Как найти работу силы реакции опоры

I. Механика

Тестирование онлайн

Работа

Работа — это скалярная величина, которая определяется по формуле

Работу выполняет не тело, а сила! Под действием этой силы тело совершает перемещение.

Обратите внимание, что у работы и энергии одинаковые единицы измерения. Это означает, что работа может переходить в энергию. Например, для того, чтобы тело поднять на некоторую высоту, тогда оно будет обладать потенциальной энергией, необходима сила, которая совершит эту работу. Работа силы по поднятию перейдет в потенциальную энергию.

Правило определения работы по графику зависимости F(r): работа численно равна площади фигуры под графиком зависимости силы от перемещения.

Угол между вектором силы и перемещением

1) Верно определяем направление силы, которая выполняет работу; 2) Изображаем вектор перемещения; 3) Переносим вектора в одну точку, получаем искомый угол.

На рисунке на тело действуют сила тяжести (mg), реакция опоры (N), сила трения (Fтр) и сила натяжения веревки F, под воздействием которой тело совершает перемещение r.

Работа силы тяжести

Работа реакции опоры

Работа силы трения

Работа силы натяжения веревки

Работа равнодействующей силы

Работу равнодействующей силы можно найти двумя способами: 1 способ — как сумму работ (с учетом знаков «+» или «-«) всех действующих на тело сил, в нашем примере
2 способ — в первую очередь найти равнодействующую силу, затем непосредственно ее работу, см. рисунок

Работа силы упругости

Для нахождения работы, совершенной силой упругости, необходимо учесть, что эта сила изменяется, так как зависит от удлинения пружины. Из закона Гука следует, что при увеличении абсолютного удлинения, сила увеличивается.

Для расчета работы силы упругости при переходе пружины (тела) из недеформированного состояния в деформированное используют формулу

Мощность

Скалярная величина, которая характеризует быстроту выполнения работы (можно провести аналогию с ускорением, которое характеризует быстроту изменения скорости). Определяется по формуле

Коэффициент полезного действия

КПД — это отношение полезной работы, совершенной машиной, ко всей затраченной работе (подведенной энергии) за то же время

Коэффициент полезного действия выражается в процентах. Чем ближе это число к 100%, тем выше производительность машины. Не может быть КПД больше 100, так как невозможно выполнить больше работы, затратив меньше энергии.

КПД наклонной плоскости — это отношение работы силы тяжести, к затраченной работе по перемещению вдоль наклонной плоскости.

Главное запомнить

1) Формулы и единицы измерения;
2) Работу выполняет сила;
3) Уметь определять угол между векторами силы и перемещения

Консервативные (потенциальные) и неконсервативные (непотенциальные) силы*

Формула нахождения работы*

Механическая работа. Мощность

 Введение

Тема урока – ра­бо­та. Мы часто ис­поль­зу­ем это по­ня­тие. На­при­мер, ра­бо­чий устал, по­то­му что про­де­лал боль­шую ра­бо­ту: пе­ре­нес 200 кир­пи­чей с пер­во­го этажа на вто­рой (см. рис. 1).

Рис. 1. Со­вер­ше­ние ра­бо­ты

Мы знаем, по­че­му он устал: он в это время при­кла­ды­вал к кир­пи­чам силу. Но толь­ко ли в силе дело? На­вер­ня­ка, если бы он пе­ре­но­сил кир­пи­чи на тре­тий этаж, он бы вы­пол­нил бόльшую ра­бо­ту, а если он бы тол­кал непо­движ­ную стену, ни­ка­кой ра­бо­ты вы­пол­не­но бы не было, хотя ра­бо­чий бы устал. Зна­чит, дело не толь­ко в силе, пе­ре­ме­ще­ние тоже иг­ра­ет роль. Се­год­ня мы четко опре­де­лим по­ня­тие ра­бо­ты в фи­зи­ке.

Оно близ­ко к бы­то­во­му по­ня­тию ра­бо­ты, но нужно по­ни­мать важ­ный мо­мент.

 Понятие «работа»

В бы­то­вом пред­став­ле­нии ра­бо­ту вы­пол­ня­ет че­ло­век, дви­га­тель или дру­гой субъ­ект. В фи­зи­ке опре­де­ле­ние долж­но быть чет­ким: субъ­ект ра­бо­ты – сила. По­это­му ра­бо­та, вы­пол­нен­ная при дей­ствии несколь­ких сил, равна сумме работ, вы­пол­нен­ных каж­дой силой по от­дель­но­сти.

Как мы уви­де­ли на при­ме­ре, ра­бо­та тем боль­ше, чем боль­ше при­ло­жен­ная сила и чем боль­ше прой­ден­ный путь. И сила, и пе­ре­ме­ще­ние – век­то­ры, они имеют на­прав­ле­ния. Рас­смот­рим пока слу­чай, когда на­прав­ле­ния век­то­ров силы и пе­ре­ме­ще­ния сов­па­да­ют (см. рис. 2), ра­бо­та в фи­зи­ке опре­де­ля­ет­ся имен­но так:

т. е. как фи­зи­че­ская ве­ли­чи­на, про­пор­ци­о­наль­ная силе и пе­ре­ме­ще­нию.

Рис. 2. На­прав­ле­ния век­то­ров силы и пе­ре­ме­ще­ния сов­па­да­ют

Со­от­вет­ствен­но, еди­ни­цей ра­бо­ты яв­ля­ет­ся про­из­ве­де­ние еди­ни­цы силы на еди­ни­цу пути, т. е. . У этой еди­ни­цы есть соб­ствен­ное на­име­но­ва­ние – джо­уль (Дж).

 Пример 1. Перемещение и сила совпадают

Рас­смот­рим такой при­мер: с крыши дома вы­со­той  упал ка­мень мас­сой . Вы­чис­ли­те ра­бо­ту, ко­то­рую вы­пол­ни­ла сила тя­же­сти (см. рис. 3).

