Как найти работу силы при перемещении частицы

ФИЗИКА

Модуль 1.3

1 Работа и мощность

Пусть частица под действием силы
совершает перемещение по некоторой
траектории 1-2 (рис. 1).

Рис. 1

Элементарной работой силы
на перемещенииназывается скалярное произведение.

Итак,

(3.1)

где
— угол между векторамии,— элементарный путь,— проекция векторана вектор.

Суммируя (интегрируя) выражение (3.1) на
участке от точки 1 до точки 2, находим
работу силы
на данном пути:

(3.2)

В выражении (3.2) под
(или)
следует понимать перемещение точки
приложения силы.

Рассмотрим несколько примеров на
вычисление работы

1. Работа упругой силы

Работа упругой силы
,
где— радиус-вектор частицыотносительно точки(рис. 2).

Элементарная работа

Рис. 2

Скалярное произведение

и.

. (3.3)

2. Работа гравитационной (или кулоновской)
силы

Пусть в точке
(рис.3) находится неподвижный силовой
центр – материальная точка, действующая
на частицус силой,
которая как для гравитационного, так и
для кулоновского взаимодействий может
быть представлена в виде:

,

где
для гравитационной силы,для кулоновской силы,— расстояние от точкидо частицы,— орт радиус-вектора.

О

Рис. 3

Элементарная работа этой силы на
перемещении

,
где,

поэтому
.

Работа этой силы на всем пути от точки
1 до точки 2

. (3.4)

3. Работа однородной силы тяжести

Запишем эту силу в виде
,
где— орт вертикальной оси(рис. 4).

Рис. 4

Элементарная работа силы тяжести на
перемещении

.

Скалярное произведение
,
поэтому

.

Работа данной силы на всем пути от точки
1 до точки 2

.

Полагая
,,
получим

. (3.5)

Вывод: рассмотренные силы интересны
в том отношении, что их работа, как видно
из (3.3) – (3.5), не зависит от формы пути
между точками 1 и 2, а зависит только от
положения этих точек. Таким свойством
обладают не все силы. Например, сила
трения этим свойством не обладает:
работа этой силы зависит не только от
положения начальной и конечной точек,
но и от формы пути между ними.

Единицей измерения работы в СИ является
джоуль (Дж).

=
1 Дж = 1 Н·м.

Мощность

Работа, совершаемая в единицу времени,
называется мощностью. Мощностьопределяется соотношением

. (3.6)

Учитывая, что
,,
получим

. (3.7)

Таким образом, мощность равна скалярному
произведению силы на скорость точки
приложения силы.

Единицей мощности в СИ является ватт
(Вт).

.

2 Консервативные силы. Потенциальная энергия

Консервативные силы

Если в каждой точке пространства на
помещенную туда частицу действует сила,
то частица находится в поле сил.
Так, например, частица может находиться
в поле сил тяжести, в поле сил сопротивления.

Поле, остающееся постоянным во времени,
называют стационарным. В стационарном
силовом поле сила, действующая на
частицу, зависит только от ее положения.

Силы, работа которых не зависит от пути,
по которому двигалась частица, а зависит
лишь от начального и конечного положений
частицы, называют консервативными(илипотенциальными).

Работа консервативных сил на любом
замкнутом пути равна нулю. Примером
являются силы гравитационные, кулоновские,
упругие, сила тяжести.

К числу неконсервативных сил относятся,
например, силы трения и сопротивления.
Работа этих сил зависит, вообще говоря,
от пути между начальным и конечным
положениями частицы (и не равна нулю на
любом замкнутом пути).

Поле, в любой точке которого направление
силы, действующей на частицу, проходит
через неподвижный центр, а модуль силы
зависит только от расстояния
до этого центра, называетсяцентральным.
Направлена сила либо от центра (как на
рис. 5), либо к силовому центру.

Центральную силу можно представить в
виде:

. (3.8)

Найдем работу, совершаемую над частицей
в центральном стационарном силовом
поле.

Элементарная работа силы (3.8) на перемещении
есть

,,

— проекция вектора
на вектор.

Работа этой силы на всем пути от точки
1 до точки 2

. (3.9)

Рис. 5

Это выражение зависит только от вида
функции
и от значенийи— начального и конечного положения
частицы. От формы траектории оно никак
не зависит.

Вывод:силы центрального стационарного
поля являются консервативными.

Потенциальная энергия частицы в поле

То обстоятельство, что работа консервативных
сил в случае стационарного поля зависит
только от начального и конечного
положения частицы, дает возможность
ввести понятие потенциальной энергии.
Сопоставим каждой точке поля значение
некоторой функции координат
.

Работа сил поля при перемещении частицы
из точки 1 в точку 2 будет равна разности
значений
и,
которые величинапринимает в точках 1 и 2:

. (3.10)

Величина
называется потенциальной энергией
частицы в силовом поле.

Таким образом, работа консервативных
сил совершается за счет убыли потенциальной
энергии частицы в данном поле.

. (3.11)

Равенство (3.10) определяет лишь разность
потенциальных энергий в двух точках,
саму потенциальную энергию можно
определить, если условно принять за
нуль значение потенциальной энергии в
какой-либо точке пространства.

В предыдущем параграфе мы нашли, что
работа силы упругости равна

(см. 3.3). С другой стороны, по формуле
(3.10)

Отсюда потенциальная энергия частицы
в поле упругой силы

(3.12)

Сопоставление формул (3.4) и (3.10) дает, что
потенциальная энергия частицы в
гравитационном поле:

, (3.13)

в кулоновском поле:

. (3.14)

Из формул (3.5) и (3.10) следует, что
потенциальная энергия частицы в
однородном поле сил тяжести

, (3.15)

где
отсчитывается от произвольного уровня.

Связь между потенциальной энергией

и силой поля

Если известно выражение
для потенциальной энергии, можно найти
силу, действующую на частицу в каждой
точке поля. Пусть частица совершила
перемещениепод действием силы,
тогда работа этой силы равна

. (3.16)

С другой стороны, согласно формуле
(3.11) эта работа равна убыли потенциально
энергии:

. (3.17)

Полный дифференциал
можно представить в виде:

, (3.18)

где символ частной производной, например,
означает, что производная повычисляется при условии, что координатыиостаются постоянными.

Подставляя (3.16) и (3.18) в (3.17), получим

отсюда компоненты силы равны

;;(3.19)

Вектор силы
или

(3.20)

Величину, стоящую в скобках, называют
градиентом скалярной функции
и обозначаютили,
где оператор

(3.21)

называется оператором Гамильтонаилиоператором набла.

Таким образом,

,
или, (3.22)

т.е. консервативная сила равна градиенту
потенциальной энергии частицы в данной
точке поля, взятому со знаком минус.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

Работа силы м мощность силы:

«Работа — это изменение формы движения, рассматриваемое с его количественной стороны» (Энгельс)

Понятие работы

Энергия может переходить из одного вида в другие. Например, потенциальная энергия воды, поднятой плотиной на гидроэлектростанции, переходит в кинетическую энергию вращающихся турбин, которая в свою очередь превращается в электрическую энергию, по проводам передается на большие расстояния, чтобы опять перейти в кинетическую энергию станков, в тепловую энергию электропечей, в световую, в звуковую и в прочие виды энергии. При всех этих явлениях исчезает (или возникает) такое же количество каждого вида энергии, сколько возникает (или исчезает) энергии всех прочих видов. Это изменение энергии, изменение формы движения, рассматриваемое с количественной стороны, Энгельс называет работой.

Из множества различных видов движения в теоретической механике интересуются только механическим движением. Переход механического движения в немеханическое или же, наоборот, немеханического в механическое происходит на протяжении некоторого пути и зависит от действующих сил. Поэтому понятие работы в механике связано с понятиями перемещения и силы.

Работу постоянной силы при прямолинейном движении выражают произведением модуля силы на величину перемещения материальной частицы и на косинус угла между направлением силы и перемещением А = Fs cos α

Работа постоянной силы при прямолинейном движении

Знакомство с понятием работы силы в механике начнем с частного случая — работы постоянной силы при прямолинейном движении точки ее приложения.

Пусть к некоторой материальной частице приложена сила F, постоянная по величине и по направлению. Пусть точка приложения силы переместилась на прямолинейный отрезок s . В таком случае произведение

A= Fs cos α      (218)

выражает работу постоянной силы F при прямолинейном движении и характеризует механическое воздействие на материальную частицу со стороны других материальных объектов на данном пути.

Работа является скалярной величиной, она не имеет направления и вполне характеризуется величиной и знаком. В формуле (218) модуль силы F и длина пути s всегда положительны. Знак « + » или «—» определяются знаком косинуса угла α между направлением силы и перемещения или, так как при прямолинейном движении точки перемещение совпадает с направлением скорости υ, косинусом угла между направлением силы и скорости. Работа положительна, если угол (Fυ) острый, и отрицательна, если он тупой. Если направление F совпадает с направлением перемещения, то угол (

А =Fs.

Если же сила направлена противоположно перемещению, то () = 180^o, cos() = — 1 и

А = -Fs.

Сила, перпендикулярная к перемещению, работы не совершает, так как cos 90° = 0.

Определим размерность работы. В физической системе единиц

Единицей работы в СИ является джоуль² — работа силы в 1 ньютон, действующей по направлению перемещения на пути в 1 метр (1 дж= 1 н ∙ 3t = l кг ∙ м² ∙ ceκ^-2).

Размерность работы в технической системе единиц

Если сила выражена в кГ, а длина — в м, то единицей работы является 1 килограммометр.

Размерности работы и кинетической энергии одинаковы.

Элементарной работой силы называют работу силы на столь малом перемещении точки ее приложения, при котором изменением силы можно пренебречь:

Элементарная работа силы

В общем случае, если сила переменна или движение точки приложения силы криволинейное, определять работу силы по (218) нельзя. Но, разбив мысленно весь путь на такие маленькие участки, которые можно считать прямолинейными и на которых можно пренебречь изменением величины и направления силы, мы определим на каждом из этих участков работу, называемую элементарной работой силы:

     (219)

В этом равенстве ds выражает длину элементарного перемещения и является величиной всегда положительной.

Зная работу силы (219) на отдельных элементах пути, можно определить работу на конечном участке. Докажем некоторые теоремы о работе силы.

Элементарная работа равнодействующей равна сумме элементарных работ составляющих:

Теорема об элементарной работе равнодействующей. Пусть к точке О приложен пучок сил F₁, F₂,…, F_n. Обозначим равнодействующую этого пучка F. Спроецируем все силы пучка и равнодействующую на направление скорости точки О и приравняем проекцию равнодействующей сумме проекций составляющих:

Умножив теперь каждый член этого равенства на длину ds элементарного перемещения точки приложения сил, найдем, что элементарная работа равнодействующей равна сумме элементарных работ составляющих:

или 

     (220)

Под суммой следует понимать, конечно, алгебраическую сумму, потому что работа не имеет направления, но имеет знак.

Элементарная работа силы связана с проекциями силы на оси координат соотношением: dA = Xdx+ Ydy + Zdz

Выражение элементарной работы через проекции силы на оси координат

Разложим силу F на составляющие по осям координат и определим элементарную работу силы по сумме работ ее составляющих. Пусть составляющие силы направлены в положительном направлении осей координат. Тогда углы между составляющими силы и скоростью являются углами между скоростью и положительными направлениями осей координат, а их косинусы определяются формулами (62) направляющих косинусов скорости. В таком случае имеем

или, подставляя значения направляющих косинусов,

сокращая на ds, получаем окончательно

Заметим, что в общем случае дифференциальный трехчлен X dx + Y dy + Z dz не является полным дифференциалом и обозначение элементарной работы dA не следует понимать как полный дифференциал от А.

Работу силы на данном пути выражают пределом суммы всех элементарных работ силы на элементарных перемещениях, из абсолютных величин которых составляется данный путь:

Работа силы на данном пути. Возьмем какие-либо два положения M₁ и M₂ точки на ее криволинейной траектории. Работа А силы F на конечном перемещении M₁M₂ выразится суммой элементарных работ силы F на всех элементарных перемещениях, на которые разбит конечный участок пути M₁M₂.

Эта сумма состоит из бесчисленного множества бесконечно малых слагаемых. Такую сумму называют криволинейным интегралом, взятым по дуге M₁M₂, и обозначают так:

    (222)

или, если воспользоваться выражением элементарной работы через проекции силы на оси координат,

    (222′)

Если на точку действуют несколько сил, то, очевидно, работа равнодействующей на конечном участке пути равна сумме работ составляющих на том же участке пути.

Так как сила, вообще говоря, зависит от координат точки ее приложения, от проекций скоростей точки и от времени:

то мы можем вычислить интеграл (222′) только в случае, если известно движение точки. Подставив тогда вместо их выражения в зависимости от времени, мы сможем представить работу силы в виде интеграла

где t₁ и t₂ — мгновения, соответствующие положению точки в M₁ и M₂.

Работа графически выражается площадью, ограниченной кривой, изображающей зависимость проекции силы на скорость от пути, осью абсцисс и крайними ординатами

Графическое определение работы

Ввиду сложности математического вычисления работы па практике часто пользуются для этой цели графическим методом. Будем откладывать по оси абсцисс длину пути, пройденного точкой, а по оси ординат — соответствующую проекцию силы на направление скорости, учитывая и знак проекции. Получим некоторую кривую, изображающую зависимость между проекцией силы на направление скорости и путем точки. Площадь, ограниченная этой кривой, осью абсцисс и двумя крайними ординатами, изображает работу силы на данном пути. Если кривая или часть ее расположена по отрицательную сторону, вниз от оси абсцисс, то соответствующая площадь изображает отрицательную работу.

Для построения графика зависимости силы от пути имеются различные приборы. В частности, специальный прибор — индикатор— служит для записи давления в цилиндре в зависимости отхода поршня. Работу, вычисленную при помощи индикаторной диаграммы, т.е. диаграммы, начерченной этим прибором, называют индикаторной работой.

Работа силы тяжести не зависит от вида траектории центра тяжести тела и равна произведению веса тела на изменение высоты центра тяжести тела: A_G=Gh

Работа силы тяжести

Складывая веса всех частиц тела, заменим их одной силой G, равной весу тела и приложенной в центре тяжести С. Пусть при движении тела центр тяжести тела переместился из C₁(x₁, y_l, z₁) в C₂ (x₂, y₂, Z₂) (рис. 210). Определим проекции веса на оси координат, считая, что Oz направлена вертикально вверх:

X=O; Y = 0; Z = -G,

или 

A = G (z₁—z₂) = Gh.      (223)э

Рис. 210

Следовательно, работа силы тяжести не зависит от вида траектории точек тела и равна произведению веса тела на разность начальной и конечной высот центра тяжести. Если тело опускается, то сила тяжести тела совершает положительную работу, а если поднимается, то отрицательную. Так, например, если человек поднял гирю весом 10 кГ на высоту одного метра (безразлично—по вертикали или по иной траектории), то работа силы тяжести равна —10 кГ∙ м, а работа человека на преодоление силы тяжести равна +10 кГ∙ м.

Элементарная работа силы, приложенной к телу, закрепленному на неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения на бесконечно малый угол поворота: dА = Mdφ

Работа силы, приложенной к вращающемуся телу

Припомним формулы Эйлера, связывающие проекции вращательной скорости точки К (х, у, z) с угловой скоростью и координатами этой точки:

       (89)

Умножая эти равенства на dt, найдем приращения координат точки приложения силы:

Подставим эти выражения dx, dy и dz в формулу (221)

Разность, стоящая в скобках, выражает момент данной силы относительно оси вращения Oz:

  (224)

Если на тело действует несколько сил, то, составив такие равенства для определения работы каждой из них и просуммировав, найдем, что элементарная работа всех сил равна произведению главного момента сил относительно оси вращения на dφ.

Чтобы определить работу силы, действующей на тело при его повороте от φ₁ до φ₂, надо проинтегрировать уравнение (224) в этих пределах, выразив момент силы в функции угла поворота:

  (225)

В частном случае постоянного момента силы

A = Mφ    (226)

работа равна произведению момента силы на угол поворота тела.

Задача №1

Однородный массив ABED, размеры которого указаны на чертеже (рис. 211, а), весит 4 Т. Определить работу, которую необходимо произвести, чтобы опрокинуть его вращением вокруг ребра D.

Рис. 211

Решение. 1-й способ. Рассматриваем опрокидывание массива. Какие силы действуют на массив? Их две: вес массива G=4 Т, приложенный в его центре тяжести С, и реакция фундамента. Во время опрокидывания реакция приложена в ребре D, вокруг которого происходит опрокидывание (рис. 211,6), как известно из статики). Но во время опрокидывания ребро D неподвижно, поэтому работа реакции равна нулю. Работу веса (силы тяжести) определим по (223). Для опрокидывания массива достаточно повернуть его до положения неустойчивого равновесия, изображенного на рис. 211, в, при котором центр тяжести находится в вертикальной плоскости, проходящей через ребро D; далее массив опрокинется сам. Имеем

Такова работа силы тяжести при опрокидывании массива. Чтобы опрокинуть массив, надо произвести работу, такую же по величине и обратную по знаку.

2-й способ. Несколько сложнее получится решение задачи, если мы воспользуемся формулой (225) о работе сил, приложенных к вращающемуся телу.

На поворачиваемый вокруг ребра D массив действуют вес и реакция в ребре D. Момент реакции относительно оси вращения равен нулю, следовательно, равна нулю и работа реакции. Момент веса — величина переменная — равен произведению силы 4 T на плечо CD cos φ, где φ (см. рис. 211, б) —угол, составляемый CD с горизонтальной плоскостью:

M = 20 cos φ.

