Как найти работу силы интеграл - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Продолжаем предыдущий урок на тему «Применение криволинейных интегралов 2 рода».
Готовые ответы задач на работу силового поля помогут студентам выучить тему, и научат быстро находить нужные интегралы.

Пример 4.2 Найти работу силы F () при перемещении точки вдоль кривой C:
x²/4+y²/9=1 от точки A(- 2;0) к точке B(0;3).
Решение: Запишем уравнение заданного эллипса в параметрическом виде: x=2*cos(t), y=3*sin(t).

Наведем графически траекторию материальной точки вдоль эллипса.

Тогда дифференциал переменных по параметру будет равен dx=-2*sin(t)dt, dy=3*cos(t)dt .
При этом пределы интегрирования ограничатся точками Pi и Pi/2.
Найдем работу силы F по кривой C через криволинейный интеграл ІІ рода :
Пересмотрите внимательно формулы интегрирования синуса и косинуса, и понижения степени для таких функций.

Пример 4.4 Найти работу силы по перемещению точки вдоль кривой C:
y=4-2x^2 от точки к точке
Решение: Построим траекторию движения материальной точки вдоль параболы L: y=4-2x².

Вычисляем дифференциал дуги y=4-2x², dy=-4x*dx и из условия выписиваем пределы интегрирования
Работа силы F находим с помощью криволинейного интеграла второго рода

Интегрирование занимает не мало времени и при превращениях можно допустить ошибку, поэтому будьте внимательные в этих местах.

Пример 4.11 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
y=ln(x) от точки A(1;0) к точке B(e;1).
Решение: Траектория материальной точки вдоль логарифма имеет вид
Находим дифференциал логарифма y=ln (x), dy=dx/x.
Пределы интегрирования изменяются от единицы к экспоненте.
Работа силы F с помощью криволинейного интеграла ІІ рода примет значение:

Здесь для логарифма применили правило интегрирования частями (u*dv).

Пример 4.13 Найти работу силы F при перемещении вдоль кривой C:
x²+y²=9 от точки A (0;-3) к точке , где F задана формулой

Решение: Построим траекторию движения материальной точки вдоль круга радиусом 3.

Чтобы не выражать две функции (верхняя и нижняя кривая круга) запишем зависимость x(y) и вычислим дифференциал дуги

При этом ордината изменяется от — 3 до 3/2.
Применяя криволинейный интеграл ІІ рода находим роботу силы F при перемещении вдоль круга:

Бороться с корнями во время интегрирования непросто, о чем свидетельствует приведенные вычисления.
Намного проще вычислять интеграл при переходе к полярной системе координат.
Дальше наведем методику интегрирования:

ІІ — способ:
Параметризуэм заданный круг:

Учитывая, что во время движения от точки A(0;-3) к точке угол изменяется от

Вычисляем искомый криволинейный интеграл ІІ рода :
В плане вычислений второй метод более легкий, поэтому для круговых и эллиптических форм кривой при симметричном вхождении x, y в уравнение силы рекомендуем переходить к полярной системе координат.

Пример 4.15 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
4x²+y²=4 от точки A(0;2) к точке B (-1;0).
Решение: Траектория движения материальной точки по эллипсу приведена ниже

Записываем верхнюю дугу эллипса и ее производную.

Пределы интегрирования изменяются от 0 к -1
Работа силы F через криволинейный интеграл второга рода выражается зависимостью:

Пример 4.18 Найти работу силы по перемещению материальной точки вдоль кривой C:
y=cos(x) от точки A(Pi/2;0) к точке B(-Pi/2;0).
Решение: Изобразим траекторию материальной точки вдоль косинуса

Построим дифференциал кривой y=cos(x), dy=-sin(x)*dx.
Он нужен для возведения криволинейного интегралу ІІ рода к определенному.
Находим работу силы F по перемещении вдоль контура интегрированием

Для понижения под интегралом степеней косинуса и синуса применили известные тригонометрические формулы.

Пример 4.21 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
y=x³ от точки A(0;0) к точке B(2;8).
Решение: Построим траекторию материальной точки вдоль кривой y=x³.