Рис. 3. Па­де­ние камня с крыши дома

Ра­бо­та – это сила, умно­жен­ная на пе­ре­ме­ще­ние. Сила тя­же­сти, дей­ство­вав­шая на ка­мень, равна , пе­ре­ме­ще­ние равно  (ка­мень упал с крыши на землю), ра­бо­та равна  (см. рис. 4).

Рис. 4. Опре­де­ле­ние ра­бо­ты

Важно за­ме­тить, что нам без­раз­лич­но, при­да­ва­ла ли дан­ная сила уско­ре­ние телу. Рас­смот­рим ту же за­да­чу, но с усло­ви­ем, что ка­мень не па­да­ет, а осто­рож­но, с по­сто­ян­ной ско­ро­стью опус­ка­ет­ся на ве­рев­ке. Сила тя­же­сти будет та же, как и пе­ре­ме­ще­ние, по­это­му ра­бо­та будет та же,  (см. рис. 5).

Рис. 5. Ка­мень опус­ка­ют с крыши дома

Нам важно лишь то, как сила участ­ву­ет в дви­же­нии, в какой сте­пе­ни она на него вли­я­ет. Но не все­гда сила на­прав­ле­на туда же, куда и пе­ре­ме­ще­ние. Рас­смот­рим нашу за­да­чу с новым усло­ви­ем: ка­мень опус­ка­ют по на­клон­ной тра­ек­то­рии под углом  к вер­ти­ка­ли (см. рис. 6).

Рис. 6. Ка­мень опус­ка­ют по на­клон­ной тра­ек­то­рии

На пе­ре­ме­ще­ние  вли­я­ет толь­ко та со­став­ля­ю­щая силы тя­же­сти, ко­то­рая на­прав­ле­на вдоль пе­ре­ме­ще­ния, т. е. про­ек­ция силы тя­же­сти на на­прав­ле­ние пе­ре­ме­ще­ния (см. рис. 7).

Рис. 7. Со­став­ля­ю­щая силы тя­же­сти

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка про­ек­ция силы тя­же­сти равна  и ра­бо­та равна  (см. рис. 8).

Рис. 8. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник

По­сколь­ку пе­ре­ме­ще­ние уве­ли­чи­лось, , окон­ча­тель­но ра­бо­та равна:

Мы по­лу­чи­ли фор­му­лу для ра­бо­ты в общем виде , где ко­си­нус угла между силой и пе­ре­ме­ще­ни­ем по­ка­зы­ва­ет сте­пень уча­стия силы в дан­ном пе­ре­ме­ще­нии, на­сколь­ко сила вы­пол­ня­ет ра­бо­ту по пе­ре­ме­ще­нию тела в дан­ном на­прав­ле­нии. Ра­бо­та – это ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние силы и пе­ре­ме­ще­ния.

Фор­му­ла  по­ка­зы­ва­ет част­ный слу­чай: сила и пе­ре­ме­ще­ние со­на­прав­ле­ны (см. рис. 9), т. е. угол между ними равен 0 и .

Рис. 9. Сила и пе­ре­ме­ще­ние со­на­прав­ле­ны

 Пример 2. Сила и перемещение разнонаправлены

Вер­нем­ся к за­да­че о камне и рас­смот­рим дру­гой част­ный слу­чай, когда сила и пе­ре­ме­ще­ние на­прав­ле­ны в про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны. Най­дем те­перь ра­бо­ту силы на­тя­же­ния ве­рев­ки, на ко­то­рой ка­мень спус­ка­ют вер­ти­каль­но (см. рис. 10).

Рис. 10. Най­дем силу на­тя­же­ния ве­рев­ки

На­хо­дим ра­бо­ту по той же фор­му­ле . Пе­ре­ме­ще­ние равно все той же вы­со­те дома. Сила на­тя­же­ния ве­рев­ки по мо­ду­лю равна .

По­че­му 

Угол между про­ти­во­по­лож­но на­прав­лен­ны­ми век­то­ра­ми  и  равен 180°. Те­перь у нас все есть для на­хож­де­ния ра­бо­ты:

Ре­зуль­тат со­гла­су­ет­ся с на­ши­ми пред­став­ле­ни­я­ми: когда сила и пе­ре­ме­ще­ние на­прав­ле­ны про­ти­во­по­лож­но, мы по­лу­чи­ли от­ри­ца­тель­ную ра­бо­ту, и дей­стви­тель­но, сила не спо­соб­ству­ет дви­же­нию, а про­ти­во­дей­ству­ет ему. Сила на­тя­же­ния ве­рев­ки «тащит» ка­мень вверх, а он опус­ка­ет­ся вниз.

О вы­бо­ре си­сте­мы ко­ор­ди­нат

Об от­ри­ца­тель­ной ра­бо­те

 Пример 3. Сила и перемещение перпендикулярны

Рас­смот­рим еще один слу­чай: ка­мень не опус­ка­ли, а пе­ре­ме­сти­ли го­ри­зон­таль­но на рас­сто­я­ние  (см. рис. 14).

Рис. 14. Сила на­тя­же­ния нити ра­бо­ту не со­вер­ша­ет

Тогда ра­бо­та силы на­тя­же­ния нити равна , сила на­тя­же­ния ра­бо­ту не со­вер­ша­ет. Со­вер­ша­ет ра­бо­ту сила тяги , под дей­стви­ем ко­то­рой груз будет пе­ре­ме­щать­ся го­ри­зон­таль­но, эта сила со­вер­шит ра­бо­ту по пе­ре­ме­ще­нию груза (см. рис. 15).

Рис. 15. Сила, ко­то­рая со­вер­ша­ет ра­бо­ту

Здесь ре­зуль­тат тоже ло­ги­чен: про­ек­ция силы на­тя­же­ния на го­ри­зон­таль­ное на­прав­ле­ние равна нулю, по­это­му эта сила не вли­я­ет на дви­же­ние тела в дан­ном на­прав­ле­нии и, со­от­вет­ствен­но, не со­вер­ша­ет ра­бо­ты по пе­ре­ме­ще­нию в дан­ном на­прав­ле­нии.