Определим пределы интегрирования. При начале работы массив стоял вертикально, высота центра тяжести была 4 м и

Угол считаем отрицательным, так как отсчет производим по ходу часов:

φ₀ = arcsin 0,8.

В конечном положении (см. рис. 211, в)

Подставляя в (225), получаем

Мы определили работу восстанавливающего момента, вызванного силой тяжести и стремящегося восстановить устойчивое равновесие массива. Работа на опрокидывание массива вращением вокруг ребра D равна ей по величине и противоположна по знаку.

Ответ. А = + 4 Тм.

Задача №2

Определить работу на преодоление силы земного притяжения при запуске на высоту 30 000 м ракеты массой m = 2000 кг, считая силу притяжения изменяющейся по закону всемирного тяготения. Радиус земного шара принять R = 6 370 000 м.

Решение. На ракету действует сила, направленная к центру Земли и равная

где k — постоянный коэффициент пропорциональности, M — масса Земли,  — масса ракеты и x = h + R — расстояние ракеты от центра Земли.

Обозначая kM через μ, имеем

При x=R ракета находится на поверхности Земли и F = mg,

откуда 

Зная μ и k, можно определить массу Земли, потому что k = μ : M.

Работу переменной силы F на перемещение ракеты с поверхности Земли на высоту h= 30 000 м определим по (222):

Отрицательный знак показывает, что при подъеме ракеты сила тяготения ракеты к Земле направлена против движения. Чтобы преодолеть эту силу на заданном расстоянии, надо совершить работу, такую же по величине, но положительную по знаку.

Ответ. A = + 5 621 262 369 дж.

Задача №3

Доказать, что сумма работ внутренних сил абсолютно твердого тела при всяком перемещении тела равна нулю.

Решение. Рассмотрим две точки А и В твердого тела (рис. 212). Силы взаимодействия этих точек всегда равны между собой и направлены по прямой AB в противоположные стороны.

Проекции скоростей точек А и В на прямую AB всегда равны между собой:

Рис. 212

Поэтому при любом перемещении работы сил взаимодействия точек A и В равны по величине, но обратны по знаку, и сумма работ равна нулю

Доказательство проведено для двух точек абсолютно твердого тела, за которые мы можем принять любые точки тела, а потому оно относится ко всем точкам твердого тела. В случае упругого тела или изменяемой системы точек сумма работ внутренних сил не равна нулю. Так, например, при падении камня на Землю силы взаимодействия между камнем и Землей (внутренние силы системы Земля —камень) равны и противоположны, но сумма работ этих сил не равна нулю.

Ответ. Сумма работ всех внутренних сил в абсолютно твердом теле при всяком перемещении тела равна нулю.

Работа упругой силы равна половине произведения коэффициента жесткости на квадрат деформации:

Работа упругой силы. Определим работу упругой силы F пружины при растяжении ее на λ см, если для растяжения этой пружины на 1 см необходима сила с кГ (рис. 213). Сначала определим работу, которую необходимо совершить для растяжения этой пружины на λ см.

Рис. 213

Согласно одному из основных законов теории упругости и сопротивления материалов, называемому законом Гука, растяжение нагруженного тела прямо пропорционально нагрузке:

F = сх,

де F — нагрузка, х—растяжение и с — коэффициент жесткости.

Если к пружине приложить силу, например растягивать пружину рукой, то со стороны пружины возникнет реакция, называемая упругой реакцией, или упругой силой, пружины. По принципу равенства действия и противодействия упругая сила равна и противоположна растягивающей силе F, а поэтому работа упругой силы определяется найденным значением. Знак работы упругой силы отрицателен, если сила упругости направлена против деформации, т. е. если деформация увеличивается, и положителен, если деформация уменьшается.

Задача №4

Применить графический метод для вывода формулы (227).

Решение. Будем откладывать (рис. 214) по оси абсцисс растяжение пружины, а по оси ординат—силу F, потребную для этого растяжения, затем построим по точкам кривую зависимости между силой и перемещением точки приложения силы. В нашем случае это кривая первого порядка, т. е. прямая линия.

Рис. 214

Первую точку поставим в начале координат, так как при отсутствии растягивающей силы растяжение пружины равно нулю. Чтобы растянуть пружину на 1 см, нужна сила с кГ, поэтому вторая точка кривой имеет координаты х=1, у =с Если сила с кГ будет продолжать действовать на пружину, то пружина будет оставаться растянутой на один сантиметр, но чтобы растянуть пружину еще на один сантиметр, надо увеличить силу еще на с кГ. Следовательно, координаты третьей точки x=2, y=2c и т. д. Для растяжения пружины на λ си нужна сила в cλ кГ. Точка x = λ, y = cλ лежит на прямой, соединяющей все нанесенные точки. Проведя ординату крайней точки, получим треугольник с основанием λ и высотой cλ.

Ответ. Работа выражается площадью этого треугольника, т. е.

Заметим, что работа упругой силы выражается полученным равенством не только в рассмотренном нами частном случае. Эта формула относится в равной мере ко всем случаям упругой деформации, в которых упругая реакция подчиняется закону Гука F = сх, где х—перемещение точки приложения реакции, отсчитанное от положения этой точки при недеформированном состоянии тела, ас — постоянный коэффициент. Сюда относятся растяжение и сжатие прямолинейного бруса, изгиб балки и т. п.

Величину, характеризующую быстроту приращения работы Силы и выражающуюся отношением элементарной работы к дифференциалу времени, называют мощностью силы:

Мощность силы

Одну и ту же работу можно произвести за различное время. Величину, характеризующую быстроту приращения работы, называют мощностью силы и обозначают буквой N. Разделив работу, произведенную силой, на время, в течение которого эта работа произведена, получим значение средней мощности силы:

B этом смысле говорят, хотя и несколько нечетко, что средняя мощность — это работа за единицу времени. При таком определении получается, что мощность является работой, или элементарной работой, чего не может быть, так как мощность имеет свою размерность. В физической системе единиц

Единицей мощности в СИ является мощность силы, производящей работу в один джоуль за одну секунду. Эту единицу называют ватт1 и обозначают вт. На практике часто употребляют единицу мощности киловатт (квт):

В технической системе в качестве единицы мощности силы обычно применяют кГм/сек. Употребляют также другую единицу мощности, называемую лошадиной силой:

1 л. с. = 75 кГ • м/сек = 736 вт.

Чем меньше промежуток времени, за который определена средняя мощность силы, тем ближе она соответствует мощности в данное мгновение, которую мы определим в пределе, если будем уменьшать промежуток времени, сохраняя начало этого промежутка:

    (228)

Таким образом, мощность силы выражают отношением элементарной работы к дифференциалу времени.
При некоторых частных выражениях работы мощность можно определить по другим формулам. Так, например, если сила направлена по скорости, то dA=Fds, и, подставляя в (228), найдем

N = F ∙υ,    (229)

т. е. мощность можно выразить произведением силы на скорость. При езде на автомобиле по ровной хорошей дороге, где нужно получить большую скорость, но не надо преодолевать большие сопротивления, включают высшие передачи, а при подъеме или на плохой дороге, где нужно развить при полной мощности возможно большую силу тяги, хотя бы и за счет потери скорости, включают низшие передачи.

Если сила выражена в килограммах, скорость —в км/ч, а мощность надо выразить в л. с., то формула (229) принимает следующий вид:

    (230)

т. е. мощность выражается произведением вращающего момента и угловой скорости.

Задача №5

Тягач, развивая мощность 80 л. с., тянет по горизонтальной ледяной дороге со скоростью 15 км/ч сани с грузом 36 т. Определить коэффициент трения саней о дорогу.

Решение. За основные единицы примем: L — в км, F —в кГ, T — в ч.

На сани действуют следующие силы: 1) вес 36 000 кГ, направленный вертикально вниз, 2) реакция дороги, направленная вертикально вверх; 3) сила тяги тягача, направленная горизонтально вперед по ходу саней, и 4) сила трения полозьев о дорогу, направленная горизонтально назад.

Работа вертикальных сил при горизонтальном движении саней равна нулю, и эти силы нас не интересуют.

Сани движутся равномерно, откуда следует, что горизонтальные силы уравновешивают друг друга. Следовательно, сила тяги F уравновешена силой трения, равной, как известно, произведению коэффициента трения на нормальное давление (36 000 кГ). Подставляя эти данные, найдем

,

откуда 

Решим теперь эту же задачу в СИ, т. е. примем L в м, M—в кг, T — в сек. Мощность силы, развиваемую тягачом, выразим в ваттах:

N = 80∙736 = 58 880 вт,

скорость —в метрах в секунду:

силу трения выразим в ньютонах:

и, пользуясь  формулой (229), получим ответ.

Ответ. 

Задача №6

Определение мощности машины можно произвести следующим образом. На вал машины надевают чугунный шкив, который центрируют и закрепляют наглухо зинтами (рис. 215). На шкив надевают две связанные болтами деревянные подушки, одна из которых имеет плечо l с чашкой для грузов Q. Противовес P подбирают так, чтобы свободно надетый на шкив нажим находился в равновесии без гирь Q в горизонтальном положении, т. е. так, чтобы плечо проходило между двумя неподвижными балками А и В. Испытание начинают с того, что затягивают болты подушек до тех пор, пока машина не даст наперед заданное число оборотов n. Коромысло прижимается при этом к неподвижной балке А. Затем начинают накладывать на чашку гири до тех пор, пока плечо не отстанет от А и не займет горизонтальное положение между А и В.

Рис. 215

Определить мощность, если вес гирь известен и равен Q, длина плеча равна l а число оборотов в минуту n. Подобрать длину плеча так, чтобы мощность выражалась формулой N = Qn вт.

Решение. Центр тяжести подушек с противовесом P по условию задачи лежит на одной вертикали с осью шкива На шкив действуют вращающий момент и момент сил трения, сумма которых равна нулю, так как шкив вращается равномерно.

Чтобы определить момент сил трения, рассмотрим равновесие подушки и составим сумму моментов действующих на нее сил относительно оси вала:

Тогда, по (230),

Пусть вес выражен в кГ, а длина —в м, тогда для выражения мощности в вт надо эту величину разделить на 0,102 или умножить на 9,81:

Если l = 0,98 м, то N = Qn вт.

Ответ. N = 1,026 Qln вт. Если l = 0,98 м, то N = Qn вт.

Задача №7

Посредством ремня (рис. 216) передается мощность 20 л. с. Радиус ременного шкива 50 см, число оборотов в минуту 150.

Предполагая, что натяжение T₁ ведущей ветви вдвое больше натяжения T₂ ведомой ветви, определить натяжение T₁ и T₂.

Рис. 216

Решение. Условие задачи дано в технической системе единиц, будем решать в СИ и выражать L — в .и, F — в н, Т —в сек.

Момент натяжения ремня, взятый относительно оси вращения шкива

Угловая скорость

Мощность 20 л. с. выразим в ваттах.

и по (230)

откуда

Натяжение ведущей ветви в два раза больше.

Ответ. T₁ = 3750 н; T₂= 1875 н. В задачнике И. В. Мещерского ответ дан в кГ, умножая число ньютонов на 0,102, выразим натяжение ремней в килограммах: T₂ = 382 κΓ, T₁= 191 кГ.

Теоремы об изменении кинетической энергии точки и системы

Изменение кинетической энергии материальной точки равно работе, приложенной к точке силы:
T-T₀=A

     (127)

Умножим первое из этих уравнений на, второе—на  и третье—на . Сокращая dt в знаменателях правых и левых частей, получим:

или 

Сложим все три уравнения и заменим в левой части сумму дифференциалов дифференциалом суммы:

В числителе левой части имеем квадрат полной скорости (64), а правая часть выражает элементарную работу силы (221). Следовательно,

  (231)

т. е. дифференциал кинетической энергии равен элементарной работе. Интегрируя равенство (231), получим

Постоянную интеграции определим из начальных данных. В начальное мгновение скорость точки υ = υ₀, а работа равнялась нулю. Подставляя эти данные, получим

и окончательно

  (232)

Равенство (232) словами можно прочитать так: изменение кинетической энергии материальной точки при перемещении этой точки на каком-либо участке пути равно работе силы, приложенной к точке, на том же участке пути. Уравнение (232) называют уравнением кинетической энергии.

Если на материальную точку действует несколько сил, то А означает работу равнодействующей приложенных к точке сил.

Уравнение (232) можно записать более коротко:

Т—Т₀ =  А.    (232′)

Задача №8

Самолет делает посадку с выключенным мотором на болотистую местность. Какую максимальную горизонтальную скорость v может иметь самолет, не рискуя капотировать (опрокинуться), если расстояние ОС центра тяжести от оси шасси равно с и угол наклона прямой СО с вертикалью в мгновение посадки равняется а (рис. 217).

Рис. 217

Решение. Опрокидывание самолета происходит от того, что при соприкосновении с Землей скорость шасси уменьшается, а корпус продолжает двигаться с постоянной скоростью. Для капота достаточно (и необходимо), чтобы центр тяжести, поднявшись, оказался на вертикали, проходящей через ось шасси.
Так как работа силы тяжести не зависит от траектории центра тяжести, а зависит лишь от его вертикального перемещения, то работа силы тяжести при опрокидывании (рис. 218)

Рис. 218

Вертикальная скорость самолета теряется при ударе о Землю, но горизонтальная сохраняется. Если при спуске  самолета шасси остановится, то оставшаяся кинетическая энергия уйдет на опрокидывание самолета:

Решая это уравнение, находим ответ.

Ответ.

Задача №9

Пренебрегая сопротивлением атмосферы, определить, с какой наименьшей скоростью надо бросить материальную точку вертикально вверх, чтобы она не вернулась на Землю.

Решение. Сила, действующая на брошенную с Земли точку, пропорциональна массе точки и обратно пропорциональна квадрату расстояния точки от центра Земли:

Коэффициент пропорциональности был определен при решении задачи № 155:

Материальная точка, получив начальную скорость υ₀, будет удаляться от Земли, при этом под действием силы F скорость ее будет уменьшаться, уменьшаться будет и сила F. Материальная точка не вернется на Землю, если в мгновение, когда скорость ее станет равной нулю, перестанет действовать и сила. Сила притяжения обратится в нуль при r = ∞.

Работу силы А при изменении r от R до ∞ выразим интегралом

Знак минус перед интегралом взят потому, что сила направлена в сторону, противоположную движению. Подставляем в (232):

откуда 

Подставляя числовые данные, получим ответ.
Ответ. (2-я космическая скорость).

Задача №10

В автоматическом оружии отдача используется для выбрасывания пустой гильзы и вкладывания нового патрона. Это осуществляется посредством специального кожуха, сдерживаемого пружиной, который «принимает на себя» отдачу, отскакивает назад и под действием пружины возвращается обратно, производя упомянутые операции. Какова должна быть скорость пули, достаточная для того, чтобы работал автоматический пистолет, если вес пули 8 Г, вес кожуха 250 Г, расстояние, на которое отскакивает кожух, 3 см и сила, необходимая для сжатия пружины на 1 см, равна 4 кГ?

Решение. Путь кожуха 3 см. На этом пути начальная скорость кожуха υ0 уменьшается, достигая нуля. Механическое движение кожуха переходит в упругую энергию пружины. Следовательно, применима теорема об изменении кинетической энергии, пользуясь которой, определим начальную скорость кожуха, так как конечная скорость равна нулю:

Упругая сила пружины изменяется по закону Гука F = cx; подставляя вместо F и х их заданные значения, находим

Подставляя в (221) и интегрируя в пределах от 0 до 3, находим

Работа отрицательна, так как упругая сила пружины направлена против ее деформации и выражена в кГ^. см. Выразив в тех же единицах кинетическую энергию кожуха, найдем его начальную скорость:

или

Итак, после выстрела кожух начал двигаться со скоростью 3,76 м/сек и, пройдя 3 см, остановился, затратив свое механическое движение на сжатие пружины.

После выстрела механическое движение получил не только кожух, но и пуля. Мы не будем больше рассматривать переход механического движения в упругую энергию пружины, а рассмотрим лишь механическое движение кожуха и пули.

Рассмотрим систему, состоящую из пистолета (с кожухом) и пули. Построим оси координат, проведя Ox вдоль дула пистолета. Проекция внешних сил на ось Ox равна нулю. Сила взрыва— внутренняя сила системы и, следовательно, центр масс системы не смещается по оси Ох, и сумма проекций количеств движения после выстрела, как и до выстрела, равна нулю:

откуда скорость пули

Знак минус показывает, что скорость пули направлена в сторону, противоположную скорости кожуха. Если скорость пули будет меньше, будет меньше и количество движения пули, а потому уменьшится и количество движения кожуха. Если же уменьшится количество движения кожуха, то уменьшится и его кинетическая энергия и ее будет недостаточно для совершения работы — сжатия пружины на 3 см, т. е. при меньшей начальной скорости пули пистолет не будет автоматически перезаряжаться. При большей скорости пули избыток кинетической энергии кожуха будет передаваться ударом на руку.

Ответ.  υ=120 м/сек.

Изменение кинетической энергии материальной системы равно сумме работ внешних и внутренних сил системы: T-T₀ = А

Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

Пусть механическая система состоит из п материальных точек. Разбив на две категории все силы, действующие на точки системы, напишем дифференциальные уравнения в форме (130):

где k = 1, 2, 3, …, n.

