Как найти работу потенциального поля

Дадим физическую
интерпретацию криволинейного интеграла
второго рода. Если в некоторой области
задано непрерывное силовое поле,
то при перемещении материальной точки
вдоль гладкой ориентированной кривойL
поле совершает некоторую работу А.
Для её определения разобьём линию L
на
дуг точками,,
…,(рис. 16). Пустьпроизвольная точка дуги.
Обозначим– единичный вектор касательнойL
в этой точке и
– длину дуги.

Р

Рис.5

аботу на дугеможно приближённо вычислить с помощью
скалярного произведения.
Тогда приближённо работа есть.

За работу А
на всей кривой L
естественно принять предел

.

Если этот предел
существует, то он является криволинейным
интегралом I
рода от скалярной функции
,
т.е. это криволинейный интегралII
рода. Таким образом, работа А
по перемещению материальной точки в
непрерывном силовом поле выражается
криволинейным интегралом II
рода:

.
(2)

Покажем, что работа
поля
вдоль любой векторной линии этого поля
отлична от нуля. ПустьL
– векторная линия, тогда
векторпараллелен.
Тогда скалярное произведение,
тогда,
причём кривая может быть замкнутой.

Определение 1.
Работа векторного поля
вдоль замкнутой кривойL
называется
циркуляцией
этого поля:

.

Ф

Рис.6

изически её можно интерпретировать
следующим образом. Пусть– поле скоростейтекущей жидкости. Поместим в это поле
колёсико с лопастями, расположенными
по окружностиL
этого колеса (рис.6). Частицы жидкости,
действуя на эти лопасти, будут создавать
вращательные моменты, суммарное действие
которых приводит колесо в движение –
вращение вокруг своей оси. Вращательное
действие поля
в каждой точке будет характеризоваться
проекциейна касательную,
т.е. скалярным произведением.
Суммирование вращательных действий
жидкости по всему контуру колёсика
приводит к понятию циркуляции вектора.

Ф

изический смысл циркуляции:
циркуляция векторного поля
определяет его вращательную способность
в данном направлении и характеризует
завихрённость поля в этом направлении.
Чем меньше угол между касательной и
вектором поля, тем большеС,
а следовательно и завихрённость.

Пример 2.
Вычислить циркуляцию векторного поля
вдоль замкнутого контура,
являющегося границей части сферы,
расположенной в первом октанте:,,,
причем направление обхода контура
таково, что в плоскостиОху
движение происходит от точки
к.

Решение.
Контур
состоит из трех кривых,
каждая из которых является дугой
единичной окружности, лежащей
соответственно в координатной плоскостиОху,
Оуz,
Oxz.
Поэтому
,

.

Найдем интеграл
по кривой.
Так как криваялежит в плоскостиОху,
то
,и,
где,,.
Запишем параметрическое уравнение:,,.
Получаем

.

Точно так же
вычисляются интегралы
и.
При этом.
Следовательно,.

10.3. Потенциальное векторное поле

Определение 2.
Векторное поле
называетсяпотенциальным
в области
,
если существует такое скалярное поле,
что для всех точек этой области
вектор-функцияявляется градиентом этого скалярного
поля:

.

Скалярное поле
называетсяпотенциалом
векторного поля
.
Потенциальное поле является одним из
наиболее простых полей, так как
определяется одной скалярной функцией,
в то время как произвольное векторное
поле – тремя скалярными функциями.

Теорема 1. Если
поле
потенциально, то его потенциал определяется
однозначно с точностью до произвольного
постоянного слагаемого.

‰
Пусть поле
имеет два потенциалаи,
т.е.и.
Тогдаи, следовательно,.
Таким образом, получаем, что.<

Теорема 2. Если
поле
потенциально в областиV,
то работа этого поля (криволинейный
интеграл второго рода) не зависит от
формы пути, соединяющий две любые точки
из V.
Потенциал
с точностью до произвольной постоянной
определяется криволинейным интегралом
второго рода,
взятому по произвольной кривой,
соединяющей точкии,
где– фиксированная точка, а– текущая точка.