Про­ти­во­ре­чие жиз­нен­но­му опыту

Как видим, во всех слу­ча­ях спра­вед­ли­во одно общее вы­ра­же­ние: . 

 Задача 1

Какую ра­бо­ту надо со­вер­шить, чтобы за­ста­вить поезд мас­сой 800 т: а) уве­ли­чить свою ско­рость от 36 до 54 ; б) оста­но­вить­ся при на­чаль­ной ско­ро­сти 72 ?

За­да­ча на ра­бо­ту. Ра­бо­ту будет со­вер­шать сила тяги по­ез­да  (см. рис. 17).

Рис. 17. Сила тяги со­вер­ша­ет ра­бо­ту

Поль­зу­ем­ся опре­де­ле­ни­ем ра­бо­ты, это ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние суммы и пе­ре­ме­ще­ния:

Тело дви­жет­ся с уско­ре­ни­ем под дей­стви­ем силы тяги, при­ме­ним вто­рой закон Нью­то­на (сразу учтем, что сила тя­же­сти и сила ре­ак­ции опоры ком­пен­си­ру­ют­ся) (см. рис. 18).

Рис. 18. При­ме­ня­ем вто­рой закон Нью­то­на

Тело дви­жет­ся с уско­ре­ни­ем, из­ме­ня­ет ско­рость с  до, при­ме­ним урав­не­ния ки­не­ма­ти­ки для рав­но­уско­рен­но­го дви­же­ния. По опре­де­ле­нию уско­ре­ние равно:

Путь при рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии равен:

Вы­бе­рем си­сте­му ко­ор­ди­нат. Удоб­но на­пра­вить ось х в на­прав­ле­нии дви­же­ния по­ез­да (см. рис. 19).

Рис. 19. Выбор на­прав­ле­ния оси х

Тогда про­ек­ции ско­ро­стей и пе­ре­ме­ще­ния будут по­ло­жи­тель­ны, про­ек­ция уско­ре­ния опре­де­ля­ет­ся раз­но­стью , сила со­на­прав­ле­на с уско­ре­ни­ем.

По­лу­чим си­сте­му урав­не­ний, ко­то­рую оста­ет­ся толь­ко ре­шить, а это за­да­ча ма­те­ма­ти­че­ская:

Решив си­сте­му урав­не­ний, по­лу­ча­ем ответ:

Вы­чис­лим для двух слу­ча­ев, за­дан­ных в усло­вии. Поезд раз­го­ня­ет­ся от 36 км/ч до 54 км/ч. В СИ зна­че­ния ско­ро­сти будут равны 10 м/с и 15 м/с. Масса равна 800 т или .

Поезд тор­мо­зит от 72 км/ч до 0 км/ч. В СИ на­чаль­ная ско­рость равна 20 м/с.

Ответ: 50 (МДж); -160 (МДж).

В пер­вом слу­чае ско­рость уве­ли­чи­ва­лась, зна­чит, уско­ре­ние и сила были со­на­прав­ле­ны со ско­ро­стью и пе­ре­ме­ще­ни­ем (см. рис. 20).

Рис. 20. Уско­ре­ние и сила со­на­прав­ле­ны со ско­ро­стью и пе­ре­ме­ще­ни­ем

Сила со­на­прав­ле­на с пе­ре­ме­ще­ни­ем, ра­бо­та в этом слу­чае по­ло­жи­тель­на, что мы и по­лу­чи­ли. Во вто­ром слу­чае ско­рость умень­ша­лась, зна­чит, уско­ре­ние и сила на­прав­ле­ны про­ти­во­по­лож­но ско­ро­сти и пе­ре­ме­ще­нию. Сила на­прав­ле­на про­ти­во­по­лож­но пе­ре­ме­ще­нию, ра­бо­та от­ри­ца­тель­на (см. рис. 21).

Рис. 21. Сила на­прав­ле­на про­ти­во­по­лож­но пе­ре­ме­ще­нию

Мы все сде­ла­ли пра­виль­но.

На сле­ду­ю­щем уроке раз­бе­рем это более по­дроб­но, но можем за­ме­тить, что  и  – это ки­не­ти­че­ская энер­гия, т. е. ра­бо­та была за­тра­че­на на из­ме­не­ние ки­не­ти­че­ской энер­гии.

Рас­смот­рим еще несколь­ко при­ме­ров того, как силы вы­пол­ня­ют ра­бо­ту.

Нет спе­ци­фи­че­ских пра­вил для каж­дой силы, они все под­чи­ня­ют­ся од­но­му вы­ра­же­нию . В каж­дом слу­чае для на­хож­де­ния ра­бо­ты мы долж­ны узнать силу, пе­ре­ме­ще­ние и их на­прав­ле­ния. Мы лишь можем за­ме­тить тен­ден­ции, что чаще всего (но не все­гда) ра­бо­та силы тяги по­ло­жи­тель­на, по­то­му что в боль­шин­стве слу­ча­ев тело дви­жет­ся туда, куда мы его тянем (см. рис. 22).

Рис. 22. Ра­бо­та силы тяги

Чаще всего (но не все­гда) ра­бо­та силы тре­ния от­ри­ца­тель­на, т. к. она на­прав­ле­на про­тив на­прав­ле­ния дви­же­ния сколь­зя­ще­го тела (см. рис. 23).

Рис. 23 . Ра­бо­та силы тре­ния

Чаще всего (но не все­гда) тела дви­жут­ся вдоль по­верх­но­сти, в то время как сила ре­ак­ции опоры на­прав­ле­на пер­пен­ди­ку­ляр­но ей, по­это­му ра­бо­та силы ре­ак­ции опоры равна нулю. Но это лишь тен­ден­ции, ко­то­рые го­во­рят, как бы­ва­ет чаще всего, мы же под­чи­ня­ем все слу­чаи од­но­му за­ко­ну  и на­хо­дим од­но­знач­ный ответ на во­прос.

