Как найти работу силы натяжения нити

I. Механика

Тестирование онлайн

Работа

Работа — это скалярная величина, которая определяется по формуле

Работу выполняет не тело, а сила! Под действием этой силы тело совершает перемещение.

Обратите внимание, что у работы и энергии одинаковые единицы измерения. Это означает, что работа может переходить в энергию. Например, для того, чтобы тело поднять на некоторую высоту, тогда оно будет обладать потенциальной энергией, необходима сила, которая совершит эту работу. Работа силы по поднятию перейдет в потенциальную энергию.

Правило определения работы по графику зависимости F(r): работа численно равна площади фигуры под графиком зависимости силы от перемещения.

Угол между вектором силы и перемещением

1) Верно определяем направление силы, которая выполняет работу; 2) Изображаем вектор перемещения; 3) Переносим вектора в одну точку, получаем искомый угол.

На рисунке на тело действуют сила тяжести (mg), реакция опоры (N), сила трения (Fтр) и сила натяжения веревки F, под воздействием которой тело совершает перемещение r.

Работа силы тяжести

Работа реакции опоры

Работа силы трения

Работа силы натяжения веревки

Работа равнодействующей силы

Работу равнодействующей силы можно найти двумя способами: 1 способ — как сумму работ (с учетом знаков «+» или «-«) всех действующих на тело сил, в нашем примере
2 способ — в первую очередь найти равнодействующую силу, затем непосредственно ее работу, см. рисунок

Работа силы упругости

Для нахождения работы, совершенной силой упругости, необходимо учесть, что эта сила изменяется, так как зависит от удлинения пружины. Из закона Гука следует, что при увеличении абсолютного удлинения, сила увеличивается.

Для расчета работы силы упругости при переходе пружины (тела) из недеформированного состояния в деформированное используют формулу

Мощность

Скалярная величина, которая характеризует быстроту выполнения работы (можно провести аналогию с ускорением, которое характеризует быстроту изменения скорости). Определяется по формуле

Коэффициент полезного действия

КПД — это отношение полезной работы, совершенной машиной, ко всей затраченной работе (подведенной энергии) за то же время

Коэффициент полезного действия выражается в процентах. Чем ближе это число к 100%, тем выше производительность машины. Не может быть КПД больше 100, так как невозможно выполнить больше работы, затратив меньше энергии.

КПД наклонной плоскости — это отношение работы силы тяжести, к затраченной работе по перемещению вдоль наклонной плоскости.

Главное запомнить

1) Формулы и единицы измерения;
2) Работу выполняет сила;
3) Уметь определять угол между векторами силы и перемещения

Консервативные (потенциальные) и неконсервативные (непотенциальные) силы*

Формула нахождения работы*

Механическая работа. Мощность

 Введение

Тема урока – ра­бо­та. Мы часто ис­поль­зу­ем это по­ня­тие. На­при­мер, ра­бо­чий устал, по­то­му что про­де­лал боль­шую ра­бо­ту: пе­ре­нес 200 кир­пи­чей с пер­во­го этажа на вто­рой (см. рис. 1).

Рис. 1. Со­вер­ше­ние ра­бо­ты

Мы знаем, по­че­му он устал: он в это время при­кла­ды­вал к кир­пи­чам силу. Но толь­ко ли в силе дело? На­вер­ня­ка, если бы он пе­ре­но­сил кир­пи­чи на тре­тий этаж, он бы вы­пол­нил бόльшую ра­бо­ту, а если он бы тол­кал непо­движ­ную стену, ни­ка­кой ра­бо­ты вы­пол­не­но бы не было, хотя ра­бо­чий бы устал. Зна­чит, дело не толь­ко в силе, пе­ре­ме­ще­ние тоже иг­ра­ет роль. Се­год­ня мы четко опре­де­лим по­ня­тие ра­бо­ты в фи­зи­ке.

Оно близ­ко к бы­то­во­му по­ня­тию ра­бо­ты, но нужно по­ни­мать важ­ный мо­мент.

 Понятие «работа»

В бы­то­вом пред­став­ле­нии ра­бо­ту вы­пол­ня­ет че­ло­век, дви­га­тель или дру­гой субъ­ект. В фи­зи­ке опре­де­ле­ние долж­но быть чет­ким: субъ­ект ра­бо­ты – сила. По­это­му ра­бо­та, вы­пол­нен­ная при дей­ствии несколь­ких сил, равна сумме работ, вы­пол­нен­ных каж­дой силой по от­дель­но­сти.

Как мы уви­де­ли на при­ме­ре, ра­бо­та тем боль­ше, чем боль­ше при­ло­жен­ная сила и чем боль­ше прой­ден­ный путь. И сила, и пе­ре­ме­ще­ние – век­то­ры, они имеют на­прав­ле­ния. Рас­смот­рим пока слу­чай, когда на­прав­ле­ния век­то­ров силы и пе­ре­ме­ще­ния сов­па­да­ют (см. рис. 2), ра­бо­та в фи­зи­ке опре­де­ля­ет­ся имен­но так:

т. е. как фи­зи­че­ская ве­ли­чи­на, про­пор­ци­о­наль­ная силе и пе­ре­ме­ще­нию.

Рис. 2. На­прав­ле­ния век­то­ров силы и пе­ре­ме­ще­ния сов­па­да­ют

Со­от­вет­ствен­но, еди­ни­цей ра­бо­ты яв­ля­ет­ся про­из­ве­де­ние еди­ни­цы силы на еди­ни­цу пути, т. е. . У этой еди­ни­цы есть соб­ствен­ное на­име­но­ва­ние – джо­уль (Дж).

 Пример 1. Перемещение и сила совпадают

Рас­смот­рим такой при­мер: с крыши дома вы­со­той  упал ка­мень мас­сой . Вы­чис­ли­те ра­бо­ту, ко­то­рую вы­пол­ни­ла сила тя­же­сти (см. рис. 3).

Рис. 3. Па­де­ние камня с крыши дома

Ра­бо­та – это сила, умно­жен­ная на пе­ре­ме­ще­ние. Сила тя­же­сти, дей­ство­вав­шая на ка­мень, равна , пе­ре­ме­ще­ние равно  (ка­мень упал с крыши на землю), ра­бо­та равна  (см. рис. 4).