‰
Работа А
поля
по некоторому путиL,
соединяющему точки
и,
вычисляется по формуле (11):

.

Поле
потенциально, тогда существует потенциал,
причем.
Тогда скалярное произведение

,

Для простоты
преобразований пусть
плоская кривая, заданная параметрическими
уравнениями,,,
причем начало в точке,
которой соответствует значение параметра,
а конечной точкисоответствует значение параметра,
т.е.,.
Тогда

=

.

Т.е потенциал
определяется по формуле

(3)

Откуда следует,
что работа не зависит от формы пути, а
зависит от положения начальной
и конечнойточек.<

Задача отыскания
потенциала
полятесно связано с задачей восстановления
функции трёх переменных по её полному
дифференциалу.

Теорема 3.
Пусть векторное поле задано функцией
,
которая непрерывно дифференцируема в
области.
Для того, чтобы выражение

(4)

было полным
дифференциалом некоторой функции
,
необходимо и достаточно, чтобы полебыло потенциальным.

‰
Необходимость.
Пусть (4) есть полный дифференциал
,
то с одной стороны по определению,
а с другой стороны,
откуда.
Т.е.,
а, следовательно,– потенциальное поле.

Достаточность.
Пусть
– потенциально, тогда существует функция,
такая, что.
По определению градиента,,,
тогда получаем.<

Для того,
чтобы найти функцию
по её полному дифференциалу необходимо
применить формулу (3), т.е. с точностью
до произвольного постоянного слагаемого
вычислить криволинейный интеграл по
любой кривой, соединяющей две точкии
т.е.

.

Теперь естественно
возникает вопрос: когда, при каких
условиях векторное поле является
потенциальным?

Теорема 4.
Для того чтобы работа векторного поля
не
зависела от формы пути, соединяющего
две точки в области, необходимо и
достаточно, чтобы циркуляция по любому
замкнутому контуру, лежащему в этой
области, была равна нулю.

 Необходимость.
Пусть работа не зависит от пути. Возьмём
контур
(рис. 10.18).

Рис.7

,

Рис.18

.

Достаточность.
Пусть ,
тогда .
Получаем

,

т.е. работа не
зависит от пути.


Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Физические задачи по электростатике мало кто любит. Но что поделать, решать их надо. Разберемся, как это делать по-быстрому и с использованием подробных примеров решений задач на разность потенциалов, задач на работу электрического поля и напряженность.

Наш телеграм – полезная информация для абитуриентов и студентов всех специальностей, присоединяйтесь!

Решение задач на разность потенциалов и работу поля: примеры

Задача №1 на потенциальную энергию системы зарядов

Условие

Два точечных заряда величиной 100 нКл и 10 нКл находятся на расстоянии r=10 см друг от друга. Вычислить потенциальную энергию системы этих зарядов.

Решение

Потенциал поля точечного заряда равен:

Так что, потенциальная энергия зарядов будет равна:

Подставим значения из условия и найдем:

Ответ: П=9*10^-5 Дж.

Задача №2 на определение потенциала заряженных шаров

Условие

Шар радиусом R1=6 см заряжен до потенциала 300 В , а шар радиусом R2=4 см – до потенциала 500 В. Найдите потенциал шаров после того, как их соединили металлическим проводом, емкостью которого можно пренебречь.

Решение

Потенциал шара равен:

Суммарный заряд двух шаров будет равен:

После соединения шаров заряд каждого будет равен:

Тогда суммарный потенциал шаров вычислится по формуле:

Подставим значения и найдем:  

Ответ: 317 В; 475 В.

Задача №3 на разность потенциалов и работу по перемещению заряда

Условие

Заряд переместился между двумя точками с разностью потенциалов 1 кВ, при этом поле совершило работу, равную 40 мкДж. Найдите величину заряда.

Решение

По определению, разность потенциалов равна работе по перемещению заряда, деленной на величину этого заряда:

Отсюда можно выразить заряд и вычислить ответ:

Ответ: 40 нКл.

