Как найти путь равномерного прямолинейного движения

Равномерное прямолинейное движение

Всё в мире находится в движении.

Каждый день, когда мы выходим из дома, мы стараемся рассчитать, насколько быстро доберемся до школы или работы.

Может, однажды мы захотим научиться чему-то новому и купим машину.

А физика объяснит тебе, как не попасть в аварию и как всюду успевать.

Приступим!

Равномерное прямолинейное движение — коротко о главном

Сегодня ты узнал:

А еще ты научился решать задачи разного уровня сложности!

Ой, я что, не сказал? Там сложные были!

Ты, наверное, и не заметил 😉

О том, как решить основную задачу механики

Мы помним, что основная задача механики – указать положение тела в пространстве в любой момент времени, не только в настоящем, но и в будущем.

Мы узнали это, когда только начали изучать кинематику. 

Итак, что нужно знать для того, чтобы найти положение тела в пространстве?

Неплохо было бы знать, где оно находилось в начале своего движения, его начальные координаты.  Ведь нам важно, откуда мы выдвигаемся в путь.

Зависят ли начальные координаты тела от времени? Совсем нет: мы просто принимаем то, что тело где-то есть.

А еще нам важно знать, как далеко оказалось тело от своего начального положения и куда вообще двигалось. Важно знать перемещение этого тела.

Давай опробуем свои силы! Думаю, мы уже готовы решить главную задачу!

Рассмотрим какое-то тело. Оно подвигалось, изменило свое положение, оказалось в другой точке.

Назовем ее конечной и постараемся найти ее координаты, то есть узнать положение тела после совершенного им перемещения.

Помним, что перемещение – вектор, поэтому изобразим его:

Уже сейчас мы можем указать начальные координаты тела! Нет чисел – не пугаемся, используем буквы:

Нам нужно узнать конечное положение тела. Отметим координаты тела в конце, их нам и нужно найти, чтобы определить положение тела в конце:

Но как найти эти координаты, зная лишь начальное положение тела и его перемещение? Как нам попасть из ({{x}_{0}}) в (x) и из ({{y}_{0}}) в (y) ?

Все очень просто! Если есть вектор, то какая-нибудь проекция-то найдется, правда?

Отметим их:

Теперь ответить на вопрос, как добраться из начала в конец становится очень легким: просто нужно прибавить к начальной точке проекцию перемещения для нужной оси!

То есть положение точки в любой момент времени можно записать так:

(x={{x}_{0}}+{{S}_{x}}) — для оси Х

(y={{y}_{0}}+{{S}_{y}}) — для оси Y

Поздравляю! Мы только что решили основную задачу механики!

Правда, сделали это в общем виде… Но перемещение ведь может быть очень разнообразным! Как вообще его найти? Не всегда же оно будет дано!

Это зависит от движения тела.

Равномерное прямолинейное движение

Определение равномерного прямолинейного движения

Самым простым движением по праву считается равномерное прямолинейное движение. Мы начнем с него.

Давай попробуем дать ему определение.

Всегда стоить помнить, что знать определения наизусть вовсе не обязательно. Главное – научиться строить его самостоятельно.

Успех любого хорошего определения заключается в правильной его структуре.

Равномерное прямолинейное движение – это движение. Мы нашли главное слово нашего определения. Давай развивать его.

Мы уже знаем, что такое движение. Давай дополним это определение.

Что значит равномерное? Равная мера… Но что является этой самой равной мерой?

Тело проходит равные пути. Логично, что происходит это за какие-то промежутки времени.

А за какие промежутки? За равные. За секунду, за минуту, за час. Не обязательно за ОДНУ секунду, ОДНУ минуту, ОДИН час. Равными промежутками времени могут быть, например, три часа или две секунды.

Но что значит прямолинейное? Можно сказать, что это движение по прямой. Но давайте объясним это, исходя из уже знакомых нам понятий.

Представь: какое-то тело движется, у нас в руках секундомер.

Прошла секунда – тело переместилось на метр. Еще секунда – еще метр. В том же направлении.

То есть тело совершает равные перемещения!

Поэтому…

Равномерное прямолинейное движение — такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения.

С перемещением намного проще объяснить, почему за равные промежутки времени можно принимать абсолютно любое количество единиц времени.

Пусть тело совершает за 1 секунду перемещение (vec{S}).

Тогда за две секунды совершает перемещение (2vec{S}):

Будет ли тело все еще совершать равные перемещения за каждые 2 секунды? Конечно! Давай посмотрим:

Скорость

Равномерное прямолинейное движение тоже бывает разным: быстрым и медленным. Чтобы охарактеризовать его, существует скорость.

Чем большее перемещение совершает тело за промежуток времени, тем больше его скорость. Это очевидно: за одно и то же время гепард преодолевает расстояние во много раз большее, чем термит.

То есть скорость прямо пропорциональна перемещению!

А еще мы помним, что нам действительно важно направление скорости, ведь нам важно направление движения. То есть скорость – величина векторная. Давай убедимся в этом.

Скорость равномерного прямолинейного движения есть физическая величина, равная отношению вектора перемещения ко времени, за которое оно произошло.

Запишем это в виде формулы:

(vec{V}=frac{{vec{S}}}{t})

Векторы с обеих сторон, верно, но… Мы ведь учились умножать векторы, а не делить их. При делении тоже вектор получается?

Да. Ведь любое деление можно представить в виде умножения, смотри:

(vec{V}=frac{1}{t}cdot vec{S})

Время – скалярная величина. Оно не имеет направления. Поэтому можно сказать, что скорость есть перемещение, умноженное на скаляр, то есть тоже вектор! Более того, вектор перемещения и скорости сонаправлены.

