Как найти работу поля вдоль кривой

Дадим физическую
интерпретацию криволинейного интеграла
второго рода. Если в некоторой области
задано непрерывное силовое поле,
то при перемещении материальной точки
вдоль гладкой ориентированной кривойL
поле совершает некоторую работу А.
Для её определения разобьём линию L
на
дуг точками,,
…,(рис. 16). Пустьпроизвольная точка дуги.
Обозначим– единичный вектор касательнойL
в этой точке и
– длину дуги.

Р

Рис.5

аботу на дугеможно приближённо вычислить с помощью
скалярного произведения.
Тогда приближённо работа есть.

За работу А
на всей кривой L
естественно принять предел

.

Если этот предел
существует, то он является криволинейным
интегралом I
рода от скалярной функции
,
т.е. это криволинейный интегралII
рода. Таким образом, работа А
по перемещению материальной точки в
непрерывном силовом поле выражается
криволинейным интегралом II
рода:

.
(2)

Покажем, что работа
поля
вдоль любой векторной линии этого поля
отлична от нуля. ПустьL
– векторная линия, тогда
векторпараллелен.
Тогда скалярное произведение,
тогда,
причём кривая может быть замкнутой.

Определение 1.
Работа векторного поля
вдоль замкнутой кривойL
называется
циркуляцией
этого поля:

.

Ф

Рис.6

изически её можно интерпретировать
следующим образом. Пусть– поле скоростейтекущей жидкости. Поместим в это поле
колёсико с лопастями, расположенными
по окружностиL
этого колеса (рис.6). Частицы жидкости,
действуя на эти лопасти, будут создавать
вращательные моменты, суммарное действие
которых приводит колесо в движение –
вращение вокруг своей оси. Вращательное
действие поля
в каждой точке будет характеризоваться
проекциейна касательную,
т.е. скалярным произведением.
Суммирование вращательных действий
жидкости по всему контуру колёсика
приводит к понятию циркуляции вектора.

Ф

изический смысл циркуляции:
циркуляция векторного поля
определяет его вращательную способность
в данном направлении и характеризует
завихрённость поля в этом направлении.
Чем меньше угол между касательной и
вектором поля, тем большеС,
а следовательно и завихрённость.

Пример 2.
Вычислить циркуляцию векторного поля
вдоль замкнутого контура,
являющегося границей части сферы,
расположенной в первом октанте:,,,
причем направление обхода контура
таково, что в плоскостиОху
движение происходит от точки
к.

Решение.
Контур
состоит из трех кривых,
каждая из которых является дугой
единичной окружности, лежащей
соответственно в координатной плоскостиОху,
Оуz,
Oxz.
Поэтому
,

.

Найдем интеграл
по кривой.
Так как криваялежит в плоскостиОху,
то
,и,
где,,.
Запишем параметрическое уравнение:,,.
Получаем

.

Точно так же
вычисляются интегралы
и.
При этом.
Следовательно,.

10.3. Потенциальное векторное поле

Определение 2.
Векторное поле
называетсяпотенциальным
в области
,
если существует такое скалярное поле,
что для всех точек этой области
вектор-функцияявляется градиентом этого скалярного
поля:

.

Скалярное поле
называетсяпотенциалом
векторного поля
.
Потенциальное поле является одним из
наиболее простых полей, так как
определяется одной скалярной функцией,
в то время как произвольное векторное
поле – тремя скалярными функциями.

Теорема 1. Если
поле
потенциально, то его потенциал определяется
однозначно с точностью до произвольного
постоянного слагаемого.

‰
Пусть поле
имеет два потенциалаи,
т.е.и.
Тогдаи, следовательно,.
Таким образом, получаем, что.<

Теорема 2. Если
поле
потенциально в областиV,
то работа этого поля (криволинейный
интеграл второго рода) не зависит от
формы пути, соединяющий две любые точки
из V.
Потенциал
с точностью до произвольной постоянной
определяется криволинейным интегралом
второго рода,
взятому по произвольной кривой,
соединяющей точкии,
где– фиксированная точка, а– текущая точка.

