- Авторы
- Резюме
- Файлы
Иванов Е.М.
Работа силы тяжести при падении тел зависит от силы сопротивления среды. Чем больше сила сопротивления, тем больше время падения и больше импульс силы тяжести. Работа, совершаемая силой, пропорциональна квадрату импульса: A=I2/2m.
В курсах физики утверждается, что если тело массы 
равномерно поднимать вверх на высоту 
с помощью силы 
, то сила совершает работу 
, равную потенциальной энергии 
, а сила тяжести отрицательную работу 
[1]. Автором [2] было показано, что работа подъема тела на высоту всегда больше 
. Чтобы поднимать тело вверх, необходимо приложить силу 
. Работа подъема будет равна
(1)
Время подъема 
найдется из соотношения: 
. На графике (рис. 1) показана зависимость работы 
, выраженной в долях , от величины соотношения 
. Работа имеет минимум, равный 
при 
. При свободном падении тела с высоты потенциальная энергия переходит в кинетическую 
, где 
.
Рисунок 1. Зависимость работы , выраженной в долях 
, от величины соотношения 
Таким образом, потенциальная энергия соответствует только работе, совершаемой силой тяжести при СВОБОДНОМ падении тела. Работа при свободном падении:
(a)
(b) (2)
Т.к. 
, а 
, 
-импульс силы тяжести.
Рассмотрим работу, совершаемую силой тяжести, при других случаях падения тел.
СЛУЧАЙ I. Падение происходит при действии постоянной силы 
, направленной вертикально. Если сила направлена вниз (
), как сила тяжести, то это движение можно рассматривать как свободное падение под действием силы 
, как в гравитационном поле напряженности 
. Примем следующие числовые значения: 
кг, 
м, 
м/с2, 
Н. Получаем: время падения 
с2, скорость 
(м/с)2, 
Дж, работа 
Дж.
Таким образом, работа падения не равна потенциальной энергии 
Дж (при обычном свободном падении 
с2, 
(м/с)2, 
Дж).
Если сила направлена вертикально вверх (
), то она является силой сопротивления (трения). В этом случае падение происходит под действием результирующей силы:
Н
с ускорением: 
м/с2.
Время падения: 
с2, скорость 
(м/с)2, 
Дж. Используя обычную формулу (2a) для расчета работы, получаем: 
Дж. Используя формулу (2b), имеем 
Дж.
Автором в работах [3, 4,5] показано, что работа силы (производство энергии) пропорциональна квадрату импульса силы:
Это говорит о том, что в общем случае работа зависит от времени действия силы, а не от пути, т.к. один и тот же путь (в данном случае м) может быть пройден за разное время в зависимости от величины силы сопротивления. Время падения: 
, работа 
. Из этих выражений могут быть составлены безразмерные комплексы
(а)
(b) (3)
Где 
может изменяться от 0 до 1. Случай 
соответствует условию левитации тела, когда оно неподвижно зависает под действием двух одинаковых, но противоположно направленных сил 
. На графике (рис. 2) показана зависимость комплекса 
в зависимости от величины 
.
Рисунок 2. Показана зависимость комплекса в зависимости от величины
Таким образом, в случае действия постоянной силы сопротивления (трения), работа, совершаемая силой тяжести , возрастает и в пределе 
при . Случай соответствует статической задаче, когда груз удерживается подвесом на неизменной высоте .
СЛУЧАЙ II. Падение происходит при действии силы сопротивления, пропорциональной скорости падения:
(4)
Решение этого дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях имеет вид:
(а)
(b) (5)
(6)
Если использовать общепринятую формулу 
, то получаем 
Дж. Примем 
Н·с/м. Расчет по формуле 
при 
с (время определяется из трансцендентного уравнения (6) при 
) дает численное значение работы 
Дж. Силу можно представить в виде суммы двух сил: 
, где 
— сила, вызывающая ускоренное движение тела вниз в соответствии со II законом Ньютона, ускорение определяется выражением (5b), а сила 
– сила сопротивления, скорость определяется выражением (5a).
Используя импульсы сил 
, работу, совершаемую силой тяжести, можно расписать более подробно
(7)
Импульс силы, вызывающей ускоренное движение тела:
(8)
При с 
Н·с; 
Дж.