Подробнее о свойствах векторов можно прочитать в Большой теории по векторам.

Помнишь, мы чуть выше выясняли, будет ли тело все так же совершать одинаковые перемещения за 2 секунды, а не за одну? Причем эти перемещения сами будут в два раза больше. Значит отношение останется прежним, вот так:

(vec{V}=frac{2vec{S}}{2t}=frac{{vec{S}}}{t})

Отсюда делаем вывод:

Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна.

Как это записать? Кажется, очевидно, но это «задачка со звездочкой». Вот так:

(vec{V}=overrightarrow{const})

Мы не можем приравнять векторную величину к скалярной. Поэтому над константой тоже нужно ставить вектор.

Решение основной задачи механики для равномерного прямолинейного движения

Из уравнения скорости можно легко выразить перемещения, что сделает нас на шаг ближе к конкретному решению основной задачи. Давай сделаем это:

(vec{S}=vec{V}cdot t)

Из свойств векторов мы помним, что это будет справедливо и для проекций:

({{S}_{x}}={{V}_{x}}cdot t)

({{S}_{y}}={{V}_{y}}cdot t)

Стоп-стоп-стоп… Мы что, можем уже с помощью этого определить положение точки?

Да, почему нет? Просто подставим это вместо проекций перемещения туда, где мы решали основную задачу механики в общем виде:

(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)

(y={{y}_{0}}+{{V}_{y}}cdot t)

Обычно в задачах по физике мы стараемся выбрать оси так, чтобы было проще работать с проекциями. Мы стараемся расположить их так, чтобы как можно больше векторов располагалось параллельно один осям и перпендикулярно другим, вот так:

Проекция перемещения на ось Y будет равняться нулю, мы можем не обращать на нее внимания.

По оси Y тело вообще не меняло своего положения, верно?

Именно поэтому в задачах чаще всего мы будем использовать упрощенный вариант нахождения конечного положения тела. Его координата будет описана лишь одним числом.

То есть используем лишь одну ось:

(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)

Работаем с проекциями. Настораживаемся. Вспоминаем о знаках.

Здесь все просто: если проекция скорости положительна, тело движется вдоль оси. Если она отрицательна, тело движется против оси.

Помни, что работаем мы с координатной осью! Начальное положение тела тоже может быть отрицательным. Это зависит лишь от того, как расположено тело относительно начала координат:

Графики равномерного прямолинейного движения

Построение графика

Очень важно уметь описывать движение графиком. Это может значительно упростить решение задачи.

Давай посмотрим, как с помощью графика описать равномерное прямолинейное движение.

Любой график – множество точек, который показывает зависимость одного значения от другого. Эта зависимость определяется каким-то уравнением.

Например, когда мы строим параболу, мы руководствуемся уравнением (y={{x}^{2}}). Как еще это можно записать?

Вот так: (f(x)={{x}^{2}}). Это показывает, что функция (f) зависит от значения (x).

Давай аналогично составим график движения тела. Вспомним то главное уравнение:

(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)

Иными словами, это график зависимости координаты тела от времени. Давай так и запишем:

(x(t)={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)

Начинаем работать с уравнением. Предположим, что нам известна проекция скорости и начальное положение тела. Работать с конкретными числами удобнее.

Пусть: ({{V}_{x}}=0.5)м/с и ({{x}_{0}}=3)м

Тогда уравнение имеет вид: (x=3+0.5cdot t)

Нарисуем оси и обозначим их. Так как у нас даны единицы измерения (метры и секунды), мы обязательно должны подписать их рядом с названиями осей!

Теперь можем взять и рассмотреть положение тела в любую секунду: хоть в первую, хоть в двенадцатую!

Отметим точки и соединим их. Получим график движения.

А теперь вопрос на засыпку: может ли время быть отрицательным?

Могу ли я указать положение тела в минус третью секунду? Могу.

Для этого стоит помнить, что «нулевая» секунда – момент, когда мы запускаем секундомер, когда мы только начинаем наблюдать за телом. Но оно могло двигаться и до того, как мы включили таймер, верно?

Давай покажем движение тела до наших наблюдений пунктирной линией:

Зачастую точки пересечения графика с осями несут в себе очень важную информацию!

Например, когда мы только включили секундомер ((t=0)с), тело находилось в начальном положении (({{x}_{0}}=3)м), и это видно по графику!

А когда координата тела была равна нулю?

Все очень просто: за 6 секунд до того, как мы включили секундомер! Прямая пересекает ось времени в точке -6.

Итак, мы выяснили, что…

График равномерного прямолинейного движения представляет собой прямую.

Точка пересечения ее с осью Х есть координата в начальный момент времени.

Точка пересечения с осью времени показывает ту секунду, когда тело находится в начале координат.

И действительно, само уравнение (x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t) уже напоминает стандартное уравнение прямой, которое мы изучаем на математике: (y=kx+m), где (m) — точка пресечения графика с осью Х, а (k) — коэффициент наклона прямой.

В нашем случае роль коэффициента наклона играет проекция скорости.

Зависимость графика от проекции скорости

Давай изобразим несколько графиков в общем виде, то есть без каких-либо конкретных значений. Например, пусть у нас есть два движущихся тела, вот так:

Чем отличаются движения этих двух тел?

Ну, прежде всего, у них разные начальные положения. Ладно.

А что насчет проекции скорости?

Рассмотрим первое тело. С течением времени оно все больше удаляется от начала координат. А вот второе к нему приближается: оно даже достигает начала координат через некоторое время (когда пересекает ось).

Значит, первое тело идет вдоль оси, а второе против нее, то есть к началу! Мы помним, что это определяет знак проекции скорости.