Рассмотрим отдельно какую-либо из точек системы и напишем для нее уравнение кинетической энергии. На эту точку действуют как внешние, так и внутренние силы, и в правой части уравнения кинетической энергии мы напишем сумму работ внешних и внутренних сил:

Составим такие же уравнения для всех точек и возьмем сумму:

    (233)

Припомним, что внутренние силы системы не вошли в уравнения проекций количеств движения системы (169) и в уравнения моментов системы (192). Однако они имеются в уравнении (233) кинетической энергии системы. Происходит это потому, что сумма проекций на любую ось и сумма моментов всех внутренних сил относительно любой оси всегда равны нулю, так как внутренние силы системы попарно равны и действуют по одной прямой в противоположные стороны. Но сумма работ внутренних сил системы в общем случае не равна нулю, как это было показано в задаче № 156.

Пусть, например, две точки системы отталкивают друг друга внутренними равными и противоположно направленными силами и под действием этих сил расстояние между точками увеличивается. Перемещения обеих точек направлены по силам, работы обеих сил положительны, и сумма работ этих сил не равна нулю. Внутренние силы системы можно рассматривать как силы взаимодействия точек, взятых по две. Поэтому сказанное о двух точках распространяется на все точки системы.

Силы взаимодействия между каждыми двумя частицами направлены в противоположные стороны по прямой, соединяющей эти частицы. Если расстояние между частицами не изменяется, то относительное перемещение этих частиц может быть только в направлении, перпендикулярном к этой прямой. Но силы, перпендикулярные к перемещениям, работы не совершают, а потому работа внутренних сил неизменяемой системы (абсолютно твердого тела) равна нулю.

Если система состоит из нескольких твердых тел, то работа внутренних сил каждого твердого тела равна нулю, но работы внутренних сил, действующих между каждыми двумя твердыми телами, принадлежащими к этой системе, в общем случае не равны нулю.

Задача №11

Цилиндрический вал диаметром 10 см и весом 0,5 T, на который насажено маховое колесо диаметром 2 м и весом 3 Т, вращается в данное мгновение с угловой скоростью 60 об/мин, а затем он предоставлен самому себе. Сколько оборотов еще сделает вал до остановки, если коэффициент трения в подшипниках равен 0,05? При решении задачи массу маховика считать равномерно распределенной по его ободу.

Решение. Примем следующие единицы измерения: L-в см, F — в Т, T — в сек.
Требуется определить количество оборотов вала до остановки. Механическое движение (вращение) вала с маховиком исчезает, переходит в другие виды движения. Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии (233′).

На вал с насаженным на него маховым колесом действуют силы: 1) вес всей системы, состоящий из веса махового колеса и веса вала, G = 3,5; 2) реакции в опорах; 3) сила трения в подшипниках, равная произведению веса на коэффициент трения; Fτp≈ 0,05-3,5.

Точка приложения первой из этих сил неподвижна, а потому работа первой из этих сил равна нулю.

Реакции перпендикулярны перемещениям, а потому работа реакции равна нулю.

Работу сил трения определим по (226) как работу силы, приложенной к вращающемуся телу. Момент силы трения относительно оси вращения равен произведению силы трения на плечо (на радиус вала):

Работа отрицательна, так как сила направлена против скорости, т. е. если вращение вала происходит против хода часовой стрелки (φ > 0), то M_тp < 0, а потому A = M_тp φ< 0; если же (φ < 0), то M_тp > 0, а потому А < 0:

Кинетическую энергию системы определим по (216) как кинетическую энергию вращающегося тела. 

Момент инерции системы равен сумме момента инерции маховика и момента инерции вала. Хотя вес вала только в 6 раз меньше веса махового колеса, но момент инерции вала исчезающе мал по сравнению с моментом инерции махового колеса, так как момент инерции зависит не столько от массы тела, сколько от ее распределения. Действительно, если масса маховика равномерно распределена по ободу, то

Момент инерции цилиндрического вала определим как момент инерции цилиндра относительно его оси (см. задачу № 134):

Следовательно, момент инерции вала в 4800 раз меньше момента инерции маховика и при решении задачи моментом инерции вала можно пренебречь.

Определим начальную угловую скорость:

Конечная угловая скорость равна нулю.
Все полученные данные подставляем в (233′):

Из этого уравнения можно определить число оборотов вала до остановки. Так как φ выражен в радианах, а в каждом обороте 2π радиан, то, обозначая искомое число оборотов х, получим

φ = 2πx.

Подставляем φ в предыдущее уравнение и, решая, получаем ответ.
Ответ. Вал сделает до остановки 109,7 оборота.

Задача №12

Доска весом G₁ лежит на двух одинаковых цилиндрических катках весом G каждый, находящихся на горизонтальной плоскости. К доске приложена постоянная горизонтальная сила Р. При движении системы скольжение между катками и доской отсутствует. Определить ускорение доски, пренебрегая сопротивлением качению.

Решение. К механической системе, состоящей из доски и двух катков, применим теорему об изменении кинетической энергии в форме (233′):

Определим кинетическую энергию системы. При качении катка без скольжения его мгновенный центр скоростей находится в точке соприкосновения с неподвижной плоскостью. Кинетическую энергию каждого из цилиндрических катков определим по формуле (216′):

Кинетическую энергию доски, движущейся поступательно со скоростью о, равной скорости верхней точки обода каждого катка, определим по (214):

Величины скоростей точек фигуры пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра скоростей, следовательно,

υ = 2υ_c

Кинетическая энергия всей механической системы, т. е. двух цилиндрических катков и доски, равна

Аналогично

Определим работу внешних сил. Ha систему действует внешние силы (рис. 219); движущая сила Р, веса G₁, G и G, нормальные реакции R₁ и R₂ неподвижной плоскости и силы трения скольжения F_{1 тр} и F_{2 тр}.

Рис. 219

Работа сил тяжести на горизонтальном перемещении их точек приложения равна нулю. Работа идеальных реакций и сил трения, приложенных в мгновенных центрах скоростей катков, равна нулю. Сумма работ всех внешних сил содержит только работу силы P на пути s, т. е.

Но в уравнение кинетической энергии системы входит также работа внутренних сил системы. Определим ее. Работа внутренних сил каждого из твердых тел всегда равна нулю. Работа внутренних сил взаимодействия между твердыми телами системы (между доской и каждым катком) в данном случае тоже
равна нулю, так как эти силы равны по модулю, противоположны по направлению и приложены к точкам, элементарные перемещения которых одинаковы, так как нет скольжения доски по каткам. Таким образом, имеем

Подставляя знамения Т, T₀ и уравнение (233′), находим 

Продифференцировав это уравнение по времени, получим

Ответ. 

Задача №13

Параллелепипед веса P₁ (рис. 220) опирается на плоскость, наклоненную под углом а к плоскости горизонта; цилиндр веса P₃ и радиуса R опирается образующей на плоскость, наклоненную под углом β. Оба тела соединены идеальной нитью, перекинутой через блок радиуса R и веса P₂. Система выходит из состояния покоя. Определить скорость и параллелепипеда после того, как он переместится по плоскости на расстояние 3, если коэффициент трения его о плоскость равен f, а трением при качении цилиндра и вращении блока можно пренебречь. Массу блока считать равномерно распределенной по его поверхности.

Рис. 220    

Решение. Рассмотрим движение системы, состоящей из параллелепипеда, цилиндра и блока. Для движения параллелепипеда вверх необходимо, чтобы

откуда 

Для движения параллелепипеда вниз необходимо; чтобы

откуда 

Если вес P₁ параллелепипеда заключается в пределах

то система остается в равновесии. При прочих значениях P₁ возникает движение системы. Для определения скорости определим кинетическую энергию системы.

В начальное мгновение кинетическая энергия системы равнялась нулю. Когда параллелепипед приобрел скорость у, то вследствие нерастяжимости нити такую же скорость получила и ось цилиндра. Кроме того, цилиндр получил угловую скорость . Такую же угловую скорость получил блок.

Кинетическая энергия T системы равна сумме кинетических энергий материальных тел, составляющих эту систему. Кинетическая энергия параллелепипеда

Кинетическая энергия блока 

Кинетическая энергия цилиндра 

Следовательно, 

Работа сил при перемещении s параллелепипеда вверх по плоскости

Если же параллелепипед опустился на такое же расстояние, то

Приравнивая работу изменению кинетической энергии, получим ответ.
Ответ. Скорость параллелепипеда выражается равенствами: I) при подъеме:

2) при опускании:

Задача №14

Решить задачу применив теорему об изменении кинетической энергии.
Решение. Выразив все заданные величины в кГ, м и сек, вычислим конечную кинетическую энергию системы:

Начальная кинетическая энергия системы .
Вращающий момент приложен к первому валу. Когда второй вал сделает искомое число оборотов n₂, первый вал повернется на  а потому работа

Подставляя эти данные в (233), имеем

Ответ. n₂ = 2,344 оборота.

Потеря кинетической энергии при ударе

Потеря кинетической энергии системы, происходящая от ударов при встрече ее тел, равна кинетической энергии, соответствующей потерянным скоростям (Л. Карно):

Теорема Карно

Кинетическая энергия является мерой, характеризующей способность механического движения превращаться в эквивалентное количество других видов движения (теплота, электричество и т. и.). Удары тел всегда сопровождаются явлениями, требующими затраты энергии (нагревание тел, звук и пр.), поэтому удары, происходящие при встрече тел всякой механической системы, обязательно уменьшают кинетическую энергию системы.

Как было показано в § 45, мгновенный импульс при прямом центральном неупругом ударе двух тел может быть выражен любой из следующих формул:

    (174)

     (175)

Кинетическую энергию системы двух тел до удара обозначим T₀, а после удара Т. Изменение кинетической энергии

или

Если тела неупруги, то, принимая во внимание (174), получим

Подставив вместо S его значение (175), убедимся, что кинетическая энергия системы уменьшилась:

     (234)

Если одно из тел, например второе, до удара было неподвижно (v2 = 0), то начальная кинетическая энергия системы равна кинетической энергии первого тела:

и

Следовательно, в этом случае потеря кинетической энергии зависит исключительно от отношения масс ударяющихся тел. При ковке металла переход кинетической энергии в тепловую целесообразен, а потому наковальня должна быть во много раз массивнее молота. Так, например, если молот в 99 раз легче наковальни, то T-T₀=-0,99 T₀, т. е. 99% энергии уходит главным образом на полезную работу (на ковку) и лишь 1% затрачивается на сотрясение наковальни. Напротив, при забивании свай надо сообщить свае возможно большую скорость, т. е. надо по возможности сохранить при ударе кинетическую энергию системы, а потому целесообразно ударять сваю массивной бабой. Так, например, если масса бабы в 99 раз больше массы сваи, то T-T₀ = -0,01 T₀ и 99 % энергии уходит на полезную работу (забивку сваи) и лишь 1 % теряется на звук, теплоту и пр.

Потерю кинетической энергии при ударе выразим более удобной формулой. Для этого возведем (175) в квадрат и потом разделим правую часть полученного равенства на левую:

Умножим теперь на полученное выражение (т. е. на единицу) равенство (234):

или в виду равенств (174)

      (236)

(υ₁ — ) и (υ₂ — ) выражают скорости, потерянные первым и вторым телами при ударе. Поэтому равенство (236) словами читают так: потеря кинетической энергии неупругих тел при ударе равна сумме кинетической энергии, которую имели бы эти тела, если бы их скорости были равны тем скоростям, которые они потеряли при ударе.

Аналогично можно показать, что в случае не вполне упругого удара потеря кинетической энергии равна  доле кинетической энергии, соответствующей потерянным скоростям:

   (236^/)

Если бы существовали абсолютно упругие тела (k = 1), то их соударение происходило бы без потери кинетической энергии, т. е. без нагревания, без звука и пр.

Задача №15

Определить потерю кинетической энергии при прямом центральном ударе двух тел, а также их скорости после удара, если m_l = m₂ = 2 кг, υ_{1 =}4 м/сек, υ₂ =0, k = 0,5.

Решение. Если бы удар был неупругим, то скорость тел после удара была бы по (176):

Учитывая коэффициент восстановления, скорости каждого из тел определим по (178):

Потерю кинетической энергии определим по (236′):

Напомним, что механическое движение имеет две меры: 1) количество движения, т. е. меру, характеризующую способность механического движения передаваться от одних материальных тел к другим в виде механического же движения, и 2) кинетическую энергию, характеризующую способность механического движения переходить в другие немеханические виды движения.

Поэтому кинетическая энергия системы теряется при ударе, переходит в теплоту, звук и пр. и   . В данном примере  кинетическая энергия системы до удара была , а после удара стала

Потерянная системой двух тел кинетическая энергия 6 кгм²/сек²  перешла в другие немеханические виды движения.

Количество же движения системы лишь передалось от одного тела другому, но сохранилось в системе. В самом деле, K₀ = 2∙4 = 8 κг∙м∕ceκ; K = 2∙1 + 2∙3 = 8 κг∙м∕ceκ, т. е. K-K₀ = 0.

Ответ. T — T₀ = 6 дж; =l м/сек; = 3м/сек.

Коэффициент полезного действия

В этой главе рассмотрены задачи на определение работы, совершаемой постоянной силой, и развиваемой мощности при поступательном и вращательном движении тел.

Работа и мощность при поступательном движении

Работа постоянной силы Р на прямолинейном участке пути s, пройденном точкой приложения силы, определяется по формуле

где a — угол между направлением действия силы и направлением перемещения.

При a = 90°

т. e. работа силы, действующей перпендикулярно к направлению перемещения, равна нулю.

Если направление действия силы совпадает с направлением перемещения, то    а = 0, поэтому cosa = cos O = 1 и формула (1) упрощается;

На точку или на тело обычно действует не одна сила, а несколько, поэтому при решении задач целесообразно использовать теорему о работе равнодействующей системы сил (Е. М. Н и к ит и и, § 89):

т. е. работа равнодействующей какой-либо системы сил на некотором пути равна алгебраической сумме работ всех сил этой системы на том же пути.

В частном случае, когда система сил уравновешена (тело движется равномерно и прямолинейно), равнодействующая системы сил равна нулю и, следовательно, Поэтому при равномерном и прямолинейном движении точки или тела уравнение (2) принимает вид

т. е. алгебраическая сумма работ уравновешенной системы сил на некотором пути равна нулю.

При этом силы, работа которых положительна, называются движущими, а силы, работа которых отрицательна, называются силами сопротивления. Например, при движении тела вниз—сила тяжести — движущая сила и ее работа положительны, а при движении тела вверх его сила тяжести является силой сопротивления и работа силы тяжести при этом отрицательна (§93, Е. М. Н и к и т и н).

При решении задач в случаях, когда неизвестна сила Р, работу которой нужно определить, можно рекомендовать два приема (метода).

1.    При помощи сил, заданных в условии задачи, определить силу Р, а затем по формуле (1) или (1) вычислить ее работу.

2.    Не определяя непосредственно силы Р, определить — работу требуемой силы при помощи формул (2) и (2′), выражающих теорему о работе равнодействующей.

Мощность, развиваемая при работе постоянной силы, определяется по формуле

Если при определении работы силы Р скорость движения точки остается постоянной, то

Если же скорость движения точки изменяется, средняя скорость и тогда формула (2′) выпажает среднюю мощность

Коэффициент полезного действия (к. п. д.) при совершении работы можно определить как отношение работ

где — полезная работа; А — вся произведенная работа, или как отношение соответствующих мощностей:

Единицей работы в СИ служит 1 джоуль (дж) =а в системе МКГСС —

Так как единицей длины в обеих системах служит 1 м, а 1 кГ=9,81 н (или 1 н = 0,102 кГ), то

Единицей мощности в СИ служит 1 ватт

а в системе МКГСС—

При использовании системы МКГСС мощность обычно измеряют в лошадиных силах (л. с.), причем

При использовании СИ мощность измеряют в киловаттах (квт): 1 квт — 1,36 л. с.

Для перехода от одних единиц к другим следует пользоваться формулами

Задача №16

Какую работу производит человек, передвигая по горизонтальному полу на расстояние 4 м горизонтально направленным усилием ящик массой 50 кГ? Коэффициент трения f = 0,4.

Решение 1—методом определения движущей силы Р.

1.    На ящик, поставленный на горизонтальный пол, действуют две силы: G и реакция пола N (рис. 252). Двигая ящик, че-
ловек прикладывает к нему силу Р, и тогда возникает сила трения F.

При равномерном передвижении ящика четыре силы образуют уравновешенную систему и поэтому, спроектировав их на горизонтальную и вертикальную оси, найдем, что

3.    Работа, которую производит человек в данном случае, как видно, состоит в преодолении силы трения (P=F). Но так как

то

4.    Если решить задачу в системе МКГСС, то

Легко убедиться, что оба ответа выражают одну и ту же работу:

Решение 2 —с применением теоремы о работе равнодействующей.

1.    Как показано в первом решении, на ящик при его перемещении действуют четыре силы: сила тяжести G, реакция пола движущая сила и сила трения F. Ящик движется равномерно и прямолинейно, поэтому эти четыре силы образуют уравновешенную систему. Следовательно, применив формулу (2′). получим уравнение

2.    В этом уравнении работа силы тяжести Аа=0, так как сила G действует перпендикулярно к направлению перемещения; по этой же причине работа реакции N

Таким образом, искомая работа при перемещении ящика

3.    Работу силы трения найдем по формуле (1), учитывая, что в этом случае а=180°:

Подставим значение в уравнение (а):

Так как F — Nf и N — G, то

AP=Fs — Nfs = Gfs=mgfs

Задача №17

На тело М массой т—40 кг, могущее перемещаться вдоль вертикального направляющего бруска, действует некоторая сила Р, постоянно направленная под углом а =18° к вертикали. Под действием этой силы тело поднимается равномерно на высоту h = 4 м (рис. 253, а); коэффициент трения при скольжении тела вдоль направляющего бруса f=0,2. Определить произведенную работу и коэффициент полезного действия. Решение 1.

