте 60 секунд. Значит, чтобы узнать сколько секунд в 0,05 минутах, умножим 0,05 на 60, получим:
0,05 cdot 60=3 c.
Тогда displaystyle v= frac{180}{3}=60 м/с.
Ответ: 60 м/с
Задача 4
Турист прошел лесной участок длиной 10 км со скоростью 5 км/ч, а затем шел по полю 20 км, со скоростью 4 км/ч. Какова средняя скорость туриста?
Решение:
Определим весь путь который прошел турист:
displaystyle S_{весь ; путь}=S_1+S_2=10+20=30 км.
Для прохождения лесного участка турист потратил: displaystyle t_1= frac{S_1}{v_1}=frac{10}{5}=2ч, а на второй участок времени ушло: displaystyle t_2= frac{S_2}{v_2}=frac{20}{4}=5ч
Все время: displaystyle t_{всё ; время}=t_1+t_2=2+5=7ч
Тогда найдем среднюю скорость:
displaystyle v_{ср}= frac{S_{весь ; путь}}{t_{всё ; время}}=frac{30}{7}=4 frac{2}{7} км/ч.
Ответ: displaystyle v_{ср}=4 frac{2}{7}
Задача 5
Лиса гонится за зайцем. Скорость лисы 20 м/с, а скорость зайца 15 м/с. Догонит ли лиса зайца, если заяц находится на расстоянии 300 метров от безопасного места, а лиса находится на расстоянии 200 метров от зайца?
Решение:
Заяц добежит до норы за displaystyle t= frac{300}{15}=20 секунд.
Лиса же за 20 секунд пробежит расстояние displaystyle S= 20 cdot 20=400 метров.
Лиса не догонит зайца.
Действительно, скорость сближения лисы и зайца:
displaystyle v=v_{лисы}-v_{зайца}=20-15=5 м/с
То есть, чтобы преодолеть расстояние 200 метров, которое изначально существует между лисой и зайцем, лисе понадобиться displaystyle t=frac{200}{5}=40 с
Заяц же уже 20 секунд будет в безопасном месте.
Ответ: лиса зайца не догонит.
Формула нахождения значений скорости, времени и расстояния
С древних времен людей беспокоит мысль о достижении сверх скоростей, так же как не дают покоя раздумья о высотах, летательных аппаратах. На самом деле это два очень сильно связанных между собой понятия. То, насколько быстро можно добраться из одного пункта в другой на летательном аппарате в наше время, зависит полностью от скорости. Рассмотрим же способы и формулы расчета этого показателя, а также времени и расстояния.
Как же рассчитать скорость?
На самом деле, рассчитать ее можно несколькими способами:
- через формулу нахождения мощности;
- через дифференциальные исчисления;
- по угловым параметрам и так далее.
В этой статье рассматривается самый простой способ с самой простой формулой — нахождение значения этого параметра через расстояние и время. Кстати, в формулах дифференциального расчета также присутствуют эти показатели. Формула выглядит следующим образом:
- v — скорость объекта,
- S — расстояние, которое пройдено или должно быть пройдено объектом,
- t — время, за которое пройдено или должно быть пройдено расстояние.
Как видите, в формуле первого класса средней школы нет ничего сложного. Подставив соответствующие значения вместо буквенных обозначений, можно рассчитать быстроту передвижения объекта. Например, найдем значение скорости передвижения автомобиля, если он проехал 100 км за 1 час 30 минут. Сначала требуется перевести 1 час 30 минут в часы, так как в большинстве случаев единицей измерения рассматриваемого параметра считается километр в час (км/ч). Итак, 1 час 30 минут равно 1,5 часа, потому что 30 минут есть половина или 1/2 или 0,5 часа. Сложив вместе 1 час и 0,5 часа получим 1,5 часа.
Теперь нужно подставить имеющиеся значения вместо буквенных символов:
v=100 км/1,5 ч=66,66 км/ч
Здесь v=66,66 км/ч, и это значение очень приблизительное (незнающим людям об этом лучше прочитать в специальной литературе), S=100 км, t=1,5 ч.
