Как найти работу при растяжении пружины - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Сила упругости, как и
сила тяжести, является консервативной. Напомним, что консервативная сила —
это такая сила, работа которой при движении тела по замкнутому контуру, равна
нулю. В одном из уроков мы уже убедились, что работу силы упругости нельзя
вычислить, пользуясь общей формулой для работы силы. Дело в том, что сила
упругости изменяется с изменением растяжения или сжатия пружины. Поэтому нам
необходимо будет воспользоваться графиком зависимости силы упругости от
удлинения.

Поскольку сила упругости
линейно зависит от удлинения, нам не составит труда найти площадь под графиком
функции силы упругости. Эта площадь и будет являться работой. На графике
зависимости силы упругости от удлинения обозначим два произвольных значения
силы: F₁
и F₂.
Этим значениям будут соответствовать значения удлинения х₁ и х₂.
Как видно из графика, чтобы найти работу, нам нужно вычислить площадь трапеции.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты. Очевидно, что
основания — это F₁
и F₂,
а высота равна х₁ − х₂. Тогда,
используя формулу для силы упругости, мы можем вывести окончательное выражение
для работы силы упругости:

Напомним, что изучая
работу силы, мы пришли к выводу, что работа равна изменению кинетической
энергии. В данном случае мы видим, что работа силы упругости равна изменению
потенциальной энергии пружины. Но о потенциальной энергии мы поговорим
немного позже.

Итак, мы выяснили, что работа
силы упругости, так же, как и работа силы тяжести, не зависит от траектории
движения.

Пример решения задачи.

Задача.
Когда пружину, изначально находящуюся в расслабленном состоянии, растянули на 2
см, сила упругости составила 5 Н. Найдите работу силы упругости при растяжении этой
пружины на 8 см.

Источник

Перейти к контенту

Условие задачи:

Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину с жесткостью 40 кН/м на 0,5 см?

Задача №2.7.1 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(k=40) кН/м, (x=0,5) см, (A-?)

Решение задачи:

Работу (A) внешней силы по растяжению пружины на величину (x) из недеформированного состояния следует искать по следующей формуле:

[A = frac{{k{x^2}}}{2}]

Переведем величину деформации (x) в систему СИ:

[0,5;см = frac{{0,5}}{{100}};м = 0,005;м]

[A = frac{{40 cdot {{10}^3} cdot {{0,005}^2}}}{2} = 0,5;Дж = 500;мДж]

Ответ: 500 мДж.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.6.15 Деревянный брусок массы 2 кг тянут равномерно по горизонтальной доске с помощью
2.7.2 Какую работу совершает постоянная сила по перемещению на 5 м тела массой 3 кг
2.7.3 Определить работу, необходимую для поднятия груза массой 3 кг на высоту 10 м

( 8 оценок, среднее 4.5 из 5 )

Источник

Работа силы упругости

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 468.

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 468.

В повседневной жизни часто приходится встречаться с таким понятием как работа. Что это слово означает в физике и как определить работу силы упругости? Ответы на эти вопросы вы узнаете в статье.

Механическая работа

Работа – это скалярная алгебраическая величина, которая характеризует связь между силой и перемещением. При совпадении направления этих двух переменных она вычисляется по следующей формуле:

A=FS

Где:

F – модуль вектора силы, которая совершает работу;
S – модуль вектора перемещения.

Не всегда сила, которая действует на тело, совершает работу. Например, работа силы тяжести равна нулю, если ее направление перпендикулярно перемещению тела.

Если вектор силы образует отличный от нуля угол с вектором перемещения, то для определения работы следует воспользоваться другой формулой:

A=FScosα

Где:

α – угол между векторами силы и перемещения.

Значит, механическая работа – это произведение проекции силы на направление перемещения и модуля перемещения, или произведение проекции перемещения на направление силы и модуля этой силы.

Знак механической работы

В зависимости от направления силы относительно перемещения тела работа A может быть:

положительной (0°≤ α<90°);
отрицательной (90°<α≤180°);
равной нулю (α=90°).

Если A>0, то скорость тела увеличивается. Пример – падение яблока с дерева на землю. При A<0 сила препятствует ускорению тела. Например, действие силы трения скольжения.

Единица измерения работы в СИ (Международной системе единиц) – Джоуль (1Н*1м=Дж). Джоуль – это работа силы, значение которой равно 1 Ньютону, при перемещении тела на 1 метр в направлении действия силы.