‰
Работа А
поля
по некоторому путиL,
соединяющему точки
и,
вычисляется по формуле (11):

.

Поле
потенциально, тогда существует потенциал,
причем.
Тогда скалярное произведение

,

Для простоты
преобразований пусть
плоская кривая, заданная параметрическими
уравнениями,,,
причем начало в точке,
которой соответствует значение параметра,
а конечной точкисоответствует значение параметра,
т.е.,.
Тогда

=

.

Т.е потенциал
определяется по формуле

(3)

Откуда следует,
что работа не зависит от формы пути, а
зависит от положения начальной
и конечнойточек.<

Задача отыскания
потенциала
полятесно связано с задачей восстановления
функции трёх переменных по её полному
дифференциалу.

Теорема 3.
Пусть векторное поле задано функцией
,
которая непрерывно дифференцируема в
области.
Для того, чтобы выражение

(4)

было полным
дифференциалом некоторой функции
,
необходимо и достаточно, чтобы полебыло потенциальным.

‰
Необходимость.
Пусть (4) есть полный дифференциал
,
то с одной стороны по определению,
а с другой стороны,
откуда.
Т.е.,
а, следовательно,– потенциальное поле.

Достаточность.
Пусть
– потенциально, тогда существует функция,
такая, что.
По определению градиента,,,
тогда получаем.<

Для того,
чтобы найти функцию
по её полному дифференциалу необходимо
применить формулу (3), т.е. с точностью
до произвольного постоянного слагаемого
вычислить криволинейный интеграл по
любой кривой, соединяющей две точкии
т.е.

.

Теперь естественно
возникает вопрос: когда, при каких
условиях векторное поле является
потенциальным?

Теорема 4.
Для того чтобы работа векторного поля
не
зависела от формы пути, соединяющего
две точки в области, необходимо и
достаточно, чтобы циркуляция по любому
замкнутому контуру, лежащему в этой
области, была равна нулю.

 Необходимость.
Пусть работа не зависит от пути. Возьмём
контур
(рис. 10.18).

Рис.7

,

Рис.18

.

Достаточность.
Пусть ,
тогда .
Получаем

,

т.е. работа не
зависит от пути.


Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Вычисление работы силового поля по перемещению материальной точки не обходится без применения криволинейного интеграла ІІ рода. Чтобы не повторять в каждой новой статье для криволинейных интегралов те же формулы сразу переходим к анализу готовых примеров.

Вычисление работы силового поля с помощью криволинейного интегралу ІІ рода

ЗАДАНИЕ 3.5 Вычислить работу силового поля  при перемещению материальной точки вдоль линии L:
x²+y²=4 от точки A(2;0) к точке B(0;2).
Решение: Построим в декартовых координатах траекторию материальной точки вдоль круга L: x²+y²=4.

Уравнение верхней части полукруга и ее производной равны

В соответствии с точками A(2;0), B(0;2) пределы интегрирования изменяются от 2 до 0.
Не удивляйтесь, что не в обратном порядке. Их всегда нужно выписывать в порядке обхода контуру от точки A к B.
Робота силового поля F по перемещения материальной точки вдоль линии L вычисляется с помощью криволинейного интеграла ІІ рода :

Внимательно пересмотрите уравнение силового поля и подинтегральную функцию и Вам станет понятно, что и откуда берется. Как вычислить криволинейный интеграл детально расписано в предыдущих статьях (меняем y, dy на ф-и от «х» под интегралом).

ЗАДАНИЕ 3.10 Найти работу силового поля по перемещению материальной точки вдоль линии L:
y=a-x²/a от точки A(-a;0) к точке B(0;a).
Решение: Имеем y=a-x²/a — уравнение параболы, находим дифференциал dy=-2x/a*dx и пределы изменения переменной
  

Вычисляем работу силового поля F, потраченную на перемещению материальной точки вдоль вдоль линии L
Криволинейный интеграл ІІ рода находим за первой формулой интегрирования.