Импульс силы трения:
(9)
При с 
Н·с; 
Дж.
Работа, связанная с трением при УСКОРЕННОМ движении:
Дж
Суммарная работа 
Дж
Таким образом, работа совершаемая силой тяжести при падении тел, зависит от силы сопротивления среды. Чем больше сила сопротивления, тем больше время падения и больше импульс силы тяжести, а работа, совершаемая силой, пропорциональна квадрату импульса силы: 
.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика: Учебн. для 9 кл. средн. шк. – М.: Просвещение, 1990.
2. Иванов Е.М. Работа и энергия в классической механике и первый закон термодинамики. Димитровград: ДИТУД УлГТУ, 2005.
3. Иванов Е.М. Определение работы и работа силы трения. //Успехи современного естествознания. 2005. №8. С.10
4. Иванов Е.М. Работа при движении тел с трением. //Фундаментальные исследования. 2005. №6. С.10
5. Иванов Е.М. Работа в классической механике. //Современные наукоемкие технологии. 2005. №5 С. 12.
Библиографическая ссылка
Иванов Е.М. РАБОТА ПАДЕНИЯ ТЕЛА В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ // Современные проблемы науки и образования. – 2006. – № 4.
;
URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=369 (дата обращения: 29.05.2023).
Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)
Как найти работу силы тяжести
Под воздействием силы тяжести тело может совершать работу. Простейший пример — свободное падение тела. Понятие работы отражает перемещение тела. Если тело остается на месте, работы оно не совершает.
Инструкция
Сила тяжести тела — приблизительно постоянная величина, равная произведению массы тела на ускорение свободного падения g. Ускорение свободного падения g ≈ 9,8 ньютон на килограмм, или метр на секунду в квадрате. g является константой, величина которой незначительно колеблется лишь для разных точек земного шара.
По определению, элементарная работа силы тяжести — произведение силы тяжести на бесконечно малое передвижение тела: dA = mg · dS. Перемещение S является функцией от времени: S = S(t).
Чтобы найти работу силы тяжести на всем пути L, надо взять интеграл от функции элементарной работы по L: A = ∫dA = ∫(mg · dS) = mg · ∫dS.
Если в задаче задана функция скорости от времени, то зависимость перемещения от времени можно найти путем интегрирования. Для этого понадобится знать начальные условия: начальную скорость, координату и т.д.
Если известна зависимость ускорения от времени t, придется интегрировать два раза, ведь ускорение — вторая производная от перемещения.
Если в задаче дано координатное уравнение, то нужно понять, что перемещение отражает разность начальной и конечной координаты.
Помимо силы тяжести, на физическое тело могут действовать и другие силы, так или иначе влияющие на его положение в пространстве. Важно помнить, что работа — аддитивная величина: работа результирующей силы равна сумме работ слагаемых сил.
Согласно теореме Кёнига, работа силы по перемещению материальной точки равняется приращению кинетической энергии этой точки: A(1-2) = K2 — K1. Зная это, можно попробовать найти работу силы тяжести через кинетическую энергию.
Полезный совет
Для интегрирования применяйте табличные интегралы простейших функций и правила интегрирования. Помните, что интегрирование — обратная процедура дифференцированию (нахождению производной).
Источники:
- «Механика», Д.В. Сивухин, 2006.
- Найдите работу силы тяжести
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 1 >> Глава 13. Работа и потенциальная энергия (I)
Работа падающего тела
В гл. 4 мы разобрали вопрос о сохранении энергии. При этом законами Ньютона мы не пользовались. Интересно теперь посмотреть, как возникает сохранение энергии из-за того, что действуют эти законы. Для ясности мы начнем с самых простых примеров и постепенно будем их усложнять.
