Как найти работу если известна скорость - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Сергей Феликсович Савельев

Эксперт по предмету «Физика»

Задать вопрос автору статьи

Скорость физического тела при воздействии на него силы меняется по модулю, т.е. увеличивается или уменьшается.

Определение 1

Работу можно рассматривать как изменение кинетической энергии движущегося тела в результате действия вызвавшей это изменение силы.

В простейшем случае, когда направления движения тела и приложенной к ней силы совпадают, работа прямопропорциональна интенсивности силы и расстоянию, пройденному телом под воздействием этой силы:

$A = F cdot s = m cdot v cdot s$,

где:

$F$ — сила,
$s$ — расстояние,
$m$ — масса,
$v$ — скорость.

В Международной системе СИ работа измеряется в джоулях. Один джоуль равен работе по перемещению тела силой в 1 ньютон на расстояние в 1 метр. Выразив силу через массу и скорость, получим:

$Дж = кг cdot frac{м}{с^2} cdot м = frac{кг cdot м^2}{с^2}$

На практике направления векторов движения тела и совершающей работу силы могут не совпадать. В таких случаях элементарную (выполненную на бесконечно малом, неотличимом от прямой участке траектории) работу удобно выражать как скалярное произведение векторов силы и элементарного перемещения точки по траектории. В пространственной системе координат это можно записать как

$delta A = F_x cdot dx + F_y cdot dy + Fz cdot dz$

, где $F_x, F_y, F_z$ — проекции силы на координатные оси, $dx, dy, dz$ — соответствующие изменения вектора траектории.

Угол между векторами силы и перемещения показывает ускоряющим или замедляющим является воздействие. Если угол острый — работа положительна, при тупом угле она, соответственно, отрицательна.

Представив расстояние как произведение скорости на время, можно найти соотношение между элементарной работой и импульсом:

$delta A = bar{F} cdot bar{v} cdot dt = bar{v} cdot dp $

, где $v$ — скорость, $dt$ — промежуток времени, за который совершается работа, $dp$ — изменение импульса тела за этот промежуток.

Если на физическое тело действуют сразу несколько сил, то следует провести векторное суммирование элементарных работ всех сил. При этом векторная сумма сил, действующих внутри тела, принимается равной нулю.

Работа для вращающегося тела определяется по формуле:

$delta A = bar{M} cdot bar{omega} cdot dt = bar{M} cdot dbar{phi}$

, где $bar{M}$ — совокупный вращающий момент действующих на тело сил, $bar{omega}$ — мгновенная угловая скорость, $dbar{phi}$ — элементарный вектор поворота.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Сила, перемещающая тело, совершает работу. Работа – это разность энергии тела в начале процесса и в его конце. А мощность – это работа за одну секунду. Коэффициент полезного действия (КПД) – это дробное число. Максимальный КПД равен единице, однако, часто, КПД меньше единицы.

Работы силы, формула

Сила, приложенная к телу и перемещающая его, совершает работу (рис. 1).

Рис. 1. Сила перемещает тело и совершает работу

Работа силы — это скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения.

Работу, совершаемую силой, можно посчитать, используя векторный или скалярный вид записи такой формулы:

Векторный вид записи

[ large boxed{ A = left( vec{F} , vec{S} right) }]

Для решения задач правую часть этой формулы удобно записывать в скалярном виде:

[ large boxed{ A = left| vec{F} right| cdot left| vec{S} right| cdot cos(alpha) }]

( F left( H right) ) – сила, перемещающая тело;

( S left( text{м} right) ) – перемещение тела под действием силы;

( alpha ) – угол между вектором силы и вектором перемещения тела;

Работу обозначают символом (A) и измеряют в Джоулях. Работа – это скалярная величина.

В случае, когда сила постоянная, формула позволяет рассчитать работу, совершенную силой за полное время ее действия.

Если сила изменяется со временем, то в каждый конкретный момент времени будем получать мгновенную работу. Эти, мгновенные значения для разных моментов времени будут различаться.

Рассмотрим несколько случаев, следующих из формулы:

Когда угол между силой и перемещением острый, работа силы положительная;
А если угол тупой — работа отрицательная, так как косинус тупого угла отрицательный;
Если же угол прямой – работа равна нулю. Сила, перпендикулярная перемещению, работу не совершает!