ЗАДАНИЕ 3.12 Вычислить работу силового поля по перемещению материальной точки вдоль линии L: от точки A(0;0) к точке B(1;2). .
Решение: Строим траекторию материальной точки вдоль корневой функции L: .

Записываем производную  и промежуток интегрирования [0;1].
Находим роботу A силового поля F :

Перед интегрированием превращаем корни к показательной форме записи, а дальше вычисляем за табличными формулами интеграл.

ЗАДАНИЕ 3.14 Вычислить работу силового поля по перемещению материальной точки вдоль линии L:
x²+y²=9.
Решение: Наведем траекторию движения материальной точки по кругу L: x²+y²=9.

Верхняя ветка ограничена функцией

Аргумент изменяется от 3 до 0
Работа А силового поля F при перемещению материальной точки вдоль линии L вычисляется с помощью криволинейного интеграла ІІ рода :

Интегрирование само по себе тяжелое, главное правильно найти дифференциал функции и не ошибиться с пределами интегрирования.

ЗАДАНИЕ 3.19 Вычислить работу силового поля  по перемещения материальной точки вдоль линии L:
прямая от точки A(-1;0) к точке B(0;1).
Решение: Запишем уравнение прямой, которая проходит через две точки A(-1;0) и B(0;1):

отсюда y=x+1.
Таким образом, имеем дифференциал дуги dy=dx плюс интервал интегрирования [- 1;0].

График прямой приведен на рисунку ниже
Подсчитываем работу силового поля F по перемещения материальной точки вдоль линии L:
Криволинейный интеграл 2 рода легко сводим к определенному и находим результирующее значение работы.

ЗАДАНИЕ 3.20 Вычислить работу силового поля по перемещению материальной точки вдоль линии L:
x²+y²=1 от точки A (1;0) к точке B (- 1;0).
Решение: Построим траекторию материальной точки против движения часовой стрелки по кругу L: x²+y²=9.

Верхнюю его дуга предствим корневой зависимостью

Аргумент при этом изменяется от 1 к -1.
Работа силового поля потрачена на перемещение материальной точки вдоль дуги круга равна интегралу:
Во время интегрирования получим арксинус, который на границах дает число Pi/2.
Еще один раздел где можно применить криволинейный интеграл ІІ рода теперь доступный и известный Вам.
Будьте внимательные в вычислениях и успешной Вам учебы!

Пусть поле — непрерывное векторное поле, (L) – кусочно гладкая кривая с выбранным на ней положительным направлением (ориентированная кривая).

Определение 1. Линейным интегралом (обозначается L) вектора вдоль ориентированной кривой (L) называется криволинейный интеграл

(1.7)

Для линейного интеграла справедливы следующие формулы:

(1.8)

=.

Если поле есть силовое поле , то линейный интеграл (1.7) дает величину работы этого поля вдоль линии (L). Вычисление линейного интеграла в зависимости от задачи может быть проведено по одной из формул “списка” (1.8).

Определение 2. Циркуляцией (обозначается Ц) векторного поля называется линейный интеграл по замкнутой ориентированной кривой (L):

. (1.9)

За положительное направление обхода замкнутой кривой (L) берется то, при котором область, ограниченная кривой, лежит под левой рукой.

Пример 1. Найти линейный интеграл вектора вдоль дуги (L) винтовой линии от точки A пересечения линии с плоскостью Z=0 до точки В пересечения с плоскостью Z =1.

Решение. Имеем по последней формуле из списка (1.8): . Точке A соответствует значение параметра T =0, точке B – значение и, таким образом, .

Пример 2. Вычислить работу силового поля вдоль отрезка прямой, проходящей через точки и .

Решение. Работа .

Запишем канонические уравнения прямой .
Отсюда ; параметры . Вычислим работу:
.

Пример 3. Вычислить циркуляцию поля вдоль эллипса .

Решение. Имеем по формуле (1.9) и (1.8): .
Запишем параметрические уравнения эллипса: . Вычисляя Dx и Dy, получим: — здесь использовано, что (вычисление этих интегралов проводится с помощью понижения степени подынтегральной функции).