Рис. 4. Опре­де­ле­ние ра­бо­ты

Важно за­ме­тить, что нам без­раз­лич­но, при­да­ва­ла ли дан­ная сила уско­ре­ние телу. Рас­смот­рим ту же за­да­чу, но с усло­ви­ем, что ка­мень не па­да­ет, а осто­рож­но, с по­сто­ян­ной ско­ро­стью опус­ка­ет­ся на ве­рев­ке. Сила тя­же­сти будет та же, как и пе­ре­ме­ще­ние, по­это­му ра­бо­та будет та же,  (см. рис. 5).

Рис. 5. Ка­мень опус­ка­ют с крыши дома

Нам важно лишь то, как сила участ­ву­ет в дви­же­нии, в какой сте­пе­ни она на него вли­я­ет. Но не все­гда сила на­прав­ле­на туда же, куда и пе­ре­ме­ще­ние. Рас­смот­рим нашу за­да­чу с новым усло­ви­ем: ка­мень опус­ка­ют по на­клон­ной тра­ек­то­рии под углом  к вер­ти­ка­ли (см. рис. 6).

Рис. 6. Ка­мень опус­ка­ют по на­клон­ной тра­ек­то­рии

На пе­ре­ме­ще­ние  вли­я­ет толь­ко та со­став­ля­ю­щая силы тя­же­сти, ко­то­рая на­прав­ле­на вдоль пе­ре­ме­ще­ния, т. е. про­ек­ция силы тя­же­сти на на­прав­ле­ние пе­ре­ме­ще­ния (см. рис. 7).

Рис. 7. Со­став­ля­ю­щая силы тя­же­сти

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка про­ек­ция силы тя­же­сти равна  и ра­бо­та равна  (см. рис. 8).

Рис. 8. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник

По­сколь­ку пе­ре­ме­ще­ние уве­ли­чи­лось, , окон­ча­тель­но ра­бо­та равна:

Мы по­лу­чи­ли фор­му­лу для ра­бо­ты в общем виде , где ко­си­нус угла между силой и пе­ре­ме­ще­ни­ем по­ка­зы­ва­ет сте­пень уча­стия силы в дан­ном пе­ре­ме­ще­нии, на­сколь­ко сила вы­пол­ня­ет ра­бо­ту по пе­ре­ме­ще­нию тела в дан­ном на­прав­ле­нии. Ра­бо­та – это ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние силы и пе­ре­ме­ще­ния.

Фор­му­ла  по­ка­зы­ва­ет част­ный слу­чай: сила и пе­ре­ме­ще­ние со­на­прав­ле­ны (см. рис. 9), т. е. угол между ними равен 0 и .

Рис. 9. Сила и пе­ре­ме­ще­ние со­на­прав­ле­ны

 Пример 2. Сила и перемещение разнонаправлены

Вер­нем­ся к за­да­че о камне и рас­смот­рим дру­гой част­ный слу­чай, когда сила и пе­ре­ме­ще­ние на­прав­ле­ны в про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны. Най­дем те­перь ра­бо­ту силы на­тя­же­ния ве­рев­ки, на ко­то­рой ка­мень спус­ка­ют вер­ти­каль­но (см. рис. 10).

Рис. 10. Най­дем силу на­тя­же­ния ве­рев­ки

На­хо­дим ра­бо­ту по той же фор­му­ле . Пе­ре­ме­ще­ние равно все той же вы­со­те дома. Сила на­тя­же­ния ве­рев­ки по мо­ду­лю равна .

По­че­му 

Угол между про­ти­во­по­лож­но на­прав­лен­ны­ми век­то­ра­ми  и  равен 180°. Те­перь у нас все есть для на­хож­де­ния ра­бо­ты:

Ре­зуль­тат со­гла­су­ет­ся с на­ши­ми пред­став­ле­ни­я­ми: когда сила и пе­ре­ме­ще­ние на­прав­ле­ны про­ти­во­по­лож­но, мы по­лу­чи­ли от­ри­ца­тель­ную ра­бо­ту, и дей­стви­тель­но, сила не спо­соб­ству­ет дви­же­нию, а про­ти­во­дей­ству­ет ему. Сила на­тя­же­ния ве­рев­ки «тащит» ка­мень вверх, а он опус­ка­ет­ся вниз.

О вы­бо­ре си­сте­мы ко­ор­ди­нат

Об от­ри­ца­тель­ной ра­бо­те

 Пример 3. Сила и перемещение перпендикулярны

Рас­смот­рим еще один слу­чай: ка­мень не опус­ка­ли, а пе­ре­ме­сти­ли го­ри­зон­таль­но на рас­сто­я­ние  (см. рис. 14).

Рис. 14. Сила на­тя­же­ния нити ра­бо­ту не со­вер­ша­ет

Тогда ра­бо­та силы на­тя­же­ния нити равна , сила на­тя­же­ния ра­бо­ту не со­вер­ша­ет. Со­вер­ша­ет ра­бо­ту сила тяги , под дей­стви­ем ко­то­рой груз будет пе­ре­ме­щать­ся го­ри­зон­таль­но, эта сила со­вер­шит ра­бо­ту по пе­ре­ме­ще­нию груза (см. рис. 15).

Рис. 15. Сила, ко­то­рая со­вер­ша­ет ра­бо­ту

Здесь ре­зуль­тат тоже ло­ги­чен: про­ек­ция силы на­тя­же­ния на го­ри­зон­таль­ное на­прав­ле­ние равна нулю, по­это­му эта сила не вли­я­ет на дви­же­ние тела в дан­ном на­прав­ле­нии и, со­от­вет­ствен­но, не со­вер­ша­ет ра­бо­ты по пе­ре­ме­ще­нию в дан­ном на­прав­ле­нии.

Про­ти­во­ре­чие жиз­нен­но­му опыту

Как видим, во всех слу­ча­ях спра­вед­ли­во одно общее вы­ра­же­ние: . 

 Задача 1

Какую ра­бо­ту надо со­вер­шить, чтобы за­ста­вить поезд мас­сой 800 т: а) уве­ли­чить свою ско­рость от 36 до 54 ; б) оста­но­вить­ся при на­чаль­ной ско­ро­сти 72 ?

За­да­ча на ра­бо­ту. Ра­бо­ту будет со­вер­шать сила тяги по­ез­да  (см. рис. 17).

Рис. 17. Сила тяги со­вер­ша­ет ра­бо­ту

Поль­зу­ем­ся опре­де­ле­ни­ем ра­бо­ты, это ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние суммы и пе­ре­ме­ще­ния:

Тело дви­жет­ся с уско­ре­ни­ем под дей­стви­ем силы тяги, при­ме­ним вто­рой закон Нью­то­на (сразу учтем, что сила тя­же­сти и сила ре­ак­ции опоры ком­пен­си­ру­ют­ся) (см. рис. 18).