А именно: проекция скорости первого тела положительна. Проекция скорости второго тела отрицательна.

Со знаками разобрались. А как быть, если попросят узнать, какая проекция скорости больше?

Рассмотрим следующий график. Чтобы было легче его анализировать, представим, что два тела имеют одинаковое положение, когда мы включаем секундомер:

Чтобы понять, чья скорость больше, рассмотрим определенный промежуток времени, отделим его вертикальной пунктирной линией. А еще обозначим начальную и конечную координаты тел в этот промежуток времени:

Теперь посмотрим, чем отличаются графики. Ну так, навскидку. Они отличаются наклоном.

График движения второго тела расположен к оси Х значительно ближе. Что это значит?

Рассмотрим, какое расстояние прошло первое тело, обозначим его на рисунке. Оно численно равно проекции перемещения, убедимся с помощью формулы:

(Delta {{x}_{1}}={{x}_{1}}-{{x}_{01}}={{S}_{x}}_{1})

Теперь рассмотрим расстояние, которое преодолело второе тело:

(Delta {{x}_{2}}={{x}_{2}}-{{x}_{02}}={{S}_{x}}_{2})

Видим, что за одинаковый промежуток времени второе тело прошло значительно большее расстояние! Это значит, что его скорость больше.

Чем ближе к оси Х расположена прямая, тем больше скорость движения тела.

А что будешь делать с таким графиком?

Координата тела с течением времени не меняется. Значит ли это, что тело не движется вовсе?

Нет. Тело не движется лишь по этой оси. Но по какой-нибудь другой оси оно двигаться может.

Например, вот так:

Тело не меняет координаты по оси Х, однако движется по оси Y.

Если мы видим такой график, мы можем лишь утверждать, что проекция скорости равна нулю. О самой скорости говорить не можем.

Встреча

Помнишь самый первый рисунок с двумя телами? Вот этот:

В нем есть одна интересная деталь. Графики движения тел пересекаются.

Со временем все понятно: оно для всех идет одинаково, ничего не поделаешь.

А вот с координатой интереснее: ведь мы можем утверждать, что в какой-то момент тела встретились. То есть в какой-то момент их координаты на оси Х стали равны. Обозначим момент встречи и координату («место») встречи:

Встреча – такое событие, при котором координаты тел в один и тот же момент времени совпадают.

Это еще один момент, о котором стоит помнить при решении задач на графики.

А еще стоит обратить внимание на то, что координаты тел должны совпадать в один момент времени! Если в лесу мимо дуба пробежала лань, а через несколько дней мимо этого же дуба пробежал енот, мы не можем сказать, что они встретились. 

Просто у них совпала траектория.

График зависимости проекции скорости от времени. Нахождение проекции перемещения

Рассмотрим несколько другой график. График зависимости проекции скорости от времени при равномерном прямоли…

Стоп, чего? Какой зависимости? Скорость ведь постоянная и не меняется со временем.

Ты абсолютно прав. А график-то начертить можем, вот так:

Скучный график. Просто прямая, параллельная оси времени. Проекция скорости не меняется, а время всё идет и идет.

Давай хоть что-то найдем по графику. Хоть площадь под ним. Обозначим эту область:

Получили прямоугольник. Его площадь ищем путем перемножения двух соседних сторон, то есть мы берем проекцию скорости и умножаем еще на время.

Где-то мы это слышали.

Верно, ведь именно так ищется проекция перемещения!

({{S}_{x}}={{V}_{x}}cdot t)

Совпадение? Не думаю.

Искать проекцию перемещения таким способом можно не только для равномерного прямолинейного движения, но и для других его видов!

Проекция перемещения тела численно равна площади под графиком скорости тела.

Решение простейших задач и задач на графики равномерного прямолинейного движения

Текстовые задачи

Задача 1. Охарактеризуйте движение соседки, которая спускается по лестнице и одновременно с этим закатывает рукава, услышав в 11 часов вечера громкую музыку из квартиры снизу, если уравнение ее движения: (x=2cdot t), а ось направлена вниз по лестнице.

Решение:

Итак, для начала вспомним уравнение движения в общем виде:

(x={{x}_{0}}+{{S}_{x}})

Соответствует ли уравнение движения соседки уравнению выше? Конечно!

Почему? По глазам вижу, догадываешься! Потому что его можно записать так:

(x=0+2cdot t)

Начальная координата соседки равна нулю: соседка двигалась из начала координат. С этим разобрались. Осталось определить тип ее движения.

Она движется вниз по лестнице. Значит, идет по прямой в одном направлении. Это прямолинейное движение.

Она свирепеет и ускоряется? Нет. Она движется равномерно. Давай вспомним уравнение движения для равномерного прямолинейного движения:

(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)

И еще раз посмотрим на наше:

(x=0+2cdot t)

Сопоставляем их и понимаем, что рядом с временем расположена проекция скорости. Она, как видим, положительна и равна 2 м/с. Соседка двигается вдоль оси. Ось направлена вниз и соседка движется туда же!

Подробно мы разбирали зависимость направления от знака проекции в Большой теории по векторам.

Таким образом, соседка совершает равномерное прямолинейное движение вдоль оси из начала координат, а проекция ее скорости на эту ось равняется 2 м/с.

Задача 2. Таракан Вася совершает равномерное прямолинейное движение вдоль линейки (соответствующей оси Х) на столе семиклассника Вовы, который, старательно уча уроки, уже неделю не выносит из комнаты мусор. Проекция скорости таракана на эту ось 0.1 м/с. Вова берет секундомер и начинает отсчет в тот момент, когда таракан находится на втором сантиметре линейки.