Вычисляем дифференциал дуги dy=3x²dx.
Пределы интегрирования приведены на рисунку и в условии.
Работа силы F находим с помощью криволинейного интегралу ІІ рода:

Превращаем все к показательной форме и интегрируем.

Пример 4.23 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C: x²+2y²=2 от точки к точке
Решение: За инструкцией строим траекторию материальной точки вдоль эллипса: x²+2y²=2.

Для простоты вычислений криволинейного интеграла ІІ рода параметризуэм эллипс:

Учитывая, что от точки к точке угол изменяется в пределах переходим к интегрированию

Понижаем степени и интегрируем.

Пример 4.24 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
y=1-|x| от точки A(-1;0) к точке B(2;- 1).
Решение: Наведем траекторию материальной точки вдоль модуль функции.

Как ни хотелось встретить задания с разбитием кривой на два интервала, однако одно Пример содержит такое условие. Разделим на две части: y=1+x, тогда пределы равны [-1;0] и дифференциал dy=dx;
На втором участке y=1-x имеем [0;2] и dy=-dx.
Вычисляем работу силы F, потраченную на перемещении точки вдоль модуль функции:

На этом ознакомление из такого сорта примерами завершено.
Больше готовых ответов из курса высшей математики ищите на страницах сайта.

Источник

Работа
— это изменение формы движения,
рассматриваемое с его количественной
стороны. В общем смысле работа
— это процесс превращения одних форм
движения материи в другие и одновременно
количественная характеристика этого
процесса.

Механическая
работа —
процесс, в котором под действием сил
изменяется энергия системы, и одновременно
количественная мера этого изменения.

При совершении
работы всегда имеются сила, действующая
на материальную точку (систему, тело),
и вызванное данной силой перемещение.
При отсутствии хотя бы одного из этих
факторов работа не совершается.

Элементарная
работа
некоторой силы F,
действующей на материальную точку
(тело, систему), вызывающей элементарное
перемещение dr,
равна произведению силы на перемещение:

dA
= Fdr
= Fdrcos
= F_rdr,
(7.1)

где
α
— угол между направлением перемещения
и направлением действующей силы.

Из (7.1) следует, что при

α
< π/2,
dA > 0 — работа положительная;

α
= π/2,
dA = 0 — работа не совершается;

α
> π/2,
dA < 0 — работа отрицательная;

α
= 0, dA = Fdr
— направление перемещения и направление
действующей силы совпадают.

В том случае, когда
величина тангенциальной составляющей
силы остаётся всё время неизменной, то
работа определяется соотношением

.
(7.2)

В
частности, это условие выполняется,
если тело движется прямолинейно, и
постоянная по величине сила
образует с направлением движения
постоянный угол.
Поэтому выражению (7.2) в данном случае
можно придать следующий вид:

.
(7.3)

Надо
отметить, что понятие работы в механике
существенно отличается от обыденного
представления о работе. Например, для
того, чтобы держать тяжелый груз, стоя
неподвижно, а тем более для того, чтобы
перенести этот груз по горизонтальному
пути, носильщик затрачивает определенные
усилия, т.е. «совершает работу».
Однако работа как механическая величина
в этих случаях равна нулю.

Вектор
силы на плоскости всегда можно разложить
на две составляющие — нормальную и
тангенциальную. Ясно, что только
тангенциальная составляющая силы
способна совершить работу. В случае,
когда величина проекции силы на
направление перемещения не остается
постоянной во времени, для вычисления
работы следует разбить путь S на
элементарные участки
,
взяв их столь малыми, что за время
прохождения телом такого участка можно
было бы считать силу постоянной. Тогда
на каждом элементарном участке путиS₁работа
силы равна

.
(7.4)

А
работа на всем пути S может быть вычислена
как сумма элементарных работ:

.
(7.5)

В
общем случае, когда материальная точка
(тело, система), двигаясь по криволинейной
траектории, проходит путь конечной
длины, можно мысленно разбить этот путь
на бесконечно малые элементы, на каждом
из которых сила F
может считаться постоянной, а элементарная
работа может быть вычислена по формуле
(7.1). Сложив все эти элементарные работы
и перейти к пределу, устремив к нулю
длины всех элементарных перемещений,
а их число – к бесконечности, получим

. (7.6)

Выражение
(7.6) называют криволинейным интегралом
вектора F
вдоль траектории L.

Рис.7.1

Работу, определяемую
формулой (7.6), можно изобразить графически,
в координатах F — S,
площадью фигуры, что соответствует
нахождению криволинейного интеграла.
На рис.7.1 построен график F_
как функции положения точки на траектории.
Из рисунка видно, что элементарная
работа
численно равна площади заштрихованной
полоски, а работана пути от точки 1 до точки 2 численно
равна площади фигуры, ограниченной
кривой F_(S),
вертикальными прямыми 1 и 2 и осью OS.

Единица
измерения работы в СИ носит название
джоуль (Дж).

Найдем
работу, совершаемую при растяжении
пружины, подчиняющемуся закону Гука.
Сила, растягивающая пружину, равна по
величине и противоположна по направлению
упругой силе, т.е.

,
(7.7)

где
– удлинение пружины.

Соседние файлы в папке Лекции

Источник

На материальную точку $Tleft(x,yright)$ действует переменная сила $overline{F}=left(3cdot x-2cdot yright)cdot overline{i}+4cdot ycdot overline{j}$. Под действием этой силы материальная точка перемещается на отрезке $left[6;15right]$ от точки $M$ до точки $N$ вдоль синусоидальной кривой $y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2$. Найти работу переменной силы $overline{F}$ на криволинейном пути от точки $M$ до точки $N$. Построить графическое изображение пути от точки $M$ до точки $N$, а также векторы переменной сили $overline{F}$ в этих точках.

Выполняем графическое изображение синусоидальной кривой $y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2$ на отрезке $left[6;15right]$.

Находим значения синусоиды в точках $x_{M} =6$ и $x_{N} =15$:

$y_{M} =7cdot sin left(0,31cdot 6-1,57right)+2approx 4$;
$y_{N} =7cdot sin left(0,31cdot 15-1,57right)+2approx 2,43$.

Выполняем графические изображения векторов переменной силы $overline{F}=left(3cdot x-2cdot yright)cdot overline{i}+4cdot ycdot overline{j}$, значения которого в точках $M$ и $N$ соответственно равны $overline{F}_{M} =left(3cdot 6-2cdot 4right)cdot overline{i}+4cdot 4cdot overline{j}=10cdot overline{i}+16cdot overline{j}$ и $bar{F}_{N} =left(3cdot 15-2cdot 2,43right)cdot overline{i}+4cdot 2,43cdot overline{j}=40,14cdot overline{i}+9,72cdot overline{j}$.

Работу данной силы на данном участке кривой $MN$ вычисляем по формуле $A=int limits _{a}^{b}Pleft(x,yleft(xright)right)cdot dx +int limits _{a}^{b}Qleft(x,yleft(xright)right)cdot y’left(xright)cdot dx $.

Здесь участок кривой $MN$ задан на отрезке $left[x_{M} ,; x_{N} right]$, поэтому формула для работы приобретает вид: $A=int limits _{x_{M} }^{x_{N} }Pleft(x,yleft(xright)right)cdot dx +int limits _{x_{M} }^{x_{N} }Qleft(x,yleft(xright)right)cdot y’left(xright)cdot dx $.

В этой формуле первый интеграл дает значение работы силы $F$ вдоль оси $Ox$, второй интеграл — вдоль оси $Oy$.

Находим работу силы вдоль оси $Ox$: $A_{x} =int limits _{6}^{15}Pleft(x,yleft(xright)right)cdot dx $.

Согласно условию задачи имеем:

[Pleft(x,yright)=3cdot x-2cdot y; y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2.]

Поэтому:

[Pleft(x,yleft(xright)right)=3cdot x-2cdot left(7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2right)=]

[=3cdot x-14cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)-4.]