Простейший пример сохранения энергии — это тело, падающее вниз, т. е. тело, движущееся только в вертикальном направлении. Если оно меняет свою высоту под влиянием только тяжести, то из-за движения оно обладает кинетической энергией Т (или к. э.) Кроме того, у него есть потенциальная энергия mgh (сокращенно U, или п. э.). Их сумма постоянна:
Мы хотим показать, что это утверждение правильно. Что значит доказать его правильность? Второй закон Ньютона говорит, как движется тело, как со временем изменяется его скорость (а именно, что в падении она растет пропорционально времени, а высота падения меняется как квадрат времени). Если поэтому отмерять высоту от нулевой точки (где тело покоилось), то не будет ничего странного в том, что она окажется равной квадрату скорости, умноженному на какие-то постоянные. Однако все же рассмотрим это повнимательней.
Попробуем вычислить прямо из второго закона Ньютона, как обязана меняться кинетическая энергия; мы продифференцируем кинетическую энергию по времени и потом применим закон Ньютона. Дифференцируя 1/2 mv2 по времени, получаем
потому что m считается постоянной. Но по второму закону Ньютона m(dv/dt)=F, так что
В общем случае получается F*v, но для нашего одномерного случая лучше оставить просто произведение силы на скорость.
Сила в нашем простом примере постоянна, равна —mg и направлена вниз (знак минус именно это и показывает), а скорость есть степень изменения положения по вертикали (высоты h) со временем. Поэтому степень изменения кинетической энергии равна —mg(dh/dt). Взгляните: что за чудо! Перед нами снова чья-то скорость изменения — скорость изменения со временем величины mgh! Поэтому выходит, что с течением времени изменения в кинетической энергии и в величине mgh остаются равными и противоположными, так что их сумма остается неизменной. Что и требовалось доказать.
Мы только что показали, пользуясь Вторым законом Ньютона, что для постоянных сил энергия сохраняется, если только прибавлять потенциальную энергию mgh к кинетической 1/2mv2. Исследуем этот вопрос дальше; посмотрим, можно ли его обобщить, можно ли еще продвинуться в его понимании. Действует ли этот закон только для свободно падающих тел или является более общим? Из того, что мы знаем о сохранении энергии, можно ожидать, что он будет верен для тела, движущегося из одной точки в другую по кривой без трения и под действием одной лишь тяжести (фиг. 13.1). Когда тело, начав двигаться с высоты Н, достигает высоты h, то опять должна быть верной та же формула, хотя бы скорость уже не была направлена по вертикали. Нам надо понять, почему она все еще правильна. Проведем тот же анализ; отыщем скорость изменения кинетической энергии во времени. Опять будет получаться mv(dv/dt) — скорость изменения величины импульса, т. е. сила в направлении движения — касательная сила Ft. Итак,
Скорость — это скорость изменения расстояния вдоль кривой ds/dt, а касательная сила Ft теперь оказывается меньше mg в отношении, равном отношению расстояния ds вдоль пути к вертикальному расстоянию dh. Иными словами,
(ds выпадает). И опять, как прежде, мы получили величину -mg(dh/dt), равную скорости изменения mgh.
Чтобы точно уяснить себе, как вообще соблюдается сохранение энергии в механике, рассмотрим сейчас некоторые полезные понятия.
Во-первых, рассмотрим скорость изменения кинетической энергии в общем трехмерном случае. Кинетическая энергия, когда движение имеет три измерения, равна
T = 1/2*m(v2x + v2y + v2z).