Таким нехитрым способом можно найти скорость через время и расстояние.
А что делать, если нужно найти среднее значение? В принципе, вычисления, показанные выше, и дают в итоге результат среднего значение искомого нами параметра. Однако можно вывести и более точное значение, если известно, что на некоторых участках по сравнению с другими скорость объекта была непостоянной. Тогда пользуются таким видом формулы:
vср=(v1+v2+v3+. +vn)/n, где v1, v2, v3, vn — значения скоростей объекта на отдельных участках пути S, n — количество этих участков, vср — средняя скорость объекта на всем протяжении всего пути.
Эту же формулу можно записать иначе, используя путь и время, за которое объект прошел этот путь:
- vср=(S1+S2+. +Sn)/t, где vср — средняя скорость объекта на всем протяжении пути,
- S1, S2, Sn — отдельные неравномерные участки всего пути,
- t — общее время, за которое объект прошел все участки.
Можно записать использовать и такой вид вычислений:
- vср=S/(t1+t2+. +tn), где S — общее пройденное расстояние,
- t1, t2, tn — время прохождения отдельных участков расстояния S.
Но можно записать эту же формулу и в более точном варианте:
vср=S1/t1+S2/t2+. +Sn/tn, где S1/t1, S2/t2, Sn/tn — формулы вычисления скорости на каждом отдельном участке всего пути S.
Таким образом, очень легко найти искомый параметр, используя данные выше формулы. Они очень просты, и как уже было указано, используются в начальных классах. Более сложные формулы базируются на этих же формулах и на тех же принципах построения и вычисления, но имеют другой, более сложный вид, больше переменных и разных коэффициентов. Это нужно для получения наиболее точного значения показателей.
Другие способы вычисления
Существую и другие способы и методы, которые помогают вычислить значения рассматриваемого параметра. В пример можно привести формулу вычисления мощности:
N=F*v*cos α , где N — механическая мощность,
cos α — косинус угла между векторами силы и скорости.
Способы вычисления расстояния и времени
Можно и наоборот, зная скорость, найти значение расстояния или времени. Например:
S=v*t, где v — понятно что такое,
S — расстояние, которое требуется найти,
t — время, за которое объект прошел это расстояние.
Таким образом вычисляется значение расстояния.
Или вычисляем значение времени, за которое пройдено расстояние:
t=S/v, где v — все та же скорость,
S — расстояние, пройденный путь,
t — время, значение которого в данном случае нужно найти.
Для нахождения средних значений этих параметров существует довольно много представлений как данной формулы, так и всех остальных. Главное, знать основные правила перестановок и вычислений. А еще главнее знать сами формулы и лучше наизусть. Если же запомнить не получается, тогда лучше записывать. Это поможет, не сомневайтесь.
Пользуясь такими перестановками можно с легкостью найти время, расстояние и другие параметры, используя нужные, правильные способы их вычисления.
И это еще не предел!
Видео
В нашем видео вы найдете интересные примеры решения задач на нахождение скорости, времени и расстояния.
Время, скорость, расстояние
О чем эта статья:
Расстояние
Мы постоянно ходим пешком и ездим на транспорте из одной точки в другую. Давайте узнаем, как можно посчитать это пройденное расстояние.
Расстояние — это длина от одного пункта до другого.
- Например: расстояние от дома до школы 3 км, от Москвы до Петербурга 705 км.
Расстояние обозначается латинской буквой s.
Единицы расстояния чаще всего выражаются в метрах (м), километрах (км).
Формула пути
Чтобы найти расстояние, нужно умножить скорость на время движения:
s = v × t
Скорость
Двигаться со скоростью черепахи — значит медленно, а со скоростью света — значит очень быстро. Сейчас узнаем, как пишется скорость в математике и как ее найти по формуле.
Скорость определяет путь, который преодолеет объект за единицу времени. Скорость обозначается латинской буквой v.
Проще говоря, скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени.
Впервые формулу скорости проходят на математике в 5 классе. Сейчас мы ее сформулируем и покажем, как ее использовать.