Рис. 18. При­ме­ня­ем вто­рой закон Нью­то­на

Тело дви­жет­ся с уско­ре­ни­ем, из­ме­ня­ет ско­рость с  до, при­ме­ним урав­не­ния ки­не­ма­ти­ки для рав­но­уско­рен­но­го дви­же­ния. По опре­де­ле­нию уско­ре­ние равно:

Путь при рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии равен:

Вы­бе­рем си­сте­му ко­ор­ди­нат. Удоб­но на­пра­вить ось х в на­прав­ле­нии дви­же­ния по­ез­да (см. рис. 19).

Рис. 19. Выбор на­прав­ле­ния оси х

Тогда про­ек­ции ско­ро­стей и пе­ре­ме­ще­ния будут по­ло­жи­тель­ны, про­ек­ция уско­ре­ния опре­де­ля­ет­ся раз­но­стью , сила со­на­прав­ле­на с уско­ре­ни­ем.

По­лу­чим си­сте­му урав­не­ний, ко­то­рую оста­ет­ся толь­ко ре­шить, а это за­да­ча ма­те­ма­ти­че­ская:

Решив си­сте­му урав­не­ний, по­лу­ча­ем ответ:

Вы­чис­лим для двух слу­ча­ев, за­дан­ных в усло­вии. Поезд раз­го­ня­ет­ся от 36 км/ч до 54 км/ч. В СИ зна­че­ния ско­ро­сти будут равны 10 м/с и 15 м/с. Масса равна 800 т или .

Поезд тор­мо­зит от 72 км/ч до 0 км/ч. В СИ на­чаль­ная ско­рость равна 20 м/с.

Ответ: 50 (МДж); -160 (МДж).

В пер­вом слу­чае ско­рость уве­ли­чи­ва­лась, зна­чит, уско­ре­ние и сила были со­на­прав­ле­ны со ско­ро­стью и пе­ре­ме­ще­ни­ем (см. рис. 20).

Рис. 20. Уско­ре­ние и сила со­на­прав­ле­ны со ско­ро­стью и пе­ре­ме­ще­ни­ем

Сила со­на­прав­ле­на с пе­ре­ме­ще­ни­ем, ра­бо­та в этом слу­чае по­ло­жи­тель­на, что мы и по­лу­чи­ли. Во вто­ром слу­чае ско­рость умень­ша­лась, зна­чит, уско­ре­ние и сила на­прав­ле­ны про­ти­во­по­лож­но ско­ро­сти и пе­ре­ме­ще­нию. Сила на­прав­ле­на про­ти­во­по­лож­но пе­ре­ме­ще­нию, ра­бо­та от­ри­ца­тель­на (см. рис. 21).

Рис. 21. Сила на­прав­ле­на про­ти­во­по­лож­но пе­ре­ме­ще­нию

Мы все сде­ла­ли пра­виль­но.

На сле­ду­ю­щем уроке раз­бе­рем это более по­дроб­но, но можем за­ме­тить, что  и  – это ки­не­ти­че­ская энер­гия, т. е. ра­бо­та была за­тра­че­на на из­ме­не­ние ки­не­ти­че­ской энер­гии.

Рас­смот­рим еще несколь­ко при­ме­ров того, как силы вы­пол­ня­ют ра­бо­ту.

Нет спе­ци­фи­че­ских пра­вил для каж­дой силы, они все под­чи­ня­ют­ся од­но­му вы­ра­же­нию . В каж­дом слу­чае для на­хож­де­ния ра­бо­ты мы долж­ны узнать силу, пе­ре­ме­ще­ние и их на­прав­ле­ния. Мы лишь можем за­ме­тить тен­ден­ции, что чаще всего (но не все­гда) ра­бо­та силы тяги по­ло­жи­тель­на, по­то­му что в боль­шин­стве слу­ча­ев тело дви­жет­ся туда, куда мы его тянем (см. рис. 22).

Рис. 22. Ра­бо­та силы тяги

Чаще всего (но не все­гда) ра­бо­та силы тре­ния от­ри­ца­тель­на, т. к. она на­прав­ле­на про­тив на­прав­ле­ния дви­же­ния сколь­зя­ще­го тела (см. рис. 23).

Рис. 23 . Ра­бо­та силы тре­ния

Чаще всего (но не все­гда) тела дви­жут­ся вдоль по­верх­но­сти, в то время как сила ре­ак­ции опоры на­прав­ле­на пер­пен­ди­ку­ляр­но ей, по­это­му ра­бо­та силы ре­ак­ции опоры равна нулю. Но это лишь тен­ден­ции, ко­то­рые го­во­рят, как бы­ва­ет чаще всего, мы же под­чи­ня­ем все слу­чаи од­но­му за­ко­ну  и на­хо­дим од­но­знач­ный ответ на во­прос.

 Задача 2

Лифт на­чи­на­ет дви­же­ние вниз и через 3 с до­сти­га­ет ско­ро­сти 1,5 м/с. Найти ра­бо­ту силы ре­ак­ции опоры по пе­ре­ме­ще­нию груза за это время, если масса груза в лифте равна 140 кг.

В за­да­че опи­сан груз, ко­то­рый дви­жет­ся под дей­стви­ем силы тя­же­сти и силы ре­ак­ции опоры. Рас­смот­рим силу ре­ак­ции опоры. Ра­бо­та на­хо­дит­ся как ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние  (см. рис. 24).

Рис. 24. На­хож­де­ние ра­бо­ты

Тело дви­жет­ся с уско­ре­ни­ем под дей­стви­ем раз­ных сил, этот про­цесс под­чи­ня­ет­ся вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на и опи­сы­ва­ет­ся фор­му­ла­ми ки­не­ма­ти­ки.

Сразу учтем, что , тогда по опре­де­ле­нию уско­ре­ние равно:

Путь при рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии равен:

На­пра­вим ось ко­ор­ди­нат у вдоль дви­же­ния лифта, вер­ти­каль­но вниз (см. рис. 25).

Рис. 25. Выбор на­прав­ле­ния оси y

Тогда в про­ек­ции на ось у по­лу­чим:

Вы­чис­лим:

Ответ: -3 (кДж).

За­да­ча ре­ше­на.

