Как найти путь пройденный частицей

Связь между путем и модулем скорости частицы

Пусть за малый промежуток времени t частица переместилась из точки 1 в точку 2 траектории. Пройденный частицей путь обозначим s.

Если уменьшать промежуток времени t, точка 2 траектории будет приближаться к точке 1. При этом различие между длиной дуги s и стягивающей ее хордой – модулем перемещения | r| будет уменьшаться.

Связь между путем и модулем скорости частицы

В пределе при t 0 отношение длины дуги s к длине хорды | r| равно единице:

lim s 1

t 0 r

Тогда

v dr lim r lim s ds dt t t dtt 0 t 0

Следовательно, модуль вектора скорости равен производной пути по времени

Связь между путем и модулем скорости частицы

Зная зависимость модуля скорости v от времени, можно вычислить пройденный частицей путь:

v dsdt , ds v(t)dt

Интегрируя это равенство, получим:

Графическое определение пути

Если задана графическая зависимость модуля скорости частицы от времени t, то путь s, пройденный частицей за промежуток времени от t1 до t2 численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции v(t), осью t и вертикальными прямыми t = t1 и t = t2.

t2

s v(t)dt

Полное ускорение частицы

Полное ускорение частицы a можно представить в виде суммы двух перпендикулярных друг другу составляющих:

aa an

Модуль полного ускорения:

ГЛАВА 1 ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ

1.4 Твердое тело в механике. Виды движения твердого тела

Частица начала своё движение из начала координат, и её скорость зависит от времени по закону u⁻(t) = (i⁻∙A + j⁻∙B)∙((t/τ))⁵, где A, B – постоянные величины, i⁻, j⁻ – единичные орты в декартовой системе координат. Какой путь проделает частица за время t = 1 с, если τ = 1 с. А = 2 м/c, В = 3 м/c. Сделать рисунок.
а) 0,20 м; б) 0,30 м; в) 0,40 м; г) 0,50 м; д) 0,60 м;

Записан

Решение. По условию задачи частица начала своё движение из начала координат, и её скорость зависит от времени по закону

[ begin{align}
  & vec{upsilon }(t)=(Acdot vec{i}+Bcdot vec{j})cdot {{((frac{t}{tau }))}^{5}}, \
 & vec{upsilon }(t)=Acdot {{(frac{t}{tau })}^{5}}cdot vec{i}+Bcdot {{(frac{t}{tau })}^{5}}cdot vec{j},vec{upsilon }(t)=2cdot {{(frac{t}{1})}^{3}}cdot vec{i}+3cdot {{(frac{t}{1})}^{5}}cdot vec{j}, \
 & vec{upsilon }(t)=2cdot {{t}^{5}}cdot vec{i}+3cdot {{t}^{5}}cdot vec{j}(1). \
end{align} ]

Скорость тела меняется и задан закон этого изменения на некотором отрезке от 0 до t с. Тогда путь пройденный телом можно определить через определенный интеграл

[ s={{s}_{0}}+intlimits_{0}^{t}{upsilon (t)dt.} ]

Определим какой путь проделает частица за время t

[ begin{align}
  & x={{x}_{0}}+intlimits_{0}^{t}{2cdot {{t}^{5}}dt}={{x}_{0}}+left. 2cdot frac{1}{6}cdot {{t}^{6}} right|_{0}^{t}={{x}_{0}}+frac{2cdot {{t}^{6}}}{6},{{x}_{0}}=0,x=frac{{{t}^{6}}}{3}(2). \
 & y={{y}_{0}}+intlimits_{0}^{t}{3cdot {{t}^{5}}dt}={{y}_{0}}+left. 3cdot frac{1}{6}cdot {{t}^{6}} right|_{0}^{t}={{y}_{0}}+frac{3cdot {{t}^{6}}}{6},{{y}_{0}}=0,y=frac{3cdot {{t}^{6}}}{6}=frac{{{t}^{6}}}{2}(3). \
 & s=sqrt{{{(frac{{{t}^{6}}}{3})}^{2}}+{{(frac{{{t}^{6}}}{2})}^{2}}}(4). \
 & s=sqrt{{{(frac{{{1}^{6}}}{3})}^{2}}+{{(frac{{{1}^{6}}}{2})}^{2}}}=sqrt{frac{1}{9}+frac{1}{4}}=sqrt{frac{4+9}{36}}=frac{sqrt{13}}{6}=0,6. \
end{align} ]

Ответ: д) 0,60 м.

[ begin{align}
  & {{v}_{x}}={x}'(t)=2cdot {{t}^{5}};{{v}_{y}}={y}'(t)=3cdot {{t}^{5}}; \
 & L=intlimits_{0}^{1}{sqrt{{{(2cdot {{t}^{5}})}^{2}}+{{(3cdot {{t}^{5}})}^{2}}}}dt=intlimits_{0}^{1}{sqrt{4cdot {{t}^{10}}+9cdot {{t}^{10}}}}dt=intlimits_{0}^{1}{sqrt{13cdot {{t}^{10}}}}dt=intlimits_{0}^{1}{{{(13cdot {{t}^{10}})}^{frac{1}{2}}}}dt= \
 & =intlimits_{0}^{1}{sqrt{13}cdot {{t}^{5}}}dt=sqrt{13}intlimits_{0}^{1}{{{t}^{5}}}dt=left. sqrt{13}cdot frac{{{t}^{6}}}{6} right|_{0}^{1}=frac{sqrt{13}}{6}=0,6. \
end{align} ]

« Последнее редактирование: 30 Апреля 2018, 06:32 от alsak »

Записан