Формула скорости
Чтобы найти скорость, нужно разделить путь на время:
v = s : t
Показатели скорости чаще всего выражаются в м/сек или км/час.
Скорость сближения — это расстояние, на которое сблизились два объекта за единицу времени. Чтобы найти скорость сближения двух объектов, которые движутся навстречу друг другу, надо сложить скорости этих объектов.
Скорость удаления — расстояние, на которое отдалились друг от друга два объекта за единицу времени.
Чтобы найти скорость удаления объектов, которые движутся в противоположных направлениях, нужно сложить скорости этих объектов.
Чтобы найти скорость удаления при движении с отставанием или скорость сближения при движении вдогонку, нужно из большей скорости вычесть меньшую.
Онлайн-курсы по математике для детей — отличный способ разобраться в сложных темах под руководством внимательного преподавателя.
Время
Время — самое дорогое, что у нас есть. Но кроме философии, у времени есть важная роль и в математике.
Время — это продолжительность каких-то действий, событий.
- Например: от метро до дома — 10 минут, от дома до дачи — 2 часа.
Время движения обозначается латинской буквой t.
Чаще всего вам будут встречаться такие единицы времени, как секунды, минуты и часы.
Формула времени
Чтобы найти время, нужно разделить расстояние на скорость:
t = s : v
Эта формула пригодится, если нужно узнать, за какое время тело преодолеет то или иное расстояние.
Взаимосвязь скорости, времени, расстояния
Скорость, время и расстояние связаны между собой очень крепко. Одно без другого даже сложно представить.
Если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние. Оно равно скорости, умноженной на время: s = v × t.
Задачка 1. Мы вышли из дома и направились в гости в соседний двор. Мы дошли до соседнего двора за 15 минут. Фитнес-браслет показал, что наша скорость была 50 метров в минуту. Какое расстояние мы прошли?
Если за одну минуту мы прошли 50 метров, то сколько таких пятьдесят метров мы пройдем за 10 минут? Умножив 50 метров в минуту на 15 минут, мы определим расстояние от дома до магазина:
s = v × t = 50 × 15 = 750 (м)
Ответ: мы прошли 750 метров.
Если известно время и расстояние, то можно найти скорость: v = s : t.
Задачка 2. Двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние между двором и площадкой — 100 метров. Первый школьник добежал за 25 секунд, второй за 50 секунд. Кто добежал быстрее?
Быстрее добежал тот, кто за 1 секунду пробежал большее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. В этой задаче скорость школьников — это расстояние, которое они пробегают за 1 секунду.
Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения. Найдем скорость первого школьника: для этого разделим 100 метров на время движения первого школьника, то есть на 25 секунд:
Если расстояние дано в метрах, а время движения в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч).
В нашей задаче расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит, будем измерять скорость в метрах в секунду (м/с).
100 м : 25 с = 4 м/с
Так мы узнали, что скорость движения первого школьника 4 метра в секунду.
Теперь найдем скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника, то есть на 50 секунд:
Значит, скорость движения второго школьника составляет 2 метра в секунду.
Сейчас можно сравнить скорости движения каждого школьника и узнать, кто добежал быстрее.
Скорость первого школьника больше. Значит, он добежал до спортивной площадки быстрее.
Ответ: первый школьник добежал быстрее.
Если известны скорость и расстояние, то можно найти время: t = s : v.
Задачка 3. От школы до стадиона 500 метров. Мы должны дойти до него пешком. Наша скорость будет 100 метров в минуту. За какое время мы дойдем до стадиона из школы?
Если за одну минуту мы будем проходить 100 метров, то сколько таких минут со ста метрами будет в 500 метрах?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно 500 метров разделить на расстояние, которое мы будем проходить за одну минуту, то есть на 100. Тогда мы получим время, за которое дойдем до стадиона:
t = s : v = 500 : 100 = 5 (мин)
Ответ: от школы до стадиона мы дойдем за 5 минут.
Специально для уроков математики можно распечатать или нарисовать самостоятельно такую таблицу, чтобы быстрее запомнить и применять формулы скорости, времени, расстояния.