Работа — разность кинетической энергии

Работу можно рассчитать еще одним способом — измеряя кинетическую энергию тела в начале и в конце процесса движения. Рассмотрим такой пример. Пусть автомобиль, движется по горизонтальной прямой и, при этом увеличивает свою скорость (рис. 2). Масса автомобиля 1000 кг. В начале его скорость равнялась 1 м/с. После разгона скорость автомобиля равна 10 метрам в секунду. Найдем работу, которую пришлось проделать, чтобы ускорить этот автомобиль.

Рис. 2. Автомобиль движется прямолинейно и увеличивает свою скорость

Для этого посчитаем энергию движения автомобиля в начале и в конце разгона.

( E_{k1} left(text{Дж} right) ) – начальная кинетическая энергия машины;

( E_{k2} left(text{Дж} right) ) – конечная кинетическая энергия машины;

( m left( text{кг}right) ) – масса автомобиля;

( displaystyle v left( frac{text{м}}{c}right) ) – скорость, с которой машина движется.

Кинетическую энергию будем вычислять, используя формулу:

[ large E_{k} = m cdot frac{v^{2}}{2} ]

[ large E_{k1} = 1000 cdot frac{1^{2}}{2} = 500 left(text{Дж} right) ]

[ large E_{k2} = 1000 cdot frac{10^{2}}{2} = 50000 left(text{Дж} right) ]

Теперь найдем разницу кинетической энергии в конце и вначале разгона.

[ large boxed{ A = Delta E_{k} }]

[ large Delta E_{k} = E_{k2} — E_{k1} ]

[ large Delta E_{k} = 50000 – 500 = 49500 left(text{Дж} right) ]

Значит, работа, которую потребовалось совершить, чтобы разогнать машину массой 1000 кг от скорости 1 м/с до скорости 10 м/с, равняется 49500 Джоулям.

Примечание: Работа – это разность энергии в конце процесса и в его начале. Можно находить разность кинетической энергии, а можно — разность энергии потенциальной.

[ large boxed{ A = Delta E }]

Работа силы тяжести — разность потенциальной энергии

Рассмотрим теперь следующий пример. Яблоко массой 0,2 кг упало на садовый стол с ветки, находящейся на высоте 3 метра от поверхности земли. Столешница располагается на высоте 1 метр от поверхности (рис. 3). Найдем работу силы тяжести в этом процессе.

Рис. 3. На рисунке указано начальное 1 положение тела (яблока) и его конечное 2 положение, отмечены высоты для подсчета работы по вертикальному перемещению тела

Посчитаем потенциальную энергию яблока до его падения и энергию яблока на столешнице.

( E_{p1} left(text{Дж} right) ) – начальная потенциальная энергия яблока;

( E_{p2} left(text{Дж} right) ) – конечная потенциальная энергия яблока;

Примечание: Работу можно рассчитать через разность потенциальной энергии тела.

Потенциальную энергию будем вычислять, используя формулу:

[ large E_{p} = m cdot g cdot h]

( m left( text{кг}right) ) – масса яблока;

Величина ( displaystyle g approx 10 left(frac{text{м}}{c^{2}} right) ) – ускорение свободного падения.

( h left( text{м}right) ) – высота, на которой находится яблоко относительно поверхности земли.

Начальная высота яблока над поверхностью земли равна 3 метрам

[ large E_{p2} = 0,2 cdot 10 cdot 3 = 6 left(text{Дж} right) ]

Потенциальная энергия яблока на столе

[ large E_{p1} = 0,2 cdot 10 cdot 1 = 2 left(text{Дж} right) ]

Теперь найдем разницу потенциальной энергии яблока в конце падения и перед его началом.

[ large Delta E_{p} = E_{p2} — E_{p1} ]

[ large Delta E_{p} = 2 – 6 = — 4 left(text{Дж} right) ]

Важно помнить: Когда тело падает на землю, его потенциальная энергия уменьшается. Сила тяжести при этом совершает положительную работу!

Чтобы работа получилась положительной, в правой части формулы перед ( Delta E_{p}) дополнительно допишем знак «минус».

[ large boxed{ A = — Delta E_{p} }]

Значит, работа, которую потребовалось совершить силе тяжести, чтобы яблоко массой 0,2 кг упало с высоты 3 м на высоту 1 метр, равняется 4 Джоулям.