 Мощность

Когда мы оце­ни­ва­ем ка­че­ство ра­бот­ни­ка (или ме­ха­низ­ма, или дви­га­те­ля), нам мало ру­ко­вод­ство­вать­ся толь­ко тем, какую ра­бо­ту он вы­пол­нил. Нас еще ин­те­ре­су­ет, как быст­ро он ее вы­пол­ня­ет. Можно со­вер­шить ра­бо­ту за час и быть мо­лод­цом, а можно по­тра­тить на ту же ра­бо­ту целый день: ра­бо­та вы­пол­не­на, ре­зуль­тат тот же, но мед­лен­но. Для ха­рак­те­ри­сти­ки быст­ро­ты или ско­ро­сти вы­пол­не­ния ра­бо­ты вво­дит­ся ве­ли­чи­на мощ­ность. Мы уже стал­ки­ва­лись с ве­ли­чи­на­ми, ха­рак­те­ри­зу­ю­щи­ми быст­ро­ту (ско­ро­стью, уско­ре­ни­ем), по­это­му знаем, что быст­ро­та из­ме­не­ния ка­кой-ли­бо ве­ли­чи­ны – это из­ме­не­ние ве­ли­чи­ны, де­лен­ное на про­ме­жу­ток вре­ме­ни, на про­тя­же­нии ко­то­ро­го ве­ли­чи­на из­ме­ня­лась.

 Так же и мощ­ность – это ра­бо­та, де­лен­ная на время ее вы­пол­не­ния: 

Еди­ни­ца мощ­но­сти на­зы­ва­ет­ся ватт (Вт).

По­че­му ино­гда со­вер­ша­ет­ся неболь­шая ра­бо­та при боль­шой мощ­ности

 Задача 3

Какую сред­нюю мощ­ность раз­ви­ва­ет сила тя­же­сти в про­цес­се па­де­ния кота мас­сой 2 кг с де­ре­ва вы­со­той 3 м?

За­да­ча на мощ­ность, ис­поль­зу­ем опре­де­ле­ние мощ­но­сти как ско­ро­сти со­вер­ше­ния ра­бо­ты:

Ра­бо­та – это сила, умно­жен­ная на пе­ре­ме­ще­ние:

(в нашем слу­чае сила тя­же­сти  на­прав­ле­на вниз, пе­ре­ме­ща­ет­ся кот тоже вниз).

Для задач на дви­же­ние мы можем также при­ме­нять за­ко­ны ки­не­ма­ти­ки. За время па­де­ния кот, дви­га­ясь рав­но­уско­рен­но из со­сто­я­ния покоя, прой­дет путь:

На­пра­вим ось у вер­ти­каль­но вниз вдоль пе­ре­ме­ще­ния кота (см. рис. 26).

Рис. 26. Выбор на­прав­ле­ния оси y

Тогда в про­ек­ции на ось у за­пи­шем си­сте­му урав­не­ний, ко­то­рую оста­ет­ся толь­ко ре­шить:

Ответ: 77,5 (Вт).

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

§ 1. В механике работа, совершаемая постоянной силой  при перемещении тела на величину , равна произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла α между векторами силы и перемещения:

A = F·s·cos α.

Такое понятие не всегда соответствует обыденному представлению о работе. Например, штангист, удерживающий груз на поднятых руках, или носильщик, несущий тяжелый чемодан, механической работы не совершают (объясните — почему?).

Когда действующая на тело сила не постоянна (меняется ее модуль или направление), работу такой силы можно найти следующим образом. Разобьем все перемещение тела на такие малые участки , чтобы на каждом из них силу можно было считать постоянной и равной соответственно . Затем найдем работу на каждом участке:

A₁ = F₁·s₁·cos α₁,

A₂ = F₂·s₂·cos α₂, …

A_n = F_n·s_n·cos α_n,

a полная работа будет равна сумме работ на отдельных участках:

A = A₁ + A₂ + … + A_n.

В тех случаях, когда известно, как изменяется от точки к точке проекция силы на направление перемещения F_s = F·cos α, работу можно найти графически (рис. 1). Полная работа на участке ВС численно равна площади фигуры BDEC.

Рис. 1

Задача 1. Чему равна работа по равномерному подъему однородной гладкой цепочки на гладкий горизонтальный стол? Первоначальное положение цепочки указано на рисунке 2, а; ее длина l = 6 м; масса m = 3 кг.

              

а                         б                             в

Рис. 2

В начальный момент на цепочку действует сила тяжести m·g, и для ее удержания требуется сила

F = m·g.

По мере поднятия цепочки на стол сила, необходимая для поднятия, будет уменьшаться. Обозначим длину части цепочки, уже лежащей на столе, через x (рис. 2, б). В этот момент к цепочке надо приложить силу

Построим график зависимости F = F(x) (рис. 2, в). Тогда работа, которую совершит эта сила при равномерном подъеме всей цепочки, будет численно равна площади заштрихованного треугольника:

Заметим, что совершенная работа равна работе по подъему центра тяжести цепочки. Поскольку в начальный момент он находится на расстоянии l/2 от поверхности стола, потребуется работа .

Задача 2. К точкам В и С, находящимся на одной горизонтали, подвешены однородная цепочка длиной 2l и система из двух стержней, соединенных шарниром, каждый из которых имеет длину l (рис. 3, а). Масса цепочки равна массе обоих стержней. Какой из центров тяжести — цепочки или системы стержней — находится ниже?

а

б

Рис. 3.

Подействуем на цепочку таким образом, чтобы ее положение совпало с положением системы стержней (рис. 3, б). Очевидно, что в этом случае центры тяжести цепочки и стержней тоже совпадают. Поскольку для того чтобы перевести цепочку в новое положение потребовалось над ней совершить некоторую работу, можно утверждать, что ее новое положение центра тяжести выше прежнего.

Следовательно, первоначально центр тяжести цепочки находился ниже центра тяжести системы стержней.

Задача 3. В первом опыте пружину, имеющую жесткость k и длину в недеформированном состоянии l₀, растягивают до длины l. Во втором опыте эту пружину сначала разрезают на две равные части, затем берут одну из них и растягивают ее тоже до длины l. Определите работу, которую надо совершить в первом и во втором опытах.

Согласно закону Гука, при растяжении пружины на величину x возникает сила упругости F_yпр = –k·x (знак «минус» говорит о том, что сила упругости стремится вернуть пружину в исходное состояние). Для того чтобы растянуть пружину, к ней надо приложить внешнюю силу , равную по модулю силе упругости, но противоположную ей по направлению:

F = –F_yпр = k·x.

Построим график зависимости F = F(x) (рис. 4, а) и по нему найдем работу, которую должна совершить внешняя сила для растяжения недеформированной пружины на величину x:

а

б

Рис. 4.