Как посчитать путь ускоряющегося тела не используя время
Существует формула, с помощью которой можно посчитать путь, пройденный телом, когда нам известны его начальная скорость, ускорение и конечная скорость.
Сокращенно эту формулу называют «путь без времени». Так ее называют потому, что в правой ее части время t движения отсутствует (рис. 1).
Формула пути без времени помогает упростить решение некоторых задач кинематики. Особенно, задач, части C.
Однако, не торопитесь на ЕГЭ записывать эту формулу в готовом виде. Сначала в решении задачи нужно записать вывод этой формулы. И только потом ее можно использовать.
Формулу выводят из выражений для равнопеременного движения. Сейчас я помогу вам вывести эту формулу с помощью нескольких простых шагов.
Выводим формулу пути без времени
Для определенности будем считать, что тело движется по прямой все быстрее и быстрее. То есть, скорость тела увеличивается, так как появляется ускорение.
В таком случае векторы ускорения и скорости тела будут сонаправленными (параллельными и направленными в одну и ту же сторону).
Сонаправленные или противоположно направленные векторы называют коллинеарными векторами. Прочитайте подробнее о коллинеарных векторах.
Чтобы вычислить путь тела, когда скорость его увеличивается, нужно использовать две формулы:
( large v_ <0>left( frac<text<м>> right)) – начальная скорость тела;
( large v left( frac<text<м>> right)) – конечная скорость;
( large a left( frac<text<м>>> right)) – ускорение тела;
( large S left( text <м>right)) – путь, пройденный телом;
(large t left( c right)) – время, за которое тело прошло этот путь.
В формуле для пути S присутствует время t. Получим из нее формулу для пути, в которой время будет отсутствовать.
Что сделать, чтобы получить формулу пути, в которой отсутствует время:
- сначала получить выражение для времени t из уравнения для скорости;
- затем в формулу пути подставить полученное выражение вместо времени t.
Выражаем время из формулы для скорости
Выпишем формулу, связывающую начальную и конечную скорость тела:
[ large v = v_ <0>+ a cdot t ]
Избавимся в правой части от начальной скорости, обозначенной символом ( v_<0>). Для этого из обеих частей уравнения вычтем число ( v_<0>). Получим такую запись:
[ large v — v_ <0>= a cdot t ]
Теперь, чтобы справа в формуле оставалось только время «t», избавимся от ускорения «a». Для этого разделим обе части уравнения на «a»:
Это выражение нам пригодится для дальнейшего вывода формулы «путь без времени».
В формулу пути подставим выражение для времени
Запишем теперь формулу для пути S и полученную формулу для времени t, объединив их в систему:
В первом уравнении системы будем заменять символ t дробью из второго уравнения. Тогда система из двух уравнений превратится в единственное уравнение. И в этом уравнении не будет символа t времени:
Осталось теперь упростить полученное выражение. Будем производить упрощение по частям.
Упрощаем выражение, расположенное до знака «плюс» в правой части
Выпишем отдельно все, что располагается до знака «плюс» в правой части уравнения:
Умножим числитель дроби на число (v_<0>).
- сначала числитель обособим скобками;
- затем запишем число (v_<0>) перед скобками;
- а потом внесем это число внутрь скобок.
В числитель дроби, обособленный с помощью скобок помещаем число (v_<0>):
Теперь необходимо умножить скобку на число (v_<0>). На рисунке 2 указано, как правильно выражение в скобках умножить на число, стоящее за скобками.
Нужно к каждой скорости в скобках дописать число (v_<0>), умножая его на эти скорости. Получим такое выражение:
То есть, вместо первоначальной записи, мы получили такую запись:
Возводим в квадрат дробь
После знака «плюс» в правой части уравнения располагается дробь, которую нужно возвести в квадрат. Обратим внимание на эту дробь:
Правильно возвести дробь в степень поможет рисунок 3.
В результате возведения в квадрат дробь приобретет такой вид:
В числителе этой дроби находится выражение в скобках, которое нужно возвести в квадрат. И нам придется применить одну из формул сокращенного умножения. Запоминать формулы сокращенного умножения удобно в виде, приведенном на рисунке 4.