Примечания:

Если тело падает на землю, работа силы тяжести положительна;
Когда мы поднимаем тело над землей, мы совершаем работу против силы тяжести. Наша работа при этом положительна, а работа силы тяжести будет отрицательной;
Сила тяжести относится к консервативным силам. Для консервативных сил перед разностью потенциальной энергии мы дописываем знак «минус»;
Работа силы тяжести не зависит от траектории, по которой двигалось тело;
Работа для силы (displaystyle F_{text{тяж}}) зависит только от разности высот, в которых тело находилось в конечный и начальный моменты времени.

Рисунок 4 иллюстрирует факт, что для силы (displaystyle F_{text{тяж}}) работа зависит только от разности высот и не зависит от траектории, по которой тело двигалось.

Рис. 4. Разность высот между начальным и конечным положением тела во всех случаях на рисунке одинакова, поэтому, работа силы тяжести для представленных случаев будет одинаковой

Мощность

В механике мощность часто обозначают символами N или P и измеряют в Ваттах в честь шотландского изобретателя Джеймса Уатта.

Примечание: Символ (vec{N}) используется для обозначения силы реакции опоры — она измеряется в Ньютонах и является векторной величиной. Чтобы не возникло путаницы, мощность вместо N будем обозначать символом P. Символ P – первая буква в английском слове power – мощность.

Мощность – это работа, совершенная за одну секунду (энергия, затраченная за 1 сек).

Расчет работы осуществляем, используя любую из формул:

[ large A = Delta E_{k} ]

[ large A = Delta E_{p} ]

[ large A = F cdot S cdot cos(alpha) ]

Разделив эту работу на время, в течение которого она совершалась, получим мощность.

[ large boxed{ P = frac{A}{Delta t} }]

Если работа совершалась равными частями за одинаковые интервалы времени – мощность будет постоянной величиной.

Мощность переменная, когда в некоторые интервалы времени совершалось больше работы.

Еще одна формула для расчета мощности

Есть еще один способ расчета мощности, когда сила перемещает тело и при этом скорость тела не меняется:

[ large P = left( vec{F} , vec{v} right) ]

Формулу можно записать в скалярном виде:

[ large P = left| vec{F} right| cdot left| vec{v} right| cdot cos(alpha) ]

( F left( H right) ) – сила, перемещающая тело;

( displaystyle v left( frac{text{м}}{c} right) ) – скорость тела;

( alpha ) – угол между вектором силы и вектором скорости тела;

Когда векторы (vec{F}) и (vec{v}) параллельны, запись формулы упрощается:

[ large boxed{ P = F cdot v }]

Примечание: Такую формулу для расчета мощности можно получить из выражения для работы силы, разделив обе части этого выражения на время, в течение которого работа совершалась (а если точнее, найдя производную обеих частей уравнения).

КПД

КПД – коэффициент полезного действия. Обычно обозначают греческим символом (eta) «эта». Единиц измерения не имеет, выражается либо десятичной дробью, либо в процентах.

Примечания:

Процент – это дробь, у которой в знаменателе число 100.
КПД — это либо правильная дробь, или дробь, равная единице.

Вычисляют коэффициент (eta) для какого-либо устройства, механизма или процесса.

[ large boxed{ eta = frac{ A_{text{полезная}}}{ A_{text{вся}}} }]

(eta) – КПД;

( large A_{text{полезная}} left(text{Дж} right)) – полезная работа;

(large A_{text{вся}} left(text{Дж} right)) – вся затраченная для выполнения работы энергия;

Примечание: КПД часто меньше единицы, так как всегда есть потери энергии. Коэффициент полезного действия не может быть больше единицы, так как это противоречит закону сохранения энергии.

[ large boxed{ eta leq 1 }]

Величина (eta) является дробной величиной. Если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число, полученная дробь будет равна исходной. Используя этот факт, можно вычислять КПД, используя мощности:

[ large boxed{ eta = frac{ P_{text{полезная}}}{ P_{text{вся затраченная}}} }]