1.    При равномерном перемещении вдоль бруска вверх на тело М действуют четыре силы: сила тяжести G, сила трения F, нормальная реакция N, равная давлению тела на брусок, и движущая сила Р (рис. 253. б).

2.    Сила Р производит работу

Но чтобы определить ее, нужно сначала найти силу Р.

3.    Расположив оси координат, как показано на рис. 253, б, выведем уравнения равновесия:

а также уравнение, выражающее основной закон трения:

Из уравнения (1)

поэтому уравнение (3) примет вид

Подставим полученное значение силы трения в уравнение (2):

4.    Подставим в последнее выражение числовое значение силы тяжести G в единицах СИ (G=mg):

Тогда работа, произведенная силой,

5.    Если подставить в уравнение (4) силу тяжести G, выраженную в технических единицах (G = 40 кГ), то

Работа этой силы в единицах МКГСС получит такое значение:

6.    Определим коэффициент полезного действия:

Вся произведенная работа А = 1680 дж, а полезная работа состоит в том, что тело весом G — mg поднято на высоту h, т. е.

Умножив найденное значение = 0,934 на 100, выразим к. п. д. в процентах:

Примечание. Можно не определять отдельно числовое значение силы Р виде выражение работы для
(см. п. 4 и 5), а получить предварительно в общем данного случая:

и после деления числителя и знаменателя на cos а:

Но иногда в технических расчетах числовые значения девствующих сил необходимы для решения каких-либо других вопросов.

Если воспользоваться приведенным выше выражением работы, то выражение к. п. д. для данной задачи получит такой вид:

Таким образом, коэффициент полезного действия при передвижении тела М по вертикальному направляющему бруску зависит от коэффициента трения f и угла а, определяющего направление действия силы относительно вертикального бруска.

Если заменить

Решение 2.

1.    В первом решении выяснено, что на тело М действует система четырех сил: G, F, N, Р (см. рис. 253, б).

2.    Так как тело движется по бруску равномерно, система этих сил уравновешена и, следовательно, алгебраическая сумма их работ равна нулю:

3.    Тело М движется вертикально вверх и поднимается на высоту h, поэтому работа силы N, направленной перпендикулярно к направлению перемещения:

работа силы тяжести G, направленной вертикально вниз,

работа силы трения F, также направленной вниз,

Известно, что F=Nf. Спроектировав на ось х (см. рис. 253,6) силы, приложенные к телу М, найдем, чтоПоэтомуи выражение работы силы трения примет вид

4.    Подставим выражения работ в уравнение (а)
5. Вычислим работу в единицах СИ. Тогда
поэтому

Таким образом, вся работа, произведенная при подъеме тела М на высоту составляет 1670 дж. К. н. д. при выполнении этой работы определяем так же, как и в первом решении.

Задача №18

Какой мощности электродвигатель необходимо поставить на лебедку, чтобы она могла поднимать клеть со строительными материалами общей массой m=1200 кг на высоту 20 м за 30 сек. Коэффициент полезного действия лебедки

Решение (в единицах СИ).

1.    Полезная мощность, развиваемая лебедкой при подъеме,

2.    Мощность двигателя N найдем из выражения

3 Таким образом, мощность двигателя, необходимая для лебедки,

Двигатель должен иметь мощность не менее 10,9 квот.

Рекомендуется решить самостоятельно эту задачу в единицах МКГСС и найти мощность двигателя, выраженную в л. с.

Задача №19

Какую работу необходимо произвести, чтобы равномерно передвинуть в горизонтальном направлении на расстояние ь клинчатый ползун 1 вдоль направляющих 2? Вес ползуна G, угол заострения ползуна и направляющих а (рис. 254, а), коэффициент трения между ползуном и направляющими f.

Решение.

1.    На клинчатый ползун, когда он находится в горизонтально расположенных направляющих, действуют три силы: вес ползуна и две реакции направляющих (рис. 254, в), действующих на ползун перпендикулярно к боковым плоскостям (щекам) ползуна.

Для приведения ползуна в движение к нему нужно приложить параллельно направляющим силу и тогда возникнут еще две силы — силы трения, действующие вдоль обеих боковых плоскостей ползуна (см. рис. 254, б — здесь вектор изображает направленную вертикально вверх геометрическую сумму нормальных реакций

Таким образом, на ползун при его движении действуют всего шесть сил:

В данном случае нормальные реакции равны между собой, следовательно, равны и силы трения поэтому

2.    Работа при перемещении ползуна на расстояние s

но предварительно найдем числовое значение движущей силы Р.

3.    Спроектировав    приложенные    к ползуну силы на    ось х

(см. рис. 254, б), получим

Нормальную реакцию N найдем из уравнения проекций на ось у (см. рис. 254, в):

Подставляем найденное значение N в

4.    Следовательно, работа при передвижении клинчатого ползуна на расстояние s

Например, при

Примечание. Входящая в формулу (б) величина называется коэффициентом трения клинчатого ползуна. При уменьшении угла а (при большем

заострении ползуна и направляющих) коэффициент трения клинчатого ползуна резко увеличивается.

Решение задачи вторым способом с применением теоремы о работе равнодействующей силы рекомендуется выполнить самостоятельно.

Задача №20

Тело М весом G = 50 кГ равномерно перемещается вверх по наклонной плоскости, длина которой м и угол подъема а = 20; (рис. 255, а). Определить работу, производимую силой, направленной параллельно наклонной плоскости, и коэффициент полезного действия наклонной плоскости. Коэффициент трения f=0,2. Решение 1.

1.    При движении тела М (примем его за материальную точку) вверх по наклонной плоскости на него действуют четыре силы: вес нормальная реакция наклонной плоскости движущая сила и сила трения (рис. 255, б).

2.    Работа силы Р при перемещении тела по длине наклонной плоскости

3.    Найдем необходимую для перемещения тела М силу Р. Расположив оси координат, как показано на рис. 255, 6, составим два уравнения равновесия:

Дополним эти уравнения третьим уравнением, выражающим основной закон трения:

Из уравнения (1)

Вместо силы трения F подставим ее значение из уравнения (3):

а вместо нормальной реакции N подставим ее значение из уравнения (2):

4.    Следовательно, работа силы P

После подстановки в это уравнение числовых значений

5.    Находим к. п. д. наклонной плоскости:

Полезная работа состоит в подъеме тела весом G на высоту поэтому

Решение 2.

1.    Можно считать, что на тело М действуют не четыре, а три силы: G—вес тела, движущая сила и полная реакция поверхности реальной связи R, равная геометрической сумме сил(рис. 255, в).

Реакция реальной связи R, как известно (§ 15-3), при движении отклоняется от нормали к поверхности связи на величину угла трения причем — коэффициент трения.

2.    Так как на тело М действуют только три силы и они образуют уравновешенную систему (тело М, принятое за материальную точку, движется равномерно и прямолинейно), силовой треугольник АВС, построенный из этих сил, является замкнутым.

3.    По рис. 255, в можно определить, что в силовом треугольнике AВС угол Следовательно,

4.    Применим к АВС теорему синусов’

5.    Работа силы Р

Из равенства (см. п. 1) находим, чтоПодставим теперь в выражение работы числовые значения и определим, что

6.    Находим к. п. д. наклонной плоскости:

Развернем знаменатель получившейся дроби:

 

Числитель и знаменатель разделим на произведение и получим окончательный вид формулы к. п. д. наклонной плоскости при действии силы Р, параллельной этой плоскости

Подставив сюда значение углаи учтя, что получим

Примечания: I. Как видно, результаты обоих решений совпадают, хотя получившиеся формулы для силы Р внешне отличаются друг от друга.

Формулу для Р из первого решения легко преобразовать и привести к результату второго решения:

2. Выражение (I), полученное во втором решении, показывает, что к. п. д. наклонной плоскости зависит лишь от коэффициента треният. е. от материала и состояния трущихся поверхностей тела М и угла подъема наклонной плоскости.

Решение 3.

1.    Известно, что при действии на точку нескольких сил алгебраическая сумма работ всех сил на некотором пути равна работе равнодействующих этих сил.

2.    В данном случае на тело М, которое примем за материальную точку, действуют четыре силы: вес нормальная реакция наклонной плоскости сила трения и движущая сила Р (см. рис 255, б).

3.    Точка М движется равномерно и прямолинейно. Равнодействующая сил, действующих на точку, равна нулю, и, следовательно, алгебраическая сумма работ, производимых силами на длине наклонной плоскости, также равна нулю:

4.    Находим отсюда работу силы Р:

где работа силы

работа силы направленной перпендикулярно к направлению движения точки, равна нулю:

работа силы F

так как сила трения

Подставим в выражение (а) полученные значения работ:

Таким образом,

5.    К п. д. наклонной плоскости найдем так же, как в п 5 первого решения.

Задача №21

Тело М весом G = 50 кГ равномерно перемещается вверх по наклонной плоскостимне углом подъема 

а=20 . Определить работу, произведенную силой, направленной параллельно основанию наклонной плоскости (рис. 256, а), также коэффициент полезного действия наклонной плоскости. Коэффициент трения f = 0,4.

Первое и третье решения задачи, аналогичные соответствующим решениям задачи 225-44, рекомендуется выполнить самостоятельно.

Решение. 2.

1. Приняв тело М за материальную точку, изобразим на рис. 256, б (слева) три действующие на нее силы: вес G, движущую силу Р и полную реакцию R наклонной плоскости, которая отклонена на угол (угол трения) от нормали к поверхности наклонной плоскости.

2.    При равномерном движении тела по наклонной плоскости эти три силы образуют уравновешенную систему, и поэтому треугольник АВС, построенный из этих сил, является замкнутым (см. рис. 256, б — справа).

3.    Силовой треугольник АВС получается в данном случае прямоугольным, так как вектор G перпендикулярен к вектору Р; угол поэтому числовое значение движущей силы

* Работа силы P в результате вычислений получается отрицательной, так как плоскость несамотормозящаяся (угол подъема а угол трения следовательно, см. задачу 95-15) и поэтому сила Р направлена вверх, т. е. в сторону, противоположную движению. Без силы Р тело M скользит вниз равноускоренно.

5.    Подставим сюда числовые значения:Найдем

Как видно, по сравнению с задачей 225-44 работа получается несколько больше (на 24 кГм), потому что сила Р, действующая параллельно основанию наклонной плоскости, прижимает тело к наклонной плоскости, при этом увеличивается нормальное давление тела N, а вместе с ним и сила трения.

G. Определим коэффициент полезного действия. На основании изложенного, к. п. д. в данном случае уменьшится:

окончательно получаем формулу к. п. д. горизонтальном действии силы Р:

Подставим сюда значения углов:

По сравнению с к. п. д., полученным в задаче 225-44, к. п. д. наклонной плоскости в этой задаче уменьшается.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Задача №22

Определить работу, которую необходимо произвести, чтобы перекатить каток массой 50 кГ на расстояние 4 м по горизонтальной негладкой поверхности. Считать, что сила, двигающая каток, приложена к оси катка и горизонтальна (рис. 258, а).

Диаметр катка 20 см; коэффициент трения = 0,5 см.

Решение.

1.    Как известно из кинематики, движение катящегося катка называется плоскопараллельным и составляется из двух движений — поступательного и вращательного.

Ось катка передвигается поступательно, поэтому работу силы Р, приложенной к оси, можно определить по формуле

но предварительно нужно найти числовое значение силы Р.

2.    На каток в неподвижном состоянии действуют две силы: вес катка G и реакция N горизонтальной поверхности, приложенная к катку в точке К (геометрическая точка касания катка с поверхностью). При качении на Каток действуют уже четыре силы (рис. 258, б): G — вес катка, Р -движущая сила и две составляющие N и F полной реакции поверхности, место приложения которой перемещается из точки К в точку А — вперед по ходу катка.

3.    Если спроектировать все силы на вертикальную и горизонтальную оси, то N — G и Р = Р, т. е. на катящийся каток действуют две пары сил: катящая пара (Р; F) с плечом ОКи пара сопротивления (G; N) с плечом КА =

При равномерном перекатывании катка моменты этих пар численно равны между собой, т. е.

Отсюда находим силу Р, выразив силу тяжести в кГ (G — = 50 кГ)

4.    Таким образом, работа, произведенная при перемещении катка,

Рекомендуется сопоставить этот результат с результатом, полученным в задаче 221-44. Следующую задачу решить самостоятельно.

Работа и мощность при вращательном движении

При вращательном движении тела движущим фактором является пара сил. Рассмотрим диск 1, могущий свободно вращаться вокруг оси 2 (рис. 259). Если к точке А на ободе диска приложить силу Р (направим ее вдоль касательной к боковой поверхности диска; направленная таким образом сила называется окружным усилием), то диск станет вращаться. Вращение диска обусловлено появлением пары сил. Сила Р, действуя на диск, прижимает его в точке О к оси (сила на рис. 259, приложенная к оси 2) и возникает реакция оси (сила на рис. 259), приложенная так же, как и сила Р, к диску. Так как все эти силы численно равны между собой и_ линии их действия параллельны, то силы Р и образуют пару сил, которая и приводит диск во вращение.

Как известно, вращающее действие пары сил измеряется ее моментом, но момент пары сил равен произведению модуля любой из сил на плечо пары, поэтому вращающий момент

Единицей момента пары сил, а также момента силы относительно точки или относительно оси является (ньютон-метр) в СИ и 1 кГм (килограмм-сила-метр) в системе МКГСС. Но при этом не следует смешивать эти единицы с единицами работы имеющими ту же размерность.

Работу при вращательном движении производят пары сил. Величина работы пары сил измеряется произведением момента пары (вращающего момента) на угол поворота, выраженный в радианах:

Таким образом, чтобы получить единицу работы, например, необходимо единицу моментаумножить на 1 рад. Но так как радиан — безразмерная величина

Мощность при вращательном движении

Если тело вращается с постоянной угловой скоростью, то, заменив в формуле (2) получим

Мощность того или иного двигателя величина постоянная, поэтому
 

т. е. вращающий момент двигателя обратно пропорционален угловой скорости его вала.

Это означает, что использование мощности двигателя при различных угловых скоростях позволяет изменять создаваемый им вращающий момент. Используя мощность двигателя при малой угловой скорости, можно получить большой вращающий момент.

Так как угловая скорость вращающейся части двигателя (ротора электродвигателя, коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания и т. п.) при его работе практически нс изменяется, то между двигателем и рабочей машиной устанавливается какой-либо механизм (редуктор, коробка скоростей и т. н.), могущий передавать мощность двигателя при различных угловых скоростях.

Поэтому формула (3), выражающая зависимость вращающего момента от передаваемой мощности и угловой скорости (Е. М. Н и-китнн, § 93), имеет очень важное значение.

Используя при решении задач эту зависимость, необходимо иметь в виду следующее. Формула (3) принимается для решения задач, если мощность N задана в ваттах, а угловая скорость—в рад/сек [размерность (1/сек)], тогда вращающий момент получится в н м.

Соответственно, если мощность N подставлена в кет (киловаттах), то вращающий момент получится в к-нм (килоньютон-метрах).

Если передаваемая мощность выражена в л. с. (1 л. с. =

= 75угловая скорость — в об;мин

а вращающий момент нужно получить в кГм, то необходимо воспользоваться формулой

Если передаваемая мощность выражена в кет, угловая скорость — в об/мин, а вращающий момент нужно получить в кГ м, то необходимо воспользоваться формулой

Задача №23

Для определения мощности электродвигателя через его шкив перекинута тормозная лента (рис. 260, а). Один конец ленты удерживается динамометром, а к другому концу прикрепленадвухкилограммовая гиря.

После запуска двигателя при установившейся угловой скорости n = 1850 об/мин динамометр показывает усилие 5 кГ. Определить мощность двигателя.

Решение 1—в единицах СИ.

1.    Рассмотрим, какие силы действуют на шкив при установившемся равномерном вращении.

Шкив приводится во вращательное движение вращающим моментом создаваемым двигателем. Кроме того, на шкив действуют сила натяжения правой ветви ленты, создаваемая динамометром и сила натяжения левой ветви ленты, создаваемая двухкилограммовой гирей (рис. 260,6).

2.    Определим вращающий момент двигателя.

Так как шкив вращается равномерно, то алгебраическая сумма моментов всех сил относительно оси вращения шкива равна нулю:

3.    Переведя угловую скорость n =1850 об/мин в рид/сек:

из формулы (3) можно найти мощность двигателя!

Таким образом, мощность двигателя составляет 685 вт. Решение 2 —при помощи формулы (4).

1.    На шкив действуют — искомый вращающий момент двигателя и две силы натяжения ветвей тормозной ленты: и

2.    Определяем вращающий момент двигателя:

3.    Теперь из формулы (4) определяем мощность двигателя:

Переведя получившуюся мощность из л. с. в вт, легко убедиться, что она такая же, как и в первом решении (0,930 л. с

Задачу можно решить еще при помощи формулы (5). Рекомендуется это решение выполнить самостоятельно.

Задача №24

Токарный станок приводится в движение электродвигателем, мощность которого N = 2,21 кет. Считая, что к резцу станка подводится лишь 0,8 мощности двигателя, определить вертикальную составляющую усилия резания, если диаметр обрабатываемой детали d = 200 мм, а шпиндель вращается со скоростью n=92 об/мин.

Решение — при помощи формулы (5).

1.    Шпиндель станка с закрепленной в нем деталью вращается под действием вращающего момента, который уравновешивается моментом искомого вертикального усилия резания Р, т. е.