 Задача 2

Лифт на­чи­на­ет дви­же­ние вниз и через 3 с до­сти­га­ет ско­ро­сти 1,5 м/с. Найти ра­бо­ту силы ре­ак­ции опоры по пе­ре­ме­ще­нию груза за это время, если масса груза в лифте равна 140 кг.

В за­да­че опи­сан груз, ко­то­рый дви­жет­ся под дей­стви­ем силы тя­же­сти и силы ре­ак­ции опоры. Рас­смот­рим силу ре­ак­ции опоры. Ра­бо­та на­хо­дит­ся как ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние  (см. рис. 24).

Рис. 24. На­хож­де­ние ра­бо­ты

Тело дви­жет­ся с уско­ре­ни­ем под дей­стви­ем раз­ных сил, этот про­цесс под­чи­ня­ет­ся вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на и опи­сы­ва­ет­ся фор­му­ла­ми ки­не­ма­ти­ки.

Сразу учтем, что , тогда по опре­де­ле­нию уско­ре­ние равно:

Путь при рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии равен:

На­пра­вим ось ко­ор­ди­нат у вдоль дви­же­ния лифта, вер­ти­каль­но вниз (см. рис. 25).

Рис. 25. Выбор на­прав­ле­ния оси y

Тогда в про­ек­ции на ось у по­лу­чим:

Вы­чис­лим:

Ответ: -3 (кДж).

За­да­ча ре­ше­на.

 Мощность

Когда мы оце­ни­ва­ем ка­че­ство ра­бот­ни­ка (или ме­ха­низ­ма, или дви­га­те­ля), нам мало ру­ко­вод­ство­вать­ся толь­ко тем, какую ра­бо­ту он вы­пол­нил. Нас еще ин­те­ре­су­ет, как быст­ро он ее вы­пол­ня­ет. Можно со­вер­шить ра­бо­ту за час и быть мо­лод­цом, а можно по­тра­тить на ту же ра­бо­ту целый день: ра­бо­та вы­пол­не­на, ре­зуль­тат тот же, но мед­лен­но. Для ха­рак­те­ри­сти­ки быст­ро­ты или ско­ро­сти вы­пол­не­ния ра­бо­ты вво­дит­ся ве­ли­чи­на мощ­ность. Мы уже стал­ки­ва­лись с ве­ли­чи­на­ми, ха­рак­те­ри­зу­ю­щи­ми быст­ро­ту (ско­ро­стью, уско­ре­ни­ем), по­это­му знаем, что быст­ро­та из­ме­не­ния ка­кой-ли­бо ве­ли­чи­ны – это из­ме­не­ние ве­ли­чи­ны, де­лен­ное на про­ме­жу­ток вре­ме­ни, на про­тя­же­нии ко­то­ро­го ве­ли­чи­на из­ме­ня­лась.

 Так же и мощ­ность – это ра­бо­та, де­лен­ная на время ее вы­пол­не­ния: 

Еди­ни­ца мощ­но­сти на­зы­ва­ет­ся ватт (Вт).

По­че­му ино­гда со­вер­ша­ет­ся неболь­шая ра­бо­та при боль­шой мощ­ности

 Задача 3

Какую сред­нюю мощ­ность раз­ви­ва­ет сила тя­же­сти в про­цес­се па­де­ния кота мас­сой 2 кг с де­ре­ва вы­со­той 3 м?

За­да­ча на мощ­ность, ис­поль­зу­ем опре­де­ле­ние мощ­но­сти как ско­ро­сти со­вер­ше­ния ра­бо­ты:

Ра­бо­та – это сила, умно­жен­ная на пе­ре­ме­ще­ние:

(в нашем слу­чае сила тя­же­сти  на­прав­ле­на вниз, пе­ре­ме­ща­ет­ся кот тоже вниз).

Для задач на дви­же­ние мы можем также при­ме­нять за­ко­ны ки­не­ма­ти­ки. За время па­де­ния кот, дви­га­ясь рав­но­уско­рен­но из со­сто­я­ния покоя, прой­дет путь:

На­пра­вим ось у вер­ти­каль­но вниз вдоль пе­ре­ме­ще­ния кота (см. рис. 26).

Рис. 26. Выбор на­прав­ле­ния оси y

Тогда в про­ек­ции на ось у за­пи­шем си­сте­му урав­не­ний, ко­то­рую оста­ет­ся толь­ко ре­шить:

Ответ: 77,5 (Вт).

Привет! В этой статье предлагаю поговорить о реакциях опор, еще известных как опорные реакции. Для успешного освоения курса – «сопротивление материалов», каждый студент должен уметь определять реакции опор, чему учат еще в рамках дисциплины — «теоретическая механика». Но для тех, кто проспал механику на первом курсе, я подготовил данную статью, чтобы каждый желающий мог приобрести навыки по расчету опорных реакций.

Так как этот урок для чайников, я многие моменты буду упрощать и рассказывать только самое основное, чтобы написанное здесь, было понятно даже самому неподготовленному студенту — заочнику.

В рамках статьи рассмотрим 4 примера: двухопорная балка, загруженная посередине пролёта сосредоточенной силой, такая же балка, но загруженная распределённой нагрузкой, консольная балка и плоская рама.

Что такое реакция опоры?

Чтобы лучше понять, что такое реакция опоры (опорная реакция), давай рассмотрим следующий пример — балку (стержень) лежащую на опорах:

На балку давит нагрузка – сила, в свою очередь, балка давит на опоры. И чтобы балка лежала на опорах (никуда не проваливалась), опоры выполняют свою основную функцию — удерживают балку. А чтобы удерживать балку, опоры должны компенсировать тот вес, с которым балка давит на них. Соответственно, действие опор можно представить в виде некоторых сил, так называемых — реакций опор.