Задача №4 на работу электрического поля по перемещению заряда

Условие

Два точечных заряда q1=6 мкКл  и  q2=2 мкКл, находятся на расстоянии а=60 см друг от друга. Какую работу необходимо свершить внешним силам, чтобы уменьшить расстояние между зарядами вдвое?

Решение

Находясь на расстоянии a, точечные заряды обладали потенциальной энергией:

На вдвое меньшем расстоянии энергия зарядов равна:

Работа, затраченная на сближение зарядов:

Подставляем числовые данные и вычисляем:

Ответ: A=0,18 Дж.

Задача №5 на движение заряженной частицы в поле

Условие

Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью V=5·107 м/с. Расстояние между пластинами d=2 см, разность потенциалов U=500 В. Найти отклонение электрона, вызванное полем конденсатора, если длина его пластины l=5 см.

Решение

При движении в электрическом поле конденсатора на электрон действует сила:

Ускорение электрона, по 2 закону Ньютона, определяется формулой:

Время движения электрона в конденсаторе вычислим, зная длину пластины и скорость частицы:

Отклонение электрона будет равно:

Найдем:

Ответ: 2.2 мм

Вопросы на тему «Работа электрического поля и разность потенциалов»

Вопрос 1. Что такое потенциал электрического поля?

Ответ. Потенциал – скалярная физическая величина, являющаяся энергетической характеристикой электростатического поля.

Потенциал поля равен отношению потенциальной энергии поля (или работы по перемещению заряда из данной точки на нулевой уровень потенциальной энергии) к величине заряда.

Для потенциала применим принцип суперпозиции.

Вопрос 2. Что такое разность потенциалов?

Ответ. Разность потенциалов – это работа по перемещению заряда из одной точки в другую. Разность потенциалов еще называют напряжением, обозначая его как разность потенциалов в начальной и конечной точках траектории заряда.

Вопрос 3. Что происходит с зарядом, когда он попадает в электрическое поле?

Ответ. На заряд со стороны поля действует сила, способная перемещать заряд в поле и совершать работу.

Вопрос 4. Какую природу имеет сила, действующая на заряд? Зависит ли величина работы от траектории заряда в поле?

Ответ. Сила, действующая со стороны поля на заряд, является проявлением электромагнитного взаимодействия. Величина работы поля не зависит от траектории заряда, так как это работа потенциальных (консервативных) сил.

Для наилучшего понимания сути задач на потенциал и работу поля, можно провести параллель между работой по перемещению заряда, потенциальной энергией в механике и работой силы тяжести.

Вопрос 5. Что такое эквипотенциальная поверхность?

Ответ. Это поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковое значения.

Какие бы задачи вы не решали и где ни учились, профессиональный образовательный сервис для студентов готов оказать помощь с проблемами по учебе любой сложности.

III. Основы электродинамики

Тестирование онлайн

Работа электростатического поля

Рассмотрим ситуацию: заряд q₀ попадает в электростатическое поле. Это электростатическое поле тоже создается каким-то заряженным телом или системой тел, но нас это не интересует. На заряд q₀ со стороны поля действует сила, которая может совершать работу и перемещать этот заряд в поле.

Работа электростатического поля не зависит от траектории. Работа поля при перемещении заряда по замкнутой траектории равна нулю. По этой причине силы электростатического поля называются консервативными, а само поле называется потенциальным.

Потенциал

Система «заряд — электростатическое поле» или «заряд — заряд» обладает потенциальной энергией, подобно тому, как система «гравитационное поле — тело» обладает потенциальной энергией.

Физическая скалярная величина, характеризующая энергетическое состояние поля называется потенциалом данной точки поля. В поле помещается заряд q, он обладает потенциальной энергией W. Потенциал — это характеристика электростатического поля.

Вспомним потенциальную энергию в механике. Потенциальная энергия равна нулю, когда тело находится на земле. А когда тело поднимают на некоторую высоту, то говорят, что тело обладает потенциальной энергией.

Касательно потенциальной энергии в электричестве, то здесь нет нулевого уровня потенциальной энергии. Его выбирают произвольно. Поэтому потенциал является относительной физической величиной.