Работа силы упругости

Работу силы можно определить и графическим способом. Для этого вычисляется площадь криволинейной фигуры под графиком F_s(x).

Так, по графику зависимости силы упругости от удлинения пружины, можно вывести формулу работы силы упругости.

Она равна:

A=kx²/2

Где:

k – жесткость;
x – абсолютное удлинение.

Что мы узнали?

Механическая работа совершается при действии на тело силы, которая приводит к перемещению тела. В зависимости от угла, который возникает между силой и перемещением, работа может быть равна нулю или иметь отрицательный или положительный знак. На примере силы упругости вы узнали о графическом способе определения работы.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Саша Волков

5/5
Николай Топченский

5/5
Катя Пу

5/5

Оценка доклада

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 468.

А какая ваша оценка?

Источник

Авторы
Резюме
Файлы

Иванов Е.М.

Показано, что работа растяжения пружины A>kx_m² , где k — жесткость пружины, x_m — максимальное растяжение. При вычислении работы надо использовать значения x и dx, полученные из решения уравнения движения.

It is shown, that work of a stretching of a spring A>kx_m² , where k — rigidity of a spring, x_m — the maximal stretching. At calculation of work it is necessary to use values x and dx, the equations of movement received from the decision.

Рассмотрим спиральную пружину, один конец которой закреплен (рис. 1а), а к другому прикреплен груз массой m. Если пружину растянуть или сжать, то возникает сила F, стремящаяся вернуть тело в положение равновесия. При небольших растяжениях x справедлив закон Гука — сила пропорциональна растяжению пружины: F = -kx. Постоянная k называется коэффициентом упругости, или жесткостью пружины. Знак минус означает, что сила F направлена в сторону, противоположную смещению x, т.е. к положению равновесия x = 0. Геометрически (рис. 1b) , k = tgβ, x_m — максимальное (амплитудное) растяжение пружины.

В курсах физики утверждается, что работа при растяжении от x = 0 до x_m будет равна

(1)

и эта работа равна потенциальной энергии пружины, растянутой (или сжатой) на величину x_m и обладающей жесткостью k. Однако это одно из заблуждений классической механики. Растягивающей силой, равной F = kx, нельзя растянуть пружину даже на долю микрона. Чтобы растянуть пружину, надо приложить растягивающую силу в виде (F₁ + k₁x ), где F₁>0 (рис. 2а). Уравнение движения (II закон Ньютона) запишем в следующем виде:

(2)

Решение при нулевых начальных условиях (при t = 0, x =0 и V =0) имеет вид

Из решения следует, что если F₁ =0, то растяжения пружины не происходит. Амплитудные значения (при x = x_m):

Работу вычисляем по формуле , где F = F₁ — (k — k₁)x, а x и dx определяются из выражений (3) и (4). Работа, совершаемая растягивающей силой

(5)

Работа, совершаемая силой упругости пружины

(6)

Из соотношения (5) следует, что работа, совершаемая растягивающей силой, не зависит от величин F₁ и k₁ и равна работе

(5а)

совершаемой постоянной силой F₀, при этом работа, совершаемая силой упругости пружины A_—⁰ = -kx_m² разность работ ΔA₀ = kx_m² / 2 , конечная скорость при x = x_m На рис. 3 даны графики зависимостей V_m / V₀ и ΔA = kx_m² от величины отношения K₁ / K. ΔA — кинетическая энергия груза.

Рассмотрим случай растягивающей силы F_P > F₀ (рис.2b) F_P = F₂ + k₂x = F₂ — b²x , где b² = -k₂ = tgα. Дифференциальное уравнение движения имеет вид:

(7)

Его решение при нулевых начальных условиях имеет вид:

; (8)

(9)

Амплитудные значения (при x = x_m): x_m = F₂ / mω²; ; .

Работа, совершаемая растягивающей силой

(10)

Работа, совершаемая силой упругости пружины

(11)

Кинетическая энергия груза при x = x_m

(12)

На рис. 4 даны графики изменения безразмерных комплексов ΔA / kx_m² и V_m / V₀ в зависимости от величины отношения k₂ / k.