Пример 4. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль линии L, полученной пересечением конуса с координатными плоскостями (см. рис.4).

Решение. Линия L состоит из двух отрезков BC и CA, расположенных на координатных плоскостях Oyz и Oxz соответственно, и дуги окружности . Для циркуляции имеем: .1) На отрезке BC имеем: . Следовательно, . 2) На отрезке CA имеем: . Следовательно, . 3) На дуге AB окружности имеем: и =. Искомая циркуляция поля равна нулю.

Пример 5. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль линии , .

Решение. Имеем: . Линия L есть эллипс, получающийся в результате сечения цилиндра плоскостью . Найдем параметрические уравнения этой линии. Проекция любой точки этой линии на плоскость Oxy находится на окружности . Отсюда, полагая , найдем, что . Для Z из уравнения получим: . Таким образом, . Находим отсюда: , и для циркуляции запишем определенный интеграл: .

< Предыдущая		Следующая >

Работа вектора вдоль кривой

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Геометрические и физические приложения

Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

(39)

Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

(40)

Пример 6.

Найти массу кривой с линейной плотностью заданной в полярных координатах уравнением ρ =4φ, где

Используем формулу (40) с учетом того, что кривая задана в полярных координатах:

3) Моменты кривой l:

— (41)

— статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;

— (42)

— момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

— (43)

— моменты инерции кривой относительно координатных осей.

4) Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

. (44)

5) Работа силы , действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ):

, (45)

Пример 7.

Вычислить работу векторного поля вдоль отрезка прямой от точки А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).

Найдем канонические и параметрические уравнения прямой АВ:

6) Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой

z = f(x, y), можно найти в виде:

(46)

(Ω – проекция S на плоскость Оху).

7) Масса поверхности

(47)

Пример 8.

Найти массу поверхности с поверхностной плотностью γ = 2z 2 + 3.

На рассматриваемой поверхности

Тогда

Проекцией D этой поверхности на координатную плоскость Оху является полукольцо с границами в виде дуг концентрических окружностей радиусов 3 и 4.

Применяя формулу (47) и переходя к полярным координатам, получим:

Моменты поверхности:

(48) статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;

— моменты инерции поверхности относительно координатных осей;

— (50)

— моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;

— (51)

— момент инерции поверхности относительно начала координат.

9) Координаты центра масс поверхности:

. (52)

III. Теория поля

Если в каждой точке М определенной пространственной области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что задано поле этой величины (соответственно скалярноеили векторное).

Если в некоторой области задано скалярное поле U(x,y,z), то вектор

(53)

называется градиентомвеличины U в соответствующей точке.

Пусть дано векторное поле . Интеграл

(54)

называется линейным интегралом от вектора вдоль кривой L. Если кривая L замкнута, то этот интеграл называют циркуляцией вектора вдоль кривой L.

Пример 9.

Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру Г, состоящему из частей линий (направление обхода положительно).

Воспользуемся формулой Грина:

Ротором или вектором вихрявекторного поля A = <A_x, A_y, A_z>, где A_x, A_y, A_z – функции от x, y, z, называется вектор, определяемый следующим образом:

(55)

Рассмотрим векторное поле А(М), определенное в пространственной области G, ориентированную гладкую поверхность S G и поле единичных нормалей п(М) на выбранной стороне поверхности S.

Поверхностный интеграл 1-го рода

(56)

где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а А_п – проекция вектора А на направление нормали, называется потоком векторного поля А(М) через выбранную сторону поверхности S.

Пример 10.

Найти поток векторного поля через часть плоскости ограниченную координатными плоскостями (нормаль к плоскости образует острый угол с осью Oz).

Проекцией данной поверхности на координатную плоскость Оху является треугольник с вершинами в точках А(0;0), В(0;1), С(½; 0). Найдем координаты единичной нормали к плоскости:

Вычислим соответствующий поверхностный интеграл (формула (56)):

. (57)

Пример 11.