Далее получаем:

[A_{x} =int limits _{6}^{15}left(3cdot x-14cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)-4right)cdot dx =]

[=int limits _{6}^{15}3cdot xcdot dx +int limits _{6}^{15}left(-14cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)right)cdot dx +int limits _{6}^{15}left(-4right)cdot dx =]

[=3cdot int limits _{6}^{15}xcdot dx -14cdot int limits _{6}^{15}sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx -4cdot int limits _{6}^{15}dx =]

[=3cdot left[frac{x^{2} }{2} right]_{6}^{15} -14cdot left[-frac{1}{0,31} cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)right]_{6}^{15} -4cdot left[xright]_{6}^{15} =]

[=1,5cdot left(15^{2} -6^{2} right)+frac{14}{0,31} cdot left(cos left(0,31cdot 15-1,57right)-cos left(0,31cdot 6-1,57right)right)-]

[-4cdot left(15-6right)=135,15.]

Находим работу силы вдоль оси $Oy$: $A_{y} =int limits _{6}^{15}Qleft(x,yleft(xright)right)cdot y’cdot dx $.

Согласно условию задачи имеем:

[Qleft(x,yright)=4cdot y; y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2. ]

Поэтому:

[Qleft(x,yleft(xright)right)=4cdot left(7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2right)=28cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+8;]

[y’=7cdot 0,31cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)=2,17cdot cos left(0,31cdot x-1,57right).]

Далее получаем:

[A_{y} =int limits _{6}^{15}left(28cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+8right)cdot 2,17cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=int limits _{6}^{15}28cdot 2,17cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx +]

[+int limits _{6}^{15}8cdot 2,17cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=int limits _{6}^{15}60,76cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx +]

[+int limits _{6}^{15}17,36cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx .]

Вычисляем первый интеграл $I_{1} $:

[I_{1} =60,76cdot int limits _{6}^{15}sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=60,76cdot frac{1}{0,31} cdot int limits _{6}^{15}sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot dleft(sin left(0,31cdot x-1,57right)right) =]

[=196cdot left[frac{sin ^{2} left(0,31cdot x-1,57right)}{2} right]_{6}^{15} =]

[=98cdot left(sin ^{2} left(0,31cdot 15-1,57right)-sin ^{2} left(0,31cdot 6-1,57right)right)approx -7,64.]

Вычисляем второй интеграл $I_{2} $:

[I_{2} =17,36cdot int limits _{6}^{15}cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=17,36cdot frac{1}{0,31} cdot left[sin left(0,31cdot x-1,57right)right]_{6}^{15} =]

[=56cdot left(sin left(0,31cdot 15-1,57right)-sin left(0,31cdot 6-1,57right)right)approx -12,57.]

Работа силы вдоль оси $Oy$:

[A_{y} =I_{1} +I_{2} =-7,64-12,57=-20,21.]

Общая работа силы при перемещении вдоль кривой:

[A=A_{x} +A_{y} =135,15-20,21=114,94.]

Источник

п.1. От ускорения к скорости и координате

Рассматривая применение производной в физике и технике (см. §51 данного справочника), мы во второй производной от уравнения прямолинейного равномерного движения (x(t)) пришли к постоянному ускорению (a=const).
С помощью интегрирования можно пройти обратный путь.
Начнем с постоянного ускорения (a=const).
Интеграл от ускорения по времени – это скорость: $$ v(t)=int adt=aint dt=at+C $$ Физический смысл постоянной интегрирования (C) в этом случае – начальная скорость (v_0). Получаем: $$ v(t)=at+v_0 $$ Интеграл от скорости по времени – это координата: $$ x(t)=int v(t)dt=int (at+v_0)dt=frac{at^2}{2}+v_0 t+C $$ Физический смысл постоянной интегрирования (C) в этом случае – начальная координата (x_0). Получаем: $$ x(t)=frac{at^2}{2}+v_0 t+x_0 $$ Таким образом, если нам известны ускорение (a), начальная скорость (v_0) и начальная координата (x_0), мы всегда сможем получить уравнение движения (x(t)).

п.2. Физические величины как интегралы других величин

Если (v(t)) — скорость некоторого физического процесса, уравнение этого процесса можно найти интегрированием: $$ f(t)=int v(t)dt $$ Такие величины часто встречаются в различных разделах физики и техники.