Для балки, и нагрузка, и реакции опор, будут являться внешними силами, которые нужно обязательно учитывать при расчёте балки. А чтобы учесть опорные реакции, сначала нужно научиться определять их, чем, собственно, и займёмся на этом уроке.

Виды связей и их реакции

Связи – это способы закрепления элементов конструкций. Опоры, которые я уже показывал ранее – это тоже связи.

 В этой статье будем рассматривать три вида связей: жёсткая заделка, шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора.

Жёсткая заделка

Жёсткая заделка — это один из вариантов закрепления элементов конструкций. Этот тип связи препятствует любым перемещениям, тем самым для плоской задачи, может возникать три реакции: вертикальная (R_A), горизонтальная (H_A) и момент (M_A).

Шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора

В этой статье будем работать с двумя типами опор: шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной.

В шарнирно-неподвижной опоре возникает две реакции: вертикальная и горизонтальная. Так как опора препятствует перемещению в этих двух направлениях. В шарнирно-подвижной опоре возникает только вертикальная реакция.

Однако, видов связей и их условных обозначений достаточно много, но в рамках этой статьи их все рассматривать не будем. Так как, изученные ранее виды связей, являются основными и практически всегда, при решении задач по сопромату, ты будешь сталкиваться именно с ними.

Что такое момент силы?

Также необходимо разобраться с понятием момент силы.

Момент силы — это произведение силы на плечо. Где плечо — это кратчайшее расстояние от точки до силы, то есть перпендикуляр.

Проиллюстрирую написанное:

Правило знаков для моментов

Также для моментов, нужно задаться каким-то правилом знаков. Я в своих уроках буду придерживаться такого правила:

• если сила относительно точки стремится повернуть ПРОТИВ часовой стрелки, то момент положительный;

• если она стремится повернуть ПО часовой стрелке, то момент отрицательный.

Всю подготовительную информацию дал, теперь будем рассматривать конкретные примеры. И начнём с простейшей расчётной схемы балки.

Определение реакций для двухопорной балки

Возьмём балку, загруженную посередине сосредоточенной силой и опирающейся на шарнирно-неподвижную и шарнирно-подвижную опору:

Введём систему координат: направим ось x вдоль балки, а ось y вертикально. Обозначим реакции в опорах как H_A, R_A и R_B:

Для тех, кто пришёл сюда, ещё будучи на этапе изучения теоретической механики, а я знаю, таких будет много, важно отметить, что в сопромате не принято указывать знаки векторов над силами.

В термехе же, в обязательном порядке, преподаватель от тебя настойчиво будет требовать указывать знак вектора над всеми силами, вот так:

Условия равновесия системы

Чтобы найти все реакции, нужно составить и решить три уравнения — уравнения равновесия:

Данные уравнения являются условиями равновесия системы. А так как мы предполагаем, что опоры обеспечивают это состояние равновесия (удерживают балку). То составив и решив уравнения равновесия — найдём значения опорных реакций.

Первое уравнение называется уравнением проекций — суммой проекций всех сил на координатную ось, которая должна быть равна нулю. Два других уравнения называются уравнениями моментов — суммами моментов всех сил относительно точек, которые должны быть равны нулю.

Уравнения равновесия

Как видишь, чтобы научиться находить реакции опор, главное — научиться правильно составлять уравнения равновесия.

Уравнение проекций

Запишем первое уравнение — уравнение проекций для оси x.

В уравнении будут участвовать только те силы, которые параллельны оси x. Такая сила у нас только одна — H_A. Так как H_A направлена против положительного направления оси x, в уравнение её нужно записать с минусом:

Тогда H_A будет равна:

Поздравляю, первая реакция найдена!

Уравнения моментов

А теперь самое интересное…запишем уравнение моментов, относительно точки A, с учётом ранее рассмотренного правила знаков для моментов.

Так как сила F поворачивает ПО часовой стрелке, записываем её со знаком «МИНУС» и умножаем на плечо.

Так как сила R_B поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, пишем её со знаком «ПЛЮС» и умножаем на плечо. И, наконец, всё это приравниваем к нулю:

Из полученного уравнения выражаем реакцию R_B:

Вторая реакция найдена! Третья реакция находится аналогично, но только теперь уравнение моментов записываем относительно другой точки:

Проверка правильности найденных опорных реакций

Чем хороши задачи на определение реакций, так это тем, что правильность расчёта реакций легко проверить. Для этого достаточно составить дополнительное уравнение равновесия, подставить все численные значения и если сумма проекций сил или сумма моментов будет равна нулю, то и реакции, значит, найдены — верно, а если нет, то ищем ошибку.

Составим дополнительное уравнение проекций для оси y и подставим все численные значения:

Как видишь, реакции опор найдены правильно.

Определение реакций опор для балки с распределенной нагрузкой

Теперь рассмотрим балку, загруженную распределенной нагрузкой:

Перед тем как посчитать реакции опор, распределенную нагрузку нужно «свернуть» до сосредоточенной силы. Если умножить интенсивность q на длину участка, на которой действует нагрузка, получим силу Q. Сила Q будет находиться ровно посередине балки, как и сила F в нашем первом примере:

Подробно комментировать нахождение реакций в опорах здесь, не буду. Просто приведу решение:

Расчёт реакций для консольной балки

Давай рассмотрим теперь пример с жёсткой заделкой – консольную балку. Заодно посмотрим, как учесть силу, приложенную под углом (α = 30^°).

Силу, направленную под определённым углом, нужно разложить на две составляющие – горизонтальную и вертикальную. А их значения найти из силового треугольника:

Покажем реакции в заделке и выполним расчёт:

Для этой задачи выгоднее использовать другую форму условий равновесия:

А выгодна она тем, что из каждого записанного уравнения будем сразу находить реакцию:

Не пугайся отрицательного значения реакции! Это значит, что при указании реакции, мы не угадали с её направлением. Расчёт же показал, что M_A, направлена не по часовой стрелке, а против.