Найти дивергенцию и ротор векторного поля где

Найдем координаты вектора а:

Векторное поле A = <A_x, A_y, A_z> называется потенциальным, если вектор А является градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z):

A = grad u = . (58)

При этом функция и называется потенциалом данного векторного поля.

Пример 12.

Проверить, является ли векторное поле

потенциальным, и в случае положительного ответа найти потенциал и, считая, что в начале координат он равен нулю.

Поле является потенциальным, если выполнены следующие условия:

Следовательно, поле потенциальное. Найдем его потенциал и, считая, что и(0;0;0) = 0:

Векторное поле A = <A_x, A_y, A_z> называется соленоидальным в области D, если в каждой точке этой области

Примеры решений задач по теории поля

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа по векторному анализу (теории поля):

Примеры: базовые понятия теории поля

Задача 1. Проверить, что поле $f=(3x+y^2)i+2xy j$ потенциально и восстановить потенциал.

Задача 2. Найти дивергенцию и ротор векторного поля $overline=(3x-y) overline+(6z+5x) overline$

Задача 4. Вычислить потенциальную функцию векторного поля

Поток поля через поверхность

Циркуляция векторного поля

с помощью формулы Стокса и непосредственно (положительным направлением обхода контура считать то, при котором точка перемещается по часовой стрелке, если смотреть из начала координат).

Задача 12. Найти циркуляцию вектора $F$ вдоль ориентированного контура $L$. $$ overline = (3x-1) overline+ (y-x+z)overline+4z overline, $$ $L$ — контур треугольника $ABCA$, где $A,B,C$ точки пересечения плоскости $2x-y-2z+2=0$ соответственно с осями координат $Ox, Oy, Oz$.

Работа векторного поля

Задача 13. Найдите работу векторного поля $A=(2xy-y; x^2+x)$ по перемещению материальной точки вдоль окружности $x^2+y^2=4$ из $M (2; 0)$ в $К(-2; 0)$.

Задача 14. Вычислить работу векторного поля силы $overline = xz overline -overline+y overline$ при движении материальной точки по пути $L: x^2+y^2+z^2=4$, $z=1 (y ge 0)$ от точки $M(sqrt(3);0;1)$ до точки $N(-sqrt(3);0;1)$.

Типовой расчет по теории поля

Задание 15.
А) Найти поток векторного поля $F$ через внешнюю поверхность пирамиды, отсекаемой плоскостью $(p)$ двумя способами: непосредственно и по формуле Гаусса-Остроградского.
Б) Найти циркуляцию вектора $F$ по контуру треугольника двумя способами: по определению и по формуле Стокса.

$$ overline = z overline+ (x+y)overline+y overline, quad (p): 2x+y+2z=2. $$

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 150 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Сообщения без ответов | Активные темы

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Найти работу поля F вдоль дуги AB кривой Г, если в форуме Интегральное исчисление	haykaz1898	3	785	25 апр 2018, 12:52
Найти работу силового поля в форуме Интегральное исчисление	Ryslannn	11	1611	29 ноя 2017, 16:32
Вычислить работу силового поля в форуме Интегральное исчисление	kicultanya	0	319	05 окт 2018, 20:04
Найти работу поля вдоль винтовой линии в форуме Векторный анализ и Теория поля	DIDG	0	691	21 фев 2014, 14:43
Найти длину дуги плоской кривой ау^2=х^3 0<=x<=5a в форуме Интегральное исчисление	karinakarina	1	327	13 дек 2016, 21:02
Длина дуги плоской кривой в форуме Интегральное исчисление	kusya	1	205	27 ноя 2016, 14:32
Площадь плоской фигуры и длина дуги кривой в форуме Интегральное исчисление	IvanKnyshov1996	2	486	26 апр 2015, 21:57
Работа силового поля в форуме Интегральное исчисление	paul_woker	4	256	02 май 2020, 19:58
Работа силового поля в форуме Интегральное исчисление	Ryslannn	8	412	30 ноя 2017, 15:09
Найти циркуляцию векторного поля F(-y,x) вдоль кардиоиды в форуме Векторный анализ и Теория поля	Linc	1	230	22 ноя 2021, 16:29

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения