Как найти работу если процесс не изобарный

Работа в термодинамике

При рассмотрении термодинамических процессов механическое перемещение макротел в целом не рассматривается. Понятие работы здесь связывается с изменением объема тела, т.е. перемещением частей макротела друг относительно друга. Процесс этот приводит к изменению расстояния между частицами, а также часто к изменению скоростей их движения, следовательно, к изменению внутренней энергии тела.

Пусть в цилиндре с подвижным поршнем находится газ при температуре T₁ (рис. 1). Будем медленно нагревать газ до температуры T₂. Газ будет изобарически расширяться, и поршень переместится из положения 1 в положение 2 на расстояние Δl. Сила давления газа при этом совершит работу над внешними телами. Так как p = const, то и сила давления F = pS тоже постоянная. Поэтому работу этой силы можно рассчитать по формуле

(~A = F Delta l = pS Delta l = p Delta V, qquad (1))

где ΔV — изменение объема газа. Если объем газа не изменяется (изохорный процесс), то работа газа равна нулю.

Сила давления газа выполняет работу только в процессе изменения объема газа.

При расширении (ΔV > 0) газа совершается положительная работа (А > 0); при сжатии (ΔV < 0) газа совершается отрицательная работа (А < 0), положительную работу совершают внешние силы А’ = —А > 0.

Запишем уравнение Клапейрона—Менделеева для двух состояний газа:

(~pV_1 = frac mM RT_1 ; pV_2 = frac mM RT_2 Rightarrow)

(~p(V_2 — V_1) = frac mM R(T_2 — T_1) .)

Следовательно, при изобарном процессе

(~A = frac mM R Delta T .)

Если m = М (1 моль идеального газа), то при ΔΤ = 1 К получим R = A. Отсюда вытекает физический смысл универсальной газовой постоянной: она численно равна работе, совершаемой 1 моль идеального газа при его изобарном нагревании на 1 К.

На графике p = f(V) при изобарном процессе работа равна площади заштрихованного на рисунке 2, а прямоугольника.

Если процесс не изобарный (рис. 2, б), то кривую p = f(V) можно представить как ломаную, состоящую из большого количества изохор и изобар. Работа на изохорных участках равна нулю, а суммарная работа на всех изобарных участках будет

(~A = lim_{Delta V to 0} sum^n_{i=1} p_i Delta V_i), или (~A = int p(V) dV,)

т.е. будет равна площади заштрихованной фигуры. При изотермическом процессе (Т = const) работа равна площади заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке 2, в.

Определить работу, используя последнюю формулу, можно только в том случае, если известно, как изменяется давление газа при изменении его объема, т.е. известен вид функции p(V).

Таким образом, газ при расширении совершает работу. Приборы и агрегаты, действия которых основаны на свойстве газа в процессе расширения совершать работу, называются пневматическими. На этом принципе действуют пневматические молотки, механизмы для закрывания и открывания дверей на транспорте и др.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — C. 155-156.

Первый закон термодинамики

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: работа в термодинамике, первый закон термодинамики, адиабатный процесс.

Начнём с обсуждения работы газа.

Газ, находящийся в сосуде под поршнем, действует на поршень с силой , где — давление газа, — площадь поршня. Если при этом поршень перемещается, то газ совершает работу.

При расширении газа эта работа будет положительной (сила давления газа и перемещение поршня направлены в одну сторону). При сжатии работа газа отрицательна (сила давления газа и перемещение поршня направлены в противоположные стороны).

к оглавлению ▴

Работа газа в изобарном процессе

Предположим, что газ расширяется при постоянном давлении . Тогда сила , с которой газ действует на поршень, также постоянна. Пусть поршень переместился на расстояние (рис. 1).

Рис. 1.

Работа газа равна:

Но — изменение объёма газа. Поэтому для работы газа при изобарном расширении мы получаем формулу:

(1)

Если и — начальный и конечный объём газа, то для работы газа имеем: . Изобразив данный процесс на -диаграмме, мы видим, что работа газа равна площади прямоугольника под графиком нашего процесса (рис. 2).

Рис. 2. Работа газа как площадь

Пусть теперь газ изобарно сжимается от объёма до объёма . С помощью аналогичных рассуждений приходим к формуле:

Но , и снова получается формула (1).

Работа газа опять-таки будет равна площади под графиком процесса на -диаграмме, но теперь со знаком минус.