В теоретической механике, когда реакции получают с «минусом» обычно не заморачиваются и не меняют их направление на схеме, так и оставляют в ответе отрицательное значение, оговаривая, что да реакция найдена, но с учётом знака, на самом деле направлена в другую сторону. Потому что найденные реакции в задачах на статику, являются конечной точкой расчёта.

У нас же, в сопромате после нахождения опорных реакций, всё только начинается. Найдя реакции, мы всего лишь находим ВСЕ силы действующие на элемент конструкции, а дальше по сценарию стоит задача определить внутренние усилия, возникающие в этом элементе, расчёты на прочность и т. д. Поэтому на схеме, обязательно следует указывать истинное направление реакций. Чтобы потом, когда будут рассчитываться внутренние усилия ничего не напутать со знаками.

Если получили отрицательное значение, нужно отразить это на схеме:

С учётом изменений на схеме реакция будет равна:

Сделаем проверку, составив уравнение равновесие, ещё не использованное – сумму моментов относительно, скажем, точки B, которая, при правильном расчёте, конечно, должна быть равна нулю:

Если не менять направление реакции, то в проверочном уравнении нужно учесть этот «минус»:

Можешь посмотреть еще один пример, с похожей схемой, для закрепления материала, так сказать.

Реакции опор для плоской рамы

Теперь предлагаю выполнить расчёт плоской рамы. Для примера возьмём расчётную схему, загруженную всевозможными видами нагрузок:

Проводим ряд действий с расчетной схемой рамы:

• заменяем опоры на реакции;
• сворачиваем распределенную нагрузку до сосредоточенной силы;
• вводим систему координат x и y.

Выполняем расчёт реакций опор:

Меняем направление реакции R_A:

В итоге получили следующие реакции в опорах рамы:

Осталось проверить наши расчеты! Для этого предлагаю записать уравнение моментов, относительно точки B. И если, эта сумма будет равна нулю, то расчет выполнен верно:

Как видим, расчет реакций выполнен правильно!

Обновлено: 28.05.2023

Друзья, сегодня разберем с вами задачку на стыке механики и кинематики. Потренируемся в нахождение работ различных сил, посмотрим на связь этих работ с потенциальной и кинетической энергиями. Рассмотрим это на примере следующей задачи.

Задача

Тело массой 3 кг под действием силы F перемещается вниз по наклонной плоскости на расстояние L = 5 м, расстояние тела от поверхности Земли при этом уменьшается на h = 3 м. Вектор силы F направлен параллельно наклонной плоскости, модуль силы F равен 20 Н. Какую работу при этом перемещении в системе отсчета, связанной с наклонной плоскостью, совершила сила F ? (Ответ дайте в джоулях.) Ускорение свободного падения примите равным 10 м/с², коэффициент трения μ = 0.5.

Статика — один из разделов современной физики, который изучает условия нахождения тел и систем в механическом равновесии. Для решения задач на равновесие важно знать, что такое сила реакции опоры. Данная статья посвящена подробному рассмотрению этого вопроса.

Второй и третий законы Ньютона

Прежде чем рассматривать определение силы реакции опоры, следует вспомнить о том, что вызывает движение тел.

Причиной нарушения механического равновесия является действие на тела внешних или внутренних сил. В результате этого действия тело приобретает определенное ускорение, которое вычисляется с помощью следующего равенства:

Эта запись известна как второй закон Ньютона. Здесь сила F является результирующей всех действующих на тело сил.

Если одно тело воздействует с некоторой силой F₁¯ на второе тело, то второе оказывает действие на первое с точно такой же по абсолютной величине силой F₂¯, но она направлена в противоположном направлении, чем F₁¯. То есть справедливо равенство:

Эта запись является математическим выражением для третьего ньютоновского закона.

При решении задач с использованием этого закона школьники часто допускают ошибку, сравнивая эти силы. Например, лошадь везет телегу, при этом лошадь на телегу и телега на лошадь оказывают одинаковые по модулю силы. Почему же тогда вся система движется? Ответ на этот вопрос можно правильно дать, если вспомнить, что обе названные силы приложены к разным телам, поэтому они друг друга не уравновешивают.

Сила реакции опоры

Сначала дадим физическое определение этой силы, а затем поясним на примере, как она действует. Итак, силой нормальной реакции опоры называется сила, которая действует на тело со стороны поверхности. Например, мы поставили стакан с водой на стол. Чтобы стакан не двигался с ускорением свободного падения вниз, стол воздействует на него с силой, которая уравновешивает силу тяжести. Это и есть реакция опоры. Ее обычно обозначают буквой N.

Сила N — это контактная величина. Если имеется контакт между телами, то она появляется всегда. В примере выше значение величины N равно по модулю весу тела. Тем не менее это равенство является лишь частным случаем. Реакция опоры и вес тела — это совершенно разные силы, имеющие различную природу. Равенство между ними нарушается всегда, когда изменяется угол наклона плоскости, появляются дополнительные действующие силы, или когда система движется ускоренно.

Сила N называется нормальной потому, что она всегда направлена перпендикулярно плоскости поверхности.

Если говорить о третьем законе Ньютона, то в примере выше со стаканом воды на столе вес тела и нормальная сила N не являются действием и противодействием, поскольку обе они приложены к одному телу (стакану с водой).

Физическая причина появления силы N

Как было выяснено выше, сила реакции опоры препятствует проникновению одних твердых тел в другие. Почему появляется эта сила? Причина заключается в деформации. Любые твердые тела под воздействием нагрузки деформируются сначала упруго. Сила упругости стремится восстановить прежнюю форму тела, поэтому она оказывает выталкивающее воздействие, что проявляется в виде реакции опоры.

Если рассматривать вопрос на атомном уровне, то появление величины N — это результат действия принципа Паули. При небольшом сближении атомов их электронные оболочки начинают перекрываться, что приводит к появлению силы отталкивания.