где d—200 лш = 0,2 м — диаметр обрабатываемой детали. Следовательно,

2.    Мощность, подведенная к резцу, составляет 0,8 от всей мощности двигателя. Таким образом, к. п. д. передачи и подведенная к резцу мощность

3.    Подставим найденные значения и данное в условии задачи значение n в формулу (5):

Тогда

Откуда

Решение задачи в единицах СИ рекомендуется выполнить самостоятельно.

Работа постоянной силы

Пусть тело, на которое действует сила F = const, проходит, двигаясь прямолинейно, некоторый путь s (при прямолинейном поступательном движении путь совпадает с перемещением). При поступательном движении тела используем модель материальная точка. Введём обозначения: а — угол между вектором силы F и направлением движения тела, т. е. направлением перемещения точки приложения силы. Это направление перемещения задаём с помощью единичного вектора т.

При F = const, а = const и проекция силы F на направление перемещения т F_T — const (рис. 4.1).

В этом случае работа А силы F:

Дадим характеристику действующей силе и совершаемой ею работе при различных значениях угла а.

В примере (3) сила работы не совершает; например, сила, играющая роль центростремительной силы, обуславливающей нормальное ускорение а_п.

Работа переменной силы (Р- ^ const)

Рассмотрим случай, когда, например, F = const, но траектория движения материальной точки криволинейна, или траектория прямолинейна, но F Ф const.

Для вычисления работы в этом случае следует разбить траекторию движения на бесконечно малые участки пути d?, в пределах каждого из которых F можно считать постоянной.

Элементарная работа 8А, совершаемая силой F па пути ds, определяется выражением

Если г — радиус-вектор точки приложения силы, то, как уже отмечалось, бесконечно малый участок пути ds’ = |dr|, где dr — элементарное перемещение точки приложения силы за время d/.

Тогда элементарная работа 8А (4.1.3), используя (1.3.8), также может быть определена в виде

Работа А на всем пути 5 равна сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути (перемещения) и может быть вычислена путем интегрирования

Используя (4.1.4), работу силы F по перемещению точки приложения силы (тела) вдоль некоторой траектории L можно определить как

Значение полученного интеграла в общем случае зависит от пути интегрирования (рис. 4.2).

То есть, в общем случае:

поэтому под интегралом в выражениях (4.1.5) и (4.1.6) стоит вариация БА, а не полный дифференциал (L4.

Единица измерения работы

В системе СИ единицей измерения работы является джоуль (Дж). Согласно (4.1.1)

Работа в 1 Дж — это работа, совершаемая силой 1 Н, действующей в направлении перемещения, на пути, равном 1 м.

Работа нескольких сил

Работа результирующей нескольких сил, действующих на тело, равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности.

Например, для двух сил F, и F₂, действующих на материальную точку, используя принцип суперпозиции, по которому F = F,+F₂, и (4.1.6), найдем работу результирующей силы

Для того чтобы охарактеризовать быстроту совершения работы введено понятие — мощность.

Мощностью N силы F называется физическая величина, числено равная работе, совершаемой этой силой за единицу времени. Подставляя (4.1.3) в (4.1.9), получим:

где и = — — скорость точки приложения силы, а — угол между вектором dt

силы F и вектором скорости б (вектором перемещения).

Следовательно, мгновенная мощность силы равна скалярному произведению векторов силы и скорости движения в данный момент времени.

Если N Фconst, то можно пользоваться средней мощностью ((V) за некоторый конечный промежуток времени д/, в течение которого сила совершила работу А,

В системе единиц измерений Си единицей измерения мощности является ватт (Вт). Согласно (4.1.11), 1 Вт — это работа в 1 Дж, совершенная за 1 секунду.

Лекция №4. Работа, мощность, энергия

3.1. Работа постоянной и переменной силы. Мощность.

Работа − это количественная характеристика процесса обмена энергией между взаимодействующими телами.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила, то работа этой силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:

где α − угол между направлением действия силы и направлением перемещения. Работа измеряется в [ Дж]. 1 Дж − это работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м.

В случае переменной силы водится понятие элементарной работы dA , равной скалярному произведению вектора силы F и вектора элементарного перемещению dr

где F_s − проекция силы на касательную к траектории (рис. 3.1.1).

Работа, совершаемая силой на конечном участке пути 1 − 2, равна сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути (рис. 3.1.2). Она определяется интегралом, вычисленным вдоль участка 1−2 траектории:

Если изобразить график зависимости проекции силы на касательную к траектории от перемещения, то выражение (3.1.3) имеет смысл площади фигуры под кривой.

Для характеристики скорости работы существует мощность. Средняя мощность равна отношению работы к промежутку времени, в течение которого эта работа производится:

Мгновенная мощность , т. е. мощность в данный момент времени определяется как

т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы.

За единицу мощности принимается мощность в 1 Вт, при которой в единицу времени 1 с совершается работа в 1 Дж.

3.2. Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии.

Рассмотрим понятие кинетической энергии тела. Пусть тело массой m движется поступательно под действием некоторой силы F=m(d υ /dt) (или результирующей нескольких сил). Найдем элементарную работу, которую совершает эта сила на элементарном перемещении d r = υ dt

Отсюда видно, что работа силы F идет на приращение некоторой величины (стоящей в скобках), которую называют кинетической энергией тела. Таким образом, кинетическая энергия − это энергия тела, обусловленная его механическим движением.

Для тела массой m двигающегося поступательно со скоростью υ кинетическая энергия определяется соотношением

Проинтегрировав выражение (3.2.1) от начальной до конечной скорости получим теорему об изменении кинетической энергии

т. е. приращение кинетической энергии тела на некотором перемещении равно работе результирующей всех сил, действующих на тело на том же перемещении.

3.3. Консервативные и неконсервативные силы.

Все силы в механике делятся на консервативные и неконсервативные силы .

В общем случае работа, определяемая выражением (3.1.3), зависит от траектории, которую описывает точка приложения силы. Однако существуют силы (тяготения, тяжести, упругости, электростатические и др., которые являются центральными), работа которых не зависит от формы траектории, а зависит только от начального и конечного положения движущейся точки. Такие силы называются консервативными, а их работа по замкнутому контуру равна нулю

Если работа силы зависит от формы траектории, которую описывает точка приложения силы, то такие силы называются неконсервативными, а их работа по замкнутому контуру не равна нулю

Среди неконсервативных сил выделяют диссипативные и гироскопические силы.

1) Диссипативные силы . К ним относятся, в частности, силы трения и силы сопротивления среды. Полная работа этих сил является отрицательной.

При наличии сил трения и сопротивления энергия механической системы уменьшается, переходя во внутреннюю энергию тел, что приводит к их нагреванию. Такой процесс называют диссипацией энергии, а силы называют диссипативными . Таким образом, сила называется диссипативной, если работа, совершаемая этой силой, зависит от траектории движения тела.

2) Гироскопические силы . Эти силы зависят от скорости движения материальной точки и действуют перпендикулярно к этой скорости. Работа таких сил всегда равна нулю, однако от консервативных сил они отличаются тем, что определяются не только положением точки, но и ее скоростью. Примером такой силы является сила Лоренца. Сила Лоренца − это сила, действующая на заряженную частицу q , движущуюся со скоростью υ , в магнитном поле индукции B

3.4. Потенциальная энергия. Связь между силой и энергией потенциального поля.

Важнейшей составной частью механической энергии является потенциальная энергия , которая определяется как часть общей механической энергии системы, зависящей от взаимного расположения материальных точек системы и их положения во внешнем силовом поле. Из определения следует, что потенциальная энергия системы не должна зависеть от того, каким образом данная конфигурация частиц системы возникла. Это значит, что понятие потенциальной энергии имеет смысл лишь в том случае, когда на материальные точки системы действуют только консервативные силы. Изменение потенциальной энергии системы должно определяться только работой консервативных сил. Другими словами, работа консервативных сил при переходе из состояния 1 в состояние 2 равна убыли потенциальной энергии

Таким образом, силовое поле консервативных сил является потенциальным полем.

Полем сил называют область пространства, в каждой точке которого на помещенную туда частицу действует сила, закономерно меняющаяся от точки к точке. Примером может служить поле силы тяжести Земли или поле сил сопротивления в потоке жидкости (газа). Если сила в каждой точке силового поля не зависит от времени, то такое поле называют стационарным . Ясно, что силовое поле, стационарное в одной системе отсчета, в другой системе может оказаться и нестационарным. В стационарном силовом поле сила зависит только от положения частицы.

Стационарное силовое поле, в котором работа силы поля на пути между двумя любыми точками не зависит от формы пути, а зависит только от положения этих точек, называется потенциальным , а силы, как уже было сказано выше − консервативными. Если это условие не выполняется, то силовое поле не является потенциальным. Силовое поле представляет собой особую форму существования материи, посредством которой осуществляются гравитационное, электромагнитное, ядерное и другие взаимодействия.

Взаимодействие в консервативной системе может быть описано с помощью потенциальной энергии либо с помощью сил взаимодействия точек системы. Поэтому между потенциальной энергией и силой, действующей на материальную точку, должна существовать определенная взаимосвязь. Потенциальная энергия системы является функцией координат П(x,y,z) . Пусть силы, действующие на систему, выполнили элементарную работу

С другой стороны, используя уравнение (3.4.1)

Сравнивая выражения (3.4.2) и (3.4.3), получим выражения для проекций сил поля

Для вектора силы получаем следующее выражение

Смысл градиента станет нагляднее и яснее, если ввести понятие эквипотенциальной поверхности − поверхности, во всех точках которой потенциальная энергия П имеет одно и то же значение. Каждому значению П соответствует своя эквипотенциальная поверхность. Из формул (3.4.4) следует, что проекция вектора на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. Это значит, что вектор нормален эквипотенциальной поверхности в данной точке. Далее, возьмем перемещение в сторону уменьшения П, тогда П F противоположен по направлению вектору grad П, то приходим к выводу, что градиент П − это вектор, направленный по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания потенциальной энергии П.

3.5. Гравитационное поле. Работа в гравитационном поле.

Рассмотрим более подробно понятие поля сил. Опыт показывает, что в случае гравитационных взаимодействий сила, действующая на тело (А) массой m со стороны окружающих тел (В), пропорциональна массе. Эта сила может быть представлена в виде произведения двух величии:

где G − некоторый вектор (для гравитационных сил вблизи поверхности Земли он совпадает с вектором ускорения свободного падения), зависящий как от положения тела (А) массой m , так и от свойств окружающих тел (В).

Такое представление силы открывает возможность иной физической интерпретации взаимодействия, связанной с понятием поля. В этом случае говорят, что система тел (В) окружающих тело массой m создает в окружающем пространстве поле, характеризуемое вектором G ( r ) . Иначе можно сказать, что в каждой точке пространства система тел (В) является источником поля и создает такие условия, при которых тело массой m , помещенное в это поле, испытывает действие силы (3.5.1). Причем считают, что поле существует безотносительно к тому, есть ли в нем тело (А) или нет. При переходе к переменным полям выясняется, что понятие поля имеет глубокий физический смысл: поле есть физическая реальность.

Вектор G ( r ) называют напряженностью поля . Если поле образовано несколькими источниками, результирующее поле равно сумме полей, созданных каждым из них. Это утверждение является одним из важнейших свойств полей и напряженность G результирующего поля в произвольной точке

где G _i − напряженность поля соответствующего источника в этой же точке, N − число источников поля.

Формула (3.5.2) выражает так называемый принцип суперпозиции (или наложения) полей, который является отражением опытных фактов и дополняет законы механики.

Обратимся теперь к потенциальной энергии тела. Согласно формулам (3.4.1) и (3.5.1), можно записать

Поделим обе части этого уравнения на m

и обозначив П/m=φ , получим

Введенная величина φ( r ) называется потенциалом поля в точке с радиус-вектором r .

Формула (3.5.6) позволяет найти потенциал гравитационного поля. Для этого достаточно вычислить интеграл по произвольному пути между точками 1 и 2 и представить затем полученное выражение в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциал φ( r ) . Так, потенциал гравитационного ноля точечной массы m

Потенциал гравитационного поля является энергетической характеристикой поля. Потенциал поля тяготения − это скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля, или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность.

В случае, когда поле создается многими источниками, то результирующий потенциал равен

где φ i − потенциал, создаваемый i − телом в данной точке поля; N − число источников поля.

Потенциал, как и потенциальная энергия, может быть определен только с точностью до прибавления некоторой произвольной постоянной, также совершенно несущественной. Поэтому ее обычно опускают, полагая равной нулю. Таким образом, поле можно описывать или в векторном виде G ( r ) , или в скалярном φ( r ) . Оба способа эквивалентны.

Определим работу, совершаемую силами гравитационного поля Земли при перемещении в нем материальной точки массой m . При перемещении материальной точки на расстояние dS совершается работа

На некотором расстоянии r , согласно закону всемирного тяготения, на тело действует сила

Подставляя (3.5.10) в (3.5.9) и интегрируя в пределах от r₁ до r₂ , получим

Знак «минус» появляется потому, что направления перемещения и силы противоположны. Из формулы (3.5.10) вытекает, что затраченная работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а определяется лишь начальным и конечным положением материальной точки. Следовательно, силы тяготения являются консервативными силами , а поле тяготения является потенциальным . Сравнивая (3.5.11) с (3.4.1) получим, что потенциальная энергия в поле тяготения Земли равна

3.6. Закон сохранения механической энергии.

Пусть на материальные точки системы действуют только консервативные силы. Тогда при переходе системы из одного состояния работа консервативных сил равна

Из (3.6.1) получаем, что

Величину E=K+П называют полной механической энергией системы.

Из соотношения (3.6.2) следует закон сохранения полной механической энергии: полная механическая энергия системы, на материальные точки которой действуют только консервативные силы, с течением времени не изменяется:

Если на систему действуют помимо консервативных сил еще и неконсервативные силы то

а работа консервативных сил равна

Тогда с учетом формулы (3.6.5), выражение (3.6.4) примет следующий вид

В этом случае изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил.

Таким образом, в системе, в которой кроме консервативных сил, действуют также неконсервативные силы, полная механическая энергия системы не сохраняется, и закон сохранения механической энергии не выполняется. Но всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида взамен механической энергии, т. е. выполняется фундаментальный закон сохранения и превращения энергии. Энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.

Мощность и работа силы в теоретической механике

Содержание:

Работа силы м мощность силы:

«Работа — это изменение формы движения, рассматриваемое с его количественной стороны» (Энгельс)

Понятие работы

Энергия может переходить из одного вида в другие. Например, потенциальная энергия воды, поднятой плотиной на гидроэлектростанции, переходит в кинетическую энергию вращающихся турбин, которая в свою очередь превращается в электрическую энергию, по проводам передается на большие расстояния, чтобы опять перейти в кинетическую энергию станков, в тепловую энергию электропечей, в световую, в звуковую и в прочие виды энергии. При всех этих явлениях исчезает (или возникает) такое же количество каждого вида энергии, сколько возникает (или исчезает) энергии всех прочих видов. Это изменение энергии, изменение формы движения, рассматриваемое с количественной стороны, Энгельс называет работой.

Из множества различных видов движения в теоретической механике интересуются только механическим движением. Переход механического движения в немеханическое или же, наоборот, немеханического в механическое происходит на протяжении некоторого пути и зависит от действующих сил. Поэтому понятие работы в механике связано с понятиями перемещения и силы.

Работу постоянной силы при прямолинейном движении выражают произведением модуля силы на величину перемещения материальной частицы и на косинус угла между направлением силы и перемещением А = Fs cos α

Работа постоянной силы при прямолинейном движении

Знакомство с понятием работы силы в механике начнем с частного случая — работы постоянной силы при прямолинейном движении точки ее приложения.

Пусть к некоторой материальной частице приложена сила F, постоянная по величине и по направлению. Пусть точка приложения силы переместилась на прямолинейный отрезок s . В таком случае произведение

выражает работу постоянной силы F при прямолинейном движении и характеризует механическое воздействие на материальную частицу со стороны других материальных объектов на данном пути.

Работа является скалярной величиной, она не имеет направления и вполне характеризуется величиной и знаком. В формуле (218) модуль силы F и длина пути s всегда положительны. Знак « + » или «—» определяются знаком косинуса угла α между направлением силы и перемещения или, так как при прямолинейном движении точки перемещение совпадает с направлением скорости υ, косинусом угла между направлением силы и скорости. Работа положительна, если угол (Fυ) острый, и отрицательна, если он тупой. Если направление F совпадает с направлением перемещения, то угол (

Если же сила направлена противоположно перемещению, то () = 180 o , cos() = — 1 и

Сила, перпендикулярная к перемещению, работы не совершает, так как cos 90° = 0.

Определим размерность работы. В физической системе единиц

Единицей работы в СИ является джоуль 2 — работа силы в 1 ньютон, действующей по направлению перемещения на пути в 1 метр (1 дж= 1 н ∙ 3t = l кг ∙ м 2 ∙ ceκ -2 ).

Размерность работы в технической системе единиц

Если сила выражена в кГ, а длина — в м, то единицей работы является 1 килограммометр.

Размерности работы и кинетической энергии одинаковы.

Элементарной работой силы называют работу силы на столь малом перемещении точки ее приложения, при котором изменением силы можно пренебречь:

Элементарная работа силы

В общем случае, если сила переменна или движение точки приложения силы криволинейное, определять работу силы по (218) нельзя. Но, разбив мысленно весь путь на такие маленькие участки, которые можно считать прямолинейными и на которых можно пренебречь изменением величины и направления силы, мы определим на каждом из этих участков работу, называемую элементарной работой силы:

(219)

В этом равенстве ds выражает длину элементарного перемещения и является величиной всегда положительной.

Зная работу силы (219) на отдельных элементах пути, можно определить работу на конечном участке. Докажем некоторые теоремы о работе силы.