Дифференцируя ее по времени, получаем три устрашающих члена:
Но ведь m(dvx/dt) — это сила Fх, действующая на тело в направлении х. Значит, в правой части формулы (13.4) стоит Fxvx + Fyvy + Fzvz. Призвав на помощь векторный анализ, вспоминаем, что это F·v. Итак,
А можно это вывести и быстрей: если а и b — два вектора, зависящих от времени, то производная от а*Ь равна
Подставим сюда a = b = v:
Так как понятие кинетической энергии и вообще энергии очень важно, то различным величинам в этих уравнениях присвоены разные имена: 1/2mv2 называется, как известно, кинетической энергией; F*v называется мощностью: сила, действующая на тело, умноженная («скалярно») на скорость тела,— это мощность, сообщаемая телу этой силой. Получается великолепная теорема: скорость изменения кинетической энергии тела равна мощности, затраченной силами, действующими на тело. Но для изучения сохранения энергии анализ следует продолжить. Давайте оценим изменение кинетической энергии за очень короткое время dt. Умножив обе части уравнения (13.7) на dt, найдем, что изменение кинетической энергии равно силе, скалярно умноженной на дифференциал пройденного расстояния
А интегрируя, получаем
Что это значит? Это значит, что, как бы и по какой бы кривой траектории ни двигалось тело под действием силы, все равно изменение в к. э. при переходе от одной точки кривой к другой равно интегралу от компоненты силы вдоль кривой, умноженной на дифференциал смещения ds (интегрирование от первой точки до второй). И у этого интеграла есть имя: его называют работой, совершенной силой над телом. Немедленно мы обнаруживаем, что мощность — это работа за секунду. И еще мы замечаем, что работу производит только составляющая силы вдоль направления движения. В нашем первом простом примере участвовали только вертикальные силы с одной-единственной составляющей Fz, равной —mg. В этих обстоятельствах совершенно неважно, как тело движется, прямо вниз или по параболе, все равно от F*ds (которое можно написать как Fxdx+Fydy+Fzdz) остается только Fzdz = —mgdz, потому что прочие составляющие силы — нули. Значит, в этом случае
так что в потенциальную энергию входит только высота, с которой тело падает.
Несколько слов о единицах. Так как сила измеряется в ньютонах, а для получения работы ее умножают на расстояние, то работу измеряют в единицах ньютон метр, но большинство людей этого названия не любит, предпочитая название джоуль (дж). Это только другое слово, а единица та же. Итак, работу измеряют в джоулях. Мощность же — в джоулях в секунду; эту единицу называют ватт(вт). Если умножить ватты на время, то получим произведенную работу. Работу, которую местная энергосистема производит в наших квартирах (в техническом смысле), оценивается в ваттах, умноженных на время. Например, киловатт-час — это 1000 вт х ЗбОО сек, т. е. 3,6 106 дж.
Приведем еще несколько примеров работы и сохранения энергии. Рассмотрим тело, которое вначале имеет кинетическую энергию и быстро двигается, скользя по полу с трением. Оно останавливается. В начале кинетическая энергия не равна нулю, а в конце она равна нулю; существует работа, произведенная силами, потому что раз есть трение, то есть и составляющая силы в направлении, противоположном направлению движения, и энергия постепенно теряется. Теперь рассмотрим массу на конце маятника, который качается в вертикальной плоскости в поле тяжести без трения. Здесь наблюдается нечто другое, потому что, когда масса опускается, сила направлена тоже вниз, а когда подымается, сила направлена в обратную сторону, так что у F*ds на спуске и на подъеме разные знаки. В соответствующих точках спуска и подъема значения F*ds равны по величине, но противоположны по знаку, так что в итоге интеграл есть чистый нуль. Поэтому кинетическая энергия в конце спуска в точности такая же, какой она была в начале подъема; это и есть принцип сохранения энергии. (Заметьте, что в присутствии сил трения сохранение энергии на первый взгляд не выполняется. Значит, нужно искать другую форму энергии. И действительно, оказывается, что когда два тела трутся друг о друга, то возникает тепло, мы же сейчас делаем вид, что об этом не знаем.)
СМОТРИТЕ ТАКЖЕ:
Социальные комментарии Cackle
Работа против силы тяжести, формула
Возле поверхности Земли, от самой поверхности до небольшой высоты можно пренебречь изменением ускорения свободного падения в зависимости от высоты и считать эту величину постоянной:
[
g = 9.81 (м/c^2)
]
Если тело равномерно поднимается, т.е. движется с постоянной скоростью в направлении, противоположном направлению действия силы тяжести, то согласно общей формуле работы, над телом совершается работа
W = Fs, где F — сила; она совпадает по направлению с перемещением s и равна по величине весу тела G = mg.
[
W = Fs
]
[
F = G = mg
]
[
W = mgs = mgh
]
Здесь:
W — работа по поднятию тела (Дж),
G — вес тела, сила тяжести (Ньютон),
g — ускорение свободного падения, 9.81 (м/с²),
s=h — высота на которую поднимают тело (метр),
m — масса тела (кг)
Вычислить, найти работу против силы тяжести по формуле (3)
Работа против силы тяжести |
стр. 464 |
|---|