Рассмотрим третий способ растяжения пружины с грузом (рис. 2с). Прикладываем растягивающую силу F_a >>F₀ для растяжения пружины на некоторое расстояние x_a, затем сила F_a отключается, а оставшийся отрезок пути, равный x_m — x_a, груз проходит по инерции, используя запас кинетической энергии K_a, приобретенный в точке x_a. Для первого участка пути дифференциальное уравнение имеет вид

(13)

Его решение при нулевых начальных условиях:

; (14)

(15)

Время движения до x = x_a

(16)

Работу вычисляем по формуле , где F(x) = F_a — kx, а x и dx определяются выражениями (14) и (15). Работа растяжения на участке до x = x₀

(17)

Работа, совершаемая силой упругости пружины на этом же участке

(18)

Кинетическая энергия, приобретенная грузом:

(19)

Для второго участка уравнение движения имеет вид

(20)

Начальные условия для этого уравнения примем в виде: при t = 0 координата x = x_a, скорость V_a определяется выражением (15) при t = t_a. Решение будет иметь вид:

(21)

(21a)

Работа силы упругости пружины на участке от x = x_a до x_m определится интегралом , где x и dx определяются выражениями (21) и (21а):

(22)

где t_m ─ время движения груза от x=x_a до x = x_m. Условием достижения этой точки является равенство начальной кинетической энергии K_a работе силы упругости пружины A₂. Это равенство сводится к трансцендентному уравнению

(23)

где a = kx_a² / 2; b = K_a — a; c = kx_aV_a / 2ω; φ = ωt_m.

Приведем численный пример. Груз массой m = 1 кг, прикрепленный к пружине с жесткостью k = 400 Н/м, растягивается силой F₀ = 80 Н на расстояние x_m = 0,2. Работа силы растяжения Дж, работа силы упругости пружины Дж, время t = 0,0785 с.

Проведем растяжение силой F_a по схеме, показанной на рис. 2с. Расчет сведем в таблицу 1.

Таблица 1.

F_a [H]	K_a [Дж]	t_a [c]	x_a [м]	A₊[Дж]	A_— [Дж]	t_m [c]
8000	8	0,0005	0,001	16	-8	0,078
800	7	0,00468	0,00876	14,015	-7,015	0,0762
200	6	0,0176	0,0309	12,19	-6,19	0,0696
80	3,75	0,0377	0,054	8,088	-4,338	0,0597

Таким образом, только в случае растяжения пружины с грузом по схеме, показанной на рис.2с, можно затратить работу на растяжение A₊, близкую к потенциальной энергии растянутой пружины П = kx_m² / 2.

Библиографическая ссылка

Иванов Е.М. РАБОТА ДЕФОРМАЦИИ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА // Современные наукоемкие технологии. – 2007. – № 3.
– С. 15-19;

URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=24676 (дата обращения: 28.05.2023).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

Источник

Овчинников О.Ю. Механическая работа и механическая энергия // Квант. — 1985. — № 5. — С. 46-50.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

§ 1. В механике работа, совершаемая постоянной силой при перемещении тела на величину , равна произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла α между векторами силы и перемещения:

A = F·s·cos α.

Такое понятие не всегда соответствует обыденному представлению о работе. Например, штангист, удерживающий груз на поднятых руках, или носильщик, несущий тяжелый чемодан, механической работы не совершают (объясните — почему?).

Когда действующая на тело сила не постоянна (меняется ее модуль или направление), работу такой силы можно найти следующим образом. Разобьем все перемещение тела на такие малые участки , чтобы на каждом из них силу можно было считать постоянной и равной соответственно . Затем найдем работу на каждом участке:

A₁ = F₁·s₁·cos α₁,

A₂ = F₂·s₂·cos α₂, …

A_n = F_n·s_n·cos α_n,

a полная работа будет равна сумме работ на отдельных участках:

A = A₁ + A₂ + … + A_n.

В тех случаях, когда известно, как изменяется от точки к точке проекция силы на направление перемещения F_s = F·cos α, работу можно найти графически (рис. 1). Полная работа на участке ВС численно равна площади фигуры BDEC.

Рис. 1

Задача 1. Чему равна работа по равномерному подъему однородной гладкой цепочки на гладкий горизонтальный стол? Первоначальное положение цепочки указано на рисунке 2, а; ее длина l = 6 м; масса m = 3 кг.

а б в

Рис. 2

В начальный момент на цепочку действует сила тяжести m·g, и для ее удержания требуется сила

F = m·g.

По мере поднятия цепочки на стол сила, необходимая для поднятия, будет уменьшаться. Обозначим длину части цепочки, уже лежащей на столе, через x (рис. 2, б). В этот момент к цепочке надо приложить силу

Построим график зависимости F = F(x) (рис. 2, в). Тогда работа, которую совершит эта сила при равномерном подъеме всей цепочки, будет численно равна площади заштрихованного треугольника:

Заметим, что совершенная работа равна работе по подъему центра тяжести цепочки. Поскольку в начальный момент он находится на расстоянии l/2 от поверхности стола, потребуется работа .