Используем для этого формулу сокращенного умножения, которая содержит знак «минус». Она называется «Квадрат разности». Тогда числитель дроби превратится в такую запись:
Теперь можем записать полученную дробь:
Упрощаем правую часть, записанную после знака «плюс»
Обратим внимание на все, что располагается в правой части уравнения после знака «плюс»:
Мы уже провели некоторые преобразования и можем теперь заменить дробь, возводимую в квадрат более подробной записью:
Примечание: Когда мы умножаем одну дробь на другую, то можем менять местами знаменатели этих дробей.
Итак, поменяем местами знаменатели дробей:
Теперь видно, что мы можем сократить ускорение и еще немного упростить выражение:
А перемножив числители и знаменатели двух дробей, получим такую запись:
Теперь, первоначальную дробь можно заменить дробью, полученной в ходе преобразований:
Мы закончили преобразовывать выражения, содержащиеся в правой части уравнения после знака «плюс».
Теперь, осталось сложить две дроби в правой части – дробь, записанную до знака «плюс» с дробью, записанной после знака «плюс». А чтобы эти дроби можно было сложить, нужно будет привести их к общему знаменателю.
Приводим к общему знаменателю дроби в правой части уравнения
Вернемся еще раз к первоначальному уравнению:
Заменим правую часть этого уравнения выражениями, которые мы получили:
Сравним знаменатели дробей.
Первая дробь обладает знаменателем «a», а вторая – «2a». Выберем число «2a» в качестве общего знаменателя обеих дробей.
Чтобы первую дробь привести к общему знаменателю «2a», умножим ее на единицу:
Примечания:
- Нам известно, что если какое-либо число умножить на единицу, то после умножения это число не изменится. Значит, если какое-либо выражение умножить на единицу, то полученное выражение останется равным самому себе. На единицу можно умножать все, что угодно – дроби, выражения в скобках и т. п.
- Математики часто применяют прием умножения на единицу. А после этого единицу записывают в виде некоторой дроби. При этом используют правило: Единица – это дробь, у которой числитель и знаменатель равны (одинаковые).
Так как снизу в первой дроби не хватает числа 2, то единицу представим в виде дроби 2/2:
Получим такую дробь:
Поместим ее в выражение для пути:
Дроби с одинаковыми знаменателями складываем
Теперь знаменатели дробей равны. И мы можем записать эти дроби под общим знаменателем:
Раскроем скобки в числителе полученного выражения:
Примечание: Обратим внимание на то, что в числителе дважды встречается член (2v_ <0>v), обладающий различными знаками. В начале числителя – знаком «плюс», а в конце числителя – знаком «минус». Это означает, что из числа (2v_<0>v) вычитается такое же число (2vv_<0>). В конце концов, это число покидает нашу запись и, она упрощается:
Перепишем выражение, записав все, что содержит знак «плюс» в начало числителя:
Вычтем подобные члены, содержащие ( v^<2>_<0>):
В результате получим короткую запись. Именно о ней говорят, когда имеется ввиду формула пути без времени:
Примечания:
- Это формула, с помощью которой можно рассчитать путь тела, когда известны его начальная и конечная скорость, а, так же, ускорение.
- Видно, что время t в правой части этого выражения отсутствует.
- Мы выводили эту формулу для случая, когда тело увеличивало скорость.
Как выглядит формула пути без времени, когда скорость тела уменьшается
Если скорость тела будет уменьшаться, формулу для вычисления пути нужно будет переписать в таком виде:
Получить такую формулу можно, проделав все шаги, описанные выше. Попробуйте самостоятельно ее получить. Выводить формулу нужно, используя формулы для уменьшающейся скорости:
Выводы
Пусть нам известны начальная и конечная скорость тела и его ускорение. Тогда путь, пройденный телом, можно рассчитать так:
http://skysmart.ru/articles/mathematic/vremya-skorost-rasstoyanie
Геометрический смысл перемещения заключается в том, что перемещение есть площадь фигуры, заключенной между графиком скорости, осью времени и прямыми, проведенными перпендикулярно к оси времени через точки, соответствующие времени начала и конца движения.
