Как найти работу газа зная давление

Первый закон термодинамики

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: работа в термодинамике, первый закон термодинамики, адиабатный процесс.

Начнём с обсуждения работы газа.

Газ, находящийся в сосуде под поршнем, действует на поршень с силой , где — давление газа, — площадь поршня. Если при этом поршень перемещается, то газ совершает работу.

При расширении газа эта работа будет положительной (сила давления газа и перемещение поршня направлены в одну сторону). При сжатии работа газа отрицательна (сила давления газа и перемещение поршня направлены в противоположные стороны).

к оглавлению ▴

Работа газа в изобарном процессе

Предположим, что газ расширяется при постоянном давлении . Тогда сила , с которой газ действует на поршень, также постоянна. Пусть поршень переместился на расстояние (рис. 1).

Рис. 1.

Работа газа равна:

Но — изменение объёма газа. Поэтому для работы газа при изобарном расширении мы получаем формулу:

(1)

Если и — начальный и конечный объём газа, то для работы газа имеем: . Изобразив данный процесс на -диаграмме, мы видим, что работа газа равна площади прямоугольника под графиком нашего процесса (рис. 2).

Рис. 2. Работа газа как площадь

Пусть теперь газ изобарно сжимается от объёма до объёма . С помощью аналогичных рассуждений приходим к формуле:

Но , и снова получается формула (1).

Работа газа опять-таки будет равна площади под графиком процесса на -диаграмме, но теперь со знаком минус.

Итак, формула выражает работу газа при постоянном давлении — как в процессе расширения газа, так и в процессе сжатия.

к оглавлению ▴

Работа газа в произвольном процессе

Геометрическая интерпретация работы газа (как площади под графиком процесса на -диаграмме) сохраняется и в общем случае неизобарного процесса.

Действительно, рассмотрим малое изменение объёма газа — настолько малое, что давление будет оставаться приблизительно постоянным. Газ совершит малую работу . Тогда работа газа во всём процессе найдётся суммированием этих малых работ:

Но данный интеграл как раз и является площадью криволинейной трапеции (рис. 3):

Рис. 3. Работа газа как площадь

к оглавлению ▴

Работа, совершаемая над газом

Наряду с работой , которую совершает газ по передвижению поршня, рассматривают также работу , которую поршень совершает над газом.

Если газ действует на поршень с силой , то по третьему закону Ньютона поршень действует на газ с силой , равной силе по модулю и противоположной по направлению: (рис. 4).

Рис. 4. Внешняя сила , действующая на газ

Следовательно, работа поршня равна по модулю и противоположна по знаку работе газа:

Так, в процессе расширения газ совершает положительную работу ; при этом работа, совершаемая над газом, отрицательна . Наоборот, при сжатии работа газа отрицательна , а работа, совершаемая поршнем над газом, положительна 0 right )’ class=’tex’ alt=’left ( {A}’ > 0 right )’ />.

Будьте внимательны: если в задаче просят найти работу, совершённую над газом, то имеется в виду работа .

Как мы знаем, существует лишь два способа изменения внутренней энергии тела: теплопередача и совершение работы.

Опыт показывает, что эти способы независимы — в том смысле, что их результаты складываются. Если телу в процессе теплообмена передано количество теплоты , и если в то же время над телом совершена работа , то изменение внутренней энергии тела будет равно:

(2)

Нас больше всего интересует случай, когда тело является газом. Тогда (где , как всегда, есть работа самого газа). Формула (2) принимает вид: , или

(3)

Соотношение (3) называется первым законом термодинамики. Смысл его прост: количество теплоты, переданное газу, идёт на изменение внутренней энергии газа и на совершение газом работы.

Напомним, что величина может быть и отрицательной: в таком случае тепло отводится от газа. Но первый закон термодинамики остаётся справедливым в любом случае. Он является одним из фундаментальных физических законов и находит подтверждение в многочисленных явлениях и экспериментах.

к оглавлению ▴

Применение первого закона термодинамики к изопроцессам

Напомним, что в изопроцессе остаётся неизменным значение некоторой величины, характеризующей состояние газа — температуры, объёма или давления. Для каждого вида изопроцессов запись первого закона термодинамики упрощается.

1. Изотермический процесс, .
Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры. Если температура газа не меняется, то не меняется и внутренняя энергия: . Тогда формула (3) даёт:

Всё подведённое к газу тепло идёт на совершение газом работы.