На каком сантиметре линейки окажется таракан через две секунды?

Решение:

Первое правило решающих физику: увидеть тему и писать формулы по теме.

Второе правило решающих физику: увидеть тему и писать ВСЕ формулы по теме. Могут пригодиться.

Знаем тип движения! Равномерное прямолинейное!

Знаем уравнение равномерного прямолинейного движения! Пишем:

(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)

Делов-то! Начнем подставлять известные величины для таракана. Из задачи знаем, что в начале отсчета таракан находится на втором сантиметре линейки…

Стоп. «Сантиметре…»

Никогда не теряй бдительность, боец. Всегда проверяй величины. 

Переведем все, что есть, в СИ. Скорость – в м/с. Отлично, уже есть. Как быть с линейкой? Просто перевести сантиметры в метры!

Таракан был на втором сантиметре, а значит на 0.02 метре линейки!

Теперь можем записать уравнение его движения:

(x=0.02+0.1cdot t)

Чтобы узнать, где окажется таракан через 2 секунды, просто подставим цифру 2 в это уравнение: 

(x=0.02+0.1cdot 2=0.22)м

На 0.22 метре линейки! Получили ответ. Но в задаче спрашивается, на каком сантиметре будет находится таракан. Переводим наш ответ в сантиметры и получаем, что таракан будет находится на 22-ом сантиметре линейки!

Задача 3. По коридору мчится восьмиклассник Петя, уравнение его движения можно описать следующим уравнением: (x=6+2cdot t). За ним несётся разъяренный директор Максим Михайлович, уравнение его движения: (x=3+3cdot t).

Догонит ли директор Петю и, если догонит, когда и на каком метре коридора это произойдет? Скорость измерять в м/с, время в секундах.

Решение:

Итак, давай разберемся. Что вообще значит «догонит»? То же самое, что «встретит», верно?

Мы знаем, что такое встреча. Это такое событие, при котором координаты тел в один и тот же момент времени совпадают.

Чтобы понять, встретятся ли они вообще, давай построим графики движения Пети (П) и директора (Д):

Видим, что прямые пересекаются. В какой-то момент времени их координаты действительно одинаковы.

Но как узнать, в какой?

Что-что? Видно по графику? Ну уж нет! Думаешь, там координата 12? А вдруг там 11.999?

Всегда нужно проверять себя аналитически.

Запишем два уравнения:

({{x}_{P}}=6+2cdot t) — Пети

({{x}_{D}}=3+3cdot t) — директора

При встрече у них одинаковые координаты: ({{x}_{P}}={{x}_{D}})

Да… Наверное, другие части уравнений приравнять будет полезнее:

(6+2cdot t=3+3cdot t)

Отсюда легко вычислить время встречи:

(t=3) c

Значит, через три секунды после начала отсчета их координаты будут одинаковы, они встретятся. Найдем место встречи, просто подставив время в одно из двух (какое больше нравится 🙂 ) уравнений:

({{x}_{B}}=6+2cdot 3=12) м

Директор догонит Петю через 3 секунды. Это произойдет на 12-ти метрах от начала коридора.

Задачи на графики

Задача 4. Написать уравнение движение тела, если график этого движения:

Решение:

Какое это движение? Видим, что графиком движения является прямая. Значит, это равномерное прямолинейное движение.

Удивительно, но начнем с уравнения:

(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)

График очень информативный. По крайней мере мы уже знаем начальную координату: ({{x}_{0}}=8) м

Имеем:

(x=8+{{V}_{x}}cdot t)

Как найти проекцию скорости? Ну, давай ее выразим для начала.

({{V}_{x}}=frac{x-8}{t}) м/с

Дальше все очень просто: сделаем так, чтобы она осталось единственной неизвестной. Подставим в уравнение координату и время из графика, абсолютно любую пару, вот так:

Считаем:

({{V}_{x}}=frac{6-8}{2}=-1) м/с

Проекция скорости отрицательна. И правда: с течением времени тело приближается к началу координат, то есть движется против оси.

Подставим в уравнение:

(x=8-t) — уравнение движения тела.

Задача 5. Тело движется вдоль оси Х. Описать движение на каждом участке графика. Найти проекции скоростей. Построить графики проекции скорости и пройденного пути от времени.

Решение:

Опишем движение. Какое оно?

«Ха! Это не прямая, — скажешь ты, — а ломаная!»

И будешь абсолютно прав.

А я скажу: «А что такое ломаная? Это просто соединенные между собой отрезки! А отрезки — части прямых!»

Поэтому давай рассматривать этот график частями!

С первым отрезком все понятно: равномерное прямолинейное движения, ведь эта часть графика – прямая. С течением времени тело приближается к началу координат, значит движется против оси.

Найдем проекцию скорости.

Для начала, что есть скорость?

Мы помним, что скорость – отношение перемещения к промежутку времени.

(vec{V}=frac{{vec{S}}}{t})

Знаем, что это справедливо и для проекций:

({{V}_{x}}=frac{{{S}_{x}}}{t})

Ну, время у нас есть. А проекцию перемещения откуда взять?

Давай вспомним, что это такое. Перемещение – вектор, проведенный из начального положения тела в конечное. А проекция перемещения – проекция этого вектора. Логично, правда? То есть:

({{S}_{x}}=x-{{x}_{0}})

Подробнее о проекциях можно узнать в Большой теории по векторам. 

Вот и нашли проекцию скорости:

({{V}_{x}}=frac{x-{{x}_{0}}}{t})

Подставим в уравнение выше значения необходимых величин:

({{V}_{x}}=frac{4-10}{2}=-3) м/с

Проекция скорости на первом участке графика равна -3м/с.