При равноускоренном прямолинейном движении перемещение определяется площадью трапеции, основаниями которой служат проекции начальной и конечной скорости тела, а ее боковыми сторонами — ось времени и график скорости соответственно. Поэтому перемещение (путь) можно вычислить по формуле:
Формула перемещения
Пример №1. По графику определить перемещение тела в момент времени t=3 с.
Перемещение есть площадь фигуры, ограниченной графиком скорости, осью времени и перпендикулярами, проведенными к ней. Поэтому в нашем случае:
Извлекаем из графика необходимые данные:
- Фигура 1. Начальная скорость — 3 м/с. Конечная — 0 м/с. Время — 1,5 с.
- Фигура 2. Начальная скорость — 0 м/с. Конечная — –3 м/с. Время — 1,5 с (3 с – 1,5 с).
Подставляем известные данные в формулу:
Перемещение равно 0, так как тело сначала проделало некоторый путь, а затем вернулось в исходное положение.
Варианты записи формулы перемещения
Конечная скорость движения тела часто неизвестна. Поэтому при решении задач вместо нее обычно подставляют эту формулу:
v = v0 ± at
В итоге получается формула:
Если движение равнозамедленное, в формуле используется знак «–». Если движение равноускоренное, оставляется знак «+».
Если начальная скорость равна 0 (v0 = 0), эта формула принимает вид:
Если неизвестно время движения, но известно ускорение, начальная и конечная скорости, то перемещение можно вычислить по формуле:
Пример №2. Найти тормозной путь автомобиля, который начал тормозить при скорости 72 км/ч. Торможение до полной остановки заняло 3 секунды. Модуль ускорения при этом составил 2 м/с.
Перемещение при разгоне и торможении тела
Все перечисленные выше формулы работают, если направление вектора ускорения и вектора скорости совпадают (а↑↑v). Если векторы имеют противоположное направление (а↑↓v), движение следует описывать в два этапа:
Этап торможения
Время торможения равно разности полного времени движения и времени второго этапа:
t1 = t – t2
Когда тело тормозит, через некоторое время t1 оно останавливается. Поэтому скорость в момент времени t1 равна 0:
0 = v01 – at1
При торможении перемещение s1 равно:
Этап разгона
Время разгона равно разности полного времени движения и времени первого этапа:
t2 = t – t1
Тело начинает разгоняться сразу после преодоления нулевого значения скорости, которую можно считать начальной. Поэтому скорость в момент времени t2 равна:
v = at2
При разгоне перемещение s2 равно:
При этом модуль перемещения в течение всего времени движения равен:
s = |s1 – s2|
Полный путь (обозначим его l), пройденный телом за оба этапа, равен:
l = s1 + s2
Пример №3. Мальчик пробежал из состояния покоя некоторое расстояние за 5 секунд с ускорением 1 м/с2. Затем он тормозил до полной остановки в течение 2 секунд с другим по модулю ускорением. Найти этот модуль ускорения, если его тормозной путь составил 3 метра.
В данном случае движение нужно разделить на два этапа, так как мальчик сначала разогнался, потом затормозил. Тормозной путь будет соответствовать второму этапу. Через него мы выразим ускорение:
Из первого этапа (разгона) можно выразить конечную скорость, которая послужит для второго этапа начальной скоростью:
v02 = v01 + a1t1 = a1t1 (так как v01 = 0)
Подставляем выраженные величины в формулу:
Перемещение в n-ную секунду прямолинейного равноускоренного движения
Иногда в механике встречаются задачи, когда нужно найти перемещение тела за определенный промежуток времени при условии, что тело начинало движение из состояния покоя. В таком случае перемещение определяется формулой:
За первую секунду тело переместится на расстояние, равное:
За вторую секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 2 секунды и перемещения за 1 секунду:
За третью секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 3 секунды и перемещения за 2 секунды:
Видно, что за каждую секунду тело проходит перемещение, кратное целому нечетному числу:
Из формул перемещений за 1, 2 и 3 секунду можно выявить закономерность: перемещение за n-ную секунду равно половине произведения модуля ускорения на (2n–1), где n — секунда, за которую мы ищем перемещение тела. Математически это записывается так:
Формула перемещения за n-ную секунду
Пример №4. Автомобиль разгоняется с ускорением 3 м/с2. Найти его перемещение за 6 секунду.