Задача 2. К точкам В и С, находящимся на одной горизонтали, подвешены однородная цепочка длиной 2l и система из двух стержней, соединенных шарниром, каждый из которых имеет длину l (рис. 3, а). Масса цепочки равна массе обоих стержней. Какой из центров тяжести — цепочки или системы стержней — находится ниже?

Рис. 3.

Подействуем на цепочку таким образом, чтобы ее положение совпало с положением системы стержней (рис. 3, б). Очевидно, что в этом случае центры тяжести цепочки и стержней тоже совпадают. Поскольку для того чтобы перевести цепочку в новое положение потребовалось над ней совершить некоторую работу, можно утверждать, что ее новое положение центра тяжести выше прежнего.

Следовательно, первоначально центр тяжести цепочки находился ниже центра тяжести системы стержней.

Задача 3. В первом опыте пружину, имеющую жесткость k и длину в недеформированном состоянии l₀, растягивают до длины l. Во втором опыте эту пружину сначала разрезают на две равные части, затем берут одну из них и растягивают ее тоже до длины l. Определите работу, которую надо совершить в первом и во втором опытах.

Согласно закону Гука, при растяжении пружины на величину x возникает сила упругости F_yпр = –k·x (знак «минус» говорит о том, что сила упругости стремится вернуть пружину в исходное состояние). Для того чтобы растянуть пружину, к ней надо приложить внешнюю силу , равную по модулю силе упругости, но противоположную ей по направлению:

F = –F_yпр = k·x.

Построим график зависимости F = F(x) (рис. 4, а) и по нему найдем работу, которую должна совершить внешняя сила для растяжения недеформированной пружины на величину x:

Рис. 4.

В случае, когда пружина уже была растянута на величину x₁, а теперь ее надо растянуть до x₂, работа внешней силы будет равна (рис. 4, б)

Теперь вернемся к нашей задаче. В первом опыте для растяжения целой пружины с жесткостью k из недеформированного состояния до длины l необходимо совершить работу

Во втором опыте до той же длины l растягивают лишь половину пружины так, что удлинение . Кроме того, жесткость половины пружины не такая, как жесткость целой пружины: она в два раза больше (покажите это самостоятельно). Поэтому во втором опыте необходимо совершить работу

§ 2. В механике принято различать кинетическую энергию, обусловленную движением, и потенциальную, определяемую взаимным расположением тел системы или частей одного и того же тела.

Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью υ, равна

Потенциальная энергия тела, находящегося в поле тяжести на высоте h над нулевым уровнем, равна

E_p= m·g·h,

а потенциальная энергия упруго деформированного тела равна

Между понятиями «механическая работа» и «механическая энергия» есть тесная связь. Работа равнодействующей сил, приложенных к системе, равна изменению кинетической энергии системы:

A= E_k₂ – Е_k₁.

Работа сил тяжести или упругости, действующих в системе, равна взятому с противоположным знаком изменению потенциальной энергии системы:

А = –(Е_p₂ – Е_p₁).

Задача 4. На рогатке закреплена длинная (по сравнению с размерами рогатки) резина с жесткостью k. Найдите максимальную скорость камня массой m, выпущенного из рогатки, если предварительно его оттянули на расстояние x(рис. 5).

Рис. 5

Поскольку резина длинная, можно считать, что на камень действуют две параллельные силы упругости резины . При оттягивании камня на расстояние x суммарное удлинение пружины будет 2x, и модуль силы упругости F = k·(2x) = 2k·x.

При возвращении в исходное недеформированное состояние резины силы упругости, действующие на камень, совершат работу

За счет этой работы камень приобретет кинетическую энергию

Таким образом,

откуда

Задача 5. Какая работа будет совершена силой F = 30 H при подъеме тела массой m = 2 кг на высоту h = 20 м?

Согласно определению, работа приложенной к телу силы равна

A = F·h = 600 Дж.

С другой стороны, при подъеме тела на высоту h против силы тяжести m·g совершается работа

A‘ = m·g·h = 400 Дж.

Конечно же, ничего странного в расхождении полученных результатов нет. Дело в том, что А‘ — это минимальная работа, которую нужно совершить для поднятия тела. За счет этой работы увеличивается его потенциальная энергия в поле тяжести Земли:

ΔE_p= m·g·h = 400 Дж.