Второй отрезок необычнее: тело не меняет координату. Тело на этом участке неподвижно.

Так как в условии сказано, что тело движется именно вдоль оси Х, модуль проекции скорости на эту ось равен длине вектора скорости.

Так как тело не меняет координату, проекция его перемещения равна нулю. А значит и проекция скорости равна нулю.

Третий отрезок описывает равномерное прямолинейное движение. Тело отдаляется от начала координат и движется туда же, куда направлена ось.

Найдем проекцию скорости на третьем участке:

({{V}_{x}}=frac{9-4}{12-7}=1) м/с

Так. Давай разберемся, почему там 12-7.

Помнишь, мы считаем отношение проекции перемещения к ПРОМЕЖУТКУ времени. А от 7 до 12 секунды промежуток времени составляет 5 секунд.

Проекция скорости на третьем участке равна 1м/с.

Всё нашли, осталось лишь построить графики! Начнем с графика зависимости проекции скорости от времени. Начертим и обозначим оси, обязательно обозначив единицы измерения и помня, что проекция может быть отрицательна:

Работаем с первой частью:

Мы выяснили, что в течение первых двух секунд проекция скорости была постоянна (как-никак, равномерное прямолинейное движение 🙂 ) и равна -3 м/с.

Давай нарисуем!

На втором участке проекция скорости равна нулю, а на третьем – единице.

Избавимся от вспомогательных линий и получим:

Что-то мне подсказывает, что на графике пути тоже будет три участка. Приступим.

Нарисуем оси и обозначим их:

Логично будет утверждать, что, пока тело не начало двигаться, оно и путь никакой не прошло. Отметим это точкой на графике:

Первые две секунды тело двигалось равномерно со скоростью 3 метра в секунду. Значит, за две секунды тело прошло (3cdot 2=6) метров! Отметим это!.. Нет, не так, на графике отметим:

Движемся дальше. Мы знаем, что на втором участке тело было неподвижно, а значит путь никакой не проходило. За промежуток времени второго участка тело не прошло никакой путь.

Однако суммарно за всё свое движение тело все так же прошло 6 метров:

На третьем участке тело движется. Значит, суммарно пройденный путь увеличится. Оно двигалось со скоростью 1м/с. Посмотрим сколько оно прошло за 5 (12-7) секунд.

Оно пройдет 5 метров.

Добавим их к нашим уже пройденным 6 метрам и получим 11 метров:

Остается только соединить точки прямой:

Задача 6. Найти проекцию перемещения тела по графику

Решение:

Определимся, из чего вообще складывается то, что нам нужно найти. В разные промежутки времени тело двигалось с разными постоянными скоростями.

Значит, проекция перемещения складывается из проекций перемещения в разных промежутках времени! Их 6:

({{S}_{x}}={{S}_{x1}}+{{S}_{x2}}+{{S}_{x3}}+{{S}_{x4}}+{{S}_{x5}}+{{S}_{x6}})

Попробуем найти первую проекцию. Помнишь, мы знаем, что проекция перемещения есть площадь под графиком?

«Под графиком» означает «между графиком и осью», то есть вот эта:

Что ж, давай найдем перемещение:

Проекция скорости есть -2м/с, а промежуток времени – 3с.

Поэтому: ({{S}_{x1}}=-2cdot 3=-6)м

Попробуем найти площадь второго прямоугольника:

Сразу обрати внимание на то, что промежуток времени – с третьей по пятую секунду, то есть 2 секунды!

({{S}_{x2}}=2cdot 2=4)м

Аналогично для остальных:

({{S}_{x3}}=3cdot 3=9)м

({{S}_{x4}}=2cdot 1=2)м

({{S}_{x5}}=1cdot 1=1)м

({{S}_{x6}}=-3cdot 2=-6)м

Посмотрим, чему равна проекция перемещения:

({{S}_{x}}=-6+4+9+2+1-6=4)м

Тяжело в учении – легко в бою. Давай поднажмём и составим график зависимости проекции перемещения от времени.

Когда мы включили таймер, она была равна нулю:

В конце первого промежутка времени она становится равна -6м:

А, ну дальше-то все легко: отмечаем 4, потом отмечаем 9… Нет!

Мы ведь работаем с ОБЩЕЙ проекцией. А общая проекция есть сумма.

Тогда в конце второго промежутка проекция будет равна:

({{S}_{x}}={{S}_{x1}}+{{S}_{x2}})

Дальше – больше слагаемых.

Следующая точка: (-6+4=-2) м

А после нее:(-6+4+9=7) м и т.д.

Теперь соединяем точки по порядку:

Задача 7. Постройте траекторию движения колибри, если начальное положение его по оси Х – 1 м, по оси Y – 3 м, а проекция его скорости на оси, расположенные перпендикулярно друг другу, описывается следующими графиками:

Решение:

Увидел сложную задачу – пиши всё, что знаешь! Зачем? Так надо! Пиши!

Скорость изменяется скачками, но на отдельных промежутках она постоянна. Тело движется равномерно.

Тело изменяет свое положение в пространстве. Изменяет свою координату.

Вспомним, как записывается уравнение координаты тела при равномерном прямолинейном движении:

(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)

Итак, по оси Х у нас 3 участка, обозначим их вспомогательными линиями на нашем новом графике:

Начнем с первого участка. Знаем проекцию скорости и даже начальную координату! Подарок судьбы.