Элементарная работа равнодействующей равна сумме элементарных работ составляющих:

Теорема об элементарной работе равнодействующей. Пусть к точке О приложен пучок сил F₁, F₂. F_n. Обозначим равнодействующую этого пучка F. Спроецируем все силы пучка и равнодействующую на направление скорости точки О и приравняем проекцию равнодействующей сумме проекций составляющих:

Умножив теперь каждый член этого равенства на длину ds элементарного перемещения точки приложения сил, найдем, что элементарная работа равнодействующей равна сумме элементарных работ составляющих:

(220)

Под суммой следует понимать, конечно, алгебраическую сумму, потому что работа не имеет направления, но имеет знак.

Элементарная работа силы связана с проекциями силы на оси координат соотношением: dA = Xdx+ Ydy + Zdz

Выражение элементарной работы через проекции силы на оси координат

Разложим силу F на составляющие по осям координат и определим элементарную работу силы по сумме работ ее составляющих. Пусть составляющие силы направлены в положительном направлении осей координат. Тогда углы между составляющими силы и скоростью являются углами между скоростью и положительными направлениями осей координат, а их косинусы определяются формулами (62) направляющих косинусов скорости. В таком случае имеем

или, подставляя значения направляющих косинусов,

сокращая на ds, получаем окончательно

(221)

Формула (221) имеет очень большое значение в динамике. При. выводе этой формулы мы считали X, Y и Z направленными положительно по осям координат. Если какие-либо из составляющих силы направлены в противоположные стороны, то иным станет знак соответствующего косинуса. Поэтому в (221) X, Y и Z являются не модулями составляющих, а проекциями силы на оси координат, т.е. определяются не только величиной, но и знаком. Кроме того, в отличие от (219), где всегда ds>0, в (221) величины dx, dy и dz являются дифференциалами координат точки приложения силы и могут быть как положительными, так и отрицательными.

Заметим, что в общем случае дифференциальный трехчлен X dx + Y dy + Z dz не является полным дифференциалом и обозначение элементарной работы dA не следует понимать как полный дифференциал от А.

Работу силы на данном пути выражают пределом суммы всех элементарных работ силы на элементарных перемещениях, из абсолютных величин которых составляется данный путь:

Работа силы на данном пути. Возьмем какие-либо два положения M₁ и M₂ точки на ее криволинейной траектории. Работа А силы F на конечном перемещении M₁M₂ выразится суммой элементарных работ силы F на всех элементарных перемещениях, на которые разбит конечный участок пути M₁M₂.

Эта сумма состоит из бесчисленного множества бесконечно малых слагаемых. Такую сумму называют криволинейным интегралом, взятым по дуге M₁M₂, и обозначают так:

(222)

или, если воспользоваться выражением элементарной работы через проекции силы на оси координат,

(222′)

Если на точку действуют несколько сил, то, очевидно, работа равнодействующей на конечном участке пути равна сумме работ составляющих на том же участке пути.

Так как сила, вообще говоря, зависит от координат точки ее приложения, от проекций скоростей точки и от времени:

то мы можем вычислить интеграл (222′) только в случае, если известно движение точки. Подставив тогда вместо их выражения в зависимости от времени, мы сможем представить работу силы в виде интеграла

где t₁ и t₂ — мгновения, соответствующие положению точки в M₁ и M₂.

Работа графически выражается площадью, ограниченной кривой, изображающей зависимость проекции силы на скорость от пути, осью абсцисс и крайними ординатами

Графическое определение работы

Ввиду сложности математического вычисления работы па практике часто пользуются для этой цели графическим методом. Будем откладывать по оси абсцисс длину пути, пройденного точкой, а по оси ординат — соответствующую проекцию силы на направление скорости, учитывая и знак проекции. Получим некоторую кривую, изображающую зависимость между проекцией силы на направление скорости и путем точки. Площадь, ограниченная этой кривой, осью абсцисс и двумя крайними ординатами, изображает работу силы на данном пути. Если кривая или часть ее расположена по отрицательную сторону, вниз от оси абсцисс, то соответствующая площадь изображает отрицательную работу.

Для построения графика зависимости силы от пути имеются различные приборы. В частности, специальный прибор — индикатор— служит для записи давления в цилиндре в зависимости отхода поршня. Работу, вычисленную при помощи индикаторной диаграммы, т.е. диаграммы, начерченной этим прибором, называют индикаторной работой.

Работа силы тяжести не зависит от вида траектории центра тяжести тела и равна произведению веса тела на изменение высоты центра тяжести тела: A_G=Gh

Работа силы тяжести

Складывая веса всех частиц тела, заменим их одной силой G, равной весу тела и приложенной в центре тяжести С. Пусть при движении тела центр тяжести тела переместился из C₁(x₁, y_l, z₁) в C₂ (x₂, y₂, Z₂) (рис. 210). Определим проекции веса на оси координат, считая, что Oz направлена вертикально вверх:

и, подставив их в (222′), получим под знаком интеграла полный дифференциал, а потому

Рис. 210

Следовательно, работа силы тяжести не зависит от вида траектории точек тела и равна произведению веса тела на разность начальной и конечной высот центра тяжести. Если тело опускается, то сила тяжести тела совершает положительную работу, а если поднимается, то отрицательную. Так, например, если человек поднял гирю весом 10 кГ на высоту одного метра (безразлично—по вертикали или по иной траектории), то работа силы тяжести равна —10 кГ∙ м, а работа человека на преодоление силы тяжести равна +10 кГ∙ м.

Элементарная работа силы, приложенной к телу, закрепленному на неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения на бесконечно малый угол поворота: dА = Mdφ

Работа силы, приложенной к вращающемуся телу

Пусть тело вращается (или может вращаться) вокруг неподвижной оси и к какой-либо точке К этого тела приложена сила F. Примем ось вращения тела за ось Oz прямоугольной системы координат. Элементарная работа силы выразится равенством

(221)

Припомним формулы Эйлера, связывающие проекции вращательной скорости точки К (х, у, z) с угловой скоростью и координатами этой точки:

(89)

Умножая эти равенства на dt, найдем приращения координат точки приложения силы:

Подставим эти выражения dx, dy и dz в формулу (221)

Разность, стоящая в скобках, выражает момент данной силы относительно оси вращения Oz:

(23)

а следовательно, элементарная работа силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению момента силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота:

(224)

Если на тело действует несколько сил, то, составив такие равенства для определения работы каждой из них и просуммировав, найдем, что элементарная работа всех сил равна произведению главного момента сил относительно оси вращения на dφ.

Чтобы определить работу силы, действующей на тело при его повороте от φ₁ до φ₂, надо проинтегрировать уравнение (224) в этих пределах, выразив момент силы в функции угла поворота:

(225)

В частном случае постоянного момента силы

работа равна произведению момента силы на угол поворота тела.

Задача №1

Однородный массив ABED, размеры которого указаны на чертеже (рис. 211, а), весит 4 Т. Определить работу, которую необходимо произвести, чтобы опрокинуть его вращением вокруг ребра D.

Рис. 211

Решение. 1-й способ. Рассматриваем опрокидывание массива. Какие силы действуют на массив? Их две: вес массива G=4 Т, приложенный в его центре тяжести С, и реакция фундамента. Во время опрокидывания реакция приложена в ребре D, вокруг которого происходит опрокидывание (рис. 211,6), как известно из статики). Но во время опрокидывания ребро D неподвижно, поэтому работа реакции равна нулю. Работу веса (силы тяжести) определим по (223). Для опрокидывания массива достаточно повернуть его до положения неустойчивого равновесия, изображенного на рис. 211, в, при котором центр тяжести находится в вертикальной плоскости, проходящей через ребро D; далее массив опрокинется сам. Имеем

Такова работа силы тяжести при опрокидывании массива. Чтобы опрокинуть массив, надо произвести работу, такую же по величине и обратную по знаку.

2-й способ. Несколько сложнее получится решение задачи, если мы воспользуемся формулой (225) о работе сил, приложенных к вращающемуся телу.

На поворачиваемый вокруг ребра D массив действуют вес и реакция в ребре D. Момент реакции относительно оси вращения равен нулю, следовательно, равна нулю и работа реакции. Момент веса — величина переменная — равен произведению силы 4 T на плечо CD cos φ, где φ (см. рис. 211, б) —угол, составляемый CD с горизонтальной плоскостью:

Определим пределы интегрирования. При начале работы массив стоял вертикально, высота центра тяжести была 4 м и

Угол считаем отрицательным, так как отсчет производим по ходу часов:

В конечном положении (см. рис. 211, в)

Подставляя в (225), получаем

Мы определили работу восстанавливающего момента, вызванного силой тяжести и стремящегося восстановить устойчивое равновесие массива. Работа на опрокидывание массива вращением вокруг ребра D равна ей по величине и противоположна по знаку.

Задача №2

Определить работу на преодоление силы земного притяжения при запуске на высоту 30 000 м ракеты массой m = 2000 кг, считая силу притяжения изменяющейся по закону всемирного тяготения. Радиус земного шара принять R = 6 370 000 м.

Решение. На ракету действует сила, направленная к центру Земли и равная

где k — постоянный коэффициент пропорциональности, M — масса Земли, — масса ракеты и x = h + R — расстояние ракеты от центра Земли.

Обозначая kM через μ, имеем

При x=R ракета находится на поверхности Земли и F = mg,

Зная μ и k, можно определить массу Земли, потому что k = μ : M.

Работу переменной силы F на перемещение ракеты с поверхности Земли на высоту h= 30 000 м определим по (222):

Отрицательный знак показывает, что при подъеме ракеты сила тяготения ракеты к Земле направлена против движения. Чтобы преодолеть эту силу на заданном расстоянии, надо совершить работу, такую же по величине, но положительную по знаку.

Ответ. A = + 5 621 262 369 дж.

Задача №3

Доказать, что сумма работ внутренних сил абсолютно твердого тела при всяком перемещении тела равна нулю.

Решение. Рассмотрим две точки А и В твердого тела (рис. 212). Силы взаимодействия этих точек всегда равны между собой и направлены по прямой AB в противоположные стороны.

Проекции скоростей точек А и В на прямую AB всегда равны между собой:

Рис. 212

Поэтому при любом перемещении работы сил взаимодействия точек A и В равны по величине, но обратны по знаку, и сумма работ равна нулю

Доказательство проведено для двух точек абсолютно твердого тела, за которые мы можем принять любые точки тела, а потому оно относится ко всем точкам твердого тела. В случае упругого тела или изменяемой системы точек сумма работ внутренних сил не равна нулю. Так, например, при падении камня на Землю силы взаимодействия между камнем и Землей (внутренние силы системы Земля —камень) равны и противоположны, но сумма работ этих сил не равна нулю.

Ответ. Сумма работ всех внутренних сил в абсолютно твердом теле при всяком перемещении тела равна нулю.

Работа упругой силы равна половине произведения коэффициента жесткости на квадрат деформации:

Работа упругой силы. Определим работу упругой силы F пружины при растяжении ее на λ см, если для растяжения этой пружины на 1 см необходима сила с кГ (рис. 213). Сначала определим работу, которую необходимо совершить для растяжения этой пружины на λ см.

Рис. 213

Согласно одному из основных законов теории упругости и сопротивления материалов, называемому законом Гука, растяжение нагруженного тела прямо пропорционально нагрузке:

де F — нагрузка, х—растяжение и с — коэффициент жесткости.

Подставляя это значение F в (221) и интегрируя в пределах от О до λ, найдем работу, необходимую для искомой деформации пружины:

(227)

Если к пружине приложить силу, например растягивать пружину рукой, то со стороны пружины возникнет реакция, называемая упругой реакцией, или упругой силой, пружины. По принципу равенства действия и противодействия упругая сила равна и противоположна растягивающей силе F, а поэтому работа упругой силы определяется найденным значением. Знак работы упругой силы отрицателен, если сила упругости направлена против деформации, т. е. если деформация увеличивается, и положителен, если деформация уменьшается.

Задача №4

Применить графический метод для вывода формулы (227).

Решение. Будем откладывать (рис. 214) по оси абсцисс растяжение пружины, а по оси ординат—силу F, потребную для этого растяжения, затем построим по точкам кривую зависимости между силой и перемещением точки приложения силы. В нашем случае это кривая первого порядка, т. е. прямая линия.

Рис. 214

Первую точку поставим в начале координат, так как при отсутствии растягивающей силы растяжение пружины равно нулю. Чтобы растянуть пружину на 1 см, нужна сила с кГ, поэтому вторая точка кривой имеет координаты х=1, у =с Если сила с кГ будет продолжать действовать на пружину, то пружина будет оставаться растянутой на один сантиметр, но чтобы растянуть пружину еще на один сантиметр, надо увеличить силу еще на с кГ. Следовательно, координаты третьей точки x=2, y=2c и т. д. Для растяжения пружины на λ си нужна сила в cλ кГ. Точка x = λ, y = cλ лежит на прямой, соединяющей все нанесенные точки. Проведя ординату крайней точки, получим треугольник с основанием λ и высотой cλ.

Ответ. Работа выражается площадью этого треугольника, т. е.

Заметим, что работа упругой силы выражается полученным равенством не только в рассмотренном нами частном случае. Эта формула относится в равной мере ко всем случаям упругой деформации, в которых упругая реакция подчиняется закону Гука F = сх, где х—перемещение точки приложения реакции, отсчитанное от положения этой точки при недеформированном состоянии тела, ас — постоянный коэффициент. Сюда относятся растяжение и сжатие прямолинейного бруса, изгиб балки и т. п.

Величину, характеризующую быстроту приращения работы Силы и выражающуюся отношением элементарной работы к дифференциалу времени, называют мощностью силы:

Мощность силы

Одну и ту же работу можно произвести за различное время. Величину, характеризующую быстроту приращения работы, называют мощностью силы и обозначают буквой N. Разделив работу, произведенную силой, на время, в течение которого эта работа произведена, получим значение средней мощности силы:

B этом смысле говорят, хотя и несколько нечетко, что средняя мощность — это работа за единицу времени. При таком определении получается, что мощность является работой, или элементарной работой, чего не может быть, так как мощность имеет свою размерность. В физической системе единиц

Единицей мощности в СИ является мощность силы, производящей работу в один джоуль за одну секунду. Эту единицу называют ватт1 и обозначают вт. На практике часто употребляют единицу мощности киловатт (квт):

1 κвт= 1000вт =l02 кГ •м/сек.

В технической системе единиц

В технической системе в качестве единицы мощности силы обычно применяют кГм/сек. Употребляют также другую единицу мощности, называемую лошадиной силой:

1 л. с. = 75 кГ • м/сек = 736 вт.

Чем меньше промежуток времени, за который определена средняя мощность силы, тем ближе она соответствует мощности в данное мгновение, которую мы определим в пределе, если будем уменьшать промежуток времени, сохраняя начало этого промежутка:

(228)

Таким образом, мощность силы выражают отношением элементарной работы к дифференциалу времени.
При некоторых частных выражениях работы мощность можно определить по другим формулам. Так, например, если сила направлена по скорости, то dA=Fds, и, подставляя в (228), найдем

т. е. мощность можно выразить произведением силы на скорость. При езде на автомобиле по ровной хорошей дороге, где нужно получить большую скорость, но не надо преодолевать большие сопротивления, включают высшие передачи, а при подъеме или на плохой дороге, где нужно развить при полной мощности возможно большую силу тяги, хотя бы и за счет потери скорости, включают низшие передачи.

Если сила выражена в килограммах, скорость —в км/ч, а мощность надо выразить в л. с., то формула (229) принимает следующий вид:

При вращательном движении тела подставим вместо dA его выражение (224):

(230)

т. е. мощность выражается произведением вращающего момента и угловой скорости.

Задача №5

Тягач, развивая мощность 80 л. с., тянет по горизонтальной ледяной дороге со скоростью 15 км/ч сани с грузом 36 т. Определить коэффициент трения саней о дорогу.

Решение. За основные единицы примем: L — в км, F —в кГ, T — в ч.

На сани действуют следующие силы: 1) вес 36 000 кГ, направленный вертикально вниз, 2) реакция дороги, направленная вертикально вверх; 3) сила тяги тягача, направленная горизонтально вперед по ходу саней, и 4) сила трения полозьев о дорогу, направленная горизонтально назад.

Работа вертикальных сил при горизонтальном движении саней равна нулю, и эти силы нас не интересуют.

Сани движутся равномерно, откуда следует, что горизонтальные силы уравновешивают друг друга. Следовательно, сила тяги F уравновешена силой трения, равной, как известно, произведению коэффициента трения на нормальное давление (36 000 кГ). Подставляя эти данные, найдем

,

Решим теперь эту же задачу в СИ, т. е. примем L в м, M—в кг, T — в сек. Мощность силы, развиваемую тягачом, выразим в ваттах:

N = 80∙736 = 58 880 вт,

скорость —в метрах в секунду:

силу трения выразим в ньютонах:

и, пользуясь формулой (229), получим ответ.

Ответ.

Задача №6

Определение мощности машины можно произвести следующим образом. На вал машины надевают чугунный шкив, который центрируют и закрепляют наглухо зинтами (рис. 215). На шкив надевают две связанные болтами деревянные подушки, одна из которых имеет плечо l с чашкой для грузов Q. Противовес P подбирают так, чтобы свободно надетый на шкив нажим находился в равновесии без гирь Q в горизонтальном положении, т. е. так, чтобы плечо проходило между двумя неподвижными балками А и В. Испытание начинают с того, что затягивают болты подушек до тех пор, пока машина не даст наперед заданное число оборотов n. Коромысло прижимается при этом к неподвижной балке А. Затем начинают накладывать на чашку гири до тех пор, пока плечо не отстанет от А и не займет горизонтальное положение между А и В.