Исходная величина (скорость)

Уравнение процесса (интеграл по времени)

Ускорение (a(t))

Скорость (v(t)=int a(t)dt)

Скорость (v(t))

Координата (x(t)=int v(t)dt)

Угловое ускорение (beta(t))

Угловая скорость (omega(t)=int beta(t) dt)

Угловая скорость (omega(t))

Угол поворота (varphi(t)=intomega(t)dt)

Скорость расходования горючего (u(t))

Масса горючего ракеты (m(t)=int u(t)dt)

Сила тока (I(t))

Заряд (q(t)=int I(t)dt)

Мощность (N(t))

Работа (A(t)=int N(t)dt)

ЭДС индукции (varepsilon(t))

Магнитный поток (Ф(t)=-intvarepsilon(t)dt)

Скорость радиоактивного распада (I(t))

Число атомов радиоактивного вещества (N(t)=int I(t)dt)

Берутся интегралы и по другим переменным. Например, чтобы найти работу переменной силы (F(x)), нужно взять интеграл по координате: $$ A=int_{x_1}^{x_2}F(x)dx $$ В трехмерном пространстве интегралы могут браться по всем трем координатам.
При решении уравнений в частных производных интегралы берутся и по времени и по координатам.

В современной физике интеграл по времени берётся также и от самого уравнение движения. Полученная скалярная величина называется действием и носит фундаментальный характер. В простейшем случае: $$ S_0=int overrightarrow{p}cdot overrightarrow{v}dt $$ где (overrightarrow{p}cdot overrightarrow{v}) — скалярное произведение векторов импульса и скорости.

п.3. Примеры

Пример 1. Тело движется со скоростью (v(t)) (м/с). Найдите путь, пройденный за промежуток времени от (t_1) до (t_2) (с):
a) (v(t)=3t+2t^2, t_1=0, t_2=6)
Путь: begin{gather*} s(t)=int_{t_1}^{t_2}v(t)dt\ s=int_{0}^{6}(3t+2t^2)dt=left(frac{3t^2}{2}+frac{2t^3}{3}right)|_{0}^{6}=frac{3cdot 36}{2}+frac{2cdot 36cdot 6}{3}-0=\ =3cdot 18+4cdot 36=54+144=198 text{(м)} end{gather*}
б) (v(t)=2(t+2)^{5/2}, t_1=0, t_2=7) begin{gather*} s=int_{0}^{7}2(t+2)^{5/2}dt =2cdotfrac{(t+2)^{frac52+1}}{frac72}|_{0}^{7}=frac47cdot 9^{frac72}-0=frac47cdot 3^7approx 1250 text{(м)} end{gather*}

Пример 2. . Сила тока в проводнике изменяется по закону (I(t)=e^{-t}+2t) (время в секундах, ток в амперах). Какой заряд пройдет через поперечное сечение проводника за время от второй до шестой секунды?
Заряд: begin{gather*} Q(t)=int_{t_1}^{t_2}I(t)dt end{gather*} По условию: begin{gather*} Q=int_{2}^{6}(e^{-t}+2t)dt=(-e^{-t}+t^2)|_{2}^{6}=-e^{-6}+6^2+e^{-2}-2^2=frac{1}{e^2}-frac{1}{e^6}+32=\ =frac{e^4-1}{e^6}+32approx 32,1 text{(Кл)} end{gather*}

Пример 3*. Найдите путь, который пройдет тело от начала движения до возвращения в исходную точку, если его скорость (v(t)=18t-9t^2) (время в секундах, скорость в м/с). Движение тела прямолинейное.

Если тело вернулось в исходную точку, оно меняло направление движения.
В момент разворота скорость равна нулю. Решаем уравнение: $$ 18t-9t^2=0Rightarrow 9t(2-t)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} t=0\ t=2 end{array} right. $$ (t=0) – начало движения, (t=2) — разворот.

Уравнение движения: $$ x(t)=int(18t-9t^2)dt=9t^2-3t^3+C $$ В начальный момент времени (x_0=0Rightarrow C=0) $$ x(t)=9t^2-3t^3 $$ В точке C(2;12) кривая (x(t)) имеет максимум.
Тело двигалось в течение 2 с в одну сторону и прошло 12 м, а затем за 1 с вернулось обратно.

Общий путь: 12+12 = 24 м.

Ответ: 24 м

Пример 4*. Найдите работу, которую необходимо совершить, чтобы выкачать воду из полусферического котла радиуса R м.