Итак, формула выражает работу газа при постоянном давлении — как в процессе расширения газа, так и в процессе сжатия.

к оглавлению ▴

Работа газа в произвольном процессе

Геометрическая интерпретация работы газа (как площади под графиком процесса на -диаграмме) сохраняется и в общем случае неизобарного процесса.

Действительно, рассмотрим малое изменение объёма газа — настолько малое, что давление будет оставаться приблизительно постоянным. Газ совершит малую работу . Тогда работа газа во всём процессе найдётся суммированием этих малых работ:

Но данный интеграл как раз и является площадью криволинейной трапеции (рис. 3):

Рис. 3. Работа газа как площадь

к оглавлению ▴

Работа, совершаемая над газом

Наряду с работой , которую совершает газ по передвижению поршня, рассматривают также работу , которую поршень совершает над газом.

Если газ действует на поршень с силой , то по третьему закону Ньютона поршень действует на газ с силой , равной силе по модулю и противоположной по направлению: (рис. 4).

Рис. 4. Внешняя сила , действующая на газ

Следовательно, работа поршня равна по модулю и противоположна по знаку работе газа:

Так, в процессе расширения газ совершает положительную работу ; при этом работа, совершаемая над газом, отрицательна . Наоборот, при сжатии работа газа отрицательна , а работа, совершаемая поршнем над газом, положительна 0 right )’ class=’tex’ alt=’left ( {A}’ > 0 right )’ />.

Будьте внимательны: если в задаче просят найти работу, совершённую над газом, то имеется в виду работа .

Как мы знаем, существует лишь два способа изменения внутренней энергии тела: теплопередача и совершение работы.

Опыт показывает, что эти способы независимы — в том смысле, что их результаты складываются. Если телу в процессе теплообмена передано количество теплоты , и если в то же время над телом совершена работа , то изменение внутренней энергии тела будет равно:

(2)

Нас больше всего интересует случай, когда тело является газом. Тогда (где , как всегда, есть работа самого газа). Формула (2) принимает вид: , или

(3)

Соотношение (3) называется первым законом термодинамики. Смысл его прост: количество теплоты, переданное газу, идёт на изменение внутренней энергии газа и на совершение газом работы.

Напомним, что величина может быть и отрицательной: в таком случае тепло отводится от газа. Но первый закон термодинамики остаётся справедливым в любом случае. Он является одним из фундаментальных физических законов и находит подтверждение в многочисленных явлениях и экспериментах.

к оглавлению ▴

Применение первого закона термодинамики к изопроцессам

Напомним, что в изопроцессе остаётся неизменным значение некоторой величины, характеризующей состояние газа — температуры, объёма или давления. Для каждого вида изопроцессов запись первого закона термодинамики упрощается.

1. Изотермический процесс, .
Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры. Если температура газа не меняется, то не меняется и внутренняя энергия: . Тогда формула (3) даёт:

Всё подведённое к газу тепло идёт на совершение газом работы.

2. Изохорный процесс, .
Если объём газа остаётся постоянным, то поршень не перемещается, и потому работа газа равна нулю: . Тогда первый закон термодинамики даёт:

Всё тепло, переданное газу, идёт на изменение его внутренней энергии.

3. Изобарный процесс, .
Подведённое к газу тепло идёт как на изменение внутренней энергии, так и на совершение работы (для которой справедлива формула (1)). Имеем:

к оглавлению ▴

Адиабатный процесс

Процесс называется адиабатным, если он идёт без теплообмена с окружающими телами.

Адиабатный процесс совершается газом, находящимся в теплоизолированном сосуде. Такой сосуд препятствует всем видам теплопередачи: теплопроводности, конвекции, излучению. Пример теплоизолированного сосуда — термос.

Приблизительно адиабатным будет всякий процесс, протекающий достаточно быстро: в течение процесса теплообмен просто не успевает произойти.

При адиабатном процессе . Из первого закона термодинамики получаем: , или .

В процессе адиабатного расширения газ совершает положительную работу, поэтому (работа совершается за счёт убыли внутренней энергии). Следовательно, газ охлаждается. Если заставить газ совершить достаточно большую работу, охладить его можно весьма сильно. Именно на этом основаны методы сжижения газов.

Наоборот, в процессе адиабатного сжатия будет , поэтому : газ нагревается. Адиабатное нагревание воздуха используется в дизельных двигателях для воспламенения топлива.