(x=1+2cdot t)

Строим его на первом промежутке:

Теперь координата тела – 17м и тело начинает двигаться с другой скоростью. Из координаты 17 тело движется со скоростью… А, ни с какой скоростью. Проекция скорости на эту ось равна нулю, поэтому:

(x=17+0cdot t)

Координата не меняется. Рисуем:

Тело на 17 м. Оттуда продолжаем движение с проекцией скорости -2 м/с. Тогда: (x=17-2cdot t)

Аналогично строим график для оси Y. Теперь у нас есть два графика:

Построим траекторию движения в плоскости. Для этого нам нужны оси Х и Y одновременно!

Давай построим их:

Всегда бери длину с запасом! Чтобы потом не перечерчивать оси. Наибольшее значение по Х – 17м. По Y – 15м. На всякий случай будем брать 20Х20.

Давай будем анализировать по секундам. Каковы были координаты тела в момент начала отсчета? Давай посмотрим.

В начальный момент времени координата по Х равна 1м, по Y – 3м. В конечный момент по Х координата равна 13, по Y – 15м.

Отметим эти точки:

Дальше будем рассматривать «переломные моменты». Для первого графика это 8 и 10с, для второго – 4 и 6с.

То есть секунды: 4, 6, 8, 10.

Запишем координаты точек для нужных нам секунд:

4: (9;15)

6: (13; 9)

8: (17;11)

10: (17;13)

Отметим их и соединим прямой, укажем последовательность:

Задача решена!

Теперь ты знаешь, как работать с графиками равномерного прямолинейного движения и их уравнениями! Движемся дальше. Иронично звучит 🙂

Средняя скорость по перемещению. Средняя путевая скорость

Хочешь, покажу фокус?

Смотри.

Из горной пещеры вылетает дракон, а за ним в ту же секунду выбегает доблестный рыцарь. Дракон хочет разрушить замок, находящийся от пещеры на расстоянии 7 километров. Задача рыцаря – добраться до замка первым и остановить дракона.

Рыцарь скачет на лошади прямо к замку по равнине в течении 20 минут. Он обнаруживает, что мост через реку на пути к замку разрушен, поэтому решает переплыть реку, и (спасибо его хорошей подготовке) у него уходит лишь 5 минут на то, чтобы снять с себя доспехи и сделать это. Затем в течении 10 минут он продолжает движение к замку.

Дракон после вылета из пещеры движется вперед и вверх, на это у него уходит 15 минут. На какой-то высоте он останавливается, потому что видит стаю пролетающих мимо уток. Драконы, динозавры, птицы… Смекаешь, да? Он решает поиграться со своими «родственниками», на что у него уходит 15 минут. Затем он вспоминает о замке и стремительно пикирует к нему на протяжении 5 минут.

Давай всё это изобразим для наглядности:

Дракон и рыцарь совершили одинаковые перемещения, так? 7 км, ведь они оказались у замка, двигаясь из пещеры.

Давай посчитаем время каждого в пути. И для дракона, и для рыцаря оно составило 35 минут. Они прибыли к замку одновременно.

Так что ж получается… Они совершили одинаковое перемещение за одинаковый промежуток времени.

Но их траектории были очень различны! И двигались они по-разному!

Для того, чтобы описать это, существует средняя скорость по перемещению.

Средняя скорость тела – векторная физическая величина, равная отношению перемещения тела на определенном участке траектории ко времени, за которое оно совершено.

Можно в виде формулы: ({{vec{V}}_{cp}}=frac{{vec{S}}}{t})

Средняя скорость дракона и рыцаря по перемещению одинакова, ведь они пришли одновременно в одно и то же место.

Есть подвох, о котором тебе на математике не рассказали. Ты все время работал не с этой средней скоростью. А с этой:

Средняя путевая скорость — это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден.

Понял, да? Путевая – про путь, а не про перемещение. Средняя путевая скорость совпадает (по модулю) со средней скоростью по перемещению только в том случае, если тело двигалось по прямой в одном направлении.

Средняя путевая скорость дракона сильно отличается от средней путевой скорости рыцаря.

Если не помнишь, в чем отличие пути от перемещения, советую посмотреть основные определения кинематики!

Относительность движения. Операции над скоростями

Давай вспомним одну из важнейших вещей, когда мы говорим про движение. Мы давали ему определение, когда говорили о кинематике в целом.

Это тело отсчета. То тело, относительно которого мы рассматриваем движение.

Мы уже знаем, что относительно одного тела тело может нестись с бешеной скоростью, а относительно другого не двигаться вовсе.

От системы отсчета зависит изменение положения тела. А что еще от нее зависит? Траектория зависит?

Оказывается, да!

Однажды человек изобрел колесо и изменил мир. Давай воспользуемся этим изобретением для того, чтобы найти ответ на вопрос выше.

Возьмем какую-то точку на колесе и пусть оно катится по дороге! Как движется эта точка относительно оси колеса? По кругу.

А относительно Земли?

Вот так:

Круто, да?

Эта кривая называется циклоида. И она точно отличается от траектории движения точки относительно оси колеса.

Сегодня мы научимся определять и связывать скорости в разных системах отсчета.

А еще на относительности основан главный закон скоростей – закон об их сложении.

Поступим как настоящие ученые. Готовые формулы – для слабаков. Мы будем выводить их сами.

Рассмотрим ситуацию.

По реке плывет плот (П) со спортсменом (С). На берегу реки сидит рыбак (Р) и наблюдает за этим. В какой-то момент пловец прыгает с плота и движется к другому берегу реки. Их несёт течение реки.

Давай изобразим это:

Давай нарисуем вектор перемещения спортсмена относительно плота и назовем его относительным перемещением:

Теперь нарисуем вектор перемещения плота, которого несет течение. Назовем этот вектор переносным:

А теперь посмотрим, как спортсмен двигался относительно рыбака, и назовем вектор этого перемещения абсолютным:

Ты только посмотри! У нас тут треугольник!