Подставляем известные данные в формулу и получаем:
Таким же способом можно найти перемещение не за 1 секунду, а за некоторый промежуток времени: за 2, 3, 4 секунды и т. д. В этом случае используется формула:
где t — время одного промежутка, а n — порядковый номер этого промежутка.
Пример №5. Ягуар ринулся за добычей с ускорением 2,5 м/с2. Найти его перемещение за промежуток времени от 4 до 6 секунд включительно.
Время от 4 до 6 секунд включительно — это 3 секунды: 4-ая, 5-ая и 6-ая. Значит, промежуток времени составляет 3 секунды. До наступления этого промежутка успело пройти еще 3 секунды. Значит, время от 4 до 6 секунд — это второй по счету временной промежуток.
Подставляем известные данные в формулу:
Проекция и график перемещения
Проекция перемещения на ось ОХ. График перемещения — это график зависимости перемещения от времени. Графиком перемещения при равноускоренном движении является ветка параболы. График перемещения при равноускоренном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения сонаправлены (v↑↑a), принимает следующий вид:
График перемещения при равнозамедленном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения противоположно (v↓↑a), принимает следующий вид:
Определение направления знака проекции ускорения по графику его перемещения:
- Если ветви параболического графика смотрят вниз, проекция ускорения тела отрицательна.
- Если ветви параболического графика смотрят вверх, проекция ускорения тела положительна.
Пример №6. Определить ускорение тела по графику его перемещения.
Перемещение тела в момент времени t=0 с соответствует нулю. Значит, ускорение можно выразить из формулы перемещения без начального ускорения. Получим:
Теперь возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 с. Этой точке соответствует перемещение 30 м. Подставляем известные данные в формулу и получаем:
График пути
График пути от времени в случае равноускоренного движения совпадает с графиком проекции перемещения, так как s = l.
В случае с равнозамедленным движением график пути представляет собой линию, поделенную на 2 части:
- 1 часть — до момента, когда скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть графика является частью параболы от начала координат до ее вершины.
- 2 часть — после момента, при котором скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть является ветвью такой же, но перевернутой параболы. Ее вершина совпадает с вершиной предыдущей параболы, но ее ветвь направлена вверх.
Такой вид графика (возрастающий) объясняется тем, что путь не может уменьшаться — он либо не меняется (в состоянии покоя), либо растет независимо от того, в каком направлении, с какой скоростью и с каким ускорением движется тело.
Пример №7. По графику пути от времени, соответствующему равноускоренному прямолинейному движению, определить ускорение тела.
При равноускоренном прямолинейном движении графиком пути является ветвь параболы. Поэтому наш график — красный. График пути при равноускоренном прямолинейном движении также совпадает с графиком проекции его ускорения. Поэтому для вычисления ускорения мы можем использовать эту формулу:
Для расчета возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 c. Ей соответствует путь, равный 5 м. Значит, перемещение тоже равно 5 м. Подставляем известные данные в формулу:
Задание EF18553
Тело массой 200 г движется вдоль оси Ох, при этом его координата изменяется во времени в соответствии с формулой х(t) = 10 + 5t– 3t2(все величины выражены в СИ).
Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимости от времени в условиях данной задачи.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные и перевести их единицы измерения величин в СИ.
2.Записать уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении в общем виде.
3.Сравнить формулу из условия задачи с этим уравнением движения и выделить кинематические характеристики движения.
4.Определить перемещение тела и его кинетическую энергию.
5.Выбрать для физических величин соответствующую позицию из второго столбца таблицы и записать ответ.
Решение
Из условия задачи известна только масса тела: m = 200 г = 0,2 кг.