Кривая, изображающая ход адиабатного процесса, называется адиабатой. Интересно сравнить ход адиабаты и изотермы на -диаграмме (рис. 5).

Рис. 5. Сравнительный ход изотермы и адиабаты

В обоих процессах давление убывает с увеличением объёма, но в адиабатном процессе убывание идёт быстрее. Почему?

При изотермическом расширении давление падает потому, что уменьшается концентрация частиц газа, в результате чего удары частиц по стенкам сосуда становятся реже. Однако интенсивность этих ударов остаётся прежней: ведь температура газа не меняется — значит, не меняется и средняя кинетическая энергия его частиц.

А при адиабатном расширении, наряду с уменьшением концентрации частиц, падает также и температура газа. Удары частиц становятся не только более редкими, но и более слабыми. Вот почему адиабата убывает быстрее изотермы.

Данная тема посвящена решению задач на тему «Работа в
термодинамике».

Задача 1. Над 3 моль идеального газа проведен процесс,
график которого в системе координат (p; V) представлен на рисунке. Определите работу, совершенную
газом.

РЕШЕНИЕ

Работа, выполненная газом в системе координат (p; V), численно равна
площади фигуры (в нашем случае трапеции), ограниченной графиком процесса, осью
абсцисс и ординатами, соответствующими начальному и конечному состоянию
системы.

Выпишем начальные и конечные параметры газа, основываясь на
данных из графика процесса.

Тогда работа равна

Ответ: работа, совершенная газом, равна 2 кДж.

Задача 2. При изобарном процессе температура
идеального газа уменьшается в два раза. Как изменится работа, совершенная над
газом, если его первоначальную температуру увеличить вдвое?

ДАНО:	РЕШЕНИЕ Запишем формулу для вычисления работы, совершаемой газом, при изобарном процессе На основании уравнения Менделеева — Клапейрона: Тогда Составим уравнения для работы газа для двух процессов Работа внешних сил: Тогда И

Ответ: работа, совершенная над газом,
увеличится в 3 раза.

Задача 3. Азот массой 14 г, молярная масса которого 28
г/моль, находится в сосуде при температуре 543 К. После изохорного охлаждения,
в результате которого давление уменьшается в 3 раза, азот испытывает изобарное
расширение, причем температура газа становится равной первоначальной.
Изобразите графически эти процессы в координатах (p,
V ) и вычислите
совершенную газом работу.

ДАНО:

РЕШЕНИЕ В условии задачи говорится о том, что изначально азот изохорно охлаждают и давление газа, в результате этого процесса, уменьшается. Напомним, что изохорный процесс — это процесс при постоянном объеме. Поэтому графиком данного процесса будет являться прямая линия, параллельная оси ординат. В дальнейшем газ изобарно расширяют. Иными словами, увеличивают его объем при постоянном давлении. Поэтому график этого процесса параллелен оси абсцисс. При этом нам следует учесть то, что в результате изобарного расширения температура газа становится равной первоначальной. Значит точка один и точка три должны лежат на одной изотерме. С учётом этих рассуждений графически эти процессы будут выглядеть следующим образом Поскольку при изохорном процессе работа не совершается, то совершенная в процессе 1–2–3 работа, равна работе газа при его изобарном расширении Из уравнения состояния Тогда работа газа

Ответ: А = 1,5 кДж.

Задача 4. Идеальный газ в количестве v моль совершает цикл, представленный на графике.
Отношение давлений в состояниях 2 и 1 равно k.
Температура газа в состоянии 3 равна Т₃. Определите полезную
работу, совершенной газом за цикл.

ДАНО:

РЕШЕНИЕ Искомая полезная работа газа равна площади фигуры, ограниченной циклом. В данной задаче — это прямоугольный треугольник, то его площадь можно найти как половину произведения катетов. В результате процесса 1–2 происходит увеличение давления газа. Так как объем газа в результате этого процесса не изменяется, то можно с уверенностью сказать, что процесс 1–2 — это изохорный процесс. В результате процесса 2–3 происходит расширение газа при неизменном давлении. Значит этот процесс изобарный. точки один и три находятся на одной прямой, проходящей через начало координат, уравнение которой можно представить в виде Тогда Закон Гей-Люссака для изобарного процесса Тогда полезная работа равна Уравнение состояния газа в точке 1 Закон Шарля Тогда уравнении Менделеева-Клапейрона Полезная работа равна

Задача 5. 0,5 моль газа совершают круговой процесс,
график которого представлен на рисунке. Какая работа может быть совершена за один
цикл при таком процессе, если наименьшая температура газа 0 ^оС, а
наибольшая — 127 ^оС? При температуре 0 ^оС объем газа 5 л,
а при 127 ^оС — 6 л.