2. Изохорный процесс, .
Если объём газа остаётся постоянным, то поршень не перемещается, и потому работа газа равна нулю: . Тогда первый закон термодинамики даёт:

Всё тепло, переданное газу, идёт на изменение его внутренней энергии.

3. Изобарный процесс, .
Подведённое к газу тепло идёт как на изменение внутренней энергии, так и на совершение работы (для которой справедлива формула (1)). Имеем:

к оглавлению ▴

Адиабатный процесс

Процесс называется адиабатным, если он идёт без теплообмена с окружающими телами.

Адиабатный процесс совершается газом, находящимся в теплоизолированном сосуде. Такой сосуд препятствует всем видам теплопередачи: теплопроводности, конвекции, излучению. Пример теплоизолированного сосуда — термос.

Приблизительно адиабатным будет всякий процесс, протекающий достаточно быстро: в течение процесса теплообмен просто не успевает произойти.

При адиабатном процессе . Из первого закона термодинамики получаем: , или .

В процессе адиабатного расширения газ совершает положительную работу, поэтому (работа совершается за счёт убыли внутренней энергии). Следовательно, газ охлаждается. Если заставить газ совершить достаточно большую работу, охладить его можно весьма сильно. Именно на этом основаны методы сжижения газов.

Наоборот, в процессе адиабатного сжатия будет , поэтому : газ нагревается. Адиабатное нагревание воздуха используется в дизельных двигателях для воспламенения топлива.

Кривая, изображающая ход адиабатного процесса, называется адиабатой. Интересно сравнить ход адиабаты и изотермы на -диаграмме (рис. 5).

Рис. 5. Сравнительный ход изотермы и адиабаты

В обоих процессах давление убывает с увеличением объёма, но в адиабатном процессе убывание идёт быстрее. Почему?

При изотермическом расширении давление падает потому, что уменьшается концентрация частиц газа, в результате чего удары частиц по стенкам сосуда становятся реже. Однако интенсивность этих ударов остаётся прежней: ведь температура газа не меняется — значит, не меняется и средняя кинетическая энергия его частиц.

А при адиабатном расширении, наряду с уменьшением концентрации частиц, падает также и температура газа. Удары частиц становятся не только более редкими, но и более слабыми. Вот почему адиабата убывает быстрее изотермы.

Как найти работу газа

Работа газа осуществляется при изменении его объема. Именно при изменении объема газа приходят в движение узлы тепловых двигателей, будь то двигатель внутреннего сгорания или пуля в стволе ружья. При различных процессах работа газа вычисляется по-разному.

Вам понадобится

• — манометр;
• — термометр.

Инструкция

Если работа газа осуществляется при изобарном процессе (при постоянном давлении), то для того чтобы найти работу газа с помощью манометра, измерьте давление газа. После этого замерьте его объем перед выполнением работы и после. Найдите изменение объема газа, отняв от конечного значения начальное. После этого найдите произведение давления газа на изменение его объема. Это и будет работа газа при постоянном давлении A=p•ΔV.

Для идеального газа вычислить работу при постоянном давлении можно, применив уравнение Клапейрона-Менделеева. Найдите работу газа, умножив его массу на число 8,31 (универсальную газовую постоянную) и изменение температуры при выполнении работы. Результат поделите на молярную массу газа A=m•R•ΔT/M. При расчетах учитывайте то, что если работа выполняется газом (он расширяется), то она положительна. Если же работа выполняется над газом (его сжимают сторонние силы), то работа отрицательна.

Если работа выполняет при изотермическом расширении (когда температура постоянна), узнайте изменение объема газа и значение его температуры. Для того чтобы найти работу газа, умножьте его массу на число 8,31 (универсальную газовую постоянную) и температуру при выполнении работы. Результат поделите на молярную массу газа. Получившееся число умножьте на логарифм натуральный из отношения конечного и начального объемов газа A=m•R•T•ln(V2/V1)/M.

В общем случае, чтобы найти работу газа возьмите интеграл из функции давления по объему. Границы интеграла – от начального до конечного объема ∫pdV. Если есть график газового процесса в координатах (V,p), как правило, он представляет собой прямую линию, найдите площадь трапеции ограниченной по бокам линиями перпендикулярными оси Vв точках V1 и V2, снизу осью V, а сверху графиком функции. В более сложных случаях ищется площадь криволинейной трапеции.

Полезный совет

Если объем газа не изменяется, работа им не выполняется.