В механике тела стремятся занять положение с наименьшей потенциальной энергией. В электричестве же под действием сил поля положительно заряженное тело стремится переместится из точки с более высоким потенциалом в точку с более низким потенциалом, а отрицательно заряженное тело — наоборот.

Потенциальная энергия поля — это работа, которую выполняет электростатическая сила при перемещении заряда из данной точки поля в точку с нулевым потенциалом.

Рассмотрим частный случай, когда электростатическое поле создается электрическим зарядом Q. Для исследования потенциала такого поля нет необходимости в него вносить заряд q. Можно высчитать потенциал любой точки такого поля, находящейся на расстоянии r от заряда Q.

Диэлектрическая проницаемость среды имеет известное значение (табличное), характеризует среду, в которой существует поле. Для воздуха она равна единице.

Разность потенциалов

Работа поля по перемещению заряда из одной точки в другую, называется разностью потенциалов

Эту формулу можно представить в ином виде

Эквипотенциальная поверхность (линия) — поверхность равного потенциала. Работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.

Напряжение

Разность потенциалов называют еще электрическим напряжением при условии, что сторонние силы не действуют или их действием можно пренебречь.

Напряжение между двумя точками в однородном электрическом поле, расположенными по одной линии напряженности, равно произведению модуля вектора напряженности поля на расстояние между этими точками.

От величины напряжения зависит ток в цепи и энергия заряженной частицы.

Принцип суперпозиции

Потенциал поля, созданного несколькими зарядами, равен алгебраической (с учетом знака потенциала) сумме потенциалов полей каждого поля в отдельности

Как определить знак потенциала

Зависимость напряженности и потенциала от расстояния

Напряжение в природе

Энергия взаимодействия зарядов*

Изучению методов решения задач по теме «Потенциал электростатического поля» следует уделять особое внимание. От того, насколько хорошо ученик усвоит данный материал, зависит глубина понимания последующих разделов курса физики (в первую очередь тем, связанных с постоянным и переменных электрическим током). Умение решать задачи на нахождение потенциала является, кроме того, одним из требований к Единому Государственному Экзамену (ЕГЭ) по физике 2012 года.

Прежде чем приступить к решению типовых задач, вспомним основные теоретическое сведения, связанные с этой темой:

• Электростатическое поле является потенциальным. Это означает, что работа сил электрического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю. Если же траектория перемещения заряда не является замкнутой,

то работа электростатического поля в этом случае определяется следующим образом: ΔA = EqΔlcos α, где E — напряженность поля в данной точке, q — величина заряда, Δl — величина малого перемещения заряда, α — угол между направлением напряженности поля и перемещением заряда.

• Если переместить заряд q из точки с потенциальной энергией W₁ в точку с потенциальной энергией W₂, то разница этих энергий будет равна работе, которую совершит при этой электрическое поле: A = W₂ − W_1.

• Потенциал электрического поля — физическая скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии электрического заряда в данной точке электростатического поля к величине этого заряда:

Потенциал — энергетическая характеристика поля. В международной системе единиц (СИ) единицей потенциала является вольт (В).

• Потенциал поля точечного разряда и заряженной сферы определяется соотношением:

где r — расстояние от заряда или центра сферы до данной точки пространства (в случае со сферой эта точка должна располагаться вне сферы), q — величина заряда, k = 9 · 10⁹ Н·м²/Кл² — постоянный коэффициент. Потенциал внутри сферы в любой точке одинаков и равен потенциалу на ее поверхности:

где R — радиус сферы.

• Работа по перемещению электрического заряда q из одной точки пространства в другую равна произведению этого заряда на разность потенциалов между этими точками: A₁₂ = q(φ₂ − φ₁).
• Напряжение между двумя точками однородного электростатического поля и напряженность этого поля связаны соотношением: U = Ed, где d — расстояние между эквипотенциальными поверхностями, которым принадлежат эти точки.