Выводы

Сила, приложенная к телу и перемещающая его, совершает работу;
Когда угол между силой и перемещением острый, работа силы положительная, а если угол тупой — работа отрицательная; Если же угол прямой – работа равна нулю. Сила, перпендикулярная перемещению, работу не совершает!
Работу можно вычислить, измеряя кинетическую энергию тела в начале и в конце его движения;
Вычислить работу можно через разность потенциальной энергии тела в начальной и в конечной высотах над землей;
Когда тело падает на землю, его потенциальная энергия уменьшается. Сила тяжести при этом совершает положительную работу!
Мы совершаем работу против силы тяжести, когда поднимаем тело над землей. При этом наша работа положительная, а работа силы тяжести — отрицательная;
Сила тяжести — это консервативная сила. Поэтому, работа силы (displaystyle F_{text{тяж}}) не зависит от траектории, по которой двигалось тело, а зависит только от разности высот, в которых тело находилось в конечный и начальный моменты времени;
Мощность – это работа, совершенная за одну секунду, или затраченная за 1 сек. энергия;
Коэффициент полезного действия обозначают греческим символом (eta) «эта», единиц измерения не имеет, выражается либо десятичной дробью, либо в процентах;
КПД — это либо правильная дробь, или дробь, равная единице.
Можно вычислять КПД, подставляя в формулу работу, или мощности

Источник

Загрузить PDF

В физике понятие «работа» имеет другое определение, чем то, которое используется в повседневной жизни. В частности, термин «работа» используется, когда физическая сила заставляет объект перемещаться. В общем, если мощная сила заставляет объект перемещаться очень далеко, то выполняется много работы. И если сила — небольшая или объект не перемещается очень далеко, — то только небольшая работа. Сила может быть рассчитана по формуле: Работа = F × D × косинус(θ), где F = сила (в Ньютонах), D = смещение (в метрах), и θ = угол между вектором силы и направлением движения.

1
Найдите направление вектора силы и направление движения. Чтобы начать, важно сначала определить в каком направлении движется объект, а также откуда применяется сила. Имейте в виду, что объекты не всегда движутся в соответствии с силой, приложенной к ним, — например, если вы потяните небольшую тележку за ручку, то вы применяете диагональную силу (если вы выше, чем тележка), чтобы переместить ее вперед. В этом разделе, однако, мы будем иметь дело с ситуациями, в которых сила (усилие) и перемещение объекта имеют одинаковое направление. Для получения информации о том, как найти работу, когда эти предметы не имеют одинакового направления, читайте ниже.
- Чтобы сделать этот процесс легким для понимания, давайте следовать примеру задачи. Скажем, игрушечный вагон тянется прямо вперед поездом перед ним. В этом случае вектор силы и направление движения поезда указывают на одинаковый путь — вперед. В следующих шагах мы будем использовать эту информацию, чтобы помочь найти работу, выполненную объектом.
2
Найдите смещение объекта. Первую переменную D или смещение, которая нам нужна для формулы работы, как правило, легко найти. Смещение — это просто расстояние, на которое сила заставила объект переместиться от его исходного положения. В учебных задачах эта информация, как правило, либо дана (известна), либо ее можно вывести (найти) из другой информации в задаче. В реальной жизни все, что вам нужно сделать, чтобы найти смещение, это измерить расстояние движения объектов.
- Обратите внимание, что единицы измерения расстояния должны быть в метрах в формуле для вычисления работы.
- В нашем примере игрушечного поезда, предположим, что находим работу, выполненную поездом, когда он проходит по трассе. Если он стартует в определенной точке и останавливается в месте около 2 метров по трассе, то мы можем использовать 2 метра для нашего значения «D» в формуле.
3
Найдите силу, применяющуюся к объекту. Далее найдите величину силы, которая используется для перемещения объекта. Это является мерой «прочности» силы — чем больше ее величина, тем сильнее она толкает объект и тем быстрее он ускоряет свой ход.^[1] Если величина силы не предусмотрена, ее можно вывести из массы и ускорения перемещения (при условии, что нет других конфликтующих сил, действующих на него) с помощью формулы F = M × A.^[2]
- Обратите внимание, что единицы измерения силы должны быть в Ньютонах для вычисления формулы работы.
- В нашем примере, предположим, что не знаем величину силы. Тем не менее, давайте допустим, что знаем, что игрушечный поезд имеет массу 0,5 кг и что сила заставляет его ускоряться со скоростью 0,7 метров/секунду². В этом случае можем найти величину путем умножения M × A = 0.5 × 0.7 = 0.35 Ньютон.
4
Умножьте Сила× Расстояние. После того, как узнаете величину силы, действующую на ваш объект, и расстояние, на которое он был перемещен, остальное будет сделать легко. Просто умножьте эти два значения друг на друга, чтобы получить значение работы.
- Пора решить наш пример задачи. При значении силы 0,35 Ньютон и значении смещения — 2 метра, наш ответ является вопросом простого умножения: 0.35 × 2 = 0.7 Джоулей.
- Вы, возможно, заметили, что в формуле, приведенной в введении, есть дополнительная часть к формуле: косинус (θ). Как обсуждалось выше, в этом примере сила и направление движения применяются в одном направлении. Это означает, что угол между ними равен 0^o. Поскольку косинус (0) = 1, то мы не должны включать его — мы просто умножаем на 1.
5
Обозначьте ответ в Джоулях. В физике значения работы (и нескольких других величин) почти всегда даются в единице измерения, которая называется Джоуль. Один джоуль определяется как 1 Ньютон силы применяющейся на 1 метр, или другими словами, 1 Ньютон × метр.^[3] Это имеет смысл, — так как вы умножаете расстояние на силу, это логично, что ответ, который вы получите, будет иметь единицу измерения, равную умножению единицы величины вашей силы и расстояния.
- Обратите внимание, что Джоуль также имеет альтернативное определение — 1 Ватт мощности, излучаемой за одну секунду.^[4] Читайте ниже о более детальном обсуждении мощности и ее соотношении к работе.
Реклама

1
Найдите силу и смещение, как обычно. Выше мы имели дело с задачей, в которой объект движется в том же направлении, что и сила, которая прилаживается к нему. На самом деле не всегда так бывает. В тех случаях, когда сила и движение объекта находятся в двух разных направлениях, разница между этими двумя направлениями также должна быть учтена в уравнении для получения точного результата. Для начала найдите величину силы и смещения объекта, как вы это обычно делаете.
- Давайте посмотрим на другой пример задачи. В этом случае, предположим, что мы тянем игрушечный поезд вперед, как в примере задачи выше, но, на этот раз мы на самом деле тянем вверх под диагональным углом. В следующем шаге будем принимать это во внимание, но сейчас будем придерживаться основ: перемещения поезда и величины силы, действующей на него. Для наших целей, скажем, сила имеет величину 10 Ньютон и что он проехал те же 2 метра вперед, как раньше.
2
Найдите угол между вектором силы и перемещением. В отличие от приведенных выше примеров с силой, которая находится в другом направлении, чем движение объекта, необходимо найти разницу между этими двумя направлениями в виде угла между ними. Если эта информация не предоставляется вам, то возможно, потребуется измерить угол самостоятельно или вывести его из другой информации в задаче.
- В нашем примере задачи, предположим, что сила, которая применяется, равна приблизительно 60^o выше горизонтальной плоскости. Если поезд все еще движется прямо вперед (то есть, по горизонтали), то угол между вектором силы и движения поезда будет равен 60^o.
3
Умножьте Force × Distance × Cosine(θ). После того, как узнаете смещение объекта, величину силы, действующей на него, и угол между вектором силы и его движением, решение почти такое же легкое, как и без того, чтобы принимать угол во внимание. Просто возьмите косинус угла (для этого может потребоваться научный калькулятор) и умножьте его на силу и перемещение, чтобы найти ответ на свою задачу в Джоулях.
- Решим пример нашей задачи. С помощью калькулятора находим, что косинус 60^o равен 1/2. Включив это в формулу, можем решить задачу следующим образом: 10 Ньютонов × 2 метра × 1/2 = 10 Джоулей.
Реклама

1
Измените формулу, чтобы найти расстояние, силу или угол. Формула работы, указанная выше, является не просто полезной для нахождения работы — она также ценна для нахождения любых переменных в уравнении, когда вы уже знаете значение работы. В этих случаях просто выделите переменную, которую ищете, и решите уравнение в соответствии с основными правилами алгебры.
- Например, предположим, что мы знаем, что наш поезд тянут с силой в 20 Ньютон под диагональным углом более 5 метров пути для выполнения 86,6 Джоулей работы. Тем не менее, мы не знаем, угла вектора силы. Чтобы найти угол, мы просто выделим эту переменную и решим уравнение следующим образом:
  
  86.6 = 20 × 5 × Косинус(θ)
  
  86.6/100 = Косинус(θ)
  
  Arccos(0.866) = θ = 30^o
2
Разделите на время, проведенное в движении, чтобы найти мощность. В физике работа тесно связана с другим типом измерения под названием «мощность». Мощность — это просто способ определения количества скорости, с которой работа проводится в определенной системе в течение долгого периода времени. Таким образом, чтобы найти мощность, все, что вам нужно сделать, это разделить работу, используемую для перемещения объекта на время, которое требуется для завершения перемещения. Измерения мощности обозначаются в единицах — Вт (которые равны Джоуль/секунду).^[5]
- Например, для примера задачи в указанном выше шаге, предположим, что перемещение поезда на 5 метров заняло 12 секунд. В этом случае, все, что нужно сделать, это разделить работу, выполненную для перемещения его на 5 метров (86,6 Дж), на 12 секунд, чтобы найти ответ для вычисления мощности: 86.6/12 = ‘7.22 Вт.
3
Используйте формулу TME_i + W_nc = TME_f, чтобы найти механическую энергию в системе. Работа также может быть использована, чтобы найти количество энергии, содержащееся в системе. В приведенной выше формуле TME_i = начальная полная механическая энергия в системе TME_f = окончательная полная механическая энергия в системе и W_nc = работа, выполненная в системах связи за счет не-консервативных сил.^[6]. В этой формуле, если сила применяется в направлении движения, то она — положительная, а если давит на (против) него, то она — отрицательная. Заметим, что обе переменные энергии можно найти по формуле (½)mv², где m = масса и V = объем.
- Например, для примера задачи в двух шагах выше, предположим, что поезд изначально имел общую механическую энергию 100 Дж. Поскольку сила в задаче тянет поезд в направлении, которое он уже проходил, она — положительная. В этом случае конечная энергия поезда — TME_i + W_nc = 100 + 86.6 = 186.6 Дж.
- Обратите внимание, что не-консервативные силы — это силы, чья мощность для воздействия на ускорение объекта зависит от пути, пройденного объектом. Трение является хорошим примером — объект, который толкнули по короткому, прямому пути, будет ощущать последствия трения в течение короткого времени, в то время как объект, который толкнули по длинному, извилистому пути к такому же конечному местонахождению, в целом будет ощущать больше трения.
Реклама

Советы

Если вам удастся решить задачу, то улыбнитесь и порадуйтесь за себя!
Тренируйтесь в решении как можно большего числа задач, это гарантирует полное понимание.
Продолжайте практиковаться, и пробуйте снова, если вам не удастся в первый раз.
Изучите следующие моменты, касающиеся работы:
- Работа, проделанная силой, может быть либо положительной, либо отрицательной. (В этом смысле термины «положительные или отрицательные» несут свой математический смысл, а обычное значение).
- Выполненная работа является отрицательной, когда сила действует в противоположном к перемещению направлении.
- Выполненная работа является положительной, когда сила действует в направлении перемещения.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 11 098 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Содержание:

Определение и формула работы
Элементарная работа
Работа силы на конечном участке траектории
Единицы измерения работы
Примеры решения задач

Определение и формула работы

Определение

В том случае, если под воздействием силы происходит изменение модуля скорости движения тела, то говорят о том, что сила
совершает работу. Считают, что если скорость увеличивается, то работа является положительной, если скорость уменьшается,
то работа, которую совершает сила – отрицательна. Изменение кинетической энергии материальной точки в ходе ее движения
между двумя положениями равно работе, которую совершает сила:

$$A=Delta E_{k}=frac{m v_{2}^{2}}{2}-frac{m v_{1}^{2}}{2}(1)$$

Действие силы на материальную точку можно охарактеризовать не только с помощью изменения скорости движения тела, но при помощи
величины перемещения, которое совершает рассматриваемое тело под действием силы
($bar{F}$).

Элементарная работа

Элментарная реабота $(delta A)$ некоторой силы
$bar{F}$ определяется как скалярное произведение:

$$delta A=bar{F} cdot d bar{r}=F cdot d s cdot cos alpha(2)$$

$bar{r}$ радиус – вектор точки, к которой приложена сила,
$bar{r}$ —
элементарное перемещение точки по траектории,
$alpha$ – угол между векторами
$d s=|d bar{r}|$ и $d bar{r}$. Если
$alpha$ является тупым углом работа меньше нуля, если угол
$alpha$ острый, то работа положительная, при
$alpha=frac{pi}{2} delta A=0$

В декартовых координатах формула (2) имеет вид:

$$delta A=F_{x} d x+F_{y} d y+F_{z} d z(3)$$

где F_x,F_y,F_z – проекции вектора
$bar{F}$ на декартовы оси.

При рассмотрении работы силы, приложенной к материальной точке можно использовать формулу:

$$delta A=bar{F} bar{v} d t=bar{v} d bar{p}(4)$$

где $bar{v}$ – скорость материальной точки,
$bar{p}$ – импульс материальной точки.

Если на тело (механическую систему) действуют несколько сил одновременно, то элементарная работа, которую совершают эти силы над системой, равна:

$$delta A=sum_{i=1}^{n} delta A_{i}=sum_{i=1}^{n} bar{F}_{i} d bar{r}_{i}=sum_{i=1}^{n} bar{F}_{i} bar{v}_{i} d t(5)$$

где проводится суммирование элементарных работ всех сил, dt – малый промежуток времени, за который совершается элементарная работа
$delta$ над системой.

Результирующая работа внутренних сил, даже если твердое тело движется, равна нулю.

Пусть твердое тело вращается около неподвижной точки — начала координат (или неподвижной оси, которая проходит через эту точку).
В таком случае, элементарная работа всех внешних сил (допустим, что их число равно n), которые действуют на тело, равна:

$$delta A=bar{M} bar{omega} d t=bar{M} d bar{varphi}(6)$$

где $bar{M}$ – результирующий момент сил относительно точки вращения,
$d bar{varphi}$ – вектор элементарного поворота,
$bar{w}$ – мгновенная угловая скорость.

Работа силы на конечном участке траектории

Если сила выполняет работу по перемещению тела на конечном участке траектории его движения, то работа может быть найдена как:

$$A=int_{0}^{s} bar{F} cdot d bar{r}(7)$$

В том случае, если вектор силы – величина постоянная на всем отрезке перемещения, то:

$$A=F_{tau} cdot s$$

где $F_{tau}=F cos alpha$ – проекция силы на касательную к траектории.

Единицы измерения работы

Основной единицей измерения момента работы в системе СИ является: [A]=Дж=Н•м

В СГС: [A]=эрг=дин•см

1Дж=10⁷ эрг

Примеры решения задач

Пример

Задание. Материальная точка движется прямолинейно (рис.1) под воздействием силы, которая задана
уравнением: $F=C sqrt{s}(C=$ const $)$ . Сила направлена по движению материальной точки.
Чему равна работа данной силы на отрезке пути от s=0 до s=s₀?

Решение. За основу решения задачи примем формулу расчёта работы вида:

$$A=int_{0}^{s_{0}} F cos alpha d s(1.1)$$

где $alpha = 0$, та как по условию задачи
$bar{F} uparrow uparrow bar{s}$ . Подставим выражение для модуля силы заданное условиями, возьмем интеграл:

$$A=int_{0}^{s_{0}} F d s=int_{0}^{s_{0}} C sqrt{s} d s=frac{2}{3} C s^{frac{3}{2}}$$

Ответ. $A=frac{2}{3} C s^{frac{3}{2}}$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Материальная точка перемещается по окружности. Ее скорость изменяется в соответствии с
выражением: $v sim t^{2}$ . При этом работа силы, которая действует на точку,
пропорциональна времени: $A sim t^{n}$ . Каково значение n?

Решение. В качестве основы для решения задачи используем формулу:

$$delta A=bar{F} bar{v} d t=mleft(bar{a}_{n}+bar{a}_{tau}right) bar{v} d t=m bar{a}_{n} bar{v} d t+m bar{a}_{tau} bar{v} d t(2.1)$$

Зная зависимость скорости от времени найдем связь тангенциальной составляющей ускорения и времени:

$$a_{tau}=frac{d v}{d t} sim t(2.2)$$

Нормальная составляющая ускорения будет иметь вид:

$$a_{n}=frac{v^{2}}{R} sim t^{4}(2.3)$$

При движении по окружности нормальная составляющая ускорения будет всегда перпендикулярна вектору скорости, следовательно, вклад в
произведение силы на скорость будет вносить только тангенциальная составляющая, то есть выражение (2.1) преобразуется к виду:

$$delta A=m bar{a}_{tau} bar{v} d t=m a_{tau} v d t(2.5)$$

Выражение для работы найдем как:

$$A=C int_{0}^{t} t cdot t^{2} d t sim t^{4}$$

Ответ. n=4

Читать дальше: Формула силы Ампера.