Источники:

• как изменяется объем газа

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Определение

Числом степеней свободы механической системы называют количество независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы.

Внутренняя энергия идеального газа представляет собой сумму только кинетической энергии всех молекул, а потенциальной энергией взаимодействия можно пренебречь:

U=∑Ek0=NEk0=mNAM·ikT2=i2·mMRT=i2νRT=i2pV

i — степень свободы. i = 3 для одноатомного (или идеального) газа, i = 5 для двухатомного газа, i = 6 для трехатомного газа и больше.

Изменение внутренней энергии идеального газа в изопроцессах

Основная формула	ΔU=32·mMRT=32νRT=32νR(T2−T1)
Изотермический процесс	ΔU=0 Температура при изотермическом процессе — величина постоянная. Так как внутренняя энергия идеального газа постоянной массы в замкнутой системе зависит только от изменения температуры, то она тоже остается постоянной.
Изобарное расширение	ΔU=32νR(T2−T1)=32(pV2−pV1)=32pΔV
Изохорное увеличение давления	ΔU=32νR(T2−T1)=32(p2V−p1V)=32VΔp
Произвольный процесс	ΔU=32νR(T2−T1)=32(p2V2−p1V1)

Пример №1. На рисунке показан график циклического процесса, проведенного с идеальным газом. На каком из участков внутренняя энергия газа уменьшалась?

Внутренняя энергия газа меняется только при изменении температуры. Так как она прямо пропорциональная температуре, то уменьшается она тогда, когда уменьшается и температура. Температура падает на участке 3.

Работа идеального газа

Если газ, находящийся под поршнем, нагреть, то, расширяясь, он поднимет поршень, т.е. совершит механическую работу.

Механическая работа вычисляется по формуле:

A=Fscosα

Перемещение равно разности высот поршня в конечном и начальном положении:

s=h2−h1

Также известно, что сила равна произведению давления на площадь, на которое это давление оказывается. Учтем, что направление силы и перемещения совпадают. Поэтому косинус будет равен единице. Отсюда работа идеального газа равна произведению давления на площадь поршня:

Работа идеального газа

F=pS

p — давление газа, S — площадь поршня

Работа, необходимая для поднятия поршня — полезная работа. Она всегда меньше затраченной работы, которая определяется изменением внутренней энергии идеального газа при изобарном расширении:

A‘=p(V2−V1)=pΔV>0

Внимание! Знак работы определяется только знаком косинуса угла между направлением силы, действующей на поршень, и перемещением этого поршня.

Работа идеального газа при изобарном сжатии:

A‘=p(V2−V1)=pΔV<0

Работа идеального газа при нагревании газа:

A‘=νRΔT=νR(T2−T1)=mMνRΔT

Внимание! В изохорном процессе работа, совершаемая газом, равна нулю, так как работа газа определяется изменением его объема. Если изменения нет, работы тоже нет.

Геометрический смысл работы в термодинамике

В термодинамике для нахождения работы можно вычислить площадь фигуры под графиком в осях (p, V).

Примеры графических задач

Изобарное расширение: A‘=p(V2−V1) A‘>0
Изобарное сжатие: A‘=p(V2−V1) A‘<0
Изохорное охлаждение: V=const A‘=0
Изохорное охлаждение и изобарное сжатие: 1–2: A‘=0 2–3: A‘=pΔV<0
Замкнутый цикл: 1–2: A‘>0 2–3: A‘=0 3–4: A‘<0 4–1: A‘=0 A‘=(p1−p3)(V2−V1)
Произвольный процесс: A‘=p1+p22(V2−V1)

Пример №2. На pV-диаграмме показаны два процесса, проведенные с одним и тем же количеством газообразного неона. Определите отношение работ A₂ к A₁ в этих процессах.

Неон — идеальный газ. Поэтому мы можем применять формулы, применяемые для нахождения работы идеального газа. Работа равна площади фигуры под графиком. С учетом того, что в обоих случаях изобарное расширение, получим:

A2=p(V2−V1)=4p(5V−3V)=4p2V=8pV

A1=p(V2−V1)=p(5V−V)=4pV

Видно, что работа, совершенная во втором процессе, вдвое больше работы, совершенной газом в первом процессе.

Алиса Никитина | Просмотров: 15.2k

В этой статье рубрики «физика для чайников» рассмотрим подробное решение нескольких задач на работу в термодинамике. Тем, кто хочет научиться решать задачи, рекомендуем систематически тренироваться, предварительно ознакомившись с теорией. А еще, полезно почитать памятку по решению физических задач и держать под рукой основные физические формулы.