Нет, оставь свои теории заговора и иллюминатов. Не тот треугольник. Треугольник суммы векторов!

Переносное перемещение и относительное в сумме дают абсолютное!

({{vec{S}}_{a}}={{vec{S}}_{n}}+{{vec{S}}_{o}})

Как связать перемещение со скоростью? Нужно поделить его на время!

Та-а-ак… А его откуда брать?

Что такое абсолютная скорость? В нашем случае это скорость пловца относительно берега.

Абсолютная скорость – скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчета.

Что такое переносная скорость? Скорость плота, скорость течения реки относительно берега.

Переносная скорость – скорость движущейся системы отсчета относительно неподвижной.

Что такое относительная скорость? Это скорость спортсмена относительна плота.

Относительная скорость – скорость движения тела относительно подвижной системы отсчета.

Таким образом,

Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно движущейся системы отсчета и скорости движущейся системы отсчета относительно неподвижной.

Иначе говоря:

Абсолютная скорость есть векторная сумма относительной и переносной скоростей.

Чем хороши векторные уравнения? Они не заставляют тебя думать о знаках.

Знаки ты определишь в проекциях. Это будет зависеть от условия задачи.

Внимание, практика!

Решение задач на среднюю скорость и действия со скоростями

Задача 8 (продолжение задачи 3 🙂 ). Поймавший Петю директор пишет замечание в его дневник, его ручка движется по листу бумаги со скоростью 0.05 м/с. Через 3 секунды Петя взмолится перед Максимом Михайловичем, его ручка станет двигаться со скоростью 0.03 м/с на протяжении 4 секунд.

А если бедному ученику повезёт и ручка начнет плохо писать, то, чтобы расписать ее, директор будет давить на нее сильнее в течение 5 секунд и скорость ее станет равна 0.01 м/с.

Найдите среднюю путевую скорость ручки. Зная, что длина красноречивого замечания равна 24 см, найдите среднюю скорость ручки по перемещению.

Решение: 

Если в задаче много букв – составляй ее план. Давай это сделаем и переведем все в СИ, если необходимо.

3с – 0.05 м/с

4с – 0.03 м/с

5с – 0.01 м/с

24см=0.24м

Что значит «длина замечания»? Фактически, расстояние от начала до конца, то есть это кратчайшая ПРЯМАЯ. Запишем ее как вектор – получим перемещение.

Ведь перемещение есть вектор, проведенный из начального положение в конечное.

Давай посчитаем, сколько времени директор писал замечание:

(3+4+5=12) с

Значит, мы уже можем найти среднюю скорость по перемещению!

Сделаем это:

({{V}_{cp}}=frac{0.24}{12}=0.02) м/с

Почему там не вектор? Помни: мы не можем приравнивать векторные величины к скалярным. Когда нам сказали, чему равно перемещение, нам дали ДЛИНУ вектора перемещения. А длина есть величина скалярная.

Приступим к средней путевой скорости. Для начала нам нужно найти путь, время у нас уже есть.

Задача 9. В небе летят два вертолёта. Скорость одного из них – 350 км/ч, другого – 400 км/ч. Найти скорость второго вертолёта относительно первого.

Решение:

Вот тебе дело: найди одно очень важное потерянное условие.

Дело в том, что в задаче не сказано, летят ли они в одном направлении или в разных. Рассмотрим оба случая.

Случай 1. Вертолеты движутся в одном направлении.

Давай вспомним главное уравнение:

Всё это, конечно, здорово, но какая скорость абсолютная, а какая переносная?

Давай разбираться.

Переносная скорость – скорость движущейся системы отсчета относительно неподвижной.

В система отсчета, которую требует задача, все происходит относительно первого вертолета. Он – тело отсчета.

Значит, переносная скорость – скорость первого вертолета относительно земли.

Абсолютная скорость – скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчета. То есть это скорость второго вертолета, данная в задаче.

Случай 2. Вертолеты движутся в разных направлениях.

Нарисуем схему снова:

Таким образом, скорость второго вертолета относительно первого равна 50 км/ч, если они движутся в одном направлении, и 750 км/ч, если движутся в разных.

Задача 10. Дядя Стэн, с уверенностью открыв сезон рыбалки, мчится на моторной лодке против течения реки в течение 3 ч и преодолевает 4 км, пока не вспоминает, что забыл дома свой любимый сборник анекдотов. Скорость течения реки – 2.5 км/ч.

Сколько времени понадобится Стэну, чтобы преодолеть то же самое расстояние, возвращаясь обратно?

Решение:

Давай сделаем рисунок. Это в большинстве случаев упрощает задачу!

Сначала нарисуем реку с течением:

А теперь лодку Стэна, которая плывет против течения. Обозначим ее собственную скорость.

Давай посмотрим, как мы можем связать эти две скорости с путем и временем.

Можно объяснять проекциями, а можно просто понять. Куда легче плыть? По течению или против? Конечно, по течению! Оно подгоняет тебя.

В нашей ситуации Стэн сначала плывет против течения. Абсолютная скорость будет меньше собственной скорости лодки, ведь ее тормозит течение.

Хорошо. Посмотрим, что может дать нам вторая часть задачи.

Здесь лодка идет по течению. Уравнение имеет вид:

(frac{L}{{{t}_{2}}}={{V}_{L}}+{{V}_{T}}), где ({{t}_{2}}) — время по течению

36 минут потребуется Стэну, чтобы приплыть обратно.