ДАНО:	СИ	РЕШЕНИЕ Для определения работы газа изобразим круговой процесс в координатах p–V Теперь работу газа можно определить, как площадь фигуры, ограниченной графиком процесса и осями координат. Исходя из графика процессы 1–2 и 3–4 – изохорные, т.к. в них объём не изменяется процессы 2–3 и 4–1 – изобарные, т.к. в них давление не изменяется На графике хорошо видно, что работа, совершаемая газом при расширении, положительна и численно равна площади, ограниченной графиком , осью V и отрезками ac и fd. Работа, совершаемая газом при сжатии, отрицательна и численно равна площади, ограниченной графиком , осью V и отрезками ab и fe. Суммарная работа, совершенная газом, равна разности этих площадей, то есть численно равна площади прямоугольника bcdeb. Запишем уравнения Менделеева — Клапейрона для состояний, которым на графике соответствуют точки 1 и 3 Проверим размерности

Ответ: работа газа за цикл равна 50
Дж.

Геометрическое толкование работы. Работу газа можно определить графически. Изобразим график зависимости давления газа от его объёма при р = const (рис. 68). Если процесс перехода газа из начального состояния в конечное является изобарным (АВ — изобара), то работа силы давления газа численно равна площади прямоугольника V₁АВV₂.

Если процесс перехода газа из начального состояния в конечное не является изобарным (рис. 69), то работа силы давления газа при изменении объёма от V₁ до V₂ численно равна площади фигуры, ограниченной графиком процесса (кривая 12), осью ОV и прямыми, соответствующими значениям объёмов V₁ и V₂.

Процесс, при котором термодинамическая система, прошедшая некоторую последовательность состояний, возвращается в исходное состояние, называют циклическим процессом или циклом (рис. 69.1). Работа, совершаемая системой при циклическом процессе, или работа цикла, численно равна площади фигуры, ограниченной линиями, которые изображают цикл в координатах р, V:

A = A₁₂ + A₂₃ + A₃₁ = S₁₂ + S₂₃ + S₃₁ = S₁₂ + S₃₁ = S₁₂₃₁,

где S₂₃ = 0, S₁₂₃₁ > 0 на рисунке 69.1, а и S₁₂₃₁ < 0 на рисунке 69.1, б.

Если «кривая расширения» (изобара 1 2) (рис. 69.1, а) расположена выше «кривой сжатия» (изотерма 3 1), то полная работа, совершённая системой за цикл (работа цикла), положительна. Если же, как изображено на рисунке 69.1, б, «кривая сжатия» (изобара 3 1) расположена выше «кривой расширения» (изотерма 1 2), то работа цикла отрицательна.

Работу газа определяют не только начальное и конечное состояния системы, но и вид процесса. Например, газ из состояния 1 можно перевести в состояние 3 либо в результате изотермического расширения (рис. 70), либо сначала изохорно понизив его давление до значения р₂, а затем изобарно увеличив его объём до значения V₃. В первом случае работа газа больше, чем во втором.

Следовательно, работа, совершаемая термодинамической системой при переходе из одного состояния в другое, зависит не только от начального и конечного состояний системы, но и от вида процесса.

От теории к практике

На каком из представленных на рисунках 71, а–г графиков сила давления газа совершает в процессе перехода из состояния 1 в состояние 2:

а) наибольшую работу; б) наименьшую работу?

1. Как вычислить работу, совершаемую силой давления газа при его расширении (сжатии)?

2. Как соотносятся между собой работа силы давления газа и работа внешних сил над газом?

3. В чём заключается геометрический смысл понятия «работа» в термодинамике?

4. Почему расширение газа при отсутствии теплообмена с окружающей средой сопровождается его охлаждением?

5. Идеальный газ переводят из состояния А в состояние В двумя способами: первый раз — А1В, а второй — А2В (рис. 72). В каком случае работа, совершённая силой давления газа, больше? В каком случае изменение внутренней энергии больше?