Многим может показаться странным, что стакан с водой способен деформировать стол, но это так. Деформация настолько мала, что невооруженным глазом ее невозможно наблюдать.

Как вычислять силу N?

Сразу следует сказать, что какой-то определенной формулы силы реакции опоры не существует. Тем не менее имеется методика, применяя которую, можно определить N для совершенно любой системы взаимодействующих тел.

Методика определения величины N заключается в следующем:

• сначала записывают второй закон Ньютона для данной системы, учитывая все действующие в ней силы;
• находят результирующую проекцию всех сил на направление действия реакции опоры;
• решение полученного уравнения Ньютона на отмеченное направление приведет к искомому значению N.

При составлении динамического уравнения следует внимательно и правильно расставлять знаки действующих сил.

Найти реакцию опоры можно также, если пользоваться не понятием сил, а понятием их моментов. Привлечение моментов сил справедливо и является удобным для систем, которые имеют точки или оси вращения.

Далее приведем два примера решения задач, в которых покажем, как пользоваться вторым ньютоновским законом и понятием момента силы для нахождения величины N.

Задача со стаканом на столе

Выше уже был приведен этот пример. Предположим, что пластиковый стакан объемом 250 мл наполнен водой. Его поставили на стол, а сверху на стакан положили книгу массой 300 грамм. Чему равна сила реакции опоры стола?

Запишем динамическое уравнение. Имеем:

Здесь P₁ и P₂ — вес стакана с водой и книги соответственно. Поскольку система находится в равновесии, то a=0. Учитывая, что вес тела равен силе тяжести, а также пренебрегая массой пластикового стакана, получаем:

Учитывая, что плотность воды равна 1 г/см 3 , и 1 мл равен 1 см 3 , получаем согласно выведенной формуле, что сила N равна 5,4 ньютона.

Задача с доской, двумя опорами и грузом

Доска, массой которой можно пренебречь, лежит на двух твердых опорах. Длина доски равна 2 метра. Чему будет равна сила реакции каждой опоры, если на эту доску посередине положить груз массой 3 кг?

Прежде чем переходить к решению задачи, следует ввести понятие момента силы. В физике этой величине соответствует произведение силы на длину рычага (расстояние от точки приложения силы до оси вращения). Система, имеющая ось вращения, будет находиться в равновесии, если суммарный момент сил равен нулю.

Возвращаясь к нашей задаче, вычислим суммарный момент сил относительно одной из опор (правой). Обозначим длину доски буквой L. Тогда момент силы тяжести груза будет равен:

Здесь L/2 — рычаг действия силы тяжести. Знак минус появился потому, что момент M₁ осуществляет вращение против часовой стрелки.

Момент силы реакции опоры будет равен:

Поскольку система находится в равновесии, то сумма моментов должна быть равной нулю. Получаем:

Заметим, что от длины доски сила N не зависит.

Учитывая симметричность расположения груза на доске относительно опор, сила реакции левой опоры также будет равна 14,7 Н.

Сила реакции опоры — это сила, с которой опора действует на тело. Она направлена перпендикулярно поверхности, поэтому такую силу называют силой нормальной реакции. Обозначают ее символом N и измеряют в Ньютонах.

Тело находится на выпуклой или вогнутой поверхности

Рассмотрим рисунок 1. Тело находится на опоре и давит на нее своим весом. Опора реагирует на воздействие тела и отвечает ему силой (vec). Эта сила направлена перпендикулярно поверхности, вдоль вектора нормали, поэтому ее называют нормальной силой.

Примечания:

• Нормаль – значит, перпендикуляр.
• Искривленную, т.е., выпуклую, или вогнутую поверхность, можно считать частью сферы. Центр сферы – точка, она находится внутри сферы, от этой точки к поверхности сферы можно провести радиус.

(vec left( H right) ) – сила, с которой опора действует на тело.

Рис. 1. Тело (шар) опирается на выпуклую – а) и вогнутую – б) поверхность. А поверхность реагирует на вес тела силой нормальной реакции

Когда тело находится на выпуклой поверхности (рис. 1а), реакция направлена вдоль радиуса от центра сферы наружу, за ее пределы.

Если же тело находится на вогнутой части (рис. 1б) поверхности, реакция (vec) направлена по радиусу внутрь сферической поверхности к ее центру.

Тело опирается на поверхность в двух точках

На рисунках 2а и 2б изображено продолговатое тело (к примеру, стержень), опирающееся на поверхности двумя своими точками.

Рис. 2. Однородный стержень опирается на поверхность двумя точками, в каждой из точек сила реакции располагается перпендикулярно поверхности

В точках соприкосновения поверхность отвечает телу силой (vec) своей реакции. Видно, что в каждая сила реакции направлена перпендикулярно поверхности.

Cилы реакции (vec>) и (vec>) имеют различные направления и в общем случае не равны по модулю.

Примечание: Сила — это вектор. Между векторами можно ставить знак равенства, только, когда совпадают характеристики векторов.

Как рассчитать силу нормальной реакции

Пусть тело давит на опору своим весом. В местах соприкосновения тела с опорой наблюдается упругая деформация. При этом опора стремится избавиться от возникшей деформации и вернуться в первоначальное состояние. Силы, с которыми опора упруго сопротивляется воздействию тела, имеют электромагнитную природу. Когда сближаются электронные оболочки атомов тела и опоры, между ними возникает сила отталкивания. Она и является силой реакции опоры на воздействие тела.

Примечание: Сила реакции (vec) распределяется по всей площади соприкосновения тела и опоры. Но для удобства ее обычно считают сосредоточенной силой. Ее изображают на границах соприкасающихся поверхностей исходящей из точки, расположенной под центром масс тела.

Для того, чтобы рассчитать силу реакции, нужно понимать законы Ньютона, уметь составлять силовые уравнения и знать, что такое равнодействующая.

На рисунке 3 изображены тела, находящиеся на горизонтальной – а) и наклонной – б) поверхностях.