В случае, когда пружина уже была растянута на величину x₁, а теперь ее надо растянуть до x₂, работа внешней силы будет равна (рис. 4, б)

Теперь вернемся к нашей задаче. В первом опыте для растяжения целой пружины с жесткостью k из недеформированного состояния до длины l необходимо совершить работу

Во втором опыте до той же длины l растягивают лишь половину пружины так, что удлинение . Кроме того, жесткость половины пружины не такая, как жесткость целой пружины: она в два раза больше (покажите это самостоятельно). Поэтому во втором опыте необходимо совершить работу

§ 2. В механике принято различать кинетическую энергию, обусловленную движением, и потенциальную, определяемую взаимным расположением тел системы или частей одного и того же тела.

Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью υ, равна

Потенциальная энергия тела, находящегося в поле тяжести на высоте h над нулевым уровнем, равна

E_p= m·g·h,

а потенциальная энергия упруго деформированного тела равна

Между понятиями «механическая работа» и «механическая энергия» есть тесная связь. Работа равнодействующей сил, приложенных к системе, равна изменению кинетической энергии системы:

A= E_k2 – Е_k1.

Работа сил тяжести или упругости, действующих в системе, равна взятому с противоположным знаком изменению потенциальной энергии системы:

А = –(Е_p2 – Е_p1).

Задача 4. На рогатке закреплена длинная (по сравнению с размерами рогатки) резина с жесткостью k. Найдите максимальную скорость камня массой m, выпущенного из рогатки, если предварительно его оттянули на расстояние x(рис. 5).

Рис. 5

Поскольку резина длинная, можно считать, что на камень действуют две параллельные силы упругости резины . При оттягивании камня на расстояние x суммарное удлинение пружины будет 2x, и модуль силы упругости F = k·(2x) = 2k·x.

При возвращении в исходное недеформированное состояние резины силы упругости, действующие на камень, совершат работу

За счет этой работы камень приобретет кинетическую энергию

Таким образом,

откуда

Задача 5. Какая работа будет совершена силой F = 30 H при подъеме тела массой m = 2 кг на высоту h = 20 м?

Согласно определению, работа приложенной к телу силы равна

A = F·h = 600 Дж.

С другой стороны, при подъеме тела на высоту h против силы тяжести m·g совершается работа

A‘ = m·g·h = 400 Дж.

Конечно же, ничего странного в расхождении полученных результатов нет. Дело в том, что А‘ — это минимальная работа, которую нужно совершить для поднятия тела. За счет этой работы увеличивается его потенциальная энергия в поле тяжести Земли:

ΔE_p= m·g·h = 400 Дж.

Остальная же часть работы идет на увеличение кинетической энергии тела (тело движется с ускорением, а почему?):

ΔE_k = A – A‘ = 200 Дж.

Задача 6. На невесомой конструкции из стержней, соединенных шарнирно, подвешен груз массой m (рис. 6). Чему равно натяжение нити?

Рис. 6

Мысленно уменьшим длину нити на величину x, настолько малую, чтобы изменением силы натяжения нити можно было пренебречь. Тогда груз поднимется на высоту 2x (покажите это).

Работа силы натяжения нити при этом будет равна

A = F_н·x,

а потенциальная энергия груза в поле тяжести Земли изменится на

ΔE_p = m·g·(2x) = 2m·g·x.

Таким образом,

F_н·x = 2m·g·x,

откуда

F_н = 2m·g.

§ 3. Энергия принадлежит к тем немногим физическим величинам, для которых выполняются законы сохранения.

В частности, если система тел замкнута и тела взаимодействуют друг с другом только силами тяготения и упругости, то полная механическая энергия системы (то есть сумма кинетической и потенциальной энергий) остается постоянной. Действие же силы, трения приводит к тому, что часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию системы. Но и в этом случае сумма всех видов энергии системы сохраняется неизменной.

Задача 7. Мальчик на коньках разгоняется до скорости υ и вкатывается на горку, покрытую льдом. До какой высоты, считая от основания горки, он сможет подняться, если коэффициент трения μ, а угол наклона горки к горизонту α?

В начальный момент мальчик обладает кинетической энергией , а в конечный момент — потенциальной энергией m·g·h (здесь m — масса мальчика, h — искомая высота подъема). За счет уменьшения полной механической энергии совершается работа против силы трения :

Отсюда находим искомую высоту h:

Задача 8. Камень массой m соскальзывает с гладкой горки высотой Н. Рассмотрим этот процесс в двух различных инерциальных системах отсчета. С точки зрения наблюдателя в неподвижной системе потенциальная энергия камня m·g·H переходит в кинетическую энергию , так что после соскальзывания с горки камень имеет скорость υ (рис. 7). Наблюдатель, находящийся в системе отсчета, движущейся со скоростью υ вправо, скажет, что вначале у камня есть потенциальная энергия m·g·H и кинетическая энергия , а в конце нет ни той, ни другой. Куда же «пропала» энергия?

(Аналогичные вопросы подробно разбираются в статье В.А. Орлова «Парадокс «большого» тела», опубликованной в третьем номере журнала за 1978 год. (Примеч. ред.))

Рис. 7

Сразу же скажем, что закон сохранения энергии выполняется и в этом случае. Причина сформулированного в условии парадокса в том, что рассуждения проводились для незамкнутой системы — одного камня, а Земля, с которой камень взаимодействует, не учитывалась. Исправим эту ошибку.

а) В неподвижной системе отсчета (связанной с центром масс системы камень — Земля) в начальный момент камень и Земля покоятся, и вся энергия равна потенциальной энергии системы. В конечный момент камень приобретает скорость , а Земля — скорость , которую можно найти из закона сохранения импульса:

откуда

где М — масса Земли.

Согласно закону сохранения энергии,

Поскольку масса камня ничтожно мала по сравнению с массой Земли, величиной m/М по сравнению с единицей можно пренебречь. Тогда получим

что целиком соответствует условию задачи.

б) В движущейся системе отсчета в начальный момент общая энергия системы равна

а в конечный она равна . Из закона сохранения импульса

получаем

и

Тогда из закона сохранения энергии имеем

или, пренебрегая величиной m/M по сравнению с двойкой,

— тот же самый результат, что и с точки зрения неподвижного наблюдателя!

Упражнения

1. Тело массой M = 990 г лежит на горизонтальной плоскости. В него попадает пуля массой m = 10 г, летящая горизонтально со скоростью υ = 100 м/с, и застревает в нем. Какой путь пройдет тело до остановки, если коэффициент трения между ним и плоскостью μ = 0,05?