Задача 11. По узкой лесной тропе колонной длиной в 30 метров идут туристы со скоростью 5 км/ч. Замыкающий посылает одного туриста в начало строя, чтобы тот передал гиду карту местности. Турист бежит в начало строя со скоростью 8 км/ч и, выполнив поручение, тут же бежит обратно с той же скоростью.

Сколько времени потребуется туристу, чтобы добежать до начала строя и вернуться обратно?

Решение: 

Начнем с рисунка. Есть колонна определенной длины (пусть будет l), она движется с определенной скоростью. Из начала выходит турист (Т) и движется с другой скоростью:

Смотри. Пока турист движется, колонна тоже движется. Значит туда он пробежит путь больше, чем обратно:

Выглядит сложно.

Ну да, конечно! Это как идти в школу в соседнем дворе и для этого каждый раз покупать билет в Антарктиду.

Нужно выбрать удобную систему отсчета!

Сделаем так, чтобы колонна была неподвижна. Будем рассматривать все относительно нее. Можно даже представить, что ты один из туристов 🙂

Сделаем другую картинку!

Если ты один из туристов, будет очевидно, что туда и обратно «посыльный» будет двигаться с разной скоростью.

Например, когда ты едешь по шоссе, кто кажется быстрее: машины, которые обгоняют твою или машины, которые едут на встречу? Очевидно, что те, кто едут навстречу.

 Теперь осталось определить, с какой скоростью турист движется туда и обратно.

Изначально он движется с колонной в одном направлении, то есть пытается ее обогнать. Результирующая скорость будет меньше его собственной:

Или приблизительно 44 секунды!

Задача решена! Оказывается, она очень простая, если верно выбрать систему отсчета.

Задачи в плоскости

Задача 12. Индейцы переплывают реку. Один из них, Красный Джо, встает напротив маленького причала и прыгает в воду, начиная плыть в его сторону со скоростью 2 м/с. Расстояние от причала до берега – 120 м. Течение реки имеет скорость 3 км/ч.

Куда на самом деле приплывет Красный Джо, позабывший духовную (и не только) связь своей скорости с рекой, и сколько времени на это уйдет?

Решение.

Итак, в мыслях индейцах он плыл бы так:

И это было бы верно, если бы он плыл в стоячей воде! Но течение изменяет его движение:

Он движется вперед и его еще переносит река! Обозначим расстояние, на которое его перенесет от причала, за Х. Его и нужно найти.

Еще нам дано расстояние до причала. Покажем на рисунке:

Как можно найти Х? Давай посмотрим, как движется тело по горизонтали. Оно просто смещается со скоростью течения, верно?

Для этого нужно понять, что сносить его будет ровно столько времени, сколько он движется вперед.

В задачах на движение не особенно важно (если не сказано иное), какие использовать единицы измерения. Главное, чтобы везде в решении они были одинаковые, например, везде километры или везде метры, везде часы или везде секунды. Как тебе удобно.

3 км/ч примерно равняется 0.83 м/с.

Подставляем значения в формулы:

(X=0.83cdot frac{120}{2}=49.8)м

Найдем время:

(t=frac{120}{2}=60)c

Таким образом, Красному Джо потребуется 1 минута на то, чтобы переплыть реку и оказаться на расстоянии 49.8 метров от причала.

Но есть и другой способ решения, если этот кажется тебе подозрительно легким 🙂

Попробуем решить эту задачу геометрией!

Вектор скорости течения параллелен отрезку Х, который нам нужно найти. Давай используем параллельный перенос и поставим его в более удобное место:

Сумма векторов скорости Красного Джо и течения даст нам абсолютную скорость – скорость, с которой тело движется относительно берега.

Вектор абсолютной скорости будет лежать на пунктире, конец которого – положение Джо после преодоления реки.

А теперь рассмотрим подобные треугольники:

Теперь запишем для них уравнение подобия, используя известные нам величины:

(frac{l}{{{V}_{K}}}=frac{X}{{{V}_{T}}})

Отсюда можем легко найти Х:

(X=frac{lcdot {{V}_{T}}}{{{V}_{K}}})

У нас получилась та же самая формула!

Задача 13. При скорости ветра 12 м/с капли дождя падают под углом 30 градусов к вертикали. При какой скорости ветра они будут падать под углом 45 градусов?

Решение:

Приятно и легко смотреть на дождь в окне. А еще легче решить эту задачу.

Если в физике видишь углы, ты точно будешь использовать тригонометрию. От нее не убежишь.

Начертим рисунок. Прежде всего, у нас есть вектор скорости ветра и какая-то вертикаль:

Как бы падали капли без ветра? Просто вниз:

Для удобства будем рассматривать одну каплю.

В этой задаче ветер можно сравнить с течением реки!  Давай сделаем рисунок по этому сравнению!

Но где тут угол? Все просто: это будет угол вектора суммы! 

Именно этот вектор принадлежит абсолютной скорости – той, что описывает движение капли относительно земли (и вертикали)

Давай разбираться. Скорость капли при отсутствии ветра нам неизвестна.

Не пугайся. Надежда на то, что неизвестные сократятся, всегда умирает последней.

Нам известна скорость ветра. И угол.

Рассмотрим получившийся у нас треугольник: он прямоугольный, его гипотенуза – абсолютная скорость. Она тоже неизвестна.

Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

Заключение

Мы разобрались с самым простым видом движения.

Необходимо очень хорошо разбираться даже в тех вещах, которые кажутся очевидными.

Дальше будет легче, ведь у нас уже есть хорошая база! Теперь будут меняться лишь характеристики движения.

Надеюсь, тебе понравились задачи 🙂

Все ли было понятно? Узнал ли ты что-то, о чем не рассказывали в школе?