Найдем работу (dA), которую нужно совершить, чтобы выкачать слой воды толщиной (dH) с глубины (H).
Радиус слоя на глубине (H: r^2=R^2-H^2) — по теореме Пифагора.
Объем слоя воды: (dV=pi r^2 dH=pi(R^2-H^2)dH)
Масса слоя воды: (dm=rho dV=pirho(R^2-H^2)dH)
Работа по подъему слоя на высоту (H): $$ dA=dmcdot gH=pirho gH(R^2-H^2)dH $$ Получаем интеграл: begin{gather*} A=int_{0}^{R}dA=int_{0}^{R}pirho gH(R^2-H^2)dH=pirho gint_{0}^{R}(HR^2-H^3)dH=\ =pirho gleft(frac{H^2}{2}R^2-frac{H^4}{4}right)|_{0}^{R}=pirho gleft(frac{R^4}{2}-frac{R^4}{4}-0right)=fracpi 4=rho gR^4 end{gather*} Ответ: (A=fracpi 4=rho gR^4)

Пример 5*. Какую работу выполняют при запуске ракеты массой m кг с поверхности планеты на высоту h м, если радиус планеты равен R м и масса планеты равна M кг?
Сравните работу при запуске ракеты с Земли и Луны на высоту одного радиуса небесного тела, если ускорение свободного падения на поверхности Луны (g_M=1,62) м/с², радиус Луны (R_M=1737) км; для Земли соответственно (g_E=9,81) м/с² (R_E=6371) км.

Ускорение свободного падения на поверхности планеты: (g_0=Gfrac{M}{R^2})
Ускорение свободного падения при подъеме на высоту x: begin{gather*} g(x)=Gfrac{M}{(R+x)^2} end{gather*} Работа по преодолению силы тяжести (F(x)=mg(x)) при подъеме ракеты на высоту h: begin{gather*} A=int_{0}^{h}mg(x)dx=mint_{0}^{h}Gfrac{M}{(R+x)^2}dx=GmMint_{0}^{h}frac{dx}{(R+x^2)}=\ =GmMcdotleft(-frac{1}{R+x}right)|_{0}^{h}=GmMcdotleft(-frac{1}{R+h}+frac1Rright)=GmMleft(frac1R-frac{1}{R+g}right)=\ =GmMfrac{R+h-R}{R(R+h)}=GmMfrac{h}{R(R+h)} end{gather*} Также, если выразить работу через ускорение свободного падения на поверхности планеты: $$ A=frac{GM}{R^2}frac{mhR^2}{R(R+h)}=mg_0frac{hR}{R+h} $$ Работа по запуску на высоту одного радиуса небесного тела (h=R): $$ A(R)=mg_0frac{R^2}{2R}=frac{mg_0R}{2} $$ Отношение работ по запуску на один радиус на Земле и Луне: $$ frac{A_E(R_E)}{A_M(R_M)}=frac{mg_ER_E}{mg_MR_M}=frac{g_ER_E}{g_MR_M}, frac{A_E(R_E)}{A_M(R_M)}=frac{9,81cdot 6371}{1,62cdot 1737}approx 22,2 $$ На Земле работа в 22,2 раза больше.

Ответ: (A=GmMfrac{h}{R(R+h)}; frac{A_E(R_E)}{A_M(R_M)}approx 22,2)

Источник

Назначение. Онлайн калькулятор предназначен для нахождения работы силы F при перемещении вдоль дуги линии L.

Решение онлайн
Видеоинструкция

Криволинейные и поверхностные интегралы второго рода

Рассмотрим многообразие σ. Пусть τ(x,y,z)— единичный вектор касательной к σ, если σ — кривая, а n(x,y,z)— единичный вектор нормали к σ, если σ — поверхность в R³. Введём векторы dl=τ·dl и dS=n·dS, где dl и dS — длина и площадь соответствующего участка кривой или поверхности. Будем считать, что dσ=dl, если σ — кривая, и dσ=dS, если σ — поверхность. Назовём dσ ориентированной мерой соответствующего участка кривой или поверхности.