2. В вагоне равномерно идущего поезда стоит человек, натягивающий пружину с силой  (рис. 8). Поезд прошел путь l. Какую работу при этом совершил человек в системе отсчета, связанной с поездом, и в системе отсчета, связанной с Землей?

Рис. 8

Ответы

1.

2. В обеих системах отсчета A = 0.

На
прошлом уроке мы с вами говорили об импульсе тела. А также смогли
сформулировать второй закон Ньютона в импульсной форме, который позволяет нам
установить, как изменяется модуль и направление скорости тела, при действии на
него силы в течение некоторого промежутка времени. В этом случае говорят, что
сила совершает механическую работу.

Таким
образом, механическая работа — это скалярная физическая величина,
которая характеризует процесс перемещения тела под действием силы. Тогда же мы
говорили о том, что если под действием постоянной силы тело двигается
прямолинейно и совершает перемещение в направлении действия силы, то сила
совершает работу, равную произведению модуля этой силы и модуля перемещения:

Из
определения следует единица измерения работы в метрической системе единиц — ньютон,
умноженный на метр:

Эта
единица была названа джоулем, в честь английского учёного Джеймса Джоуля,
впервые экспериментально обосновавшего эквивалентность работы и теплоты.

Мы
вспомнили самый простой случай, когда перемещение тела и сила, действующая на
него, совпадают по направлению. Теперь давайте вспомним, как вычисляется
работа, когда направление действия силы не совпадает с направлением перемещения
тела. Итак, у нас есть блок, через который перекинута нить. К одному концу нити
прикреплён брусок известной массы. На этот брусок действуют всего две — сила
тяжести, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити, направленная
вверх вдоль нити.

Если
мы равномерно потянем за нить, то брусок начнёт равномерно двигаться. Следовательно,
результирующая сила, действующая на брусок, будет равна нулю. Значит, при
некотором перемещении тела работа результирующей силы тоже будет равна нулю.
Однако сила натяжения нити совершает работу, причём работу положительную, так
как её направление совпадает с направлением перемещения тела. А поскольку при
равномерном движении сила натяжения нити по модулю равна силе тяжести бруска,
то можно предположить, что сила тяжести совершает такую же по величине работу,
но отрицательную. Отсюда мы можем сделать достаточно простой вывод: работа силы
может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

И
давайте рассмотрим наиболее общий случай вычисления работы. Итак, у нас есть трактор,
который передвигает бетонный блок, действуя на него постоянной силой. Как видно
из рисунка, сила тяги составляет некоторый угол с направлением перемещения
блока. Разложим эту силу  на
две составляющие: перпендикулярную перемещению  и
параллельную ему .

В
направлении перпендикулярной составляющей силы тяги блок не перемещается. Значит
эта сила работы не совершает. Следовательно, работа силы тяги равна работе её составляющей,
которая направлена по движению блока. Именно эта проекция и определяет действие
силы, изменяющей скорость тела по модулю:

Из
прямоугольного треугольника видно, что проекция силы на вектор перемещения
равна

Тогда
можно записать, что работа постоянной силы равна произведению модуля этой силы
на модуль перемещения и на косинус угла между ними:

Это
и есть общее выражение для работы постоянной силы.

Из
него следует, что процесс совершения работы возможен только при наличии силы,
приложенной к телу, и перемещения тела под действием этой силы.

Несмотря
на то, что в общем случае перемещения разных точек твёрдого тела различны, при
определении работы мы под перемещением будем понимать перемещение точки
приложения силы.

Из
формулы для работы также видно, что в случае, когда угол между направлением
вектора силы и вектора перемещения острый, то работа этой силы считается
положительной. Если вектор силы и вектор перемещения составляют между собой
тупой угол, то значение косинуса этого угла будет меньше нуля. Значит и работа
этой силы будет отрицательна. И, наконец, если вектор силы перпендикулярен
вектору перемещения, то работа не совершается (точнее сказать, работа этой силы
равна нулю).

Ещё
раз обратим внимание на тот факт, что если к движущемуся телу приложено
несколько сил, то каждая из них совершает работу, а общая работа равна
алгебраической сумме работ, совершаемых отдельными силами (или, говорят, равна
работе равнодействующей силы):

Механическую
работу можно представить в виде графика зависимости проекции силы от координаты
тела. Для примера рассмотрим движение тела вдоль оси Оx
под действием постоянной силы, направление которой совпадает с направлением
перемещения.

Очевидно,
что проекция этой силы на ось Оx
также постоянна и положительна. Значит её график будет располагаться в первой
четверти. И это будет прямая линия, параллельная оси координат. А работа этой
силы численно равна площади закрашенного прямоугольника.

Если
же сила изменяется в процессе движения, то её работу можно представить, как
произведение средней силы на модуль перемещения. В частности, если сила
меняется линейно на данном перемещении, то её работа равна площади
заштрихованной трапеции.

Отметим
ещё и тот факт, что механическая работа зависит от выбора системы отсчёта. Для
примера представим, что мы находимся в снижающемся вертолёте и нам надо
определить, какую работу совершает действующая на нас сила тяжести. Так вот, если
систему отсчёта мы свяжем с вертолётом, относительно которого мы покоимся, то сила
тяжести работу совершать не будет. Однако в системе отсчёта, связанной с
Землёй, мы движемся (причём в направлении действия силы). Поэтому сила тяжести
будет совершать положительную работу.

Как
вы знаете, одна и та же работа в разных случаях может быть выполнена за
различные промежутки времени. То есть она может совершаться неодинаково быстро.
При этом очевидно, что чем меньшее времени требуется для выполнения данной
работы, тем эффективнее работает машина, механизм и прочее.

Скалярная
физическая величина, характеризующая быстроту совершения работы, и равная
отношению работы, совершаемой силой, к промежутку времени, в течение которого
она совершается, называется мощностью:

Исходя
из определения видим, что единицей измерения мощности является джоуль, делённый
на секунду. Эта единица получила название ватт, в честь английского учёного
Джеймса Уатта — изобретателя универсального парового двигателя.

Один
ватт — это мощность, при которой работа в один джоуль
совершается за одну секунду:

А,
например, мощность автомобильных двигателей до сих пор указывают во
внесистемной единице — лошадиных силах (1 л. с. = 736 Вт).