Рис. 215

Определить мощность, если вес гирь известен и равен Q, длина плеча равна l а число оборотов в минуту n. Подобрать длину плеча так, чтобы мощность выражалась формулой N = Qn вт.

Решение. Центр тяжести подушек с противовесом P по условию задачи лежит на одной вертикали с осью шкива На шкив действуют вращающий момент и момент сил трения, сумма которых равна нулю, так как шкив вращается равномерно.

Чтобы определить момент сил трения, рассмотрим равновесие подушки и составим сумму моментов действующих на нее сил относительно оси вала:

Пусть вес выражен в кГ, а длина —в м, тогда для выражения мощности в вт надо эту величину разделить на 0,102 или умножить на 9,81:

Если l = 0,98 м, то N = Qn вт.

Ответ. N = 1,026 Qln вт. Если l = 0,98 м, то N = Qn вт.

Задача №7

Посредством ремня (рис. 216) передается мощность 20 л. с. Радиус ременного шкива 50 см, число оборотов в минуту 150.

Предполагая, что натяжение T₁ ведущей ветви вдвое больше натяжения T₂ ведомой ветви, определить натяжение T₁ и T₂.

Решение. Условие задачи дано в технической системе единиц, будем решать в СИ и выражать L — в .и, F — в н, Т —в сек.

Момент натяжения ремня, взятый относительно оси вращения шкива

Мощность 20 л. с. выразим в ваттах.

Натяжение ведущей ветви в два раза больше.

Ответ. T₁ = 3750 н; T₂= 1875 н. В задачнике И. В. Мещерского ответ дан в кГ, умножая число ньютонов на 0,102, выразим натяжение ремней в килограммах: T₂ = 382 κΓ, T₁= 191 кГ.

Теоремы об изменении кинетической энергии точки и системы

Изменение кинетической энергии материальной точки равно работе, приложенной к точке силы:
T-T₀=A

(127)

Умножим первое из этих уравнений на, второе—на и третье—на . Сокращая dt в знаменателях правых и левых частей, получим:

Сложим все три уравнения и заменим в левой части сумму дифференциалов дифференциалом суммы:

В числителе левой части имеем квадрат полной скорости (64), а правая часть выражает элементарную работу силы (221). Следовательно,

(231)

т. е. дифференциал кинетической энергии равен элементарной работе. Интегрируя равенство (231), получим

Постоянную интеграции определим из начальных данных. В начальное мгновение скорость точки υ = υ₀, а работа равнялась нулю. Подставляя эти данные, получим

(232)

Равенство (232) словами можно прочитать так: изменение кинетической энергии материальной точки при перемещении этой точки на каком-либо участке пути равно работе силы, приложенной к точке, на том же участке пути. Уравнение (232) называют уравнением кинетической энергии.

Если на материальную точку действует несколько сил, то А означает работу равнодействующей приложенных к точке сил.

Уравнение (232) можно записать более коротко:

Задача №8

Самолет делает посадку с выключенным мотором на болотистую местность. Какую максимальную горизонтальную скорость v может иметь самолет, не рискуя капотировать (опрокинуться), если расстояние ОС центра тяжести от оси шасси равно с и угол наклона прямой СО с вертикалью в мгновение посадки равняется а (рис. 217).

Рис. 217

Решение. Опрокидывание самолета происходит от того, что при соприкосновении с Землей скорость шасси уменьшается, а корпус продолжает двигаться с постоянной скоростью. Для капота достаточно (и необходимо), чтобы центр тяжести, поднявшись, оказался на вертикали, проходящей через ось шасси.
Так как работа силы тяжести не зависит от траектории центра тяжести, а зависит лишь от его вертикального перемещения, то работа силы тяжести при опрокидывании (рис. 218)

Рис. 218

Вертикальная скорость самолета теряется при ударе о Землю, но горизонтальная сохраняется. Если при спуске самолета шасси остановится, то оставшаяся кинетическая энергия уйдет на опрокидывание самолета:

Решая это уравнение, находим ответ.

Ответ.

Задача №9

Пренебрегая сопротивлением атмосферы, определить, с какой наименьшей скоростью надо бросить материальную точку вертикально вверх, чтобы она не вернулась на Землю.

Решение. Сила, действующая на брошенную с Земли точку, пропорциональна массе точки и обратно пропорциональна квадрату расстояния точки от центра Земли:

Коэффициент пропорциональности был определен при решении задачи № 155:

Материальная точка, получив начальную скорость υ₀, будет удаляться от Земли, при этом под действием силы F скорость ее будет уменьшаться, уменьшаться будет и сила F. Материальная точка не вернется на Землю, если в мгновение, когда скорость ее станет равной нулю, перестанет действовать и сила. Сила притяжения обратится в нуль при r = ∞.

Работу силы А при изменении r от R до ∞ выразим интегралом

Знак минус перед интегралом взят потому, что сила направлена в сторону, противоположную движению. Подставляем в (232):

Подставляя числовые данные, получим ответ.
Ответ. (2-я космическая скорость).

Задача №10

В автоматическом оружии отдача используется для выбрасывания пустой гильзы и вкладывания нового патрона. Это осуществляется посредством специального кожуха, сдерживаемого пружиной, который «принимает на себя» отдачу, отскакивает назад и под действием пружины возвращается обратно, производя упомянутые операции. Какова должна быть скорость пули, достаточная для того, чтобы работал автоматический пистолет, если вес пули 8 Г, вес кожуха 250 Г, расстояние, на которое отскакивает кожух, 3 см и сила, необходимая для сжатия пружины на 1 см, равна 4 кГ?

Решение. Путь кожуха 3 см. На этом пути начальная скорость кожуха υ0 уменьшается, достигая нуля. Механическое движение кожуха переходит в упругую энергию пружины. Следовательно, применима теорема об изменении кинетической энергии, пользуясь которой, определим начальную скорость кожуха, так как конечная скорость равна нулю:

Упругая сила пружины изменяется по закону Гука F = cx; подставляя вместо F и х их заданные значения, находим

Подставляя в (221) и интегрируя в пределах от 0 до 3, находим

Работа отрицательна, так как упругая сила пружины направлена против ее деформации и выражена в кГ . см. Выразив в тех же единицах кинетическую энергию кожуха, найдем его начальную скорость:

Итак, после выстрела кожух начал двигаться со скоростью 3,76 м/сек и, пройдя 3 см, остановился, затратив свое механическое движение на сжатие пружины.

После выстрела механическое движение получил не только кожух, но и пуля. Мы не будем больше рассматривать переход механического движения в упругую энергию пружины, а рассмотрим лишь механическое движение кожуха и пули.

Рассмотрим систему, состоящую из пистолета (с кожухом) и пули. Построим оси координат, проведя Ox вдоль дула пистолета. Проекция внешних сил на ось Ox равна нулю. Сила взрыва— внутренняя сила системы и, следовательно, центр масс системы не смещается по оси Ох, и сумма проекций количеств движения после выстрела, как и до выстрела, равна нулю:

откуда скорость пули

Знак минус показывает, что скорость пули направлена в сторону, противоположную скорости кожуха. Если скорость пули будет меньше, будет меньше и количество движения пули, а потому уменьшится и количество движения кожуха. Если же уменьшится количество движения кожуха, то уменьшится и его кинетическая энергия и ее будет недостаточно для совершения работы — сжатия пружины на 3 см, т. е. при меньшей начальной скорости пули пистолет не будет автоматически перезаряжаться. При большей скорости пули избыток кинетической энергии кожуха будет передаваться ударом на руку.

Ответ. υ=120 м/сек.

Изменение кинетической энергии материальной системы равно сумме работ внешних и внутренних сил системы: T-T₀ = А

Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

Пусть механическая система состоит из п материальных точек. Разбив на две категории все силы, действующие на точки системы, напишем дифференциальные уравнения в форме (130):

где k = 1, 2, 3, . n.

Рассмотрим отдельно какую-либо из точек системы и напишем для нее уравнение кинетической энергии. На эту точку действуют как внешние, так и внутренние силы, и в правой части уравнения кинетической энергии мы напишем сумму работ внешних и внутренних сил:

Составим такие же уравнения для всех точек и возьмем сумму:

(233)

Припомним, что внутренние силы системы не вошли в уравнения проекций количеств движения системы (169) и в уравнения моментов системы (192). Однако они имеются в уравнении (233) кинетической энергии системы. Происходит это потому, что сумма проекций на любую ось и сумма моментов всех внутренних сил относительно любой оси всегда равны нулю, так как внутренние силы системы попарно равны и действуют по одной прямой в противоположные стороны. Но сумма работ внутренних сил системы в общем случае не равна нулю, как это было показано в задаче № 156.

Пусть, например, две точки системы отталкивают друг друга внутренними равными и противоположно направленными силами и под действием этих сил расстояние между точками увеличивается. Перемещения обеих точек направлены по силам, работы обеих сил положительны, и сумма работ этих сил не равна нулю. Внутренние силы системы можно рассматривать как силы взаимодействия точек, взятых по две. Поэтому сказанное о двух точках распространяется на все точки системы.

Силы взаимодействия между каждыми двумя частицами направлены в противоположные стороны по прямой, соединяющей эти частицы. Если расстояние между частицами не изменяется, то относительное перемещение этих частиц может быть только в направлении, перпендикулярном к этой прямой. Но силы, перпендикулярные к перемещениям, работы не совершают, а потому работа внутренних сил неизменяемой системы (абсолютно твердого тела) равна нулю.

Если система состоит из нескольких твердых тел, то работа внутренних сил каждого твердого тела равна нулю, но работы внутренних сил, действующих между каждыми двумя твердыми телами, принадлежащими к этой системе, в общем случае не равны нулю.

Задача №11

Цилиндрический вал диаметром 10 см и весом 0,5 T, на который насажено маховое колесо диаметром 2 м и весом 3 Т, вращается в данное мгновение с угловой скоростью 60 об/мин, а затем он предоставлен самому себе. Сколько оборотов еще сделает вал до остановки, если коэффициент трения в подшипниках равен 0,05? При решении задачи массу маховика считать равномерно распределенной по его ободу.

Решение. Примем следующие единицы измерения: L-в см, F — в Т, T — в сек.
Требуется определить количество оборотов вала до остановки. Механическое движение (вращение) вала с маховиком исчезает, переходит в другие виды движения. Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии (233′).

На вал с насаженным на него маховым колесом действуют силы: 1) вес всей системы, состоящий из веса махового колеса и веса вала, G = 3,5; 2) реакции в опорах; 3) сила трения в подшипниках, равная произведению веса на коэффициент трения; Fτp≈ 0,05-3,5.

Точка приложения первой из этих сил неподвижна, а потому работа первой из этих сил равна нулю.

Реакции перпендикулярны перемещениям, а потому работа реакции равна нулю.

Работу сил трения определим по (226) как работу силы, приложенной к вращающемуся телу. Момент силы трения относительно оси вращения равен произведению силы трения на плечо (на радиус вала):

Работа отрицательна, так как сила направлена против скорости, т. е. если вращение вала происходит против хода часовой стрелки (φ > 0), то M_тp 0, а потому А / )

Если бы существовали абсолютно упругие тела (k = 1), то их соударение происходило бы без потери кинетической энергии, т. е. без нагревания, без звука и пр.

Задача №15

Определить потерю кинетической энергии при прямом центральном ударе двух тел, а также их скорости после удара, если m_l = m₂ = 2 кг, υ_{1 =}4 м/сек, υ₂ =0, k = 0,5.

Решение. Если бы удар был неупругим, то скорость тел после удара была бы по (176):

Учитывая коэффициент восстановления, скорости каждого из тел определим по (178):

Потерю кинетической энергии определим по (236′):

Напомним, что механическое движение имеет две меры: 1) количество движения, т. е. меру, характеризующую способность механического движения передаваться от одних материальных тел к другим в виде механического же движения, и 2) кинетическую энергию, характеризующую способность механического движения переходить в другие немеханические виды движения.

Поэтому кинетическая энергия системы теряется при ударе, переходит в теплоту, звук и пр. и . В данном примере кинетическая энергия системы до удара была , а после удара стала

Потерянная системой двух тел кинетическая энергия 6 кгм 2 /сек 2 перешла в другие немеханические виды движения.

Количество же движения системы лишь передалось от одного тела другому, но сохранилось в системе. В самом деле, K₀ = 2∙4 = 8 κг∙м∕ceκ; K = 2∙1 + 2∙3 = 8 κг∙м∕ceκ, т. е. K-K₀ = 0.

Ответ. T — T₀ = 6 дж; =l м/сек; = 3м/сек.

Коэффициент полезного действия

В этой главе рассмотрены задачи на определение работы, совершаемой постоянной силой, и развиваемой мощности при поступательном и вращательном движении тел.

Работа и мощность при поступательном движении

Работа постоянной силы Р на прямолинейном участке пути s, пройденном точкой приложения силы, определяется по формуле

где a — угол между направлением действия силы и направлением перемещения.

т. e. работа силы, действующей перпендикулярно к направлению перемещения, равна нулю.

Если направление действия силы совпадает с направлением перемещения, то а = 0, поэтому cosa = cos O = 1 и формула (1) упрощается;

На точку или на тело обычно действует не одна сила, а несколько, поэтому при решении задач целесообразно использовать теорему о работе равнодействующей системы сил (Е. М. Н и к ит и и, § 89):

т. е. работа равнодействующей какой-либо системы сил на некотором пути равна алгебраической сумме работ всех сил этой системы на том же пути.

В частном случае, когда система сил уравновешена (тело движется равномерно и прямолинейно), равнодействующая системы сил равна нулю и, следовательно, Поэтому при равномерном и прямолинейном движении точки или тела уравнение (2) принимает вид

т. е. алгебраическая сумма работ уравновешенной системы сил на некотором пути равна нулю.

При этом силы, работа которых положительна, называются движущими, а силы, работа которых отрицательна, называются силами сопротивления. Например, при движении тела вниз—сила тяжести — движущая сила и ее работа положительны, а при движении тела вверх его сила тяжести является силой сопротивления и работа силы тяжести при этом отрицательна (§93, Е. М. Н и к и т и н).

При решении задач в случаях, когда неизвестна сила Р, работу которой нужно определить, можно рекомендовать два приема (метода).

1. При помощи сил, заданных в условии задачи, определить силу Р, а затем по формуле (1) или (1) вычислить ее работу.

2. Не определяя непосредственно силы Р, определить — работу требуемой силы при помощи формул (2) и (2′), выражающих теорему о работе равнодействующей.

Мощность, развиваемая при работе постоянной силы, определяется по формуле

Если при определении работы силы Р скорость движения точки остается постоянной, то

Если же скорость движения точки изменяется, средняя скорость и тогда формула (2′) выпажает среднюю мощность

Коэффициент полезного действия (к. п. д.) при совершении работы можно определить как отношение работ

где — полезная работа; А — вся произведенная работа, или как отношение соответствующих мощностей:

Единицей работы в СИ служит 1 джоуль (дж) =а в системе МКГСС —

Так как единицей длины в обеих системах служит 1 м, а 1 кГ=9,81 н (или 1 н = 0,102 кГ), то

Единицей мощности в СИ служит 1 ватт

а в системе МКГСС—

При использовании системы МКГСС мощность обычно измеряют в лошадиных силах (л. с.), причем

При использовании СИ мощность измеряют в киловаттах (квт): 1 квт — 1,36 л. с.

Для перехода от одних единиц к другим следует пользоваться формулами

Задача №16

Какую работу производит человек, передвигая по горизонтальному полу на расстояние 4 м горизонтально направленным усилием ящик массой 50 кГ? Коэффициент трения f = 0,4.

Решение 1—методом определения движущей силы Р.

1. На ящик, поставленный на горизонтальный пол, действуют две силы: G и реакция пола N (рис. 252). Двигая ящик, че-
ловек прикладывает к нему силу Р, и тогда возникает сила трения F.

При равномерном передвижении ящика четыре силы образуют уравновешенную систему и поэтому, спроектировав их на горизонтальную и вертикальную оси, найдем, что

3. Работа, которую производит человек в данном случае, как видно, состоит в преодолении силы трения (P=F). Но так как

то

4. Если решить задачу в системе МКГСС, то

Легко убедиться, что оба ответа выражают одну и ту же работу:

Решение 2 —с применением теоремы о работе равнодействующей.

1. Как показано в первом решении, на ящик при его перемещении действуют четыре силы: сила тяжести G, реакция пола движущая сила и сила трения F. Ящик движется равномерно и прямолинейно, поэтому эти четыре силы образуют уравновешенную систему. Следовательно, применив формулу (2′). получим уравнение

2. В этом уравнении работа силы тяжести Аа=0, так как сила G действует перпендикулярно к направлению перемещения; по этой же причине работа реакции N

Таким образом, искомая работа при перемещении ящика

3. Работу силы трения найдем по формуле (1), учитывая, что в этом случае а=180°:

Подставим значение в уравнение (а):

Так как F — Nf и N — G, то

AP=Fs — Nfs = Gfs=mgfs

Задача №17

На тело М массой т—40 кг, могущее перемещаться вдоль вертикального направляющего бруска, действует некоторая сила Р, постоянно направленная под углом а =18° к вертикали. Под действием этой силы тело поднимается равномерно на высоту h = 4 м (рис. 253, а); коэффициент трения при скольжении тела вдоль направляющего бруса f=0,2. Определить произведенную работу и коэффициент полезного действия. Решение 1.

1. При равномерном перемещении вдоль бруска вверх на тело М действуют четыре силы: сила тяжести G, сила трения F, нормальная реакция N, равная давлению тела на брусок, и движущая сила Р (рис. 253. б).