Чтобы не заскучать, подписывайтесь на наш телеграм-канал. Там вас ждет ежедневная рассылка, которая будет полезна всем учащимся.

Примеры решения задач на работу в термодинамике

Задача №1. Работа расширения

Условие

При адиабатическом расширении 1 кг воздуха его объем увеличился в 10 раз. Найти работу расширения, если начальное давление 1 атм, а начальная температура 15 °С.

Решение

Зная молярную массу воздуха (29 г/моль), начальный объем можно найти из уравнения Клапейрона-Менделеева:

Не забываем переводить все физические величины из условия в систему СИ.

Из условия находим конечный объем:

Работа равна: 

Ответ: 751 кДж.

Задача №2. Работа в цикле Карно

Условие

Температура нагревателя идеальной тепловой машины составляет 227 °С, а охладителя — 27 °С. За один рабочий цикл тепловая машина получает количество теплоты, равное 100Дж. Какую работу совершает рабочее тело идеальной тепловой машины за один цикл?

Решение

Из формулы для КПД можно выразить искомую работу:

Ответ: 40 Дж.

Задача №3. Работа при выдувании мыльного пузыря

Условие

Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы выдуть мыльный пузырь диаметром 10 см.

Решение

Работа, которую нужно совершить, чтобы, выдувая мыльный пузырь, увеличить площадь поверхности мыльной пленки на дельта S, равна:

Здесь сигма – коэффициент поверхностного натяжения для мыльного раствора (берется из таблицы). S – общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря (внешней и внутренней). S нулевое – площадь этих поверхностей до выдувания пузыря (этой величиной можно пренебречь).

Ответ: 2,5 мДж.

Задача №4. Графическое представление работы

Условие

Газ расширяется от объёма V1 до объёма V2 один раз изотермически, другой изобарно и третий адиабатно. При каком процессе газ совершает большую работу и при каком газу передаётся большее количество теплоты?

Работа численно равна площади криволинейной трапеции. Из рисунка очевидно, что работа при изобарном процессе будет максимальной, при адиабатном минимальной, т. е. 

Ответ: см. выше.

Задача №5. Работа газа

Условие

Газ совершает круговой процесс, состоящий из нескольких этапов. Сначала газ изохорно охлаждается до температуры, при которой его давление равно P2 = 105 Па. Затем он изобарно охлаждается до состояния, из которого возвращается в начальное состояние таким образом, что его давление изменяется с изменением объема по закону Р = αV (α — постоянная величина). Начальные объем и давление газа известны: V1 = 2 м3, Р1 = 4·105 Па. Нарисовать график данного кругового процесса на РV-диаграмме и найти работу, совершенную газом.

Решение

Сначала выполним рисунок:

Точки состояния газа 1 и 3 лежат на прямой, проходящей через центр координат:

C учетом этого, получаем:

Работа газа в данном случае равна площади треугольника 123:

Подставим найденное ранее значение для V3, преобразуем и подставим значения из условия:

Ответ: 2,25*10^5 Дж.

Вопросы на тему «Работа в термодинамике»

Вопрос 1. Что такое работа в термодинамике?

Ответ. Работа – одна из форм обмена энергией термодинамической системы с окружающими телами. Работа, как и энергия, измеряется в Джоулях.

Вопрос 2. Сформулируйте первое начало термодинамики.

Ответ. Первое начало термодинамики гласит: 

Изменение внутренней энергии системы равно сумме совершаемой над системой работы внешних сил и количества теплоты, переданной системе.

У первого начала термодинамики исторически есть несколько формулировок. Одна из них: невозможно построить вечный двигатель первого рода.

Вопрос 3. При каком из изопроцессов работа газа равна нулю?

Ответ. При изохорном процессе объем системы остается неизменным. Следовательно, газ в данном процессе не совершает работу.

Вопрос 4. Как, совершая работу, можно изменить внутреннюю энергию?

Ответ. Если работа совершается над телом (системой), то его внутренняя энергия увеличивается, если же тело само совершает работу, это ведет к уменьшению его внутренней энергии.

Вопрос 5. Как определить работу газа геометрически?

Ответ. Величина работы газа равна площади фигуры под графиком на диаграмме pV

Нужна помощь в решении задач или в выполнении других студенческих заданий? Обращайтесь в профессиональный студенческий сервис.