Как
мы уже не раз говорили, при движении любого тела на него, в общем случае,
действует несколько сил. И каждая из этих сил совершает работу. Например,
постоянная сила, под действием которой тело движется равномерно и прямолинейно,
совершает работу, равную произведению модуля этой силы на модуль перемещения и
на косинус угла между ними:

Тогда
мощность этой силы равна отношению работы силы к промежутку времени:

Так
как отношение модуля перемещения к промежутку времени, за который оно
произошло, — это модуль скорости тела, то для постоянной силы и скорости мощность
равна произведению модуля вектора силы на модуль вектора скорости и на косинус
угла между направлениями этих векторов.

По
записанной формуле можно рассчитывать и среднюю, и мгновенную мощности,
подставляя значение средней или мгновенной скорости.

Из
полученной формулы следует, что при заданной мощности мотора сила тяги тем
меньше, чем больше скорость движения. Вот почему, например, во время пахотных
работ, когда нужна наибольшая сила тяги, трактористы двигаются с небольшой
скоростью.

Энергия.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: работа силы, мощность, кинетическая энергия, потенциальная энергия, закон сохранения механической энергии.

Мы приступаем к изучению энергии — фундаментального физического понятия. Но предварительно нужно разобраться с другой физической величиной — работой силы.

к оглавлению ▴

Работа.

Пусть на тело действует постоянная сила и тело, двигаясь прямолинейно по горизонтальной поерхности, совершило перемещение . Сила не обязательно является непосредственной причиной перемещения (так, сила тяжести не является непосредственной причиной перемещения шкафа, который передвигают по комнате).

Предположим сначала, что векторы силы и перемещения сонаправлены (рис. 1; остальные силы, действующие на тело, не указаны)

Рис. 1.A=Fs

В этом простейшем случае работа определяется как произведение модуля силы на модуль перемещения:

. (1)

Единицей измерения работы служит джоуль (Дж): Дж=Н м. Таким образом, если под действием силы 1 Н тело перемещается на 1 м, то сила совершает работу 1 Дж.

Работа силы, перпендикулярной перемещению, по определению считается равной нулю. Так, в данном случае сила тяжести и сила реакции опоры не совершают работы.

Пусть теперь вектор силы образует с вектором перемещения острый угол (рис. 2).

Разложим силу на две составляющие: (параллельную перемещению) и (перпендикулярную перемещению). Работу совершает только . Поэтому для работы силы получаем:

. Итак,

. (2)

Если вектор силы образует с вектором перемещения тупой угол , то работа по-прежнему определяется формулой (2). В этом случае работа оказывается отрицательной.

Например, работа силы трения скольжения, действующей на тело в рассмотренных ситуациях, будет отрицательной, так как сила трения направлена противоположно перемещению. В этом случае имеем:

, и для работы силы трения получаем:

,

где — масса тела, — коэффициент трения между телом и опорой.

Соотношение (2) означает, что работа является скалярным произведением векторов силы и перемещения:

.

Это позволяет вычислять работу через координаты данных векторов:

.

Пусть на тело действуют несколько сил и — равнодействующая этих сил. Для работы силы имеем:

,

или

,

где — работы сил . Итак, работа равнодействующей приложенных к телу сил равна сумме работ каждой силы в отдельности.

к оглавлению ▴

Мощность.

Часто имеет значение быстрота, с которой совершается работа. Скажем, на практике важно знать, какую работу сможет выполнить данное устройство за фиксированное время.

Мощность — это величина, характеризующая скорость совершения работы. Мощность есть отношение работы ко времени , за которое эта работа совершена:

.

Мощность измеряется в ваттах (Вт). 1 Вт = 1 Дж/с, то есть 1 Вт — это такая мощность, при которой работа в 1 Дж совершается за 1 с.

Предположим, что силы, действующие на тело, уравновешены, и тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью . В этом случае существует полезная формула для мощности, развиваемой одной из действующих сил .

За время тело совершит перемещение . Работа силы будет равна:

.

Отсюда получаем мощность:

,

или

,

где -угол между векторами силы и скорости.

Наиболее часто эта формула используется в ситуации, когда — сила «тяги» двигателя автомобиля (которая на самом деле есть сила трения ведущих колёс о дорогу). В этом случае , и мы получаем просто:

.

к оглавлению ▴

Механическая энергия.

Энергия является мерой движения и взаимодействия любых объектов в природе. Имеются различные формы энергии: механическая, тепловая, электромагнитная, ядерная. . .

Опыт показывает, что энергия не появляется ниоткуда и не исчезает бесследно, она лишь переходит из одной формы в другую. Это самая общая формулировка закона сохранения энергии.

Каждый вид энергии представляет собой некоторое математическое выражение. Закон сохранения энергии означает, что в каждом явлении природы определённая сумма таких выражений остаётся постоянной с течением времени.

Измеряется энергия в джоулях, как и работа.

Механическая энергия является мерой движения и взаимодействия механических объектов (материальных точек, твёрдых тел).

Мерой движения тела является кинетическая энергия. Она зависит от скорости тела. Мерой взаимодействия тел является потенциальная энергия. Она зависит от взаимного расположения тел.

Механическая энергия системы тел равна сумме кинетической энергии тел и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом.

к оглавлению ▴

Кинетическая энергия.

Кинетической энергией тела (принимаемого за материальную точку) называется величина

,

где — масса тела, — его скорость.

Кинетической энергией системы из тел называется сумма кинетических энергий каждого тела:

.

Если тело движется под действием силы , то кинетическая энергия тела, вообще говоря, меняется со временем. Оказывается, именение кинетической энергии тела за некоторый промежуток времени равно работе силы . Покажем это для случая прямолинейного равноускоренного движения.

Пусть — начальная скорость, — конечная скорость тела. Выберем ось вдоль траектории тела (и, соответственно, вдоль вектора силы ). Для работы силы получаем:

.

(мы воспользовались формулой для , выведенной в статье «Равноускоренное движение»). Заметим теперь, что в данном случае проекция скорости отличается от модуля скорости разве что знаком; поэтому и . В результате имеем:

,

что и требовалось.

На самом деле соотношение справедливо и в самом общем случае криволинейного движения под действием переменной силы.

Теорема о кинетической энергии. Изменение кинетической энергии тела равно работе, совершённой приложенными к телу внешними силами за рассматриваемый промежуток времени.

Если работа внешних сил положительна, то кинетическая энергия увеличивается (, тело разгоняется).

Если работа внешних сил отрицательна, то кинетическая энергия уменьшается (, тело замедляет движение). Пример — торможение под действием силы трения, работа которой отрицательна.