Так как тело движется вдоль оси Ox, уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид:
x(t)=x0+v0t+at22
Теперь мы можем выделить кинематические характеристики движения тела:
• a/2 = –3 (м/с2), следовательно, a = –6 (м/с2).
Перемещение тела определяется формулой:
s=v0t+at22
Начальная координата не учитывается, так как это расстояние было уже пройдено до начала отсчета времени. Поэтому перемещение равно:
x(t)=v0t+at22=5t−3t2
Кинетическая энергия тела определяется формулой:
Ek=mv22
Скорость при прямолинейном равноускоренном движении равна:
v=v0+at=5−6t
Поэтому кинетическая энергия тела равна:
Ek=m(5−6t)22=0,22(5−6t)2=0,1(5−6t)2
Следовательно, правильная последовательность цифр в ответе будет: 34.
Ответ: 34
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18774
На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.
К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите в поле цифры в порядке АБ.
Алгоритм решения
- Определить, какому типу движения соответствует график зависимости координаты тела от времени.
- Определить величины, которые характеризуют такое движение.
- Определить характер изменения величин, характеризующих это движение.
- Установить соответствие между графиками А и Б и величинами, характеризующими движение.
Решение
График зависимости координаты тела от времени имеет вид параболы в случае, когда это тело движется равноускоренно. Так как движение тела описывается относительно оси Ох, траекторией является прямая. Равноускоренное прямолинейное движение характеризуется следующими величинами:
- перемещение и путь;
- скорость;
- ускорение.
Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении изменяются так же, как координата тела. Поэтому графики их зависимости от времени тоже имеют вид параболы.
График зависимости скорости от времени при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид прямой, которая не может быть параллельной оси времени.
График зависимости ускорения от времени при таком движении имеет вид прямой, перпендикулярной оси ускорения и параллельной оси времени, так как ускорение в этом случае — величина постоянная.
Исходя из этого, ответ «3» можно исключить. Остается проверить ответ «1». Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Графиком квадратичной функции является парабола. Поэтому ответ «1» тоже не подходит.
График А — прямая линия, параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости ускорения от времени (или его модуля). Поэтому первая цифра ответа — «4».
График Б — прямая линия, не параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости скорости от времени (или ее проекции). Поэтому вторая цифра ответа — «2».
Ответ: 24
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18831
На рисунке представлен график зависимости модуля скорости υ автомобиля от времени t. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t1=20 с до t2=50 с.
Алгоритм решения
- Охарактеризовать движение тела на различных участках графика.
- Выделить участки движения, над которыми нужно работать по условию задачи.
- Записать исходные данные.
- Записать формулу определения искомой величины.
- Произвести вычисления.
Решение
Весь график можно поделить на 3 участка:
- От t1 = 0 c до t2 = 10 с. В это время тело двигалось равноускоренно (с положительным ускорением).
- От t1 = 10 c до t2 = 30 с. В это время тело двигалось равномерно (с нулевым ускорением).
- От t1 = 30 c до t2 = 50 с. В это время тело двигалось равнозамедленно (с отрицательным ускорением).
По условию задачи нужно найти путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t1 = 20 c до t2 = 50 с. Этому времени соответствуют два участка:
- От t1 = 20 c до t2 = 30 с — с равномерным движением.
- От t1 = 30 c до t2 = 50 с — с равнозамедленным движением.
Исходные данные:
- Для первого участка. Начальный момент времени t1 = 20 c. Конечный момент времени t2 = 30 с. Скорость (определяем по графику) — 10 м/с.
- Для второго участка. Начальный момент времени t1 = 30 c. Конечный момент времени t2 = 50 с. Скорость определяем по графику. Начальная скорость — 10 м/с, конечная — 0 м/с.
Записываем формулу искомой величины:
s = s1 + s2
s1 — путь тела, пройденный на первом участке, s2 — путь тела, пройденный на втором участке.
s1 и s2 можно выразить через формулы пути для равномерного и равноускоренного движения соответственно:
Теперь рассчитаем пути s1 и s2, а затем сложим их:
s1 + s2 = 100 + 100 = 200 (м)
Ответ: 200
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 25.5k