2. Сила Р производит работу

Но чтобы определить ее, нужно сначала найти силу Р.

3. Расположив оси координат, как показано на рис. 253, б, выведем уравнения равновесия:

а также уравнение, выражающее основной закон трения:

поэтому уравнение (3) примет вид

Подставим полученное значение силы трения в уравнение (2):

4. Подставим в последнее выражение числовое значение силы тяжести G в единицах СИ (G=mg):

Тогда работа, произведенная силой,

5. Если подставить в уравнение (4) силу тяжести G, выраженную в технических единицах (G = 40 кГ), то

Работа этой силы в единицах МКГСС получит такое значение:

6. Определим коэффициент полезного действия:

Вся произведенная работа А = 1680 дж, а полезная работа состоит в том, что тело весом G — mg поднято на высоту h, т. е.

Умножив найденное значение = 0,934 на 100, выразим к. п. д. в процентах:

Примечание. Можно не определять отдельно числовое значение силы Р виде выражение работы для
(см. п. 4 и 5), а получить предварительно в общем данного случая:

и после деления числителя и знаменателя на cos а:

Но иногда в технических расчетах числовые значения девствующих сил необходимы для решения каких-либо других вопросов.

Если воспользоваться приведенным выше выражением работы, то выражение к. п. д. для данной задачи получит такой вид:

Таким образом, коэффициент полезного действия при передвижении тела М по вертикальному направляющему бруску зависит от коэффициента трения f и угла а, определяющего направление действия силы относительно вертикального бруска.

Если заменить

1. В первом решении выяснено, что на тело М действует система четырех сил: G, F, N, Р (см. рис. 253, б).

2. Так как тело движется по бруску равномерно, система этих сил уравновешена и, следовательно, алгебраическая сумма их работ равна нулю:

3. Тело М движется вертикально вверх и поднимается на высоту h, поэтому работа силы N, направленной перпендикулярно к направлению перемещения:

работа силы тяжести G, направленной вертикально вниз,

работа силы трения F, также направленной вниз,

Известно, что F=Nf. Спроектировав на ось х (см. рис. 253,6) силы, приложенные к телу М, найдем, чтоПоэтомуи выражение работы силы трения примет вид

4. Подставим выражения работ в уравнение (а)
5. Вычислим работу в единицах СИ. Тогда
поэтому

Таким образом, вся работа, произведенная при подъеме тела М на высоту составляет 1670 дж. К. н. д. при выполнении этой работы определяем так же, как и в первом решении.

Задача №18

Какой мощности электродвигатель необходимо поставить на лебедку, чтобы она могла поднимать клеть со строительными материалами общей массой m=1200 кг на высоту 20 м за 30 сек. Коэффициент полезного действия лебедки

Решение (в единицах СИ).

1. Полезная мощность, развиваемая лебедкой при подъеме,

2. Мощность двигателя N найдем из выражения

3 Таким образом, мощность двигателя, необходимая для лебедки,

Двигатель должен иметь мощность не менее 10,9 квот.

Рекомендуется решить самостоятельно эту задачу в единицах МКГСС и найти мощность двигателя, выраженную в л. с.

Задача №19

Какую работу необходимо произвести, чтобы равномерно передвинуть в горизонтальном направлении на расстояние ь клинчатый ползун 1 вдоль направляющих 2? Вес ползуна G, угол заострения ползуна и направляющих а (рис. 254, а), коэффициент трения между ползуном и направляющими f.

1. На клинчатый ползун, когда он находится в горизонтально расположенных направляющих, действуют три силы: вес ползуна и две реакции направляющих (рис. 254, в), действующих на ползун перпендикулярно к боковым плоскостям (щекам) ползуна.

Для приведения ползуна в движение к нему нужно приложить параллельно направляющим силу и тогда возникнут еще две силы — силы трения, действующие вдоль обеих боковых плоскостей ползуна (см. рис. 254, б — здесь вектор изображает направленную вертикально вверх геометрическую сумму нормальных реакций

Таким образом, на ползун при его движении действуют всего шесть сил:

В данном случае нормальные реакции равны между собой, следовательно, равны и силы трения поэтому

2. Работа при перемещении ползуна на расстояние s

но предварительно найдем числовое значение движущей силы Р.

3. Спроектировав приложенные к ползуну силы на ось х

(см. рис. 254, б), получим

Нормальную реакцию N найдем из уравнения проекций на ось у (см. рис. 254, в):

Подставляем найденное значение N в

4. Следовательно, работа при передвижении клинчатого ползуна на расстояние s

Например, при

Примечание. Входящая в формулу (б) величина называется коэффициентом трения клинчатого ползуна. При уменьшении угла а (при большем

заострении ползуна и направляющих) коэффициент трения клинчатого ползуна резко увеличивается.

Решение задачи вторым способом с применением теоремы о работе равнодействующей силы рекомендуется выполнить самостоятельно.

Задача №20

Тело М весом G = 50 кГ равномерно перемещается вверх по наклонной плоскости, длина которой м и угол подъема а = 20; (рис. 255, а). Определить работу, производимую силой, направленной параллельно наклонной плоскости, и коэффициент полезного действия наклонной плоскости. Коэффициент трения f=0,2. Решение 1.

1. При движении тела М (примем его за материальную точку) вверх по наклонной плоскости на него действуют четыре силы: вес нормальная реакция наклонной плоскости движущая сила и сила трения (рис. 255, б).

2. Работа силы Р при перемещении тела по длине наклонной плоскости

3. Найдем необходимую для перемещения тела М силу Р. Расположив оси координат, как показано на рис. 255, 6, составим два уравнения равновесия:

Дополним эти уравнения третьим уравнением, выражающим основной закон трения:

Вместо силы трения F подставим ее значение из уравнения (3):

а вместо нормальной реакции N подставим ее значение из уравнения (2):

4. Следовательно, работа силы P

После подстановки в это уравнение числовых значений

5. Находим к. п. д. наклонной плоскости:

Полезная работа состоит в подъеме тела весом G на высоту поэтому

Решение 2.

1. Можно считать, что на тело М действуют не четыре, а три силы: G—вес тела, движущая сила и полная реакция поверхности реальной связи R, равная геометрической сумме сил(рис. 255, в).

Реакция реальной связи R, как известно (§ 15-3), при движении отклоняется от нормали к поверхности связи на величину угла трения причем — коэффициент трения.

2. Так как на тело М действуют только три силы и они образуют уравновешенную систему (тело М, принятое за материальную точку, движется равномерно и прямолинейно), силовой треугольник АВС, построенный из этих сил, является замкнутым.

3. По рис. 255, в можно определить, что в силовом треугольнике AВС угол Следовательно,

4. Применим к АВС теорему синусов’

5. Работа силы Р

Из равенства (см. п. 1) находим, чтоПодставим теперь в выражение работы числовые значения и определим, что

6. Находим к. п. д. наклонной плоскости:

Развернем знаменатель получившейся дроби:

Числитель и знаменатель разделим на произведение и получим окончательный вид формулы к. п. д. наклонной плоскости при действии силы Р, параллельной этой плоскости

Подставив сюда значение углаи учтя, что получим

Примечания: I. Как видно, результаты обоих решений совпадают, хотя получившиеся формулы для силы Р внешне отличаются друг от друга.

Формулу для Р из первого решения легко преобразовать и привести к результату второго решения:

2. Выражение (I), полученное во втором решении, показывает, что к. п. д. наклонной плоскости зависит лишь от коэффициента треният. е. от материала и состояния трущихся поверхностей тела М и угла подъема наклонной плоскости.

1. Известно, что при действии на точку нескольких сил алгебраическая сумма работ всех сил на некотором пути равна работе равнодействующих этих сил.

2. В данном случае на тело М, которое примем за материальную точку, действуют четыре силы: вес нормальная реакция наклонной плоскости сила трения и движущая сила Р (см. рис 255, б).

3. Точка М движется равномерно и прямолинейно. Равнодействующая сил, действующих на точку, равна нулю, и, следовательно, алгебраическая сумма работ, производимых силами на длине наклонной плоскости, также равна нулю:

4. Находим отсюда работу силы Р:

где работа силы

работа силы направленной перпендикулярно к направлению движения точки, равна нулю:

так как сила трения

Подставим в выражение (а) полученные значения работ:

5. К п. д. наклонной плоскости найдем так же, как в п 5 первого решения.

Задача №21

Тело М весом G = 50 кГ равномерно перемещается вверх по наклонной плоскостимне углом подъема

а=20 . Определить работу, произведенную силой, направленной параллельно основанию наклонной плоскости (рис. 256, а), также коэффициент полезного действия наклонной плоскости. Коэффициент трения f = 0,4.

Первое и третье решения задачи, аналогичные соответствующим решениям задачи 225-44, рекомендуется выполнить самостоятельно.

1. Приняв тело М за материальную точку, изобразим на рис. 256, б (слева) три действующие на нее силы: вес G, движущую силу Р и полную реакцию R наклонной плоскости, которая отклонена на угол (угол трения) от нормали к поверхности наклонной плоскости.

2. При равномерном движении тела по наклонной плоскости эти три силы образуют уравновешенную систему, и поэтому треугольник АВС, построенный из этих сил, является замкнутым (см. рис. 256, б — справа).

3. Силовой треугольник АВС получается в данном случае прямоугольным, так как вектор G перпендикулярен к вектору Р; угол поэтому числовое значение движущей силы

* Работа силы P в результате вычислений получается отрицательной, так как плоскость несамотормозящаяся (угол подъема а угол трения следовательно, см. задачу 95-15) и поэтому сила Р направлена вверх, т. е. в сторону, противоположную движению. Без силы Р тело M скользит вниз равноускоренно.

5. Подставим сюда числовые значения:Найдем

Как видно, по сравнению с задачей 225-44 работа получается несколько больше (на 24 кГм), потому что сила Р, действующая параллельно основанию наклонной плоскости, прижимает тело к наклонной плоскости, при этом увеличивается нормальное давление тела N, а вместе с ним и сила трения.

G. Определим коэффициент полезного действия. На основании изложенного, к. п. д. в данном случае уменьшится:

окончательно получаем формулу к. п. д. горизонтальном действии силы Р:

Подставим сюда значения углов:

По сравнению с к. п. д., полученным в задаче 225-44, к. п. д. наклонной плоскости в этой задаче уменьшается.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Задача №22

Определить работу, которую необходимо произвести, чтобы перекатить каток массой 50 кГ на расстояние 4 м по горизонтальной негладкой поверхности. Считать, что сила, двигающая каток, приложена к оси катка и горизонтальна (рис. 258, а).

Диаметр катка 20 см; коэффициент трения = 0,5 см.

1. Как известно из кинематики, движение катящегося катка называется плоскопараллельным и составляется из двух движений — поступательного и вращательного.

Ось катка передвигается поступательно, поэтому работу силы Р, приложенной к оси, можно определить по формуле

но предварительно нужно найти числовое значение силы Р.

2. На каток в неподвижном состоянии действуют две силы: вес катка G и реакция N горизонтальной поверхности, приложенная к катку в точке К (геометрическая точка касания катка с поверхностью). При качении на Каток действуют уже четыре силы (рис. 258, б): G — вес катка, Р -движущая сила и две составляющие N и F полной реакции поверхности, место приложения которой перемещается из точки К в точку А — вперед по ходу катка.

3. Если спроектировать все силы на вертикальную и горизонтальную оси, то N — G и Р = Р, т. е. на катящийся каток действуют две пары сил: катящая пара (Р; F) с плечом ОКи пара сопротивления (G; N) с плечом КА =

При равномерном перекатывании катка моменты этих пар численно равны между собой, т. е.

Отсюда находим силу Р, выразив силу тяжести в кГ (G — = 50 кГ)

4. Таким образом, работа, произведенная при перемещении катка,

Рекомендуется сопоставить этот результат с результатом, полученным в задаче 221-44. Следующую задачу решить самостоятельно.

Работа и мощность при вращательном движении

При вращательном движении тела движущим фактором является пара сил. Рассмотрим диск 1, могущий свободно вращаться вокруг оси 2 (рис. 259). Если к точке А на ободе диска приложить силу Р (направим ее вдоль касательной к боковой поверхности диска; направленная таким образом сила называется окружным усилием), то диск станет вращаться. Вращение диска обусловлено появлением пары сил. Сила Р, действуя на диск, прижимает его в точке О к оси (сила на рис. 259, приложенная к оси 2) и возникает реакция оси (сила на рис. 259), приложенная так же, как и сила Р, к диску. Так как все эти силы численно равны между собой и_ линии их действия параллельны, то силы Р и образуют пару сил, которая и приводит диск во вращение.

Как известно, вращающее действие пары сил измеряется ее моментом, но момент пары сил равен произведению модуля любой из сил на плечо пары, поэтому вращающий момент

Единицей момента пары сил, а также момента силы относительно точки или относительно оси является (ньютон-метр) в СИ и 1 кГм (килограмм-сила-метр) в системе МКГСС. Но при этом не следует смешивать эти единицы с единицами работы имеющими ту же размерность.

Работу при вращательном движении производят пары сил. Величина работы пары сил измеряется произведением момента пары (вращающего момента) на угол поворота, выраженный в радианах:

Таким образом, чтобы получить единицу работы, например, необходимо единицу моментаумножить на 1 рад. Но так как радиан — безразмерная величина

Мощность при вращательном движении

Если тело вращается с постоянной угловой скоростью, то, заменив в формуле (2) получим

Мощность того или иного двигателя величина постоянная, поэтому

т. е. вращающий момент двигателя обратно пропорционален угловой скорости его вала.

Это означает, что использование мощности двигателя при различных угловых скоростях позволяет изменять создаваемый им вращающий момент. Используя мощность двигателя при малой угловой скорости, можно получить большой вращающий момент.

Так как угловая скорость вращающейся части двигателя (ротора электродвигателя, коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания и т. п.) при его работе практически нс изменяется, то между двигателем и рабочей машиной устанавливается какой-либо механизм (редуктор, коробка скоростей и т. н.), могущий передавать мощность двигателя при различных угловых скоростях.

Поэтому формула (3), выражающая зависимость вращающего момента от передаваемой мощности и угловой скорости (Е. М. Н и-китнн, § 93), имеет очень важное значение.

Используя при решении задач эту зависимость, необходимо иметь в виду следующее. Формула (3) принимается для решения задач, если мощность N задана в ваттах, а угловая скорость—в рад/сек [размерность (1/сек)], тогда вращающий момент получится в н м.

Соответственно, если мощность N подставлена в кет (киловаттах), то вращающий момент получится в к-нм (килоньютон-метрах).

Если передаваемая мощность выражена в л. с. (1 л. с. =

= 75угловая скорость — в об;мин

а вращающий момент нужно получить в кГм, то необходимо воспользоваться формулой

Если передаваемая мощность выражена в кет, угловая скорость — в об/мин, а вращающий момент нужно получить в кГ м, то необходимо воспользоваться формулой

Задача №23

Для определения мощности электродвигателя через его шкив перекинута тормозная лента (рис. 260, а). Один конец ленты удерживается динамометром, а к другому концу прикрепленадвухкилограммовая гиря.

После запуска двигателя при установившейся угловой скорости n = 1850 об/мин динамометр показывает усилие 5 кГ. Определить мощность двигателя.

Решение 1—в единицах СИ.

1. Рассмотрим, какие силы действуют на шкив при установившемся равномерном вращении.

Шкив приводится во вращательное движение вращающим моментом создаваемым двигателем. Кроме того, на шкив действуют сила натяжения правой ветви ленты, создаваемая динамометром и сила натяжения левой ветви ленты, создаваемая двухкилограммовой гирей (рис. 260,6).

2. Определим вращающий момент двигателя.

Так как шкив вращается равномерно, то алгебраическая сумма моментов всех сил относительно оси вращения шкива равна нулю:

3. Переведя угловую скорость n =1850 об/мин в рид/сек:

из формулы (3) можно найти мощность двигателя!

Таким образом, мощность двигателя составляет 685 вт. Решение 2 —при помощи формулы (4).

1. На шкив действуют — искомый вращающий момент двигателя и две силы натяжения ветвей тормозной ленты: и

2. Определяем вращающий момент двигателя:

3. Теперь из формулы (4) определяем мощность двигателя:

Переведя получившуюся мощность из л. с. в вт, легко убедиться, что она такая же, как и в первом решении (0,930 л. с

Задачу можно решить еще при помощи формулы (5). Рекомендуется это решение выполнить самостоятельно.

Задача №24

Токарный станок приводится в движение электродвигателем, мощность которого N = 2,21 кет. Считая, что к резцу станка подводится лишь 0,8 мощности двигателя, определить вертикальную составляющую усилия резания, если диаметр обрабатываемой детали d = 200 мм, а шпиндель вращается со скоростью n=92 об/мин.

Решение — при помощи формулы (5).

1. Шпиндель станка с закрепленной в нем деталью вращается под действием вращающего момента, который уравновешивается моментом искомого вертикального усилия резания Р, т. е.

где d—200 лш = 0,2 м — диаметр обрабатываемой детали. Следовательно,

2. Мощность, подведенная к резцу, составляет 0,8 от всей мощности двигателя. Таким образом, к. п. д. передачи и подведенная к резцу мощность

3. Подставим найденные значения и данное в условии задачи значение n в формулу (5):

Решение задачи в единицах СИ рекомендуется выполнить самостоятельно.

Рекомендую подробно изучить предмет:

Теоретическая механика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Потенциальная энергия
• Обобщенные координаты системы
• Сложение двух сил
• Разложение силы на две составляющие
• Основные законы динамики
• Колебания материальной точки
• Количество движения
• Момент количества движения

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.