Если же работа внешних сил равна нулю, то кинетическая энергия тела за это время не меняется. Нетривиальный пример — равномерное движение по окружности, совершаемое грузом на нити в горизонтальной плоскости. Сила тяжести, сила реакции опоры и сила натяжения нити всегда перпендикулярны скорости, и работа каждой из этих сил равна нулю в течение любого промежутка времени. Соответственно, кинетическая энергия груза (а значит, и его скорость) остаётся постоянной в процессе движения.

Задача. Автомобиль едет по горизонтальной дороге со скоростью и начинает резко тормозить. Найти путь , пройденный автомобилем до полной остановки, если коэффициент трения шин о дорогу равен .

Решение. Начальная кинетическая энергия автомобиля , конечная кинетическая энергия . Изменение кинетической энергии .

На автомобиль действуют сила тяжести , реакция опоры и сила трения . Сила тяжести и реакция опоры, будучи перпендикулярны перемещению автомобиля, работы не совершают. Работа силы трения:

.

Из теоремы о кинетической энергии теперь получаем:

.

к оглавлению ▴

Потенциальная энергия тела вблизи поверхности Земли.

Рассмотрим тело массы , находящееся на некоторой высоте над поверхностью Земли. Высоту считаем много меньше земного радиуса. Изменением силы тяжести в процессе перемещения тела пренебрегаем.

Если тело находится на высоте , то потенциальная энергия тела по определению равна:

где — ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли.

Высоту не обязательно отсчитывать от поверхности Земли. Как мы увидим ниже (формулы (3), (4)), физическим смыслом обладает не сама по себе потенциальная энергия, но её изменение. А изменение потенциальной энергии не зависит от уровня отсчёта. Выбор нулевого уровня потенциальной энергии в конкретной задаче диктуется исключительно соображениями удобства.

Найдём работу, совершаемую силой тяжести при перемещении тела. Предположим, что тело перемещается по прямой из точки , находящейся на высоте , в точку , находящуюся на высоте (рис. 3).

Рис. 3.A=mg(h1-h2)[/math]

Угол между силой тяжести и перемещением тела обозначим . Для работы силы тяжести получим:

.

Но, как видно из рис. 3, . Поэтому

,

или

. (3)

Учитывая, что , имеем также:

. (4)

Можно доказать, что формулы (3) и (4) справедливы для любой траектории, по которой тело перемещается из точки в точку , а не только для прямолинейного отрезка.

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой перемещается тело, и равна разности значений потенциальной энергии в начальной и конечной точках траектории. Иными словами, работа силы тяжести всегда равна изменению потенциальной энергии с противоположным знаком. В частности, работа силы тяжести по любому замкнутому пути равна нулю.

Сила называется консервативной, если при перемещении тела работа этой силы не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела. Сила тяжести, таким образом, является консервативной. Работа консервативной силы по любому замкнутому пути равна нулю. Только в случае консервативной силы возможно ввести такую величину, как потенциальная энергия.

к оглавлению ▴

Потенциальна яэнергия деформированной пружины.

Рассмотрим пружину жёсткости . Начальная деформация пружины равна . Предположим,
что пружина деформируется до некоторой конечной величины деформации . Чему равна при этом работа силы упругости пружины?

В данном случае силу на перемещение не умножишь, так как сила упругости меняется в процессе деформации пружины. Для нахождения работы переменной силы требуется интегрирование. Мы не будем приводить здесь вывод, а сразу выпишем конечный результат.

Оказывается, сила упругости пружины также является консервативной. Её работа зависит лишь от величин и и определяется формулой:

.

Величина

называется потенциальной энергией деформированной пружины (x — величина деформации).

Следовательно,

,

что полностью аналогично формулам (3) и (4).

к оглавлению ▴

Закон сохранения механической энергии.

Консервативные силы называются так потому, что сохраняют механическую энергию замкнутой системы тел.

Механическая энергия тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий:

.

Механическая энергия системы тел равна сумме их кинетических энергий и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом.

Предположим, что тело совершает движение под действием силы тяжести и/или силы упругости пружины. Будем считать, что трения нет. Пусть в начальном положении кинетическая и потенциальная энергии тела равны и , в конечном положении — и . Работу внешних сил при перемещении тела из начального положения в конечное обозначим .

По теореме о кинетической энергии

.

Но работа консервативных сил равна разности потенциальных энергий:

.

Отсюда получаем:

,

или

.

Левая и правая части данного равенства представляют собой механическую энергию тела в начальном и конечном положении:

.

Следовательно, при движении тела в поле силы тяжести и/или на пружине механическая энергия тела остаётся неизменной при отсутствии трения. Справедливо и более общее утверждение.

Закон сохранения механической энергии. Если в замкнутой системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы сохраняется.

При этих условиях могут происходить лишь превращения энергии: из кинетической в потенциальную и наоборот. Общий запас механической энергии системы остаётся постоянным.

к оглавлению ▴

Закон изменения механической энергии.

Если между телами замкнутой системы имеются силы сопротивления (сухое или вязкое трение), то механическая энергия системы будет уменьшаться. Так, автомобиль останавливается в результате торможения, колебания маятника постепенно затухают и т. д. Силы трения неконсервативны: работа силы трения очевидным образом зависит от пути, по которому перемещается тело между данными точками. В частности, работа силы трения по замкнутому пути не равна нулю.

Снова рассмотрим движение тела в поле силы тяжести и/или на пружине. Вдобавок на тело действует сила трения, которая за рассматриваемый промежуток времени совершает отрицательную работу . Работу консервативных сил (тяжести и упругости) по-прежнему обозначаем .

Изменение кинетической энергии тела равно работе всех внешних сил:

.

Но , следовательно

.

Отсюда

,

или

.

В левой части стоит величина — изменение механической энергии тела:

.

Итак,при движении тела в поле силы тяжести и/или на пружине изменение механической энергии тела равно работе силы трения. Так как работа силы трения отрицательна,изменение механической энергии также отрицательно: механическая энергия убывает.
Справедливо и более общее утверждение.

Закон изменения механической энергии. Изменение механической энергии замкнутой системы равно работе сил трения, действующих внутри системы.

Ясно, что закон сохранения механической энергии является частным случаем данного утверждения.

Конечно, убыль механической энергии не противоречит общефизическому закону сохранения энергии. В данном случае механическая энергия превращается в энергию теплового движения частиц вещества и их потенциальную энергию взаимодействия друг с другом, т. е. переходит во внутреннюю энергию тел системы.