Источник

Цели:

сформировать представление о величине
«производительность», выявить зависимость между
величинами: объем выполненной работы (А),
производительность (V) и время (t), построить
формулу работы А = V * t, V = A : t, t = A : V.
повторить и закрепить решение примеров на
порядок действий, соотношение между единицами
дины, времени, массы.

ХОД УРОКА

– Кто из Вас знает, кем работают ваши родители и
на каком предприятии они трудятся?
– А кто из Вас знает пословицы о труде?

Работа силушку копит, а лень ее топит.
Под лежачий камень вода не течет.
Трудолюбив, как муравей.
Не спеши языком, торопись делом.
Кто мало говорит, тот много делает.
Без труда не вытащишь рыбку из пруда.
Рабочие руки не знают скуки.
Дело мастера боится.
Всякое умение трудом дается.
Без труда нет добра.
Без труда день годом станет.
Горька работа, да сладок мед.

II. Актуализация знаний

(На доске таблица и формулы. Дети придумывают
задачи и решают устно)

S	V	t
? км	60 км/ч	4 ч
720 км	? км/ч	6 ч
57 км	19 км/ч	? ч

– Найдите среди формул те, которые показывают,
как найти неизвестные значения пути, скорости и
времени. (Формулы выставляются на доске и
комментируются)
– А зачем вообще нужны формулы? (Показывают,
как решать похожие между собой задачи).
– Подберите формулы для решения первой задачи.
(S = V * t)
– Придумайте по этой формуле задачу, аналогичную
первой задачи.
– Запишите формулу, подходящую к задаче: «Один
всадник проскакал 70 км за 2 ч, а второй – 90 км за 3
ч. Какой из них скакал быстрее?» (V = S: t)
– Решите эту задачу, пользуясь формулой.
(1. 70 : 2 = 35 (км/ч) – скорость первого всадника.
2. 90 : 3 = 30 (км/ч) – скорость второго всадника.
3. 35 км/ч > 30 км/ч => 1 всадник скакал быстрее)

III. Постановка проблемы

– Подберите формулу к задаче: «Один мастер
сделал 2 детали за 4 часа, а второй – 21 деталь
за 3 часа. Кто из них работал быстрее?» (Подходящей
формулы среди данных нет)
– Сформулируйте цель урока –
установить, какие величины описывают процесс
выполнения работы, и установить взаимосвязь
между ними.
– Тема урока – Формула работы.

IV. «Открытие» детьми нового знания.

– О каких величинах идет речь в последней
задаче – о площади, объеме, пройденном пути? (Нет.
В задаче говориться о количестве деталей,
сделанных рабочими, о скорости и времени их
работы).
– Как найти скорость работы мастеров? (Надо
количество сделанных деталей разделить на время
работы).
– Скорость работы называют производительностью
и обозначают (V), всю выполненную работу – А, время
работы – t.
– Попробуйте установить взаимосвязь между этими
величинами. (А = V * t, V = A : t, t = A : V)
– Теперь, зная формулу работы, давайте решим
задачу.

V = A : t
1. 24 : 4 = 6 (дет./ч) – производительность первого
мастера.
2. 21 : 3 = 7 (дет./ч) – производительность второго
мастера.
3. Второй мастер работал быстрее.

Практическая работа на производительность

– Решите устно в течение 2 минут следующие
уравнения.

9 + х =
12
х – 27 =
8                    5
* х = 25
8 * х =
480
52 : х =
13                   420
: х = 7
40 – х =
12
х : 19 =
4                     800
+ х = 823
90 : х =
5
34 – х =
17                  х
– 36 = 15
х * 50 = 250

           18 + х =
110               х
– 25 = 118

– Давайте проверим количество правильных
ответов и вычислим производительность каждого
из вас.
– Как это сделать? (Количество верных ответов
разделить на 2).
– А какая у вас производительность за урок? (То
что получилось умножить на 45 минут).

Закрепление понятия «производительность»

С. 44, №1

V. Первичное закрепление

С.44, №2
С. 44, №3
С.44, №4 (а)

VI. Самостоятельная работа с самопроверкой
по эталону

С.44, №4 (б).

VII. Закрепление пройденного

С.45, №10 (а)

VIII. Итог

– Что сегодня на уроке было самым интересным?
– Что сегодня на уроке было главным?
– Где нам могут пригодиться эти знания?
– Какую поговорку выберем своим девизом?

IX. Домашнее задание

С.44, №5 и №7

Приложение 1

Источник