Рис. 3. Тело опирается на поверхность горизонтальную – а) и наклонную – б), составляя силовые уравнения для сил, расположенных перпендикулярно соприкасающимся поверхностям, рассчитывают силу реакции опоры

Рассмотрим подробнее рисунок 3а. Тело на горизонтальной поверхности находится в покое. Значит, выполняются условия равновесия тела.

По третьему закону Ньютона, сила, с которой тело действует на опору, равна по модулю весу тела и направлена противоположно весу.

(m vec left( H right) ) – сила, с которой тело действует на опору;

(vec left( H right) ) – сила, с которой опора отвечает телу;

Рисунок 3б иллюстрирует тело на наклонной поверхности. Перпендикулярно соприкасающимся поверхностям проведена ось Oy. Проекция силы (m vec) на ось — это (mg_), она будет направлена противоположно реакции опоры (vec) и численно равна ей.

Если тело лежит на внутренней поверхности сферы, сила vec направлена к центру сферы.

Если тело лежит на внешней поверхности сферы, сила vec направлена от центра сферы.

3. Сила натяжения нити

Сила, действующая со стороны нити (веревки, каната, троса, стержня и т.п.) на тело, которое висит на нити (веревке и т.п.). Направлена вдоль нити (и т.п.).

vec –Сила натяжения нити.

4. Вес тела

Определение: – это сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес.

Вес тела равен по модулю силе реакции опоры или силе натяжения нити, направлен в противоположную сторону и приложен к другому телу: либо опоре, либо нити.

vec –сила реакции опоры;

5. Сила трения

a) Сила трения скольжения

Сила трения скольжения направлена противоположно относительной скорости тел и не зависит от площади соприкосновения поверхностей.

vec_ –сила трения скольжения.

Модуль силы трения равен произведению коэффициента трения скольжения на модуль силы реакции опоры:

mu –коэффициент трения скольжения.

b) Сила трения качения

Действует на тело, которое не скользит, а катится по некоторой поверхности.

vec_ –сила трения качения.

mu _ –коэффициент трения качения.

Коэффициент трения качения много меньше коэффициента трения скольжения

c) Сила трения покоя

Действует на тело, лежащее неподвижно на некоторой поверхности, которое мы пытаемся сдвинуть с места. Противоположно направлена внешней силе и равна ей по модулю.

vec_ – сила трения покоя.

vec_ – внешняя сила.

6. Схема решения задач

a) Нарисовать все силы, приложенные ко всем телам системы;

b) Выбрать системы отсчета (можно свою для каждого тела);

c) Спроектировать силы на оси;

d) Записать уравнения для второго закона Ньютона в проекциях для всех тел системы;

e) Записать кинематические связи, то есть связи между скоростями и ускорениями различных тел системы;

Решение. Рассмотрим сначала случай k > tg α . В этом случае тело, помещенное на наклонную плоскость, будет покоится (см. пример 6.4), и чтобы спустить его по плоскости на него нужно действовать силой, направленной вниз вдоль плоскости (см. рис. 10.1). Поскольку по условию тело спускают медленно, его ускорение равно нулю и, следовательно

(здесь использовано то обстоятельство, что действующая на тело при его движении по наклонной плоскости сила трения равна kmg cos α , проекция силы тяжести на направление плоскости — mg sin α ). Так как в процессе движения тела по наклонной плоскости действующие на него силы не меняются, для нахождения их работ воспользуемся формулой (10.3).

Работа силы тяжести. Угол между силой тяжести и перемещением вдоль плоскости равен 90° − α , перемещение h / sin α . Поэтому

Работа силы трения. Угол между силой трения и перемещением вдоль плоскости равен 180°, перемещение h / sin α . Поэтому

Работа силы реакции опоры. Угол между этой силой и перемещением тела равен 90°, его косинус равен нулю, поэтому

Работа внешней силы F . Используя формулу (10.4), получим

Работа равнодействующей силы. Поскольку тело спускают медленно, его ускорение равно нулю, следовательно, равна нулю равнодействующая всех сил, действующих на тело, и, следовательно, равна нулю ее работа:

Читайте также:

  

• Какими способами ученики овладевают знаниями в древнем шумере и в современной школе

  

• План открытого урока по русскому языку в 5 классе

  

• Почему реформы братьев гракхов потерпели поражение кратко

  

• Компетентность педагога доу в условиях реализации национального проекта образование

  

• Parts of the body план урока

Работа силы тяжести. Работа реакции опоры. Работа силы трения. Работа силы натяжения веревки. Работа равнодействующей силы

Лекция №3 по динамике

Работа

Работа — это скалярная величина, которая определяется по формуле

Работу выполняет не тело, а сила! Под действием этой силы тело совершает перемещение.

Обратите внимание, что у работы и энергии одинаковые единицы измерения. Это означает, что работа может переходить в энергию. Например, для того, чтобы тело поднять на некоторую высоту, тогда оно будет обладать потенциальной энергией, необходима сила, которая совершит эту работу. Работа силы по поднятию перейдет в потенциальную энергию.

Правило определения работы по графику зависимости F(r): работа численно равна площади фигуры под графиком зависимости силы от перемещения.

Угол между вектором силы и перемещением

1) Верно определяем направление силы, которая выполняет работу;

2) Изображаем вектор перемещения;

3) Переносим вектора в одну точку, получаем искомый угол.

На рисунке на тело действуют сила тяжести (mg), реакция опоры (N), сила трения (Fтр) и сила натяжения веревки F, под воздействием которой тело совершает перемещение r.

Работа силы тяжести

Работа реакции опоры

Работа силы трения

Работа силы натяжения веревки

Работа равнодействующей силы

Работу равнодействующей силы можно найти двумя способами:

 1 способ — как сумму работ (с учетом знаков «+» или «-«) всех действующих на тело сил, в нашем примере.

2 способ — в первую очередь найти равнодействующую силу, затем непосредственно ее работу, см. рисунок