Приступим теперь к решению задач. Как и всегда рекомендую читателю решить их сперва самостоятельно, а полученные решения сравнивать с приведенными в статье. Некоторые задачи взяты из реальных вариантов ЕГЭ по физике разных лет, а также из пособий, рекомендованных для подготовки к этому экзамену.

Задача 1. При перемещении заряда между точками с разностью потенциалов 1 кВ электрическое поле совершило работу 40 мкДж. Чему равен заряд?

Решение: решаем устно. Из формулы A₁₂ = q(φ₂ − φ₁) получаем, что q = A / (φ₂ − φ₁) = 40 · 10 ^{− 6} / 10³ = 4 · 10 ^{− 8} Кл.

Ответ: 4 · 10 ^{− 8} Кл.

Задача 2. В однородном электрическом поле напряженностью 60 кВ/м переместили заряд 5 нКл. Перемещение, равное по модулю 20 см, образует угол 60⁰ с направлением силовой линии. Найти работу поля, изменение потенциальной энергии взаимодействия заряда и поля и напряжение между начальной и конечной точками перемещения. Дать ответы на те же вопросы для случая перемещения отрицательного заряда.

Решение: работу поля по перемещению заряда можно вычислить по формуле A = Eqlcos α = 60 · 10³ · 5 · 10 ^{− 9} · 0.2 · cos 60⁰ = 3 · 10 ^{− 5} Дж. Изменение потенциальной энергии в данном случае равно совершенной работе, следовательно: ΔW = —A = —3 · 10 ^{− 5} Дж (потенциальная энергия уменьшилась). Напряжение определяется через напряженность поля по формуле: U = Ed = Elcos α, поскольку в данном случае в заряд перемещали под углом к направлению силовых линий. Итак, U = 60 · 10³ · 0.2 · cos 60⁰ = 6000 В. В случае с отрицательным зарядом значения A и ΔW просто изменят знак.

Ответ: 3 · 10 ^{− 5} Дж, —3 · 10 ^{− 5} Дж, 6000 В, -3 · 10 ^{− 5} Дж, 3 · 10 ^{− 5} Дж, 6000 В.

Задача 3. Электрон переместился в ускоряющем электрическом поле из точки с потенциалом 200 В в точку с потенциалом 300 В. Найти кинетическую энергию электрона, изменение его потенциальной энергии и приобретенную скорость. Начальную скорость электрона считать равной нулю.

Решение: работу, которую совершило поле при перемещении электрона, находим следующим образом: A₁₂ = q(φ₂ − φ₁) = 1.6 · 10^-19 · (300 — 200) = 1.6 · 10^-17 Дж. Значит изменение потенциальной энергии электрона в поле равно: ΔW = —A = —1.6 · 10 ^{− 17} Дж. Это уменьшение компенсируется увеличением его кинетической энергии на такое же значение, что следует из закона сохранения энергии: E = 1.6 · 10 ^{− 17} Дж. Поскольку E = mυ² / 2, то υ = √(2E / m) = √(2 · 1.6 · 10 ^{− 17}/9.1 · 10 ^{− 31}) = 6 Мм/с.

Ответ: 1.6 · 10 ^{− 5} Дж, —1.6 · 10 ^{− 5} Дж, 6 Мм/с.

Задача 4. Какую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы его скорость увеличилась от 10 до 30 Мм/с?

Решение: изменение кинетической энергии электрона при прохождении такой разности потенциалов можно найти из соотношения: ΔE = mυ₂² / 2 — mυ₁² / 2 = 8 / 18  · 9.1 · 10 ^{− 31} · (30 · 10 ⁶)² = 3.6 · 10 ^{− 16} Дж. Это же изменение по закону сохранения энергии равняется работе, которую совершило при этом электрическое поле: E = —A = -3.6 · 10 ^{− 16} Дж. Используя соотношение, записанное в самом начале, получаем: φ₂ − φ₁ = A / q = -3.6 · 10 ^{− 16}/ 1.6 · 10^-19 = -2250 В.

Ответ: -2250 В.

Профессиональный репетитор
по физике и математике
Сергей Валерьевич