Остальная же часть работы идет на увеличение кинетической энергии тела (тело движется с ускорением, а почему?):

ΔE_k = A – A‘ = 200 Дж.

Задача 6. На невесомой конструкции из стержней, соединенных шарнирно, подвешен груз массой m (рис. 6). Чему равно натяжение нити?

Рис. 6

Мысленно уменьшим длину нити на величину x, настолько малую, чтобы изменением силы натяжения нити можно было пренебречь. Тогда груз поднимется на высоту 2x (покажите это).

Работа силы натяжения нити при этом будет равна

A = F_н·x,

а потенциальная энергия груза в поле тяжести Земли изменится на

ΔE_p = m·g·(2x) = 2m·g·x.

Таким образом,

F_н·x = 2m·g·x,

откуда

F_н = 2m·g.

§ 3. Энергия принадлежит к тем немногим физическим величинам, для которых выполняются законы сохранения.

В частности, если система тел замкнута и тела взаимодействуют друг с другом только силами тяготения и упругости, то полная механическая энергия системы (то есть сумма кинетической и потенциальной энергий) остается постоянной. Действие же силы, трения приводит к тому, что часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию системы. Но и в этом случае сумма всех видов энергии системы сохраняется неизменной.

Задача 7. Мальчик на коньках разгоняется до скорости υ и вкатывается на горку, покрытую льдом. До какой высоты, считая от основания горки, он сможет подняться, если коэффициент трения μ, а угол наклона горки к горизонту α?

В начальный момент мальчик обладает кинетической энергией , а в конечный момент — потенциальной энергией m·g·h (здесь m — масса мальчика, h — искомая высота подъема). За счет уменьшения полной механической энергии совершается работа против силы трения :

Отсюда находим искомую высоту h:

Задача 8. Камень массой m соскальзывает с гладкой горки высотой Н. Рассмотрим этот процесс в двух различных инерциальных системах отсчета. С точки зрения наблюдателя в неподвижной системе потенциальная энергия камня m·g·H переходит в кинетическую энергию , так что после соскальзывания с горки камень имеет скорость υ (рис. 7). Наблюдатель, находящийся в системе отсчета, движущейся со скоростью υ вправо, скажет, что вначале у камня есть потенциальная энергия m·g·H и кинетическая энергия , а в конце нет ни той, ни другой. Куда же «пропала» энергия?

(Аналогичные вопросы подробно разбираются в статье В.А. Орлова «Парадокс «большого» тела», опубликованной в третьем номере журнала за 1978 год. (Примеч. ред.))

Рис. 7

Сразу же скажем, что закон сохранения энергии выполняется и в этом случае. Причина сформулированного в условии парадокса в том, что рассуждения проводились для незамкнутой системы — одного камня, а Земля, с которой камень взаимодействует, не учитывалась. Исправим эту ошибку.

а) В неподвижной системе отсчета (связанной с центром масс системы камень — Земля) в начальный момент камень и Земля покоятся, и вся энергия равна потенциальной энергии системы. В конечный момент камень приобретает скорость , а Земля — скорость , которую можно найти из закона сохранения импульса:

откуда

где М — масса Земли.

Согласно закону сохранения энергии,

Поскольку масса камня ничтожно мала по сравнению с массой Земли, величиной m/М по сравнению с единицей можно пренебречь. Тогда получим

что целиком соответствует условию задачи.

б) В движущейся системе отсчета в начальный момент общая энергия системы равна

а в конечный она равна . Из закона сохранения импульса

получаем

Тогда из закона сохранения энергии имеем

или, пренебрегая величиной m/M по сравнению с двойкой,

— тот же самый результат, что и с точки зрения неподвижного наблюдателя!

Упражнения

1. Тело массой M = 990 г лежит на горизонтальной плоскости. В него попадает пуля массой m = 10 г, летящая горизонтально со скоростью υ = 100 м/с, и застревает в нем. Какой путь пройдет тело до остановки, если коэффициент трения между ним и плоскостью μ = 0,05?

2. В вагоне равномерно идущего поезда стоит человек, натягивающий пружину с силой (рис. 8). Поезд прошел путь l. Какую работу при этом совершил человек в системе отсчета, связанной с поездом, и в системе отсчета, связанной с Землей?

Рис. 8

Ответы

2. В обеих системах отсчета A = 0.

Источник