Определение. Пусть заданы ориентированное непрерывное кусочно-гладкое многообразие σ и на σ – вектор-функция F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)+R(x,y,z). Разобьем многообразие на части многообразиями меньшей размерности (кривую – точками, поверхность –кривыми), внутри каждого полученного элементарного многообразия выберем по точке M₀(x₀,y₀,z₀), M₁(x₁,y₁,z₁), … ,M_n(x_n,y_n,z_n). Посчитаем значения F(x_i,y_i,z_i), i=1,2,…,n вектор-функции в этих точках,умножим скалярно эти значения на ориентированную меру dσ_i данного элементарного многообразия (ориентированные длину или площадь соответствующего участка многообразия) и просуммируем. Предел полученных сумм если онсуществует, не зависит от способа разбиения многообразия на части и выбора точек внутри каждого элементарного многообразия, при условии, что диаметр элементарного участка стремится к нулю, называется интегралом по многообразию (криволинейным интегралом, если σ -кривая и поверхностным, если σ — поверхность) второго рода, интеграломвдоль ориентированного многообразия, или интегралом от вектора F вдоль σ, и обозначается в общем случае, в случаях криволинейного и поверхностного интегралов соответственно.

Заметим, что если F(x,y,z) — сила, то — работа этой силы по перемещению материальной точки вдоль кривой, если F(x,y,z) — стационарное (не зависящее от времени) поле скоростей текущей жидкости, то — количество жидкости, протекающей через поверхность S в единицу времени (поток вектора через поверхность).

Если кривая задана параметрически или, что то же самое, в векторной форме,

то

и для криволинейного интеграла второго рода имеем

Так как dS=n·dS=(cosα, cosβ, cosγ), где cosα, cosβ, cosγ — направляющие косинусы единичного вектора нормали n и cosαdS=dydz, cosβdS=dxdz, cosγdS=dxdy, то для поверхностного интеграла второго рода получаем

Если поверхность задана параметрически или, что тоже самое, в векторной форме

r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k, (u,v)∈D

то

где — якобианы (определители матриц Якоби, или, что то же самое, матриц производных) вектор-функций соответственно.

Если поверхность S может быть задана одновременно уравнениями то поверхностный интеграл второго рода вычисляется по формуле

где D₁, D₂, D₃ — проекции поверхности S на координатные плоскости Y0Z, X0Z, X0Y соответственно и знак “+” берётся, если угол между вектором нормали и осью, вдоль которой ведётся проектирование, острый, а знак “–“, если этот угол тупой.

Свойства криволинейного и поверхностного интегралов второго рода

Отметим некоторые свойства криволинейного и поверхностного интегралов второго рода.

Теорема 1. Криволинейный и поверхностный интегралы 2-го рода зависят от ориентации кривой и поверхности, точнее

.

Теорема 2. Пусть σ=σ₁∪σ₂ и размерность пересечения dlim(σ₁∩σ₂)=n-1. Тогда

Доказательство. Включив в число многообразий разбиения в определении интеграла по многообразию второго рода общую границу σ₁ с σ₂ получаем требуемое.

Пример №1. Найти работу силы F при перемещении вдоль дуги линии L от точки M₀ до точки M₁.

F=x²yi+yj;, L: отрезок M₀M₁

M₀(-1;3), M₀(0;1)

Решение.

Находим уравнение прямой вдоль отрезка M₀M₁.

или y=-2x+1

dy=-2dx

Пределы изменения x: [-1; 0]

Пример №2. Вычислить вдоль кривой , если t∈[0;π]

Имеем

Пример №3. Вычислить поток вектора f(x,y,z)=(yz,xz,xy)^T через часть плоскости x+y+z=a лежащую в первом октанте.

Поток вектора через поверхность равен поверхностному интегралу второго рода Поверхность однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Поэтому интеграл может быть вычислен с помощью проектирования на них. Тогда

где S₁, S₂, S₃ — проекции поверхности S на координатные плоскости Y0Z, X0Z, X0Y соответственно. Посчитаем первый из них. Имеем Остальные два интеграла считаются аналогично и также равны Поэтому поток вектора через поверхность равен Знаки плюс перед интегралами взяты потому, что вектор нормали к поверхности составляет острые углы со всеми координатными осями. Поэтому поток вектора через поверхность равен Знаки плюс перед интегралами взяты потому, что вектор нормали к поверхности составляет острые углы со всеми координатными осями.

Источник